Как найти импульс фотона рентгеновского излучения

Условие задачи:

Определить импульс фотона, соответствующего рентгеновскому излучению с частотой 3·10¹⁷ Гц.

Задача №11.1.15 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(nu=3 cdot 10^{17}) Гц, (p-?)

Решение задачи:

Запишем формулу длины волны де Бройля (lambda):

[lambda = frac{h}{p}]

В этой формуле (h) – это постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с.

Откуда выразим импульс фотона (p):

[p = frac{h}{lambda };;;;(1)]

Известно, что частоту колебаний (nu) можно выразить через скорость света (c), которая равна 3·10⁸ м/с, и длину волны (lambda) по следующей формуле:

[nu = frac{c}{lambda }]

Из этой формулы выразим длину волны (lambda):

[lambda = frac{c}{nu }]

Это выражение подставим в формулу (1), тогда имеем:

[p = frac{{hnu }}{c}]

Посчитаем численный ответ задачи:

[p = frac{{6,62 cdot {{10}^{ – 34}} cdot 3 cdot {{10}^{17}}}}{{3 cdot {{10}^8}}} = 6,62 cdot {10^{ – 25}}; кг cdot м/с]

Ответ: 6,62·10^-25 кг·м/с.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

11.1.14 Найти массу фотона излучения с длиной волны 1 мкм
11.1.16 С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен
11.1.17 При какой длине волны излучения масса фотона равна массе покоя электрона?

Исходные данные: λ (длина волны рентгеновского излучения) = 4 * 10^{-11 м.}

Постоянные величины: h (постоянная Планка) = 6,62 * 10^-34 Дж*с; С (скорость света) = 3 * 10⁸ м/с.

1) Определим энергию фотона: E = h * C / λ = 6,62 * 10^-34 * 3 * 10⁸ / 4 * 10^-11 = 4,965 * 10^-15 Дж.

2) Вычислим импульс фотона: Р = h * C / λ = 6,62 * 10^-34 / 4 * 10^-11 = 1,655 * 10^-23 кг*м/с.

Ответ: Энергия фотона равна 4,965 * 10^-15 Дж; а его импульс составляет 1,655 * 10^-23 кг*м/с.

Итак,
энергия фотона равна
=.
Воспользуемся законом взаимосвязи
массы и энергии:
,
где
–
масса фотона. Отсюда:

где
с
–
скорость света в вакууме. Фотон всегда
движется со скоростью света, его масса
покоя равна нулю.

Как
всякая частица, фотон обладает массой,
энергией и импульсом. Импульс фотона:

где
λ
– длина волны света в вакууме. Так как
k
= 2π/λ
, то
в векторной форме записи последнее
выражение принимает вид:

Связь
импульса фотона
с его энергиейЕ_f
получена из общей формулы теории
относительности:
для фотонаm₀
= 0 и

Импульс
фотона – векторная величина, направление
импульса совпадает с направлением
распространения света, которое
характеризуется волновым вектором
.

Корпускулярные
свойства фотона (энергия, импульс и
масса) связаны с его волновой
характеристикой – частотой света
.

Экспериментальным
подтверждением наличия у фотонов массы
и импульса является существование
светового давления. С квантовой точки
зрения давление света вызвано тем, что
при соударении с поверхностью тела
каждый фотон передает этой поверхности
свой импульс.

Лекция
3

1.4. Эффект Комптона

Комптон
(1923) открыл явление, в кото­ром
можно было наблюдать, что фотону присущи
энергия и им­пульс.
Результаты этого опыта — еще одно
убедительное под­тверждение
гипотезы Эйнштейна о квантовой природе
самого электромагнитного
излучения.

Комптон
исследовал рассеяние жесткого
рентгеновского из­лучения
на образцах, состоящих из легких атомов,
таких как графит,
парафин и др. Схема его установки показана
на рис.
1.14.

Источником
рентгеновского излучения служила
рентгенов­ская
трубка с молибденовым антикатодом.
Диафрагмы

и
D₂
выделяли
узкий пучок монохромати­ческого
рентгеновского излучения, который
падал затем на исследуемый образец
О.
Для
исследования спектрального
состава рассеянного излуче­ния
оно после прохождения ряда диа­фрагм
попадало на кристалл К
рент­геновского
спектрографа, а затем в счетчик
С (или на фотопластинку).

Комптон
обнаружил, что в рассе­янном
излучении, наряду с исходной длиной
волны λ,
появля­ется
смещенная
линия с
длиной волны
.
Это получило на­звание
комптоновского
смещения,
а
само
явление — эффекта
Комптона.

Опыт
показал, что наблюдаемое комптоновское
смещение

не зависит от материала рассеивающего
образца и длины волны
λ
падающего
излучения, а определяется лишь углом
между
направлениями рассеянного и падающего
излучений (см.
рис. 1.14). С увеличением угла интенсивность
смещенной компоненты растет, а несмещенной
— падает. Это показано на рис.1.15,
где представлены результаты измерений
на графите при
различных углах рассеяния для так
называемой К_a—линии
молибдена, имеющей длину волны 0,071 нм.
Слева показана форма
линии исходного излучения (т. е.
спектральное распределение
интенсивности по длинам волн). Правее
— то же самое
для рассеянного излучения при различных
углах рассеяния.

Классическая
теория оказаласьне
в состоянии объяснить закономерности
комптоновского рассеяния
и в первую очередь появление смещенной
компоненты. Они
были поняты только на основе квантовой
теории. Комптон предположил,
что рассеяние рентгеновского кванта с
измене­нием
длины волны надо рассматривать как
результат одиночного
акта
столкновения его с электроном.

В
атомах легких элементов, с которыми
проводились опыты,
энергия связи электрона с атомом мала
по сравнению с энергией,
передаваемой электрону рентгеновским
квантом при столкновении.
Это выполняется тем лучше, чем больше
угол рассеяния. В легких атомах энергией
связи электрона внутри атома
можно пренебречь при всех углах рассеяния,
т. е. все электроны
можно считать свободными. Тогда
одинаковость комптоновского
смещения

для всех веществ сразу стано­вится
понятной. Действительно, ведь с самого
начала предпо­лагается,
что рассеивающее вещество по существу
состоит толь­ко
из свободных
электронов, т.
е. индивидуальные особенности совсем
не учитываются. Но это допустимо только
для легких атомов.
Для внутренних электронов тяжелых
атомов такое представление
не годится, что и подтверждает опыт.

Теперь
рассмотрим столкновение фотона со
свободным электроном
с учетом того, что при этом должны
соблюдаться законы
сохранения энергии и импульса. Поскольку
в результате столкновения
электрон может стать релятивистским,
этот процесс
будем рассматривать на основе
релятивистской динамики.

Итак,
свет, переносящий энергию
,
обладает импульсоми может вести себя подобно частице. При
фотоэффекте этот импульс передается
всему образцу металла и испускаемому
из него электрону. Импульс, переданный
металлу, очень мал и не может быть
измерен, однако при столкновении фотона
со свободным электроном величину
передаваемого импульса можно измерить.

Найдем
связь длины волны рассеянного фотона
с углом рассеяния и длиной волны фотона
до соударения. Пусть
на первоначально покоившийся свободный
электрон с энергией
покоя

падает
фотон с энергией

и
импульсом ε/с.
После
столкновения энергия фотона станет
равной
,
а
энергия и
импульс электрона отдачи E‘
и p‘.
Согласно
законам сохране­ния
энергии и импульса системы фотон-электрон,
запишем до и
после столкновения следующие равенства:

,
(1.9)

,
(1.10)

где
второе равенство записано на основе
теоремы косинусов для треугольника
импульсов
(рис. 1.16).

Имея
в виду, что связь между энергией и
импульсом реляти­вистского
электрона имеет вид

(1.11)

найдем

из
формулы (1.9) и


из
(1.10):

(1.12)

(1.13)

Вычтя
в соответствии с (1.11) выражение (1.13) из
(1.12) и приравняв
полученный результат m²c⁴,
получим после сокращений:

.
(1.14)

Учитывая,
что
,

и,
получим:

, (1.15)

где
λ_c
—
комптоновская
длина волны частицы
массы т,

. (1.16)

Для
электрона
_c=2,43·10^-10см.
Универсальная
постоянная λ_c

является одной из важнейших атомных
констант.
Соотношение (1.15) очень хорошо
согласуется с наблюдаемой на опыте
зависимостью комптоновского
смещения от угла рассеяния θ
(см. рис. 1.15). Уширение
обеих компонент рассеянного излучения
обусловлено
движением электронов и атомов, на которых
происходит рассеяние,
т. е. эффектом Доплера.

Наличие
несмещенной компоненты в рассеянном
излучении обусловлено
внутренними электронами атомов
рассеивающего вещества.
Их энергия связи, особенно в тяжелых
атомах, сравнима с энергией рентгеновских
фотонов, и, значит, такие электроны
уже нельзя считать свободными. Обмен
энергией и импульсом
рентгеновского фотона происходит с
атомом как целым.
Масса же атома намного превышает массу
электрона, поэтому
комптоновское смещение фотонов,
рассеянных на таких атомах, ничтожно,
и их смещенная длина волны
практи­чески
совпадает с длиной волны

падающего излучения. Это
видно из формул (1.15) и (1.16).

С
ростом атомного номера относительное
число связанных электронов увеличивается.
Поэтому должно происходить возрастание
интенсивности несмещенной компоненты
по сравнению с интенсивностью
смещенной. Это и наблюдается на опыте.

Кроме
того, с ростом угла рассеяния θ
доля
передаваемой электрону энергии
возрастает. Отсюда следует, что при
увели­чении
угла рассеяния θ
растет
относительная доля электронов, которые
можно считать свободными, а значит,
растет и отноше­ние
интенсивности смещенной компоненты к
интенсивности несмещенной,
что и показывает опыт.

Итак,
чем больше энергия фотона, тем в меньшей
степени проявляется
связь электрона с атомом, тем больше
электронов, которые
можно считать свободными. Именно поэтому
для на­блюдения
эффекта Комптона нужно использовать
жесткое рентгеновское
излучение. Вот почему эффект Комптона
не на­блюдается в видимой области
спектра. Энергия соответствую­щих
фотонов настолько мала, что даже внешние
электроны атома
не могут играть роль свободных.

Опыты
Боте и Гейгера(1925)
доказали, что электрон отдачи
и
рассеянный фотон появляются одновременно.
Схема опыта показана на рис.
1.17, где X
—
источник рентгеновского
излучения, Р
—
рассеиватель,
в котором под действием излучения
происходит Комптон-эффект, Ф
и
Э
—
счетчики рассеянных фотонов и электронов
отдачи. Эти счетчики
установлены симметрично относительно
рассеивателя Р
и
включены в схему совпадений С,
т. е. в электрическую схему,
которая позволяет регистрировать лишь
те случаи, когда фотон
и электрон в счетчиках Ф
и Э
появляются одновременно.
В
результате было установлено, что число
одновременных регистраций
фотона и электрона в счетчиках во много
раз превосходит
то число, которое можно было ожидать
при случайном
по времени появлении фотона и электрона.
Так было доказано
существование индивидуального
столкновения фотона с электроном.

Рассмотрим
обратный эффект Комптона. При столкновении
с релятивистским
электроном фотон рассеялся на угол θ,
а электрон остановился.
Найдем комптоновское смещение длины
волны рассеянного фотона.
Согласно
закону сохранения импульса

,

где
и
—
волновые векторы первоначального
и

рассеянного
фотонов,
—
импульс электрона (рис.1.18). Изэтого
рисунка согласно теореме косинусов
имеем

,
(1.17)

где
учтено, что
;,
и
—
энергия фотона до и по­сле
рассеяния.

На
основании закона сохранения энергии
запишем
,

где
Е
– полная энергия электрона, m
– его масса покоя. Из этого равенства

найдем

.
(1.18)

Соседние файлы в папке квантовая

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #