Как найти индуктивность катушки через период

Информация о материале

Опубликовано: 24 августа 2011

Обновлено: 21 декабря 2022

Просмотров: 40047

Простые формулы расчета индуктивностей катушек

Радиотехника в целом и электродинамика в частности являются довольно сложными науками. Электродинамика, как наука изучающая переменное электромагнитное поле, основана на фундаментальных уравнениях в интегральной форме, которые оперируют векторными или комплексными величинами. Решения таких комплексных уравнений для нахождения величины индуктивности в виде простых аналитических формул чаще всего просто невозможны и используются численные методы решения задачи. Любые простые справочные эмпирические формулы являются обычно существенным упрощением таких численных методов, по этой причине они имеют ограничения в области и точности расчета. Основные положения электромагнетизма, в том числе определение понятия индуктивность — здесь. 

Формулы и численные методы расчета катушек индуктивности, которые использует Coil64, вы можете посмотреть в справочном разделе сайта.

Здесь приведены простые эмпирические формулы расчета индуктивностей, которые Coil64 не использует, но которые могут быть полезны и радиолюбителям и студентам.

  Индуктивность Формула
Прямой провод индуктивность прямого провода inductor as a straight conductor, formula
Параллельные провода (ток в одном направлении)
r≪w
индуктивность параллельных проводников Parallel conductors inductance, formula
Параллельные провода (ток в противоположных направлениях)
r≪w
индуктивность параллельных проводников Parallel conductors inductance, formula
Полосковая линия индуктивность микрополосковой линии Microstrip line inductance, formula
Коаксиальная линия индуктивность коаксиальной линии Coaxial line inductance, formula
Однослойная катушка
(l > 0.8 R)
(онлайн калькулятор)
индуктивность однослойной катушки Singlelayer coil inductance, formula
Многослойная катушка
(l ≈ w)
(онлайн калькулятор)
Индуктивность многослойной катушки Multilayer coil inductance, formula
Плоская катушка
(онлайн калькулятор)
индуктивность плоской катушки Flat coil inductance, formula
Коническая катушка
(онлайн калькулятор)
индуктивность конической катушки Conical coil inductance, formula


LH-индуктивность эквивалентной цилиндрической катушки
LP-индуктивность эквивалентной плоской катушки

Во всех расчетных формулах таблицы все размеры в метрах, индуктивность в Генри.

Теория индуктивностей

Характеристики магнитного поля

Магнитное поле создается постоянными магнитами и проводниками, по которым протекает электрический ток. Для характеристики магнитного поля вводятся такие величины:
Напряженность магнитного поля, характеризующая интенсивностъ магнитного поля в данной точке пространства. Напряженность магнитного поля, создаваемого током, определяется его величиной и формой проводника. Напряженность магнитного поля, в а/м внутри катушки. у которой длина намного больше диаметра, может быть определена по формуле

Напряженность  магнитного поля

где I — ток (в а); w— число витков, l — длина катушки (в м).
Магнитный поток — общее количество магнитных силовых линий, пронизывающих контур. Для вакуума и практически для воздуха магнитный поток в веберах – вб, определяется по формуле

Магнитный  поток

где S — площадь контура в квадратных метрах.
Магнитная индукция — интенсивность результирующего магнитного поля в данном веществе измеряется в веберах на метр квадратный (вб/м2)

Магнитная  индукция

Магнитная проницаемость — величина, показывающая, во сколько раз магнитная индукция в данном веществе больше или меньше на пряжеиности внешнего магнитного поля (ом*сек)/м

Магнитная  проницаемость

Магнитная проницаемость вакуума (магнитная постоянная) равна единице. Для воздуха μ приблизительно равна 1. У парамагнитных веществ (алюминий, платина) μ > 1, у диамагнитных (медь, висмут и др.) μ < 1, а у ферро магнитных (железо, никель, кобальт и некоторые сплавы) μ >>> 1. В соответствии с приведенными выше формулами для любого вещества можем написать:

Взаимосвязь магнитной индукции, потока, проницаемости и напряженности магнитного поля

Кроме практической системы единиц, пользуются абсолютной электромагнитной системой единиц. Соотношение между единицами этих систем следующее:

1 = 12,56*10-3 Э (эрстед);
1 вб = 108 мкс (максвелл);
1 вб/м2 = 104 гс (гаусс).

Индуктивность и взаимоиндуктивность

Индуктивность (коэффициент самоиндукции) численно равна э. д. с. самоиндукции (eL), возникающей в проводнике (контуре) при равномерном изменении тока в нем на 1 а в 1 сек.

Индуктивность

Индуктивность, измеряется в следующих единицах:
1 гн = 1000 мгн;
1 мгн = 1000 мкгн;
1 мкгн = 1000 см.

Схема взаимосвязанных индуктивностей

Рис. 1 Схема взаимосвязанных индуктивностей.

Коэффициент взаимоиндукции М численно равен э. д. с. взаимоиндукции, возникающей в одном контуре при равномерном изменении тока на 1 а в 1 сек. в другом контуре (рис. 1).

Коэффициент  взаимоиндукции - расчетная формула

Коэффициент взаимоиндукции измеряется в тех же единицах, что и индуктивность. Связь через общий магнитный поток двух катушек индуктивностью L1 и L2 называется индуктивной связью, характеризуемой коэффициентом связи

Коэффициент магнитной связи

Зная коэффициент связи, можно определить коэффициент рассеяния

Коэффициент рассеяния

Если катушки находятся на общем замкнутом ферромагнитном сердечнике достаточно большого сечения, то k приблизительно равно 1, а ϭ приблизительно равна 0.

Соединение индуктивностей

Общая индуктивность L нескольких последовательно или параллельно соединенных индуктивностей при отсутствии, а также при наличии индуктивной связи между ними определяется по формулам, приведенным в таблице №1.

Таблица № 1

Схема соединения Общая индуктивность

Схема последовательного соединения индуктивностей

Формула расчета общей индуктивности при последовательном соединении трех индуктивностей

Схема параллельного соединения индуктивностей

Формула расчета общей индуктивности при параллельном соединении трех индуктивностей

Схема параллельного соединения двух индуктивностей

Формула расчета общей индуктивности при параллельном соединении двух индуктивностей

Схема последовательного соединения двух индуктивностей с электромагнитной взаимосвязью

Формула расчета общей индуктивности при последовательном соединении двух индуктивностей с электромагнитной взаимосвязью

Схема  параллельного соединения  двух индуктивностей с электромагнитной взаимосвязью

Формула расчета общей индуктивности при параллельном соединении  двух индуктивностей с электромагнитной взаимосвязью

В формулах отмеченных значком * верхний знак алгебраического сложения, используется при согласованном включении индуктивностей, а нижний знак алгебраического сложения, используется при встречном включении индуктивностей.

Катушки с малой индуктивностью

Однослойные катушки

применяются на частотах выше 1500 кГц. Намотка может быть сплошная и с принудительным шагом. Однослойные катушки с принудительным шагом отличаются высокой добротностью (Q = 150 — 400) и стабильностью. Они применяются в основном в контурах КВ и УКВ. Высокостабильные катушки, применяемые в контурах гетеродинов на КВ и УКВ, наматываются при незначительном натяжении проводом, нагретым до 80—120°.
Для катушек с индуктивностью выше 15 — 20 мкГн применяется сплошная однослойная намотка. Целесообразность перехода на сплошную намотку определяется диаметром катушки. В таблице № 2, приведены ориентировочные значения индуктивности, при которых целесообразен переход на сплошную намотку:

Таблица № 2

Диаметр каркаса (в мм.)

6

10

15

20

25

Предельная индуктивность (в мкГн)

1,8

4

10

20

30

Катушки со сплошной намоткой также отличаются высокой добротностью и широко используются в контурах на коротких, промежуточных и средних волнах, если требуется индуктивность не выше 200—500 мкГн. Целесообразность перехода на многослойную намотку определяется диаметром катушки. В таблице № 3, приведены ориентировочные значения индуктивности при заданных диаметрах, при которых целесообразен переход на многослойную намотку:

Таблица № 3

Диаметр каркаса (в мм.)

10

15

20

25

30

Предельная индуктивность (в мкГн)

30

50

100

200

500

Индуктивность простой однослойной катушки может быть рассчитана по формуле (1):

Индуктивность однослойной катушки

где L — индуктивность (в мкГн), D — диаметр катушки (в см), I — длина намотки (в см), w — число витков.

При намотке однослойной катушки индуктивности с принудительным шагом, общая индуктивность (в мкГн), рассчитывается по формуле (2):

Индуктивность однослойной катушки с принудительным шагом

где L — индуктивность катушки, найденная по формуле (1) т. е. без поправки на шаг намотки;
А и В — поправочные коэффициенты, определяемые по графикам рис. 2а и 2б;
D — диаметр (в см);
w — число витков катушки.

График поправочного коэффициента А для расчета индуктивности однослойных катушек с  принудительным шагом намотки  График поправочного коэффициента B для расчета индуктивности однослойных катушек с  принудительным шагом намотки

Рис. 2 Графики поправочных коэффициентов для расчета индуктивности однослойных катушек с принудительным шагом намотки
d — диаметр провода;
t – шаг намотки;

Многослойные катушки могут быть разделены на простые и сложные. Примерами простых намоток являются рядовая многослойная намотка и намотка внавал.

Несекцнонированные многослойные катушки с простыми намотками отличаются пониженной добротностью и стабильностью, большой собственной емкостью, требуют применения каркасов со щечками.

Широкое применение имеют сложные универсальные намотки. В радиолюбительской практике находит применение также сотовая намотка. Индуктивность многослойной катушки может быть рассчитана по формуле:

Индуктивность многослойной катушки может быть рассчитана по формуле

где L — индуктивность катушки (в мкГн), D — средний диаметр намотки (в см), l — длина намотки (в см), t — толщина катушки (в см), w — число витков.

Если задана индуктивность и нужно рассчитать число витков, то следует задаться величинами D, l и t и подсчитать необходимое число витков. После этого следует произвести проверку толщины катушки по формуле:

Индуктивность однослойной катушки с принудительным шагом

где t — толщина катушки (в см), l — длина намотки (в мм), w — число витков. d0 — диаметр провода с изоляцией (в мм), α — коэффициент неплотности намотки. Значения коэффициента неплотности α, для многослойной намотки, могут быть взяты из таблицы 4.

Таблица 4

Диаметр провода без изоляции в (мм)

Коэффициент неплотности α

0,08 — 0,11

1,3

0,15 — 0,25

1,25

0,35 — 0,41

1,2

0,51 — 0,93

1,1

Более 1,0

1,05

Для намотки «внавал» α надо увеличить на 10% — 15%. Если фактическая толщина катушки отличается от принятой в начале расчета более чем на 10%, то следует задаться другими размерами катушки и повторить расчет.

Секционированные катушки индуктивности — рисунок 3, характеризуются достаточно высокой добротностью, пониженной собственной емкостью, меньшим наружным диаметром и допускают в небольших пределах регулировку индуктивности путем смещения секций.

Секционированная катушка индуктивности

Рис. 3 Секционированная катушка индуктивности.

Они применяются как в качестве контурных в контурах длинных и средних волн, так и в качестве дросселей высокой частоты.
Каждая секция представляет собой обычную многослойную катушку с небольшим числом витков. Число секций n может быть от двух до восьми, иногда даже больше. Расчет секционированных катушек сводится к расчету индуктивности одной секции. Индуктивность секционированной катушки, состоящей из n секций,

Секционированная катушка индуктивности

где Lc — индуктивность секции, k — коэффициент связи между смежными секциями.
Коэффициент связи зависит от размеров секций и расстояния между ними. Эта зависимость изображена на графике — рисунок 4.

График зависимости коэффициента связи от размеров секций и расстояния между ними

Рис. 4 График зависимости коэффициента связи от размеров секций и расстояния между ними.

Отношение b/Dср выбирается так, чтобы величина коэффициента связи была в пределах 0,25 — 0,4. Это получается при расстояниях b = 2l. Расчет каждой секции производится обычным способом.

Корзиночная катушка, изображена на рисунке 5. Это плоскоспиральная намотка на основание в виде круга с нечетным числом радиальных прорезей. Через каждый разрез провод переходит с одной стороны круглого основания на другую.

Корзиночная катушка индуктивности

Рис. 5 Корзиночная катушка индуктивности.

Индуктивность такой катушки в мкГн определяется по формуле:

Корзиночная катушка - формула расчета индуктивности

где w — число витков, D2 — внешний диаметр намотки (в см), D1 — внутренний диаметр намотки (в см), k — поправочный коэффициент для корзиночных катушек, определяемый из таблицы 5.

Таблица 5. Поправочный коэффициент k для корзиночных катушек.

Формула расчета отношения суммы и разности диаметров корзиночной катушки

k

1,2

3,3

1,5

3,0

1,8

2,7

2,0

2,6

3,0

2,1

5,0

1,6

8,0

1,2

10,0

1,0

Наилучшим соотношением для корзиночных катушек является D2 = 2D1

Торроидальные катушки индуктивности на немагнитном сердечнике — выполняются сплошной намоткой на кольцевом немагнитном сердечнике, со средним диаметром D, как правило, поперечное сечение кольца имеет форму окружности с диаметром d. Эскиз торроидальной катушки индуктивности на немагнитном сердечнике изображен на рисунке 6.

Торроидальная катушка индуктивности на немагнитном сердечнике

Рис. 6 Торроидальная катушка индуктивности на немагнитном сердечнике.

Индуктивность такой катушки в мкГн определяется по следующей формуле:

Торроидальные катушки индуктивности на немагнитном сердечнике - формула расчета индуктивности

где D — средний диаметр торроидального сердечника (в см.), w — количество витков катушки, d — диаметр витка (в см.)

Собственная емкость катушек индуктивности

Собственная емкость изменяет параметры катушки, понижает добротность и стабильность настройки контуров. В диапазонных контурах эта емкость уменьшает коэффициент перекрытия диапазона.
Величина собственной емкости определяется типом намотки и размерами катушки. Наименьшая собственная емкость (несколько пф) у однослойных катушек, намотанных с принудительным шагом. Многослойные катушки обладают большей емкостью, величина которой зависит от способа намотки. Так, емкость катушек с универсальной намоткой составляет 5—25 пф, а с рядовой многослойной намоткой может быть выше 50 пф.

Катушки с большой индуктивностью

В катушках с большой индуктивностью применяются сердечники из ферромагнитных материалов. Индуктивность катушки с замкнутым стальным сердечником, измеряется в генри (гн) и рассчитывается по формуле:

Индуктивность  катушки с замкнутым стальным сердечником - расчетная формула

Где μмагнитная проницаемость материала, Sc – сечение сердечника в квадратных сантиметрах см2, ω – число витков катушки, lcсредняя длина магнитного пути в см. Схематическое изображение Ш – образного магнитного сердечника, приведено на рисунке 7.

Схематическое изображение Ш – образного магнитного сердечника

Рис. 7 Ш – образный магнитный сердечник

Следует помнить, что магнитная проницаемость материала зависит от переменной составляющей индукции в сердечнике и от величины постоянного подмагничивания, а также от частоты. Ниже приводится методика расчета катушек индуктивности, работающих при малых значениях переменной составляющей индукции, например, дросселей сглаживающих фильтров для выпрямителей. Для катушек индуктивности, работающих без постоянного подмагничивания, число витков определяется по формуле:

Для катушек индуктивности, работающих  без постоянного подмагничивания, число витков - расчетная формула

Где L – индуктивность катушки в гн, lc — средняя длина магнитного пути в см, μн начальная проницаемость магнитного материала, Sc – сечение сердечника в квадратных сантиметрах см2.

Для катушек индуктивности с постоянным подмагничиванием предварительно определяем ориентировочное значение действующей магнитной проницаемости, с учетом подмагничивания, по графикам для разных электротехнических сталей, приведенным на рис. 8, где I0 — ток подмагничивания, L — индуктивность.

Значение действующей магнитной проницаемости, с учетом  подмагничивания - график

Рис. 8 Графики для ориентировочного определения
действующей магнитной проницаемости при
постоянном подмагничивании

Ориентировочное число витков для катушек индуктивности с постоянным подмагничиванием определяем по формуле (*) :

Число витков для катушек индуктивности  с постоянным подмагничиванием - расчетная формула

Где μд истинное значение магнитной проницаемости материала ферромагнитного сердечника. Истинное значение действующей магнитной проницаемости μд определяется по кривым рисунка 9.

Значение действующей магнитной проницаемости, с учетом  подмагничивания - график

Рис. 9 Графики для определения истинного значения
действующей магнитной проницаемости при
постоянном подмагничивании

Постоянное подмагничивание awo на 1 см длины магнитного пути для работы с графиками рисунка 4, можно определить по формуле:

Постоянное  подмагничивание awo на 1 см  длины магнитного пути

где Io — ток подмагничивания в ма, lс — длина магнитного пути в см.
Далее определяется точное число витков катушки по приведенной выше формуле (*). Диаметр провода катушки в мм :

Диаметр  провода катушки в мм

Где Io ток подмагничивания в а.
Величина немагнитного зазора в сердечнике, изображенного на рисунке 1 высчитывается по формуле:

Величина  немагнитного зазора в сердечнике - формула

причем Z% определяется по кривым рисунка 10. Толщина немагнитной прокладки выбирается равной 0,5δз. Прокладки можно делать из любого листового изоляционного материала.

Кривые определения величины z для расчета немагнитного зазора

Рис. 10 Кривые для определения величины z%

Содержание:

Индуктивность и ее расчет:

Основным соотношением для магнитного поля является принцип непрерывности магнитного потока: Индуктивность и ее расчет

Индуктивность и ее расчет

На рис. 1.12, а и б проиллюстрировано различие между потоком и
потокосцеплением, причем число линий в условном масштабе равно
величине потока.

Индуктивность и ее расчет

Индукция измеряется в тесла (тл), магнитный поток и потокосцепление — в веберах (вб).
Индуктивность уединенного контура, равная отношению потокосцепления к току:

Индуктивность и ее расчет

пропорциональна магнитной проницаемости среды, в которой он находится, и определяется конфигурацией контура. Единицей индуктивности является генри (гн).
Для расчета индуктивности контура необходимо предварительно рассчитать его магнитное поле по основному соотношению — закону полного тока:

Индуктивность и ее расчет

устанавливающему связь между напряженностью магнитного поля Индуктивность и ее расчети полным током I — алгебраической суммой токов, сцепляющихся с путем интегрирования. При этом положительное направление тока I связано с направлением dI обхода правилом правого винта.
Напряженность магнитного поля измеряется в а/м, магнитная проницаемость — в гн/м.
Если потокосцепление контура изменяется во времени, то в контуре появляется э. д. с. индукции е, величина и направление которой определяется законом электромагнитной индукции:

Индуктивность и ее расчет

где Е — вектор напряженности наведенного в контуре электрического поля.
Таким образом, закон электромагнитной индукции связывает между собой изменение магнитного поля с возникающим электрическим полем.
Максвеллом было постулировано обобщение этого закона, заключающееся в том, что электрическое поле возникает при изменении магнитного поля в любой среде, а не только в проводящем контуре.

Закон электромагнитной индукции, открытый Фарадеем в 1831 г., был дополнен Ленцем в 1832— 1834 гг. Им было установлено общее правило: з. д. с. индукции всегда стремится создать ток, направленный так, чтобы препятствовать изменению потока, сцепляющегося с контуром.
При изменении тока в контуре изменяется потокосцепление ψL созданное этим током, и в контуре наводится э. д. с. самоиндукции

Индуктивность и ее расчет

Индуктивность тороида и соленоида

Если на кольцевой сердечник — тороид, выполненный из материала проницаемостью µ > µ0, нанести обмотку не по всей его длине (рис. 1.13), то только часть потока проходит по сердечнику, остальная часть — поток рассеяния — замыкается в воздухе. Тороид же, содержащий витки, плотно и равномерно распределенные по всей длине сердечника (рис. 1.14), замечателен тем, что практически весь магнитный поток сосредоточивается в сердечнике, т. е. потока рассеяния нет. Линии вектора напряженности поля представляют собой окружности, сцепляющиеся со всеми витками. Ввиду симметрии напряженность поля в каждой точке окружности по величине постоянна; по направлению она совпадает с касательной к окружности.

Индуктивность и ее расчет

Тороиды широко применяются в трансформаторах, магнитных усилителях и электроизмерительных приборах.

Пусть тороид имеет прямоугольное сечение высотой Н, с радиусами г1 и г2, магнитная проницаемость материала µ.

По закону полного тока для окружности с радиусом Индуктивность и ее расчет

Индуктивность и ее расчет

откуда

Индуктивность и ее расчет

т. е. напряженность поля убывает по мере приближения к наружному краю тороида. Это в равной мере относится и к индукции

Индуктивность и ее расчет

Поток в сердечнике тороида

Индуктивность и ее расчет

а потокосцепление

Индуктивность и ее расчет

Отсюда индуктивность тороида

Индуктивность и ее расчет

Если расчет вести для средней линии I и приближенно считать поле в тороиде распределенным равномерно, то напряженность

Индуктивность и ее расчет

где w0 — число витков на единицу длины, а магнитный поток и индуктивность, соответственно,

Индуктивность и ее расчет

Обычно в реальных тороидах отношениеИндуктивность и ее расчет что приводит при этих приближенных формулах к погрешности, не превышающей 1,2 %. Последняя формула для индуктивности может быть применена и к длинному соленоиду, рассматриваемому как часть тороида бесконечно большого радиуса. Для соленоида конечной длины µ=µ0

Индуктивность и ее расчет

где k < 1 — коэффициент, учитывающий, что в таком соленоиде не весь поток пронизывает все витки.

Индуктивность и ее расчет

Как показывает точный расчет, этот коэффициент зависит от отношения диаметра D катушки к ее длине I (рис. 1.15). При Индуктивность и ее расчет = 0,1 коэффициент k — 0,96, поэтому при Индуктивность и ее расчет < 0 ,1 приближенно принимают k = 1.

Индуктивность двухпроводной линии

Двухпроводная линия (рис. 1.16, а) состоит из двух параллельных проводов одинакового радиуса г0, имеющих большую длину I по сравнению с расстоянием d между ними. Магнитная проницаемость материала проводов (г, окружающей среды — µ0. Токи I в прямом и обратном проводах отличаются лишь направлением; начало координат взято в центре сечения левого провода.

Для отдельного провода ввиду его осевой симметрии, при пренебрежении искажением поля у его концов, применение закона полного тока к окружности радиуса Индуктивность и ее расчет дает:

Индуктивность и ее расчет

При интегрировании по окружности, лежащей внутри отдельного провода Индуктивность и ее расчет охватывается лишь часть LХ всего тока, протекающая внутри круга радиуса х, равная при равномерном распределении тока по сечению

Индуктивность и ее расчет

В воздухе между проводами на линии, соединяющей центры их сечений Индуктивность и ее расчет направления полей, создаваемых обоими токами согласно правилу правого винта, совпадают и напряженности поля и индукции складываются:

Индуктивность и ее расчет

Эти же формулы справедливы и для Индуктивность и ее расчет т. е. снаружи линии, но здесь они дают разность полей.

Индуктивность и ее расчет

Внутри левого провода линии напряженность поля и индукция от обоих проводов будут:

Индуктивность и ее расчет

Внутри правого провода Индуктивность и ее расчетсоответственно,

Индуктивность и ее расчет

На рис. 1.16, б представлено распределение напряженности поля и индукции вдоль оси х для магнитной проницаемости материала проводов µ > µ0. Посередине между проводами поле минимально, но в нуль не обращается. Поле также не равно нулю на осях проводов.

На внутренней стороне проводов напряженность поля и индукция больше, чем на внешней. В отличие от напряженности поля индукция имеет разрыв у поверхности проводов. Для вычисления индуктивности линии необходимо найти потокосцепление. Элементарный поток, проходящий через площадку Idx в воздухе между проводами,

Индуктивность и ее расчет

Весь поток между проводами — внешний поток

Индуктивность и ее расчет

одновременно является внешним потокосцеплением, так как сцепляется с контуром один раз. Поэтому

Индуктивность и ее расчет

а соответствующая ему внешняя индуктивность

Индуктивность и ее расчет

Для большинства линий расстояние d между проводами значительно превышает радиус r0 проводов. В этом случае

Индуктивность и ее расчет

Для определения внутренней индуктивности, соответствующей внутреннему потоку, при d > r0 поле внутри провода линии может вычисляться как поле уединенного провода, так как поле, создаваемое вторым проводом внутри первого, по сравнению с полем первого, пренебрежимо мало. Тогда элементарный поток внутри провода

Индуктивность и ее расчет

Так как поток dФi охватывает не весь ток, а только его часть [см. формулу (1.3)], элементарное потокосцепление

Индуктивность и ее расчет

Весь поток между проводами — внешний поток

Индуктивность и ее расчет

Соответственно, внутренняя индуктивность

Индуктивность и ее расчет

Суммарная индуктивность линии

Индуктивность и ее расчет

При медных или алюминиевых проводах (Индуктивность и ее расчет) в большинстве случаев вторым членом можно пренебречь по сравнению с первым и тогда

Индуктивность и ее расчет

Для стальных проводов (Индуктивность и ее расчет) основной частью потока является
внутренний поток и индуктивность

Индуктивность и ее расчет

практически не будет зависеть от расстояния между проводами.

Взаимоиндуктивность и ее расчет

Для двух контуров, имеющих w1 и w2 витков с токами I1 и I2 (рис. 1.17), поток первого контура, определяемый током этого контура, — поток самоиндукции Ф1l—может быть разложен на поток рассеяния Ф1s, пронизывающий только этот контур, и поток взаимоиндукции Ф1m, пронизывающий также и второй контур:

Индуктивность и ее расчет

Индуктивность и ее расчет

Потокосцепление, соответствующее потоку Ф11 (при условии, что этот поток пронизывает все витки первого контура, равно

Индуктивность и ее расчет

а потокосцепление рассеяния

Индуктивность и ее расчет

Аналогично для второго контура

Индуктивность и ее расчет

Потокосцепление второго контура, определяемое током первого,

Индуктивность и ее расчет

а потокосцепление первого контура, определяемое током второго,

Индуктивность и ее расчет

Можно показать, что

Индуктивность и ее расчет

Величина M называется взаимоиндуктивностью и определяется конфигурацией контуров, их взаимным расположением и магнитной проницаемостью среды. Взаимоиндуктивность также измеряется в генри (гн).
Суммарный поток, пронизывающий первый контур,

Индуктивность и ее расчет

Суммарное потокосцепление первого контура

Индуктивность и ее расчет

и соответственно для второго контура

Индуктивность и ее расчет

В этих алгебраических суммах первый член всегда положителен, а знак перед вторым членом определяется направлением токов в контурах; положительный знак соответствует случаю совпадения направлений потоков Ф и Ф (см. рис. 1.17).
Из изложенного видно, что

Индуктивность и ее расчет

Таким образом, взаимоиндуктивность и индуктивности всегда удовлетворяют неравенству

Индуктивность и ее расчет

а используемый в технических расчетах коэффициент связи двух контуров

Индуктивность и ее расчет

Аналогично, в системе многих контуров потокосцепление контура определяется токами всех контуров:

Индуктивность и ее расчет

где Lq — индуктивность q-то контура, Мqp = Мрq — взаимоиндуктивность q- и р-го контуров. Общий прием расчета взаимоиндуктивности контуров заключается
в нахождении потокосцепления, пронизывающего контур q, но созданного током р-го контура, и делении его на этот ток.

Взаимоиндуктивность двух параллельных двухпроводных линий

Пусть две параллельные двухпроводные линии расположены симметрично так, как это было показано на рис. 1.4. При условии d> г0 внутренним потоком в проводах по сравнению с внешним можно пренебречь.
Магнитный поток, пронизывающий первую линию и созданный током I2 второй, может быть найден как сумма потоков, создаваемых каждым из проводов второй линии в отдельности.
Тогда магнитный поток, пронизывающий первую линию,

Индуктивность и ее расчет

расстояния от провода линии 1 до проводов линии 2 .

Магнитный поток Ф одновременно является потокосцеплением Индуктивность и ее расчет первой линии, так как сцепляется с ней один раз; поэтому

Индуктивность и ее расчет

а взаимоиндуктивность

Индуктивность и ее расчет

Для уменьшения коэффициента связи между линиями связи l и передачи 2 применяют транспозицию линии связи, заключающуюся в перекрещивании проводов линии связи через равные расстояния; тогда суммарное потокосцепление Индуктивность и ее расчет будет равно нулю.

Линейные и нелинейные катушки индуктивности

У линейных материалов магнитная проницаемость µ, не зависит от напряженности поля и характеристика Индуктивность и ее расчет для них изображается прямой линией (рис. 1.18, а). Магнитная проницаемость пропорциональна тангенсу угла а наклона этой прямой:

Индуктивность и ее расчет

где k — масштабный коэффициент.

К нелинейным материалам относятся ферромагнетик и — железо, никель, кобальт и гадолиний. Важное значение в электротехнике имеют первые три элемента, главным образом в виде сплавов. У нелинейных материалов магнитная проницаемость очень велика Индуктивность и ее расчет и зависит от напряженности поля.

Подобно нелинейным диэлектрикам по кривой первоначальногo намагничивания В (Н) (рис. 1.18, б) могут быть определены статическая магнитная проницаемость

Индуктивность и ее расчет

и дифференциальная, а при быстрых изменениях поля — динамическая магнитная проницаемость

Индуктивность и ее расчет

На рис. 1.18, б эти проницаемости представлены в функции напряженности поля. Максимальные значения магнитной проницаемости в очень чистом железе и в некоторых сплавах, например в пермаллое (сплав железа и-никеля с различными присадками), в сотни тысяч раз превышают магнитную постоянную равную

Индуктивность и ее расчет

магнитной проницаемости вакуума.

Индуктивность и ее расчет

В переменных магнитных полях в ферромагнетиках имеет место явление магнитного гистерезиса (рис. 1.19), заключающееся в несовпадении кривой В (Н) при возрастании напряженности поля с кривой при убывании поля.

Кривая, соединяющая вершины петель гистерезиса, называется основной кривой намагничивания и практически совпадает с кривой первоначального намагничивания, Ферромагнитные свойства зависят от температуры и проявляются лишь в определенном ее интервале.

Для расчета индуктивности основной является зависимость потокосцепления ψ от тока I, называемая веберамперной характеристикой.

В зависимости от материала сердечника тороиды по виду своей веберамперной характеристики будут также линейными или нелинейными. В качестве примера рассматривается нелинейный тороид.

Для тороида Индуктивность и ее расчет и веберамперные характеристики ψ (I) в соответствующем масштабе совпадают с кривыми В (H); поэтому прямая и кривые на рис. 1.18 а и б соответствуют также веберамперным характеристикам при величинах, указанных в скобках.

Индуктивность и ее расчет

Для нелинейных тороидов вводятся понятия статической индуктивности

Индуктивность и ее расчет

и дифференциальной, а также динамической индуктивности

Индуктивность и ее расчет

являющихся функциями тока (см. рис. 1.18, б); для линейных тороидов эти индуктивности совпадают.

Аналогично индуктивностям в нелинейных системах контуров вводятся статическая взаимоиндуктивность

Индуктивность и ее расчет

и дифференциальная, взаимоиндуктивность, а также динамическая

Индуктивность и ее расчет

Индуктивность нелинейного тороида

Расчет нелинейного тороида может быть произведен, если задана зависимость В (H) или µ(H). Так как эти зависимости теоретически не выводятся, то для приближенного решения подбирают по кривой В(H) аппроксимирующую функцию.

Индуктивность и ее расчет

Пусть аппроксимирующая функция для характеристики В (H) (рис. 1.20)
материала сердечника тороида будет

Индуктивность и ее расчет

где а и b — постоянные.

Так как для тороида с ферромагнитным однородным cердечником напряженность поля по-прежнему определяется формулой 

Индуктивность и ее расчет

то индукция будет равна

Индуктивность и ее расчет

а потокосцепление

Индуктивность и ее расчет

откуда статическая индуктивность

Индуктивность и ее расчет

а дифференциальная индуктивность

Индуктивность и ее расчет

Кривые зависимости этих индуктивностей от тока представлены
на рис. 1.20.

  • Энергия в электрических цепях
  • Линейные электрические цепи
  • Нелинейные электрические цепи
  • Магнитные цепи и их расчёт
  • Электрическая ёмкость и ее расчет
  • Линейные н нелинейные диэлектрики и конденсаторы
  • Сопротивление и его расчет
  • Линейные и нелинейные резисторы

Всем доброго времени суток! В прошлой статье я рассказывал о таком явлении как электромагнитная индукция и ЭДС возникающая при самоиндукции и взаимной индукции. Устройства, в основе которых лежат данные явления и процессы, называются индуктивными элементами (катушки колебательных контуров, трансформаторы, дроссели, реакторы). В качестве одного из основных параметров данных элементов выступает индуктивность L(также имеет название коэффициента самоиндукции). О том, как рассчитать данный параметр пойдёт речь в данной статье.

Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.

Методы расчёта индуктивностей

Индуктивностью (обозначается L) или коэффициентом самоиндукции называется коэффициент пропорциональности между потокосцеплением (обозначается Ψ­L) и электрическим током, который возбуждает данное потокосцепление.

В простых случаях индуктивность можно рассчитать, применяя формулы для вычисления магнитной индукции B0 (закон Био-Савара-Лапласа), магнитного потока Φ и потокосцепления Ψ­L

где S – площадь поверхности ограниченная контуром, который создает магнитную индукцию;

n – количество контуров с током, которые пронизывает магнитный поток.

Однако это в идеальном случае, в реальности говоря о токе I, который протекает по проводнику, необходимо отметить, что его распределение по сечению проводника не всегда равномерно, вследствие возникновения скин-эффекта при переменном токе. В результате этого эффекта плотность электрического тока распределяется неравномерно, происходит её уменьшение от внешнего слоя проводника к его центру. Уменьшение плотности тока также происходит неравномерно и зависит от частоты переменного тока. Для оценки скин-эффекта ввели понятие толщины скин-слоя ∆, которая показывает, на каком расстоянии от поверхности проводника плотность тока падает в е = 2,718 раз. Толщину скин-слоя можно вычислить по выражению

где δ – глубина проникновения переменного тока или толщина скин-слоя;

μ – магнитная проницаемость вещества;

γ – удельная электрическая проводимость материала проводника;

ω – круговая частота переменного тока, ω = 2πf.

Поэтому непосредственный способ вычисления индуктивности практически не применяется.

На практике применяется выражения для индуктивности, выведенные с некоторыми допущениями, погрешности вычисления индуктивности по этим выражениями составляет порядка нескольких процентов.

Так как индуктивные элементы довольно разнообразны, их можно разделить на три группы:

индуктивные элементы без сердечников;

индуктивные элементы с замкнутыми сердечниками;

индуктивные элементы с сердечниками, имеющие воздушный зазор.

Самые простые по конструкции являются индуктивные элементы без сердечников, поэтому рассмотрим их в первую очередь. Простейшим из таких элементов является прямой провод.

Индуктивность прямолинейного провода круглого сечения

При расчёте индуктивности необходимо разделять индуктивность на постоянном токе и индуктивность на высокой частоте. Под высокой частотой следует понимать такую частоту, на которой толщина скин-слоя меньше размеров поперечного сечения провода. В случае если толщина скин-слоя больше поперечных размеров провода, то можно вести расчёт для постоянного тока.

Индуктивность прямого провода
Определение индуктивности прямого провода. l – это длина проводника, d = 2r – диаметр проводника.

В случае постоянного тока или тока низкой частоты индуктивность составит

где μ0 – магнитная постоянная, μ0 = 4π•10-7 Гн/м;

l – длина провода, м;

d – диаметр провода, м.

Как я уже говорил, на величину индуктивности влияет частота переменного тока, поэтому в случае необходимости рассчитать индуктивность на любой частоте применяется следующее выражение

где ξ – коэффициент, вносящий поправку на распространение переменного тока по сечению провода. Данный коэффициент зависит от величины k*r, где

d = 2r – диаметр поперечного сечения провода, м.

где ω – угловая частота переменного тока, ω = 2πf;

μ0 – магнитная постоянная, μ0 = 4π•10-7 Гн/м;

γ – удельная проводимость вещества проводника.

Тогда если k*r < 3, то

если k*r > 3, то

где

Пример. Необходимо рассчитать индуктивность прямолинейного провода круглого сечения из меди (γ = 5,81*107 См/м) диаметром d = 2 мм и длиной l = 4 м, при постоянном токе и токе частотой f = 50 кГц.

На постоянном токе

На частоте 50 кГц

Online калькулятор индуктивности прямолинейного проводника

Индуктивность кругового кольца круглого сечения

Теперь рассмотрим, какова будет индуктивность если провод свернуть в кольцо. Такой индуктивный элемент будет иметь вид

Индуктивность кольца (витка) из провода
Определение индуктивности кругового витка. D – диаметр кольца (витка), d – диаметр провода, из которого сделано кольцо (виток).

При этом его индуктивность можно вычислить по следующему выражению

для  постоянного тока

где R – радиус витка, м, R = D/2;

r – радиус провода, м, r = d/2;

μ0 – магнитная постоянная, μ0 = 4π•10-7 Гн/м.

Так же как и для проводника существует выражение для индуктивности кругового витка на любой частоте

где ξ – коэффициент, вносящий поправку на распространение переменного тока по сечению провода. Определяется также как и для прямого проводника.

Пример. В качестве примера рассчитаем индуктивность такого же провода, как и в первом примере, только свёрнутом в кольцо. В этом случае диаметр провода d = 2 мм, а диаметр кольца D = l/π = 4/3,142 ≈ 1,273 м, провод выполнен из меди (γ = 5,81*107 См/м).

Для постоянного тока индуктивность составит

На частоте 50 кГц

Online калькулятор индуктивности кольца кругового сечения

В следующей части я продолжу рассмотрение расчётов индуктивности для различных индуктивных элементов.

Индуктивность контура — это коэффициент пропорциональности между постоянным током, текущим в заданном замкнутом контуре, и потоком вектора магнитной индукции, создаваемым этим током через поверхность, окружённой этим контуром. Обозначение — displaystyle L, размерность — Гн (генри). Формульно:

Фdisplaystyle =LI (1)

  • где

Соленоид

Рис. 1. Соленоид

В большинстве задач данный параметр задан в условии, однако есть одна система, в которой данный параметр является расчётным. Это соленоид (рис. 1). Соленоидом называется провод, согнутый в виде спирали (он же, в принципе, катушка индуктивности). Формульно:

displaystyle L=mu {{mu }_{0}}{{N}^{2}}frac{S}{l} (1)

  • где

Немного о displaystyle mu approx 1 — относительной магнитной проницаемости среды. Чаще всего в школьных задачах соленоид пустотелый, т.е. внутри него (витков) воздух, тогда displaystyle mu >1. Иногда в него помещают сердечник, т.е. болванку формой повторяющую внутреннюю геометрию соленоида, тогда displaystyle mu >1 и по веществу, из которого состоит сердечник, можно в таблицах найти значение магнитной проницаемости.

Для ряда задач существует всё тот же вопрос о параллельном и последовательном соединении индуктивностей. Будем считать, что взаимной индукции нет (т.е. один контур экранирован от второго). Тогда:

  • при параллельном подключении:

displaystyle frac{1}{{{L}_{o}}}=sumlimits_{i}{frac{1}{{{L}_{i}}}} (2)

  • где

В случае двух элементов, соединённых параллельно:

displaystyle {{L}_{o}}=frac{{{L}_{1}}{{L}_{2}}}{{{L}_{1}}+{{L}_{2}}} (3)

  • при последовательном подключении:

displaystyle {{L}_{o}}=sumlimits_{i}{{{L}_{i}}} (4)

  • где

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как исправить свою организацию на яндекс картах
  • Одно плечо выше другого как исправить у подростка упражнения
  • Как найти 5 точек имеющих равные координаты
  • Как найти объем в физике через температуру
  • Как исправить выгнутые доски

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии