Как найти коэф одночлена - Avtoru.top - решение различных проблем

То есть, это число, на которое умножаются буквенные множители. Он может быть как целым, так и дробным, положительным или отрицательным, даже нулем.

Например:

одночлен	его коэффициент
(3a)	(3)
(0,012x)	(0,012)
(-frac{2}{7}abс)	(-frac{2}{7})

Правила работы с коэффициентами:

Например: у (2b7a) коэффициент равен (14), потому что (2b7a=2·7·a·b=14ab).

Если коэффициент равен (1) – его не пишут.

Например: в одночлене (x) коэффициент (1), потому что ( x=1·x).

Если коэффициент равен ((-1)) – пишут только знак минус перед одночленом.

Например: в одночлене (-ab) коэффициент (-1), потому что (-ab =(-1)·ab).

В многочлене у каждого входящего в его состав одночлена есть свой коэффициент.

Например: в двучлене (x^2-3bm) одночлен (x^2) имеет коэффициент (1), а (bm) – минус три. Обратите внимание, именно «минус три», а не просто «три». Дело в том, что многочлен – это сумма (не разность!) одночленов, поэтому многочлен (x^2-3bm) на самом деле имеет вид (1·x^2+(-3)bm).

С коэффициентам мы чаще всего сталкиваемся при решении квадратных уравнений и определяются они по тем же принципам.

Например, в уравнении (x^2-x-5=0) имеем следующие коэффициенты: (a=1), (b=-1), (c=-5). То есть, уравнение как бы представляют в виде (1·x^2+(-1)·x+(-5)=0).

Источник

Одночлены

Стандартный вид одночлена
Коэффициент одночлена
Приведение одночлена к стандартному виду

Одночлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой число, переменную, их степени с натуральным показателем, а также любые произведения, составленные из них.

Пример. 12, , m, (-2)³, a², 5abc, a³x, 3,7c(-2ab²) — одночлены.

Выражения x + 2 или не являются одночленами, так как представляют сумму или частное переменных и числа.

Число 0 называют нулевым одночленом.

Буквы и числа одночлена, представляющего собой произведение, называют множителями данного одночлена. При этом числа называют числовыми множителями одночлена, а буквы — буквенными множителями одночлена.

Пример. Назовите числовые и буквенные множители одночлена 5abc.

Решение:

Множителями данного одночлена являются число 5 и буквы a, b, c:

Числовой множитель: 5.

Буквенные множители: a, b, c.

Стандартный вид одночлена

Стандартный вид одночлена — это запись одночлена, представляющая собой число, степень переменной или произведение, в котором только один числовой множитель, записанный на первом месте, а каждая его буква участвует в его записи лишь один раз, при этом буквы записаны в алфавитном порядке.

Пример. 7, a, -3xy², 1abс — одночлены стандартного вида.

А вот следующие одночлены записаны не в стандартном виде:

12aa³b и 4cb(−2)y,

так как первый содержит одинаковые буквы, а во втором два числовых множителя и буквенные множители записаны не в алфавитном порядке.

Стандартный вид нулевого одночлена есть 0.

Коэффициент одночлена

Коэффициент одночлена — это числовой множитель в одночлене стандартного вида, который содержит хотя бы одну переменную. Понятие коэффициент также относят к одночленам стандартного вида, представляющим собой числа без буквенных множителей. Коэффициентами таких одночленов считаются сами числа.

Пример. Одночлены

-7ab³, , -1x, 15

записаны в стандартном виде. Их коэффициенты соответственно равны числам -7, , -1, 15.

Коэффициент одночлена, равный 1 или -1 обычно не пишут.

Если одночлен имеет только буквенные множители, то условились считать, что его коэффициент равен +1 или -1, в зависимости от знака, который стоит (или подразумевается) перед одночленом.

Пример. Одночлены

a, —xy

записаны в стандартном виде. Коэффициент первого из них равен 1, второго -1, так как

a = 1 · a, —xy = -1 · xy.

Целый положительный коэффициент означает, сколько раз повторяется слагаемым буквенное выражение, перед которым он стоит.

Пример.

3ab = (ab) · 3 = ab + ab + ab.

Дробный положительный коэффициент означает, какая часть берётся от буквенного выражения, к которому он относится.

Пример. В одночлене коэффициент означает, что от x² берётся , потому что , а умножить на значит взять от множимого.

Отрицательный коэффициент означает, что буквенное выражение, перед которым он стоит, умножается на абсолютную величину этого коэффициента и результат берётся с противоположным знаком.

Пример.

-4mn = -4 · mn = -(mn + mn + mn + mn).

Приведение одночлена к стандартному виду

С одночленами удобнее работать, когда они записаны в стандартном виде. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путём тождественных преобразований. Процесс таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.

Привести одночлен к стандартному виду — значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду надо:

Выполнить группировку числовых множителей (если их несколько), а также одинаковых буквенных множителей и их степеней.
Вычислить произведение числовых множителей и по свойству степеней с одинаковыми основаниями перемножить буквенные множители.
Поставить на первое место числовой множитель, а после него расположить буквенные множители в алфавитном порядке.

Пример 1. Запишите одночлен -2b(-3)x³4ab²x² в стандартном виде.

Решение:

Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, сгруппируем по отдельности числовые и одинаковые буквенные множители. В результате исходный одночлен примет вид:

((-2) · (-3) · 4) · (b · b²) · (x³ · x²) · a.

Перемножаем числовые множители и степени с одинаковыми основаниями. Произведение числовых множителей равно 24. Произведение степеней b равно b · b² = b³. Произведение степеней x равно x³ · x² = x⁵:

24 · b³ · x⁵ · a.

Записываем на первом месте числовой множитель, а после него располагаем буквенные множители в алфавитном порядке. В итоге получаем одночлен стандартного вида:

24ab³x⁵.

Следовательно:

-2b(-3)x³4ab²x² = ((-2) · (-3) · 4) · (b · b²) · (x³ · x²) · a = 24 · b³ · x⁵ · a = 24ab³x⁵.

Пример 2. Представить одночлен -2a⁴c0b в стандартном виде.

Решение:

Среди своих множителей, данный одночлен имеет множитель 0, значит всё произведение в результате будет равно 0. Стандартный вид нулевого одночлена есть 0:

-2a⁴c0b = 0.

Источник

Коэффициент одночлена

Что такое коэффициент одночлена? Всегда ли пишут коэффициент?

Определение.

Коэффициентом одночлена, записанного в стандартном виде, называется его числовой множитель.

Другими словами, коэффициент одночлена — это число, стоящее перед буквенной частью в произведении после приведения одночлена к стандартному виду.

Например,

$[1)underline 4 a{b^2}c]$

коэффициент равен 4;

коэффициент 0,32;

$[3)underline { - frac{1}{2}} {z^4}]$

коэффициент -1/2;

$[4)underline { - 10frac{2}{3}} {c^3}d]$

коэффициент -10 2/3.

Если одночлен состоит только из числового множителя, то этот множитель и есть коэффициент. Например, в одночлене

коэффициент равен 12.

В алгебре коэффициенты 1 и -1 в одночленах обычно не пишут.

Если в произведении перед буквенной частью не записан числовой множитель, значит, коэффициент одночлена равен единице:

$[{a^2}b{c^3} = underline 1 cdot {a^2}b{c^3}]$

Если в произведении перед буквенной частью стоит знак минус и не записан числовой множитель, то коэффициент одночлена равен -1:

Если одночлен записан не в стандартном виде, прежде чем находить коэффициент, нужно привести его к одночлену стандартного вида.

Например,

$[10{c^2}( - 5)bc = underline { - 50} b{c^3}.]$

Источник

Одночлены — это любое число, переменная, любая степень, а также произведение чисел, переменных и степеней, с которыми можно совершать разные математические действия. Примеры одночленов: 9, 5², x, 5a; 3ab² ; −6²aa²b³.

Приведение одночлена к стандартному виду

Приведение одночлена к стандартному виду заключается в умножении однотипных множителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему. Важно: в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.

Рассмотрим следующий одночлен: 3a²5a³b² — числа 3 и 5 перемножим и получим число 15,
— степени a² и a³ имеют одинаковое основание a, поэтому мы можем записать результат a⁵,
— степень b² остаётся без изменений.
Получили результат: 3a²5a³b² = 15a⁵b²

Для того, чтобы далее рассматривать одночлены и действия с ними, вспомним тему «Степень с натуральным показателем«

где: a — основание степени; n — показатель степени.

Коэффициент одночлена

Числовой сомножитель (в примере 15) называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.
Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице.
Например, для одночлена ab коэффициентом является 1, поскольку ab это произведение единицы и ab: abc = 1×ab.
Если перед одночленом стоит знак минуса, то коэффициент равен минус единице. Например, для одночлена —ab коэффициентом является -1, поскольку ab это произведение -1 и ab.

Степень одночлена

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных входящих в этот одночлен. Показатель числового множителя при этом не считается.
Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю.

Примеры:

Степенью одночлена 15a⁵b² является 7: переменная a имеет степень 5, а переменная b — 2. Отсюда 5 + 2 = 7. Показатель числового сомножителя 15 считать не нужно, поскольку нас интересуют только показатели переменных.
Степенью одночлена 7ab² является 3: переменная a имеет показатель 1, а переменная b — 2.
Степень одночлена 11 равна нулю, так как это число.

Не следует путать степень одночлена и степень числа:

Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей.
Степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен.

Сложение и вычитание одночленов

Чтобы сложить (вычесть) одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Чтобы складывать и вычитать одночлены, они должны иметь одинаковую буквенную часть. Коэффициенты могут быть любыми. Сложение и вычитание одночленов это по сути представляет собой приведение подобных слагаемых.

Пример 1. Сложить одночлены 6a²b и 2a²b:
сложим коэффициенты 6 и 2, а буквенную часть 6a²b оставим без изменений.
Получим: 6a²b + 2a²b = 8a²b

Пример 2. Вычесть из одночлена 5a²b³ одночлен 2a²b³Решение: 5a²b³ − 2a²b³ = 5a²b³ −2a²b³ = 3a²b³

Умножение одночленов

Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые и буквенные части.

Пример 3. Перемножить одночлены 5x и 8y
Перемножим числовые и буквенные части по отдельности: 5x × 8y = (5 × × (x × y) = 40xy

Пример 4. Перемножить одночлены 5x²y³ и 7x³y²c
Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. В процессе умножения будем применять правило перемножения степеней с одинаковыми основаниями. Перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:
5x²y³ × 7x³y²c = (5 × 7) × (x²x³) × (y³y²) × c = 35x⁵y⁵c

Пример 5. Перемножить одночлены −5a²bc и 2a²b⁴−5a²bc × 2a²b⁴ = (−5 × 2) × (a²a²) × (bb⁴) × c = −10a⁴b⁵c

Деление одночленов

Для того, чтобы разделит один многочлен на другой, нужно коэффициент первого одночлена разделить на коэффициент второго одночлена, а буквенную часть первого одночлена разделить на буквенную часть второго одночлена. При этом используется правило деления степеней.

Пример 6. Разделить одночлен 8a²b² на одночлен 4ab.
Разделим коэффициент делимого на коэффициент делителя, получим 8 : 4 = 2.
Теперь делим буквенную часть:
— в делимом содержится a², в делителе — просто a. Делим a² на a, получаем a, поскольку a² : a = a^2 − 1 = a.
— в делимом содержится b², в делителе — просто b. Делим b² на b, получаем b, поскольку b²: b = b^2 − 1 = b. Значит, при делении одночлена 8a²b² на одночлен 4ab получается одночлен 2ab.

Если переменная есть только в одном многочлене:

Если в делителе окажется переменная, которой нет в делимом, то деление невозможно.

Например, одночлен 6xy² нельзя разделить на одночлен 3xyz, так как в делителе 3xyz содержится переменная z, которая не содержится в делимом 6xy².

Но в некоторых дробях, если невозможно выполнить деление, бывает возможным выполнить сокращение. Делается это с целью упростить выражение.

*сокращение дроби это деление числителя и знаменателя на одно и то же число.
Так, в примере нельзя разделить одночлен 6xy² на одночлен 3xyz. Но можно сократить эту дробь на одночлен 3xy.

Если в делимом содержится переменная, которая не содержится в делителе, то деление будет возможным. В этом случае переменная, которая отсутствовала в делителе, будет перенесена в частное без изменений.

Например, при делении одночлена 4x²y²z на 2xy, получается 2xyz.

Если одна из степеней, входящая в делимое, имеет показатель меньший, чем показатель той же степени из делителя, то деление одночлена на одночлен также невозможно.

Например, разделить одночлен 2x на одночлен x² нельзя, поскольку степень x, входящая в делимое, имеет показатель 1, тогда как степень x², входящая в делитель, имеет показатель 2. Мы не сможем найти частное, которое при перемножении с делителем x² даст в результате делимое 2x.

Возведение одночлена в степень

При возведении степень одночлена каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются: (a × b)ⁿ = aⁿ× bⁿ

Пример 7. Возвести одночлен xy во вторую степень.
Чтобы возвести одночлен xy во вторую степень, нужно возвести во вторую степень каждый множитель этого одночлена: (xy)² = x²y²

Пример 8. Возвести одночлен −a²bc³ в пятую степень.
В данном примере коэффициентом одночлена является −1. Этот коэффициент тоже нужно возвести в пятую степень:
(−a²bc³)⁵ = (−1)⁵ × (a²)⁵ × b⁵ × (c³)⁵ = −1a¹⁰b⁵c¹⁵ = −a¹⁰b⁵c¹⁵Когда коэффициент равен −1, то саму единицу не записывают. Записывают только минус и потом остальные множители одночлена.

Пример 9. Представить одночлен 121a⁶ в виде одночлена, возведённого в квадрат.
— число 121 получается, если число 11 возвести в квадрат — это первый множитель.
— степень a⁶ получается, если возвести в квадрат степень a³ — это второй множитель.
Таким образом, если произведение 11a³ возвести во вторую степень, то получится 121a⁶(11a³)² = 11² × (a³)² = 121a⁶

Разложение одночлена на множители

Поскольку одночлен является произведением чисел, переменных и степеней, то он может быть разложен на множители, из которых состоит.

Пример 10. Разложить одночлен 3a³b² на множители
Данный одночлен можно разложить на множители:
3a³b²= 3×a×a×a× b×b = 3×a×a×a×b² = 3×a³×b×b

Источник

Произведение чисел, переменных и их степеней называется одночленом.

Уже знакомые нам одночлены:

Выражения

6⋅a⋅y

;

0,25×3

;

abbc

;

8,43

;

16c⋅−12d

;

38x2y

тоже являются одночленами.

При записи одночленов между числами и переменными знак умножения не ставится

Одночленом также считается:

— одна переменная, например, (x), т. к.

x=1⋅x

;

— число, например, (3), так как

3=3⋅x0

(одно число также является одночленом).

Некоторые одночлены можно упростить.

Упростим одночлен

6xy2⋅(−2)x3y

, используя свойство умножения степеней:

6xy2⋅(−2)x3y

(=)

6⋅(−2)xx3y2y=−12x4y3

(числа перемножаются, а показатели у одинаковых букв складываются).

Стандартный вид одночлена

Если в одночлене первым записан числовой множитель, а произведение одинаковых степеней переменных записано в виде одной степени, то такой вид одночлена называют стандартным видом.

Запишем одночлен

10⋅12abbb

в стандартном виде:

10⋅12abbb=5⋅2⋅12ab3=5ab3

(Коэффициенты перемножаются между собой, переменные — между собой.)

Если одночлен записан в стандартном виде, то его числовой множитель, называется коэффициентом одночлена.

Одночлен

5ab3

имеет коэффициент (5), одночлен

−12x4y3

имеет коэффициент (-12).

Коэффициенты (1) и (-1) обычно не записываются.

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех переменных.

Чтобы определить степень одночлена, нужно сложить показатели степеней всех переменных (букв).

−12x4y3

является одночленом седьмой степени ((4 + 3 = 7));

(6a) — одночлен первой степени (переменная (a) в первой степени);

(7) — одночлен нулевой степени.

Одночлен	Стандартный вид	Коэффициент	Степень
2a2x	2a2x1	(2)	(2+1=3)
−3ab⋅a2b	−3a3b2	(-3)	(3+2=5)
ab⋅(−1)	−a1b1	(-1)	(1+1=2)
(x)	1×1	(1)	(1)
(2)	(2)	(2)	(0)

Подобные одночлены

Одночлены, у которых произведения переменных равны, хотя их порядок может отличаться, называются подобными одночленами.

Подобными одночленами являются:

(6xy) и (xy);

(5) и (-3);

Подобными одночленами не являются

x2y

xy2

Если у подобных одночленов равные коэффициенты, они называются равными (одинаковыми) одночленами.

В этом можно убедиться, записав одночлены в стандартном виде.

Из пяти одночленов

8xy3;xy3;8y3x;2⋅4xyyy;8x3y

равными являются только три

8xy3;8y3x;2⋅4xyyy

В этом можно убедиться, если записать все одночлены в стандартном виде и расположить переменные в одинаковом порядке:

8xy3=8xy3;xy3=xy3;8y3x=8xy3;2⋅4xyyy=8xy3;8x3y=8x3y.

Если у подобных одночленов коэффициенты являются противоположными числами, одночлены называются противоположными.

Противоположными являются одночлены:

(3ac) и (-3ac);

(9ba) и (-9ba).

Источник

Правила работы с коэффициентами:

Если коэффициент равен (1) – его не пишут.

Если коэффициент равен ((-1)) – пишут только знак минус перед одночленом.

В многочлене у каждого входящего в его состав одночлена есть свой коэффициент.

Одночлены

Стандартный вид одночлена

Коэффициент одночлена

Приведение одночлена к стандартному виду

Коэффициент одночлена

Степень одночлена

Сложение и вычитание одночленов

Умножение одночленов

Деление одночленов

Если переменная есть только в одном многочлене:

Возведение одночлена в степень

Разложение одночлена на множители

Не пропустите также: