Как найти координаты точки в трех плоскостях - Avtoru.top

Чтобы найти координаты точки пересечения трех плоскостей, необходимо решить эти уравнения относительно х, у и z, при этом координаты точки пересечения должны удовлетворять уравнениям всех трех плоскостей.

Система уравнений трёх плоскостей имеет вид:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁= 0

A₂x + B₂y + C₂z + D₂= 0

A₃x + B₃y + C₃z + D₃= 0

Если определитель этой системы не равен нулю,

то система имеет единственное решение и тогда три плоскости пересекаются в одной точке.

Замечания

1. Если три плоскости не имеют ни одной общей точки ( или хотя бы две из них параллельны) — система уравнений не имеет решений.
2.Если плоскости имеют бесчисленное множество общих точек ( все они проходят через одну прямую), то система уравнений имеет бесчисленное множество решений.
3.Если система имеет одну общую точку, то система уравнений имеет только одно решение.

Пример 1
Исследовать, есть ли общие точки у плоскостей

x+y+z=1, x-2y-3z=5, 2x-y-2z=6

Оно имеет бесчисленное множество решений. Значит, три плоскости имеют бесчисленное множество общих точек, т. е. проходят через одну прямую.

Пример 2

х-у+2=0

х+2у-1=0

x+y-z+2=0

Решая эти уравнения совместно, получим координаты искомой точки x=-1; y=1; z=2.

Таким образом плоскости имеют одну общую точку (-1; 1; 2), так как система уравнений имеет единственное решение.

Пример 3
Плоскости

4х-2у+z-4=0 (1)

8х-4у+2z+9=0 (2)

x+y-5z=0 (3)

не имеют общих точек, так как плоскости (1) и (2) параллельны.

Система уравнений несовместима (уравнения (1) и (2) противоречат друг другу).

7815

Источник

Точка пересечения трех плоскостей

Система уравнений трёх плоскостей имеет вид:

Если определитель этой системы не равен нулю,

то система имеет единственное решение и тогда три плоскости пересекаются в одной точке.

1. Если три плоскости не имеют ни одной общей точки ( или хотя бы две из них параллельны) — система уравнений не имеет решений.
2.Если плоскости имеют бесчисленное множество общих точек ( все они проходят через одну прямую), то система уравнений имеет бесчисленное множество решений.
3.Если система имеет одну общую точку, то система уравнений имеет только одно решение.

Пример 1
Исследовать, есть ли общие точки у плоскостей

x+y+z=1, x-2y-3z=5, 2x-y-2z=6

Решая эти уравнения совместно, получим координаты искомой точки x=-1; y=1; z=2.

Таким образом плоскости имеют одну общую точку (-1; 1; 2), так как система уравнений имеет единственное решение.

Пример 3
Плоскости

не имеют общих точек, так как плоскости (1) и (2) параллельны.

Система уравнений несовместима (уравнения (1) и (2) противоречат друг другу).

Линия пересечения плоскостей онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти линию пересечения плоскостей. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения линии пересечения плоскостей введите коэффициенты в уравнения плоскостей и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Линия пересечения плоскостей − теория, примеры и решения

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, могут совпадать или пересекаться. В данной статье мы определим взаимное расположение двух плоскостей, и если эти плоскости пересекаются, выведем уравнение линии пересечения плоскостей.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы плоскости α₁ и α₂:

α₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0,

(1)

α₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0,

(2)

Найдем уравнение линии пересеченя плоскостей α₁ и α₂. Для этого рассмотрим следующие случаи:

Умножив уравнение (2) на λ, получим:

α₂: A₁x+B₁y+C₁z+λD₂=0,

(3)

Если векторы n₁ и n₂ не коллинеарны, то решим систему линейных уравнений (1) и (2). Для этого переведем свободные члены на правую сторону уравнений и составим соответствующее матричное уравнение:

(4)

Как решить уравнение (4) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или Метод Жоржана-Гаусса онлайн.

Так как в системе линейных уравнений (4) векторы n₁=<A₁, B₁, C₁> и n₂=<A₂, B₂, C₂> не коллинеарны, то решение этой системы линейных уравнений имеет следующий вид:

(5)

Равенство (5) можно записать в следующем виде:

(6)

Мы получили параметрическое уравнение прямой, которое является линией пересечения плоскостей α₁ и α₂. Полученное уравнение прямой можно записать в каноническом виде:

Пример 1. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ неколлинеарны, то плолскости α₁ и α₂ пересекаются.

Для нахождения линии пересечения влоскостей α₁ и α₂ нужно решить систему линейных уравнений (7) и (8). Для этого составим матричное уравнение этой системы:

(9)

Решим систему линейных уравнений (9) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

(10)

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −2:

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на −2/5:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

(11)

где t− произвольное действительное число.

Запишем (11) в следующем виде:

(12)

Получили уравнение линии пересечения плоскостей α₁ и α₂ в параметрическом виде. Запишем ее в каноническом виде.

(13)

Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:

Ответ. Уравнение линии пересечения плоскостей α₁ и α₂имеет вид:

Пример 2. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

(14)

(15)

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ коллинеарны (n₁ можно получить умножением n₂ на число 1/2), то плоскости α₁ и α₂ параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α₂ умножив на число 1/2:

(16)

Так как нормальные векторы уравнений (14) и (16) совпадают, а свободные члены разные, то плоскости α₁ и α₂ не совпадают. Следовательно они параллельны, т.е. не пересекаются.

Пример 3. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

(17)

(18)

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ коллинеарны (n₁ можно получить умножением n₂ на число 1/3), то плоскости α₁ и α₂ параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α₂ умножив на число 1/3:

(19)

Так как нормальные векторы уравнений (17) и (19) совпадают, и свободные члены равны, то плоскости α₁ и α₂ совпадают.

Уравнение пересечения 3 х плоскостей

Перевод Кантора И.А.

Пересечение 3х плоскостей в случае, когда никакие две из них не параллельны — точка. Запишем уравнения плоскостей в виде

Здесь и далее, «.» обозначает скалярное, а «*» — векторное произведение. Точка пересечения

d₁ ( N₂ * N₃ ) + d₂ ( N₃ * N₁ ) + d₃ ( N₁ * N₂ )
P =	————————————————————————-
N₁ . ( N₂ * N₃ )

Заметим, что знаменатель равен 0, если какие-нибудь 2 плоскости параллельны. Если (N₂ * N₃) равно нулю, то параллельны вторая и третья. Если такого равенства нет, то (N₂ * N₃) дает вектор, перпендикулярный и N₂ и N₃. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны. Таким образом, если N₁ . (N₂ * N₃) = 0, то вектор N₁ совпадает с N₂ или N₃ . Значит, плоскости параллельны — точки пересечения не существует.

источники:

http://matworld.ru/analytic-geometry/linija-peresechenija-ploskostej.php

http://algolist.manual.ru/maths/geom/intersect/3planes.php

Источник

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

$vec{a}(x_{a};: y_{a};: z_{a})$

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

$vec{a}=vec{AB}(x_{B}-x_{A};: y_{B}-y_{A};: z_{B}-z_{A})$

Длина вектора vec{AB} в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:

$|vec{a}|=sqrt{x^{2}_{a}+y^{2}_{a}+z^{2}_{a}}=sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}$ Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

$x_{M}=frac{x_{A}+x_{B}}{2};: : y_{M}=frac{y_{A}+y_{B}}{2};: : z_{M}=frac{z_{A}+z_{B}}{2}$

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

$vec{a}+vec{b}=vec{c}(x_{a}+x_{b};: y_{a}+y_{b};: z_{a}+z_{b})$

Разность векторов:

$vec{a}-vec{b}=vec{d}(x_{a}-x_{b};: y_{a}-y_{b};: z_{a}-z_{b})$

Произведение вектора на число:

$lambda cdot vec{a}=vec{p}(lambda x_{a};: lambda y_{a};:lambda z_{a} )$

Скалярное произведение векторов:

$vec{a}cdot vec{b}=|vec{a}|cdot |vec{b}|cdot cosvarphi =x_{a}cdot x_{b}+y_{a}cdot y_{b}+z_{a}cdot z_{b}$

Косинус угла между векторами:

$cosvarphi =frac{vec{a}cdot vec{b}}{|vec{a}|cdot vec{|b|}}=frac{x_{a}cdot x_{b}+y_{a}cdot y_{b}+z_{a}cdot z_{b}}{sqrt{x^{2}_{a}+y^{2}_{a}+z^{2}_{a}}cdot sqrt{x^{2}_{b}+y^{2}_{b}+z^{2}_{b}}}$

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами vec{AE} и vec{BK} . Для этого нужны их координаты.

$, \ A(0;0;0)\ B(1;0;0)\ E(frac{1}{2};0;1)\ K(1;frac{1}{2};1)$

Запишем координаты векторов:

$vec{AE}left (frac{1}{2};0;1 right )$

$vec{BK}left (0;frac{1}{2};1 right )$

и найдем косинус угла между векторами vec{AE} и vec{BK} :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

$Aleft ( frac{1}{2};-frac{1}{2};0 right )$

$Bleft ( frac{1}{2};frac{1}{2};0 right )$

$Cleft ( -frac{1}{2};frac{1}{2};0 right )$

Из прямоугольного треугольника AOS найдем $OS=frac{sqrt{2}}{2}.$

Координаты вершины пирамиды: $Sleft ( 0;0;frac{sqrt{2}}{2} right ).$

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

$Eleft ( frac{1}{4};frac{1}{4};frac{sqrt{2}}{4} right )$

$Kleft ( -frac{1}{4};frac{1}{4};frac{sqrt{2}}{4} right )$

Найдем координаты векторов и :

$overrightarrow{AE}left ( -frac{1}{4};frac{3}{4};frac{sqrt{2}}{4} right )$

$overrightarrow{BK}left ( -frac{3}{4};frac{1}{4};frac{sqrt{2}}{4} right )$

и угол между ними:

$cosvarphi =frac{overrightarrow{AE}cdot overrightarrow{BK}}{left |overrightarrow{AE} right |cdot left |overrightarrow{BK} right |}=frac{1}{6}$

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

$A_{1}(0;0;1)$

$B(frac{1}{2};frac{sqrt{3}}{2};0)$

$B_{1}(frac{1}{2};frac{sqrt{3}}{2};1)$

$C_{1}(-frac{1}{2};frac{sqrt{3}}{2};1)$

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

$D(frac{1}{4};frac{sqrt{3}}{4};1)$

Найдем координаты векторов и $overrightarrow{BC}_{1}$ , а затем угол между ними:

$overrightarrow{AD}(frac{1}{4};frac{sqrt{3}}{4};1)$

$overrightarrow{BC_{1}}(-1;0;1)$

$cosvarphi =frac{overrightarrow{AD}cdot overrightarrow{BC_{1}}}{left |overrightarrow{AD} right |cdot left |overrightarrow{BC_{1}} right |}=frac{3}{2sqrt{10}}$

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

$left{begin{matrix} A+C+D=0\ 2A-2B+D=0\ 4A+B+2C+D=0 end{matrix}right.$ .

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

$left{begin{matrix} A+C-2=0\ 2A-2B-2=0\ 4A+B+2C-2=0 end{matrix}right.$ ;

$left{begin{matrix} A+C=2\ A-B=1\ 4A+B+2C=2 end{matrix}right.$ .

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

$left{begin{matrix} C=2-A\ B=A-1\ 4A+A-1+4-2A=2 end{matrix}right.$ .

Решив систему, получим:

$, \ A=-frac{1}{3}\ , \ B=-frac{4}{3}\ , \ C=frac{7}{3}$

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

$-frac{1}{3}x-frac{4}{3}y+frac{7}{3}z-2=0.$

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку $M(x_{0}, y_{0}, z_{0}),$ имеет вид:

$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0.$

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

$cosvarphi =frac{left |vec{n}_{1}cdot vec{n}_{2} right |}{|vec{n}_{1}|cdot |vec{n}_{2}|}$

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: $vec{n}_{1}=overrightarrow{AC}(1;1;0).$

Напишем уравнение плоскости AEF.

$, \ A(0;0;0)\ E(frac{1}{2};0;1)\ , \ F(0;frac{1}{2};1)$

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

$left.begin{matrix} A\ , \ E\ , \ F end{matrix}right|$ $, \ 0cdot A+0cdot B+0cdot C+D=0\ , \ frac{1}{2}cdot A+0cdot B+1cdot C+D=0\ , \ 0cdot A+frac{1}{2}cdot B+1cdot C+D=0$

Упростим систему:

$left{begin{matrix} D=0\ frac{1}{2}A+C=0\ , \ frac{1}{2}B+C=0 end{matrix}right.$ .

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

$cosvarphi =frac{|2+2|}{sqrt{2}cdot sqrt{9}}=frac{4}{sqrt{2}cdot 3}=frac{4}{sqrt{2}cdot 3}=frac{2sqrt{2}}{3}$

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике»

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA₁ = √3

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор $vec{n_{1}}(1;0;0)$ .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

$B_{1}left ( 5;, 0;, sqrt{3} right )$

Координаты вектора $overrightarrow{B_{1}D}$ — тоже:

$overrightarrow{B_{1}D}left ( -5;, sqrt{33};, -sqrt{3} right )=overrightarrow{n}_{2}$

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

$cos, varphi =frac{5}{sqrt{25+33+3}}=frac{5}{sqrt{61}}$

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

$1+tg^{2}varphi =frac{1}{cos^{2}varphi }$

Получим:
$tg, varphi =frac{6}{5}.$

Ответ: $frac{6}{5}.$

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

$sin, varphi =frac{left | overrightarrow{n}cdotoverrightarrow{a} right |}{left | overrightarrow{n} right |cdot |overrightarrow{a}|}$

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

$Eleft ( 1;, frac{1}{2};, 1 right )$

Находим координаты вектора $overrightarrow{AE}left ( 0;, frac{1}{2};, 1 right )$ .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

$sin, varphi =frac{left | overrightarrow{AC}cdot overrightarrow{AE} right |}{|overrightarrow{AC}|cdot|overrightarrow{AE}|}=frac{2}{2cdot sqrt{2}cdot sqrt{5}}=frac{1}{sqrt{10}}$

Ответ: $frac{1}{sqrt{10}}.$

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

$h=frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = $frac{6}{sqrt{5}}$ . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

$A_{1}left ( 0, ;0;, frac{6}{sqrt{5}} right )$

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

$left.begin{matrix} A_{1}\ B\ D end{matrix}right|$ $begin{matrix} frac{6}{sqrt{5}}C+D=0\ sqrt{10}A+D=0\ 3sqrt{10}B+D=0 end{matrix}$

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

$h=frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}=frac{6sqrt{10}}{sqrt{50+36+4}}=frac{6sqrt{10}}{sqrt{90}}=2.$

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Векторы в пространстве и метод координат» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Для того, чтобы однозначно построить плоскость, необходимы три точки, которые не лежат на одной прямой.

Общее уравнение плоскости принимает вид:

Общее уравнение плоскости

Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0,

где A,B,C,DA, B, C, D — коэффициенты, задающие плоскость. Они не могут быть одновременно равны нулю.

Здесь будет калькулятор

Составление уравнения плоскости по трем точкам

Текст цитаты

Заголовок

Текст цитаты

В случае, когда известны координаты всех трех точек, уравнение плоскости, проходящей через эти точки составляется с помощью определителя:

Уравнение плоскости через определитель

∣x−x1x2−x1x3−x1y−y1y2−y1y3−y1z−z1z2−z1z3−z1∣=0begin{vmatrix}
x-x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_1 \
y-y_1 & y_2-y_1 & y_3-y_1 \
z-z_1 & z_2-z_1 & z_3-z_1 \
end{vmatrix}=0,

где (x1;y1;z1),(x2;y2;z2),(x3;y3;z3)(x_1;y_1;z_1), (x_2;y_2;z_2), (x_3;y_3;z_3) — координаты точек, через которые проходит данная плоскость, а (x;y;z)(x; y; z) — всевозможные координаты точек этой плоскости.

Задача 1

Составить уравнения плоскости проходящей через три точки с координатами (1;3;0),(5;6;4),(−1;−4;0)(1;3;0), (5;6;4), (-1;-4;0).

Решение

Пусть:

x1=1x_1=1
y1=3y_1=3
z1=0z_1=0
x2=5x_2=5
y2=6y_2=6
z2=4z_2=4
x3=−1x_3=-1
y3=−4y_3=-4
z3=0z_3=0

Составляем определитель:

∣x−x1x2−x1x3−x1y−y1y2−y1y3−y1z−z1z2−z1z3−z1∣=0begin{vmatrix}
x-x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_1 \
y-y_1 & y_2-y_1 & y_3-y_1 \
z-z_1 & z_2-z_1 & z_3-z_1 \
end{vmatrix}=0

∣x−15−1−1−1y−36−3−4−3z−04−00−0∣=0begin{vmatrix}
x-1 & 5-1 & -1-1 \
y-3 & 6-3 & -4-3 \
z-0 & 4-0 & 0-0 \
end{vmatrix}=0

∣x−14−2y−33−7z40∣=0begin{vmatrix}
x-1 & 4 & -2 \
y-3 & 3 & -7 \
z & 4 & 0 \
end{vmatrix}=0

28x−8y−22z−4=028x-8y-22z-4=0 — уравнение искомой плоскости.

Ответ

28x−8y−22z−4=028x-8y-22z-4=0

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали

Если дана точка, лежащая на плоскости и вектор нормали к этой плоскости, то сама плоскость задается уравнением:

Уравнение плоскости по точке и нормали

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2+(z−z0)⋅n3=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2+(z-z_0)cdot n_3=0,

где (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0) — координаты точки, принадлежащей плоскости, а (n1;n2;n3)(n_1;n_2;n_3) — координаты вектора нормали к этой плоскости.

Задача 2

Выпишите уравнение плоскости, если даны: координата точки плоскости (8;−2;9)(8;-2;9) и вектор нормали (1;3;5)(1;3;5).

Решение

x0=8x_0=8
y0=−2y_0=-2
z0=9z_0=9
n1=1n_1=1
n2=3n_2=3
n3=5n_3=5

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2+(z−z0)⋅n3=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2+(z-z_0)cdot n_3=0

(x−8)⋅1+(y−(−2))⋅3+(z−9)⋅5=0(x-8)cdot 1+(y-(-2))cdot 3+(z-9)cdot 5=0

x−8+3y+6+5z−45=0x-8+3y+6+5z-45=0

x+3y+5z−47=0x+3y+5z-47=0 — уравнение плоскости.

Проверка

Чтобы убедиться в том, что задача решена правильно, без ошибок, необходимо в полученное уравнение подставить координаты точки, которые даны в условии задачи:

8+3⋅(−2)+5⋅9−47=08+3cdot(-2)+5cdot9-47=0

0=00=0 — верно, значит ответ правильный.

Ответ

x+3y+5z−47=0x+3y+5z-47=0

Источник

Геометрия, 11 класс

Урок № 3. Координатный метод решения задач

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

специфика и преимущества решения задач в пространстве координатным методом;
типы задач, решаемые координатным методом;
этап решения задачи координатным методом;
решение несложных задач методом координат.

Глоссарий по теме

Уравнение вида задает в пространстве плоскость α.

При этом вектор – это вектор, перпендикулярный плоскости α. Его называют вектор нормали, или нормальный вектор, или нормаль. Очевидно, что нормалью является любой вектор, коллинеарный вектору .

Вектор и любой коллинеарный ему вектор называются направляющим векторами прямой и прямой соответственно.

Основная литература:

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 163-170.

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 353-260.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Работа по теме урока. Объяснение новой темы

Мы рассмотрели несложную задачу на применение метода координат в пространстве.

Векторы , угол между которыми мы искали, называются направляющими векторами прямой и прямой соответственно.

Рассмотрим этот метод более подробно.

Суть метода координат на плоскости и в пространстве заключается в следующем.

Ввести систему координат удобным образом (исходя их свойств заданной фигуры)
Записать условие задачи в координатах, определив во введенной системе координат координаты точек и/или векторов
Используя алгебраические преобразования, решить задачу
Интерпретировать полученный результат в соответствии с условием данной задачи

В рассмотренном нами примере, поскольку был дан куб, мы могли ввести систему координат с центром в любой его вершине.

В координатах удобно решать задачи, связанные с поиском расстояний и углов. Но для того чтобы его использовать, нужно знать некоторые формулы:

Угол между прямыми
Угол между прямой и плоскостью
Угол между плоскостями
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до прямой в пространстве
Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между параллельными плоскостями определяется как расстояние от точки, лежащей в одной плоскости, до другой плоскости.

Мы рассмотрим только первые четыре формулы.

Введем их.

Угол между прямыми

Если прямая задана двумя точками A и B, то известен направляющий вектор этой прямой с координатами {}. Пусть вторая прямая имеет направляющий вектор . Тогда угол между векторами вычисляется по формуле:

Дальше ищется арккосинус от найденного числа. Заметим, что если косинус получился отрицательным, то это значит, что угол между векторами тупой. Поэтому мы берем модуль получившегося числа.

Фактически мы уже рассмотрели пример вычисления угла между прямыми в пространстве.

Угол между прямой и плоскостью

Сначала рассмотрим уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Вам известно, что в пространстве плоскость задается уравнением, аналогичным тому, которое на плоскости задает прямую.

Если линейное уравнение вида на плоскости задает прямую l, то уравнение вида задает в пространстве плоскость α. При этом вектор – это вектор, перпендикулярный плоскости α. Его называют вектор нормали, или нормальный вектор, или нормаль.

Вам известно, что три точки в пространстве определяют единственную плоскость. Поэтому, если заданы три точки, то мы можем найти уравнение плоскости

Мы можем подставить координаты заданных точек в уравнение плоскости и решить систему из трех уравнений с тремя переменными:

В этой системе четыре неизвестных, однако, мы можем избавиться от одной, если разделим все уравнения на D:

Для изучения данного способа в 11 классе на базовом уровне введение понятий матрица, определитель матрицы не желателен, данные понятия не входят в базовый курс изучения геометрии.

Иногда эта система оказывается несложной. Но иногда бывает трудно ее решить, и тогда можно использовать следующую формулу:

Обозначение |M| означает определитель матрицы М.

В нашем случае матрица представляет собой таблицу 3х3 элемента. И определитель |M| вычисляется следующим образом:

Таким образом, уравнение плоскости будет записано так:

Пример 1:

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки K(1; -2; 3), L (0; 1; 1), M (1; 0; 1).

Составим систему.

Решая ее, получим значения А, В и С: . То есть уравнение плоскости имеет вид:

Ответ: .

Теперь запишем формулу угла между прямой и плоскостью.

Пусть дано уравнение плоскости: и известен — направляющий вектор прямой.

Тогда – синус угла между прямой и плоскостью.

Пример 2:

Найдем угол между прямой и плоскостью. В качестве плоскости возьмем ту, уравнение которой мы только что написали:

Прямая проходит через точки Т(2; -1; 4) и Р(3; 2; 2).

Направляющий вектор прямой: .

Найдем синус угла между прямой и плоскостью:

Угол между прямой и плоскостью .

Ответ: .

Угол между плоскостями

Пусть:

уравнение первой плоскости:

уравнение второй плоскости:

Тогда — косинус угла между этими плоскостями.

Пример 3:

Найдем угол между плоскостями:

и .

Найдем косинус угла между плоскостями:

Угол между плоскостями:

Ответ:

Расстояние от точки до плоскости

Пусть координаты точки: , уравнение плоскости: .

Тогда Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле: .

Пример 4.

Найдем расстояние от точки М(4; 3; 4) до плоскости .

Теперь рассмотрим решение задачи координатным методом с использованием рассмотренных формул.

Пример 5.

АВС…D1 – куб с ребром 4. Найти расстояние от точки А до плоскости ЕКС (Е – середина D1C1, K – середина C1B1)

Введем систему координат с началом в вершине А так, как показано на рисунке:

Интересующие нас точки будут иметь координаты:

A(0; 0; 0), C(4; 4; 0), E(4; 2; 4), K(2; 4; 4).

Напишем уравнение плоскости ЕКС:

Решая ее, получим значения А, В, С и D: .

Уравнение плоскости имеет вид:

Теперь найдем расстояние от точки А до плоскости ЕКС: .

Ответ: .

Рассмотрим задачу (№14 из варианта ЕГЭ).

В кубе ABC…D₁ все рёбра равны 4. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C₁построена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что A₁P : PB₁ = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

Решение:

Переформулируем первый пункт этой задачи таким образом:

Проведем плоскость через точки Р, K и C₁ и докажем, что она параллельна прямой BD₁.

Введем систему координат так, как показано на рисунке:

Найдем координаты точек :

Р(; 0; 4), К(4; 0; 3),(4; 4; 4).

Напишем уравнение плоскости :

;

Решая ее, получим значения А, В, С и D: .

— уравнение плоскости

Теперь докажем, что плоскость параллельна прямой BD₁.

Найдем угол между прямой BD₁ и плоскостью .

Точки В и D₁ имеют координаты: В (4; 0; 0), D₁ (0; 4; 4).

Направляющий вектор прямой BD₁ – это вектор .

Он имеет координаты .

Теперь найдем синус угла между вектором и плоскостью .

В этом случае нам не нужно считать знаменатель дроби. Так как числитель получился равен 0, то дробь равна 0, то есть синус угла между плоскостью и прямой равен 0, значит, плоскости параллельны или совпадают. Но, так как точка В, например, в плоскости, очевидно, не лежит, то плоскости параллельны.

Это значит, что плоскость, параллельная прямой BD₁ и проходящая через точки действительно пересекает ребро A₁B₁в точке Р так, что A₁P : PB₁ = 2 : 1. Что и требовалось доказать.