Как найти характеристики эллипса - Avtoru.top - решение различных проблем

Определение эллипсa

Определение.

Эллипс — это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек F₁ и F₂ равна постоянной величине. Точки F₁ и F₂ называют фокусами эллипса.

F₁M₁ + F₂M₁ = F₁M₂ + F₂M₂ = A₁A₂ = const

Элементы эллипсa

F₁ и F₂ — фокусы эллипсa

Оси эллипсa.

А₁А₂ = 2a — большая ось эллипса (проходит через фокусы эллипса)

B₁B₂ = 2b — малая ось эллипса (перпендикулярна большей оси эллипса и проходит через ее центр)

a — большая полуось эллипса

b — малая полуось эллипса

O — центр эллипса (точка пересечения большей и малой осей эллипса)

Вершины эллипсa A₁, A₂, B₁, B₂ — точки пересечения эллипсa с малой и большой осями эллипсa

Диаметр эллипсa — отрезок, соединяющий две точки эллипса и проходящий через его центр.

Фокальное расстояние c — половина длины отрезка, соединяющего фокусы эллипсa.

Эксцентриситет эллипсa e характеризует его растяженность и определяется отношением фокального расстояния c к большой полуоси a. Для эллипсa эксцентриситет всегда будет 0 < e < 1, для круга e = 0, для параболы e = 1, для гиперболы e > 1.

Фокальные радиусы эллипсa r₁, r₂ — расстояния от точки на эллипсе до фокусов.

Радиус эллипсa R — отрезок, соединяющий центр эллипсa О с точкой на эллипсе.

R =	ab	=	b
√a²sin²φ + b²cos²φ	√1 — e²cos²φ

где e — эксцентриситет эллипсa, φ — угол между радиусом и большой осью A₁A₂.

Фокальный параметр эллипсa p — отрезок который выходит из фокуса эллипсa и перпендикулярный большой полуоси:

Коэффициент сжатия эллипсa (эллиптичность) k — отношение длины малой полуоси к большой полуоси. Так как малая полуось эллипсa всегда меньше большей, то k < 1, для круга k = 1:

k = √1 — e²

где e — эксцентриситет.

Сжатие эллипсa (1 — k ) — величина, которая равная разности между единицей и эллиптичностью:

Директрисы эллипсa — две прямые перпендикулярные фокальной оси эллипса, и пересекающие ее на расстоянии

от центра эллипса. Расстояние от фокуса до директрисы равно

Основные свойства эллипсa

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом r₁ равен углу между касательной и фокальным радиусом r₂ (Рис. 2, точка М₃).

2. Уравнение касательной к эллипсу в точке М с координатами (x_M, y_M):

3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, соединяющий середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда будет проходить через центр эллипсa. (Это свойство дает возможность построением с помощью циркуля и линейки получить центр эллипса.)

4. Эволютой эллипсa есть астероида, что растянута вдоль короткой оси.

5. Если вписать эллипс с фокусами F₁ и F₂ у треугольник ∆ ABC, то будет выполнятся следующее соотношение:

1 =	F₁A ∙ F₂A	+	F₁B ∙ F₂B	+	F₁C ∙ F₂C
CA ∙ AB	AB ∙ BC	BC ∙ CA

Уравнение эллипсa

Каноническое уравнение эллипсa:

Уравнение описывает эллипс в декартовой системе координат. Если центр эллипсa О в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, то эллипсa описывается уравнением:

Если центр эллипсa О смещен в точку с координатами (x_o, y_o), то уравнение:

1 =	(x — x_o)²	+	(y — y_o)²
a²	b²

Параметрическое уравнение эллипсa:

{	x = a cos α	де 0 ≤ α < 2π
y = b sin α

Радиус круга вписанного в эллипс

Круг, вписан в эллипс касается только двух вершин эллипсa B₁ и B₂. Соответственно, радиус вписанного круга r будет равен длине малой полуоси эллипсa OB₁:

r = b

Радиус круга описанного вокруг эллипсa

Круг, описан вокруг эллипсa касается только двух вершин эллипсa A₁ и A₂. Соответственно, радиус описанного круга R будет равен длине большой полуоси эллипсa OA₁:

R = a

Площадь эллипсa

Формула определение площади эллипсa:

S = πab

Площадь сегмента эллипсa

Формула площади сегмента, что находится по левую сторону от хорды с координатами (x, y) и (x, -y):

S =	πab	—	b	(	x	√	a² — x² + a² ∙ arcsin	x	)
2	a	a

Периметр эллипсa

Найти точную формулу периметра эллипсa L очень тяжело. Ниже приведена формула приблизительной длины периметра. Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 %:

L ≈ 4	πab + (a — b)²
a + b

Длина дуги эллипсa

Формулы определения длины дуги эллипсa:

1. Параметрическая формула определения длины дуги эллипсa через большую a и малую b полуоси:

	t₂
l =	∫	√a²sin²t + b²cos²t dt
	t₁

2. Параметрическая формула определения длины дуги эллипсa через большую полуось a и эксцентриситет e:

	t₂
l =	∫	√1 — e²cos²t dt, e < 1
	t₁

Источник

Эллипс: определение, свойства, построение

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_1 , и F_2 есть величина постоянная (2a) , бо́льшая расстояния (2c) между этими заданными точками (рис.3.36,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство эллипса.

Фокальное свойство эллипса

Точки F_1 , и F_2 называются фокусами эллипса, расстояние между ними 2c=F_1F_2 — фокусным расстоянием, середина отрезка F_1F_2 — центром эллипса, число — длиной большой оси эллипса (соответственно, число — большой полуосью эллипса). Отрезки F_1M и F_2M , соединяющие произвольную точку эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки . Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой эллипса.

Отношение $e=frac{c}{a}$ называется эксцентриситетом эллипса. Из определения (2a>2c) следует, что 0leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр совпадают, и эллипс является окружностью радиуса (рис.3.36,6).

Геометрическое определение эллипса, выражающее его фокальное свойство, эквивалентно его аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением эллипса:

$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1.$

(3.49)

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.36,в). Центр эллипса примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось или первую ось эллипса), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F_1 к точке F_2 ); прямую, перпендикулярную фокальной оси и проходящую через центр эллипса (вторую ось эллипса), примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Эллипс и его фокальные свойства, эксцентриситет эллипса

Составим уравнение эллипса, пользуясь его геометрическим определением, выражающим фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F_1(-c,0),~F_2(c,0) . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей эллипсу, имеем:

$vline,overrightarrow{F_1M},vline,+vline,overrightarrow{F_2M},vline,=2a.$

Записывая это равенство в координатной форме, получаем:

$sqrt{(x+c)^2+y^2}+sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a.$

Переносим второй радикал в правую часть, возводим обе части уравнения в квадрат и приводим подобные члены:

$(x+c)^2+y^2=4a^2-4asqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2~Leftrightarrow ~4asqrt{(x-c)^2+y^2}=4a^2-4cx.$

Разделив на 4, возводим обе части уравнения в квадрат:

a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2).

Обозначив $b=sqrt{a^2-c^2}>0$ , получаем b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 . Разделив обе части на a^2b^2ne0 , приходим к каноническому уравнению эллипса:

$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1.$

Следовательно, выбранная система координат является канонической.

Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс представляет собой окружность (рис.3.36,6), поскольку a=b . В этом случае канонической будет любая прямоугольная система координат с началом в точке Oequiv F_1equiv F_2 , a уравнение x^2+y^2=a^2 является уравнением окружности с центром в точке и радиусом, равным .

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.49), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому эллипсом. Другими словами, аналитическое определение эллипса эквивалентно его геометрическому определению, выражающему фокальное свойство эллипса.

Директориальное свойство эллипса

Директрисами эллипса называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии $frac{a^2}{c}$ от нее. При c=0 , когда эллипс является окружностью, директрис нет (можно считать, что директрисы бесконечно удалены).

Эллипс с эксцентриситетом 0<e<1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) к расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету (директориальное свойство эллипса). Здесь и — один из фокусов эллипса и одна из его директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат, т.е. F_1,d_1 или F_2,d_2 .

В самом деле, например, для фокуса F_2 и директрисы d_2 (рис.3.37,6) условие $frac{r_2}{rho_2}=e$ можно записать в координатной форме:

$sqrt{(x-c)^2+y^2}=ecdot!left(frac{a^2}{c}-xright)$

Избавляясь от иррациональности и заменяя $e=frac{c}{a},~a^2-c^2=b^2$ , приходим к каноническому уравнению эллипса (3.49). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F_1 и директрисы $d_1colonfrac{r_1}{rho_1}=e$ .

Эллипс и его директориальное свойство, эксцентриситет эллипса

Уравнение эллипса в полярной системе координат

Построение кривой эллипса по точкам в полярной системе координат

Уравнение эллипса в полярной системе координат F_1rvarphi (рис.3.37,в и 3.37(2)) имеет вид

$r=frac{p}{1-ecdotcosvarphi}$

где $p=frac{b^2}{a}$ фокальный параметр эллипса.

В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат левый фокус F_1 эллипса, а в качестве полярной оси — луч F_1F_2 (рис.3.37,в). Тогда для произвольной точки M(r,varphi) , согласно геометрическому определению (фокальному свойству) эллипса, имеем r+MF_2=2a . Выражаем расстояние между точками и F_2(2c,0) (см. пункт 2 замечаний 2.8):

$begin{aligned}F_2M&=sqrt{(2c)^2+r^2-2cdot(2c)cdot rcos(varphi-0)}=\[3pt] &=sqrt{r^2-4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2}.end{aligned}$

Следовательно, в координатной форме уравнение эллипса F_1M+F_2M=2a имеет вид

$r+sqrt{r^2-4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2}=2cdot a.$

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

$r^2-4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2~Leftrightarrow~acdot!left(1-frac{c}{a}cdotcosvarphiright)!cdot r=a^2-c^2.$

Выражаем полярный радиус и делаем замену $e=frac{c}{a},~b^2=a^2-c^2,~p=frac{b^2}{a}$ :

$r=frac{a^2-c^2}{acdot(1-ecdotcosvarphi)} quad Leftrightarrow quad r=frac{b^2}{acdot(1-ecdotcosvarphi)} quad Leftrightarrow quad r=frac{p}{1-ecdotcosvarphi},$

что и требовалось доказать.

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении эллипса

Найдем точки пересечения эллипса (см. рис.3.37,а) с координатными осями (вершины зллипса). Подставляя в уравнение y=0 , находим точки пересечения эллипса с осью абсцисс (с фокальной осью): x=pm a . Следовательно, длина отрезка фокальной оси, заключенного внутри эллипса, равна . Этот отрезок, как отмечено выше, называется большой осью эллипса, а число — большой полуосью эллипса. Подставляя x=0 , получаем y=pm b . Следовательно, длина отрезка второй оси эллипса, заключенного внутри эллипса, равна . Этот отрезок называется малой осью эллипса, а число — малой полуосью эллипса.

Действительно, $b=sqrt{a^2-c^2}leqslantsqrt{a^2}=a$ , причем равенство b=a получается только в случае c=0 , когда эллипс является окружностью. Отношение $k=frac{b}{a}leqslant1$ называется коэффициентом сжатия эллипса.

Замечания 3.9

1. Прямые x=pm a,~y=pm b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, внутри которого находится эллипс (см. рис.3.37,а).

2. Эллипс можно определить, как геометрическое место точек, получаемое в результате сжатия окружности к ее диаметру.

Действительно, пусть в прямоугольной системе координат Oxy уравнение окружности имеет вид x^2+y^2=a^2 . При сжатии к оси абсцисс с коэффициентом 0<kleqslant1 координаты произвольной точки M(x,y) , принадлежащей окружности, изменяются по закону

$begin{cases}x'=x,\y'=kcdot y.end{cases}$

Подставляя в уравнение окружности x=x' и $y=frac{1}{k}y'$ , получаем уравнение для координат образа M'(x',y') точки M(x,y) :

$(x')^2+{left(frac{1}{k}cdot y'right)!}^2=a^2 quad Leftrightarrow quad frac{(x')^2}{a^2}+frac{(y')^2}{k^2cdot a^2}=1 quad Leftrightarrow quad frac{(x')^2}{a^2}+frac{(y')^2}{b^2}=1,$

поскольку b=kcdot a . Это каноническое уравнение эллипса.

3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии эллипса (называются главными осями эллипса), а его центр — центром симметрии.

Действительно, если точка M(x,y) принадлежит эллипсу $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ . то и точки M'(x,-y) и M''(-x,y) , симметричные точке относительно координатных осей, также принадлежат тому же эллипсу.

4. Из уравнения эллипса в полярной системе координат $r=frac{p}{1-ecosvarphi}$ (см. рис.3.37,в), выясняется геометрический смысл фокального параметра — это половина длины хорды эллипса, проходящей через его фокус перпендикулярно фокальной оси ( r=p при $varphi=frac{pi}{2}$ ).

Эксцентриситет, коэффициент сжатия и фокусы эллипса

5. Эксцентриситет характеризует форму эллипса, а именно отличие эллипса от окружности. Чем больше , тем эллипс более вытянут, а чем ближе к нулю, тем ближе эллипс к окружности (рис.3.38,а). Действительно, учитывая, что $e=frac{c}{a}$ и c^2=a^2-b^2 , получаем

$e^2=frac{c^2}{a^2}=frac{a^2-b^2}{a^2}=1-{left(frac{a}{b}right)!}^2=1-k^2,$

где — коэффициент сжатия эллипса, 0<kleqslant1 . Следовательно, $e=sqrt{1-k^2}$ . Чем больше сжат эллипс по сравнению с окружностью, тем меньше коэффициент сжатия и больше эксцентриситет. Для окружности k=1 и e=0 .

6. Уравнение $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ при a<b определяет эллипс, фокусы которого расположены на оси (рис.3.38,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).

7. Уравнение $frac{(x-x_0)^2}{a^2}+frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,~ageqslant b$ определяет эллипс с центром в точке O'(x_0,y_0) , оси которого параллельны координатным осям (рис.3.38,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).

При a=b=R уравнение (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 описывает окружность радиуса с центром в точке O'(x_0,y_0) .

Параметрическое уравнение эллипса

Параметрическое уравнение эллипса в канонической системе координат имеет вид

$begin{cases}x=acdotcos{t},\ y=bcdotsin{t},end{cases}0leqslant t<2pi.$

Действительно, подставляя эти выражения в уравнение (3.49), приходим к основному тригонометрическому тождеству cos^2t+sin^2t=1 .

Пример построения эллипса в канонической системе координат

Пример 3.20. Изобразить эллипс $frac{x^2}{2^2}+frac{y^2}{1^2}=1$ в канонической системе координат Oxy . Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, коэффициент сжатия, фокальный параметр, уравнения директрис.

Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: a=2 — большая полуось, b=1 — малая полуось эллипса. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a=4,~2b=2 с центром в начале координат (рис.3.39). Учитывая симметричность эллипса, вписываем его в основной прямоугольник. При необходимости определяем координаты некоторых точек эллипса. Например, подставляя x=1 в уравнение эллипса, получаем

$frac{1^2}{2^2}+frac{y^2}{1^2}=1 quad Leftrightarrow quad y^2=frac{3}{4} quad Leftrightarrow quad y=pmfrac{sqrt{3}}{2}.$

Следовательно, точки с координатами $left(1;,frac{sqrt{3}}{2}right)!,~left(1;,-frac{sqrt{3}}{2}right)$ — принадлежат эллипсу.

Вычисляем коэффициент сжатия $k=frac{b}{a}=frac{1}{2}$ ; фокусное расстояние $2c=2sqrt{a^2-b^2}=2sqrt{2^2-1^2}=2sqrt{3}$ ; эксцентриситет $e=frac{c}{a}=frac{sqrt{3}}{2}$ ; фокальный параметр $p=frac{b^2}{a}=frac{1^2}{2}=frac{1}{2}$ . Составляем уравнения директрис: $x=pmfrac{a^2}{c}~Leftrightarrow~x=pmfrac{4}{sqrt{3}}$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Эллипсом называют плоскую кривую, состоящую из точек, сумма расстояний которых от двух определённых точек плоскости является неизменной, строго заданной величиной, равной суммарной длине двух больших его полуосей (2a). Эти две точки называются фокусами эллипса.

F₁ и F₂ – фокусы эллипса;

а – большая полуось;

b – малая полуось

с – фокусное расстояние

Теорема

Фокусное расстояние эллипса и его полуоси связаны между собой соотношением [boldsymbol{a^{2}=b^{2}+c^{2}}]

Доказательство:

Когда точка M на линии эллипса находится на его пересечении с вертикальной осью, из теоремы Пифагора выходит, что

r₁ + r₂ = 2*√(b² + c²)

Когда точка M пересекает горизонтальную ось

r₁ + r₂ = а – c + а + c

По определению эллипса r₁ + r ₂= const

Это позволяет после приравнивания получить

a² = b² + c²

r₁ + r₂ = 2а

Что и требовалось доказать.

Уравнение эллипса

Каноническим уравнением эллипса называют уравнение [boldsymbol{1=left(x^{2} / a^{2}right)+left(y^{2} / b^{2}right)}]

Доказательство уравнения:

Введём прямоугольную декартову систему координат.

Сначала докажем, что координаты любой из точек на эллипсе удовлетворяют приведённому каноническому уравнению. Затем покажем, что любое из решений уравнения является координатами точки, лежащей на линии эллипса. Из этого будет следовать удовлетворение каноническому уравнению только тех точек, которые лежат на поверхности эллипса. Опираясь на этот факт и на определение эллипса можно будет однозначно сделать вывод, что написанное нами уравнением является каноническим уравнением или, как ещё говорят, основной формулой эллипса.

Пусть М(х, у) будет точкой эллипса, т.е. сумму её фокальных радиусов примем равной 2а, т. е. r₁ + r₂ = 2a.
С помощью формулы расстояния, разделяющего две точки на координатной плоскости, можно легко найти фокальные радиусы точки M.
r₁ = √[(x + c)² + y²]
r₂ = √[(x — c)² + y²]

Из этих уравнений получаем √[(x + c)² + y²] + √[(x — c)² + y²] = 2a

Если один из корней перенести в правую часть и возвести всё в квадрат, то придём к выражению
(x + c)² + y² = 4a² – 4a√[(x — c)² + y²] + (x – c)² + y²

После сокращения приходим к 2xc = 4a² – 4a√[(x-c)² + y²] – 2xc
После приведения подобных членов, сокращения на 4 и уединения радикала будем иметь
a√[(x-c)² + y²] = a² – xc

Возведём это выражение в квадрат
a²(x-c)² + a² y2 = a⁴ – 2a²xc + x²c²

Если раскрыть скобки и сократить на -2a² xc, то a²x² + a²c² + a²y² = a⁴ + x²c²
Отсюда легко получить (a² – c²)x² + a²y² = a²(a² – c²)
Из этого следует, что b²x² +a²y² = a²b²
Пусть некоторые числа (x, y) полностью удовлетворяют каноническому уравнению
1 = (x²/a²) + (y²/b²)
Пусть нам дана точка M(x,y) на координатной плоскости 0xy
Из канонического уравнения следует, что Y² = b²(1- x²/a²)
Если это равенство подставить в выражение для фокальных радиусов, которые имеет точка M, то можно получить
r₁ = √[(x + c)² +y²] = √[x²+2xc + c² +b²– b²x²/a²] = √[x²(1 – b²/a²) + 2xc +c² +b²] =
= √[x²(a² – b²)/a² + 2xc + (c² + b²)] = √[x²(c²/a²) + 2xc +a²] = √[x(c/a) +a]² = |a +xε|
т. е. r₁= |a +xε|
Отношение 2с/2a = c/a = ε называется эксцентриситетом эллипса. Оно у него всегда меньше 1.
То же самое просчитываем для r_2.
Т. к. x²/a² больше или равно 1 или x больше или равно большой полуоси (a), то можно сделать вывод о справедливости неравенства a≥|x|> |x|* ε = |xε|
Отсюда явно следует, что a+-|xε|>0 или a+-xε > 0 и r₁= a + xε, r₂ = a — xε
Из полученных равенств выходит, что r₁ + r₂ = 2a, это значит, что точка M однозначно является точкой эллипса. Это нам и нужно было доказать.

Свойства эллипса

У эллипса имеются две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Доказательство:
Переменные x и y в уравнение эллипса входят лишь во второй степени. Это означает, что если точка M с координатами (x,y) ему принадлежит, то и точки М₁(-x, y) и M₂ (x, -y) тоже принадлежат ему. Легко проверить, что указанные координаты удовлетворяют каноническому уравнению эллипса. M₁ симметрична по отношению к оси X, а M₂по отношению к оси Y. Получается, что у эллипса есть две взаимно перпендикулярные точки симметрии.
У эллипса есть центр симметрии.

Доказательство:
Если координаты точки М(x,y) будут удовлетворять уравнению эллипса, то и точка
N (–x; –y) ему тоже будет удовлетворять. M и N симметричны по отношению к началу координат. Это как раз и означает, что у эллипса имеется центр симметрии.
Эллипс пересекает каждую из осей в двух точках.

Доказательство:
Возьмём произвольную точку эллипса M(x,y). Расстояние этой точки до фокусов будет
r₁ = √[(x + c)² + y²]
r₂ = √[(x — c)² + y²]

Теперь давайте рассмотрим выражение

(x+-c)² + y² = x²+- 2xc + c²+ y² =
= x²+- 2xc + a² – b²+y² = x²+- 2xc+ a²— b² + b²(1-x²/a²) =
= (a² – b²)*x²/a² +-2xc +a² = c²*x²/a²+-2xa(c/a) + a² = (a +c*x/a)²

Эксцентриситет эллипса, как сказано ранее, меньше 1. Т. к. |x|≤ a, то a – εx > 0. Поэтому
F₁M = a + εx и F₂M = a – εx. Напомним, что ε – это эксцентриситет эллипса.

А теперь несколько свойств эллипса без доказательств.

Эллипс можно получить, сжав окружность.
Если через эллипс проходят две прямые, то отрезок, концами которого являются середины отрезков созданных при пересечении прямых, обязательно пересекает середину, центр эллипса.
Угол, созданный касательной к эллипсу и его радиусом, проходящем через фокусы указанной геометрической фигуры, в любых случаях пересекает середину эллипса.
Уравнение касательной к эллипсу в точке М, имеющей координаты x_M и y_M
1 = (x*x_M)/a² + (y*y_M)/b²
Эволюта эллипса представляет собой астероиду, растянутую вдоль его малой оси.
Угол между касательной к эллипсу и одним его фокальным радиусом (r₁) имеет ту же величину, что и угол, разделяющий касательную и другой фокальный радиус (r₂) фигуры.

Как построить эллипс

Расскажем, как построить эллипс по его большой и малой полуосям и с помощью циркуля.

Построение эллипса по его большой и малой осям

Считается самым простым, не требующим серьёзных навыков.

Проведите две перпендикулярные оси;

От места пересечения осей на вертикальной отложите верх и вниз отрезки. Они будут составлять малую ось эллипса. На горизонтальной отложите отрезки вправо и влево. Из них будет состоять большая ось;

Проведите две концентрические окружности. Одну диаметром AB, диаметром CD;

Проведите ещё диаметры в различных направлениях;

В местах, где лучи соприкасаются с окружностями, проведите линии параллельные малой и большой осям эллипса, пока они не пересекутся в точках, которые принадлежат эллипсу;

Соедините полученные точки плавной линией.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Как построить эллипс с помощью циркуля

Во многом здесь всё аналогично предыдущему способу, поэтому перегружать текст иллюстрациями не будем.

Порядок действий следующий:

Проведите две перпендикулярные линии. Они будут осями эллипса, а точка их пересечения центром геометрической фигуры;
Определитесь с величиной большой и малой полуосей, если их значения не заданы в условии задачи;
Установите раствор циркуля на длину большой полуоси (a). Поместите циркуль в точку O и отметьте на одной из линий две точки, P₁и P₂. Установите раствор циркуля на длину малой полуоси. Опять поместите его в точку O и отметьте на другой из линий ещё две точки, обозначьте их как Q₁ и Q₂. Отрезки P₁P₂ и Q₁Q₂ будут большой и малой полуосями будущего эллипса;
Установите раствор циркуля на величину a. Поместите циркуль в точке Q₁или Q₂. После этого обозначьте циркулем на отрезке P₁P₂точки F_{1 и}F₂. Это будут фокусы фигуры.
Отметьте на P₁P₂любую точку и обозначьте её T. Поставьте в этой точке циркуль и измерьте этим инструментом расстояние до P₁. Затем начертите окружность данного радиуса из фокуса F₁. После этого нужно сделать ещё одну окружность с радиусом величиной с расстояние от T до P₂, но уже с центром из F₂;
Отметьте точки, в которых пересекаются обе окружности. Повторяйте процедуру, описанную в предыдущем пункте с новыми точками, отмечаемыми на отрезке P₁P₂;
Соедините точки пересечения окружностей сплошной линией, когда построите их достаточное количество. Так у вас получится построить фигуру эллипс с помощью циркуля.

Примеры решения задач

Задача 1

Эллипс задан уравнением 16x² + 25y² = 400. Требуется найти большую и малую полуоси эллипса, координаты его фокусов и эксцентриситет.

Решение:

Разделим полученное уравнение на 400. Этим мы приведём его к виду

(x²/25) + (y²/16) =1. Большая полуось равна 5, корню квадратному из 25, а малая 4, корню квадратному из 16.

Из соотношения a² = b² + c² находим фокусное расстояние. Оно равно

c=+-√(a² – b²) = +-√(25-16) = +-3, а значит координаты фокусов будут

F₁(-3,0)и F₂(3,0). Эксцентриситет ε = с/a = 3/5.

Ответ: a = 5, b = 4, ε = 3/5.

Задача 2

Выяснить, является ли эллипсом линия, заданная как

9x² + 25y² – 225 = 0

Преобразуем данное нам уравнение к каноническому виду. Для этого:

Перенесём 225 в правую сторону

9x² + 25y² = 225

Поделим обе части этого уравнения на 225

(9x²/225) + (25y²/225) = 1

Сократим дроби и получим

(x²/25) + (y²/9) = 1

Как видим, нам удалось получить каноническое уравнение эллипса в чистом виде, т. е. исходное уравнение представляет собой эллипс, что и требовалось выяснить.

Ответ: 9x² + 25y² – 225 = 0 является уравнением эллипса.

Задача 3

Составить каноническое уравнение эллипса если расстояние между фокусами равно 8, а большая ось 10.

Решение:

Если большая ось равняется 10, значит полуось будет 5.

Если фокусное расстояние равно 8, то число c из координат фокусов будет 4.

Далее нужно подставить и вычислить

4 = √(25-b²)

Возведём это уравнение в квадрат

16 = 25 – b²

Перенесём b² влево, а 16 вправо

b² = 25 – 16 =9

В результате этих не сложных преобразований и вычислений получим каноническое уравнение

(x²/25) + (y²/9) = 1

Ответ: (x²/25) + (y²/9) = 1.

Задача 4

Получить каноническое уравнение эллипса, если его эксцентриситет равен 12/13, а большая полуось равна 26.

Решение:

Из уравнения эксцентриситета ε = с/a находим, что a = 13, а величина с = 12. Далее нужно вычислить квадрат длины меньшей полуоси

c = √(169 – b²)

Возведём обе части уравнения в квадрат

c² = 169 – b²

Отсюда

b² = 169 – 144 = 25

Далее остаётся лишь составить каноническое уравнение

(x²/169) + (y²/25) = 1

Ответ: (x²/169) + (y²/25) = 1

Задача 5

Найти фокусы у эллипса, который задан уравнением (x²/25) + (y²/16) = 1

Решение:

Нам нужно найти число с, которое определяет первые координаты фокусов

c = √(25-16) =3

Фокусы заданного эллипса будут равны

F₁(-3,0) и F₂(3,0).

Ответ: F₁(-3,0) и F₂(3,0).

Источник

Эллипс – это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки до двух точек равняется постоянной величине.

Что такое эллипс и фокусное расстояние

Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек, что называются фокусами, есть постоянная величина и равна .

Обозначим фокусы эллипса $F_{1}$ и $F_{2}$ . Допустим, что расстояние $F_{1}{F_{2}}$ = – фокусное расстояние.

Рис. 1

$F_{1}, F_{2}$ – фокусы .

$F_{1} = (c, 0)$ ; $F_{2} = (- c ; 0)$ ,

– половина расстояния между фокусами;

– большая полуось;

– малая полуось.

Теорема:

Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

Если точка находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, $r_{1} + r_{2} = 2 * sqrt{b^2 + c^2}$ (теорема Пифагора). Если же точка находится на пересечении его с горизонтальной осью, $r_1} + r_{2} = a - c + a + c$ . Так как по определению сумма $r_{1} + r_2}$ – постоянная величина, то приравнивая получается:

$a^2 = b^2 + c^2to{r_{1} + r_{2} = 2a$ .

Уравнение эллипса

Уравнение элиппса бывает двух видов:

Каноническое уравнение эллипса.
Параметрическое уравнение эллипса.

Сначала рассмотрим каноническое уравнение эллипса:

Уравнение описывает эллипс в декартовой системе координат. Если центр эллипсa в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, то эллипс описывается уравнением:

$1 = {x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}}$

Если центр эллипсa смещен в точку с координатами $(x_{0}, y_{0})$ тогда уравнение:

$1 = {(x - x_{0})^2over{a^2}} + {(y - y_{0})^2over{b^2}}$

Чтобы получить каноническое уравнение эллипса, разместим $F_{1}$ и $F_{2}$ на оси симметричной к началу координат. Тогда у фокусов будут такие координаты $F_{2}(-c, 0)$ и $F_{2}(c, 0)$ (см. рис. 2).

Пусть – произвольная точка эллипса. Обозначим через $r_{2}$ и $r_{1}$ – расстояние от точки к фокусам. Согласно с определением эллипса:

$r_{1} + r_{2} = 2a$

(1)

Рис. 2

Подставим в (1) $r_{1} = F_{1}M = sqrt{(x - c)^2 + (y - 0)^2}$ , $r_{2} = sqrt{(x + c)^2 + y^2}$ и освободимся от иррациональности, подняв обе части к квадрату, получим:

$r_{2} = 2a - r_{1}tosqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a - sqrt{(x - c)^2 + y^2}}to{x^2 + 2cx + c^2 + y^2} = 4a^2 - 4asqrt{(x - c)^2) + y^2} + x^2 - 2cx + c^2 + y^2to{4a}sqrt{(x - c^2 + y^2} = 4a^2 - 4cxarrowvert:4$

$asqrt{(x - c)^2 + y^2} =a^2 - cx$

(подносим к квадрату обе части): $to{a^2x^2 - 2ca^2x + a^2c^2 + a^2y^2} = {a^4 - 2ca^2x + c^2x^2to{(a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2)arrowvert:a^2(a^2 - c^2)$ ,

${x^2over{a^2}} + {y^2over{a^2 - c^2}} = 1$

Обозначим: , получаем каноническое уравнение эллипса:

${x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}} = {1}$

(2)

Отметим, что по известному свойству треугольника (сумма двух сторон больше третьей) из $Delta{F_{1}}MF_{2}$ у нас получается $F_{2}M + F_{1}M > F_{1}F_{2}to{r_{1} + r_{2}} > 2c$ . Так как $r_{1} + r_{2} = 2a$ , тогда , и поэтому .

Для построения эллипса обратим внимание, что если точка $M_{1}(x, y)$ принадлежит эллипсу, то есть удовлетворяет уравнение (2), тогда точки $M_{2}(-x, y), M_{3}(-x, -y), M_{4}(x, -y)$ тоже удовлетворяют это уравнение: из

${x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}} = 1to{(pm{x})^2over{a^2}} + {(pm{y})^2over{b^2}} = {1}$ .

Точки $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}$ – расположены симметрично относительно осей координат. Значит, эллипс – фигура, симметричная относительно координатных осей. Поэтому достаточно построить график в первой четверти, а тогда симметрично продолжить его.

Из уравнения (2) находим $y = pm{{b}over{a}}sqrt{a^2 - x^2$ , для первой четверти ${y} = {bover{a}}sqrt{a^2 - x^2}$ .

Если , тогда . Если же , тогда . Точки $A_{1}(a, 0)$ и $B_{1}(0, b)$ , а также симметричные с ними $A_{2}(-a, 0)$ , $B_{2}(0, -b)$ – вершины эллипса, точка – центр эллипса, $A_{1}A_{2}$ = большая ось, $B_{1}B_{2} = 2b$ – малая ось эллипса.

Если первой четверти, тогда из $y = {bover{a}}sqrt{a^2 - x^2$ получается, что при возрастании от к значение падает от к . (рис. 3)

Параметрическое уравнение выглядит так:

$left{ begin{aligned} x = a{cos}alpha\ y = b{sin}alpha end{aligned}quad {0leqalpha < 2pi right$

Основные свойства эллипса

Рассмотрим основные свойства эллипса, которые необходимы для решения многих задач.

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом $r_{1}$ равен углу между касательной и фокальным радиусом $r_{2}$ .

2. Уравнение касательной к эллипсу в точке с координатами $(x_{M}, y_{M})$ :

$1 = {x x_{M}over{a^{2}}} + {y y_{M}over{b^{2}}}$ .

3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, который соединяет середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда проходит через середину (центр) эллипсa. (При помощи данного свойства можно построить эллипс при помощи циркуля и линейка, а также найти центр эллипса).

4. Эволюта эллипсa – это астероида, которая растянута вдоль короткой оси.

5. Если вписать эллипс с фокусами $F_{1}$ и $F_{2}$ у треугольника , тогда выполняется соотношение:

= ${{overline{F_{1}A} * overline{F_{2}A}}over{overline{CA} * overline{AB}}} + {{overline{F_{1}B} * overline{F_{2}B}}over{overline{AB} * overline{BC}}} + {{overline{F_{1}C} * overline{F_{2}C}}over{overline{BC} * overline{CA}}}$

Эксцентриситет эллипса

Эксентриситет эллипса – это величина отношения межфокусного расстояния к большей оси и после сокращения на обозначается

Значения эксентриситета характеризует степень “сплющенность” эллипса. Если , тогда $c = {sqrt{a^2 + b^2}} = 0to{varepsilon = 0}$ – получается круг. Если же , тогда – эллипс превращается в отрезок. В некоторых случаях . Для фокальных радиусов приведём без доказательства такие формулы:

$left{ begin{aligned} r_{1} = a - varepsilon{x},\ r_{2} = a + varepsilon, end{aligned} quad{xin[-a, a]. right$

Рис. 3

Эллипс можно построить механическим способом. Из канонического уравнения нужно найти полуоси и , тогда вычислим $c = {sqrt{a^2 + b^2}}$ – полуфокусное расстояние.

Строим фокусы $F_{1}$ и $F_{2}$ на расстоянии один от другого Концы не растянутой нити длиной закрепляем в точках $F_{1}$ и $F_{2}$ . Натягивая остриём карандаша нитку, водим остриём по плоскости таким образом, чтобы нитка скользила по острию. Карандаш при этом опишет полуось. Оттягивая нить в противоположную сторону, начертим вторую половину эллипса.

Примеры решения задач

Задача

Задан эллипс уравнением ${x^2over{25}} + {y^2over{9}} = 1$ и точки $M_{0}(4; 1,8), M_{1}(3; 2,4)$ . Необходимо:

убедиться, что точки $M_{0}$ и $M_{1}$ лежат на эллипсе;
найти полуоси эллипса и координаты его фокусов;
найти расстояние от точки $M_{0}$ к фокусам;
убедиться, что сумма этих расстояний равна длине большой оси;
найти эксентриситет эллипса.

Решение

1. Подставим координаты точки $M_{0}$ в левую часть уравнения эллипса:

${x^2over{25}} + {y^2over{9}} = {4^2over25}} + {1,8 * 1,8over{9}} = {16over25}} + {36over{100}} = {16over{25}} + {9over25}} = 1$ – точка $M_{0}$ лежит на эллипсе. Аналогично для $M_{1}(3; 2,4)$ :

точка $M_{1}$ лежит на эллипсе.

2. С канонического ${x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}} = {1}$ и данного уравнения ${x^2over{25}} + {y^2over{9}} = 1$ эллипса выходит: $a^2 = {25},quad{b^2 = 9}to{a = 5, b = 3}.$ Из равенства получается:

$b^2 = a^2 - c^2to {c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9} = {16}to{c = 4}$ – полуфокусное расстояние. Координаты фокусов $F_{1}(4; 0)$ и $F_{2}(-4; 0)$ .

3. Найдём фокальные радиусы точки $M_{0}$ :

$r_{2} = F_{2}M_{0} = sqrt{(4 - (-4))^2 + 1,8^2} = sqrt{64 + 3,24} = sqrt{67,24} = 8,2$

$r_{1} = F_{1}M_{0} = sqrt{(4 - 4)^2 + 1,8^2} = 1,8.$

4. Найдём сумму $r_{1} + r_{2} = 1, 8 + 8.2 = 10 = 2 * 5 = 2a$ , что отвечает определению эллипса.

5. Эксцентриситет находится по формуле .

Задача

Найти оси, вершины и фокусы эллипса

Решение

Сведём обычное уравнение к каноническому:

$169x^2 + 25y^2 - 4225 = 0to{x^2over{25}} + {y^2over{169}} = 1$

, $b^2 = 169to{a = 5, b = 13}$ . Вершины эллипса в точках $A_{1}(5, 0)$ , $B_{1}(0, 13)$ , $A_{2}(-5, 0)$ , $B_{2}(0, -13)$ . Строим вершины на координатных осях и соединяем плавной линией (см. рис. 2). Так как в данном случае больше, чем , то эллипс, который вытянут вдоль оси , находим полуфокусное расстояние $c = sqrt{b^2 - a^2} = sqrt{169 - 25} = sqrt{144} = 12$ .

Фокусы в точках $F_{1}(0, 12)$ и $F_{2}(0, -12)$ . (см. рис. 3)

Рис. 4

Найти оси, вершины и фокусы эллипса $25x^2 + 144y^2 = 3600quad{:}arrowvertto{25x^2over{3600}} + {144y^2over{3600}} = {1}to{x^2over{144}} + {y^2over{25}} = {1}$ или ${X^2over{12^2}} + {y^2over{5^2}} = {1}$ . Построить эллипс.

Сравнивая последнее уравнение с уравнением (2), у нас получается:

, $b^2 = 5^2to{a = 12, b = 5}$ . Откуда находим оси эллипса: , и координаты вершин: $A_{1}(12, 0)$ , $A_{2} (-12, 0)$ , $B_{1}(0, 5)$ , $B_{2}(0, -5)$ . Дальше из формулы:

$b^2 = a^2 - c^2to{c^2 = a^2 - b^2 = 144 - 25 = 119}to{c = sqrt{119}}approx{10,91}$ . Значит, фокусами эллипса есть точки: $F_{1}(sqrt{119}, 0)$ и $F_{2}(-sqrt{119}, 0)$ . Для построения эллипса отложим на осях и вершины $A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2}$ соответственно соединим их плавной линией, (см. задачу 1).

Замечание! Если в каноническом уравнении ${x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}} = {1}$ большей полуосью будет , тогда фокусы эллипса будут расположены на оси и тогда $c = sqrt{b^2 - a^2}$ .

Источник

Эллипсом
называется
множество точек плоскости, сумма
расстояний которых до двух данных точек
,
называемых фокусами, есть величина
постояннаяРасстояние
между фокусами эллипсаназывается
фокусным расстоянием и обозначается

Общее
уравнение эллипса

где
большая полуось,малая
полуось,координаты
центра эллипса.

Если
центр эллипса находится в начале
координат и фокусы эллипса находятся
на оси
на
равных расстояниях от начала координат,
то уравнение примет вид

причем,

Рис.
13

Эллипс
с центром в начале координат

Отношение
фокусного расстояния к большой оси,
т.е.
называетсяэксцентриситетом
(мера сжатия)

Эксцентриситет
и
коэффициент сжатия эллипсасвязаны
соотношением

Директрисы
эллипса.

Пусть
дан эллипс

Рис.
14

Дирректрисы
эллипса

с
большой осью
и эксцентриситетом

Отложим
от центра
эллипса
на его большой оси отрезки

Прямые,
проходящие через точки
ипараллельно
малой осиназываютсядиректрисами
эллипса.

Для
любой точки
эллипса
отношение ее расстояния до фокуса к
расстоянию до соответствующей директрисы
равно эксцентриситетут.е.

Рассмотрим
пример. На
эллипсе

найти
точку, разность фокальных радиус-векторов
которой равна 6,4.

Рис.
15

Согласно
уравнению эллипса
определим расстояние от цента эллипса
до фокусов

тогда

Кроме
того,

Составим
систему и решим ее

Получим

так
как

Вывод:
таких точек может быть две

8.3. Каноническое уравнение гиперболы и ее характеристики

Гиперболой
называется
множество всех точек плоскости, абсолютная
величина разности расстояний которых
до двух данных точек, называемых фокусами,
есть величина постоянная
причем
эта постоянная меньше расстояния между
фокусами. Если поместить фокусы гиперболы
в точкахто
получается каноническое уравнение
гиперболы

где
Вершинами гиперболы являются точкитогдадействительная
ось гиперболы,мнимая
ось гиперболы.

Рис.
16

Гипербола

Гипербола
имеет две асимптоты

Эксцентриситет
гиперболы

Фокальные
радиус-векторы левой ветви гиперболы:

Фокальные
радиус-векторы правой ветви гиперболы:

Рассмотрим
пример. Найти
уравнение гиперболы, вершины и фокусы
которой находятся в соответствующих
фокусах и вершинах эллипса

Найдем
координаты фокусов, в которых лежат
вершины гиперболы

следовательно

Рис.
17

Вершины
гиперболы лежат в фокусах эллипса,
следовательно

фокусы
гиперболы, т.е.

Тогда

—
уравнение гиперболы.

8.4. Каноническое уравнение параболы и ее характеристики

Парабола
– это множество
всех точек плоскости, равноудаленных
от данной точки, называемой фокусом, и
данной прямой, называемой директрисой.
Если директрисой параболы является
прямая
а
фокусом является точкато
уравнение параболы имеет вид