Как найти количество критических точек

Содержание:

1. Критические точки и экстремумы функции
2. Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)
3. Достаточное условие существования экстремума
4. Задача пример №117
5. Задача пример №118
6. Задача пример №119
7. Задача пример №120
8. Задача пример №121

Критические точки и экстремумы функции

В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.

1. Для значений равных угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т.e. . Эти точки являются критическими точками функции.

2. В точках функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.

3. Для рассматриваемой нами функции критические точки делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки — критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).

По графику видно, что в точках внутреннего экстремума производная функции равна нулю, а в точке производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.

Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)

Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.

Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке производная функции равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.

На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т.е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.

Достаточное условие существования экстремума

Пусть функция непрерывна на промежутке и . Если является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:

1 ) слева от точки положительна, а справа — отрицательна, то точка является точкой максимума.

2) слева от отрицательна, а справа — положительна, то точка является точкой минимума

3) с каждой стороны от точки имеет одинаковые знаки, то точка не является точкой экстремума.

Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.

Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке записываются как и .

Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.

Задача пример №117

Для функции определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.

Решение:

Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.

1. Производная функции:

2. Критические точки функции:

3. Точки и разбивают область определения функции на три промежутка.

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки:

для интервала

для интервала

для интервала

Интервал Пробные точки

Знак Возрастание и убывание

При имеем . (-1;3) — максимум

При имеем (1;-1) — минимум

4. Используя полученные для функции данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.

Задача пример №118

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;2].

Решение:

Сначала найдем критические точки. Так как , то критические точки можно найти из уравнения . Критическая точка не принадлежит данному отрезку [-1; 2], и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке и на концах отрезка.

Из этих значений наименьшее — 4, наибольшее 12. Таким образом:

Задача пример №119

Найдите экстремумы функции .

Решение:

1. Производная функции:

2. Критические точки: ,

3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции:

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки.

Для промежутка возьмем

Для промежутка (0; 1,5) возьмем

Для промежутка возьмем

Интервал

Пробные точки

Знак Возрастание-убывание

Используя полученную для функции информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами и касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.

• Функция на промежутке возрастает.

• Точка критическая точка функции , но не является экстремумом.

• Функция на промежутке [0; 1,5] возрастает.

• Функция на промежутке убывает.

•

Задача пример №120

Найдите экстремумы функции

Решение:

1. Производная

2. Критические точки: для этого надо решить уравнение или найти точки, в которых производная не существует. В точке функция не имеет конечной производной. Однако точка принадлежит области определения. Значит, точка является критической точкой функции.

3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: и

Определим знак , выбрав пробные точки для каждого промежутка:

Для возьмем Для возьмем

Интервал Пробные точки

Знак

Возрастание-убывание

• Функция на промежутке убывает.

• Функция на промежутке возрастает.

•

Задача пример №121

По графику функции производной схематично изобразите график самой функции.

Решение:

Производная в точке равна нулю, а при отрицательна, значит, на интервале функция убывающая. При производная положительна, а это говорит о том, что функция на промежутке возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка . Соответствующий график представлен на рисунке.

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Экстремумы функции

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Если в точке x * выполняется условие:

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке [1; 3].
Решение.

Критическая точка одна x₁ = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка x=0 не является критической, так как 0∉[1;3]).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 /₂, f(3)=3 8 /₈₁
Ответ: f_min= 5 /₂ при x=2; f_max=9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π /₃+2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π /₃+2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π /₃+2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x₀ или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Пример №4 . Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x — первое слагаемое. Тогда (49-x) — второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max
или
49x — x 2

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции (f'(x)).
2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   — если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
   — если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
   — если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Экстремумы функции: признаки существования, примеры решений

Экстремумы функции, их необходимый и достаточный признаки

Точка экстремума функции — это точка области определения функции, в которой значение функции принимает минимальное или максимальное значение. Значения функции в этих точках называются экстремумами (минимумом и максимумом) функции.

Нахождение эктремумов функции может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графиков. Кстати, будет полезным открыть в новом окне материал Свойства и графики элементарных функций. И ещё потребуются таблица производных простых функций и таблица производных сложных функций (откроются в новом окне), так как в примерах указано, какая именно табличная производная найдена.

Рассмотрим график непрерывной функции (рисунок снизу).

Определение. Точка x 1 области определения функции f(x) называется точкой максимума функции, если значение функции в этой точке больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f(x 0 ) > f(x 0 + Δx) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 1 максимум.

Определение. Точка x 2 области определения функции f(x) называется точкой минимума функции, если значение функции в этой точке меньше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f(x 0 ) 0 + Δx) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум.

Допустим, точка x 1 — точка максимума функции f(x) . Тогда в интервале до x 1 функция возрастает, поэтому производная функции больше нуля ( f ‘(x) > 0 ), а в интервале после x 1 функция убывает, следовательно, и производная функции меньше нуля ( f ‘(x) ). Тогда в точке x 1 производная функции равна нулю или не существует.

Допустим также, что точка x 2 — точка минимума функции f(x) . Тогда в интервале до x 2 функция убывает, а производная функции меньше нуля ( f ‘(x) ), а в интервале после x 2 функция возрастает, а производная функции больше нуля ( f ‘(x) > 0 ). В этом случае также в точке x 2 производная функции равна нулю или не существует.

Теорема Ферма (необходимый признак существования экстремума функции). Если точка x 0 — точка экстремума функции f(x) , то в этой точке производная функции равна нулю ( f ‘(x) = 0 ) или не существует.

Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Пример 1. Рассмотрим функцию .

В точке x = 0 производная функции равна нулю, следовательно, точка x = 0 является критической точкой. Однако, как видно на графике функции, она возрастает во всей области определения, поэтому точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.

Таким образом, условия о том, что производная функции в точке равна нулю или не существует, являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными, поскольку можно привести и другие примеры функций, для которых эти условия выполняются, но экстремума в соответствующей точке функция не имеет. Поэтому нужно располагать достаточными признаками, позволяющими судить, имеется ли в конкретной критической точке экстремум и какой именно — максимум или минимум.

Теорема (первый достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 является точкой экстремума функции f(x) , если при переходе через эту точку производная функции меняет знак, причём, если знак меняется с «плюса» на «минус», то точкой максимума, а если с «минуса» на «плюс», то точкой минимума.

Если же вблизи точки x 0 , слева и справа от неё, производная сохраняет знак, то это означает, что функция либо только убывает, либо только возрастает в некоторой окрестности точки x 0 . В этом случае в точке x 0 экстремума нет.

Итак, чтобы определить точки экстремума функции, требуется выполнить следующее:

1. Найти производную функции.
2. Приравнять производную нулю и определить критические точки.
3. Мысленно или на бумаге отметить критические точки на числовой оси и определить знаки производной функции в полученных интервалах. Если знак производной меняется с «плюса» на «минус», то критическая точка является точкой максимума, а если с «минуса» на «плюс», то точкой минимума.
4. Вычислить значение функции в точках экстремума.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 2. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём производную функции (в таблице производных сложных функций — производная 6):

.

Приравняем производную нулю, чтобы найти критические точки:

.

Так как для любых значений «икса» знаменатель не равен нулю, то приравняем нулю числитель:

.

Получили одну критическую точку x = 3 . Определим знак производной в интервалах, разграниченных этой точкой:

в интервале от минус бесконечности до 3 — знак минус, то есть функция убывает,

в интервале от 3 до плюс бесконечности — знак плюс, то есть функция возрастает.

То есть, точка x = 3 является точкой минимума.

Найдём значение функции в точке минимума:

.

Таким образом, точка экстремума функции найдена: (3; 0) , причём она является точкой минимума.

Теорема (второй достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 является точкой экстремума функции f(x) , если вторая производная функции в этой точке не равна нулю ( f »(x) ≠ 0 ), причём, если вторая производная больше нуля ( f »(x) > 0 ), то точкой максимума, а если вторая производная меньше нуля ( f »(x) ), то точкой минимума.

Замечание 1. Если в точке x 0 обращаются в нуль и первая, и вторая производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума функции неприменим и тогда, когда в стационарной точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Локальный характер экстремумов функции

Из приведённых определений следует, что экстремум функции имеет локальный характер — это наибольшее и наименьшее значение функции по сравнению с близлежайшими значениями.

Предположим, вы рассматриваете свои заработки в отрезке времени протяжённостью в один год. Если в мае вы заработали 45 000 рублей, а в апреле 42 000 рублей и в июне 39 000 рублей, то майский заработок — максимум функции заработка по сравнению с близлежайшими значениями. Но в октябре вы заработали 71 000 рублей, в сентябре 75 000 рублей, а в ноябре 74 000 рублей, поэтому октябрьский заработок — минимум функции заработка по сравнению с близлежашими значениями. И вы легко видите, что максимум среди значений апреля-мая-июня меньше минимума сентября-октября-ноября.

Говоря обобщённо, на промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке выше, .

То есть не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, её наибольшим и наименьшим значениями на всём рассматриваемом отрезке. В точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума — наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.

Поэтому можно уточнить приведённое выше понятие точек экстремума функции и называть точки минимума точками локального минимума, а точки максимума — точками локального максимума.

Ищем экстремумы функции вместе

Пример 3. Найти экстремумы функции и построить её график.

Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная (и первое, и второе слагаемые — табличная производная 3) существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которых , т.е. , откуда и . Критическими точками и разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности: . Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой точке.

Для интервала контрольной точкой может служить : находим . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку , имеем . Итак, в интервалах и , а в интервале . Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале ), а в точке функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: , а . В интервале функция убывает, так как в этом интервале , а в интервале возрастает, так как в этом интервале .

Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При получим уравнение , корни которого и , т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 4. Найти экстремумы функции и построить её график.

Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки , т.е. .

Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как . Поэтому её график симметричен относительно оси Oy и исследование можно выполнить только для интервала .

Находим производную (каждое слагаемое находим как табличную производную 3) и критические точки функции:

1) ;

2) ,

но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.

Таким образом, заданная функция имеет две критические точки: и . Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку . Для этого найдём вторую производную и определим её знак при : получим . Так как и , то является точкой минимума функции, при этом .

Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:

(здесь символом обозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если , то . Далее, находим

,

т.е. если , то .

Точек пересечения с осями график функции не имеет. Рисунок — в начале примера.

Найти экстремумы функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Найти экстремумы функции .

Пример 6. Найти экстремумы функции .

Пример 7. Найти экстремумы функции .

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Продолжаем искать экстремумы функции вместе

Пример 8. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём область определения функции. Так как должно выполняться неравенство , то из получаем .

Найдём первую производную функции (производная вида 2 в таблице производных сложной функции):

Найдём критические точки функции:

Точки и не могут быть точками экстремума, так как находятся на границе области определения функции. В точке производная функции меняет знак с плюса на минус, а в точке — с минуса на плюс. Следовательно, — точка максимума, а точка — точка минимума функции.

Найдём значения функции в этих точках:

Таким образом, экстремумы функции:

.

Пример 9. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём область определения функции.

Найдём критические точки функции:

Таким образом, у данной функции две критические точки: и . Определим значения производной в критических точках. При переходе через точку производная функции продолжает убывать (сохраняет знак минус), а при переходе через точку — начинает возрастать (меняет знак с минуса на плюс). Следовательно, — точка минимума функции.

Найдём значение функции в точке минимума:

Таким образом, минимум функции:

.

Пример 10. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём первую производную функции (первое слагаемое — производная вида 12 в таблице производных простых функций, второе — производная вида 6 в таблице производных сложной функции):

.

Найдём критические точки функции:

.

Так как для любого действительного x должно выполняться условие , то

.

Таким образом, данная функция имеет одну критическую точку. Определим значения производной в критической точке. При переходе через точку производная функции начинает убывать (меняет знак с плюса на минус). Следовательно, — точка максимума функции.

Найдём значение функции в точке максимума:

.

Таким образом, максимум функции:

.

Критические точки являются границами
критических областей. Поэтому для
полного задания критических областей
достаточно найти их граничные (критические)
точки.

Задача нахождения критических точек
максимально облегчена для пользователя.
Критические точки не нужно вычислять:
они находятся из соответствующих таблиц.

Помещенные в таблицы критические точки
рассчитаны, исходя из требования: если
нулевая гипотеза H₀
с вероятностью γ верна, то получаемые
в опыте значенияK_н
должны с этой вероятностью γ
попадать в область принятия гипотезы.
Вероятность γ принято брать достаточно
большой (близкой к 1). Сказанное можно
выразить другими словами: если нулевая
гипотезаH₀ с
вероятностью γ верна, то с вероятностью
α = 1 — γ наблюдаемые значения критерияK_н должны
попадать в критическую область.
Вероятность α называютуровнем
значимости. По своему смыслу α есть
вероятность того, что в результате
проверки будет отвергнута правильная
гипотеза. Проверку статистических
гипотез принято проводить, задавая не
вероятность γ, а некоторое достаточно
малое (близкое к нулю) значение уровня
значимости α . Наиболее часто уровень
значимости принимают равным 0,01 или
0,05. Если, например, уровень значимости
выбран равным 0,01, то в среднем в одной
из ста проводимых по одинаковой схеме
проверок будет отвергнута правильная
гипотеза.

Правосторонняя критическая область
состоит из таких значений критерия K,
которые удовлетворяют неравенствуK>k_кр ,
приk_кр
> 0. Поэтомуk_крдля правосторонних критических областей
рассчитаны, исходя из требования, чтобы
(при условии справедливости нулевой
гипотезы) вероятность выполнения
неравенстваK>k_крбыла равна заданному малому уровню
значимости α :

Р(K
>k_кр
) = α .

Критические точки левосторонних
критических областей рассчитаны, исходя
из требования, чтобы (при условии
справедливости нулевой гипотезы)
вероятность выполнения неравенства K<k_кр(k_кр< 0) была равна выбранному малому уровню
значимости α :

Р(K
<k_кр
) = α .

Двусторонняя критическая область
состоит из двух множеств, определяемых
неравенствами: K<k_кр1 иK>k_кр
2 . Для этой области критические точки
должны были бы (при условии справедливости
нулевой гипотезы) находиться из уравнения:

Р(K
<k_кр
1) +Р(K >k_{кр 2})
= α . (5.1)

Существует бесконечно много пар (k_кр
1,k_кр
2 ), удовлетворяющих этому уравнению,
поэтому в обычных прикладных задачах
такие случаи не рассматривают. Если же
значения критерия распределены
симметрично относительно нуля, то и
критические точки можно взять
симметричными: —k_кр1=k_{кр 2} =k_кр. В этом
случае вместо (5.1)

получаем

Р(K < —k_кр
) +Р(K >k_кр )
= α ,

а так
как

Р(K < —k_кр)
=Р(K >k_кр),

то критические точки для двусторонней
критической области рассчитаны из
уравнения

Р(K >k_кр)
= α / 2.

5.5. Проверка гипотезы о равенстве двух средних значений нормальных генеральных совокупностей

Пусть изучаются две генеральные
совокупности биологических объектов,
в одной из которых измеряется признак
X , а в другой
признакY .Пусть
на основании прошлых измерений и проверок
можно ожидать, что генеральные средниеM(X)
иM(Y)
этих совокупностей равны между собой.
Другими словами, пусть можно ожидать,
что и новая проверка нулевой гипотезыН₀ :M(X)
=M(Y)
покажет, что эта гипотеза вновь должна
быть принята.

Строгая проверка данной гипотезы может
быть проведена, если признаки X
иY распределены
нормально и дисперсии их известны.
Однако в практике статистического
анализа оба эти условия выполняются
редко. Как правило, встречаются
следующие случаи:

1) распределение значений признаков X
иY по всей
генеральной совокупности является
нормальным (и всегда будет нормальным,
хотя у каждого отдельного объекта
совокупности величина признака изменяется
во времени), а дисперсии признаков
неизвестны;

2) распределения значений признаков X
иY в генеральных
совокупностях не являются нормальными
и дисперсии их неизвестны.

Условия строгой проверки Н₀ можно
выполнить с достаточно большой точностью.
Пусть из генеральных совокупностейX
иY извлечены
независимые выборки объемовn
и m и по этим
выборкам найдены выборочные средние_в
и_в
. Если независимые выборки имеют
большой объем (n >
30,m > 30), то
выборочные средние_в
и_в
можно рассматривать как значения
случайных величини,
которые (это можно доказать) распределены
приближенно нормально. При больших
объемахn иm
выборочные дисперсииD_в(X)
иD_в(Y)
являются достаточно точными оценками
генеральных дисперсий, поэтому можно
считать генеральные дисперсии приближенно
известными.

В качестве критерия проверки нулевой
гипотезы Н₀ берут случайную
величину

.

Величина Zраспределена
приближенно нормально с параметрамиM(Z)
= 0 иσ(Z) = 1, поэтому
критические точки находятся по таблице
функции Лапласа Ф(x)
(Приложение 3).

Построение критической области при
проверке нулевой гипотезы производится
по-разному в зависимости от вида
противоречащей гипотезы.

1. Нулевая гипотеза Н₀ :M(X)
=M(Y)
, противоречащая гипотезаН₁ :M(X)
≠M(Y).

В этом случае критическая область
является симметричной двусторонней и
определяется неравенствами: Z
< —z_кр иZ>z_кр. Критическую точкуz_кр
при выбранном уровне значимости
α находят из равенства Ф(z_кр) = (1- α)/2 по таблице функции Лапласа. По
выборочным данным вычисляется наблюдаемое
значение критерия

Z_н =.

Если | Z_н | <z_кр , то нет
оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если | Z_н | >z_кр , то
нулевая гипотеза отвергается.

Пример 5.1. Из генеральных совокупностейX иY
извлечены независимые выборки объемовn = 50 иm
= 70. Выборочные средние оказались
равными_в
= 73 и_в
= 76, а выборочные дисперсииD_в(X)
= 7,5 иD_в(Y)
= 8,2 . При уровне значимости α = 0,01 проверить
нулевую гипотезуН₀ :M(X)
=M(Y)
при противоречащей гипотезеН₁
:M(X)
≠M(Y).

Решение. Наблюдаемое значение
критерия равно

Z_н ===
— 2.36 .

Критическую точку z_кр
двусторонней критической области
находим из равенства

Ф(z_кр) = (1-
α)/2 == 0,495 .

По таблице функции Лапласа (Приложение
3) находим, что z_кр
= 2,58 . Так как оказалось, что |Z_н
| <z_кр (т.е.Z_н попало
в область принятия гипотезы), то нет
оснований отвергнуть нулевую гипотезу.Е

2. Нулевая гипотеза Н₀ :M(X)
=M(Y)
, противоречащая гипотезаН₁ :M(X)
>M(Y).

В этом случае критическая область
является правосторонней и определяется
неравенством Z>z_кр. Критическую точкуz_кр
при выбранном уровне значимости
α находят из равенства Ф(z_кр) = (1- 2α)/2 по таблице функции Лапласа. По
выборочным данным вычисляется наблюдаемое
значение критерия

Z_н =.

Если Z_н <z_кр , то нет
оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Z_н >z_кр , то
нулевая гипотеза отвергается.

Пример 5.2. Из генеральных совокупностейX иY
извлечены независимые выборки объемовn = 40 иm
= 50. Выборочные средние оказались
равными_в
= 28 и_в
= 24, а выборочные дисперсииD_в(X)
= 1,5 иD_в(Y)
= 2,2 . При уровне значимости α = 0,05 проверить
нулевую гипотезуН₀ :M(X)
=M(Y)
при противоречащей гипотезеН₁
:M(X)
>M(Y).

Решение.
Наблюдаемое значение критерия равно

Z_н ===
14,01 .

Критическую точку z_кр
правосторонней критической
области находим с помощью равенства

Ф(z_кр) =
(1-2α)/2 == 0,45 .

Из этого равенства по таблице функции
Лапласа находим, что z_кр
= 1,645. Так какZ_н
>z_кр ,
то нулевая гипотеза отвергается.Е

3. Нулевая гипотеза Н₀ :M(X)
=M(Y)
, противоречащая гипотезаН₁ :M(X)
<M(Y).

В этом случае критическая область
является левосторонней и определяется
неравенством Z< —z_кр, причемz_кр при
выбранном уровне значимости α находится
(как и в п.2) из равенства Ф(z_кр) = (1- 2α)/2 по таблице функции Лапласа. По
выборочным данным вычисляется наблюдаемое
значение критерия

Z_н =.

Если Z_н >
—z_кр , то
нет оснований отвергнуть нулевую
гипотезу.

Если Z_н <
—z_кр , то
нулевая гипотеза отвергается.

Пример 5.3. Из генеральных совокупностейX иY
извлечены независимые выборки объемовn = 40 иm
= 50. Выборочные средние оказались
равными_в
= 25,7 и_в
= 26, а выборочные дисперсииD_в(X)
= 12,5 иD_в(Y)
= 15,6 . При уровне значимости α = 0,05 проверить
нулевую гипотезуН₀ :M(X)
=M(Y)
при противоречащей гипотезеН₁
:M(X)
<M(Y).

Решение.
Наблюдаемое значение критерия равно

Z_н ===
— 0,633 .

Значение
z_кр находим
также, как для правосторонней области,
с помощью равенства

Ф(z_кр) =
(1-2α)/2 == 0,45 .

По
таблице функции Лапласа находим, что
z_кр = 1,645 .
Так какZ_н >
—z_кр , т.е.Z_нпопало в
область принятия гипотезы, то нет
оснований отвергнуть нулевую гипотезуН₀ .Е

Нулевая гипотеза Н₀ :M(X)
=M(Y)
может быть выражена по другому. Так как
выборочные средние являются несмещенными
оценками генеральных средних, то естьM(X)
=M()
иM(Y)
=M(),
то нулевую гипотезу можно записать так:

Н₀ :M()
=M().

Это значит, что проверка гипотезы о
равенстве двух генеральных средних
равносильна проверке гипотезы о равенстве
математических ожиданий выборочных
средних.

Выборочные средние
_в
и_впрактически всегда оказываются не
равными друг другу. Но если окажется,
что нет оснований отвергнуть нулевую
гипотезуН₀ :M(X)
=M(Y)
о равенстве генеральных средних, то
различие выборочных средних являетсянезначимым и объясняется
не природой изучаемых объектов, а просто
случайным отбором объектов выборки.
Если же нулевая гипотеза отвергается,
т.е. генеральные средние не равны друг
другу, то различие выборочных средних
являетсязначимым и главная
причина этого есть действительное
различие свойств изучаемых объектов,
а неизбежная случайность отбора при
составлении выборки играет второстепенную
роль.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #