Как найти куб разности формула

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения для разложения на множители куба разности. Также подробно разберем пример решения задачи для закрепления материала.

  • Формула куба разности

  • Доказательство формулы

  • Пример

Формула куба разности

Куб разности a и b равняется кубу a минус утроенное произведение квадрата a на b плюс утроенное произведение квадрата b на a минус куб b.

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Формула работает в обратную сторону:

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Доказательство формулы

Представим куб разности в виде произведения:
(a – b)3 = (a – b)(a – b)(a – b).

Теперь поочередно выполняем перемножение скобок с учетом арифметических правил:
(a – b)(a – b)(a – b) = (a – b)(a – b)2 = (a – b)(a2 – 2ab + b2) = a3 – 2a2b + ab2 – a2b + 2ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

Примечание: при раскрытии скобок использовалась формула квадрата разности:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

Пример

Разложите выражение (4x – 6y)3 на множители.

Решение:
Воспользуемся общей формулой, подставив в нее наши значения:
(4x – 6y)3 = (4x)3 – 3 ⋅ (4x)2 ⋅ 6y + 3 ⋅ 4x ⋅ (6y)2 – (6y)3 = 64x3 – 288x2y + 432xy2 + 216y3

Проверка:
Давайте перемножим три одинаковые скобки:
(4x – 6y)3 = (4x – 6y)(4x – 6y)(4x – 6y) = (4x – 6y)(4x – 6y)2 = (4x – 6y)(16x2 – 48xy + 36y2) = 64x3 – 192x2y + 144xy2 – 96x2y + 288xy2 + 216y3 = 64x3 – 288x2y + 432xy2 + 216y3

Алгебра

7 класс

Урок № 31

Куб суммы. Куб разности

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Формулы сокращённого умножения.
  • Куб суммы. Куб разности.
  • Разложение многочлена на множители.
  • Тождественные преобразования.
  • Вычисление значения числовых выражений.

Тезаурус:

Формулы сокращённого умножения.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b)(a – b) = a2 – b2

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Применение:

  • упрощение умножения многочленов;
  • разложение многочлена на множители;
  • вычисление значения числового выражения;
  • тождественные преобразования.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Куб суммы.

Рассмотрим произведение:

(a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b).

Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:

a3 + 2a2b + b2a + a2b + 2ab2 + b 3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Итак, доказано равенство, которое называют «куб суммы»: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Читается так: «куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, плюс куб второго числа».

Куб разности.

Аналогично докажем формулу «куб разности».

Рассмотрим произведение:

(a – b)3 = (a – b)2(a – b) =(a2 – 2ab + b2)(a – b)

Применив правило умножения многочленов, получим:

a3 – 2a2b + b2a – a2b + 2ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Доказано равенство, которое называют «куб разности»:

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Читается так: «куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, минус куб второго числа».

Формулы суммы и разности кубов часто используют для упрощения выражений.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1.

Найдите куб двучлена:

(a + 3)3 = a3 + 3a2 · 3 + 3a · 32 + 33 = a3 + 9a2 + 27a + 27.

(10 – a)3 =103 – 3 · 102 a + 3 · 10 · a2 – a3 = 1000 – 300a + 30a2 – a3.

Задача 2.

Упростите: x3 + 3x(x + 4) – (x + 2)3

x3 + 3x2 + 12x – (x3 + 6x2 + 12x + 8) =

x3 + 3x2 + 12x – x3 – 6x2 – 12x – 8 =

= -3x2 – 8.

Ответ: -3x2 – 8.

Задача 3.

Решите уравнение:

x3 + 9x2 – (x + 3)3 = 0

x3 + 9x2 – (x3 + 9x2 + 27x + 27) = 0

x3 + 9x2 – x3 – 9x2 – 27x – 27 = 0

-27x = 27

Ответ: х = -1.

Формула куба суммы

Возведем в куб сумму (a+b):

$$ (a+b)^3 = (a+b) (a+b)^2 = (a+b)(a^2+2ab+b^2 ) = $$

$$ = a(a^2+2ab+b^2 )+b(a^2+2ab+b^2 ) = a^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2ab^2+b^3 = $$

$$ = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 $$

Мы получили формулу куба суммы двух выражений:

$$(a+b)^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3$$

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, плюс куб второго выражения.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

$$(2x+3y)^3 = (2x)^3+3cdot(2x)^2cdot3y+3cdot2xcdot(3y)^2+(3y)^3 =$$

$$ = 8x^3+36x^2 y+54xy^2+27y^3 $$

Формула куба разности

Возведем в куб разность (a-b):

$$ (a-b)^3 = (a-b) (a-b)^2 = (a-b)(a^2-2ab+b^2 ) = $$

$$ = a(a^2-2ab+b^2 )-b(a^2-2ab+b^2 ) = a^3-2a^2 b+ab^2-a^2 b+2ab^2-b^3 = $$

$$= a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3$$

Мы получили формулу куба разности двух выражений:

$$ (a-b)^3 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 $$

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, минус куб второго выражения.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

$$(5k-11p)^3 = (5k)^3-3cdot(5k)^2cdot11p+3cdot5kcdot(11p)^2-(11p)^3 =$$

$$= 125k^3-825k^2 p+1815kp^2-1331p^3$$

Внимание!

Не забывайте о втором и третьем слагаемом в формулах куба двучленов!

Не путайте знаки «+» и «-» перед слагаемыми!

Неправильно: $ (a+b)^3$ $a^3+b^3$ или $(a-b)^3$ $a^3-b^3$

Правильно: $(a+b)^3 = a^3+$ $3a^2b+3ab^2$ $+b^3$ и

$(a-b)^3 = a^3 $$-3a^2 b+3ab^2-$ $b^3 $

Примеры

Пример 1. Представьте в виде многочлена

а) $ (x+5)^3 = x^3+3cdot x^2cdot5+3cdot xcdot5^2+5^3 = x^3+15x^2+75x+125$

б) $ (9-z)^3 = 9^3-3cdot9^2cdot z+3cdot9cdot z^2-z^3 = 729-243+27z^2-z^3 $

в) $(5b-3c)^3 = (5b)^3-3cdot(5b)^2cdot3c+3cdot5bcdot(3c)^2-(3c)^3 =$

$= 125b^3-225b^2 c+135bc^2-27c^3$

г) $(2mk+1)^3 = (2mk)^3+3cdot(2mk)^2cdot1+3cdot2mkcdot1^2+1^3 =$

$ = 8m^3 k^3+12m^2 k^2+6mk+1 $

Пример 2. Упростите выражение:

а) $(a+2)^3-(a-2)^3 = a^3+3a^2cdot2+3acdot2^2+2^3-(a^3-3a^2cdot2+3acdot2^2-2^3 )= $

$= 2cdot6a^2-2cdot8 = 12a^2-16 $

б) $(x-3y)^3+9xy(x-3y) = x^3-3x^2cdot3y+3xcdot(3y)^2-27y^3+9x^2 y-27xy^2 =$

$ = x^3-27y^3$

в) $(x+y)^3-x(x-y)^2 = x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x(x^2-2xy+y^2 ) =$

$= x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x^3+2x^2 y-xy^2 = -x^2 y+2xy^2+y^3$

г) $3m(k+3m)^2-(k+3m)^3 = 3m(k^2+6km+9m^2 )-$

$-(k^3+3k^2cdot3m+3kcdot(3m)^2+(3m)^3 ) = 3k^2 m+18km^2+27m^3- $

$-k^3-9k^2 m-27km^2-27m^3 = -6k^2 m-9km^2-k^3 $

Пример 3. Найдите значение выражения:

a) $a^3-b^3-3ab(a-b)$ при a = -7 и b = -17

$a^3-b^3-3ab(a-b) = a^3-b^3-3a^2 b+3ab^2 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 =$

$ = (a-b)^3 $

Подставляем: $(-7-(-17) )^3 = 10^3 = 1000$

б) $3ab(a+b)+a^3+b^3$ при a = -3 и b = 13

$ 3ab(a+b)+a^3+b^3 = 3a^2 b+3ab^2+a^3+b^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 = $

$ = (a+b)^3$

Подставляем: $(-3+13)^3 = 10^3 = 1000$

Пример 4. Решите уравнение:

а) $(3x+1)^3 = 27x^2 (x+1)$

$(3x)^3+3cdot(3x)^2+3cdot3x+1 = 27x^3+27x^2$

$27x^3+27x^2+9x+1 = 27x^3+27x^2$

9x+1 = 0

9x = -1

x=- $frac{1}{9}$

б) $(1-4x)^3+48x^2 (1 frac{1}{3} x-1) = 0$

$1-3cdot4x+3cdot(4x)^2-(4x)^3+48cdot frac{4}{3} x^3-48x^2 = 0 $

$1-12x+48x^2-64x^3+64x^3-48x^2 = 0$

1-12x = 0

12x = 1

$x = frac{1}{12}$

Пример 5*. Дайте геометрическое объяснение формуле куба суммы (аналогично квадрату суммы – см. §21 данного справочника, но для кубов в пространстве).

Пример 5

Рассмотрим куб со стороной (a+b) и вписанный в один из его углов куб со стороной b.

Объемы кубов $V_{a+b} = (a+b)^3,V_b = b^3$ Объем прямоугольного параллелепипеда, закрашенного оранжевым цветом: $V_{ор} = a(a+b)^2$

Объем прямоугольного параллелепипеда, закрашенного синим: $V_{син} = b(a+b)^2$

Получаем: $V_{a+b} = V_{ор}+V_{син}$

$(a+b)^3 = a(a+b)^2+b(a+b)^2 =$

$= a(a^2+2ab+b^2 )+b(a^2+2ab+b^2 ) =$

$= a^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2ab^2+b^3 =$

$= a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3$

Задание. Раскрыть скобки $(2 x y-1)^{3}$

Решение. Решение проведем в два этапа, первый — возведем в куб по определению, то есть
умножим выражение $2 x y-1$ два раза на себя; второй — используя формулу сокращенного умножения «куб разности».

1. По определению:

$(2 x y-1)^{3}=(2 x y-1)(2 x y-1)^{2}=(2 x y-1)left(4 x^{2} y^{2}-4 x y+1right)=$

$=8 x^{3} y^{3}-8 x^{2} y^{2}+2 x y-4 x^{2} y^{2}+4 x y-1=8 x^{3} y^{3}-12 x^{2} y^{2}+6 x y-1$

2. Используя формулу сокращенного умножения:

$(2 x y-1)^{3}=(2 x y)^{3}-3 cdot(2 x y)^{2} cdot 1+3 cdot 2 x y cdot 1^{2}-1^{3}=8 x^{3} y^{3}-12 x^{2} y^{2}+6 x y-1$

Как видно, использование формулы сокращенного умножения упростило решение на
несколько шагов и скоратило вероятность ошибки.

Куб разности

Определение.

Куб разности двух выражений равен кубу первого, минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго выражения, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения и первого выражения, минус куб второго выражения:

(ab)3 = a3 — 3a2b + 3ab2b3

Вывод формулы куба разности

Для доказательства справедливости формулы куба разности достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:

(ab)3 = (ab)·(ab)2 =

= (ab)·(a2 — 2ab + b2) =

= a3 — 2a2b + ab2ba2 + 2b2ab3 =

= a3 — 3a2b + 3ab2b3

Применение формулы куба разности

Формулу куба разности удобно использовать:

  • для раскрытия скобок
  • для упрощения выражений

Примеры задач на применение формулы куба разности

Пример 1.

Раскрыть скобки (x — 3)3.

Решение. Для решения воспользуемся формулой куба разности:

(x — 3)3 = x3 — 3·3·x2 + 3·32·x — 33 =

= x3 — 9x2 + 27x — 27

Пример 2.

Раскрыть скобки (2x — 3y2)3.

Решение. Для решения воспользуемся формулой куба разности:

(2x — 3y2)3 =

= (2x)3 — 3·(2x)2·(3y2) + 3·(2x)·(3y2)2 — (3y2)3 =

= 8x3 — 36x2y2 + 54xy4 — 27y6

Пример 3.

Упростить выражение

27x3 — 27x2 + 9x — 19x2 — 6x + 1

.

Решение:

Можно заметить, что выражение в числителе — это разложенный куб разности, а в знаменателе — квадрат разности

27x3 — 27x2 + 9x — 19x2 — 6x + 1 = (3x — 1)3(3x — 1)2 = 3x — 1

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как найти брата в латвии
  • Как найти счета в банках которые есть
  • Как исправить ответы на якласс ученику
  • Как найти интернет подругу в ватсапе
  • Как найти объем тела опущенного в воду

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии