Будем рассматривать двумерный случай.
Матрица преобразования — это некоторая матрица . Мы будем рассматривать матрицы вида
Допустим есть какое-то преобразование , и (к точке применили преобразование и получили точку ).
Тогда матрица преобразования , умноженная на однородные координаты , даёт однородные координаты .
В каком-то смысле, любое линейное преобразование одновременно является матрицей, так же как точка — это набор координат.
Посмотрим как меняются координаты при преобразовании.
.
То есть новые координаты как-то линейно зависят от старых.
Рассмотрим частные случаи преобразований.
Содержание
- 1 Базовые преобразования
- 1.1 Параллельный перенос
- 1.2 Масштабирование вдоль осей
- 1.3 Поворот относительно начала координат
- 1.4 Тождественное преобразование
- 2 Композиция преобразований
Базовые преобразования
Параллельный перенос
Задаёт преобразование .
Обозначается , где — вектор параллельного переноса.
Пример
Задача: Найдите новые координаты точки после параллельного переноса плоскости на вектор .
Решение:
Вполне ожидаемый ответ.
Масштабирование вдоль осей
Задаёт преобразование .
Будем обозначать как . Числа и называются коэффициентами масштабирования.
Пример
Задача: Найдите новые координаты точки после масштабирования по оси с коэффициентом 2 (по оси масштаб остаётся таким же).
Решение:
Поворот относительно начала координат
Обозначается , где — угол поворота.
Как обычно, при повороте против часовой стрелки, и при повороте по часовой стрелке.
Пример
Задача: Найдите новые координаты точки после поворота плоскости на °.
Решение:
Замечание
, то есть центральная симметрия относительно начала координат меняет координаты точки на противоположные.
Тождественное преобразование
Это преобразование, оставляющее все точки неподвижными.
Его матрица:
Композиция преобразований
Задача: к точке применили осевую симметрию относительно , и затем применили параллельный перенос на . Какие новые координаты у точки?
Решение: обозначим нашу точку за , новую точку за
Посчитаем двумя способами.
1)
2) Воспользуемся ассоциативностью умножения матриц (сочетательный закон)
Заметим, что — тоже какая-то матрица преобразования, в данном случае «осевая симметрия относительно , с последующим параллельным переносом на »
Действительно,
Тогда матрица для будет .
Получается, при композиции преобразований их матрицы перемножаются.
Композиция двумерных преобразований
Понятие композиции было введено в
предыдущем разделе. В данном разделе
мы покажем, каким образом можно
использовать композицию преобразований
для объединения фундаментальных матриц
R, S
и Τ с целью
получения желаемых общих результатов.
Основное преимущество объединенных
преобразований состоит в том, что к
точке более эффективно применять одно
результирующее преобразование, чем ряд
преобразований друг за другом.
Рассмотрим, например, поворот объекта
относительно некоторой произвольной
точки Pi. Поскольку
нам известно, лишь как поворачивать
вокруг начала координат, разобьем
исходную (трудную) проблему на три более
легкие задачи. Таким образом, чтобы
произвести поворот относительно точкиPi,
необходимо выполнить последовательно
три элементарных преобразования:
1. Перенос, при котором точка Pi
перемещается в начало координат.
2. Поворот.
3. Перенос, при котором точка из начала
координат возвращается в первоначальное
положение Ρi.
Эта последовательность показана на
рис. 2.3, на котором вокруг точки Ρi(x,
у) поворачивается контур
домика. Первый перенос производится на(-x1,
—y1),в то время как последующий — на (x1,
y1)
— является обратным ему. Результат
существенно отличается от того, который
получился бы, если бы применялся один
только поворот.
Результирующее преобразование имеет
вид
Эта композиция преобразований путем
умножения матриц служит примером того,
как применение однородных координат
упрощает задачу.
Используя аналогичный подход, можно
промасштабировать объект относительно
произвольной точки Рi:
перенестиΡi
в начало координат, промасштабировать,
перенести назад в точкуΡi.
Результирующее преобразование в
этом случае будет иметь вид
Предположим, что нам необходимо
промасштабировать, повернуть и расположить
в нужном месте домик, показанный на
рис.2.3, где центром поворота и масштабирования
является точка Ρ1.
Последовательность преобразований
заключается в переносе точкиΡ1
в начало координат, проведении
масштабирования и поворота, а затем
переносе из начала координат в новую
позицию Р2, в которой домик должен
оказаться (эта последовательность
показана на рис. 2.3). В структуре данных,
в которой содержится это преобразование,
могут находиться масштабный множитель
(множители), угол поворота и величины
переноса или может быть записана матрица
результирующего преобразования:
Если известно, что M1
иM2представляют собой элементарные перенос,
масштабирование или поворот, то при
каких условияхΜ1
иΜ2
коммутативны? В общем случае умножение
матриц некоммутативно. Однако легко
показать, что в следующих частных случаях
коммутативность имеет место (в этих
случаях можно не беспокоиться о порядке
перемножения матриц – см. Таблицу 2.1).
Рис. 2.3 Композиция
преобразований
Таблица 2.1
|
M1 |
М2 |
|
Перенос |
Перенос |
|
Масштабирование |
Масштабирование |
|
Поворот |
Поворот |
|
Масштабирование (при Sx |
Поворот |
Матричное представление трехмерных преобразований
Аналогично тому, как двумерные
преобразования описываются матрицами
размером 3×3, трехмерные преобразования
могут быть представлены в виде матриц
размером 4×4. И тогда трехмерная точка
(x,у, z)
записывается в однородных
координатах как(W∙x,
W∙y,
W∙z,
W), гдеW≠0.
ЕслиW≠1,
для получения трехмерных декартовых
координат точки(х, у, z)
первые три однородные координаты
делятся наW. Отсюда,
в частности, следует, что две точкиΗ1
иH2в пространстве однородных координат
описывают одну и ту же точку трехмерного
пространства в том и только в том случае,
когдаH1=cH2
для любой константыс, не равной
нулю.
Трехмерная система координат, применяемая
в этой книге, является правосторонней
(рис.2.4). Примем соглашение, в соответствии
с которым положительными будем считать
такие повороты, при которых (если смотреть
с конца положительной полуоси в
направлении начала координат)поворот
на 90° против часовой стрелки будет
переводить одну положительную полуось
в другую. На основе этого соглашения
строится следующая таблица, которую
можно использовать как для правых, так
и для левых систем координат:
Рис. 2.4. Правосторонняя
система координат
Таблица
2.2. Правосторонняя система координат
|
Если ось вращения |
Положительным будет направление |
|
x у z |
от у к z от zкx от xкy |
Мы применяем здесь правостороннюю
систему координат, поскольку она хорошо
знакома большинству людей, хотя в
трехмерной графике чаще более удобна
левосторонняя система, так как ее легче
представить наложенной на поверхность
экрана дисплея. Это позволяет естественно
интерпретировать тот факт, что точки с
большими значениями zнаходятся дальше от наблюдателя. Отметим,
что в левосторонней системе положительными
будут повороты,выполняемые по часовой
стрелке, если смотреть с конца
положительной полуоси в направлении
начала координат.
Трехмерный перенос является простым
расширением двумерного:
Масштабирование расширяется аналогичным
образом:
В самом деле,
Двумерный поворот является в то же время
трехмерным поворотом вокруг оси z.
В трехмерном пространстве поворот
вокруг осиz
описывается выражением
Это легко проверить: в результате
поворота на 90° вектора [1 0 0 1], являющегося
единичным вектором оси х, должен
получиться единичный вектор [0 1 0 1] осиy. Вычисляя произведение
получаем предсказанный результат [0 1 0
1]. Матрица поворота вокруг оси x
имеет вид
Матрица поворота вокруг оси у
записывается в виде
Столбцы (и строки) верхней левой подматрицы
размером 3×3 матриц Rz,
RxиRyпредставляют собой взаимно ортогональные
единичные векторы, интерпретация которых
такая же, что и в двумерном случае.
Все эти матрицы преобразований имеют
обратные матрицы. Матрица, обратная Т,
получается подстановкой знака минус
передDx, Dy
иDz; обратнаяS— заменойSx, Sy
иSz на обратные
им значения, а для каждой из трех матриц
поворота — выбором отрицательного угла
поворота.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Геометрические преобразования
- Подробности
- Категория: Геометрия
Документальные учебные фильмы. Серия «Геометрия».
Виды преобразований подобия
Напомним, что преобразование подобия F— это такое преобразование плоскости, при котором все расстояния изменяются в одинаковое число раз для любых двух точек А и В. При
эти преобразования называются движениями.
Сведения о различных видах движений и подобий дадим в форме таблицы:
Здесь перечислены все виды преобразований подобия, т.е. любое из них попадает в одну из первых пяти строчек этой таблицы. Поворот и гомотетия — частные случаи спирального подобия; центральная симметрия — частный случай поворота и гомотетии; осевая симметрия — частный случай скользящей симметрии и зеркального подобия. Тождественное преобразование — частный случай параллельного переноса и поворота.
Приведем определения тех видов преобразований из этой таблицы, которые не встречаются в школьных учебниках. Они даются с помощью композиции (напомним, что композиция преобразований — это преобразование, образующееся в результате последовательного выполнения данных):
скользящая симметрия — это композиция осевой симметрии и параллельного переноса вдоль оси симметрии;
поворотная гомотетия (или спиральное подобие) — это композиция поворота и гомотетии с одним и тем же центром;
зеркальное подобие — композиция осевой симметрии и гомотетии с центром на оси.
Во всех этих случаях порядок, в котором выполняются преобразования в композиции, роли не играет (хотя, вообще говоря, он влияет на результат).
Композиции преобразований подобия
В ряде задач на построение для решения требуется находить композицию К преобразований подобия F и G. Для этого используют следующие факты:
1) Если F и G — преобразования одинакового рода, то К имеет первый род, если F и G разного рода, то К — преобразование второго рода.
2) Коэффициент подобия К равен произведению коэффициентов F и G.
3) Если F и G — преобразования первого рода, при одном из которых все лучи поворачиваются на угол α, а при другом — на β, то К поворачивает все лучи на угол α+β (если α, β или α+β равны 0, то соответствующее преобразование — параллельный перенос или гомотетия).
4) В частности, если F и G — переносы, то К тоже перенос; если F и G — повороты на углы α и β, то К — поворот на угол α+β или параллельный перенос, если α+β = 360°А; если F и G -гомотетии с коэффициентами A1 и А2, то К — гомотетия с коэффициентом А1А2 или параллельный перенос, если А1А2 = 1.
5) Если F и G — преобразования подобия второго рода и их оси пересекаются под углом α, то К — поворотная гомотетия с углом поворота 2α; если же оси параллельны, то К — параллельный перенос или гомотетия.
Решение задач на построение с применением преобразований
Задачи на применение преобразований непременно входят во все сборники задач на построение. Обычно они располагаются в соответствии с типом применяемого преобразования (говорят о «методе симметрии», «методе поворота» и т.д.). Однако такая классификация довольно бессодержательна, поскольку этот признак — тип преобразования -совершенно формальный. Но эти же задачи можно группировать и по более существенному признаку — способу применения преобразования; при этом в одной группе оказываются задачи, в которых используются разные виды подобий и движений (а возможно и другие преобразования). Начнем с наиболее известного среди них метода, название которого, как кажется, противоречит изложенному выше подходу — в нем указан конкретный вид преобразования.
• Метод гомотетии
Задачи на применение этого метода можно встретить в большинстве учебников. Рассмотрим один из наиболее популярных примеров.
Пример 1. Вписать в данный угол окружность, проходящую через данную внутри угла точку.
Не будем здесь повторять решение этой известной задачи. Выделим только его основную идею: временно откажемся от условия, что окружность должна пройти через данную точку; и построим произвольную окружность, вписанную в угол. Построенная окружность будет гомотетична искомой и останется только найти и применить к ней гомотетию, после которой она пройдет через данную точку.
Обычно этот метод решения увязывают с методом подобия. Однако нетрудно придумать содержательные задачи, основанные на том же принципе решения, но использующие другие преобразования. Например, построить окружность, касающуюся двух параллельных прямых и проходящую через данную точку.
Или такая же задача, в которой параллельные прямые заменены концентрическими окружностями. Обе эти задачи решаются аналогично исходной: отказавшись от «привязки» к точке, строим произвольную окружность, вписанную в данную полосу (или круговое кольцо), а затем находим и применяем к ней параллельный перенос (соответственно, поворот), после которого она пройдет через данную точку. Однако чаще всего в таких задачах все же используется гомотетия.
• Пересечение с образом
Это метод является комбинацией применения преобразований и метода геометрических мест. Именно, одно из двух геометрических мест, пересечение которых есть искомая точка, получено как образ некоторого множества при преобразовании.
Пример 2 (Задача Ламе). Построить отрезок с концами на сторонах данного угла так, чтобы данная внутри угла точка А была его серединой.
Допустим, что искомый отрезок XY построен. Точка X лежит на стороне a, Y — на стороне b. При этом X переходит в Y при центральной симметрии относительно точки А. Поэтому точка Y должна принадлежать образу а’ стороны а. Отсюда вытекает построение: строим луч, симметричный стороне а относительно точки А. Тогда Y— точка его пересечения с b.
Обобщим этот метод.
Пусть задача сводится к построению пары точек X и Y, о которых из условия известно, что
1) точка X лежит на данной фигуре Ф,
2) точка Y лежит на данной фигуре Ф1,
3) точка Y получается из точки X при некотором известном преобразовании F.
Чтобы ее решить, замечаем, что если X’— образ точки X при преобразовании F, то когда точка X пробегает фигуру Ф (условие 1), точка X’ описывает образ Ф’ этой фигуры при преобразовании F. Поэтому точка Y должна лежать на Ф’ (условие 3), а значит, искомые точки Y — это все точки пересечения Ф’ и Ф1 (условие 2). Соответствующие точки X находятся как прообразы точек Y при преобразовании F.
Большинство содержательных задач на построение с помощью преобразований из школьных учебников решаются этим методом.
• Использование симметрии фигур
Если фигура, которую требуется построить, обладает симметрией, т.е. переходит в себя при некотором преобразовании (или какая-то ее часть переходит в другую часть), причем это преобразование полностью определяется из условия задачи, то по данным точкам фигуры можно найти другие ее точки. Это простое соображение позволяет решить целый ряд задач.
Пример 3. Провести через данные три точки А, В, С три параллельные прямые, одна из которых равноудалена от двух других.
Очевидно, что искомая тройка прямых симметрична относительно любой точки на «средней» прямой. Допустим, что эту прямую мы хотим провести через точку А. Тогда прямая с, проходящая через С, симметрична прямой h, проходящей через В, и, следовательно, содержит точку Д симметричную В относительно А. Построение очевидно.
Поскольку любая из трех прямых может быть «средней», задача имеет, вообще говоря, три решения. Исключение — случай, в котором две данные точки симметричны относительно третьей; тогда решений бесконечно много.
Другое решение, использующее то же общее соображение, получается, если заметить, что пара прямых b, а (где а — «средняя» прямая) переходит в пару а, с при переносе на любой вектор с концами на b и а, в частности, при переносе на вектор ВА . Значит, вторую (отличную от С) точку прямой с можно получить переносом А на этот вектор.
• Воссгановление многоугольника
Рассмотрим простейший пример.
Пример 4. Построить замкнутую n-звенную ломаную А1А2…Аn, если даны середины ее звеньев: М1 — середина A1A2, М2 — середина А2А3,… и Мn— середина АnА1.
Эту задачу несложно решить и без помощи преобразований. При n=3 она совсем простая, а при n > 3 можно заметить, что если даны середины К, L, М трех последовательных звеньев АВ, ВС и CD, то середина N отрезка AD образует вместе с тремя данными серединами параллелограмм KLMN (параллелограмм Вариньона четырёхугольника ABCD). Это позволяет провести индуктивное построение. Но решение с применением преобразований открывает путь к целой серии гораздо более трудных и интересных задач.
Заметим, что точка A2 симметрична А1 относительно М1, А3 симметрична А2 относительно М2 и т.д., наконец, А1 симметрична Аn относительно Мn. Это значит, что если мы последовательно применим к А1 центральные симметрии относительно М1 М2, …, Мn, то после n симметрий точка вернется в исходное положение A1. Другими словами, А1 — это неподвижная точка композиции указанных центральных симметрий и задача сводится к отысканию этой композиции. С помощью теоремы о средней линии треугольника легко увидеть, что композиция двух симметрий с центрами М и N есть параллельный перенос на вектор . Отсюда ясно, что при четном n рассматриваемая композиция также есть параллельный перенос, а при нечетном — центральная симметрия. В последнем случае имеется единственная неподвижная точка и, стало быть, единственное решение нашей задачи. Найти его, т.е. точку А1, можно, пользуясь указанным выше свойством композиции центральных симметрий. Можно пойти и более элементарным путем: взять любую точку В1 и последовательно отразить ее относительно всех данных п середин. В итоге получится некоторая точка Bn+1. Но, как мы знаем, композиция симметрий в этом случае — центральная симметрия, а поскольку точку В1 она перевела в точку Вn+1, ее центр находится в середине отрезка, соединяющего эти точки. Это и будет искомая точка А1.
Случай четного n в некотором смысле более интересен. Поскольку параллельный перенос может иметь неподвижную точку только тогда, когда он является тождественным преобразованием, мы сразу получаем, что в этом случае к нашей задаче применим своего рода «закон нуля или бесконечности»: либо она нс имеет решений (неподвижных точек нет), либо в качестве А1 можно взять любую точку плоскости (любая точка неподвижная). Остается выяснить, как это зависит от данных точек Мi. Разбивая всю цепочку из n симметрий на последовательные пары, видим, что второй случай (случай произвольного выбора А1) имеет место тогда и только тогда, когда .
Заметим, что из приведенного решения сразу следует такая теорема: середины M1, М2, …, Mn замкнутой ломаной с четным числом n звеньев удовлетворяют приведенному выше векторному равенству. (Действительно, наша задача на построение в этом случае заведомо имеет решению — данную ломаную.) Теорема о параллелограмме Вариньона является частным случаем этой теоремы.
Таким же способом можно решать задачи, которые можно свести к следующей схеме: даны n преобразований F1, F2,…» Fn (в примере это были центральные симметрии); требуется построить замкнутую ломаную А1А2…Аn, каждая вершина Аk которой переходит в следующую при преобразовании Fk (следующей вершиной за Аn является, конечно, А1). Решение сводится к поиску неподвижных точек композиции данных преобразований.
Например, если нам дана вершина О правильного треугольника, построенного на звене АВ ломаной, то преобразование F, переводящее А в В — это поворот на 60°; если задан серединный перпендикуляр р к отрезку АВ, то F — это осевая симметрия относительно р; а если дана точка M, которая делит отрезок АВ в отношении 1:2, то F — это гомотетия с центром М и коэффициентом -1/2.
Во многих случаях композиция преобразований, возникающая в таких задачах оказывается параллельным переносом и мы попадаем в зону действия «закона нуля или бесконечности», получая в придачу к решению задачи интересные теоремы.
Наиболее известный из таких примеров — т.н. теорема Наполеона. Допустим, нам нужно построить треугольник, если даны центры О1, O2, Oз правильных треугольников, построенных «одинаковым образом» на его сторонах (т.е., например, все снаружи искомого треугольника). В этом случае преобразования F1, F2, F3 — это повороты вокруг данных точек на 120° в одном и том же направлении. Композиция поворотов F1 и F2, как было сказано выше, есть поворот вокруг некоторой точки O на 120°+120°=240° (несложно проверить, что точка O — вершина правильного треугольника, построенного на отрезке O1O2). Композиция поворота с третьим данным поворотом F3 — параллельный перенос (т.к. 240°+120°=360°), который будет тождественным преобразованием только в том случае, когда O = Oз. Следовательно, только в этом случае задача и имеет решение, причем в качестве «первой» вершины треугольника можно взять любую точку. Отсюда и вытекает упомянутая выше знаменитая теорема: центры правильных треугольников, построенных извне на сторонах произвольного треугольника, сами образуют правильный треугольник.
Документ из архива «Композиции преобразований»,
который расположен в категории «».
Всё это находится в предмете «математика» из , которые можно найти в файловом архиве .
Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе «остальное», в предмете «математика» в общих файлах.
Оглавление
Предисловие 3
Введение 4
§1. Композиции движений пространства. 4
-
Основные композиции движений пространства. 4
-
Композиции центральных симметрий пространства. 9
-
Композиция зеркальной и центральной
симметрий пространства. 11
-
Композиции осевых симметрий пространства. 12
-
Применение композиций движений
пространства к решению задач. 16
§2. Композиции подобий и аффинных преобразований
пространства 18
Литература 22
Предисловие
Композиции геометрических преобразований пространства являются логическим продолжением темы композиций геометрических преобразований плоскости. И если последние освещены в литературе сравнительно полно, то для пространства литературы гораздо меньше.
Целью данной работы является рассмотрение и изучение некоторых композиций преобразований евклидова пространства. Эти композиции выбирались следующим образом: строился стереометрический аналог для некоторых теорем, задач из планиметрии (планиметрические задачи можно найти в [2]) , решались задачи из [3].
В настоящей работе рассмотрены и систематизированы 14 композиций преобразований евклидова пространства, оформленные в виде задач, поэтому эта работа может быть использована при проведении факультативных занятий в школе для детей с подходящим уровнем знаний и на первых курсах ВУЗов в курсе геометрии.
Введение
Пусть f и g – два преобразования множества X такие, что f(x)=y, g(y)=z для произвольного xX, конечно, yX и zX. Отображение определим законом (x)=g(f(x)). Тогда отображение является преобразованием множества X и называется композицией (произведением) преобразований f и g. В литературе принято следующее обозначение композиции преобразований: = g◦f.
Композиции преобразований обладают следующими свойствами:
1. Композиция преобразований ассоциативна, т. е. для любых преобразований f, g, h данного множества имеет место равенство:
h◦(g◦f)=(h◦g)◦f.
2. Композиция преобразований антикоммутативна, но в частных случаях композиции преобразований могут быть коммутативными.
В дальнейшем будут рассматриваться композиции преобразований евклидова пространства.
§1. Композиции движений пространства
-
Основные композиции движений пространства
Рассмотрим композиции движений пространства, которые часто используются при нахождении других композиций движений и при решении геометрических задач.
Задача 1. Найти композицию поворота Rl и переноса пространства при условии, что вектор
и ось поворота l не параллельны.
Решение. Представим оба движения композициями осевых симметрий:
Rl = Sb◦Sa , где al, bl, (a, b)= (здесь и дальше будут рассматриваться ориентированные углы), abl=O и
=Sv◦Su , где u║v, u
. Пользуясь имеющимся произволом в выборе осей симметрий, можно совместить оси u и b (рис. 1). Тогда
◦Rl=Sv◦Su◦Sb◦Sa=Sv◦Sa . Если вектор
не ортогонален оси l, то прямые a и v скрещиваются, и угол между ними равен углу между a и b, т.е. равен
. Композиция Sv◦Sa есть винтовое движение с осью m, являющейся общим перпендикуляром прямых a и v, и вектором 2
, где P=am, Q=vm, m║l. Итак,
◦Rl =
◦Rl , m║l.
Если l, прямые a и v пересекаются, поэтому
=
, и искомая композиция является поворотом Rm . Если при этом =, то имеем, что
◦Rl = Sm,
l, m║l.
Рис. 1
Задача 2. Найти композицию двух поворотов пространства Rb◦Ra.
Решение. Сначала найдём композицию Rb◦Ra двух поворотов, оси которых скрещиваются. Построим общий перпендикуляр h прямых a и b и представим заданные повороты композициями осевых симметрий:
Ra=Sh◦Su , Rb=Sv◦Sh , ua, ub, uha=A, vhb=B,
(u, h)= , (h, v)=
(рис. 2). Тогда
Rb◦Ra=Sv◦Sh◦Sh◦Su=Sv◦Su. Оси u и v скрещиваются, если бы они принадлежали одной плоскости, то прямые a и b, перпендикулярные этой плоскости, были бы параллельны. При таком расположении осей полученная композиция симметрий Sv◦Su есть винтовое движение, осью которого является общий перпендикуляр l прямых u и v, угол =2(u, v), а вектор =2
, где P=ul, Q=vl.
Рис. 2
Угол винтового движения можно вычислить через углы и данных поворотов и угол = . По теореме косинусов для трехгранного угла с вершиной B, ребрами которого являются лучи h, u, v, справедливо следующее равенство:
cos = — cos
cos
— sin
sin
cos (доказательство данной формулы можно найти в [4], с. 26).
Рассмотрим случай, когда оси a и b пересекаются (в точке B). Тогда прямые u и v также будут пересекаться в точке B, и u совпадет с прямой u. Искомая композиция Rb◦Ra есть поворот Rl, причем угол этого поворота подсчитывается по указанной выше формуле. При a║b и +2 прямые u и v пересекаются в точке O. И рассматриваемая композиция Rb◦Ra есть поворот Rl+, ось l которого проходит через точку O параллельно прямым a и b.
При a║b и +=2 будет u║v. В этом случае композиция поворотов является переносом.
Задача 3. Найти композицию трех зеркальных симметрий.
Решение. Выделим случай, когда композиция трех зеркальных симметрий является зеркальной симметрией, S◦S◦S=S . Это равенство эквивалентно равенству S◦S=S◦S . Если плоскости и имеют общую прямую l, то S◦S=Rl и поэтому S◦S=Rl. Следовательно, все четыре плоскости имеют общую прямую l. Если же плоскости и параллельны, то S◦S= и S◦S=
. Следовательно, все четыре плоскости параллельны.
Нетрудно доказать обратное. Таким образом, если плоскости зеркальных симметрий пересекаются по одной прямой или параллельны, то их композиция является зеркальной симметрией, плоскость которой соответственно содержит прямую пересечения или параллельна плоскостям, исходных симметрий.
Пусть плоскости , , имеют единственную общую точку O. В этом случае она является единственной неподвижной точкой композиции этих симметрий (предположение о существовании другой неподвижной точки приводит к предыдущему случаю). Следовательно, композиция f=S◦S◦S есть поворотная симметрия. Найдем ее компоненты: плоскость, ось и угол поворота. Обозначим прямые пересечения плоскостей следующим образом: =a, =b, =c (рис. 3).
Пусть f(c)=c1, тогда прямые c и c1 симметричны относительно плоскости , и S(a)=a0, тогда f(a0)=a. Поскольку плоскость поворотной симметрии f делит каждый отрезок, соединяющий соответственные точки, пополам, то ей принадлежат ортогональные проекции m и n прямых a и c соответственно на плоскости и . Итак, есть плоскость, проходящая через прямые m и n. Ось l поворота есть перпендикуляр к плоскости в точке O, угол поворота равен углу между ортогональными проекциями a0 и a (или c и c1) на плоскость .
Рис. 3
Если плоскости , , попарно перпендикулярны, то искомая композиция является центральной симметрией Zo.