Как найти коммутатор в квантовой механике - Avtoru.top

Коммутатором операторов Fˆ и Gˆ называется оператор

ˆ ˆ	ˆ ˆ ˆ ˆ	(5.1.15)
[F,G] ≡ FG −GF .

Порядок операторов в коммутаторе важен: очевидно, что

ˆ ˆ	ˆ ˆ ˆ ˆ	ˆ ˆ	(5.1.16)
[G, F] ≡ GF − FG = −[F,G].

Если операторы коммутируют, FˆGˆ = GˆFˆ , то их коммутатор равен нулевому оператору:

Вследствие (5.1.13) и (5.1.17)

ˆ ˆ ˆ ˆ	ˆ	(5.1.18)
[F,1] =[1, F] = 0 .

Из (5.1.16), а также из примечания 3 к определению 7 п/п. 5.1.1 очевидно, что для любого оператора

[Fˆ , Fˆ ] = 0ˆ .

282

5.1.3. Коммутаторы операторов координат и проекций импульса

Вычислим коммутаторы операторов, которые представляют в квантовой механике динамические переменные.

В соответствии с основным свойством оператора координаты (3.3.1), (3.3.11) коммутирующими являются операторы разных координат xˆ, yˆ, zˆ, действующие на волновые функции микрочастицы: например,

xˆyˆψ(t, x, y, z) = xˆ( yˆψ(t, x, y, z)) =

=xˆ( yψ(t, x, y, z)) = yxˆψ(t, x, y, z) = yxψ(t, x, y, z)

ианалогично

yˆxˆψ(t, x, y, z) = xyψ(t, x, y, z) = yxψ(t, x, y, z) ,

т.е.

[xˆ, yˆ] =[ yˆ, xˆ] = 0ˆ .

В общем случае

[x	, x	ˆ	; α, β =1,2,3.	(5.1.19)
β	] = 0
ˆα	ˆ

283

Легко показать, что коммутируют между собой операторы, являющиеся произвольными функциями координат: в самом деле, поскольку для любой такой функции

f (xˆ, yˆ, zˆ)ψ(x, y, z) = f (x, y, z)ψ(x, y, z),

то

			ˆ	(5.1.20)
[ f (x, y, z), g(x, y, z)] = 0 .
ˆ ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ

Точно так же коммутируют между собой и операторы проекций импульса (3.2.39). Например,

p p ψ = −ih	∂		−ih∂ψ = −h2		∂2ψ	;

ˆ x ˆ y	∂x		∂y			∂x∂y

p p ψ = −ih	∂	−ih	∂ψ	= −h2	∂2ψ	= −h2	∂2ψ	,

ˆ y ˆ x						∂y∂x	∂x∂y
	∂y		∂x

т.е.

[ pˆ x , pˆ y ] = 0ˆ ,

или в общем случае

[ p	, p	ˆ	; α, β =1,2,3.	(5.1.21)
β	] = 0
ˆα	ˆ

284

Коммутируют также операторы координаты и проекции импульса, относящиеся к разным степеням свободы микрочастицы: например,

xp ψ = x	−ih	∂ψ		= −ihx	∂ψ	= −ihx	∂ψ	;

ˆˆ y	ˆ				∂y		ˆ	∂y	∂y

p xψ = p		xψ = −ih	∂(xψ)	= −ihx	∂ψ

ˆ y ˆ		ˆ y					∂y		∂y

или

[xˆ, pˆ y ] =[ pˆ y , xˆ] = 0ˆ .

В общем виде

[x	, p	ˆ	; α, β =1,2,3; α ≠ β .	(5.1.22)
β	] = 0
ˆα	ˆ

Однако операторы «одноимённых» координаты и проекции импульса не коммутируют. Так,

xp ψ = x −ih	∂ψ	= −ihx	∂ψ	= −ihx	∂ψ	;

ˆˆ x	ˆ				ˆ	∂x	∂x
			∂x
p xψ = p	xψ = −ih	∂(xψ)	= −ihx	∂ψ	−ihψ ,

ˆ x ˆ	ˆ x					∂x		∂x

и, следовательно,

285

[x, p	ˆ	(5.1.23)
] = ih1.
ˆ ˆ x

В общем виде

[x	, p	ˆ	; α =1,2,3.	(5.1.24)
] = ih1
ˆα	ˆα

Выведем коммутационное соотношение между произвольной

функцией оператора координаты f (x)

[см. п/п. 3.4.3, (3.4.12)] и

оператором «одноимённой» проекции импульса p

ˆ x

f (x) p ψ =

f (x) −ih

∂ψ

= −ihf

(x)

∂ψ

= −ihf (x)

∂ψ

;

ˆ x

∂x

(x)ψ = p

f (x)ψ = −ih

∂( fψ)

= −ihf (x)

∂ψ

−ih

ψ ,

ˆ x

∂x

и, следовательно,

[ f (x), p	] = ih	df	ˆ	(5.1.25)

	1.
ˆ ˆ x		dx

Задача 5.1.1. Выведите коммутационное соотношение между

операторами импульса pˆ x и Гамильтона H (3.4.22)

ˆ	h2 ∂2	ˆ

H =−	2m ∂x2 + Φ(t,x)1
	286

микрочастицы с одной степенью свободы:

ˆ		] = ih	∂Φ	ˆ	(5.1.26)

[H , p		1.
	ˆ x		∂x

Примечание. При выводе используйте доказанные выше утверждения о коммутации оператора с самим собой и о коммутационном соотношении между операторами импульса и функции координаты. Результат проверьте непосредственным вычислением.

Задача 5.1.2. Выведите	коммутационное	соотношение между
операторами координаты	x и Гамильтона	ˆ	микрочастицы с
H
	ˆ

одной степенью свободы:

ˆ		ih	p	.	(5.1.27)

[H , x] = −
	ˆ	m	ˆ x

Примечание 1. При выводе используйте доказанные выше утверждения о коммутации любых функций операторов координат.

Примечание 2. Используйте коммутационное соотношение между операторами квадрата проекции импульса и одноимённой координаты:

[ p2	, x] = −2ihp	.	(5.1.28)
ˆ x	ˆ	ˆ x
		287

Соседние файлы в папке Квантовая механика

Источник

Коммутатором операторов и в алгебре, а также квантовой механике называется оператор . В общем случае он не равен нулю.
Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные).

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Коммутатор в квантовой механике

Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора физической величины на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определенное значение, соответствуют собственным векторам , при этом значение величины в даном состоянии — это собственное число вектора чистого состояния:

{displaystyle {hat {F}}{mathcal {j}}psi {mathcal {i}}=f{mathcal {j}}psi {mathcal {i}}}

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определенное значение, т.е. множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

{displaystyle {hat {F}}{hat {G}}{mathcal {j}}psi {mathcal {i}}=g{hat {F}}{mathcal {j}}psi {mathcal {i}}=gf{mathcal {j}}psi {mathcal {i}}={hat {G}}{hat {F}}{mathcal {j}}psi {mathcal {i}}}

Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определенного значения. Типичный пример — операторы импульса ${displaystyle {hat {p}}=imath hbar {frac {partial }{partial {vec {r}}}}}$ и координат (см. соотношение неопределенностей).

Законы сохранения

Собственные значения гамильтониана квантовой системы — это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера

${displaystyle imath hbar {frac {partial psi }{partial t}}={mathcal {hat {H}}}psi }$

и определения полной производной оператора по времени

{displaystyle {dot {hat {f}}}={hat {dot {f}}}}

можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:

{displaystyle {dot {hat {f}}}=[{mathcal {hat {H}}},{hat {f}}]}

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение явлется квантовым аналогом тождества

{displaystyle {dot {f}}={mathcal {f}}H,f{mathcal {g}}}

из классической механики, где {,} — скобка Пуассона функций. Аналогично классическому случаю, оно выражает наличие у системы определенных симметрий, порождающих интегралы движения. Именно свойство сохранения при определенных симметриях простанства кладется в основу определения многих квантовых аналогов классических величин, например, импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех трансляциях системы, а момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.

Некоторые соотношения коммутации

Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

${displaystyle {hat {r}}_{i},{hat {p}}_{i},{hat {l}}_{i}}$

— оператор i-ой компоненты, соответсвенно, радиус-вектора, импульса и момента импульса, измеренного в единицах

. ${displaystyle delta _{ij}}$

— дельта Кронекера. ${displaystyle e_{ijk}}$

— абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга.

${displaystyle [{hat {r}}_{i},{hat {p}}_{j}]=-imath hbar delta _{ij}}$

{displaystyle [{hat {p}},f({vec {r}})]=-imath hbar nabla f}

${displaystyle [{hat {l}}_{i},{hat {r}}_{j}]=imath e_{ijk}{hat {r}}_{k}}$

${displaystyle [{hat {l}}_{i},{hat {p}}_{j}]=imath e_{ijk}{hat {p}}_{k}}$

${displaystyle [{hat {l}}_{i},{hat {l}}_{j}]=imath e_{ijk}{hat {l}}_{k}}$

${displaystyle [{hat {l}}^{2},{hat {l}}_{i}]=0}$

Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с ее координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно z) и квадрат его длины.

Алгебра Ли физических величин

Коммутатор является квантовым аналогом скобки Пуассона в классической механике.
Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру алгебры Ли,
поэтому антикоммутативное умножение в алгебре Ли также называют коммутатором.

Литература

Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5

См. также

Алгебра Ли
Теория операторов
Поле Киллинга

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Коммутатор операторов. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 10 декабря 2012;
проверки требуют 2 правки.

Коммутатором операторов hat A и hat B в алгебре, а также квантовой механике называется оператор . В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные). В квантовой механике за коммутатором операторов также закрепилось название квантовая скобка Пуассона.

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Содержание

1 Тождества с коммутатором
2 Коммутатор в квантовой механике
3 Законы сохранения
4 Некоторые соотношения коммутации
5 Алгебра Ли физических величин
6 Некоммутирующие величины
7 Литература
8 См. также
9 Примечания

[править] Тождества с коммутатором

В ассоциативной алгебре верны также следующие тождества:

[править] Коммутатор в квантовой механике

Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора hat F физической величины на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определённое значение, соответствуют собственным векторам hat F , при этом значение величины в данном состоянии — это собственное число вектора чистого состояния:

hat F mathcal{j}psi mathcal{i}= f mathcal{j} psi mathcal{i}

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определённое значение, то есть множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

hat F hat G mathcal{j} psi mathcal{i} = g hat F mathcal{j} psi mathcal{i} = g f mathcal{j} psi mathcal{i} = hat G hat F mathcal{j} psi mathcal{i}

Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определённого значения. Типичный пример — операторы импульса (компоненты импульса) $hat p_x = - i hbar frac {partial}{partial x}$ и соответствующей координаты (см. соотношение неопределённостей).

[править] Законы сохранения

$imath hbar frac {partial psi}{partial t} = hat H psi$

и определения полной производной оператора по времени

можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:

$dot {hat f} = {imath over hbar} [hat H, hat f]+ frac {partial hat f}{partial t}$

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение является квантовым аналогом тождества

$dot f = mathcal{f} H,f mathcal{g} + frac {partial f}{partial t}$

из классической механики, где {,} — скобка Пуассона функций. Аналогично классическому случаю, оно выражает наличие у системы определённых симметрий, порождающих интегралы движения. Именно свойство сохранения при определённых симметриях пространства кладётся в основу определения многих квантовых аналогов классических величин, например, импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех трансляциях системы, а момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.

[править] Некоторые соотношения коммутации

Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

— оператор i-ой компоненты, соответственно, радиус-вектора, импульса и момента импульса; $delta_{i j}$

— дельта Кронекера; $e_{i j k}$

— абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга.

$[hat r_i, hat p_j] = imath hbar delta_{i j}$

[hat p, f(vec r)] = - imath hbar nabla f

$[hat L_i, hat r_j] = imath hbar e_{i j k}hat r_k$

$[hat L_i, hat p_j] = imath hbar e_{i j k}hat p_k$

$[hat L_i, hat L_j] = imath hbar e_{i j k}hat L_k$

Как правило, необходимы соотношения для нормированного момента:

$[hat l_i, hat r_j] = imath e_{i j k}hat r_k$

$[hat l_i, hat p_j] = imath e_{i j k}hat p_k$

$[hat l_i, hat l_j] = imath e_{i j k}hat l_k$

Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с её координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно z) и квадрат его длины.

[править] Алгебра Ли физических величин

Коммутатор является квантовым аналогом скобки Пуассона в классической механике. Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру алгебры Ли, поэтому антикоммутативное умножение в алгебре Ли также называют коммутатором.

[править] Некоммутирующие величины

Некоммутирующими величинами A и B называются величины, коммутатор которых .

Две физические величины одновременно измеримы тогда и только тогда когда их операторы коммутируют^[1].

[править] Литература

Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с.
Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720c.
Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5

[править] См. также

Теория операторов
Поле Киллинга

[править] Примечания

↑ 3.7. Одновременное измерение разных физических величин

Источник

5.1.3. Коммутаторы операторов координат и проекций импульса

Коммутатор в квантовой механике

Законы сохранения

Некоторые соотношения коммутации

Алгебра Ли физических величин

Литература

См. также

Содержание

[править] Тождества с коммутатором

[править] Коммутатор в квантовой механике

[править] Законы сохранения

[править] Некоторые соотношения коммутации

[править] Алгебра Ли физических величин

[править] Некоммутирующие величины

[править] Литература

[править] См. также

[править] Примечания

Не пропустите также: