В статье мы расскажем, как находить значения:
(cos300^°), (sin(-540^°)), (cos 510^°), (sin(-135^°))
и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы.
Как вычисляются синусы и косинусы углов?
Чтобы вычислить косинус и синус некоторого угла нужно:
1. Отложить этот угол на тригонометрическом круге и определить какая точка соответствует этому углу;
2. Найти абсциссу и ординату этой точки. Косинус угла равен — абсциссе, а синус угла — ординате.
Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла (30^°). Отложим на круге угол в (30^°) и найдем какая точка соответствует этому углу.
Если построить все точно, то видно, что абсцисса точки равна (0,866)… , что равно числу (frac{sqrt{3}}{2}) , а ордината равна (0,5), то есть (frac{1}{2}).
Получается, (cos 30^° = frac{sqrt{3}}{2}), а (sin30^° =frac{1}{2}).
Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:
В тригонометрии ось абсцисс (ось x) часто называют «ось косинусов», а ординат (ось y) – «ось синусов».
Обычно на осях не отмечают (0,1); (0,2); (0,3) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: (±frac{1}{2}=±0,5); (±frac{sqrt{2}}{2} ≈±0,707); (±frac{sqrt{3}}{2} ≈±0,866).
Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.
Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?
Для этого нужно знать несколько фактов:
- Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;
-
Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;
-
Градусная мера окружности равна (360^°), полуокружности (180^°), а четверти (90^°);
-
Углы в (0^°), (30^°), (45^°) и (60^°) выглядят так:
- Одна точка может соответствовать разным углам;
- Угол может быть больше (360^°). В этом случае он просто сделает полный оборот и пойдет дальше. Фактически, можно (360^°) просто отбросить и откладывать тот угол, который останется – в итоге вы всё равно окажетесь в той же точке.
Пример. Отметьте угол в (90^° ) и (-90^°).
Решение:
Пример. Отметьте угол в (225^° ) и (-135^°).
Решение: (225^°=180^°+45^°)
(-135^°=-90^°-45^°)
Пример. Отметьте угол в (420^° ) и (-390^°).
Решение: (420^°=360^°+60^°)
(-390^°=-360^°-30^°)
Задание 1. Отметьте на окружности точки соответствующие углам: (720^°), (225^°), (300^°), (870^°), (900^°), (-330^°), (-630^°), (-210^°).
Как находить синус и косинус любого угла?
Простой алгоритм:
- Начертите тригонометрический круг и оси косинусов и синусов (не обязательно рисовать прям аккуратно, как на картинке ниже, можно и некрасиво – главное не запутаться какая точка к какому значению относится).
- Отложите на круге угол, синус и косинус которого надо найти, и определите точку на круге, соответствующую этому углу.
- Найдите координаты точки, используя картинку ниже.
Пример. Вычислите (sin300^°) и (cos300^°) .
Решение: (300^°=360^°-60^°)
(cos 300^°=frac{1}{2}), (sin{300^°}=-frac{sqrt{3}}{2}).
Пример . Вычислите (sin(-540^°)) и (cos(-540^°)) .
Решение. (-540^°=-360^°-180^°).
(-540^°) на тригонометрическом круге совпадает с (-1) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: ((-1;0)). Значит, (cos(-540^°)=-1), а (sin(-540^° )=0).
Да, имея перед глазами тригонометрический круг, вычислять синусы и косинусы любых углов легко. Возможно, у вас возник вопрос: «а что делать, если круга нет? Как делать такие вычисления на ЕГЭ?». Ответ очевиден – нарисовать круг самому! Для этого надо понять, как располагаются значения на нем. Подробную методику того, как это делается я рассказывала в этой статье.
Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).
Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ
В двух следующих примерах я специально рисовала круг от руки, чтобы вы увидели, как выглядят реальные решения.
Пример . Найдите значение выражения (-18sqrt{2}sin(-135^°)).
Решение. (-135^°=-90^°-45^°)
Получается (-18sqrt{2} sin(-135^° )=-18sqrt{2}cdot-frac{sqrt{2}}{2}=frac{18cdotsqrt{2}cdotsqrt{2}}{2}=9cdot 2=18.)
Ответ: (18).
Пример . Найдите значение выражения (54sqrt{3}cos(510^°)).
Решение. (510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.)
(54sqrt{3}cos(510^°)=54sqrt{3}cdot(-frac{sqrt{3}}{2})=-frac{54cdot sqrt{3}cdot sqrt{3}}{2}=-27cdot 3=-81.)
Ответ: (-81).
Смотрите также:
Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы? Из градусов в радианы и наборот
Тригонометрическая таблица с кругом
Почему в тригонометрической таблице такие числа?
Для тех кто хочет закрепить знания:
Задание на вычисление синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов
Содержание
- — Как рассчитать косинус?
- — Чему равен косинус?
- — Как найти грех 75 без калькулятора?
- — Как найти косинус на калькуляторе?
- — Sin Cos Tan?
- — Как научиться тригонометрии?
Как рассчитать косинус?
В любом прямоугольном треугольнике косинус угла равен длина прилегающей стороны (A), деленная на длину гипотенузы (H). В формуле он записывается просто как «cos».
Чему равен косинус?
Определение косинуса
Косинус угла определяется как синус дополнительного угла. Дополнительный угол равен заданному углу, вычтенному из прямого угла, 90 °. … cos θ = sin (90 ° — θ). Если записать в радианах, то это тождество становится. cos θ = sin (π / 2 — θ).
Как найти грех 75 без калькулятора?
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B, мы можем найти синус (45° + 30°) дать синус 75 градусов.
Как найти косинус на калькуляторе?
Нажмите кнопку «2nd», а затем нажмите «Cos. »Ваш калькулятор должен отображать« cos »с отрицательным 1 для показателя степени и открытыми скобками. Введите коэффициент косинуса. Это длина смежной стороны, деленная на длину гипотенузы. Например, используйте 1/2.
Sin Cos Tan?
Тангенс x определяется как его синус, деленный на его косинус: загар х = грех х соз х . Котангенс x определяется как косинус x, деленный на синус x: cot x = cos x sin x.
Как научиться тригонометрии?
Изучите тригонометрию за 5 шагов
- Шаг 1. Просмотрите все свои основы.
- Шаг 2: Начните с прямоугольных треугольников. …
- Пример: Прямой угол имеет две стороны 5 см и 3 см. Находим гипотенузу.
- Решение: Дано напротив = 5 см, а рядом = 3 см.
- Используя теорему Пифагора. …
- Шаг 4: Изучите другую важную функцию тригонометрии.
Интересные материалы:
Планшет Самсунг заряжается быстро?
Плохо быть девственницей?
Плохо, если девушке с тобой комфортно?
Плохо ли брать машину в путешествие?
Плохо ли держать зажигалку зажженной 30 секунд?
Плохо ли ехать на машине?
Плохо ли ездить на лошадях?
Плохо ли напугать человека?
Плохо ли оставлять электронику в холоде?
Плохо ли оставлять вентилятор в ванной включенным?
Trigonometry is known as the branch of mathematics that deals with certain measurements of triangular regions. A common application of trigonometry is the measurement of the sides and angles of a triangle. For this, we use some trigonometric functions of acute angles. These functions are defined as certain ratios of a right-angled triangle containing the angle. The values of trigonometric ratios of certain angles, called standard angles, can be obtained geometrically. These angles are 0°, 30° or π/6, 45° or π/4, 60° or π/3 and 90° or π/2.
Trigonometric Identities
In mathematics, trigonometric identities are equalities that involve trigonometric functions and are true for each value of the occurring variables that each side of the equality is defined.
Co-function Identities
- sin θ = cos(90° – θ)
- sec θ = cosec(90° – θ)
- tan θ = cot(90° – θ)
Supplement Angle Identities
- sin(π – θ) = sin θ.
- cos(π – θ) = -cos θ
- tan(π – θ) = – tan θ
- cosec(π – θ) = cosec θ
- sec(π – θ) = -sec θ
- cot(π – θ) = -cot θ
Values of Trigonometric Ratios of 45°.
Let ABC be a right-angled isosceles triangle in which ∠ABC = 90° and AB = BC. From geometry, ∠ABC = ∠BAC = 45°.
If BC = k then AB = k.
∴ AB2 + BC2 = AC2 (By Pythagoras Theorem)
∴ k2 + k2 = AC2, or AC2 =2k2.
∴ AC = √2 k.
Now, sin 45° = sin C= p/h = AB/AC = k/√2 k = 1/√2
cos 45° = cos C = b/h = BC/AC = k/√2 k = 1/√2
tan 45°= tan C= p/b = AB/BC = k/ k = 1
cosec, sec, cot being the reciprocal of sin, cos, tan respectively will have just the reciprocal values as follows cosec 45°= √2 ,
sec 45° = √2 and cot 45° = 1.
Values of Trigonometric Ratios of 30° and 60°
Let ABC be an equilateral triangle whose each side is k. By geometry, each angle of the triangle = 60°. Let AD⊥BC. From geometry, AD bisects ∠BAC and it also bisects the side BC.
∴ ∠CAD = ∠BAD = 30° and CD = BD = k/2.
In the right-angled △ADC,
AD2 + DC2 = AC2
AD + k2/2 = k2 OR AD = k2 – k2/4 = 3k2/4.
AD = √3k/2.
sin 30° = sin∠CAD = p/h = CD/AC = (k/2)/k = 1/2
cos 30° = cos∠CAD = b/h = AD/AC = (√3k/2)/k = √3/2
tan 30° = tan∠CAD = p/b = CD/AD = (k/2)/(√3k/2) = 1/√3
As shown earlier, cosec 30°, sec 30°, cot 30° being the reciprocal of sin, cos, tan respectively will have just the reciprocal values.
sin 60° = sin∠CAD = p/h = AD/AC = (√3k/2)/k = √3/2
cos 60° = cos∠CAD = b/h = CD/AC = (k/2)/k =1/2
tan 60° = tan∠CAD = p/b = AD/CD = (√3k/2)/(k/2) = √3
Also, cosec 60°, sec 60°, cot 60° being the reciprocal of sin, cos, tan respectively will have just the reciprocal values.
Values of Trigonometric Ratios of 0° and 90°
In a right-angled triangle the measure of no angle can be 0°, and neither can there be another angle of 90°. As we have seen, the triangle ratios of θ (when 0° < θ < 90°) can be obtained from their definitions. The values of trigonometric ratios turn out as follows.
sin 90°= 0, cos 0° = 1, tan 0° = 0, sec 0° = 1,
sin 90° = 1, cos 90° = 0, cot 90° = 0, sec 90° = 1.
Other trigonometric ratios of 0° and 90° are not defined.
Tabulated values
|
Angles or Ratios |
0° |
30° or π/6 |
45° or π/4 |
60° or π/3 |
90° or π/2 |
| sin | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| tan | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | Not defined |
| cosec | Not defined | 2 | √2 | 2/√3 | 1 |
| sec | 1 | 2/√3 | √2 | 3 | Not defined |
| cot | Not defined | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
How to evaluate trigonometry functions without a calculator?
As known, there are four quadrants in trigonometry, the first quadrant being all positive trigonometric values, the second quadrant is where only sine and cosec are positive, in the third quadrant only tan and cot are positive, and in the fourth one cosine and sec are positive. (Go Anti-clockwise from Right-hand Top).
The above given trigonometric ratios of standard values, as well as the trigonometric identities, will help us to find an angle in trigonometry without a calculator. If sin 150° is given to find out, we can write or elaborate this as,
Steps
- Simplify sin 150° into sin(90° + 60°).
- Further, we can say sin((1 × 90°) + 60°)
- Now as we have an odd coefficient of 90°, sin changes to cos.
- Also, it is covering 90° in the first quadrant and again added 60° leads to the second quadrant. In the second quadrant, we know sine is positive.
- The final result will be cos 60°.
Note The standard values should be memorized.
Sample Problems
Question 1: Find tan 135° without using a calculator.
Solution:
tan 135° = tan(90° + 45°) = tan((1 × 90°) + 45°) = -cot 45° = -1.
Explanation As here too, an odd coefficient of 90° is present, so tan changes to the cot, and also it’s coming to be in the second quadrant where only sine and cosine are positive and rest all are negative. Hence the result of tan 135° = – cot 45° = -1.
Remember If the coefficient of 90° is odd, sine changes to cos, tan changes to cot, sec changes to cosec. If the coefficient of 90° is even, the function remains as it is and depending on the quadrant, the sign (+ or -) will appear.
Another way to solve, knowing the formulas of addition and subtraction identities such as sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) and cos(x + y) = cos(x) cos (y) – sin(x) sin(y).
Question 2: Find cos 330°.
Solution:
cos(270° + 60°) = (cos 270° × cos 60°) – (sin 270°× sin 60°) = {cos(90° × 3) × 1/2} – {sin(90° × 3) × √3/2}
= (-sin 0° × 1/2 ) – (-cos 0°× √3/2) = 0 + √3/2 = √3/2 = 0.866
Question 3: Find sec 120°.
Solution:
sec 120° = sec(90° + 30°) = -cosec 30° = -2.
Explanation Here, an odd coefficient of 90° is present, so sec changes to cosec, and also it’s coming to be in the second quadrant where only sine and cosec are positive and rest all are negative. Hence, -cosec 30° is obtained.
Question 4: Find sin 390°.
Solution:
sin 390° = sin(4 × 90° + 30°) = -sin 30° = -1/2 = -0.5 .
Explanation Here, even a coefficient of 90° is present, so sin remains as it is and it’s coming to be in the fourth quadrant where only sec and cos are positive and the rest all are negative. Hence, we get -sin 30°.
Question 5: Find cot 150°.
Solution:
cot 150° = cot(2 × 90° – 30°) = -cot 30° = -√3.
Explanation Here, even a coefficient of 90° is present, so cot remains as it is and it’s coming to be in the second quadrant where only sin and cosec are positive and the rest all are negative. Hence, we get -cot 30°.
Как посчитать синусы и косинусы углов
Привет всем знайкам и незнайкам тоже! Кто может рассказать нормальный способ, который легко понять и запомнить, которым можно посчитать косинусы и синусы углов, хотя бы для простых углов без таблицы Брадиса?
Я не знаю такого способа. Есть основные табличные значения этих функций их нужно выучить
а зная, что функция синус и косинус периодические, можно понять, что эти значения будут повторяться через пи.
Табличные значения проще запомнить с помощью окружности.
Совсем недавно узнала новый способ запоминания табличных значений функций синус и косинус. Рассмотрим на примере синуса. Каждой ячейке присвойте порядковый номер, начиная с нуля:
N = 0, 1, 2, 3, 4. Чтобы найти значение функции синус нужно использовать выражение √ N/2
при угле в ноль градусов N = 0 √N/2 = 0
при угле в 30 градусов N = 1 √N/2 = √1/2 = 1/2
и так далее. Для косинуса все считается наоборот.
Признаюсь как на духу, что первый раз слышу об этом способе. Действительно, используя его, очень просто запомнить табличные значения функций синусов и косинусов.
Как вот это посчитать без калькулятора? Вообще как по формулам высчитывать косинусы, синусы и тангенсы?
знать наизусть или уметь выводить нужно те. которые называются ТАБЛИЧНЫЕ.
для остальных — хватит уже ханжеством=дурью маяться и запрещать калькуляторами пользоваться — брать в в таблицах или техникой пользоваться по назначению.
ваш пример. скорее всего на решение тр-ка и требует нахождения второй стороны по теореме синусов.
непонятно. почему правая часть вверх тормашками.
но синус 65=0, 9063 синус 75=0.9659
5 секунд. из которых 4 на набор цифири. 
Как узнать sin18 без калькулятора?
Например, использовать формулу разложения синуса в ряд Тейлора:
Собственно, по этому принципу вычисляются тригонометрические функции и в калькуляторе. Чем выше нужна точность, тем больше элементов ряда учитывается.
Могу рассказать чисто школьный метод, то есть без надобности в калькуляторе.
Но кое-что всё же понадобится. А именно транспортир, хотя можно и без него, но точность будет меньше. Ещё понадобится линейка.
Что такое синус? Это отношение катета, противолежащего углу, к гипотенузе.
Угол 18′ — это наш угол.
Строим этот угол с помощью транспортира. Линии, от него отходящие заканчиваем наравне, чтобы получился прямой угол. И соединяем эти две точки. Получается треугольник с прямым углом.
Наклонённый под 18′ отрезок — это гипотенуза.
Вертикальный отрезок — это противолежащий катет, а горизонтальный — прилежащий.
Измеряем линейкой длину гипотенузы и противолежащего катета.
Делим длину противолежащего катета на длину гипотенузы и получаем искомый Sin 18′.
Если вдруг нет транспортира, то находим 18′ через среднее арифметическое. То есть сначала откладываем на глаз 45′, а это сделать легко, так как 45 градусов ровно посередине между горизонтальной и вертикальной линией. Затем находим примерно 15′, поделив расстояние между 45′ и 0′ на три равные части, которые будут разделяться линиями в 15 и 30 градусов. Затем берём немного выше 15′.Это и будет примерно 18′.
Если же нет линейки, то тогда откладывайте линии на тетрадном листке в клетку, а затем считайте, сколько клеток составляет сторона. Чтобы посчитать количество клеток в гипотенузе (она располагается не параллельно графам клеток), приложите к её линии край второго листка в клетку, и посчитайте количество клеток.
Ну вот примерно так, как высчитывали сто лет назад, когда никаких калькуляторов не существовало.. .
1. Перевести угол в первую осьмушку, т. е. в интервал от 0 до 45 градусов. Если угол между 45 и 90, то косинус такого угла равен синусу дополнительного, то ест опять же приходим к интервалу от 0 до 45. А косинус и синус связаны соотношением тригонометрической единицы.
2. Переводим угол в радианную меру — получится число между 0 и пи/4.
3. По разложению в ряд Маклорена (увы… ) считаем косинус с нужной точностью.
Можно несоклько снизить объём и сложность вычислений, если воспользоваться формулами функция для половинного угла. Тогда интервал, в который приводится исходный угол, — это даже не 45, а 22,5 градуса. Существенно снижается число членов ряда Маклорена для достижения нужной точности.