Тема 3.
Квадратный трёхчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители.
Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax2 + bx + c, где x — переменная, a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0.
Если x = 2, то 2x2 — 5x — 3 = 2 ∙ 22 — 5 ∙ 2 — 3 = -5
Если x = -5, то 2x2 — 5x — 3 = 2 ∙ (-5)2 — 5 ∙ (-5) — 3 = 72
Если x = 3, то 2x2 — 5x — 3 = 2 ∙ 32 — 5 ∙ 3 — 3 = 0
Корень квадратного трёхчлена – это значение переменной, при котором значение квадратного трёхчлена равно 0.
Чтобы найти корни квадратного трёхчлена ax2 + bx + c, необходимо решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0.
2x2 — 5x — 3 = 0
D = 25 — 4 ∙ 2 ∙ -3 = 49
x1=5+74=3
x1=5-74=-0,5
Ответ: -0,5; 3
Количество корней зависит от дискриминанта.
Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет 2 корня;
Если D = 0, то квадратный трехчлен имеет 1 корень;
Если же D < 0, то квадратный трехчлен не имеет корней.
При решении задач иногда удобно выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена.
Например, выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена x2 – 6x – 2.
Вспомним формулы сокращенного умножения:
- a+b2=a2+2ab+b2
- a-b2=a2-2ab+b2
x2-6x-2=x2-6x+9-9-2=x-32-11
При решении уравнений, неравенств удобно, когда квадратный трёхчлен представлен в виде произведения множителей, например
-2×2+14x-20=-2×2-7x+10=-2×2-2x-5x+10=-2xx-2-5x-2=-2x-2x-5
х = 2 и х = 5 – корни квадратного трехчлена.
Таким образом, ax2+bx+c=ax-x1x-x2,
где x1, x2— корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c.
Разложить на множители 3×2+5x-2
3×2+5x-2=0
D=52-4∙3∙-2=49
x1=-5+76=26=13
x2=-5-76=-126=-2
3×2+5x-2=3x-13x—2
3×2+5x-2=3x-1x+2
Квадратным трехчленом называется многочлен вида (ax^2 + bx + c), где (x) – переменная, (a, b, c) – некоторые числа, причем (a ≠ 0).
Числа (a,b,c) называются коэффициентами. Число (a) называется старшим коэффициентом, число (b) – коэффициентом при (x), а число (c) называют свободным членом.
Корнем квадратного трехчлена (ax^2 +bx+c) называют любое значение переменной (x), такое, что квадратный трехчлен (ax^2 +bx+c) обращается в нуль.
Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена, необходимо решить квадратное уравнение вида (ax^2 +bx+c =0).
Нахождение корней квадратного трехчлена
1 способ. Нахождение корней квадратного трехчлена по формуле.
- Найти значение дискриминанта по формуле (D =b^2-4ac).
- В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:
a) если (D>0), то квадратный трехчлен имеет два корня: (x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a}; x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a};)
b) если (D=0), то квадратный трехчлен имеет один корень: (x=-frac{b}{2a};)
c) если (D<0), то квадратный трехчлен не имеет корней.
2 способ. Нахождение корней квадратного трехчлена выделением полного квадрата.
Рассмотрим на примере приведенного квадратного трехчлена. Приведенное квадратное уравнение – уравнение, у которого на старший коэффициент равен единице.
Найдем корни квадратного трехчлена (x^2-4x-60). Для этого решим следующее квадратное уравнение: (x^2-4x-60=0).
Выделим полный квадрат из трехчлена, стоящего в левой части уравнения:
((x^2-2cdot xcdot2+2^2)-2^2-60=0 \(x-2)^2-64=0 \(x-2)^2-8^2=0.)
Левую часть уравнения разложим на множители по формуле разности квадратов:
((x-2-8)(x-2+8)=0 \(x-10)(x+6)=0.)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:
(x-10=0; x+6=0 \x=10; x=-6)
Ответ: –6; 10.
Квадратный трехчлен – это многочлен вида (ax^2+bx+c) ((a≠0)).
Пример:
(x^2-2x+1)
(3x^2-5x+6)
Почему его называют именно так? Потому что, наибольшая степень у него – квадрат, а состоит он из трех слагаемых (одночленов). Вот и получается – квадратный трехчлен.
Примеры не квадратных трехчленов:
(x^3-3x^2-5x+6) — кубический четырёхчлен
(2x+1) — линейный двучлен
Корень квадратного трехчлена:
Значение переменной (x), при котором квадратный трехчлен обращается в ноль, называют его корнем.
Пример:
У трехчлена (x^2-2x+1) корень (1), потому что (1^2-2·1+1=0)
У трехчлена (x^2+2x-3) корни (1) и (-3), потому что (1^2+2-3=0) и ((-3)^2-6-3=9-9=0)
Например: если нужно найти корни для квадратного трехчлена (x^2-2x+1), приравняем его к нулю и решим уравнение (x^2-2x+1=0).
(D=4-4cdot1=0)
(x=frac{2-0}{2}=frac{2}{2}=1)
Готово. Корень равен (1).
Разложение квадратного трёхчлена на множители:
Квадратный трехчлен (ax^2+bx+c) можно разложить как (a(x-x_1 )(x-x_2)), если дискриминант уравнения (ax^2+bx+c=0) больше нуля (x_1) и (x_2) — корни того же уравнения).
Например, рассмотрим трехчлен (3x^2+13x-10).
У квадратного уравнения (3x^2+13x-10=0) дискриминант равен 289 (больше нуля), а корни равны (-5) и (frac{2}{3}). Поэтому (3x^2+13x-10=3(x+5)(x-frac{2}{3})). В верности этого утверждения легко убедится – если мы раскроем скобки, то получим исходный трехчлен.
Квадратный трехчлен (ax^2+bx+c) можно представить как (a(x-x_1)^2), если дискриминант уравнения (ax^2+bx+c=0) равен нулю.
Например, рассмотрим трехчлен (x^2+6x+9).
У квадратного уравнения (x^2+6x+9=0) дискриминант равен (0), а единственный корень равен (-3). Значит, (x^2+6x+9=(x+3)^2) (здесь коэффициент (a=1), поэтому перед скобкой не пишется – незачем). Обратите внимание, что тоже самое преобразование можно сделать и по формулам сокращенного умножения.
Квадратный трехчлен (ax^2+bx+c) не раскладывается на множители, если дискриминант уравнения (ax^2+bx+c=0) меньше нуля.
Например, у трехчленов (x^2+x+4) и (-5x^2+2x-1) – дискриминант меньше нуля. Поэтому разложить их на множители невозможно.
Пример. Разложите на множители (2x^2-11x+12).
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения (2x^2-11x+12=0)
(D=11^2-4 cdot 2 cdot 12=121-96=25>0)
(x_1=frac{11-5}{4}=1,5;) (x_2=frac{11+5}{4}=4.)
Значит, (2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4))
Ответ: (2(x-1,5)(x-4))
Полученный ответ, может быть, записать по-другому: ((2x-3)(x-4)).
Пример. (Задание из ОГЭ) Квадратный трехчлен разложен на множители (5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)). Найдите (a).
Решение:
(5x^2+33x+40=0)
(D=33^2-4 cdot 5 cdot 40=1089-800=289=17^2)
(x_1=frac{-33-17}{10}=-5)
(x_2=frac{-33+17}{10}=-1,6)
(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6))
Ответ: (-1,6)
Смотрите также:
Квадратный трехчлен (шпаргалка)
Квадратный трехчлен – это многочлен вида: ax² + bx + c, где a, b и c – коэффициенты, причем a ≠ 0. Корни квадратного трехчлена – это значения х, при которых многочлен равен нулю.
Формула
Формула для нахождения корней квадратного трехчлена называется формулой квадратного корня.
Если уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, то корни можно найти по формуле:
x = (-b ± √(b² — 4ac)) / 2a
Здесь √ обозначает знак квадратного корня. Если под знаком корня находится отрицательное число, то уравнение не имеет действительных корней.
Разложение на множители
Разложение квадратного трехчлена на множители – это представление квадратного трехчлена в виде произведения двух линейных множителей. Если квадратный трехчлен имеет вид ax² + bx + c, то его можно разложить на множители в виде (mx + n)(px + q), где m, n, p и q – коэффициенты, которые нужно найти.
Существуют различные методы для нахождения этих коэффициентов. Один из таких способов исследования – метод группировки. Он заключается в том, что нужно разложить линейный член bx на два таких числа, чтобы при перемножении получился последний член c. Затем нужно сгруппировать первые два члена и последние два члена и вынести общий множитель. В результате получится выражение вида (mx + n)(px + q).
Если квадратный трехчлен имеет действительные корни, то его можно разложить на множители следующим образом:
ax² + bx + c = a(x — x₁)(x — x₂),
где x₁ и x₂ — корни уравнения ax² + bx + c = 0, найденные по формуле Квадратного корня.
Применение
Методом разложения квадратного трехчлена на множители решаются квадратные уравнения. Когда квадратный трехчлен раскладывается на множители, уравнение преобразовывается в произведение двух линейных множителей равным нулю. Таким образом, уравнение сводится к двум линейным уравнениям, которые решаются с помощью элементарных методов.
Еще одним примером применения разложения квадратного трехчлена на множители является нахождение вершин и осей симметрии параболы. Квадратный трехчлен записываем в виде a(x — h)² + k, где (h, k) – координаты вершины параболы. Коэффициент a определяет открытость параболы, а ось симметрии параболы проходит через вершину и параллельна оси x.
Также методом разложения на множители решаются задачи на максимум и минимум функции. В этом случае необходимо найти максимальное или минимальное значение функции, которое достигается в определенной точке. Эту точку находим, используя координаты вершины параболы, которая является графиком квадратного трехчлена.
Поделиться статьей в соцсетях
Квадратный трехчлен. Корень квадратного трехчлена
Квадратным трехчленом называют трехчлен вида ax2 +bx+c, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x – переменная. Причем a ≠ 0
Числа a,b,c называются коэффициентами. Число а – называется старшим коэффициентом, число b коэффициентом при х, а число с называют свободным членом.
Корнем квадратного трехчлена ax2 +bx+c называют любое значение переменной х, такое, что квадратный трехчлен ax2 +bx+c обращается в нуль.
Для того, чтобы найти корни квадратного трехчлена необходимо решить квадратное уравнение вида ax2 +bx+c =0.
Как найти корни квадратного трехчлена
1 способ.
Нахождение корней квадратного трехчлена по формуле.
1. Найти значение дискриминанта по формуле D =b2-4ac.
2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:
Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня:
Если D<0, то квадратный трехчлен имеет один корень:
Если дискриминант отрицателен, то квадратный трехчлен не имеет корней.
2 способ.
Нахождение корней квадратного трехчлена выделением полного квадрата. Рассмотрим на примере приведенного квадратного трехчлена. Приведенное квадратное уравнение, уравнение у которого на старший коэффициент равен единице.
Найдем корни квадратного трехчлена x2+2x-3. Для этого решим следующее квадратное уравнение: x2+2x-3=0;
Преобразуем это уравнение:
x2+2x=3;
В левой части уравнения стоит многочлен x2+2x, для того чтобы представить его в виде квадрата суммы нам необходимо чтобы там был еще один коэффициент равный 1. Добавим и вычтем из этого выражения 1, получим:
(x2+2x+1) -1=3
То, что в скобках можно представить в виде квадрата двучлена
(x+1)2 -1=3;
(x+1)2 = 4;
Данное уравнение распадается на два случая либо x+1=2 , либо х+1=-2.
В первом случае получаем ответ х=1, а во втором, х=-3.
Ответ: х=1, х=-3.
В результате преобразований нам необходимо получить в левой части квадрат двучлена, а в правой части некоторое число. В правой части не должна содержаться переменная.
Вопросы к конспектам
Найдите сумму квадратов уравнения: 4х = 3x2 + 1.
Найти корень уравнения: (x – 5)2— x2 = 3.
Найти корень уравнения: 2x3 + 8х = x2 + 4.
Найти корни квадратного трехчлена 3х2–2x–5.
Найти корни квадратного трехчлена 3x2+2x-8.
Найти корни квадратного трехчлена x2-13x+12.
Найти корни уравнения: (3х – 1)(х + 4) = 0.
Не решая уравнений, укажите какие из них, имеют корни с противоположными знаками.
1) x2 — 4,5x + 2 = 0;
2) 3x2 + 8x — 3 = 0;
3) 3x2 + 7x — 3 = 0;
4) x2 — 7x + 10 = 0;
5) x2 — 3x — 18 = 0.
Решите уравнение x2— 4x+3 = 0.
Указать промежуток, содержащий все корни квадратного уравнения x2 + 1,5 x — 1 = 0.