Как найти координаты тела в пространстве

Содержание:

Система координат в пространстве

Декартова система координат в пространстве

Вы познакомились с декартовой системой координат на плоскости в предыдущих классах. Систему координат в пространстве введём аналогично тому, как это было сделано на плоскости. Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси Ох, Оу и Оz, пересекающихся в точке О, являющейся началом координат. Через каждую пару этих прямых проведём плоскости Оху, 0xz и Оуz (рис. 1). Таким образом вводится система координат в пространстве, при этом

точку О — называют началом координат, прямые Ох, Оу и Оz — осями координат, Ох — ось абсцисс, Оу — ось ординат и Оz — ось аппликат, плоскости Оху, Оуz и Охz — координатными плоскостями.

Координатные плоскости делят пространство на 8 октант (получетвертей) (рис. 1).

Пусть в пространстве задана произвольная точка А. Через эту точку проведём плоскости, перпендикулярные плоскостям Охz, Оуz и Охz (рис. 2). Одна из этих плоскостей пересечёт ось Ох в точке Ах.

Координату Ах на оси Ох называют координатой х или абсциссой точки А.

Аналогично определяют у — координату (ординату) и z- координату (аппликату) точки А.

Координаты точки А записывают в виде А (х; у; z) или короче (х; у; z). Точки, изображённые на рисунке 3, имеют следующие координаты: А (0; 5; 0), B (4; 0; 0), М (0; 5; 4), К (2; 3; 4), Р (-2; 3; -4).

Пример:

Пусть в пространстве в декартовой системе координат

задана точка А (2; 3; 4). Где она расположена?

Решение:

От начала координат в положительном направлении осей Ох и Оу отложим отрезки ОА_х = 2 и ОА_у = 3 (рис. 4).

Через точку А_х проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Оу. А через точку Аy проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Ох. Точку пересечения этих прямых обозначим A₁ . Через точку A₁ проведём прямую, перпендикулярную плоскости Оху и на ней в положительном направлении Oz отложим отрезок АА₁ = 4. Тогда точка А (2; 3; 4) и будет искомой точкой.

Пользуясь системой координат, созданной для современных программируемых станков и автоматизированных роботов, составляются программы, на основе которых обрабатываются металлы (рис. 5).

Расстояние между двумя точками

Пусть заданы две точки А (х₁; у₁; z₁) и B (х₂; у₂; z₂).

1.Сначала рассмотрим случай, когда прямая АВ не параллельна оси Оz (рис. 6). Через точки А и В проведём прямые, параллельные оси Оz. И пусть они пересекают плоскость Оху в точках А_z и В_z .

Координаты х и у этих точек соответственно равны координатам х и у точек А, В, а координаты z равны 0.

Теперь через точку В проведём плоскость а, параллельную плоскости Оху. Она пересечёт прямую АА_z в некоторой точке С.

По теореме Пифагора: АВ² = АС² + СВ².

Однако

Поэтому

2.Пусть отрезок АВ параллелен оси Оz, тогда и, так как

х₁= х₂ , у₁ = у₂ , мы опять приходим к вышеприведённой формуле.

Следовательно, расстояние между двумя точками А и В:

(1)

Примечание. Формула (1) выражает длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны

Уравнение сферы и шара

Известно, что множество всех точек М (х; у; z), расположенных на расстоянии R от данной точки А (а; Ь; с) образуют сферу (рис. 7). Тогда по формуле (1) координаты всех точек, расположенных на сфере радиуса R с центром в точке А (а; b; с), удовлетворяют равенству

Отсюда, ясно, что неравенство для точек шара радиуса R с центром в

точке А (а; b; с) имеет вид:

Пример:

Найдите периметр треугольника ABC с вершинами в

точках А (9; 3; -5), В (2; 10; -5), С (2; 3; 2).

Решение:

Р=АВ+АС+ВС периметр треугольника ABC. Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками, найдём длины сторон треугольника:

Следовательно, треугольник ABC равносторонний и его периметр .

Ответ:

Координаты середины отрезка

Пусть А (x₁; y₁;z₁) и В (х₂; у₂; z₂) — произвольные точки, точка С (х; у; z) середина отрезка AB (рис. 8).

Через точки А, В и С проведём прямые, параллельные оси пересекающие плоскость Оху в точках и . Тогда по теореме Фалеса точка С_z — середина отрезка А_zВ_z.

Отсюда по формулам нахождения координат середины отрезка на плоскости

Чтобы найти координату z, нужно вместо плоскости Оху рассмотреть плоскость 0xz или Оуz.

Тогда и для z получим формулу, подобную вышеприведённой.

Аналогично, используя координаты концов A и B отрезка AB, по формулам

находят координаты точки Р(х1;у]; г,), делящей отрезок АВ в отношении X САР: РВ = X).

Задача 3. Докажите, что четырёхугольник МЛШЬ с вершинами М{3; 6; 4), N(0; 2; 4), К(3; 2; 8), 1(6; 6; — параллелограмм (рис. 9).

Доказательство: Для решения задачи используем признак параллелограмма: Четырёхугольник, точка пересечения диагоналей которого делит их пополам, является параллелограммом.

Координаты середины отрезка МК:

Координаты середины отрезка NL:

Координаты середин отрезков МК и NL равны. Это говорит о том, что отрезки пeрeсeкаются и в точке пeрeсeчeния делятся пополам. Следовательно, четырёхугольник MNLK — параллелограмм.

В переписке с известным целителем и математиком Абу Али ибн Сино Абу Райхон Беруни задаёт следующий вопрос: «Почему Аристотель и другие (философы) называют шесть сторон?»

Рассматривая шестисторонний куб, Беруни говорит о фигурах «с другим количеством сторон» и добавляет, что «шарообразные фигуры не имеют сторон.» А Ибн Сино отвечает, что «во всех случаях нужно считать, что сторон шесть, так как у каждой фигуры, независимо от её формы, есть три измерения — длина, глубина и ширина».

Здесь Ибн Сино имеет ввиду три координаты, именуемые условно «шесть сторон».

В произведении «Канон Масъуда» Беруни приводит точное математическое определение шести сторон: «Сторон шесть, так как они ограничивают движение фигур по своим измерениям. Измерений три: длина, ширина и глубина. А их в два раза больше самих измерений.»

В предыдущих книгах автор определяет положение небесных тел с помощью двух координат относительно небесной сферы — эклиптического уравнения. Либо через те же координаты, но относительно небесного экватора или горизонта. Однако при определении взаимного расположения звёзд и небесных светил придётся учитывать и случаи затмений. Вот в таких случаях появляется необходимость в третьей сферической координате. Эта необходимость привела Беруни к отказу от теории небесных координат.

Векторы в пространстве и действия над ними

Векторы в пространстве

Понятие вектора в пространстве вводят также как на плоскости.

Вектором в пространстве называют направленный отрезок. Основные понятия, относящиеся к векторам в пространстве, аналогичны этим понятиям на плоскости: длина (модуль), направление вектора, равенство векторов.

Координатами вектора с началом в точке А (х₁; у₁; z₁) и концом в точке В (х₁; у₁; z₁) называют числа , (рис. 17).

Приведем без доказательства свойства векторов, аналогичных свойствам на плоскости.

Также как на плоскости, соответствующие координаты равных векторов равны и, обратно, векторы с равными координатами равны.

Hа основании этого вектор можно обозначить как или или кратко (рис. 18).

Вектор можно записать и без координат (или ). В этой записи

на первом месте начало вектора, а на втором — конец.

Вектор с координатами, равными нулю, называют нулевым вектором и обозначают или , направление этого вектора не определено.

Если начало вектора расположено в начале координат О, а числа а₁,

а₂ и а₃ — координаты точки А, то есть А (а₁; а₂; а₃), то эти же числа будут

координатами вектора : (а₁; а₂; а₃).

Однако вектор в пространстве с началом в точке К(с₁; с₂; с₃) и концом в точке будет иметь те же координаты: .

Отсюда следует, что вектор можно приложить к любой точке пространства. В геометрии мы рассматриваем такие свободные векторы. Но в физике, обычно вектор связан с некоторой точкой. Например, воздействие силы приложенная к пружине F на рисунке 19 зависит от точки её приложения.

Длинной вектора называют длину направленного отрезка

изображающего его (рис. 17). Длину вектора записывают

так. Длина вектора , заданного координатами,

вычисляется по формуле .

Пример:

Даны точки А (2; 7;-3),В (1; 0; 3), С (-3;-4; 5) и D (-2; 3; -1). Какие из векторов и равны между собой?

Решение:

У равных векторов равны соответствующие координаты. Поэтому найдём координаты векторов:

Следовательно, .

Докажите самостоятельно, что

Действия над векторами в пространстве

Действия над векторами. Сложение векторов, умножение на число и их скалярное произведение определяется также как на плоскости.

Суммой векторов и (b₁; b₂; b₃); называют вектор (рис. 20).

Пусть кран на рисунке 20.b движется вдоль вектора , а груз относительно крана вдоль вектора . В результате груз движется вдоль вектора . Поэтому из рисунка 20.с, на котором изображён сюжeт басни русского писателя И.А.Крылова, ясно, что герои басни не смогут сдвинуть телегу с места.

Свойства суммы векторов

Для любых векторов , и имеют место следующие свойства:

a) — переместительный закон сложения векторов;

b) — распределительный закон сложения.

Правило треугольника сложения векторов

Для любых точек А, В и С (рис. 21):

Правило параллелограмма сложения векторов

Если АВСD — параллелограмм (рис. 22), то

Правило многоугольника сложения векторов

Если точки А, В, С, D и Е — вершины многоугольника (рис. 23), то

Правило параллелепипеда сложения трёх векторов, не лежащих в одной плоскости. Если АВСDА₁В₁С₁D₁ параллелепипед (рис. 24), то

.

Вектор ​​​​​​= (a1; a₂; a₃) — называют умножением вектора

(a₁; a₂; a₃) на число (рис. 25). Свойства операции умножения вектора на число.

Для любых векторов и и чисел и

а);

b);

c) и направление вектора

совпадает с направлением вектора , если ,

противоположно направлению вектора , если .

Коллинеарные и компланарные векторы

Пусть заданы ненулевые векторы и . Если векторы

и сонаправлены или противоположно направлены,

то их называют коллинеарными векторами (рис. 26).

Свойство 1. Если для векторов и имеет место равенство , то они коллинеарны и наоборот.

Если , то векторы и сонаправлены , если, то

противоположно направлены .

Свойство 2. Если векторы (a₁; a₂; a₃) и (b₁; b₂; b₃) коллинеарны,

то их соответствующие координаты пропорциональны:

и наоборот.

Пример:

Найдите вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом в точке В, лежащей в плоскости Оху, коллинеарный вектору ( 1; 2; 3).

Решение:

Пусть точка В имеет координаты В (х; у; z). Так как точка В лежит в плоскости Оху, то z=0. Тогда (х — 1 ;у — 1; — 1).

По условию задачи векторы (х — 1 ;у — 1; — 1) и (1, 2, 3) коллинеарны. Следовательно, их координаты пропорциональны.

Тогда получаем следующие пропорции .

Откуда находим , .

Итак,

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называют компланарными векторами (рис. 27).

Векторы (1; 0; 0), (0; 1; 0) и (0; 0; 1) называют ортами (рис. 28).

Любой вектор можно единственным образом разложить по ортам, то есть представить в виде (рис. 29).

Точно также, если заданы три нeкомпланарных вектора и , то любой вектор можно единственным образом представить в виде:

.

Здесь некоторые действительные числа. Тогда говорят, что вектор разложен по заданным векторам.

Скалярное произведение векторов

Углом между ненулевыми векторами и называют угол между направленными отрезками векторов = и =, исходящих из точки О (рис. 30).

Угол между векторами и обозначают так .

Скалярным произведением векторов и называют произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Скалярное произведение обозначают или . По определению (1)

Из определения следует, что если скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны и наоборот.

В физике работа A, выполненная при движении тела на расстоянии , под воздействием силы (рис. 31), равна скалярному произведению силы на расстояние:

Свойство. Если и (b₁; b₂; b₃), то () =

Доказательство. Приложим векторы и к началу

координат О (рис.32). Тогда = и = (b₁; b₂; b₃).

Если векторы неколлинеарны, то получаем треугольник АВО , для которого справедлива теорема косинусов.

Тогда .

Однако, ,

и .

Следовательно,

.

Самостоятельно докажите, что и в случае, когда данные векторы коллинеарны , также выполняется

это равенство.

Свойства скалярного произведения векторов

1. — переместительное свойство.

2. — распределительное свойство.

3. — сочетательное свойство.

4.Если векторы а и b являются сонаправленными коллинеарными

векторами, то , так как соs 0° = 1.

5.Если же векторы противоположно направлены, то , так как cos l80° = -1.

6. .

7. Если вектор перпендикулярен вектору , то . Следствия: а) Длина вектора ; (1) b) косинус угла между векторами

: ; (2)

с) условие перпендикулярности векторов и

.

(3)

Пример:

— заданные точки. Найдите косинус угла между векторами .

Решение:

Найдём длины векторов :

,

.

,

.

Следовательно,

Пример:

Найдите угол между векторами .

Решение:

Итак,

Пример:

Найдите , если , и угол между векторамии равен .

Решение:

Пример:

Найдите координаты и длины векторов 1); 2), если .

Решение:

Подставим в выражения искомых векторов разложения векторов и по координатам:

1)

. Следовательно,.

Тогда.

2)

.

Следовательно, .

Тогда

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Найдите произведение, если угол между векторами и равен 30° и , .

Решение:

Сначала найдём поизведение векторов и :

.

Затем перемножим заданные выражения как многочлены

и, пользуясь распределительным свойством умножения

вектора на число, получим:

.

Учитывая, что ,

найдём искомое произведение

Преобразование и подобие в пространстве

Геометрические преобразования в пространстве

Если каждую точку заданной в пространстве фигуры F изменить одним и тем же способом, то получим фигуру F_1. Если при этом преобразовании различные точки первой фигуры переходят в различные точки второй, то говорят о преобразовании геометрической фигуры.

Если рассматривать все пространства как геометрическую фигуру, то также можно говорить о преобразовании геометрической фигуры.

Понятие геометрического преобразование в пространстве вводят также как на плоскости. Следовательно, свойства некоторых рассматриваeмых ниже видов преобразований и их доказательства также подобны соответствующим им на плоскости. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Движение и параллельный перенос

Преобразование фигур, при котором сохраняются расстояния между точками, называют движением. Можно привести следующие свойства движения. При движении прямая переходит в прямую, луч — в луч, отрезок — в равный ему отрезок, угол — в равный ему угол, треугольник — в равный ему треугольник, плоскость — в плоскость, тетраэдр — в равный ему тетраэдр.

В пространстве фигуры, которые можно перевести одну в другую при некотором движении называют равными фигурами.

Простейшим примером движения является параллельный перенос.

Пусть в пространстве даны вектор и произвольная точка Х

(рис. 44). Говорят, что точка Х перешла в точку X₁ параллельным

переносом на вектор , если выполняется условие . Если каждую точку фигуры F сдвинуть на вектор при помощи параллельного переноса (рис. 45), то получим фигуру F₁. Тогда говорят, что фигура F получена параллельным переносом фигуры F₁ . При параллельном переносе каждая точка фигуры F сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Каждая точка подъёмного крана, изображённого на рисунке 46, параллельно перенесена на 40 м относительно начального положения.

Ясно, что параллельный перенос является движением. Поэтому прямая переходит в прямую, луч — в луч, плоскость — в плоскость,

и т. д.

Пусть точка фигуры F перешла в точку

фигуры F₁ при помощи параллельного переноса

на вектор .

Тогда по определению получим:

или

.

Эти равенства называют формулами параллельного переноса.

Пример:

В какую точку перейдёт точка Р (-2; 4; 6) при параллельном переносе на вектор = (3; 2; 5)?

Решение:

По вышеприведённым формулам параллельного переноса: .

Ответ: .

Центральная симметрия в пространстве

Если в пространстве , то есть точка О — середина отрезка АА₁ то точки А и А₁ называют симметричными относительно точки О.

Если в пространстве каждая точка фигуры F переходит в точку, симметричную относительно точки О (рис. 47), то такое преобразование называют симметрией относительно точки О. На рисунках 48, 49 изображёны фигуры симметричные относительно точки О. Симметрия относительно точки является движением.

Если при симметрии относительно точки О фигура F переходит в себя, то её называют центрально симметричной фигурой.

Например, диагонали параллелепипеда (рис. 50) относительно их точки пересечения О являются центрально симметричными фигурами.

Пример:

В какую точку перейдет точка A = (1; 2; 3) при симметрии относительно точки О (2; 4; 6)?

Решение:

Пусть А₁ = (х; у; z) — искомая точка. По определению точка

О — середина отрезка АА₁. Следовательно,

Из этих уравнений получаем:

.

Ответ:

Симметрия относительно плоскости

Точки А и А₁ называют симметричными относительно плоскости а,

если плоскость перпендикулярна отрезку и делит его пополам (рис. 51). Фигуры F₁, и F₂ на рисунке 52 симметричны относительно

плоскости а. Очевидно, что наш силуэт и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 53).

Симметрия относительно плоскости а является движением.

Поэтому при симметрии относительно плоскости а отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая — в прямую, плоскость — в плоскость.

Если при симмeтрии относительно плоскости фигура F переходит в себя, то её называют фигурой симметричной относительно плоскости.

Например, изображённый на рисунке 54 куб, есть фигура, симметричная относительно плоскости а, проходящей через его диагонали АА₁ и СС₁.

Поворот и симметрия относительно оси

Пусть в пространстве заданы точки А и А₁ и прямая l. Если перпендикуляры АК и А₁К, опущенные на прямую l, равны и образуют угол , то говорят, что точка А перешла в точку А₁ в результате поворота на угол относительно прямой l (рис. 55).

Если каждую точку фигуры F повернуть на угол относительно прямой l, то получим новую фигуру F₁ . Тогда говорят, что фигура F перешла в фигуру F₁ с помощью поворота на угол относительно прямой l. На рисунке 56 мы видим фигуры, полученные таким поворотом. Например, повернув куб, изображённый на рисунке 57, на 180° относительно прямой l, получим новый куб.

Поворот относительно прямой также является движением.

Поворот на 180° относительно прямой l называют симметрией относительно прямой l.

Центр, ось и плоскость симметрии называют элементами симметрии. Точки, симметричные точке А (х; у; z) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат, будут иметь следующие координаты:

Симметрия в природе и технике

В природе на каждом шагу можно встретить симметрию.

Например, множество живых существ, в частности тела человека и животных, листья растений и цветы устроены симметрично (рис. 58). Также в неживой природе есть элементы, например, снежинки, кристаллы соли. Молекулярное строение веществ тоже состоит из симметричных фигур. Это, конечно, неспроста, поскольку симметричные фигуры не только красивы, но и самые устойчивые.

Раз так, то можно считать, что красота и совершенство природы построены на основе симметрии. Взяв за основу природную красоту и совершенство, строители, инженеры и архитекторы создают строения и механизмы, здания и сооружения, технику и транспортные средства симметричными. В этой работе им очень помогает наука геометрия.

Подобие пространственных фигур

Пусть и преобразование переводят фигуру F₁, в фигуру F₂. Если

при этом преобразовании для произвольных точек X₁ и Х₂ фигуры F₁ и соответствующих им точек Y₁ и Y₂ фигуры , то это преобразование называют преобразованием подобия (рис. 59).

Как видим, понятие преобразования подобия в пространстве вводится также как на плоскости. Следовательно, рассматриваемые ниже виды подобия, их свойства и доказательства этих свойств подобны соответствующим на плоскости. Поэтому, мы не будем останавливаться на их доказательствах и рекомендуем провести их самостоятельно. Преобразование подобия в пространстве отображает прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок и угол в угол. Точно также это преобразование плоскость отображает в плоскость.

Если в пространстве одна из фигур перешла в другую с помощью преобразования подобия, то эти фигуры называют подобными.

Пусть в пространстве задана фигура F, точка О и число к . Преобразование, переводящее произвольную точку X фигуры F в точку Х₁ удовлетворяющую условию , называют гомотетией относительно центра О с коэффициентом (рис. 61). Точку О называют центром гомотетии, а число коэффициентом гомотетии. Если в результате такого преобразования каждой точки фигуры F получена фигура F₁ то говорят, что фигура F гомотетична фигуре F₁.

Вы видите, что определение гомотетии в пространстве аналогично соответствующему определению на плоскости. Следовательно, все свойства и их доказательства аналогичны. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Гомотетия относительно точки О с коэффициентом является преобразованием подобия. Гомотетия с отличным от нуля коэффициентом при = 1 отображает фигуру F в себя, а при =-1 в фигуру F₁ симметричную фигуре F относительно точки О. В остальных случаях гомотетии не сохраняет расстояния между точками, т. е. не является движением. В результате гомотетии расстояние между точками увеличивается в одно и тоже число раз, т. е. меняются измерения фигуры, но сохраняется её форма. При гомотетии а) прямая отображается в параллельную ей прямую (рис. 62.а); b) плоскость — в параллельную ей плоскость (рис. 62.b), если они не проходят через центр гомотетии.

Если же прямая или плоскость проходят через центр гомотетии, то они отображаются в себя.

I. Механика

Тестирование онлайн

Положение предметов в пространстве. Тело отсчета.

Предлагаю игру: выбрать предмет в комнате и описать его местонахождение. Выполнить это так, чтобы угадывающий не смог ошибиться. Вышло? А что выйдет из описания, если другие тела не использовать? Останутся выражения: «слева от…», «над …» и подобное. Положение тела можно задать только относительно какого-нибудь другого тела.

Местонахождение клада: «Стань у восточного угла крайнего дома села лицом на север и, пройдя 120 шагов, повернись лицом на восток и пройди 200 шагов. В этом месте вырой яму в 10 локтей и найдешь 100 слитков золота». Клад найти невозможно, иначе его давно откопали бы. Почему? Тело, относительно которого совершается описание не определено, неизвестно в каком селе находится тот самый дом. Необходимо точно определиться с телом, которое возьмется за основу нашего будущего описания. Такое тело в физике называется телом отсчета. Его можно выбрать произвольно. Например, попробуйте выбрать два различных тела отсчета и относительно их описать местонахождение компьютера в комнате. Выйдет два непохожих друг на друга описания.

Система координат

Рассмотрим картинку. Где находится дерево, относительно велосипедиста I, велосипедиста II и нас, смотрящих на монитор?

Относительно тела отсчета — велосипедист I — дерево находится справа, относительно тела отсчета — велосипедист II — дерево находится слева, относительно нас оно впереди. Одно и то же тело — дерево, находящееся постоянно в одном и том же месте, одновременно и «слева», и «справа» и «впереди». Проблема не только в том, что выбраны различные тела отсчета. Рассмотрим его расположение относительно велосипедиста I.

На этом рисунке дерево справа от велосипедиста I

На этом рисунке дерево слева от велосипедиста I

Дерево и велосипедист не меняли своего месторасположения в пространстве, однако дерево одновременно может быть «слева» и «справа». Для того, чтобы избавиться от неоднозначности описания самого направления, выберем определенное направление за положительное, противоположное выбранному будет отрицательным. Выбранное направление обозначают осью со стрелкой, стрелка указывает положительное направление. В нашем примере выберем и обозначим два направления. Слева направо (ось, по которой движется велосипедист), и от нас внутрь монитора к дереву — это второе положительное направление. Если первое, выбранное нами направление, обозначить за X, второе — за Y, получим двухмерную систему координат.

Относительно нас велосипедист движется в отрицательном направлении по оси X, дерево находится в положительном направлении по оси Y

Относительно нас велосипедист движется в положительном направлении по оси X, дерево находится в положительном направлении по оси Y

А теперь определите, какой предмет в комнате находится в 2 метрах в положительном направлении по оси X (справа от вас), и в 3 метрах в отрицательном направлении по оси Y (позади вас). (2;-3) — координаты этого тела. Первой цифрой «2» принято обозначать расположение по оси X, вторая цифра «-3» указывает расположение по оси Y. Она отрицательная, потому что по оси Y находится не в стороне дерева, а в противоположной стороне. После того, как выбрано тело отсчета и направления, месторасположение любого предмета будет описано однозначно. Если вы повернетесь спиной к монитору, справа и позади вас будет уже другой предмет, но и координаты у него будут другие (-2;3). Таким образом, координаты точно и однозначно определяют расположение предмета.

Пространство, в котором мы живем, — пространство трех измерений, как говорят, трехмерное пространство. Кроме того, что тело может находится «справа» («слева»), «впереди» («позади»), оно может быть еще «выше» или «ниже» вас. Это третье направление — принято обозначать его осью Z

Можно ли выбирать не такие направления осей? Можно. Но нельзя менять их направления в течение решения, например, одной задачи. Можно ли выбрать другие названия осей? Можно, но вы рискуете тем, что вас не поймут другие, лучше так не поступать. Можно ли поменять местами ось X с осью Y? Можно, но не путайтесь в координатах: (x;y).

При прямолинейном движении тела для определения его положения достаточно одной координатной оси.

Для описания движения на плоскости используется прямоугольная система координат, состоящая из двух взаимно перпендикулярных осей (декартовая система координат).

С помощью трехмерной системы координат можно определить положение тела в пространстве.

Подробнее о системе координат и проекциях

Система отсчета

Каждое тело в любой момент времени занимает определенное положение в пространстве относительно других тел. Определять его положение уже умеем. Если с течением времени положение тела не изменяется, то оно покоится. Если же с течением времени положение тела изменяется, то это означает, что тело движется. Все в мире происходит где-то и когда-то: в пространстве (где?) и во времени (когда?). Если к телу отсчета, системе координат, которые определяют положение тела, добавить способ измерения времени — часы, получим систему отсчета. При помощи которой можно оценить движется или покоится тело.

Относительность движения

Космонавт вышел в открытый космос. В состоянии покоя или движения он находится? Если рассматривать его относительно друга космонавта, находящегося рядом, он будет покоиться. А если относительно наблюдателя на Земле, космонавт движется с огромной скоростью. Аналогично с поездкой в поезде. Относительно людей в поезде вы неподвижно сидите и читаете книгу. Но относительно людей, которые остались дома, вы двигаетесь со скоростью поезда.

Примеры выбора тела отсчета, относительно которого на рисунке а) поезд движется (относительно деревьев), на рисунке б) поезд покоится относительно мальчика.

Сидя в вагоне, ожидаем отправления. В окне наблюдаем за электричкой на параллельном пути. Когда она начинает двигаться, трудно определить кто движется — наш вагон или электричка за окном. Для того, чтобы определиться, необходимо оценить движемся ли мы относительно других неподвижных предметов за окном. Мы оцениваем состояние нашего вагона относительно различных систем отсчета.

Изменение перемещения и скорости в разных системах отсчета

Перемещение и скорость изменяются при переходе из одной системы отсчета в другую.

Скорость человека относительно земли (неподвижной системы отсчета) различная в первом и втором случаях.

Правило сложения скоростей: Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета — это векторная сумма скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Аналогично вектора перемещения. Правило сложения перемещений: Перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета — это векторная сумма перемещения тела относительно подвижной системы отсчета и перемещения подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Пусть человек идет по вагону по направлению (или против) движения поезда. Человек — тело. Земля — неподвижная система отсчета. Вагон — подвижная система отсчета.

Изменение траектории в разных системах отсчета

Траектория движения тела относительна. Например, рассмотрим пропеллер вертолета, спускающегося на Землю. Точка на пропеллере описывает окружность в системе отсчета, связанного с вертолетом. Траектория движения этой точки в системе отсчета, связанной с Землей, представляет собой винтовую линию.

Поступательное движение

Движение тела — это изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени. Каждое тело имеет определенные размеры, иногда разные точки тела находятся в разных местах пространства. Как же определить положение всех точек тела?

НО! Иногда нет необходимости указывать положение каждой точки тела. Рассмотрим подобные случаи. Например, это не нужно делать, когда все точки тела движутся одинаково.

Одинаково движутся все токи чемодана, машины.

Движение тела, при котором все его точки движутся одинаково, называется поступательным

Материальная точка

Не нужно описывать движение каждой точки тела и тогда, когда его размеры очень малы по сравнению с расстоянием, которое оно проходит. Например, корабль, преодолевающий океан. Астрономы при описании движения планет и небесных тел друг относительно друга не учитывают их размеров и их собственное движение. Несмотря на то, что, например, Земля громадная, относительно расстояния до Солнца она ничтожно мала.

Нет необходимости рассматривать движение каждой точки тела, когда они не влияют на движение тела всего целиком. Такое тело можно представлять точкой. Все вещество тела как бы сосредотачиваем в точку. Получаем модель тела, без размеров, но она имеет массу. Это и есть материальная точка.

Одно и то же тело при одних его движениях можно считать материальной точкой, при других — нельзя. Например, когда мальчик идет из дома в школу и при этом проходит расстояние 1 км, то в этом движении его можно считать материальной точкой. Но когда тот же мальчик выполняет зарядку, то точкой его считать уже нельзя.

Рассмотрим движущихся спортсменов

В этом случае можно спортсмена моделировать материальной точкой

В случае прыжка спортсмена в воду (рисунок справа) нельзя моделировать его в точку, так как от любого положения рук и ног зависит движение всего тела

Главное запомнить

1) Положение тела в пространстве определяется относительно тела отсчета;
2) Необходимо задать оси (их направления), т.е. систему координат, которая определяет координаты тела;
3) Движение тела определяется относительно системы отсчета;
4) В разных системах отсчета скорость тела может быть разной;
5) Что такое материальная точка

Видеодемонстрация относительности движения

Сложение скоростей

Упражнения

Положение тела
или точки можно задать только относительно
какого-нибудь другого тела, которое
называют телом
отсчета.
Тело отсчета можно выбрать произвольно.
Им может быть дом, в котором мы живем,
вагон поезда, в котором мы едем, и т.д.
Телами отсчета могут служить тела,
звезды, Земля, Солнце.

Когда тело отсчета
выбрано, через какую-нибудь его точку
проводят оси координат, и положение
любой точки в пространстве описывают
ее координатами.

Для определения
положения тела в пространстве используется
система координат.

При прямолинейном
движении тела для определения его
положения достаточно одной координатной
оси. Например, если автомобиль движется
по прямой дороге, то его движение
описывается одной координатой.

Для описания
движения на плоскости используется
прямоугольная система из двух взаимно
перпендикулярных осей, такая система
еще называется декартовой
системой координат. Например,
когда автомобиль едет из одного города
в другой, то его движение, как правило,
является криволинейным и описывается
двумя координатами.

Движение тела в
поле тяжести Земли нельзя описать двумя
координатами. В этом случае используют
трехмерную систему координат, с помощью
которой можно определить положение
тела в пространстве.

Итак, положение
точки на линии, плоскости и в пространстве
определяют соответственно одним, двумя
или тремя числами – координатами.
Пространство, в котором мы живем, —
пространство трех измерений, трехмерное
пространство.

Но если необходимо
определить путь, который прошло тело
за определенный промежуток времени, то
нам потребуется еще приборы для измерения
времени – часы. Система
координат,
связанная с телом
отсчета, и
часы
для отсчета времени образуют систему
отсчета,
позволяющую определять положение
движущегося тела в любой момент времени.

1.4 Перемещение

В процессе
механического движения положение тела
в пространстве изменяется. Раньше мы
использовали понятие пути
– длины траектории, пройденной телом
за время наблюдения.
Путь обозначают буквой
l,
единицей пути в СИ является метр (1м).
Путь является величиной скалярной,
т.е. не имеющей направления.

Однако для решения
практических задач недостаточно задать
только путь. Например, из лыжной базы в
15 км к северу от города вышел лыжник и
за 2 ч прошел 15 км. Как определить куда
он пришел? Он мог дойти до города – путь
Б, а мог и вернуться обратно – путь А. В
любом случае путь будет равен 15 км, но
положение в пространстве будет разным.

Чтобы избежать
такой неопределенности, вводиться
понятие перемещения.
Перемещение – направленный отрезок,
соединяющий начальное и конечное
положение тела.
Таким образом, перемещение – величина
векторная, то есть имеющая направление.
Перемещение обозначается символом
, единицей перемещения, как пути, является
метр.

В том случае, когда
вектор перемещения лыжника был направлен
на юг, то модуль перемещения равен 15 км,
и мы можем сказать, что лыжник дошел до
города. А в случае, когда лыжник пришел
обратно на базу, его перемещение равно
нулю.

Изменение положения
тела в пространстве можно изобразить
графически, используя понятие перемещения.
Однако в большинстве случаев необходимо
вычислить
положение этого тела, то есть определить
его координаты. При этом вычисления
проводят не с координатами векторов
как таковыми, а с их проекциями
на оси координат и модулями
векторов,
то есть с величинами, представляющими
собой положительные или отрицательные
числа.

Особенно важен
частный случай проектирования вектора
на два взаимноперпендикулярных
направления. Здесь (x₀,y₀)
и (x,
y)
— координаты начала и конца вектора.

Проекция вектора
равна разности координат конца и начала
вектора:

S_x
= x
– x₀

S_y
= y
– y₀

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Материал из PhysBook

Перейти к: навигация, поиск

Содержание книги

Следующая страница

Описание положения тела в пространстве

Декартовые координаты точки в пространстве

Положение (место) точки в пространстве математически удобно описывать с помощью чисел – координат. Простейшей системой (и хорошо вам знакомой) координат является прямоугольная декартовая система. Для ее построения необходимо задать (см. рис.1):

1. Начало отсчета – произвольную точку O;
2. Направления трех взаимно перпендикулярных осей координат, традиционно обозначаемых (X, Y, Z);
3. Единицу измерения длины (отрезок единичной, по определению, длины).

Для определения координат точки A необходимо опустить перпендикуляры из точки A на оси координат (спроецировать точку на оси координат) и задать координаты точек-проекций (x,y,z). Каждое число-координата имеет следующий смысл: декартовой координатой точки на прямой является число, модуль которого равен расстоянию до начала отсчета, а знак указывает, с какой стороны от начала отсчета находится данная точка.

Так как координата точки указывает расстояние до начала отсчета, то ее размерность — размерность длины.

Рассмотрим теперь эти известные математические положения с физической точки зрения. Пространство, в котором мы живем, не имеет «выделенных» точек и направлений, с которыми раз и навсегда можно связать единую и абсолютную систему отсчета. Поэтому положение данного тела можно определить только относительно других тел. В связи с этим начало отсчета физической системы координат удобно связывать с некоторым конкретным телом (которое называется тело отсчета). Направления осей координат также следует связывать с другими материальными телами. В качестве единицы длины используются эталоны, которые воспроизводятся с помощью физических приборов. В международной системе единиц СИ единицей длины является метр.

Подчеркнем, что выбор всех элементов системы координат, в принципе, является произвольным, следовательно, координаты точки относительны. Иными словами, числа-координаты имеют смысл только в том случае, если задана система координат, то есть положение данного тела определяется относительно других тел, с которыми связана система координат.

Во многих случаях задание трех координат точки является излишним. Так если тело движется вдоль заданной (известной) прямой, то имеет смысл одну из осей (скажем X) направить вдоль этой прямой. Тогда оставшиеся координаты (y,z) все время будут равны нулю, поэтому их можно не принимать во внимание.

Заметим, что аналогичным образом можно ввести координаты точки на произвольной заданной линии, измеряя длину участка этой линии между данной точкой и началом отсчета и указывая с помощью знаков с какой стороны от начала отсчета находится точка.

Аналогично, при движении тела по заданной плоскости (и даже произвольной поверхности), достаточно определить в этой плоскости две оси координат.

Эквивалентным координатному является векторный способ описания положения.

В рамках этого метода положение точки в пространстве задается с помощью радиус-вектора , вектора, соединяющего начало координат с рассматриваемой точкой. Координатами этого вектора являются декартовые координаты точки (x,y,z).

Преобразования координат

Как уже было отмечено, координаты точки относительны, они изменяются при переходе в другую систему координат. Во многих случаях, требуется перейти из одной системы координат в другую. Получим формулы таких преобразований для одного частного случая – сдвига начала отсчета на плоскости. Пусть на известной плоскости заданы две декартовые системы координат XOY (которую условно назовем «исходной») и X’O’Y’ (назовем ее «сдвинутой»), оси которых параллельны (см. рис.2). Обозначим (x₀,y₀) координаты начала отсчета сдвинутой системы в исходной системе.

Как следует из рис. 2, координаты точки A в сдвинутой и исходной системах связаны очевидными соотношениями (прямые)

, (1)

обратные:

. (2)

Какую из этих систем считать исходной, а какую сдвинутой, безразлично – системы полностью равноправны. Заметьте, что обратные преобразования могут быть получены заменой (x₀,y₀) на (-x₀,-y₀) . Последняя пара чисел является координатами начала отсчет исходной системы в сдвинутой.

Эти же преобразования короче могут быть записаны и в векторной форме (рис. 3)

. (3)

Аналогичные преобразования при параллельном сдвиге начала отсчета могут быть получены и в трехмерном случае. Более сложный вид имеют формулы преобразования координат при повороте осей (в нашем изложении они нам не понадобятся, поэтому приводить их не будем). Важно, что в любом случае можно найти формулы, позволяющие переходить из одной системы координат в другую. Это обстоятельство, указывает, что произвол в выборе системы координат не вносит существенных трудностей в описание движения тел.

Относительные и инвариантные величины

Мы показали, что при переходе из одной системы в другую координаты точки изменяются (координаты относительны). Помимо относительных величин (зависящих от системы координат) имеются величины независящие от системы координат (такие величины называются инвариантными). Примером такой величины является расстояние между двумя точками. Действительно, пусть на плоскости (рис.4) расположены две точки: A₁ с координатами (x₁,y₁) и A₂ с координатами (x₂,y₂).

Тогда на основании теоремы Пифагора расстояние между точками может быть вычислено по формуле

. (4)

При переходе в любую другую систему отсчета (при неизменной единице длины) расстояние, вычисленное по формуле (4), остается неизменным. Например, при сдвиге начала отсчета, описываемом уравнениями (1), все четыре координаты изменятся, но разности одноименных координат, а, следовательно, и расстояние останутся неизменными (инвариантными). Можно указать и другие геометрические инвариантные величины – углы между отрезками, площади и объемы фигур и др. Особенно отметим, что соотношения, записанные в векторной форме, остаются неизменными при преобразованиях координат. Так, например, скалярное произведение^[1] двух векторов не зависит от выбора системы координат. В частном случае, скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату длины вектора. Поэтому формула (4) в векторной форме имеет вид

. (4a)

Поиск инвариантных величин, не изменяющихся при преобразованиях координат, представляет большой интерес, а многие физические теории и формулируются в терминах инвариантных величин.

Задание для самостоятельной работы

1. В полярной системе координат положение точки A на плоскости задается с помощью а) расстояния r до начала координат O, б) угла φ, который образует отрезок OA с осью X.

Установите связь между полярными (r,φ) и декартовыми координатами точки.

Выразите расстояние между двумя точками через их полярные координаты.

Обсуждая вопрос об описании положения тела в пространстве, мы стыдливо умолчали о том, что не определили понятия «тело». Фактически речь шла о геометрических точках пространства. Любой реальный объект имеет конечные геометрические размеры и определенную форму. Кроме того, реальные тела обладают множеством иных характеристик — массой, температурой, цветом и так далее. Полностью описать все свойства реальных тел, все физические процессы в рассматриваемых телах невозможно из-за их бесконечного многообразия. Поэтому, рассматривая те или иные явления необходимо отвлечься, «забыть» на время, пренебречь некоторыми характеристиками тел и явлений, иными словами, построить модель явления, модель тела. Какими свойствами тела можно в данных условиях пренебречь зависит от конкретной физической задачи, конкретной цели физического исследования.

Материальная точка

Во многих кинематических задачах оказывается возможным пренебречь размерами самого тела. Еще раз рассмотрим автомобиль, движущийся из Минска в Брест. Расстояние между этими городами порядка 350 километров, размеры автомобиля — несколько метров, поэтому в такой ситуации при описании положения автомобиля можно не учитывать его размеры — если капот автомобиля находится в Бресте у нужного подъезда нужного дома, то можно считать, что и его багажник находится приблизительно там же. Таким образом, в данной задаче можно мысленно заменить автомобиль его моделью — телом, размеры которого пренебрежимо малы. Такая модель тела очень часто используется в физике и называется материальной точкой.

Материальная точка — это идеальная модель тела, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Общим у геометрической и материальной точек является отсутствие собственных размеров. Материальную точку, по мере необходимости, можно «наделять» свойствами, которыми обладают реальные тела, например, массой, энергией, электрическим зарядом и так далее.

Одним из критериев применимости модели материальной точки является малость размеров тела по сравнению с расстоянием, на которое оно перемещается. Однако это условие не является абсолютно однозначным. Так, описывая движение Земли вокруг Солнца при расчете ее положения на орбите, размерами Земли можно пренебречь, считать ее материальной точкой. Однако, если нам необходимо рассчитать времена восхода и заката Солнца, модель материальной точки принципиально неприменима, так как это описание требует учета вращения Земли, учета ее размеров и формы.

Рассмотрим еще один пример. Спринтеры соревнуются на стометровой дистанции. Цель описания движения – выявить, кто из спортсменов пробегает дистанцию за меньшее время (задача чисто кинематическая). Можно ли в данной задаче считать бегуна материальной точкой? Его размеры значительно меньше дистанции забега, но достаточно ли они малы, чтобы ими можно было пренебречь? Ответ на эти вопросы зависит от требуемой точности описания. Так, на серьезных соревнованиях время измеряется с точностью 0.01 секунды, за это время бегун смещается на расстояние порядка 10 сантиметров (простая оценка, полученная исходя из средней скорости спринтера 10м/с). Следовательно, погрешность, с которой определяется положением бегуна (10 см) меньше, чем его поперечные размеры, поэтому модель материальной точки в данном случае неприменима. Не случайно мастера спринтерского бега на финише «бросают грудь вперед», выигрывая драгоценные сотые доли секунды. Таким образом, вторым критерием применимости модели является требуемая точность описания физического явления.

В некоторых ситуациях можно использовать модель материальной точки, даже если размеры тела сравнимы и даже больше расстояний, на которое смещается тело. Это допустимо тогда, когда положение одной точки тела однозначно определяет положение всего тела. Так при скольжении бруска по наклонной плоскости, зная положение его центра (как, впрочем, и любой другой точки) можно найти положение всего тела. Если модель материальной точки оказывается неприменимой, то необходимо использовать другие более сложные модели.

Абсолютно твердое тело

Многие реальные тела являются твердыми, то есть в течении длительного времени сохраняют свои размеры и форму, точнее говоря изменения размеров и формы настолько незначительны, что ими можно пренебречь. Моделью таких тел служит абсолютно твердое тело.

Абсолютно твердое тело — это идеальная модель тела, изменением размеров и формы которого в данных условиях можно пренебречь.

Из этого определения следует, что расстояния между двумя любыми точками абсолютно твердого тела остается неизменным. Абсолютно твердое тело можно также рассматривать как совокупность материальных точек, жестко связанных между собой. Так положение океанского лайнера в открытом море можно описать, пользуясь моделью материальной точки, а его пространственную ориентацию (курс, наклон) с помощью модели абсолютно твердого тела. Применимость модели абсолютно твердого тела обусловлена только конкретной исследуемой проблемой — целью моделирования и требуемой точностью.

Число степеней свободы тела

Теперь, после того как мы изучили несколько моделей тел, можно окончательно и корректно сформулировать ответ на вопрос: «Что означает задать, определить положение тела?» — Указать численной значение координат некоторых точек тела так, чтобы положение всего тела (любой его части) было определено однозначно.

Число независимых координат, которые однозначно определяют положение тела или системы тел в пространстве называется числом степеней свободы.

Число степеней свободы очень важная характеристика описываемой системы, хотя бы потому, что определяет число независимых уравнений, описывающих движение системы.

Подсчитаем число степеней свободы некоторых простых систем.

Материальная точка, по определению, не имеет размеров, поэтому ее положение в пространстве определяется однозначно тремя координатами. Следовательно, число степеней свободы свободно материальной точки равно трем. Если на движение материальной точки накладываются дополнительные условия, то число ее степеней свободы может уменьшиться. Так если точка движется по заданной поверхности, то ее положение определяется двумя независимыми координатами, следовательно, число степеней свободы равно двум; при движении по заданной линии число степеней свободы уменьшается до одной. Подчеркнем, это не значит, что при движении по заданной линии может изменяться только одна и — могут изменяться все три, но положение точки на заданной линии определяется одной координатой, и если она известна, то могут быть определены и две других. Тем не менее, описание положения точки на заданной линии с помощью одной координаты оказывается не всегда удобным. Ценность рассмотренных нами декартовых координат в том, что они позволяют установить физические законы, описывающее движение вдоль всех прямых (все прямые одинаковы!). В то же время, для описания изменения координат на произвольной линии пришлось бы записывать свои законы для каждой линии — окружности, параболы, синусоиды и т.д. Поэтому часто одномерное движение вдоль известной линии описывают с помощью двух или трех координат. Однако и в этом случае число степеней свободы остается равным единице.

Если механическая система может быть промоделирована как N материальных точек, движущихся в пространстве, то, очевидно, полное число ее степеней свободы равняется 3N. Но если на движение этих материальных точек накладываются дополнительные ограничения, то число степеней свободы уменьшается.

Рассмотрим, как можно описать положение в пространстве двух материальных точек жестко связанных между собой (что-то похожее на гантели). Две точки имеют шесть степеней свободы, которые могут быть описаны шестью координатами — x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂, но так как расстояние между точками неизменно, то на эти координаты накладывается условие

,

где l — расстояние между точками, поэтому число независимых координат, или число степеней свободы равно пяти.

Таким образом, число степеней свободы системы, состоящей из N материальных точек равно 3N минус число дополнительных условий (связей), накладываемых на движение этих точек.

Число степеней свободы может быть подсчитано и другим способом. Обратим внимание, что точное определение координат уменьшает «подвижность» точки (или системы точек). Так, например, если для материальной точки задана координата z, то точка может двигаться только в плоскости перпендикулярной оси Z, задание еще одно координаты (скажем y), приводит к тому, что точка может двигаться только вдоль прямой параллельной оси X. Поэтому число степеней свободы можно находить, подсчитывая, сколько независимых координат необходимо определить, чтобы жестко «закрепить» тело. С помощью такого подхода найдем число степеней свободы системы, состоящей из двух жестко связанных точек. Задавая три координаты одной точки, мы ее как бы закрепляем, тогда вторая точка сможет двигаться так, что бы ее расстояние до первой оставалось неизменным, то есть по поверхности сферы радиуса l. Понятно, что если определено положение двух точек твердого тонкого стержня, то задано и положение всего стержня, поэтому тонкий стержень имеет пять степеней свободы.

Посчитаем число степеней свободы свободно движущегося абсолютно твердого тела. Выберем внутри тела три произвольных точки A, B, C, не лежащих на одной прямой. (рис 5). Положение одной точки A, определяется тремя координатами, если задано положение точки A, то положение точки B может быть описано двумя координатами. Наконец, при «закрепленных» точках A и B, тело может только вращаться вокруг оси, проходящей через эти точки. Следовательно, точка C имеет одну степень свободы. Таким образом, абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы.

Как мы уже отмечали, для описания положения точки можно использовать разные системы координат, аналогично, положение твердого тела также может быть описано различными способами, только число независимых координат во всех способах описания будет одним и тем же равным числу степеней свободы. Так во многих случаях, положение твердого тела, описывают, задавая три декартовые координаты одной из его точек (чаще центра), и три угла, определяющие его ориентацию.

Существует ли четвертое измерение?

В научно-фантастических произведения иногда встречаются сюжеты, в которых разумные существа осваивают четвертое, пятое и так далее измерения ^[2]. Повышение размерности пространства предоставляет новые богатейшие возможности, как для этих существ, так и для писателей-фантастов. Сравните двухмерную плоскость и трехмерное пространство! Для того чтобы «выйти» из плоскости в трехмерное пространство можно предложить следующий метод: из центра окружности необходимо провести бесконечный луч, который нигде не пересекает окружность, такой луч лежит в третьем измерении. По аналогии можно предложить «путь в четвертое измерение»: из центра сферы необходимо провести луч, который нигде не пересекает сферу — вообразили? Еще один способ — провести прямую, которая перпендикулярна трем взаимно перпендикулярным прямым. Конечно, если вам не удалось представить себе такой луч или такую прямую, то это еще не является доказательством отсутствия четвертого измерения в нашем пространстве.

Попытаемся представить, к каким наблюдаемым явлениям могло бы привести наличие дополнительного измерения. Например, «из четвертого измерения» можно было бы заглянуть внутрь любого трехмерного тела (как из третьего измерения можно видеть «внутренности» любой плоской фигуры). Далее, был бы возможен бесследный «уход» и обратное появление в любом другом месте любых материальных тел (опять же представьте себе, что будет происходить на плоскости, которую пересекает трехмерное тело). К настоящему времени таких фактов не зафиксировано. Более того, не известно таких явлений, которые не могли бы быть объяснены с точки зрения пространства трех измерений.

Еще одним доказательством трехмерности пространства, в котором мы обитаем, является ряд физических законов. Рассмотрим, например, точечный источник, который посылает свет во все стороны равномерно. Понятно, что энергия, пересекающая поверхность любой сферы, внутри которой находится источник, должна быть постоянна. Следовательно, интенсивность света (то есть энергия, приходящаяся на единицу площади) должна убывать обратно пропорционально площади сферы, то есть обратно пропорционально квадрату расстояния. Если бы свет распространялся и в четвертом измерении, то его интенсивность убывала бы обратно пропорционально кубу расстояния. Эксперимент однозначно утверждает, что интенсивность убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Эти и другие факты утверждают, что наше пространство действительно трехмерно. Таким образом, ответ на вопрос этого раздела в настоящее время следующий:

Пространство четырех и более измерений является математической абстракцией, можно изучать свойства геометрических объектов в таких пространствах, при решении целого ряда задач, в том числе физических бывает полезно их рассматривать в многомерных пространствах, однако, в настоящее время нет никаких оснований полагать, что реально существует четвертое измерение в том смысле, что реально существуют некоторые материальные тела вне пространства трех измерений.

Вопросы для самостоятельной работы.

1. Подсчитайте число степеней свободы тонкого стержня, толщиной которого можно пренебречь.
2. Две материальные точки связаны пружиной. Чему равно число степеней свободы такой системы?
3. Чему равно число степеней свободы руки человека?

Механическое движение. Закон движения

Окружающий нас мир не является застывшим, в нем постоянно происходят всевозможные изменения — «все течет, все изменяется», и нет необходимости убеждать кого-либо в этой очевидной истине. Простейшим видом изменений, происходящих в окружающем нас мире, является изменение положений тел в пространстве, механическое движение.

Механическим движением называется изменение положений тел в пространстве с течением времени.

При движении материальной точки она описывает в пространстве некоторую линию. Для описания движения можно попытаться найти эту линию, а затем описывать положение точки на этой ней. Для этого можно, например, задать зависимость пройденного пути от времени движения.

Линия, вдоль которой движется материальная точка, называется траекторией движения.

Путь, пройденный точкой равен длине участка траектории между двумя последовательными положениями тела.

Однако определение траектории движения часто представляет собой отдельную и достаточно сложную задачу, поэтому часто оказывается более простым и удобным описывать механическое движение иным способом.

Мы уже знаем, что положение тела в пространстве описывается с помощью координат. Если положение тела изменяется, то изменяются и его координаты, они становятся зависящими от времени, становятся функциями времени.

Зависимость всех координат тела от времени называется законом движения.

Таким образом, закон движения определяет положение тела в любой произвольный момент времени. Математическим выражением закона движения является набор функций — зависимостей координат от времени. Таким образом, нам необходимо дополнить рассмотренную систему координат прибором для измерения времени — часами. Дальше такой набор — системы координат и часов мы будем называть системой отсчета. Как всякая функция закон движения может быть представлен в нескольких формах — в виде таблицы, в виде графика, в виде формулы.

Подчеркнем, что закон движения полностью описывает движение, дает исчерпывающую информацию о движении, зная его можно найти любую характеристику движения. Однако, задача физики, заключается не только в том чтобы просто описать наблюдаемое движение, более важная задача — научиться предсказывать движение, рассчитывать его, строить его модели, создавать условия, для того чтобы получить движение требуемого вида. Для успешного решения таких проблем нам необходимо ввести и изучить некоторые характеристики механического движения (скорость, ускорение и т.д.), которые позволяют теоретически находить законы движения.

Примечания

1. ↑ Напомним, результатом скалярного произведения двух векторов и называется число c , равное произведению модулей векторов на косинус угла α между ними: .
2. ↑ Для примера можно вспомнить знаменитый роман М.Булгакова «Мастер и Маргарита»

Смотреть HD

видео онлайн

бесплатно 2022 года