Как найти куб суммы трех чисел

Куб разности и суммы чисел

Вычисление куба суммы и разности чисел необходимы во всех разделах математики. Они применяются при решении многих неравенств и уравнений, упрощении выражений, разложении многочленов, вычислении пределов, сокращении дробей, решении интегралов.

Поэтому необходимо уметь их выводить, понимать смысл и уметь применять на практике. 

Правило для куба суммы

Возведем в куб сумму чисел a и b. Для этого распишем выражение в виде многочлена:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(left(a+bright)^3=left(a+bright)left(a+bright)left(a+bright)=left(a+bright)left(a+bright)^2)

Воспользуемся формулой квадрата суммы и получим следующее выражение:

(left(a+bright)left(a+bright)^2=left(a+bright)left(a^2+2ab+b^2right))

Теперь умножаем многочлен на многочлен и получаем:

(left(a+bright)left(a^2+2ab+b^2right)=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3)

Упростим получившиеся выражение и получим формулу куба суммы:

(a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)

Куб суммы двух выражений равен сумме куба первого, утроенного произведения квадрата первого на второе, утроенного произведения первого на квадрат второго и куб третьего.

Правило для куба разности

При любых значениях b и c верно равенство:

(left(b-cright)^3=b^3-3b^2c+3bc^2-c^3)

Докажем его. Для этого разложим куб разности двух чисел на множители:

(left(b-cright)^3=left(b-cright)left(b-cright)left(b-cright))

Теперь умножим многочлен на многочлен и упростим выражение:

(left(b-cright)^3=left(b-cright)left(b-cright)left(b-cright)=b^{3-}2b^2c+bc^2-b^2c+2bc^2-c^3=b^3-3b^2c+3bc^2-c^3)
 

Таким образом, выведенное тождество верно для любых значений переменных b, c и называется формулой куба разности (left(b-cright)^3=b^3-3b^2c+3bc^2-c^3)

Она читается так: куб разности двух выражений равен кубу первого, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго.

Куб разности трех чисел

Нередко при решении различных задач возникает необходимость вычислить куб разности трех чисел. Чтобы облегчить мыслительную работу можно вывести формулу и для этого случая:

(left(a-b-cright)^3=left(a-b-cright)(a-b-c)left(a-b-cright)=a^3+ab^2+ac^2-2a^2b-2a^2c+2abc-a^2b-b^3-bc^2+2ab^2+2abc-2b^2c-a^2c-b^2c-c^3+2abc+2ac^2-2bc^2)

Сложив подобные слагаемые придадим полученной формуле более удобный вид:

(left(a-b-cright)^3=a^3-b^3-c^3+3ab^2+3ac^2-3a^2b-3a^2c-3b^2c-3bc^2+6abc)

Она называется правилом куба разности трехчлена.

Аналогично можно вывести и формулу куба суммы трехчлена:

(left(x+y+zright)^3=x^3+y^3+z^3+3x^2y+3x^2z+3xy^2+3xz^2+3y^2z+3yz^2+6xyz)

Примеры задач куба разности и суммы

Пример 1

Раскрыть скобки (left(2x-3y^2right)^3)

Решение

(left(2x-3y^2right)^3=left(2xright)^3-3left(2xright)^2left(3y^2right)+3left(2xright)left(3y^2right)^2-left(3y^2right)^3=8x^3-36x^2y^2+54xy^4-27y^6)

Пример 2

Упростить выражение:

(frac{27x^3-27x^2+9x-1}{9x^2-6x+1})

Решение

Если внимательно посмотреть на эту дробь, то можно увидеть, что в знаменателе представлен квадрат разности, а в числителе – куб разности.

(frac{27x^3-27x^2+9x-1}{9x^2-6x+1}=frac{left(3x-1right)^3}{left(3x-1right)^2}=3x-1)

Почему сумма трёх кубов – это такая сложная математическая задача

Тяжело искать ответы в бесконечном пространстве. Математика уровня старших классов может помочь вам сузить область поисков.

Учитывая, что люди изучают свойства чисел тысячи лет, можно было бы решить, что нам известно всё о числе 3. Однако недавно математики обнаружили нечто новое касательно числа 3: третий способ выразить это число в виде суммы трёх кубов. Задача записи числа через сумму трёх кубов целых чисел оказывается неожиданно интересной. Легко показать, что большую часть чисел нельзя записать в виде одного куба или суммы из двух кубов, но существует гипотеза, что большую часть чисел можно записать в виде суммы из трёх кубов. Однако найти эти кубы оказывается иногда чрезвычайно сложно.

К примеру, нам было известно, что число 3 можно записать в виде 1³ + 1³ + 1³, а также в виде 4³ + 4³ + (-5)³, однако более 60 лет математиков интересовал вопрос, нет ли ещё одного способа сделать это. И в этом сентябре Эндрю Букер и Эндрю Сазерленд, наконец, нашли и третий способ:

3 = 569 936 821 221 962 380 720³ + (−569 936 821 113 563 493 509)³ + (−472 715 493 453 327 032)³

Если вам захочется проверить этот результат, не пытайтесь использовать калькулятор. Большинство из них не справится с таким количеством цифр. Но с этим справится WolframAlpha.

В поисках новых вариантов решений для числа 3, математики используют техники, придуманные в этом году Буккером, первым нашедшим сумму трёх кубов для числа 33. Но почему на подобные прорывы требуется столько времени? В поисках правильных кубов приходится покрывать очень большую территорию, а нужное направление нам может указать лишь небольшое число подсказок. Поэтому фокус состоит в том, чтобы найти более хитрые методы поиска. Чтобы представить себе саму задачу и её решение, начнём с более простого вопроса: как мы можем записать 33 в виде суммы трёх целых чисел?

Мы можем записать 33 = 19 + 6 + 8, или 33 = 11 + 11 + 11, или 33 = 31 + 1 + 1. Мы можем использовать и отрицательные числа: 33 = 35 + (−1) + (−1). Существует бесконечное множество способов сделать это, поскольку всегда можно увеличить одно или два числа и уменьшить третье для компенсации этого – например, 33 = 36 + (−1) + (−2), 33 = 100 + 41 + (−108), и так далее.

Что насчёт записи 33 в виде суммы трёх квадратов? Нам нужно будет найти числа, являющиеся квадратами целых чисел, типа 1 = 1², 9 = 3², и 64 = 8² — их сумма даёт 33. Немного поигравшись, можно обнаружить, что 33 = 4² + 4² + 1² и 33 = 5² + 2² + 2². Есть ли ещё варианты? В принципе, нет. Можно заменить 4 на -4, и получить 33 = (-4)² + 4² + 1², что даст нам ещё несколько способов записи наши решений, но как их ни считай, найдётся не очень много способов записать 33 в виде суммы трёх квадратов.

При суммировании квадратов у нас нет той же гибкости, что при суммировании любых целых чисел. У нас меньше выбор, и, что ещё важнее, сложение лишь увеличивает нашу сумму. Ведь квадраты целых чисел не бывают отрицательными – возведение в квадрат и положительного и отрицательного числа всегда даёт положительное.

У квадратов больше ограничений, но это даёт нам и нечто полезное: наше пространство поисков «ограничено». Пытаясь найти три квадрата, дающих в сумме 33, мы не можем использовать числа, чьи квадраты больше, чем 33, поскольку как только наша сумма выйдет за пределы 33, уменьшить её уже не получится. А это значит, нам нужно рассмотреть лишь комбинации из 0², 1², 2², 3², 4² и 5² (их отрицательные двойники ничего нового нам не дают, и мы их проигнорируем).

Имея шесть вариантов для каждого их трёх квадратов, мы получаем не более 6 × 6 × 6 = 216 способов записать 33 как их сумму. Достаточно небольшой список для того, чтобы проверить все возможности и убедиться, что мы ничего не пропустили.

Теперь вернёмся к задаче о сумме трёх кубов. Несложно видеть, что она комбинирует ограниченный выбор из задачи о сумме квадратов с бесконечным пространством поиска из задачи о сумме целых чисел. Как и с квадратами, не любое целое число является кубом другого числа. Мы можем использовать числа типа 1 = 1³, 8=2³, 125=5³, но не можем использовать 2, 3, 4, 10, 108, и большую часть остальных чисел. Но, в отличие от квадратов, кубы бывают отрицательными – к примеру, (-2)³ = -8, (-4)³ = -64 – а значит, мы можем по необходимости и уменьшать нашу сумму. Доступ к отрицательным числам даёт нам неограниченное количество вариантов, то есть, наше пространство поиска, как и в случае с суммой целых чисел, неограниченно.

Неограниченность пространства поиска означает, что мы можем искать ответы очень долго. И люди искали их десятилетиями. Понадобился суперкомпьютер и хитрая математика, чтобы найти, наконец, правильную комбинацию кубов. Давайте посмотрим, как это удалось сделать.

Допустим, вам нужно найти решение уравнения:

33 = x³ + y³ + z³

Простой подход – разметить некий регион чисел и подставлять каждый из них, пока что-нибудь не подойдёт. Если вы ничего не найдёте, можно определить новое пространство поиска и начать сначала. Это похоже на поиск новых планет при помощи методичного изучения неба в телескоп.

Представьте, что ваше начальное пространство поиска ограничивает все x, y и z рамками от -100 до 100. Сначала вы пробуете:

(−100)³ + (−100)³ + (−100)³

Не вышло. Тогда вы пробуете:

(−99)³ + (−100)³ + (−100)³

Тоже не работает. Вы продолжаете, пока не дойдёте до (100, −100, −100), потом переключаетесь на (−100, −99, −100), и вновь продолжаете свою охоту. В итоге вы проверите порядка 200 × 200 × 200 = 8 000 000 вариантов, не найдя ничего подходящего. Придётся обозначить новое пространство поиска и начать заново.

Более интересный подход – переписать уравнение в следующем виде:

33 – (x³ + y³) = z³

Теперь, вместо того, чтобы перебирать все тройки (x, y, z), мы будем перебирать двойки (x, y). Для каждой пары мы будем вычислять результат, а потом проверять список кубов, смотря, нет ли там нашего результата z³. Если он есть, решение найдено. Если нет, мы продолжим искать. Это значительно уменьшает пространство поиска. Вместо 8 000 000 троек мы теперь ищем среди 200 × 200 = 40 000 пар. Серьёзная экономия, однако всё равно недостаточно для того, чтобы сделать задачу вычислительно доступной.

Ещё более удобный подход — переписать уравнение в следующем виде:

33 – z³ = x³ + y³

Теперь мы перебираем z, а для каждого вычисленного z мы используем хитрый фокус из курса математики. Выражение x³ + y³ всегда можно разложить так:

x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)

Это формула для суммы кубов. Чтобы проверить её, просто перемножим правую часть, пользуясь правилом дистрибутивности:

(x + y)(x² – xy + y²) = x³ – x²y + xy² + yx² – xy² + y³ = x³ + y³

Как это помогает нам в поисках? Подсчитав 33 – z³, мы раскладываем её на произведение простых чисел, с чем хорошо справляются компьютеры, по крайней мере, в интересующем нас числовом диапазоне. Разложив 33 – z³ на множители, мы проверяем, можно ли составить эти множители в виде (x + y)(x² – xy + y²). Если да, мы нашли решение.

Допустим, к примеру, что мы пытаемся записать 34 как сумму трёх кубов, и наши поиски привели нас к z = -6. Мы подсчитываем 34 – z³ = 34 – (-6)³ = 34 – (-216) = 34 + 216 = 250, и теперь разложим 250.

Изучив вопрос, мы понимаем, что можем записать 250 = 10 × 25 = (5+5)(5² – 5 × 5 + 5^²). А это именно (x + y)(x² – xy + y²) для x = 5 и y = 5, так что тройка (x, y, z) = (5, 5, -6) должна сработать для 34. И, конечно же, 34 = 5³ + 5³ + (-6) ³, и мы успешно обнаружили три куба, сумма которых даёт 34.

Такой метод позволяет вместо 200³ = 8 000 000 троек или даже 200² = 40 000 пар исследовать 200 возможных вариантов z. Дополнительную работу составляют разложение на множители и проверка, но в целом поисковая эффективность серьёзно растёт. И всё равно пространство поисков, изученное в поисках суммы кубов, дающих такое число, как 33, настолько огромно, что даже такие улучшения не могут помочь суперкомпьютерам близко подступиться к этой задаче.

Тут на сцену и вышел Эндрю Букер. Он разработал некоторые дополнительные техники, используя алгебру и теорию чисел, для ещё более сильного улучшения поисковой эффективности. Напустив суперкомпьютер своего университета на эту задачу, через три недели он получил впервые найденное представление числа 33 как суммы трёх кубов:

33 = 8 866 128 975 287 528³ + (−8 778 405 442 862 239)³ + (−2 736 111 468 807 040)³

Решив эту задачу, перед тем, как перейти к числу 3, Букер и Сазерленд решили такую же задачу для числа 42:

42 = (−80 538 738 812 075 974)³ + 80 435 758 145 817 515³ + 12 602 123 297 335 631³

Вас может удивить, что спустя тысячи лет, мы ещё можем узнать что-то новое о таких числах, как 3, 33 и 42. Возможно ещё более удивительным будет то, что этому могут помочь такие абстрактные вещи из школьной математики, как формула для суммы кубов. Однако так работает математика, и поэтому мы продолжаем наши изыскания. Так что следите за числом 114 – самым маленьким из чисел на сегодня, для которого пока ещё не найдена сумма из трёх кубов. У меня есть ощущение, что для Эндрю Букера и других математиков поиск уже начался.

Mathematicians Solve ’42’ Problem With Planetary Supercomputer https://www.sciencealert.com/the-sum-of-three-cubes-problem-has-been-solved-for-42

Сумма трёх кубов в математике, — открытая задача о представимости целого числа в виде суммы трех кубов целых (положительных или отрицательных) чисел. Необходимое условие для представимости n в виде такой суммы:n не равно 4 или 5 по модулю 9; так как куб любого числа по модулю 9 равен 0, 1 и −1, то сумма трех кубов не может дать 4 или 5 по модулю 9. Неизвестно, является ли это условие достаточным.

[Spoiler (click to open)]

К вариациям задачи относятся задачи о сумме неотрицательных кубов и о сумме рациональных кубов. Любое целое число представимо в виде суммы рациональных кубов, но неизвестно, образуют ли суммы неотрицательных кубов множество с ненулевой асимптотической плотностью.

The problem, set in 1954, is exactly what it sounds like: x3+y3+z3=k. K is each of the numbers from 1 to 100; the question is, what are x, y and z?

Математики Эндрю Букер и Эндрю Сазерленд решили задачу, поставленную в 1954 году, сообщает.
Она заключалась в том, чтобы представить натуральные числа менее ста в виде суммы кубов трех чисел. За последние десятилетия были найдены решения для всех чисел, кроме 33 и 42.

CRACKING THE PROBLEM WITH https://people.maths.bris.ac.uk/~maarb/papers/cubesv1.pdf

Букер заинтересовался задачей в 2019 году, посмотрев соответствующее видео на YouTube.

Ролик вдохновил его создать новый алгоритм: решение для 33 нашлось спустя три недели, в апреле. https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2Fs40993-019-0162-1.pdf

Это 8,866,128,975,287,528, −8,778,405,442,862,239 и −2,736,111,468,807,040.

Fiendishly Simple Math Problem Gets a New Solution After Puzzling World For Centuries https://www.sciencealert.com/fiendishly-simple-math-problem-gets-new-solution-after-puzzling-world-for-centuries

Оставалось самое сложное — определить три числа, сумма кубов которых составила бы 42.
За помощью Букер обратился к коллеге Сазерленду. Ученые воспользовались проектом Charity Engine, который объединяет вычислительную мощность более 500 тысяч обычных компьютеров по всей планете в единый «суперкомпьютер».

Sum of three cubes for 42 finally solved — using real life planetary computer

42 is the answer to the question “what is (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³?” https://aperiodical.com/2019/09/42-is-the-answer-to-the-question-what-is-80538738812075974%c2%b3-80435758145817515%c2%b3-12602123297335631%c2%b3/

В итоге искомые числа были найдены.
Это −80538738812075974, 80435758145817515 и 12602123297335631.

Sum of three cubes for 42 finally solved – using real life planetary computer https://www.bristol.ac.uk/news/2019/september/sum-of-three-cubes-.html

Таким образом, установлены все тройки кубов для чисел меньше ста.
Букер признался, что когда решение было найдено, он почувствовал облегчение.

«I feel relieved,» Booker said. — «In this game, it’s impossible to be sure that you’ll find something. It’s a bit like trying to predict earthquakes, in that we have only rough probabilities to go by. So, we might find what we’re looking for with a few months of searching, or it might be that the solution isn’t found for another century.»

Теперь математики могут начать искать тройки кубов для чисел выше ста — наименьшим нерешенным случаем остается число 114.

Is that it, then? Well… no. That’s just 1 to 100 covered. Go up an order of magnitude to 1,000, and there are still plenty of numbers to solve — 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 906, 921 and 975 are all awaiting a solution to the sum of three cubes.

Вопрос о представлении произвольного целого числа в виде суммы трех кубов существует уже около 200 лет, первое известное параметрическое решение в рациональных числах дано С. Рили в 1825 году. Параметрические решения в целых числах находят для 2 — в 1908 Веребрюсов, для 1 — в 1936 году Малер.

В 1992 г. Роджер Хит-Браун предположил, что любое n неравное 4 или 5 по модулю 9 имеет бесконечно много представлений в виде сумм трех кубов. Случай n=33 был использован Бьорном Пуненом в качестве вводного примера в обзоре неразрешимых проблем теории чисел, из которых десятая проблема Гильберта является наиболее известным примером.

Однако неизвестно, разрешимо ли представление чисел в виде суммы трех кубов, то есть может ли алгоритм за конечное время проверить существование решения для любого заданного числа. Если гипотеза Хита-Брауна верна, то проблема разрешима, и алгоритм может правильно решить задачу. Исследование Хита-Брауна также включает в себя более точные предположения о том, как далеко алгоритму придется искать, чтобы найти явное представление, а не просто определить, существует ли оно.

Нетривиальное представление 0 в виде суммы трех кубов дало бы контрпример к последней теореме Ферма для степени три: поскольку один из трех кубов будет иметь противоположный к двум другим числам знак, следовательно его отрицание равно сумме этих двух. Таким образом, согласно доказательству Леонарда Эйлера последней теоремы Ферма для степени 3, для 0 существуют только тривиальные решения

Для 1 и 2 существует бесконечное число семейств решений

В 1954 году Миллер и Вуллетт находят представления для 69 чисел от 1 до 100. В 1963 году Гардинер, Лазарус, Штайн исследуют интервал от 0 до 999, они находят представления для многих чисел, кроме 70 чисел, из которых 8 значений меньше 100. В 1992 году Хит-Браун и др. нашли решение для 39. В 1994 году Кояма, используя современные компьютеры, находит решения для еще 16 чисел от 100 до 1000. В 1994 Конн и Вазерштайн — 84 и 960. В 1995 Бремнер — 75 и 600, Люкс — 110, 435, 478. В 1997 Кояма и др. — 5 новых чисел от 100 до 1000. В 1999 Элкис — 30 и еще 10 новых чисел. В 2007 Бек и др. — 52, 195, 588[2]. В 2016 Хёйсман — 74, 606, 830, 966[21].

Благодаря этим поискам в 2016 году оставались неизвестными представления 2 чисел до 100: 33 и 42; и 11 чисел от 100 до 1000: 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975.

Кстати, 42 – это еще и универсальный ответ на главный вопрос Вселенной в романе Дугласа Адамса «Автостопом по галактике». Правда, когда Адамс писал свой роман (в 1979 году), 42 еще не было единственным неразложенным на три куба натуральным числом до ста: ученым не поддавалось еще 33, которое весной 2019 года успешно разложил тот же Эндрю Букер.

Теперь наименьшее неразложенное на три куба число – 114. Среди чисел, которые меньше тысячи, не поддались пытливым умам математиков 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 и 975.

Мнение редакции может не совпадать с мнением автора

В теории чисел довольно часто возникают задачи, которые легко поймет даже семиклассник, однако их решения требуют огромного количества усилий со стороны математиков. Взять, скажем, диофантовы уравнения. По сути, это обычные уравнения, решением которых является набор целых чисел. Школьник понимает, что такое целые числа, и вполне может попытаться решить такую задачу. Но внешняя простота формулировки диофантовых уравнений обманчива. В этом легко убедится каждый, кто дочитает наш текст до конца и сам попробует решить необычное диофантово уравнение. Почему необычное? Потому что сперва вам придется найти его условия в видеоролике от партнера этого блога — сервиса Яндекс.карты. Если вы справитесь, то получите ключ к… Словом, увидите.

Рассмотрим для примера уравнение x² + y² = z². Это теорема Пифагора, а все целые тройки, удовлетворяющие этому уравнению, называются пифагоровыми тройками. Одна из таких троек хорошо известна — это 3, 4 и 5. Удивительно, но все пифагоровы тройки можно параметризовать тройками натуральных чисел m, n (с условием m > n) и k. Тогда тройка задается формулами k(m² − n²), 2kmn, k(m² + n²).

Если при этом написать, казалось бы, похожее уравнение x⁴ + y⁴ = z⁴, то у него уже не будет решений. Это утверждение впервые высказал Пьер Ферма. Он сформулировал общую гипотезу: для n > 2 уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет решений в целых числах. На доказательство этой теоремы ушли сотни лет.

Главное свойство этих задач состоит в том, что они служат своего рода триггером прогресса — решая их, математики разрабатывают методы, которые потом оказываются полезны в совершенно разных областях человеческого знания. Одна из таких задач — представление числа в виде суммы кубов трех чисел. Эта задача является довольно популярным инструментом для обкатки численных методов. Она формулируется так: для данного k найти целые числа x, y, z такие, что x³ + y³ + z³ = k.

Относительно этой задачи существует гипотеза: если при делении k на 9 в остатке получается не 4 или 5, то решение есть и, более того, количество троек решений для таких k бесконечно. Совсем недавно на N + 1 была новость, что эту задачу удалось решить для k = 33. Решение, которое удалось найти, оказалось довольно чудовищного размера:

33 = 8 866 128 975 287 528³ + (−8 778 405 442 862 239)³ + (−2 736 111 468 807 040)³

Совместно с Яндекс.картами мы предлагаем читателям поучаствовать в следующей игре: в рекламном ролике, расположенном ниже, встречается уравнение x³ + y³ + z³ = k. Вам необходимо найти его и узнать, что за k стоит в правой части. 

Вам надо решить это уравнение, и любое из трех найденных решений подойдет в качестве ключа здесь. Дерзайте!

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.