Как найти координаты вершины ветви параболы

Функция вида y=ax²+bx+c, где а, b, с – некоторые числа, причем, а≠0 число, х – переменная, называется квадратичной функцией.

Графиком квадратичной функции является парабола, она имеет вершину и две ветви, которые могут быть направлены либо вверх, либо вниз (рис.1). Красной точкой обозначена вершина параболы, из которой выходят ветви. Её координаты по графику – (3; –4). Направление ветвей зависит от значения коэффициента «а», то есть, если «а» – положительное число, то ветви направлены вверх; если число «а» – отрицательное, то ветви направлены вверх. На данном рисунке ветви направлены вверх, значит коэффициент «а» у формулы, которая задает эту функцию – положительное число. Коэффициент «с» показывает ординату (у) точки пересечения ветви параболы с осью у. Так, на рисунке №1 парабола пересекает ось у в точке (5;0), значит коэффициент с=5.

Вершина параболы. Формула.

Чтобы найти координаты вершины параболы (х₀; у₀), надо воспользоваться формулой:

х₀=−b2a

для нахождения у₀ можно просто подставить значение х₀ в формулу данной функции y₀=ax²+bx+c вместо х.

Рассмотрим это на примере конкретно заданной функции.

Пример №1

Найти вершину параболы, заданной формулой у=2х² – 8х + 5.

Найдем, чему равны коэффициенты: а=2; b= – 8

Подставим их в формулу и вычислим значение х₀:

х₀=−b2a=82∙2=84=2

Теперь в заданную по условию формулу вместо х подставим найденное значение у₀=2∙2² – 8∙2 + 5=8 – 16 + 5= –3

Итак, мы нашли координаты вершины параболы: (2; –3).

Ответ: (2; –3).

Нули параболы

Значения х, при которых функция принимает значения, равные нулю, называются нулями функции. Другими словами, Значения абсцисс (х) точек пересечения ветвей параболы с осью х, называются нулями функции. На рисунке №1 точки координаты точек пересечения ветвей параболы с осью х следующие: (1;0) и (5;0). Значит, нули функции – это значения х, равные 1 и 5.

Рассмотрим, как найти нули функции не по рисунку, а по заданной формуле.

Пример №2

Найти нули функции у=х² +4х – 5

Так как нули функции это абсциссы точек пересечения ветвей параболы с осью х, то их координаты будут (х;0), то есть у=0. Значит, вместо у подставляем нуль в нашу формулу 0=х² +4х – 5 и получаем квадратное уравнение, решив которое, мы и найдем значения нулей функции:

х² +4х – 5=0

а=1, b=4, с= –5

D=b² – 4ac=4² – 4∙1∙(−5)=36

x=−b±√D2a

x=−4±√362; х₁=–5; х₂=1

Значит, нули функции равны –5 и 1

Ответ: –5 и 1

Примечание к заданию по нахождению нулей функции без графика

Если дискриминант уравнения отрицательный, значит, нулей функции нет, то есть парабола не пересекает ось х (вершина находится выше неё, если ветви направлены вверх и ниже, если ветви направлены вниз).

Рассмотрим нахождение соответствия рисунков парабол, расположенных в системе координат значениям а и с.

Пример №3

Для выполнения данного задания на соответствие необходимо сначала поработать с графиками, подписав на них, какими – отрицательными или положительными являются коэффициенты а и с.

Теперь можно выполнить соответствие:

Ответ: 231

Пример №4

Рассмотрим еще пример на соответствие

В данном задании рассмотрим коэффициенты в формулах и подчеркнем их: так, в формуле под буквой А коэффициент а=-2, т.е. отрицательный, значит, ветви направлены вниз, а это график под номером 2. В формулах под буквами Б и В первые и третьи коэффициенты одинаковые, значит, сравнить по рисунку их невозможно, следовательно, будем сравнивать по расположению вершины (справа или слева от оси у), а именно х₀.

Итак, найдем х₀ для формулы «Б»:

х₀=−b2a=−42∙2=−44=−1

Видим, что х₀ отрицательное, значит, вершина расположена слева от оси у, а это рисунок 3. Ну и осталось привести в соответствие В и 1.

Запишем в таблицу

Ответ: 231

Даниил Романович | Просмотров: 10.7k

Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.

Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы

График функции y = ax²+ bx + c, где a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.

У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.

Первый способ

Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0.

Например, y =x²–8 x +15;

находим первый, второй коэффициенты и свободный член;

• a =1, b =-8, c =15;

подставляем значения a и b в формулу;

• x0=8/2=4;

вычисляем значения y;

• y0 = 16–32+15 = -1;

Значит, вершина находится в точке (4;-1).

Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n — корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.

Рассмотрим на примере y =x²–6x+5

1) Приравниваем к нулю:

• x²–6x+5=0.

2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b ²–4 ac:

• D =36–20=16.

3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:

• 1 — первый корень;
• 5 — второй корень.

4) Вычисляем:

• x0 =(5+1)/2=3

Второй способ

Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x ²+8 x +10.

1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x² + 8x = -10.

2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2)² и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.

У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:

x² + 8x +16= 6.

3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4)² = 6.

4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).

Третий способ

Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина — точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:

1. Нахождение первой производной по формуле f'(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.

Рассмотрим этот способ подробнее.

Дана функция y = 4x²+16x-17;

• Записываем производную и приравниваем к нулю.

f'(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Построение параболы

Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.

Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x ²+11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).

1) Строим таблицу

2) Заполняем таблицу

Так как парабола имеет осевую симметрию, то можно считать только значения справа или слева от вершины. Лучше считать те значения, которые ближе к 0, так удобнее. В нашем случае эти значения 4 и 5.

Советы

Правильно находите коэффициенты.

Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.

Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.

Обратите ваше внимание на то, что:

• Нужно проверять правильно ли ваше решение.
• Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.

Видео

Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило, в соответствии с которым каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Вот какими способами ее можно задать:

• Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ: наглядно.

• Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек координатной плоскости, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно
на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax² + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x² в частном случае при b = 0, c = 0:

Точки, обозначенные фиолетовыми кружками, называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x², нужно составить таблицу:

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x² при любых значениях остальных коэффициентов. При увеличении старшего коэффициента график сужается, при уменьшении — расширяется.

График функции y = –x² выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

• Если старший коэффициент больше нуля (a > 0), то ветви параболы напрaвлены вверх.
• Если старший коэффициент меньше нуля (a < 0), то ветви параболы напрaвлены вниз.

Как строить график квадратичной функции — учитывать значения х, в которых функция равна нулю. Иначе это можно назвать нулями функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения у = f(x) с осью ОХ.

Так как ордината (у) любой точки на оси ОХ равна нулю, поэтому для поиска координат точек пересечения графика функции у = f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x) = 0.

Для наглядности возьмем функцию y = ax² + bx + c. Чтобы найти точки пересечения с осью Ox, нужно решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b² — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

1.  Если D < 0, то уравнение не имеет решений и парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a > 0,то график выглядит так:
   

1. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
2. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:



Если a > 0, то график выглядит как-то так:

Теперь понятно, что, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы можем схематично представить график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax² + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax² + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x² + 3x — 5.

Как строим:

1. Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x² + 3x — 5.

D = b² — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

√D = 7

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2x² + 3x — 5 = 0

,

1. Координаты вершины параболы:

1. Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) относительно оси симметрии.

2. Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график параболы:

   

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀)² + y₀

Зная координаты вершины параболы и старший коэффициент, можно записать уравнение квадратичной функции в виде у = a(x − x₀) + y₀, где x₀, y₀ — координаты вершины параболы.

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x² + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1)² + 4.

Как строим:

1. Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:

• построить график функции y = x²,
• умножить ординаты всех точек графика на 2,
• сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
• сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.

1. Построить график параболы для каждого случая.

   

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

1. Данный вид функции позволяет быстро найти нули функции:

   (x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

2. Определим координаты вершины параболы:

   

3. Найти точку пересечения с осью OY:

   с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

4. Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой линией.

   

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Оглавление:

• Что такое парабола и как она выглядит
• Каноническое уравнение параболы
• Свойства и график квадратичной функции
• Как определить, куда направлены ветви параболы
• Как найти вершину параболы по формуле
• Смещение параболы
• Как строить параболу по квадратному уравнению
• Директриса, эксцентриситет, фокус параболы
• Заключение

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

1. Любая прямая пересекает на плоскости искомую линию в 2-х точках – так называемые, «нули» (кроме основного экстремума графика).
2. Множество точек плоскости ХОY (М), расстояние FM которых до F = расстоянию MN до прямой Где F – фокус, AN – директриса. Эти понятия рассмотрим ниже.

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

y² = 2 * p * x,

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x² + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x²).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

• x₀ = -b / (2 * a);
• y₀ = y (x₀).

Пример.

Имеется функция у = 4 * x² + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

• х = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x² + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0; 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 — по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

1. Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
2. Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

D = (b² — 4 * a * c).

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

• D ˃ 0, то х_{1, 2} = (-b ± D^0,5) / (2 * a);
• D = 0, то х_{1, 2} = -b / (2 * a);
• D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

• определить направление ветвей;
• найти координаты вершины;
• найти пересечение с осью ординат;
• найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х² — 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

1. а = 1, следовательно, ветви направлены вверх;
2. координаты экстремума: х = — (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2)² — 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. с осью ординат пересекается в значении у = 4;
4. найдем дискриминант: D = 25 — 16 = 9;
5. ищем корни:

• Х₁ = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• Х₂ = (5 — 3) / 2 = 1; (1, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции у = 3 * х² — 2 * х — 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

1. а = 3, следовательно, ветви направлены вверх;
2. координаты экстремума: х = — (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3)² — 2 * (1/3) — 1 = -4/3;
3. с осью у будет пересекаться в значении у = -1;
4. найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

• Х₁ = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• Х₂ = (2 — 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют
функцией в математике.

Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика)
дальнейшее изучение других
видов функций будет даваться значительно легче.

Что называют квадратичной функцией

Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень,
в которой стоит «x» — это «2»,
то перед нами квадратичная функция.

Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты «a»,
«b» и «с».

Как построить график квадратичной функции

Парабола выглядит следующим образом.

Также парабола может быть перевернутой.

Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции.
Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.

Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.

Построим график квадратичной функции «y = x² −7x + 10».

1. Направление ветвей параболы

   Запомните!
   

   Если «a > 0», то ветви направлены вверх.
   

   Если «a < 0», то ветви направлены вниз.
   

   В нашей функции «a = 1», это означает, что ветви параболы направлены вверх.
   

2. Координаты вершины параболы

   Запомните!
   

   Чтобы найти «x₀»
   (координата вершины по оси «Ox»)
   нужно использовать формулу:

   Найдем «x₀» для нашей функции «y = x² −7x + 10».

   Теперь нам нужно найти «y₀»
   (координату вершины по оси «Oy»).
   Для этого нужно подставить найденное значение «x₀» в исходную функцию.
   Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке
   «Как решать задачи на функцию» в подразделе
   «Как получить значение функции».

   y₀(3,5) =
   (3,5)² − 7 ·3,5 + 10 = 12,25 − 24,5 + 10 =

   −12,25 + 10 = −2,25

   Выпишем полученные координаты вершины параболы.

   (·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.

   Отметим вершину параболы на системе координат.
   Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график
   относительно оси «Oy».

   

3. Нули функции

   Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.

   Запомните!
   

   Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью «Ox»
   (осью абсцисс).

   Наглядно нули функции на графике выглядят так:

   

   Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата
   по оси «Oy» равна нулю.

   Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.

   Запомните!
   

   Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо
   «y = 0».

   Подставим в заданную функцию «y = x² −7x + 10»
   вместо «y = 0» и решим полученное
   квадратное уравнение
   относительно
   «x» .

   0 = x² −7x + 10
   x² −7x + 10 = 0

   x_1;2 =

   7 ± √49 − 4 · 1 · 10

   2 · 1

   x_1;2 =

   x_1;2 =

   x1 =	x2 =
   x1 =	x2 =
   x1 = 5	x2 = 2

   Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения
   с осью «Ox».
   Назовем эти точки и выпишем их координаты.

   • (·) B (5; 0)
   • (·) C (2; 0)

   Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.

   

4. Дополнительные точки для построения графика

   Возьмем четыре произвольные числовые значения для «x».
   Целесообразно брать целые числовые значения на оси «Ox»,
   которые наиболее близки к оси
   симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.

   x	1	3	4	6
   y

   Для каждого выбранного значения «x»
   рассчитаем «y».

   • y(1) = 1² − 7 · 1 + 10 = 1 − 7 + 10 =
     4
   • y(3) = 3² − 7 · 3 + 10 = 9 − 21 + 10 =
     −2

   • y(4) = 4² − 7 · 4 + 10 = 16 − 28 + 10 =
     −2
   • y(6) = 6² − 7 · 6 + 10 = 36 − 42 + 10 =
     4

   Запишем полученные результаты в таблицу.

   x	1	3	4	6
   y	4	−2	−2	4

   Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).

   

   Теперь мы готовы построить график.
   На забудьте после построения подписать график функции.

   

Краткий пример построения параболы

Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции.
Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.

Пусть требуется построить график функции
«y = −3x² − 6x − 4».

1. Направление ветвей параболы

«a = −3» — ветви параболы направлены вниз.


2. Координаты вершины параболы

   x₀ =
   x₀ = =

   = −1

   y₀(−1) = (−3) · (−1)² − 6 · (−1) − 4 =
   −3 · 1 + 6 − 4 = −1

   (·) A (−1; −1)

   — вершина параболы.

   

3. Нули функции

   Точки пересечения с осью «Ox» (y = 0).

   0 = −3x² − 6x − 4

   −3x² − 6x − 4 = 0 |·(−1)

   3x² + 6x + 4 = 0

   x_1;2 =

   −6 ± √62 − 4 · 3 · 4

   2 · 1

   x_1;2 =

   x_1;2 =

   
   Ответ: нет действительных корней.

   Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось
   «Ox».

4. Вспомогательные точки для: «x = −3»;
   «x = −2»;
   «x = 0»;
   «x = 1». Подставим в исходную функцию
   «y = −3x² − 6x − 4».
   • y(−3) = −3 · (−3)² − 6 · (−3) − 4
     = −3 · 9 + 18 − 4 = −27 + 14 = −13
   • y(−2) = −3 · (−2)² − 6 · (−2) − 4
     = −3 · 4 + 12 − 4 = −12 + 12 − 4 = −4

   • y(0) = −3 · 0² − 6 · 0 − 4
     = −4
   • y(1) = −3 · 1² − 6 · 1 − 4
     = −3 −6 − 4 = −13

   x	−3	−2	0	1
   y	−13	−4	−4	−13

Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые
не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки
«(−2; −4)» и «(0; −4)».
Построим и подпишем график функции.

Ваши комментарии

Оставить комментарий: