Как найти границу абсолютной погрешности измерений

Абсолютная погрешность

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.

ЗАПИСЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА.

ВЕРНЫЕ И ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА

х – точное число

а – приближенное число

Разность   х – а    между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.

Модуль погрешности называется абсолютной погрешностью и обозначается ∆:

| х – а | = ∆

Погрешность и абсолютная погрешность имеют ту же размерность, что и рассматриваемая величина

Граница абсолютной погрешности ∆а – положительное число, которое больше или равно абсолютной погрешности или:

| х – а | ≤ ∆а

Если задана граница абсолютной погрешности ∆а, то число а есть приближенное значение числа х с точностью до ∆а и записывают

х = а ± ∆а, например: 94,5 ± 0,3

В отличие от абсолютной погрешности, граница абсолютной погрешности не определяется однозначно, поэтому на практике выбирается такое значение границы абсолютной погрешности, которое удобно для вычислений и обеспечивает максимальную точность.

Цифра приближенного числа а, записанного в виде десятичной дроби, называется верной (точной), если граница абсолютной погрешности числа не превышает (меньше или равно) единицы того разряда, в котором стоит эта цифра. В противном случае она называется сомнительной, например:

25,63 ± 0,2

Граница погрешности 0,2 , поэтому рассмотрим

цифру 5, разряд единицы, единица разряда 1 и 0,2 < 1 (граница погрешности не превышает единицу разряда), значит цифра 5 – верная, тогда цифра десятков – 2  данного числа тоже верная.

Цифра 6, разряд десятые, единица разряда 0,1 и 0,2 > 0,1  (граница погрешности превышает единицу разряда), значит цифра 6 – сомнительная. Значит и цифра 3 (сотые) будет также сомнительной

2 и 5 – верные цифры, 6 и 3 – сомнительные цифры числа

Запись чисел с сохранением только верных цифр широко используется во всех математических таблицах, в справочниках (физика, астрономия, техника). При этом, по записи приближенного числа можно оценить погрешность приближения, например:

табличные данные: температура кипения золота – 2700 ºС, значит граница абсолютной погрешности 1 ºС, температура кипения йода – 182,8 ºС, значит граница абсолютной погрешности 0,1 ºС.

Записи приближенных чисел 0,3; 0,30; 0,300 – неравносильны, т.к. приближенное число 0,3 имеет погрешность не более 0,1;

приближенное число 0,30 имеет погрешность не более 0,01;

приближенное число 0,300 имеет погрешность не более 0,001.

Если целое число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то их заменяют множителем 10^р, где р – число таких нулей.

В записи приближенных чисел принято соблюдать следующие правила:

• Оставлять в записи приближенного числа только верные цифры;
• Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то их надо выписать;
• Если число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то они должны быть заменены на 10^р , где р – число нулей, которые надо заменить

Например,

Записать правильно следующие приближенные числа:  

1. а = 0,075 ± 0,000005 – здесь погрешность меньше, чем 0,00001 (0,000005<0,00001), значит а = 0,07500 (последние верные цифры нули и их надо выписать, см. правило)
2. а = 746000000 ± 5000 здесь погрешность меньше, чем 10000 (5000<10000), значит последние четыре нуля не являются верными цифрами и их надо заменить на  10^р  а = 74600·10⁴
3. а = 0,35  ∆а = 0,00005 – здесь погрешность меньше, чем 0,0001 значит

а = 0,3500 (последние верные цифры нули)

1. а = 765000  ∆а = 5 – здесь погрешность  5<10  значит а = 76500·10, т.к. последний нуль не является верной цифрой
2. а = 0,3700  ∆а = 0,05 – здесь погрешность 0,05<0,1 и цифра 7 не является верной, она отбрасывается, значит а = 0,4

В некоторых заданиях необходимо наоборот определить абсолютную погрешность по записи приближенного числа, например,

Указать абсолютную погрешность приближенных чисел:

1. а = 14,5 ·10, значит ∆а = 10
2. а = 34,20 т.к. последний нуль является верной цифрой, то ∆а = 0,01
3. а = 263·10⁴ , значит ∆а = 10000

Число в стандартном виде записывают так:

а = а_0, а₁ а₂ … а_k  ·10^m , где 1 ≤ а₀ ≤ 10,

а_0, а₁ а₂ … а_k  –  все верные цифры числа,

показатель m – называется порядком числа.

Если число, записанное в виде десятичной дроби содержит все верные цифры, то все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, называют значащими, например:

7,03 – три значащие цифры

4400 – четыре значащие цифры

0,000270 – три значащие цифры (нули, расположенные левее первой, отличной   от нуля цифры, не считаются значащими  0,000270).

Округление числа – это замена его числом с меньшим количеством значащих цифр. При округлении числа до m значащих цифр отбрасывают все цифры, стоящие правее m-ой значащей цифры, заменяя их на нули (при сохранении разряда). При этом, если первая из отбрасываемых цифр ≥ 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу,

например:

Округлить число с заданной точностью:

• с точностью до 10^-3   (10^-3  = 0,001)

1,5783

Значащие цифры – 1, 5, 7  и 8, цифра 3 – сомнительная, т.к. 0,001 > 0,0001 (единицы разряда)

1,5783 ≈ 1,578 (последняя из отбрасываемых цифр 3<5, значит предыдущую оставляем без изменений)

23,4997

Значащие цифры – 2, 3, 4, 9 и 9, цифра 7 – сомнительная

7>5, значит предыдущую увеличиваем на 1, получим

23,4997 ≈ 23,500

• с точностью до 10^-2  (10^-2  = 0,01)

4,761 ≈ 4,76

31,009 ≈ 31,01

• с точностью до 10³  (10³ = 1000)

159734 ≈ 160000 = 160·10³

28,34 ≈ 0 – ни одна из цифр не является значащей 1000 > 10, т.к. задана точность 1000, а заданное число меньше, чем погрешность.

Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)

ИЗМЕРЕНИЯ И ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

1. ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ.

1.1 ЧТО ЗНАЧИТ – ИЗМЕРИТЬ ВЕЛИЧИНУ?

От других наук физика отличается тем, что при изучении свойств материи и её изменений вводятся физические величины, которые можно измерять и выражать числами. Для обозначения при письме каждой физической величины используется символ – буква алфавита. Благодаря этому ход явлений и связи явлений выражаются математическими соотношениями (формулами) между введенными величинами. Самые важные соотношения между величинами называются законами природы.

ИЗМЕРИТЬ ФИЗИЧЕСКУЮ ВЕЛИЧИНУ – это значит с использованием технических средств (средств измерения) найти опытным путем значение физической величины, а также степень её приближения к истинному значению, которое в принципе неизвестно.

Для измерения физической величины необходимо ввести единицу величины и определить способ, при помощи которого можно сравнивать численные значения данной физической величины у разных тел или в различных процессах.

1.2. ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

Общепринятой в настоящее время является Международная система единиц (СИ). Она строится на семи основных единицах:

— единица длины – метр.

— единица массы – килограмм.

— единица времени – секунда.

— единица силы электрического тока – Ампер.

— единица температуры – Кельвин.

— единица силы света – кандела.

— единица количества вещества – моль.

Для обеспечения единства физических измерений созданы международные эталоны каждой из основных единиц СИ.

ЗНАЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ – это произведение отвлеченного числа на принятую для данной физической величины единицу измерения.

ПРИМЕР. Масса тела 5 кг.

Физический смысл данного выражения можно раскрыть двояко.

а) Это означает следующее:

— «5 кг» – это значение массы тела.

— «5» – отвлеченное число, показывающее, во сколько раз масса данного тела больше массы эталона, у которого масса тела 1 кг

б) Иначе:

— «5» — числовое значение физической величины.

— «кг» — единица массы.

2. ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

2.1. ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

Истинное значение измеряемой величины определить невозможно прежде всего потому, что ограничено воспроизведение эталона единицы физической величины, т.е. сам эталон не абсолютен. Например, точность изготовления эталона массы составляет 2 · 10 – 9 кг. Скорость света, являющаяся основой для создания эталонов метра и секунды, также измерена с некоторой погрешностью. По последним данным, истинное значение скорости находится с точностью: С = (299 792 458 ± 1, 2) м /с.

Истинное значение измеряемой величины неизвестно и не может быть найдено в конкретном сколь угодно точном эксперименте.

Нельзя определить и абсолютную погрешность измерения в виде алгебраической разности:

∆ абсолют. Х = Х изм. – Х где Х – истинное значение,

Х изм. – результат измерения.

Физическая величина измеряется в единицах физической величины, записывается с наименованием.

2.2. ГРАНИЦА АБСОЛЮТНОЙ И ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ.

В каждом измерении, в принципе, возможно определить так называемую границу абсолютной погрешности. Если при выполнении опыта его результат получен Х изм., то можно представить его графически в виде интервала (рис.1).

Рис. 1

Соответствующая запись такова:

Х изм — ∆ Х < Х изм < Х изм — ∆ Х

Х = Х изм ± ∆ Х

Граница абсолютной погрешности – это половина 

длины интервала 2 ∆Х, достоверно содержащего

истинное значение измеряемой величины.

Граница абсолютной погрешности всегда положительное число.

Граница абсолютной погрешности не в полной мере характеризует измерение.

ПРИМЕР. Измерили размеры крышки стола, получили:

— длина крышки (100 ± 1) см

— толщина крышки (2 ± 1) см

Граница абсолютной погрешности измерения в этих двух случаях одинакова (1 см), но интуитивно угадываем, что в первом случае качество измерения выше.

Качество измерения характеризуется понятием границы относительной погрешности.

Границей относительной погрешности называется отношение границы абсолютной погрешности к значению измеряемой величины. Выражается числом без наименования или в процентах:

                                                ∆ Х                      ∆Х

ξ = ——- или ξ = ——- · 100 %

                                              Х изм               Х изм

2.3. ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ.

Способ определения значения измеряемой физической величины и граница абсолютной погрешности зависят от вида измерений. Измерения могут быть прямыми, косвенными и совместными.

Измерения, в которых результат находится непосредственно в процессе считывания со шкалы прибора, называются прямыми.

Измерения, в которых результат определяется на основе расчетов, называют косвенными.

Измерения двух или нескольких неодноимённых величин, производимые одновременно с целью нахождения функциональной зависимости между ними, называют совместными.

2.4. МЕРЫ.

Кроме измерительных приборов, используют так называемые меры.

Мера – это тело или устройство, служащее для воспроизведения одного или нескольких известных значений данной величины.

Меры бывают однозначные и многозначные.

К однозначным мерам относятся гири и наборы гирь, наборы грузов по механике, наборы сопротивлений наборы конденсаторов.

К многозначным мерам относятся линейки, измерительные цилиндры, мензурки, амперметры, вольтметры.

Номинальное значение меры – значение данной физической величины, обозначенное на мере или её футляре (от латинского «nominalis» – именной). Например, на каждой гире обозначено её номинальное значение в килограммах, граммах или миллиграммах.

3. ТРЕБОВАНИЯ К ЗАПИСЯМ ПРИ ОБРАБОТКЕ ИЗМЕРЕНИЙ.

Процесс измерения сопровождается вычислениями. Правильная организация вычислений связана с учетом абсолютных и относительных погрешностей. Принципиальная особенность вычислений состоит в том, что приходится работать с приближенными числами.

3.1. ВЕРНАЯ ЦИФРА.

В физике пользуются понятием «верная цифра» в узком смысле: цифра п-го разряда называется верной, если абсолютная погрешность не превосходит половины единицы этого разряда.

ПРИМЕР. Если по таблице плотностей для газа азота плотность равна 1,25 кг/м 3, то цифра 5 в разряде сотых верная. Следовательно, граница погрешности числа 1,25 равна 0,005 кг/м 3. Также построена подпрограмма по округлению чисел микрокалькулятора.

3.2. ЗНАЧАЩАЯ ЦИФРА.

Значащими цифрами называются все верные цифры в записи числа, кроме нулей, стоящих перед первой, отличной от нуля, цифрой.

ПРИМЕР. В числе 0, 00060 = 6,0 · 10 – 4     две значащие цифры.

Число значащих цифр и десятичных знаков связано с относительными и абсолютными погрешностями. Число десятичных знаков определяет абсолютную погрешность приближенного числа. Количество значащих цифр определяет относительную погрешность числа.

ПРИМЕР. Число Х = 25,6 записано верными цифрами. Это значит, что

Х = 25,60 ± 0,05.

                                                                         0,05

Следовательно, относительная погрешность ξ х = ———-

                                                                         25,60

Относительная погрешность не зависит от положения запятой.

3.3. ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТА ВЫЧИСЛЕНИЯ.

Результат измерений и расчетов не должен записываться с бόльшим числом десятичных знаков, чем их имеется в абсолютной погрешности.

ПРИМЕР. При вычислении скорости тела, брошенного под углом к горизонту, получили с помощью микрокалькулятора результат 0,560325035 м/с. Это означает, что скорость измерена с погрешностью 0,0000000005 м/с = 5 · 10 – 10 м/с и это абсурдно, т.к. реальная погрешность значительно выше. Чтобы не делать таких ошибок, при округлении числа цифры в разрядах за верными цифрами отбрасываются, т.к. они не являются верными.

В приведенном примере результат нужно записать (0,56 ± 0,**) м/с.

3.4. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ ГРАНИЦЫ АБСОЛЮТНОЙ ПОГРЕШНОСТИ.

Чаще всего погрешность записывается с одной значащей цифрой. Первая слева цифра погрешности определяет сомнительную цифру результата. Вторая цифра погрешности обычно не вносит существенных изменений в результат.

При записи приближенного значения достаточно одной значащей цифры в погрешности, т.к. число записывается не более чем с одной сомнительной цифрой.

ПРИМЕР № 1. Было получено число (27,47 ± 0,18) м. Округляем погрешность до одной значащей цифры (∆ = 0,2 м), округляем приближенное значение до десятых и записываем результат следующим образом: (27,5 ± 0,2) м.

ПРИМЕР № 2. Вместо записи (5391 ± 28) м при округлении погрешности до одной значащей цифры с избытком получим (5391 ± 30) м. Это означает, что цифра десятков в числе 5391 сомнительна, а цифра единиц неверна. Правильная запись результата такова (5390 ± 30) м.

ПРИМЕР № 3. При записи (5398 ± 30) м верной будет запись (5400 ± 30) м.

ПРИМЕР №4. Можно отступить от основного правила округления погрешности с избытком до одной значащей цифры, если вторая цифра 5, её можно оставить и записать результат (73,48 ± 0.25) м.

Особое внимание следует обращать на использование нуля в качестве значащей цифры.

ПРИМЕР № 1. Запись (2,4 ± 0,08) м нарушает правило об одинаковом числе знаков в числе и его погрешности. Правильная запись такова (2,40 ± 0,08) м.

ПРИМЕР № 2. При измерении длины отрезка получен результат (72 ± 0,5) см. Если результат записать так 720 мм, то в числе 720 нуль значащий, а абсолютная погрешность равна 0,5 мм, тогда как в действительности погрешность измерения длины отрезка равна 0,5 см, т.е. в 10 раз больше. Таким образом, нуль в числе 720 не является значащим. Именно поэтому необходимо пользоваться стандартной формой записи числа с наименованием в системе СИ: 7,2 · 10 – 1 м.

При сложении приближенных значений границы абсолютных погрешностей складываются арифметически.

ПРИМЕР. По формуле Ф = а + в + с + … запишем: ∆Ф = ∆а + ∆в + ∆с + …

При арифметическом сложении погрешностей можно пренебречь малыми слагаемыми, которые не превышают (1/3 ÷ 1/4) от максимальных. Это правило называют правилом ничтожных погрешностей и его учет значительно упрощает вычислительную работу при оценке погрешностей.

Источники
погрешностей (инструментальные и
методические погрешности, влияние
помех, субъективные ошибки). Номинальная
и реальная функция преобразования,
абсолютная и относительная погрешность
средства измерений, основная и
дополнительная погрешности. Пределы
допускаемых погрешностей, классы
точности средств измерений. Выявление
и уменьшение систематических погрешностей.
Оценка случайных погрешностей.
Доверительный интервал и доверительная
вероятность. Оценка погрешностей
косвенных измерений. Обработка результатов
измерений. [1:
с.23…35,40,41,53,54,56…61; 2:
с.22…53; 3:
с.48…91; 4:
с.21,22,35…52,63…71, 72…77,85…93].

II.1. Основные сведения и методические указания.

Одним из
основополагающих понятий Метрологии
является понятие погрешности измерений.

Погрешностью
измерения
называют отклонение измеренного

значения физической
величины от её истинного значения.

Погрешность
измерений, в общем случае, может быть
вызвана следующими причинами:

1. Несовершенством
   принципа действия и недостаточным
   качеством элементов используемого
   средства измерения.

2. Несовершенством
   метода измерений и влиянием используемого
   средства измерения на саму измеряемую
   величину, зависящим от способа
   использования данного средства
   измерения.

3. Субъективными
   ошибками экспериментатора.

Так как истинное
значение измеряемой величины никогда
неизвестно (в противном случае отпадает
необходимость в проведении измерений),
то численное значение погрешности
измерений может быть найдено только
приближенно. Наиболее близким к истинному
значению измеряемой величины является
значение, которое может быть получено
при использовании эталонных средств
измерений (средств измерений наивысшей
точности). Это значение условились
называть действительным
значением измеряемой величины.
Действительное значение также является
неточным, однако, из-за малой погрешности
эталонных средств измерений, погрешностью
определения действительного значения
пренебрегают.

Классификация
погрешностей

1. По форме представления
   различают понятия абсолютной погрешности
   измерений и относительной погрешности
   измерений.

Абсолютной
погрешностью
измерений называют разность между

измеренным и
действительным значениями измеряемой

величины:

,

где ∆ — абсолютная
погрешность,

–измеренное
значение,

–действительное
значение измеряемой величины.

Абсолютная
погрешность имеет размерность измеряемой
величины. Знак абсолютной погрешности
будет положительным, если измеренное
значение больше действительного, и
отрицательным в противном случае.

Относительной
погрешностью
называют отношение абсолютной

погрешности к
действительному значению измеряемой
величины:

где δ – относительная
погрешность.

Чаще всего
относительную погрешность определяют
приближенно в процентах от измеренного
значения:

Относительная
погрешность показывает, какую часть (в
%) от измеренного значения составляет
абсолютная погрешность. Относительная
погрешность позволяет нагляднее, чем
абсолютная погрешность, судить о точности
измеренного значения.

1. По источникам
   происхождения погрешности подразделяют
   на следующие виды:

— инструментальные
погрешности;

— методические
погрешности;

— субъективные
погрешности, допущенные экспериментатором
.

Инструментальными
называются погрешности, которые
принадлежат данному типу средств
измерения, могут быть определены при
их испытаниях и занесены в паспорт
средства измерения в виде пределов
допускаемых погрешностей.

Инструментальная
погрешность возникает из-за несовершенства
принципа действия и недостаточно
высокого качества элементов, применяемых
в конструкции средства измерений. По
этой причине реальная передаточная
характеристика каждого экземпляра
средства измерений в большей или меньшей
степени отличается от номинальной
(расчетной) передаточной характеристики.
Отличие реальной характеристики средства
измерений от номинальной (рис.1) определяет
величину инструментальной погрешности
средства измерений.

Рис.1. Иллюстрация
к определению понятия инструментальной

погрешности.

Здесь: 1 – номинальная
характеристика средства измерений;

2 – реальная
характеристика средства измерений.

Как видно из рис.1,
при изменении измеряемой величины,
инструментальная погрешность может
иметь различные значения (как положительные,
так и отрицательные).

При создании
средств измерений какой-либо физической
величины, к сожалению, не удается
полностью избавиться от реакции этого
средства измерений на изменение других
(не измеряемых) величин. Наряду с
чувствительностью средства измерения
к измеряемой величине, оно всегда
реагирует (хотя и существенно в меньшей
степени) на изменение условий эксплуатации.
По этой причине инструментальную
погрешность подразделяют на основную
погрешность и дополнительную
погрешности.

Основной
погрешностью
называют погрешность, имеющую место

в случае применения
средства измерений в нормальных условиях

эксплуатации.

Номенклатура
влияющих на средство измерений величин
и диапазоны их изменений определяются
разработчиками в качестве нормальных
условий для каждого типа средств
измерений. Нормальные условия эксплуатации
всегда указываются в техническом
паспорте средства измерений. Если
эксперимент выполняется в условиях,
отличных от нормальных для данного
средства измерений, его реальная
характеристика искажается сильнее, чем
в нормальных условиях. Погрешности,
которые при этом возникают, называют
дополнительными.

Дополнительной
погрешностью
называют погрешность средств

измерений, которая
возникает в условиях, отличающихся от

нормальных, но
входящих в допустимую рабочую область
условий

эксплуатации.

Рабочие условия
эксплуатации, так же как и нормальные,
в обязательном порядке приводятся в
техническом паспорте средств измерений.

Инструментальная
погрешность средств измерений
определенного типа не должна превышать
некоторого заданного значения – так
называемой предельно допустимой основной
погрешности средств измерений данного
типа. Фактическая основная погрешность
каждого конкретного экземпляра этого
типа является при этом случайной
величиной и может принимать различные
значения, иногда даже равные нулю, но в
любом случае инструментальная погрешность
не должна превышать заданного предельного
значения. Если это условие не выполняется,
средство измерений должно быть изъято
из обращения.

Методическими
называются погрешности, которые возникают
из-за неудачного выбора экспериментатором
средства измерения для решения
поставленной задачи. Они не могут быть
приписаны средству измерения и приведены
в его паспорте.

Методические
погрешности измерения зависят как от
характеристик применяемого средства
измерений, так и во многом от параметров
самого объекта измерения. Неудачно
выбранные средства измерений могут
исказить состояние объекта измерений.
При этом методическая составляющая
погрешности может оказаться существенно
больше инструментальной.

Субъективными
погрешностями
называют погрешности,

допускаемые
самим экспериментатором при проведении

измерений.

Этот тип погрешностей
связан обычно с невнимательностью
экспериментатора: применение прибора
без устранения смещения нуля, неправильное
определение цены деления шкалы, неточный
отсчет доли деления, ошибки в подключении
и т.п.

1. По характеру
   проявления погрешности измерений
   подразделяют на:

— систематические
погрешности;

— случайные
погрешности;

— промахи (грубые
ошибки).

Систематической
называют погрешность, которая при
повторных измерениях одной и той же
величины остается постоянной, или
изменяется закономерно.

Систематические
погрешности обусловлены как несовершенством
метода измерений и влиянием средства
измерений на измеряемый объект, так и
отклонением реальной передаточной
характеристики применяемого средства
измерений от номинальной характеристики.

Постоянные
систематические погрешности средств
измерений могут быть выявлены и численно
определены в результате сличения их
показаний с показаниями эталонных
средств измерений. Такие систематические
погрешности могут быть уменьшены
регулировкой приборов или введением
соответствующих поправок. Следует
заметить, что полностью исключить
систематические погрешности средств
измерений не удается, так как их реальные
передаточные характеристики изменяются
при изменении условий эксплуатации.
Кроме этого всегда имеют место так
называемые прогрессирующие погрешности
(возрастающие или убывающие), вызванные
старением элементов входящих в состав
средств измерений. Прогрессирующие
погрешности могут быть скорректированы
регулировкой или введением поправок
лишь на некоторое время.

Таким образом,
даже после регулировки или введения
поправок, всегда имеет место так
называемая неисключенная систематическая
погрешность результата измерений.

Случайной
называют погрешность, которая при
повторных измерениях одной и той же
величины принимает различные значения.

Случайные погрешности
обусловлены хаотичным характером
изменений физических величин (помех),
влияющих на передаточную характеристику
средства измерений, суммированием помех
с измеряемой величиной, а также наличием
собственных шумов средства измерений.
При создании средств измерений
предусматриваются специальные меры
защиты от помех: экранирование входных
цепей, использование фильтров, применение
стабилизированных источников питающего
напряжения и т.д. Это позволяет уменьшить
величину случайных погрешностей при
проведении измерений. Как правило, при
повторных измерениях одной и той же
величины результаты измерений либо
совпадают, либо отличаются на одну, две
единицы младшего разряда. В такой
ситуации случайной погрешностью
пренебрегают и оценивают только величину
неисключенной систематической
погрешности.

Наиболее сильно
случайные погрешности проявляются при
измерении малых значений физических
величин. Для повышения точности в таких
случаях производятся многократные
измерения с последующей статистической
обработкой результатов методами теории
вероятности и математической статистики.

Промахами
называют грубые погрешности, существенно
превышающие ожидаемые погрешности при
данных условиях проведения измерений.

Промахи большей
частью возникают из-за субъективных
ошибок экспериментатора или из-за сбоев
в работе средства измерений при резких
изменениях условий эксплуатации (броски
или провалы сетевого напряжения, грозовые
разряды и т.п.) Обычно промахи легко
выявляются при повторных измерениях и
исключаются из рассмотрения.

Оценка погрешностей
косвенных измерений.

При косвенных
измерениях результат измерений
определяется по функциоральной
зависимости от результатов прямых
измерений. Поэтому погрешность косвенных
измерений определяется как полный
дифференциал этой функции от величин,
измеряемых с помощью прямых измерений.

;

Где:
—
предельные абсолютные погрешности
результатов прямых

измерений;

—
предельная абсолютная погрешность
результата косвенного

измерения;

—
соответствующие предельные относительные
погрешности.

—
функциональная связь между искомой
измеряемой величиной и

величинами,
подвергающимися прямым измерениям.

Статистическая
обработка результатов измерений

Из-за влияния на
средство измерений помех различного
происхождения (изменение температуры
окружающей среды, электромагнитных
полей, вибраций, изменения частоты и
амплитуды сетевого напряжения, изменения
атмосферного давления, влажности и
т.д.), а также из-за наличия собственных
шумов элементов, входящих в состав
измерительных приборов, результаты
повторных измерений одной и той же
физической величины (особенно ее малых
значений) будут в большей или меньшей
степени отличаться друг от друга. В этом
случае результат измерений является
случайной величиной, которая характеризуется
наиболее вероятным значением и разбросом
(рассеянием) результатов повторных
измерений вблизи наиболее вероятного
значения. Если при повторных измерениях
одной и той же величины результаты
измерений не отличаются друг от друга,
то это означает, что разрешающая
способность отсчетного устройства не
позволяет обнаружить это явление. В
этом случае случайная составляющая
погрешности измерений является
несущественной и ею можно пренебречь.
При этом неисключенную систематическую
погрешность результата измерений
оценивают по величине пределов допускаемых
погрешностей применяемых средств
измерений. Если же при повторных
измерениях одной и той же величины
наблюдается разброс показаний, то это
означает, что наряду с большей или
меньшей неисключенной систематической
погрешностью, имеет место и случайная
погрешность, принимающая при повторных
измерениях различные значения.

Для определения
наиболее вероятного значения измеряемой
величины при наличии случайных
погрешностей и для оценки погрешности,
с которой определено это наиболее
вероятное значение, применяется
статистическая обработка результатов
измерений. Статистическая обработка
результатов серии измерений при
проведении экспериментов позволяет
решить следующие задачи.

1. Более точно
   определить результат измерения путем
   усреднения отдельных наблюдений.

2. Оценить область
   неопределенности уточненного результата
   измерений.

Основной смысл
усреднения результатов измерений
заключается в том, что найденная
усредненная оценка имеет меньшую
случайную погрешность, чем отдельные
результаты, по которым эта усредненная
оценка определяется. Следовательно
усреднение не устраняет полностью
случайного характера усредненного
результата, а лишь уменьшает ширину
полосы его неопределенности.

Таким образом, при
статистической обработке, прежде всего,
определяют наиболее вероятное значение
измеряемой величины путем вычисления
среднего арифметического всех отсчетов:

где: x_i
– результат i
– го измерения;

n
– число проведенных измерений в данной
серии измерений.

После этого
оценивают отклонение результатов
отдельных измерений x_i
от этой оценки среднего значения
;.

Затем находят
оценку среднеквадратического отклонения
наблюдений, характеризующую степень
рассеяния результатов отдельных
наблюдений вблизи,
по формуле:

.

Точность оценки
наиболее вероятного значения измеряемой
величины
зависит от числа наблюдений.
Нетрудно убедиться в том, что результаты
нескольких оценокпо одному и тому же числуотдельных измерений будут отличаться.
Таким образом, сама оценкатакже является случайной величиной. В
связи с этим вычисляется оценка
среднеквадратического отклонения
результата измерения,
которую обозначают.
Эта оценка характеризует степень
разброса значенийпо отношению к истинному значению
результата, т.е. характеризует точность
результата, полученного усреднением
результата многократных измерений.
Следовательно, поможет быть оценена систематическая
составляющая результата серии измерений.
Для различныхона определяется по формуле:

Следовательно,
точность результата многократных
измерений увеличивается с ростом числа
последних.

Однако в большинстве
практических случаев нам важно определить
не просто степень рассеивания значения
погрешности при проведении серии
измерений (т.е. величину
),
а оценить вероятность возникновения
погрешности измерения, не превышающую
допустимую, т.е. не выходящую за пределы
некоторого заданного интервала разброса
получаемых погрешностей.

Доверительным
интервалом
называют
интервал, который с заданной вероятностью,
называемой
доверительной вероятностью
накрывает истинное значение измеряемой
величины.

При определении
доверительных интервалов необходимо,
прежде всего, учитывать, что закон
распределения погрешностей, получаемых
при проведении многократных измерений,
при числе измерений в серии меньше 30,
описывается не нормальным законом
распределения, а так называемым законом
распределения Стьюдента. И, в этих
случаях, величину доверительного
интервала обычно оценивают по формуле:

,

где
— так называемый коэффициент Стьюдента.

В табл.4.1 приведены
значения коэффициентов Стьюдента
в зависимости от заданной доверительной
вероятности и числа проведенных
наблюдений.
При выполнении измерений обычно задаются
доверительной вероятностью 0,95 или 0,99.

Таблица 4.1

Значения
коэффициентов Стьюдента
.

n
0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99
2	1,00	1,38	1,96	3,08	6,31	12,71	31,82	63,66
3	0,82	1,06	1,34	1,89	2,92	4,30	6,97	9,93
4	0,77	0,98	1,25	1,64	2,35	3,18	4,54	5,84
5	0,74	0,94	1,19	1,53	2,13	2,78	3,75	4,60
6	0,73	0,92	1,16	1,48	2,02	2,62	3,37	4,03
7	0,72	0,91	1,13	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71
8	0,71	0,90	1,12	1,42	1,90	2,37	3,00	3,50
9	0,71	0,89	1,11	1,40	1,86	2,31	2,90	3,36
10	0,70	0,88	1,10	1,38	1,83	2,26	2,82	3,25
16	0,69	0,87	1,07	1,34	1,75	2,13	2,60	2,95
25	0,69	0,86	1,06	1,32	1,71	2,06	2,49	2,80

При изучении
материалов данного раздела следует
хорошо уяснить, что погрешности
результатов измерений и погрешности
средств измерений – не идентичные
понятия. Погрешность средства измерения
это его свойство, характеристика, для
описания которого используют ряд правил,
закрепленных в стандартах и нормативных
документах. Это та доля погрешности
измерения, которая определяется только
самим средством измерения. Погрешность
же измерений (результата измерений) –
это число, которое характеризует границы
неопределенности значения измеряемой
величины. В нее, кроме погрешности
средства измерений, могут входить
составляющие погрешности, порожденные
применяемым методом измерения
(методические погрешности), действием
влияющих (неизмеряемых) величин,
погрешность отсчета и др.

Нормирование
погрешностей средств измерения.

Точность СИ
определяется предельно-допустимыми
погрешностями, которые могут быть
получены при его использовании.

Нормированием
погрешностей средств измерений называют

процедуру
назначения допустимых границ основной
и

дополнительных
погрешностей, а также выбор формы
указания

этих границ
в нормативно-технической документации.

Пределы допускаемой
основной и дополнительных погрешностей
определяются разработчиками для каждого
типа средств измерений на стадии
подготовки производства. В зависимости
от назначения средства измерений и
характера изменения погрешности в
пределах диапазона измерений нормируется
для средств измерений различного типа
либо предельно-допустимое значение
основной абсолютной погрешности, либо
предельно-допустимое значение основной
приведенной погрешности, либо
предельно-допустимое значение основной
относительной погрешности.

Для каждого типа
средств измерений характер изменения
погрешности в пределах диапазона
измерений зависит от принципа действия
этого средства измерений и может быть
самым разнообразным. Однако, как показала
практика, среди этого многообразия
часто удается выделить три типовых
случая, предопределяющих выбор формы
представления пределов допускаемой
погрешности. Типовые варианты отклонения
реальных передаточных характеристик
средств измерений от номинальной
характеристики и соответствующие им
графики изменения предельных значений
абсолютной и относительной погрешностей
в зависимости от измеряемой величины
приведены на рис 2.

Если реальная
передаточная характеристика средства
измерений смещена по отношению к
номинальной (1-й график на рис.2а),
абсолютная погрешность, возникающая
при этом, (1-й график на рис.2б), не зависит
от измеряемой величины.

Составляющую
погрешности средства измерений, не
зависящую от измеряемой величины,
называют аддитивной
погрешностью.

Если угол наклона
реальной передаточной характеристики
средства измерений отличается от
номинального (2-й график на рис. 2а), то
абсолютная погрешность будет линейно
зависеть от измеряемой величины (2-й
график на рис. 2б).

Составляющую
погрешности средства измерений, линейно
зависящую от измеряемой величины,
называют мультипликативной
погрешностью.

Если реальная
передаточная характеристика средства
измерений смещена по отношению к
номинальной и угол ее наклона отличается
от номинального (3-й график на рис. 2а),
то в этом случае имеет место как
аддитивная, так и мультипликативная
погрешность.

Аддитивная
погрешность возникает из-за неточной
установки нулевого значения перед
началом измерений, ухода нуля в процессе
измерений, из-за наличия трений в опорах
измерительного механизма, из-за наличия
термо-эдс в контактных соединениях и
т.д.

Мультипликативная
погрешность возникает при изменении
коэффициентов усиления или ослабления
входных сигналов (например, при изменении
температуры окружающей среды, или
вследствие старения элементов), из-за
изменения значений, воспроизводимых
мерами, встроенными в измерительные
приборы, из-за изменений жесткости
пружин, создающих противодействующий
момент в электромеханических приборах
и т.д.

Ширина полосы
неопределенности значений абсолютной
(рис.2б) и относительной (рис.2в) погрешностей
характеризует разброс и изменение в
процессе эксплуатации индивидуальных
характеристик множества находящихся
в обращении средств измерений определенного
типа.

А) Нормирование
пределов допускаемой основной погрешности
для

средств
измерений с преобладающей аддитивной
погрешностью.

Для средств
измерений с преобладающей аддитивной
погрешностью (1-й график на рис.2) удобно
нормировать одним числом предельно-допустимое
значение абсолютной погрешности (∆_max=
±а). В этом случае фактическая абсолютная
погрешность ∆ каждого экземпляра
средства измерений данного типа на
различных участках шкалы может иметь
различные значения, но не должна превышать
предельно-допустимой величины (∆ ≤
±а). В многопредельных измерительных
приборах с преобладающей аддитивной
погрешностью для каждого предела
измерений пришлось бы указывать свое
значение предельно допустимой абсолютной
погрешности. К сожалению, как видно из
1-го графика на рис.2в, нормировать одним
числом предел допускаемой относительной
погрешности в различных точках шкалы
не представляется возможным. По этой
причине для средств измерений с
преобладающей аддитивной погрешностью
часто нормируют одним числом значение
так называемой основной приведенной
относительной
погрешности

,

где X_N
– нормирующее значение.

Таким способом,
например, нормируются погрешности
большинства электромеханических и
электронных приборов со стрелочными
индикаторами. В качестве нормирующего
значения X_N
обычно используется предел измерений
(X_N
= X_max),
удвоенное значение предела измерений
(если нулевая отметка находится в
середине шкалы), или длина шкалы (для
приборов с неравномерной шкалой). Если
X_N
= X_max,
то значение приведенной погрешности γ
равно пределу допускаемой относительной
погрешности средства измерений в точке,
соответствующей пределу измерений. По
заданному значению предела допускаемой
основной приведенной погрешности легко
определить предел допускаемой основной
абсолютной погрешности для каждого
предела измерений многопредельного
прибора:.

После этого для
любой отметки шкалы X
может быть произведена оценка
предельно-допустимой основной
относительной погрешности:

.

Б) Нормирование
пределов допускаемой основной погрешности
для

средств измерений
с преобладающей мультипликативной

погрешностью.

Как видно из рис.2
(2-й график), для средств измерений с
преобладающей мультипликативной
погрешностью, одним числом удобно
нормировать предел допускаемой основной
относительной погрешности (рис.2в) δ_max=
± b∙100%.
В этом случае, фактическая относительная
погрешность каждого экземпляра средства
измерений данного типа на различных
участках шкалы может иметь различные
значения, но не должна превышать предельно
допустимой величины (δ ≤ ± b∙100%).
По заданному значению предельно
допустимой относительной погрешности
δ_max
для любой точки шкалы может быть
произведена оценка предельно-допустимой
абсолютной погрешности:

.

К числу средств
измерений с преобладающей мультипликативной
погрешностью относится большинство
многозначных мер, счетчики электрической
энергии, счетчики воды, расходомеры и
др. Следует отметить, что для реальных
средств измерений с преобладающей
мультипликативной погрешностью не
удается полностью устранить аддитивную
погрешность. По этой причине в технической
документации всегда указывается
наименьшее значение измеряемой величины,
для которого предел допускаемой основной
относительной погрешности ещё не
превышает заданного значения δ_max.
Ниже этого наименьшего значения
измеряемой величины погрешность
измерений не нормируется и является
неопределенной.

В) Нормирование
пределов допускаемой основной погрешности
для

средств измерений
с соизмеримой аддитивной и мультипликативной

погрешностью.

Если аддитивная
и мультипликативная составляющая
погрешности средства измерений соизмеримы
(3-й график на рис.2), то задание
предельно-допустимой погрешности одним
числом не представляется возможным. В
этом случае либо нормируется предел
допускаемой абсолютной основной
погрешности (указываются предельно-допустимые
значения a
и b),
либо (чаще всего) нормируется предел
допускаемой относительной основной
погрешности. В последнем случае численные
значения предельно-допустимых
относительных погрешностей в различных
точках шкалы оцениваются по формуле:

,

где X_max
– предел измерений;

X
— измеренное значение;

d
=

— значение приведенной к пределу измерений

аддитивной
составляющей основной погрешности;

с =
— значение результирующей относительной

основной
погрешности в точке, соответствующей
пределу

измерений.

Рассмотренным
выше способом (указанием численных
значений c
и d)
нормируются, в частности, предельно-допустимые
значения относительной основной
погрешности цифровых измерительных
приборов. В этом случае относительные
погрешности каждого экземпляра средств
измерений определенного типа не должны
превышать установленных для этого типа
средств измерений значений
предельно-допустимой погрешности:

.

При этом абсолютная
основная погрешность определяется по
формуле

.

Г)
Нормирование дополнительных погрешностей.

Наиболее часто
пределы допускаемых дополнительных
погрешностей указывают в технической
документации либо одним значением для
всей рабочей области величины, влияющей
на точность средства измерений (иногда
несколькими значениями для поддиапазонов
рабочей области влияющей величины),
либо отношением предела допускаемой
дополнительной погрешности к интервалу
значений влияющей величины. Пределы
допускаемых дополнительных погрешностей
указываются на каждой , влияющей на
точность средства измерений величине.
При этом, как правило, значения
дополнительных погрешностей устанавливают
в виде дольного или кратного значения
предела допускаемой основной погрешности.
Например, в документации может быть
указано, что при температуре окружающей
среды за пределами нормальной области
температур, предел допускаемой
дополнительной погрешности, возникающей
по этой причине, не должен превышать
0,2% на 10^о С.

Классы
точности средств измерений.

Исторически по
точности средства измерений подразделяют
на классы. Иногда их называют классами
точности, иногда классами допуска,
иногда просто классами.

Класс точности
средства измерений
– это его характеристика, отражающая
точностные возможности средств измерений
данного типа.

Допускается
буквенное или числовое обозначение
классов точности. Средствам измерений,
предназначенным для измерения двух и
более физических величин, допускается
присваивать различные классы точности
для каждой измеряемой величины. Средствам
измерений с двумя или более переключаемыми
диапазонами измерений также допускается
присваивать два или более класса
точности.

Если нормируется
предел допускаемой абсолютной основной
погрешности, или в различных поддиапазонах
измерений установлены разные значения
пределов допускаемой относительной
основной погрешности, то , как правило,
применяется буквенное обозначение
классов. Так, например платиновые
термометры сопротивления изготовляют
с классом допуска А
или классом
допуска В.
При этом для
класса А
установлен
предел допускаемой абсолютной основной
погрешности
,
а для классаВ
—
,
где– температура измеряемой среды.

Если для средств
измерений того или иного типа нормируется
одно значение предельно-допустимой
приведенной основной погрешности, или
одно значение предельно-допустимой
относительной основной погрешности,
или указываются значения c
и d,
то для обозначения классов точности
используются десятичные числа. В
соответствии с ГОСТом 8.401-80 для обозначения
классов точности допускается применение
следующих чисел:

1∙10ⁿ;
1,5∙10ⁿ;
2∙10ⁿ;
2,5∙10ⁿ;
4∙10ⁿ;
5∙10ⁿ;
6∙10ⁿ,
где n
= 0, -1, -2, и т.д.

Для средств
измерений с преобладающей аддитивной
погрешностью численное значение класса
точности выбирается из указанного ряда
равным предельно-допустимому значению
приведенной основной погрешности,
выраженной в процентах. Для средств
измерений с преобладающей мультипликативной
погрешностью численное значение класса
точности соответствует пределу
допускаемой относительной основной
погрешности также выраженной в процентах.
Для средств измерений с соизмеримыми
аддитивными и мультипликативными
погрешностями числа с
и d
также
выбираются из указанного выше ряда. При
этом класс точности средства измерений
обозначается двумя числами, разделенными
косой чертой, например, 0,05/0,02. В этом
случае с
= 0,05%; d
= 0,02%. Примеры
обозначений классов точности в
документации и на средствах измерений,
а также расчетные формулы для оценки
пределов допускаемой основной погрешности
приведены в Таблице 1.

Правила округления
и записи результата измерений.

Нормирование
пределов допускаемых погрешностей
средств измерений производится указанием
значения погрешностей с одной или двумя
значащими цифрами. По этой причине при
расчете значений погрешностей измерений
также должны быть оставлены только
первые одна или две значащие цифры. Для
округления используются следующие
правила:

1. Погрешность
   результата измерения указывается двумя
   значащими цифрами, если первая из них
   не более 2, и одной цифрой, если первая
   из них 3 и более.

2. Показание прибора
   округляется до того же десятичного
   разряда, которым заканчивается
   округленное значение абсолютной
   погрешности.

3. Округление
   производится в окончательном ответе,
   промежуточные вычисления выполняют с
   одной – двумя избыточными цифрами.

Пример 1:

— показание прибора
— 5,361 В;

— вычисленное
значение абсолютной погрешности — ±
0,264 В;

— округленное
значение абсолютной погрешности — ±
0,26 В;

— результат измерения
— (5,36 ± 0,26) В.

Таблица
1

Примеры обозначения
классов точности средств измерений и
расчетные

формулы для оценки
пределов допускаемой основной погрешности.

Пример 2:

— показание прибора
– 35,67 мА;

— вычисленное
значение абсолютной погрешности — ±
0,541 мА;

— округленное
значение абсолютной погрешности — ± 0,5
мА;

— результат измерений
– (35,7 ± 0,5) мА.

Пример 3:

— вычисленное
значение относительной погрешности –
± 1,268 %;

— округленное
значение относительной погрешности –
± 1,3 %.

Пример 4:

— вычисленное
значение относительной погрешности —
± 0,367 %;

— округленное
значение относительной погрешности —
± 0,4 %.

II.2.
Вопросы для самопроверки

1. Чем вызываются
   погрешности измерений?

2. Перечислите
   разновидности погрешностей, возникающих
   в процессе измерений?

3. Какая разница
   между абсолютной, относительной и
   приведенной погрешностями измерения
   и в чем смысл их введения?

4. Чем отличается
   основная погрешность измерения от
   дополнительной?

5. Чем отличается
   методическая погрешность измерения
   от инструментальной?

6. Чем отличается
   систематическая погрешность измерения
   от случайной?

7. Что понимается
   под аддитивной и мультипликативной
   оставляющими погрешности?

8. В каких случаях
   целесообразно использовать статистическую
   обработку результатов измерений?

9. Какие статистические
   характеристики обработки наиболее
   часто используются на практике?

10. Как оценивается
    неисключенная систематическая
    погрешность при статистической обработке
    результатов измерений?

11. Что характеризует
величина среднеквадратического
отклонения ?

12. В чем заключается
суть понятий «доверительной вероятности»
и «доверительного интервала», используемых
при статистической обработке результатов
измерений?

13. В чем заключается
разность понятий «погрешность измерения»
и

«погрешность
средства измерения»?