Как найти икс в скобках уравнение

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение показательных уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите показательное уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Показательная функция, её свойства и график

Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m — любые действительные числа. Тогда
1) a n a m = a n+m

4) (ab) n = a n b n

7) a n > 1, если a > 1, n > 0

a n m , если a > 1, n n > a m , если 0 x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, ( a neq 1)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, ( a neq 1), не имеет корней, если ( b leqslant 0), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 x при a > 0 и при 0 x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a x при 0 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, ( a neq 1), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, ( a neq 1) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 2 3x • 3 x = 576
Так как 2 3x = (2 3 ) x = 8 x , 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 x • 3 x = 24 2 , или в виде 24 x = 24 2 , откуда х = 2.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х + 1 — 2 • 3 x — 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 (3 3 — 2) = 25, 3 х — 2 • 25 = 25,
откуда 3 х — 2 = 1, x — 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х = 7 х
Так как ( 7^x neq 0 ) , то уравнение можно записать в виде ( frac<3^x> <7^x>= 1 ), откуда ( left( frac<3> <7>right) ^x = 1 ), х = 0
Ответ х = 0

Решить уравнение 9 х — 4 • 3 х — 45 = 0
Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 — 4t — 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t₁ = 9, t₂ = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 • 2 х + 1 + 2 • 5 x — 2 = 5 х + 2 х — 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2 х + 1 — 2 x — 2 = 5 х — 2 • 5 х — 2 , откуда
2 х — 2 (3 • 2 3 — 1) = 5 х — 2 ( 5 2 — 2 )
2 х — 2 • 23 = 5 х — 2 • 23
( left( frac<2> <5>right) ^ = 1 )
x — 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, ( 3 neq 1), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1

Решение простейших уравнений

Для того, чтобы научиться решать уравнения, важно понять, что при переносе одного слагаемого из одной части уравнения в другую, знак поменяется на противоположный, то есть «+» превратится « — », а « — » в «+».

• Разберем это правило на примере:

Х оставляем в одной части уравнения, слева, все числа переносим в правую часть, меняя при этом знак! Сначала пишем то число, которое уже было в правой части уравнения, а затем переносим цифру 2 к ней в правую часть, меняя при этом «+» на «-».

Выполняем вычитание, тем самым находим х.

• Разберем уравнение со знаком «минус»:

Также переносим все цифры вправо, не забывайте менять знак только у перенесённого числа!

Выполняем суммирование, тем самым находим значение переменной х.

• Теперь рассмотрим уравнение, в котором перед х стоит знак «-». В этом случае необходимо избавиться от этого знака перед переменной.

Для этого перенесем х в правую часть, а все цифры в левую, при этом будем менять знаки у х и числа, которое мы переносили. Если перед числом не было никакого знака, это считаемся «+», то есть при переносе число будет уже с «-».

Самое главное при решении уравнения сделать так, чтобы переменной х не было знака «-»!

Выполняем вычитание и находим значение переменной х.

• При решении уравнений, в которых есть скобки, сначала необходимо раскрыть их, а затем уже переносить «х» в одну сторону, а цифры – в другую.

При раскрытии скобок смотрим на знак, стоящий перед ней, если это «+», то скобки просто убираем, если же «-»,то все знаки внутри скобки поменяются на противоположные.

В нашем случае перед скобкой «+», убираем скобки и переносим все числа вправо. Находим х.

Тут уже стоит «-» перед скобкой, мы обязаны поменять знак внутри скобки, когда будем их раскрывать.

И снова «-» перед х, переносим его в правую сторону, а все цифры в левую.

Рассмотрим уравнение с несколькими переменными х:

В левой части складываются сразу три икса.

х+х+х=3х

3х=6

В этом случае перед х стоит число 3, они умножаются между собой.

Переносим 3 правую часть, меняя знак умножения«*» на противоположный, деления «:».

Переносим числа в одну часть, переменные в другую, меняя знаки.

Выполняем действия в обоих сторонах нашего примера. Находим значение х.

Действуем аналогично, переносим числа направо, меняя знак деления на умножение

Тут перед переменной стоит «:», любые знаки перед х, кроме «+» будут нам мешать. Поэтому переносим его в правую часть, поменяв «:» на «*» согласно правилу, а все числа в левую, меняя знак на «:» соответственно

Овладение детьми способом решения уравнений в начальной школе создает прочную основу для дальнейшего обучения алгебры, химии, физики и других предметов.

Начиная с 3-го класса, ученикам встречаются сложные уравнения, но справиться с ними очень просто.

Дети уже умеют решать простые уравнения, читай об этом здесь.

А эта статья будет посвящена решению сложных уравнений в 2-3 действия.

Очень часто родители, желая помочь, объясняют так: вот смотри, сейчас вот это число перенести в другую часть от знака равенства, надо поменять знак на противоположный: было умножение, меняем на деление; было сложение меняем на вычитание.

В начальной школе это объяснение не срабатывает, т.к. ребенок не знаком с законами алгебры.

Как сложное уравнение привести к тому, которые мы уже умеем решать, а именно к уравнению в 1 действие?

Рассмотрим  уравнение в 2 действия:

х + 56 = 98 — 2  — оно достаточно легкое.

Здесь особого труда не будет в решении, потому что ребенок сразу догадается, что сначала надо 98-2.

х + 56 = 98 — 2

х + 56 = 96 – это простое уравнение. А его решаем очень быстро!

Сейчас мы рассмотрим уравнение:

2• (х + 5) = 30.

Такое уравнение можно решить несколькими способами.

1.  У нас здесь неизвестное число х. Мы не знаем, что спрятано за этим числом.

А когда к х + 5 – это число тоже известно.

Закроем его и пусть это будет другое число, например b .

Мы видим, что у нас получилось самое простое уравнение в 1 действие.

2 • b = 30

А чтобы найти а, нам нужно 30 : на 2.

А b не что иное, как х + 5.

х + 5 = 30 : 2

х + 5 = 15

х = 15 – 5

х = 10

Проверку делаем как обычно: переписываем первое уравнение: 2 • (10 + 5) = 30.

30 – переписываем, а левую часть считаем  — будет  30.

30 = 30, значит, уравнение решили правильно.

При решении таких сложных уравнений самое главное – понять, что заменить на другое неизвестное число. Когда в уравнении всего 2 действия – это очень просто.

1. Более удобно и понятно, как показывает практика, если использовать решение сложных уравнений на основе зависимости между компонентами действий.

Наше уравнение  2 • (х + 5) = 30 читаем так: число 2 умножить на сумму х и пяти, получится 30. В данном случае – нам неизвестна сумма, чтобы ее найти, надо 30:2.

Рассмотрим уравнение:

48 : (16 – а) = 4.

Если опять заменять часть уравнения другим неизвестным числом, можно запутаться. Поэтому легче использовать взаимосвязи компонентов и результата действия: число 48 разделить на разность.

Нам неизвестна разность, поэтому сначала нужно узнать чему она равна. Надо 48 : 4.

16 — а = 48 : 4

16 — а = 12 – это простое уравнение.

а = 16 — 12

а = 4

Проверка: 48 : (16 — 4) = 4

Давайте посмотрим еще одно:

96 – (с – 14) = 94.

Из 96 надо вычесть разность с и 16. Чтобы найти разность, надо 96-94.

С — 14 = 96 — 94

С — 14 = 2

С = 14 + 2

С = 16

Проверка: 96 — (16 — 14) = 94

А сейчас мы переходим к тем уравнениям, у которых не 2, а 3 действия. Как же нам поступать в этом случае? При решении таких сложных уравнения используем знания порядка выполнения действий в выражениях со скобками и без них.

Рассмотрим уравнение: 36 – (8 • у + 5) = 7

Прежде всего, нужно внимательно оценить левую часть уравнения: ту, которая с неизвестным числом. Вы должны четко себе представить какое вы будете делать действие первым, какое – вторым, какое – третьим: сначала делается умножение, потом сложение и последним – вычитание.

И вот то, которое вы будете делать третьим, с него и начнем, т.е. начинаем упрощать уравнение с последнего действия. Последнее действие – вычитание. С него и начнем: из числа 36 вычесть то, что в скобках и получим 7.

Значит, то что в скобках – вычитаемое, чтобы его найти, надо 36 — 7.

(8 • у + 5) = 36 — 7

По правилам математики в данной записи скобки – не ставим.

8 • у + 5 = 36 — 7

8 • у + 5 = 29 – уравнение сложное. Нужно его упростить. Данное уравнение читаем так: к произведению 8 и у прибавили 5 и получилось 29. Нам неизвестно произведение, чтобы его найти, надо 29-5.

Получится:

8 • у = 29 – 5

8 • у = 24 – это уравнение простое.

у = 24 : 8

у = 3

Проверка: 36 — (8 • у + 5) = 7 .  Правую часть – 7 —  переписываем, а левую считаем.

 Итак: 7 = 7. Значит, уравнение решили правильно.

(36 + d) : 4 + 8 = 18. Определяем порядок действий: первое – сложение в скобках, второе – деление, третье сложение вне скобок. Значит, все, что до 8 – это первое слагаемое, чтобы его найти, надо 18 — 8

(36 + d) : 4 = 18 — 8

(36 + d) : 4 = 10 – уравнение сложное, теперь последнее действие — :, значит

36 + d = 10 • 4

36 + d = 40 – уравнение простое и его мы решаем легко!

Для удобства и быстроты решения сложных уравнений можете пользоваться  данной памяткой

Дело в том, что при кажущейся сложности, если внимательно изучить все приемы, которые я вам сегодня показала, эти уравнения дети будете щелкать как семечки. Обязательно напишите в комментариях, какой способ вам более удобен.

В этом уроке мы рассмотрим, что такое уравнения, для чего они нужны, основные методы решения уравнений в 4 и 5 классе.

Простейшие уравнения

Ранее вы могли проходить в школе такого рода примеры:

Впишите в кружок подходящее число:

5+ ⃝ = 11

Как вы знаете, такие выражения называются уравнениями, а вместо кружка используется буква x или любая другая.

5 + x = 11 – это уравнение. Уравнением оно называется потому что в нём левая часть равняется правой. Если условие равенства не выполняется, значит уравнение записано неверно. Буква x называется неизвестным, или корнем уравнения. Целью решения уравнения является нахождение неизвестного.

Как вы уже знаете, для того, чтобы решить уравнение, надо x оставить в одной части, а все числа перенести в другую часть с противоположным знаком.

Правило:

Мы можем переносить числа и неизвестные из одной части равенства в другую, поменяв при этом знак на противоположный.

То есть если у нас

5 + x =11

то

x = 11 – 5

x = 6

Другой пример:

y + 21 = 37

y = 37 — 21

y = 16

Обратите внимание, что я специально здесь использовал вместо x букву y – для того, чтобы подчеркнуть, что в уравнении неизвестное может обозначаться не только x, но и любой другой буквой или даже комбинацией букв.

Если же мы имеем уравнение вот такого вида:

26 – x = 18

то мы можем записать, что

26 – 18 = x – здесь, как вы видите, мы 18 перенесли в левую часть со знаком минус, а x – в правую со знаком плюс.

При этом мы можем поменять левую и правую часть местами, от этого суть уравнения не поменяется. То есть мы можем записать, что

x = 26 — 18

x = 8

Для проверки решения уравнения надо найденное неизвестное подставить в исходное уравнение. Т.е. в нашем случае это

26 – 8 = 18

18 = 18 – решение верное.

Хотите, чтобы ваш ребёнок обучался самостоятельно?
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС

Пример:

z – 7 = 14

z = 14 + 7

z = 21

Проверка:

21 – 7 = 14

14 = 14 – решение верное

Уравнения с делением и умножением

Запишем равенство

6 = 6

Если мы умножим обе части равенства на одно и то же число, то оно останется верным

6∙3 = 6∙3

Если мы разделим обе части равенства на одно и то же число, то оно тоже останется верным

6:2 = 6:2

Важно: эти принципы часто используются при решении уравнений

Уравнение c множителями

5∙x = 15

Как уже говорилось ранее, мы можем разделить правую и левую часть на одно и то же число, и равенство сохранится. Чтобы найти x, это уравнение нужно разделить на 5.

Для того, чтобы разделить на 5 выражение 5∙x мы можем записать

5x:5

или

(5:5)x = 1∙x = x

Таким образом, из начального уравнения 5∙x = 15 получим:

5x:5 = 15:5

x = 3

Можно сказать по другому:

Здесь 5 и x – это множители, а 15 – произведение.

Для того, чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на другой множитель, который нам известен.

То есть x = 15:5 = 3

Проверка:

5∙3 = 15

15 = 15

Пример:

x∙4 = 32 (x∙4 – это то же самое, что 4∙x)

x = 32:4

x = 8

ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.

Уравнение с делителями

z:4 = 16

Здесь z – делимое, 4 – делитель, 16 – частное. Для того, чтобы найти делимое, надо частное умножить на делитель. Ещё раз обращаю ваше внимание, что неизвестное может обозначаться любой буквой, не обязательно только x.

z = 16∙4

z = 64

В правой части у нас остался один z, потому что ранее это был z в 4 раза меньший, и раз мы его умножили на 4, то он стал в 4 раза больше, т.е. полным z.

Проверка

64:4 = 16

16 = 16

Пример

120:x = 30

120 = 30∙x – мы умножили на x левую и правую часть, в результате чего в левой части он исчез, а в правой части он появился. Левая часть – это было число 120, уменьшенное в x раз (так как деление – это уменьшение числа в заданное число раз). Соответственно, раз мы левую часть умножаем на тот же x, то она перестаёт быть числом 120, уменьшенным в x раз, и станет просто числом 120.

Таким образом, мы перешли к уже известным нам уравнениям с множителями

Мы можем переписать равенство как

30∙x = 120

x = 120:30

x = 4

Про это же уравнение можно сказать следующее:

Для того, чтобы найти неизвестный делитель x надо делимое разделить на частное.

120:x = 30

120 – делимое, x – делитель, 30 — частное

Пример:

96:x = 6

96 = 6x

x = 96:6 – тут мы пропустили шаг перестановки частей равенства 6x = 96 – его записывать необязательно

x = 16

Усложнённые уравнения

Неизвестные можно складывать и вычитать, как и числа

Пример:

3x + x = 24

4x = 24

x = 24:4

x = 6

Проверка:

3x + x = 24

3∙6 + 6 = 24

18 + 6 = 24

24 = 24

11x – 3x + 5x = 65

13x = 65

x = 65:13

x = 5

Проверка:

11∙5 – 3∙5 + 5∙5 = 65

55 – 15 + 25 = 65

65 = 65

Раскрытие скобок

Предположим, у нас есть выражение

9∙(10 — 4)

Мы можем записать его как

9∙6

так как выражение в скобках 10-4 равно 6. 9∙6 = 54

Или же мы можем раскрыть скобки.

При раскрытии скобок множитель, стоящий перед скобками (или после них), умножается на каждое число в скобках, при этом знаки сохраняются.

Т.е

9∙(10 — 4) = 9∙10 – 9∙4 = 90 – 36 = 54

Аналогично, если в скобках будет больше членов и с разными знаками.

Например:

(11 + 2 – 5)∙4 = 4∙8 = 32

или

(11 + 2 – 5)∙4 = 4∙11 + 4∙2 – 4∙5 = 44 + 8 – 20 = 32 —

как мы уже говорили, множитель может стоять и после скобок, от этого правила раскрытия скобок не меняются.

Если в скобках вместо числа будет стоять неизвестное, то скобки раскрываются аналогично.

12∙(8x + 2x – 5) = 12∙8x + 12∙2x – 12∙5 = 96x + 24x – 60 = 120x — 60

Пример:

16∙(x – 4) = 4∙(x+2)

У правой части мы видим множитель 4. В левой части множитель 16. Т.е. мы смело можем разделить обе части на 4, избавишись таким образом от множителя в правой части

4∙(x – 4) = x +2

4x – 16 = x + 2

далее переносим x в левую часть, а числа – в правую

4x – x = 16+2

3x = 18

x = 6

Проверка:

16∙(6 – 4) = 4∙(6+2)

16∙2 = 4∙8

32 = 32

Пример:

5∙(15 – x) = 25∙(x-3)

Разделим обе части уравнения на 5

15 – x = 5∙(x-3)

15 – x = 5x – 15

15 + 15 = 5x + x

30 = 6x

x = 5

Проверка:

5∙(15 – 5) = 25∙(5 – 3)

5∙10 = 25∙2

50 = 50

ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.

Пример:

100:(x – 25) = 20

Точно так же, как мы решали ранее уравнение 120:x = 30 путём умножения обеих частей на делитель, т.е. на x, и получая 120 = 30x, это уравнение мы тоже решим, умножив обе части на делитель, т.е. на x-25

100 = 20(x-25)

100 = 20x – 500

100 + 500 = 20x

600 = 20x

x = 30

Проверка

100:(30-25) = 20

100:5 = 20

20 = 20

Пример

(x – 4):6 = 16

x – 4 = 16∙6

x – 4 = 96

x = 96+4

x = 100

Проверка:

(100-4):6 = 16

96:6 = 16

16 = 16

Решение простых уравнений  — одна из базовых тем для усвоения, при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную. Значение данной переменной требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Переменную, входящую в уравнение, еще называют неизвестным.

Примеры:

• выражение 3+2=5 является равенством, так как при вычислении получаем 5=5
• выражение 3+х=5 является уравнением, так как содержит переменную х, значение которой можно найти.

Решить уравнение — значит найти такое значение х, чтобы равенство было верным.
То есть, в уравнении 3+х=5 значение будет равно 2 (х=2), чтобы получилось верное равенство.
При этом говорят, что 2 — это корень уравнения или решение уравнения 3+х=5.

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Компоненты

Компонентами называются числа и переменные, которые входят в равенство:

• компоненты сложения — слагаемые и сумма;
• компоненты вычитания — уменьшаемое, вычитаемое и разность;
• компоненты умножения — множители и произведение;
• компоненты деления — делимое, делитель и частное.

Правила нахождения неизвестных

Чтобы выразить переменную через другие числа, нужно переменную оставить (или перенести) в левой части выражения, а все числа перенести в правую часть.

Решение простых уравнений подразумевает применение следующих правил:

1. чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
2. чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
3. чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
4. чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
5. чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
6. чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Примеры:

1. 3+х=5.
   Нужно задать вопрос: что сделать с числами 5 и 3, чтобы получить переменную х.
   Чтобы найти слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое: х=5-3.
2. х-3=7
   Нужно задать вопрос: что сделать с числами 3 и 7, чтобы получить переменную х.
   Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое: х=7+3.
3. 8-х=6
   Нужно задать вопрос: что сделать с числами 8 и 6, чтобы получить переменную х.
   Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность: х=8-6.
4. 3×а=6 (а-переменная)
   Нужно задать вопрос: что сделать с числами 3 и 6, чтобы получить переменную а.
   Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель
5. а:4=3(а-переменная)
   Нужно задать вопрос: что сделать с числами 4 и 3, чтобы получить переменную а.
   Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель: а=3*4
6. 12:а=3(а-переменная)
   Нужно задать вопрос: что сделать с числами 12 и 3, чтобы получить переменную а.
   Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное: а=12:3.

Если неизвестное имеет коэффициент

Решение простых уравнений сводится к тому, что неизвестное нужно выразить через другие числа. Но чаще всего задаются уравнения, в которых неизвестное имеет коэффициент, например: 2х, 5х и т.д. В таких случаях неизвестное нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент. Поэтому нужно привести это уравнение к виду, в котором переменная будет выражена.

Рассмотрим пример: 2х+4=8.
В данном примере: 2x — первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.

• Принимает слагаемое 2х за неизвестное слагаемое. Применяем правило нахождения неизвестного слагаемого: вычитаем из суммы известное слагаемое. Получаем: 2х=8-4 или 2*х=4.
• Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с умножением. Применяем правило нахождения неизвестного множителя: произведение делим на известный множитель. Получаем: х=4:2; х=2
• Вычислим правую часть, получим значение переменной х.
• Проверяем: 2*2+4=8. Равенство верное.

Если уравнение имеет неизвестные с разными коэффициентами

Рассмотрим пример: a+2a+3a=30.
Cразу выразить неизвестное нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить. Для этого нужно сложить все неизвестные величины с коэффициентами: 1а+2а+3а=6а (а — это переменная с коэффициентом 1. который не пишется).
Получаем уравнение вида: 6*а=30. Его можно решить как простое уравнение. Получаем корень: а=5.

Равносильные уравнения

Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.

Из предыдущего примера: уравнение a+2a+3a=30 и уравнение 6а=30 являются равносильными.
Проверим это. Подставим корень сначала в уравнение a+2a+3a=30, а затем в уравнение 6а=30, которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства.

Для удобства решения можно любое уравнение преобразовать в равносильное. Для этого можно применить законы математики и свойства уравнений.

Свойства уравнений

• Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.
• Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Пример. Решить уравнение 5х-10=20.
Вычтем из обеих частей уравнения число 10, получим: 5х=20-10 или 5х=10.
В результате получилось равносильное уравнение , корень которого равен 2.

Пример. Решить уравнение 4(х+3)=20.
Раскроем скобки: 4х+12=20.
Вычтем из обеих частей уравнения число 12, получим: 4х=20-12 или 4х=8.
В результате получилось равносильное уравнение , корень которого равен 2.

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные числа.

Пример. Решить уравнение (1/4)х+5=6,5

• При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала  принято упростить это уравнение.
• Для упрощения обе части уравнения можно умножить на 4: 4*(1/4)х+4*5=4*6,5 или х+20=26.
• В результате останется простейшее уравнение. Получаем, что корень равен 6.
• Вернемся к исходному уравнению  и подставим вместо x найденное значение. Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример. Решить уравнение 8х+16=56

• Для упрощения обе части уравнения можно разделить на 8: 8х:8+16:8=56:8 или х+2=7.
• В результате останется простейшее уравнение. Получаем, что корень равен 5.
• Вернемся к исходному уравнению  и подставим вместо x найденное значение. Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Если обе части уравнения умножить на минус единицу (поменять знаки), то получится уравнение равносильное данному.

Это правило следует из того, что если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже число, не равное нулю, то получится равносильное уравнение. Иногда это нужно для того, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.

Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.

При этом минус, стоящий перед переменной x, относится не к самой переменной x, а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать.

Пример. Решить уравнение: 2х-5х+10=4.

• Приведем подобные слагаемые:  -3х+10=4
• Перенесем второе слагаемое в правую часть: -3х=-6
• Для удобства умножим обе части на (-1). получим: 3х=6.
• Корень: х=2.

Уравнение имеет несколько корней

Уравнение может иметь несколько корней.

Рассмотрим уравнение: x(x + 9) = 0.
Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет выполняться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю. Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и −9.

Уравнение имеет бесконечно много корней

Уравнение может иметь бесконечно много корней, когда при подстановке подставив в такое уравнение любого числа, мы получим верное равенство.

Например: рассмотрим простое уравнение 6*(х+2)=6х+12. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 6х+12= 6х+12. Это равенство будет выполняться при любом х.

Уравнение не имеет корней

Бывает и так, что уравнение совсем не имеет  корней.

Например: уравнение х+2=х.
Данное уравнение не имеет корней, так как при любом значении х, левая часть уравнения всегда будет больше правой на 2.

Таким образом, мы рассмотрели в статье решение разных видов простых уравнений. Решение более сложных уравнений без знания данного материала практически невозможно.

Далее вы можете переходить к решению квадратных уравнений и решению систем линейных уравнений. 

Для решения уравнений вам также могут понадобится темы: раскрытие скобок и порядок действий в примерах.