Как найти корень уравнения третьей степени - Avtoru.top

Загрузить PDF

В кубическом уравнении наивысшим показателем степени является 3, у такого уравнения 3 корня (решения) и оно имеет вид $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ . Некоторые кубические уравнения не так просто решить, но если применить правильный метод (при хорошей теоретической подготовке), можно найти корни даже самого сложного кубического уравнения — для этого воспользуйтесь формулой для решения квадратного уравнения, найдите целые корни или вычислите дискриминант.

1
2
3

Разложите на множители (на произведение двух биномов) квадратное уравнение (если возможно). Многие квадратные уравнения вида $ax^{2}+bx+c=0$ можно разложить на множители. Такое уравнение получится, если вынести за скобки. В нашем примере:^[4]
4
5

Используйте ноль и корни квадратного уравнения в качестве решений кубического уравнения. У квадратных уравнений два корня, а у кубических — три. Два решения вы уже нашли — это корни квадратного уравнения. Если же вы вынесли «х» за скобки, третьим решением будет .^[6]

Реклама

1
2
3
Разделите каждый множитель на каждый множитель . В итоге получится множество дробей и несколько целых чисел; корнями кубического уравнения будет одно из целых чисел или отрицательное значение одного из целых чисел.^[9]
- В нашем примере разделите множители (1 и 2) на множители (1, 2, 3 и 6). Вы получите: , ${frac {1}{2}}$ , ${frac {1}{3}}$ , ${frac {1}{6}}$ , и ${frac {2}{3}}$ . Теперь в этот список добавьте отрицательные значения полученных дробей и чисел: , , ${frac {1}{2}}$ , $-{frac {1}{2}}$ , ${frac {1}{3}}$ , $-{frac {1}{3}}$ , ${frac {1}{6}}$ , $-{frac {1}{6}}$ , , , ${frac {2}{3}}$ и $-{frac {2}{3}}$ . Целыми корнями кубического уравнения являются какие-то числа из этого списка.
4

Подставьте целые числа в кубическое уравнение. Если при этом равенство соблюдается, подставленное число является корнем уравнения. Например, подставьте в уравнение :^[10]
5

Реклама

1
2

Вычислите нулевой дискриминант по специальной формуле. Чтобы решить кубическое уравнение с помощью дискриминанта, нужно произвести ряд непростых вычислений, но если правильно выполнять все действия, этот метод станет незаменимым для решения наиболее сложных кубических уравнений. Сначала вычислите $Delta _{0}$ (нулевой дискриминант) — это первая необходимая нам величина; для этого подставьте соответствующие значения в формулу $Delta _{0}=b^{2}-3ac$ .^[13]
3

Вычислите первый дискриминант по формуле $Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d$ . Первый дискриминант $Delta _{1}$ — это вторая важная величина; чтобы ее вычислить, подставьте соответствующие значения в указанную формулу.^[14]
4
5
6

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 410 300 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Кубическое уравнение – уравнение вида [{large{ax^3+bx^2+cx+d=0}},]

где (ane 0, b, c, d) – некоторые числа.

Кубическое уравнение всегда имеет как минимум один корень (x_1).
Значит, всегда выполнено: (ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)), где (m, n) – некоторые числа.

({color{red}{I.}}) Кубические уравнения вида [x^3=a]

для любого числа (a) имеют единственный корень

[x=sqrt[3]a]

Пример.

Решением уравнения (x^3=-8) является (x=sqrt[3]{-8}=-2).

({color{red}{II.}}) Кубические уравнения вида (ax^3+bx^2+cx+d=0) в некоторых случаях можно решить, разложив на множители левую часть.

Пример.

Решить уравнение (5x^3-x^2-20x+4=0).

Сгруппируем слагаемые в левой части и разложим ее на множители: [(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 quad Leftrightarrow quad 5x(x^2-4)-(x^2-4)=0 quad
Leftrightarrow quad (x^2-4)(5x-1)=0]

Тогда корнями данного уравнения являются (x_1=-2, x_2=2,
x_3=frac15).

В некоторых задачах полезными могут оказаться формулы сокращенного умножения:

[begin{aligned}
&(xpm y)^3=x^3pm3x^2y+3xy^2pm y^3\
&x^3pm y^3=(xpm y)(x^2mp xy+y^2) end{aligned}]

({color{red}{III.}}) Кубические уравнения вида (ax^3+bx^2+cx+d=0), в которых не удается разложить левую часть на множители, можно решить другим способом: подобрать рациональный корень, если таковой имеется.

Для этого можно использовать следующие утверждения:

(blacktriangleright) Если сумма (a+b+c+d=0), то корнем уравнения является число (1).

(blacktriangleright) Если (b+d=a+c), то корнем уравнения является число (-1).

(blacktriangleright) Пусть (a,b,c,d) – ({color{blue}{text{целые}}}) числа. Тогда если уравнение имеет рациональный корень (large{dfrac{p}{q}}), то для него будет выполнено:

(d) делится нацело на (p); (a) делится нацело на (q).

Пример.

1. У уравнения (7x^3+3x^2-x-9=0) сумма коэффициентов равна (7+3-1-9=0), значит, (x=1) является корнем (не обязательно единственным) этого уравнения.

2. У уравнения (4,5x^3-3x^2-0,5x+7=0) выполнено: (4,5-0,5=-3+7), значит, (x=-1) является корнем этого уравнения.

3. У уравнения (2x^3+5x^2+3x-3=0) коэффициенты — целые числа, поэтому можно подбирать корень: делители свободного члена (-3) : (pm 1, pm 3); делители старшего коэффициента (2): (pm1, pm2). Значит, возможные комбинации рациональных корней: [pm 1, pmdfrac12, pm 3, pm dfrac32]

Подставляя по очереди каждое число в уравнение, убеждаемся, что (x=frac12) является корнем (т.к. после подстановки этого числа в уравнение оно превращается в верное равенство):

[2cdot left(frac12right)^3+5cdot left(frac12right)^2+3cdot
frac12-3=0 quad Leftrightarrow quad 0=0]

Заметим, что если у уравнения коэффициенты — рациональные числа, то домножением уравнения на их общих знаменатель можно получить равносильное ему уравнение с целыми коэффициентами. Например, уравнение (frac12x^3+frac16x+2=0) после умножения на (6) сводится к уравнению с целыми коэффициентами: (3x^3+x+12=0).

Источник

Решение кубических уравнений

Здесь мы рассматриваем решение кубических уравнений вида
(1) .
Далее считаем, что – это действительные числа.

Если исходное уравнение имеет вид:
(2) ,
то разделив его на , получаем уравнение вида (1) с коэффициентами
.

Уравнение (1) имеет три корня: , и . Один из корней всегда действительный. Действительный корень мы обозначаем как . Корни и могут быть либо действительными, либо комплексно сопряженными. Действительные корни могут быть кратными. Например, если , то и – это двукратные корни (или корни кратности 2), а – простой корень.

Если известен один корень

Пусть нам известен один корень кубического уравнения (1). Обозначим известный корень как . Тогда разделив уравнение (1) на , получим квадратное уравнение. Решая квадратное уравнение, найдем еще два корня и .

Для доказательства воспользуемся тем, что кубический многочлен можно представить в виде:
.
Тогда, разделив (1) на , получаем квадратное уравнение.

Примеры деления многочленов представлены на странице
“Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком”.
Решение квадратных уравнений рассмотрено на странице
“Корни квадратного уравнения”.

Если один из корней – целый

Если исходное уравнение имеет вид:
(2) ,
и его коэффициенты , , , – целые числа, то можно попытаться найти целый корень. Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем коэффициента . Метод поиска целых корней заключается в том, что мы находим все делители числа и проверяем, выполняется ли для них уравнение (2). Если уравнение (2) выполняется, то мы нашли его корень. Обозначим его как . Далее делим уравнение (2) на . Получаем квадратное уравнение. Решая его, находим еще два корня.

Поиск рациональных корней

Если в уравнении (2) , , , – целые числа, причем , и целых корней нет, то можно попытаться найти рациональные корни, то есть корни вида , где и – целые.

Для этого умножим уравнение (2) на и сделаем подстановку :
;
(3) .
Далее ищем целые корни уравнения (3) среди делителей свободного члена .

Если мы нашли целый корень уравнения (3), то, возвращаясь к переменной , получаем рациональный корень уравнения (2):
.

Формулы Кардано и Виета для решения кубического уравнения

Если нам не известен ни один корень, и целых корней нет, то найти корни кубического уравнения можно по формулам Кардано.

Рассмотрим кубическое уравнение:
(1) .
Сделаем подстановку:
.
После этого уравнение приводится к неполному или приведенному виду:
(4) ,
где
(5) ; .

Формула Кардано для неполного (приведенного) кубического уравнения имеет вид:
;
;
;
;
.
По формуле Кардано, мы находим три корня величины . Затем, используя формулу , находим значения величины .

После разделения кубических корней величины , формула Кардано принимает следующий вид:
(6) , ,
где
(7) ; ; ;
(8) .

При , для и нужно выбирать действительные корни, которые автоматически связаны соотношением . При этом мы получим одно действительное решение и два комплексно сопряженных и .

При имеем:
; ; .
В этом случае мы имеем два кратных действительных корня. Если , то мы имеем три кратных корня.

При мы имеем три действительных корня. При этом и – комплексные. Поэтому решение приводится к тригонометрической форме, которая имеет название формулы Виета:
(9) ;
(10) ,
где
(11) ; .

Примеры решений по формулам Кардано и Виета

Решить кубические уравнения:
;
.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-04-2016 Изменено: 02-10-2016

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения.

Кубическим уравнением называется уравнение вида

ax 3 + bx 2 + cx +d = 0 , (1)
где a, b,c ,d — постоянные коэффициенты, а х — переменная.

Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.

Корни кубического уравнения. Нахождение корней (решение) кубического уравнения.

Число х называется корнем кубического уравнения (1), если при его подстановке уравнение (1) обращается в верное равенство.

Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т.е.:

Δ= -4b 3 d + b 2 c 2 — 4ac 3 + 18abcd — 27a 2 d 2 (Да, это дискриминант кубического уравнения)

Итак, возможны только 3 следующих случая:

Δ > 0 — тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых — три различных вещественных корня)
Δ 3 + py + q = 0 (2)

К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:

x= y — b/3a (3)

p= — b 2 /3a 2 + c/a

q= 2b 3 /27a 3 — bc/3a 2 + d/a

Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:

Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен

Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:

Соответственно, если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y₁. Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). (если вас интересуют также мнимые корни, то просто вычислите еще и y₂, y₃ и подставьте их в (3).

Если Q 3 + ax 2 + bx +c = 0 (4)

Очевидно, любое уравнение вида (1) можно привести к виду (4), просто поделив его на коэффициент а.

Итак, алгоритм применения этой формулы:

3. a) Если S>0, то вычисляем

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):

Тогда единственный корень (вещественный): x₁= -2sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) — a/3

Для тех, кого интересуют также и мнимые корни:

ch(x)=(e x +e -x )/2
Arch(x) = ln(x + (x 2 -1) 1/2 )
sh(x)=(e x -e -x )/2
sgn(x) — знак х

в) Если S=0,то уравнение имеет меньше трех различных решений:

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Решение кубических уравнений

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 — 3 = 0 x 3 — 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A

Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0

Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :

5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .

Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

x i	Коэффициенты многочлена
2	— 11	12	9
— 0 . 5	2	— 11 + 2 · ( — 0 . 5 ) = — 12	12 — 12 · ( — 0 . 5 ) = 18	9 + 18 · ( — 0 . 5 ) = 0

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3

— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

— 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6

Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

источники:

http://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/Equations/cubeEquationsUniversalMethods/

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-kubicheskih-uravnenij/

Источник

Метод замены переменной
Метод разложения на множители
Метод группировки слагаемых
Подбор целого корня и деление многочлена на многочлен уголком
Однородные уравнения
Выделение полного квадрата
Метод оценки
Использование свойств функций
Графический метод решения уравнений

Что делать, если вам – например, на Профильном ЕГЭ по математике – встретилось не квадратное уравнение, а кубическое? Или даже уравнение четвертой степени? Ведь для уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней нет таких простых формул, как для квадратного уравнения.

В этой статье – способы решения сложных алгебраических уравнений. Замена переменной, разложение на множители, группировка, использование симметрии, однородности, деление многочлена на многочлен. Они вполне могут встретиться на ЕГЭ и олимпиадах в уравнениях, неравенствах и задачах с параметрами.
Также мы рассматриваем применение свойств функций, метод оценки, выделение полного квадрата, графический способ.

Вспомним основные понятия.

Корень уравнения – такое число, которое мы можем подставить вместо переменной в уравнение и получить истинное равенство.

Например, число 3 – корень уравнения 2x = 6.

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Другими словами, у них одни и те же корни.

Например, уравнения $left ( x^{2}-1 right )left ( x^{2}+3 right)=0$ и $x^{2}=1$ равносильны. Их корни совпадают: x=1 или x=-1.

В этой статье мы рассмотрим рациональные уравнения. В них переменная х входит в целой степени. Стандартный вид такого уравнения: слева многочлен, справа ноль.
Например, уравнение первой степени имеет вид ax+b=0 , где По-другому оно называется линейным уравнением, и вы с ним хорошо знакомы.

Уравнение второй степени приводится к виду , где Это квадратное уравнение, и с ним тоже все просто.

Уравнение третьей степени имеет вид , где

В общем виде такие уравнения n-й степени можно записать так:
$ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+dots + mx+p=0$ , где х — переменная, — некоторые числа, причём

Теорема. Уравнение n-й степени имеет не более n действительных корней.

Это значит, что у квадратного уравнения не более двух корней. У уравнения третьей степени не более трех корней.
Как же найти эти корни?

к оглавлению ▴

Метод замены переменной

Замена переменной – ключ к решению многих задач.

Самый простой пример – биквадратное уравнение.

Так называется уравнение вида . Оно решается с помощью замены x^2=t , где

1. Решим уравнение .

Решение:

Сделаем замену , тогда

$t_{1,2}=frac{37pm35}{18};$ t=4 или $t=-frac{1}{9}$

Значение переменной $t=-frac{1}{9}$ не удовлетворяет условию замены, так как $-frac{1}{9}<0.$

Значит,

Ответ: x=pm 2

2.Решим уравнение

Решение:

Пусть Это уравнение имеет два корня: t=-9 или t=-1 . Оба корня отрицательны и не удовлетворяют условию . Значит, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ:

Такой символ означает, что корней нет, множество корней исходного уравнения является пустым.

3. Решим уравнение:

$frac{x^{2}+1}{x}+frac{x}{x^{2}+1}=2,9$

Решение:

Если приводить обе части к одному знаменателю, получим уравнение четвертой степени. Вряд ли мы с ним справимся.

Сделаем замену $frac{x^{2}+1}{x}=t.$ Тогда $frac{x}{x^{2}+1}=frac{1}{t},tneq 0.$

С новой переменной уравнение стало проще:

$t+frac{1}{t}=2,9$

$t+frac{1}{t}-2,9=0$

Умножим обе части на 10t. Получим квадратное уравнение:

$10t^{2}-29t+10=0$

Корни этого уравнения: $t=frac{5}{2}$ или $t=frac{2}{5}.$

Вернемся к переменной

Если $t=frac{2}{5}$ , то $frac{x^{2}+1}{x}=frac{2}{5}.$

Отсюда $5x^{2}-2x+5=0.$

Дискриминант этого уравнения отрицателен, корней нет.

Если $t=frac{5}{2}$ , то $frac{x^{2}+1}{x}=frac{5}{2}.$ Получим квадратное уравнение для : $2x^{2}-5x+2=0.$

У этого уравнения два корня: x=2 или x=0,5. Это ответ.

4. Решим уравнение

Решение:
Мы видим, что выражение 4x^2-5x в уравнении встречается дважды. Хорошо бы обозначить его новой переменной, сделать замену.

Введем новую переменную

Уравнение примет вид: или t=-3.

Возвращаемся к переменной х:

$left[ begin{gathered} 4x^2-5x=-1 \ 4x^2-5x=-3 end{gathered} right.$

У нас появилось новое обозначение: — знак совокупности.
Такой знак означает «или».

Мы получили совокупность из двух квадратных уравнений.

$left[ begin{gathered} 4x^2-5x+1=0 \ 4x^2-5x+3=0 end{gathered} right.$

Решим эти уравнения по очереди.

$1)~~4x^2-5x+1=0; D = 25-16=9;x_{1,2}=frac{5pm3}{8}; left[ begin{gathered} x=1 \ x=0,25 end{gathered} right.$

2) Уравнение не имеет корней. Его дискриминант отрицателен.

Ответ: 1; 0,25

5. Решим уравнение

Решение:

Не будем спешить раскрывать скобки. Ведь раскрыв их, мы получили бы уравнение четвертной степени.

Посмотрим на уравнение внимательно.

На координатной прямой точки 1; 3; –5; –7 расположены симметрично относительно точки x=-2.

Сделаем замену x+2=t , тогда x=t-2 .

Тогда:

x-1=t-3

x-3=t-5

x+5=t+3

x+7=t+5

Мы выразили все «скобки», то есть все множители, через новую переменную. Вот что это дает:

$left ( t^{2}-9 right )cdot left ( t^{2}-25 right )=297$

И еще одна замена: $t^{2}-9=z$ .

$z^{2}-16z-297=0.$ Обычное квадратное уравнение. Замечательно!

Подберем его корни по теореме Виета. Заметим, что

$left{begin{matrix} z_{1}+z_{2}=16\ z_{1}cdot z_{2}=-297 end{matrix}right.$ ; отсюда $z_{1}=27$ , $z_{2}=-11$ .

Если $z=t^{2}-9=-11$ , то $t^{2}=-2,$ нет решений.

Если $z=t^{2}-9=27$ , то $t^{2}=36.$ Тогда t=6 или t=-6

Если x+2=6 , то x=4 .

Если x+2=-6 , то x=-8 .

Ответ: 4; –8.

Дальше – еще интереснее.

6. Решите уравнение $frac{x^{2}}{3}+frac{48}{x^{2}}=10cdot left ( frac{x}{3}-frac{4}{x} right )$

Решение:

Сделаем замену $frac{x}{3}-frac{4}{x} =t$ . То, что в правой части в скобках, заменили на новую переменную.

$t^{2}=left ( frac{x}{3}-frac{4}{x} right )^{2}=frac{x^{2}}{9}+frac{16}{x^{2}}-frac{8}{3}=frac{1}{3}left ( frac{x^{2}}{3}+frac{48}{x^{2}}-8 right )$

$frac{x^{2}}{3}+frac{48}{x^{2}}-8=3t^{2}Rightarrow frac{x^{2}}{3}+frac{48}{x^{2}}=3t^{2}+8$ .

Получили квадратное уравнение:

$3t^{2}+8=10t$

$3t^{2}-10t+8=0$

$D=10^{2}-4cdot 3cdot 8=100-96=4$

$t_{1}=frac{10-2}{6}=frac{4}{3}$

$t_{2}=frac{10+2}{6}=2$

Если $frac{x}{3}-frac{4}{x}=frac{4}{3}$ , то $x^{2}-4x-12=0 Rightarrow x_{1}=-2, ; x_{2}=6.$

Если $frac{x}{3}-frac{4}{x}=2$ , то $x^{2}-6x-12=0.$

$x_{3,4}=frac{6pm sqrt{84}}{2}=frac{6pm 2sqrt{21}}{2}=3pm sqrt{21}.$

Ответ:

к оглавлению ▴

Метод разложения на множители

Этот метод удобен, когда в правой части уравнения стоит ноль, а в левой – выражение, зависящее от переменной.

Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла.

7. Решим уравнение .

Конечно, не нужно перемножать все «скобки». Левая часть уравнения равна нулю, если х=0 или х=2 или х=3 или х=5. Все эти значения переменной – корни уравнения.

Ответ: 0; 2; 3; 5.

8. Решим уравнение

Решение:

Вынесем за скобки x^3 ,то есть разложим левую часть на множители.

$x^3(x^3+8)=0 Leftrightarrow left[ begin{gathered} x^3=0 \ x^3+8=0 end{gathered}right. Leftrightarrow left[ begin{gathered} x=0 \ x=-2 end{gathered}right.$

Ответ: {-2;0}

Мы записали корни уравнения в виде множества из двух значений переменной, -2 и 0. Это одна из возможных форм записи ответа.
Метод разложения на множители часто применяется вместе с методом группировки.

к оглавлению ▴

Метод группировки слагаемых

9. Решите уравнение $x^{3}-3x^{2}-6x+8=0$

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем слагаемые:

$x^{3}+2^{3}-3x^{2}-6x=0$

Первые два слагаемых – сумма кубов. Применим формулу: $a^{3}+b^{3}=left ( a+b right )left ( a^{2}-ab+b^{2} right )$ . Получим:

$left ( x+2 right )left ( x^{2}-2x+4 right )-3xleft ( x+2 right )=0$

$left ( x+2 right )left ( x^{2}-2x+4 -3xright )=0$

$left ( x+2 right )left ( x^{2}-5x+4right )=0$ .

Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Записывается это так:

$left ( x+2 right )left ( x^{2}-5x+4 right )= 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{ccc} x+2=0 \ x^{2}-5x+4 = 0 \ end{array} right.$

Ответ: -2; 1; 4.

Здесь мы тоже использовали знак совокупности.

Запись $left[ begin{array}{ccc} x=-2 \ x=4 \ x=1 \ end{array} right.$ читается как « x=-2 или x=4 или x=1 ».

Решая уравнения и особенно неравенства, мы будем постоянно пользоваться знаками системы и совокупности. Мы записываем решения в виде цепочки равносильных переходов. Для сложных уравнений и неравенств это единственный способ прийти к ответу и не запутаться.

10. Решите уравнение

Решение:

Разложим левую часть уравнения множители методом группировки.

$9x^2(x-1)-(x-1)=0 Leftrightarrow (x-1) cdot (9x^2-1)=0 Leftrightarrow \ Leftrightarrow left[ begin{gathered} x-1=0 \ 9x^2-1=0 end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered} x=1 \ x=pm frac{1}{3} end{gathered} right.$

Ответ: $pmfrac{1}{3}; 1$

11. Решите уравнение $x^{2}+2x+frac{2}{x}+frac{1}{x^{2}}=1$

Решение:

Сгруппируем слагаемые:

$x^{2}+frac{1}{x^{2}}+2left (x+frac{1}{x} right )-1=0$

А если сделать замену $x+frac{1}{x}=t$ ?

Тогда $t^{2}=left ( x+frac{1}{x} right )^{2}=x^{2}+frac{1}{x^{2}}+2Rightarrow x^{2}+frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$ .

Получаем квадратное уравнение: $t^{2}-2+2t-1=0$ . Удачная замена!

$t^{2}+2t-3=0Leftrightarrow left[ begin{array}{ccc} t=-3 \ t=1 \ end{array} right.$

Если $x+frac{1}{x}=1$ , то , нет решений.

Если $x+frac{1}{x}=-3$ , то $x^{2}+3x+1=0$

D=9-4=5 , $x_{1,2}=frac{-3pm sqrt{5}}{2}$ .

Ответ: $frac{-3pm sqrt{5}}{2}$ .

к оглавлению ▴

Подбор целого корня и деление многочлена на многочлен уголком

Рассмотрим еще один метод решения уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней.

12. Решите уравнение $x^{3}-9x^{2}+26x-24=0$

Решение:

Разложить левую часть на множители с первой попытки не удается.

Оказывается, если уравнение третьей (четвертой, пятой…) степени имеет целые корни, то находятся они среди делителей свободного члена (слагаемого, не содержащего x). В данном случае – среди целых делителей числа 24.

Выпишем целые делители числа 24:

1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 8; –8; 12; –12; 24; –24

Подставляя их по очереди в уравнение, при x=2 получаем верное равенство:

$2^{3}-9cdot 2^{2}+26cdot 2-24=0$

Это значит, что левую часть уравнения можно разложить на множители:

$x^{3}-9x^{2}+26x-24=left ( x-2 right )cdot Pleft ( x right )$ , где $Pleft ( x right )=ax^{2}+bx+c$ .

Чтобы найти , поделим выражение $x^{3}-9x^{2}+26x-24$ на x-2 . В столбик. Так же, как мы делим друг на друга числа.

Немного непривычно, да? Потренируйтесь – у вас получится!

$x^{3}-9x^{2}+26x-24=left ( x-2 right )cdot left ( x^{2}-7x+12 right )Leftrightarrow left[ begin{array}{ccc} x-2=0 \ x^{2}-7x+12=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{ccc} x=2 \ x=3 \ x=4 \ end{array} right.$

Ответ: 2; 3; 4.

13. Решите уравнение $x^{4}-5x^{3}+4x^{2}-5x+1=0$

Решение:

Разложить на множители? Но как? И замена не видна сразу. Посмотрим на уравнение внимательно. Его коэффициенты: 1, — 5, 4, — 5, 1.

Такое уравнение называется симметрическим, или возвратным.

Разделим обе его части на $x^{2}neq 0$ . Мы можем это сделать, поскольку x=0 не является корнем нашего уравнения.

$x^{2}-5x+4-frac{5}{x}+frac{1}{x^{2}}=0$

Теперь группируем слагаемые:

$x^{2}+frac{1}{x^{2}}-5left (x-frac{1}{x} right )+4=0$

Сделаем замену $x-frac{1}{x}=t$ .

Тогда $t^{2}=left ( x-frac{1}{x} right )^{2}=x^{2}+frac{1}{x^{2}}-2Rightarrow x^{2}+frac{1}{x^{2}}=t^{2}+2$

Получили уравнение $t^{2}+2-5t+4=0$ . Легко!

$x-frac{1}{x}=3Rightarrow x^{2}-3x-1=0, ;D_{1}=9+4=13,; x_{3,4}=frac{3pm sqrt{13}}{2}$

Ответ: $1pm sqrt{2}, frac{3pm sqrt{13}}{2}$

14. Решите уравнение

Решение:

Разделив обе части уравнения на , получим:

$x^2-5x+6-frac{5}{x}+frac{1}{x^2}=0.$

Группируем слагаемые:

$left(x^2+frac{1}{x^2}right)-5left(x+frac{1}{x}right)+6=0.$

Сделаем замену $x+frac{1}{x}=t$ , тогда $t^2=x^2+frac{1}{x^2}+2 Rightarrow x^2+frac{1}{x^2}=t^2-2.$

Наше уравнение примет вид:

$(t^2-2)-5t+6=0 Leftrightarrow t^2-5t+4=0 Leftrightarrow left[ begin{gathered} t=4 \ t=1 end{gathered} right.$

Обратная замена:

$1)~ x+frac{1}{x}=1 Leftrightarrow x^2-x+1=0; D = 1-4=-3<0 Rightarrow x in emptyset$

$2)~ x+frac{1}{x}=4 Leftrightarrow x^2-4x+1=0; D = 4-1=3; x_{1,2}=2pm sqrt{3}$

Ответ:

к оглавлению ▴

Однородные уравнения

В школьном курсе математики проходят однородные показательные и однородные тригонометрические уравнения. Однородные алгебраические уравнения решаются тем же методом: делением на старшую степень.

15. Решите уравнение

Решение:

Это однородное уравнение. Разделим каждое слагаемое на при условии .

Получим: $left(frac{x^2+2x}{2x-1}right)^2-frac{x^2+2x}{2x-1}-6=0$

Выполним замену: $frac{x^2+2x}{2x-1}=t.$

Получим уравнение:

$t^2-t-6=0 Leftrightarrow left[ begin{gathered} t=3 \ t=-2 end{gathered} right.$

Обратная замена приведет нас к совокупности квадратных уравнений:

$left[ begin{gathered} x^2-4x+3-0 \ x^2+6x-2=0 end{gathered} right.$

Решим эти квадратные уравнения.

$1)~x^2+6x-2=0; x=-3pm sqrt{11}$

$2)~x^2-4x+3=0 Leftrightarrow left[ begin{gathered} x=3 \ x=1 end{gathered} right.$

Мы сказали, что поделить обе части уравнения на 2x-1 можно, только если Проверим, что будет, если . Тогда x=0,5 . Такое значение переменной не является корнем уравнения.

Ответ:

Рассмотрим еще одно однородное уравнение.

16. Решите уравнение

Решение:

x=-8 не является корнем уравнения, поэтому разделим уравнение на (x+8) и получим

$left(frac{x^2+2x+2}{x+8}right)^2-4cdotfrac{x^2+2x+2}{x+8}+3=0.$

Замена $frac{x^2+2x+2}{x+8}=t$ приводит к квадратному уравнению:

Его корни t=3 и t=1.

Обратная замена дает совокупность квадратных уравнений:

$2)~x^2-4x+3=0 Leftrightarrow left[ begin{gathered} x^2-x-22=0 \ x^2+x-6=0 end{gathered} right.$

Решив эти квадратные уравнения, получаем корни:

$x=frac{1pm sqrt{89}}{2}; x=-3; x=2.$

Ответ: $frac{1pm sqrt{89}}{2}; -3; 2.$

Покажем еще несколько методов решения алгебраических уравнений. Они встречаются также в задачах с параметрами.

к оглавлению ▴

Выделение полного квадрата

17. Решите уравнение $x^2+frac{x^2}{(x+1)^2}=3$

Решение:

В правой части уравнения сумма двух квадратов. Добавим и вычтем удвоенное произведение двух выражений:

$x^2+2cdot xcdotfrac{x}{x+1}+frac{x^2}{(x+1)^2}-2cdot xcdotfrac{x}{x+1}=3.$

Свернем полный квадрат по формуле сокращенного умножения.

$left(x+frac{x}{x+1}right)^2-frac{2x^2}{x+1}=3; ~left(frac{x^2}{x+1}right)^2-frac{2x^2}{x+1}=3$

Замена $frac{x^2}{x+1}=t$ приведет уравнение к виду:

или t=-1.

Обратная замена дает совокупность двух квадратных уравнений:

$left[ begin{gathered} x^2-3x-3=0 \ x^2+x+1=0 end{gathered} right.$

Корни первого из этих уравнений:

$x_{1,2}=frac{3pmsqrt{21}}{2}$

Второе уравнение не имеет корней, его дискриминант отрицателен.

Ответ: $frac{3pmsqrt{21}}{2}$

к оглавлению ▴

Метод оценки

18. Решим уравнение

Решение:

Преобразуем правую часть уравнения:

Уравнение примет вид:

Оценим левую и правую части уравнения.

Так как то равенство выполняется, только если и левая, и правая его части равны нулю.

Уравнение равносильно системе:

$begin{cases} (x-3)^6=0 \ -(x-2)^2=0 end{cases}$ ; $begin{cases} x=6 \ x=2 end{cases}$

Система решений не имеет.

Ответ: корней нет.

При решении мы пользовались следующей теоремой:
Теорема. Если в уравнении функция y=f(x) ограничена сверху и , а функция y=g(x) ограничена снизу, причем , то уравнение равносильно системе:

$begin{cases} f(x)=m \ g(x)=m end{cases}$

Если система решений не имеет, то у данного уравнения корней нет.

Читайте о том, как метод оценки применяется в задачах с параметрами.

к оглавлению ▴

Использование свойств функций

Еще один нетривиальный метод решения уравнений – подобрать корень и доказать, что других корней нет.

Здесь нам поможет следующая теорема:
Теорема. Если в уравнении функция y=f(x) является монотонно возрастающей, а функция y=g(x) монотонно убывающей или постоянной, то уравнение не может иметь более одного корня.

19. Решите уравнение

Решение:

Левая часть уравнения представляет собой функцию, монотонно возрастающую при любом значении переменной х, т.к. является суммой монотонно возрастающих функций, а правая часть постоянна. Поэтому, если уравнения имеет корень, то он единственный.

Подбором находим, что x=-1 т.к.

Ответ: -1.

20. Решите уравнение

Решение:

Функция является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций), а правая часть постоянна. Уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что x=1 — корень, так как

Других корней быть не может.
Ответ: 1.

к оглавлению ▴

Графический метод решения уравнений

Чтобы решить графически уравнение , строим в одной системе координат графики функций y=f(x) и y=g(x) и находим точки пересечения этих графиков. Абсциссы точек пересечения графиков — это корни уравнения .

21. Решите графически уравнение

Решение:

Запишем уравнение в виде x^3=x+6 . Построим в одной системе координат графики функций y=x^3 и y=x+6.

Графики функций пересекаются в единственной точке — корень уравнения, поскольку Других корней нет.
Ответ: 2.

Список литературы:

1. О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. Домашний репетитор. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену.

2. А. Г. Мордкович. Решаем уравнения.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Алгебраические уравнения и способы их решения. Уравнения третьей и четвертой степени» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
07.05.2023

Источник

Кубическим называют уравнение, в котором только одна переменная представлена в третьей степени. Такие выражения в любом случае имеют от одного до трех корней. Значения, которые получаются при решении таких уравнений, могут быть равными друг другу или комплексными, если их не более двух.

Решение кубических уравнений – это решение уравнений, имеющих вид: [boldsymbol{a y^{3}+b y^{2}+c y+d=0}].

В уравнении такого типа a не равно 0, вместо b,c,d могут быть любые однозначные числа.

Данный вид уравнения имеет как минимум один корень – y₁.

Решение таких равнений может осуществляться разными способами. Оно может преобразовываться в стандартное квадратное уравнение. В таком случае предстоит выбрать один из трех вариантов решения квадратного уравнения:

разложение на множители;
применение формул для квадратных уравнений;
метод дополнения.

Решение кубических уравнений может осуществляться посредством формулы Кардано, а также теоремы Виета. Теорема Виета применяется для решения последней, четвертой степени.

Решение кубических уравнений с двумя членами

Уравнение будет иметь вид: [boldsymbol{a y^{3}+b=0}]

Для решения необходимо преобразовать его: [y^{3}=b / a=0]

Деление на a предполагает вместо нее любую цифру, кроме 0. После преобразования можно применить формулы для решения кубических уравнений, например, сокращенного умножения суммы кубов:

y3=b/a=0

(y+³√b/a)(y²—³√b/a*y+³√(b/a)²)=0

В результате из первой скобки выводим:

y=-³√b/a

во второй скобке получаем выражение – трехчлен:

y2-3√b/a*y+3√(b/a)2

Методы решения кубических уравнений возвратного вида

Алгоритм решения кубического уравнения возвратного вида отличается от предыдущего, так как оно выглядит следующим образом:

[boldsymbol{a y^{3}+b y^{2}+b y+a=0}]

В этом уравнении переменные a и b – это коэффициенты.

Первым делом при решении таких уравнений в математике выполняется группировка:

ay3+by2+by+a=a(y³+1)+b(y²+y)=a(y+1)(y²-y+1)+by(y+1)=(y+1)(ay²+y(b-a)+a)

В полученном выражении корень равен y=-1. Исходя из этого, чтобы получить корень квадратного трехчлена ay²+y(b-a)+a, потребуется найти дискриминант.

Определение

Дискриминант – произведение квадратов разностей корней в различных вариаций.

Решение кубических уравнений в составе которых рациональные корни

Предположим, что y=0. В этом случае он будет корнем уравнения, которое выглядит следующим образом:

ay³+by²+cy+d=0

При условии, что в уравнении свободные члены, d=0. Преобразуем уравнение и получим:

ay3+by2+cy=0

Решение кубических уравнений такого вида предполагает вынесение y за скобку. В итоге получается уравнение вида:

y(ay²+by+c)=0

Рассмотрим на конкретном примере, как решить кубическое уравнение с подробным решением:

5y³+2y²+4y=0

Решение:

Первым делом стоит упростить уравнение.

5y³+2y²+4y=0

Получим уравнение вида:

y(5y²+2y+4)=0

y=0, так как является корнем выражения.

Следующий шаг – поиск корней квадратного трехчлена 5y²+2y+4, который мы получили после упрощения. Для поиска приравняем к нулю и будем использовать дискриминант.

В ходе решения кубического уравнения с дискриминантом получим:

D=2²-2*5*4=-38

Так как в ответе мы получили отрицательное значение, корней у данного трехчлена нет, значит x=0.

Если в уравнениях вида ay³+by²+cy+d=0 коэффициентами являются целые числовые значения, то при решении таких уравнений и нахождении его значения мы может получить иррациональные корни.

В случае, когда a не равно 0, при умножении на a² каждой составляющей уравнения происходит замещение переменных, и получается: x=ay

ay³+by²+cy+d=0

Каждую составляющую выражения умножаем на a²:

a³*y³+b*a²*y²+c*a*a*y+d*a²=0

Учитывая, что решение кубических уравнений с подробным решением предполагает замещение переменных x=ay, то:

x²+b*x²+c*a*x+d*a²

Полученное уравнение является кубическим. В таких уравнениях корни могут быть разными – и целыми, и рациональными. Чтобы привести такое уравнение к тождественному равенству, потребуется подставить делители в полученное равенство. В этом случае полученный x₁ будет корнем, и в то же время корнем начального уравнения:

x₁=y₁/a

Чтобы найти значение корней квадратного трехчлена, потребуется многочлен ay3+by2+cy+d разделить на y-y_1.

Рассмотрим решение кубических уравнений такого вида на примере.

Пример:

Решить уравнение [x 3-3 x 2-13 x+15=0].

Решение:

Ищем первый корень перебором чисел: [0, pm1, pm2, pm3, pm5, pm15] и подстановкой в уравнение. В результате находим, что 1 является корнем. Тогда делим левую часть этого уравнения на двухчлен x-1 и получаем:

Теперь, решая квадратное уравнение: [x 2-2 x-15=0], находим оставшиеся два корня: x1=-3 и x2=5.

Ответ: 1; -3; 5.

Такой способ решения кубических уравнений используется для преобразования и решения возвратных уравнений. Из приведенного примера видно, что корнем является -1, значит, левую часть можно разделить на x+1. После того, как эти действия выполнены, можно находить корни квадратного трехчлена. Если рациональные корни отсутствуют, необходимо находить иные методы решения и разложения многочлена на множители.

Решение кубического уравнения с помощью формулы Кардано

Есть еще один способ — формула Кардано для решения кубических уравнений.

Если взять уравнение вида B₀y³+B₁y²+B₂y+B₃=0, то A₁=B₁/B₀, A₂=B₂/B₀, A₃=B₃/B₀.

Z=-A²₁/3+A₂

P=2A³₁/27-A₁A₂/3+A₃.

Выведенные значение Z и P подставим в формулу Кардано.

X=³√-P/2+√P²/4+Z³/27+³√-P/2-+√P2/4+Z3/27

В итоге подбор кубических корней должен соответствовать значению –Z/3. В этом случае корни исходного уравнения будут выглядеть следующим образом:

y=x-A₁/3

Применить формулу Кордано можно на примере для наглядности.

Пример

Решить уравнение [x^{3}+6 x^{2}+3 x-10=0]

Решение

Данное уравнение легко решается и без применения формулы Кардано. Легко подобрать корень [x=1]. Делением
[x=1] левой части уравнения по схеме Горнера получаем:

[begin{array}{r}+begin{array}{r}1&6&3&-10\0&1*1=1&7*1=7&10*1=10\end{array}
\hlinebegin{array}{r}1quadquadquad&7quadquadquad&10quadquadquadquad&0end{array}end{array}]

Следовательно, [x^{2}+7 x+10=0]. Решая это квадратное уравнение, получаем

[x=frac{-7 pm sqrt{7^{2}-4 * 1 * 10}}{2} Leftrightarrow x_{1}=-2, quad x_{2}=-5]

А теперь найдем корни исходного уравнения по формуле Кардано. Для данного уравнения [a=1, b=6, c=3, d=-10].
Замена переменной [x=y-frac{b}{3 a}=y-frac{6}{3}=y-2] приводит исходное уравнение к виду [y^{3}+p
y+q=0], где:

[p=frac{3 a c-b^{2}}{3 a^{2}}=frac{3 * 1 * 3-6^{2}}{3 * 1^{2}}=-9, quad q=\frac{2 b^{3}-9 a b c+27 a^{2}
d}{27 a^{3}}=frac{2 * 6^{3}-9 * 1 * 6 * 3+27 * 1^{2} *(-10)}{27 * 1^{3}}=0]

Вычислим дискриминант этого уравнения:

[Delta=left(frac{q}{2}right)^{2}+left(frac{p}{3}right)^{3}=left(frac{0}{2}right)^{2}+left(-frac{9}{3}right)^{3}=-27]

Так [Delta] каноническое уравнение имеет 3 действительных корня. Поскольку [q=0 Rightarrow
varphi=frac{pi}{2}=>]

[y_{1}=2 sqrt{-frac{p}{3}} * cos left(frac{varphi}{3}right)=2 sqrt{-frac{-9}{3}} * cos
left(frac{frac{pi}{2}}{3}right)=2 sqrt{3} * cos left(frac{pi}{6}right)=2 sqrt{3} *
frac{sqrt{3}}{2}=3,\y_{2}=2 sqrt{-frac{p}{3}} * cos left(frac{varphi}{3}+frac{2 pi}{3}right)=2
sqrt{3} * cos left(frac{frac{pi}{2}}{3}+frac{2 pi}{3}right)=2 sqrt{3} * cos left(frac{5
pi}{6}right)=-2 sqrt{3} * frac{sqrt{3}}{2}=-3,\y_{3}=2 sqrt{-frac{p}{3}} * cos
left(frac{varphi}{3}+frac{4 pi}{3}right)=2 sqrt{3} * cos left(frac{frac{pi}{2}}{3}+frac{4
pi}{3}right)=2 sqrt{3} * cos left(frac{3 pi}{2}right)=0.]

В данном случае для корней начального уравнения мы получим:

x₁=y₁-2=3-2=1;

x₂=y₂-2=-3-2=-5;

x₃=y₃-2=0-2=-2.

Получаем ответы: 1, -5, -2.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Общее решение кубического уравнения, если известен один из корней

За исходное уравнение возьмем следующее:

y³+ay²+by+c=0

Предположим, что a,b,c являются действительными цифровыми значениями. Известный корень пометим, как y₁. В таком случае, если произвести деление начального уравнения y³+ay²+by+c=0 на y-y₁получим квадратное уравнение. При решении такого уравнения удастся найти еще два корня – y₂и y₃.

Чтобы доказать это, преобразуем кубический многочлен следующим образом:

y₃+ay₂+by+c=(y-y₁)(y-y₂)(y-y₃)

При решении таких уравнений часто допускаются ошибки. Их решение – это сложное, многократное преобразование, которое требует точного знания формул и математических законов. Чтобы избежать ошибок и погрешностей, потребуется применить не только практические навыки, но и теоретические знания. Для решения кубических уравнений можно использовать специальный онлайн калькулятор. Принцип его действия основан на формуле Кардано. В том случае, если один или несколько коэффициентов такого уравнения равны нулю, или между ними присутствует определенная зависимость, решение будет более простым.

Чтобы научиться решать подобные уравнения, необходимо рассматривать примеры и тренироваться на их решении разными способами.

Источник

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Решение кубических уравнений

Если известен один корень

Если один из корней – целый

Поиск рациональных корней

Формулы Кардано и Виета для решения кубического уравнения

Примеры решений по формулам Кардано и Виета

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения.

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения.

Корни кубического уравнения. Нахождение корней (решение) кубического уравнения.

Решение кубических уравнений

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Метод замены переменной

Метод разложения на множители

Метод группировки слагаемых

Подбор целого корня и деление многочлена на многочлен уголком

Однородные уравнения

Выделение полного квадрата

Метод оценки

Использование свойств функций

Графический метод решения уравнений

Решение кубических уравнений с двумя членами

Методы решения кубических уравнений возвратного вида

Решение кубических уравнений в составе которых рациональные корни

Решение кубического уравнения с помощью формулы Кардано

Общее решение кубического уравнения, если известен один из корней

Не пропустите также: