Как найти грань равностороннего треугольника - Avtoru.top

Равносторонний треугольник

Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	3
Schläfli символ	{3}
диаграмма Кокстера
Группа симметрии	D3
Площадь	3 4 a 2 { displaystyle { tfrac { sqrt {3}} {4}} a ^ {2} } $tfrac { sqrt {3}} {4} a ^ 2$
Внутренний угол (градусов )	60 °

В геометрии, равносторонний треугольник представляет собой треугольник в у которых все три стороны имеют одинаковую длину. В известной евклидовой геометрии равносторонний треугольник также равноугольный ; то есть все три внутренних угла также конгруэнтны друг другу и имеют угол 60 °. Это также правильный многоугольник, поэтому его также называют правильным треугольником .

Содержание

1 Принцип свойства
2 Характеристики
- 2.1 Стороны
- 2.2 Полупериметр
- 2.3 Углы
- 2.4 Площадь
- 2.5 Окружной радиус, внутренний и внешний радиус
- 2.6 Равные чевианы
- 2.7 Совпадающие центры треугольников
- 2.8 Шесть треугольников, образованных разделением по медианам
- 2.9 Точки на плоскости
3 Известные теоремы
4 Другие свойства
5 Геометрическое построение
6 Вывод формулы площади
- 6.1 Использование Теорема Пифагора
- 6.2 Использование тригонометрии
7 В культуре и обществе
8 См. Также
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Основные свойства

Равносторонний треугольник. Он имеет равные стороны (

a = b = c { displaystyle a = b = c}

), равные углы (

α = β = γ { displaystyle alpha = beta = gamma}

) и равные высоты (

ha = hb = hc { displaystyle h_ {a} = h_ {b} = h_ {c}}

${ displaystyle h_ {a} = h_ {b} = h_ {c}}$ ).

Обозначение общей длины стороны равностороннего треугольника как a { displaystyle a}, с помощью теоремы Пифагора мы можем определить, что:

Обозначив радиус описанной окружности R, мы можем определить с помощью тригонометрии, что:

Площадь треугольника равно A = 3 3 4 R 2 { displaystyle mathrm {A} = { frac {3 { sqrt {3}}} {4}} R ^ {2}} ${ displaystyle mathrm {A} = { frac {3 { sqrt {3}}} {4}} R ^ {2}}$

Многие из этих величин имеют простые отношения к высоте («h») каждой вершины с противоположной стороны:

В равностороннем треугольнике высота, биссектриса угла, серединный перпендикуляр и медиана каждой стороны совпадают.

Характеристики

Треугольник ABC со сторонами a, b, c, полупериметр s, площадь T, exradii ra, r b, r c (касательная к a, b, c соответственно), и где R и r — радиусы описанной окружности и вписанный в круг соответственно, является равносторонним тогда и только тогда, когда истинно любое из утверждений в следующих девяти категориях. Таким образом, эти свойства уникальны для равносторонних треугольников, и знание того, что любое из них истинно, прямо подразумевает, что у нас есть равносторонний треугольник.

Стороны

Полупериметр

Углы

Площадь

Окружной радиус, внутренний и внешний радиус

Равные чевианы

Три вида чевианов совпадают и равны для (и только для) равносторонних треугольников:

Три вида высоты имеют равную длину.
Три медианы имеют равную длину.
Три биссектрисы угла имеют равную длину.

Совпадающие центры треугольников

Каждый центр равностороннего треугольника совпадает с wi th его центроид, что подразумевает, что равносторонний треугольник является единственным треугольником без линии Эйлера, соединяющей некоторые из центров. Для некоторых пар центров треугольников их совпадения достаточно, чтобы треугольник был равносторонним. В частности:

Треугольник является равносторонним, если любые два из центра описанной окружности, центра, центроида или ортоцентра совпадают.
Это также является равносторонним, если его центр описанной окружности совпадает с точкой Нагеля или если его центр совпадает с его центром из девяти точек.

Шесть треугольников, образованных разделением медианами

Для В любом треугольнике три медианы делят треугольник на шесть меньших треугольников.

Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда любые три из меньших треугольников имеют одинаковый периметр или одинаковый радиус.
Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда центры окружности любых трех меньших треугольников имеют одинаковое расстояние от центроида.

Точки на плоскости

Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда для каждой точки P на плоскости имеются расстояния p, q и r до сторон треугольника и расстояния x, y и z в его вершины,

4 (p 2 + q 2 + r 2) ≥ x 2 + y 2 + z 2. { displaystyle 4 (p ^ {2} + q ^ {2} + r ^ {2}) geq x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}.}

Известные теоремы

Наглядное доказательство теоремы Вивиани

1.	Показаны ближайшие расстояния от точки P до сторон равностороннего треугольника ABC.
2.	Линии DE, FG и HI, параллельные AB, BC и CA, соответственно, определяют меньшие треугольники PHE, PFI и PDG.
3.	Поскольку эти треугольники равносторонние, их высоту можно повернуть вертикально.
4.	Поскольку PGCH представляет собой параллелограмм, треугольник PHE можно сдвинуть вверх, чтобы показать, что сумма высот равна высоте треугольника ABC.

Теорема Морли о трисекторах утверждает, что в любом треугольнике три точки пересечения смежных трисекторов угла образуют равносторонний треугольник.

Теорема Наполеона гласит, что если равносторонние треугольники построены на сторонах любого треугольника, либо все наружу, либо все внутрь, центры этих равносторонних треугольников сами образуют равносторонний треугольник.

Версия изопериметрического неравенства для треугольников гласит, что треугольник с наибольшей площадью среди всех треугольников с заданным периметром является равносторонним.

Теорема Вивиани утверждает, что для любой внутренней точки P в равностороннем треугольнике с расстояниями d, e и f от сторон и высотой h,

d + e + f = h, { displaystyle d + e + f = h,}

независимо от расположения P.

Теорема Помпейу утверждает, что если P — произвольная точка в плоскости равностороннего треугольника ABC, но не на его описанной окружности, то существует треугольник со сторонами длиной PA, PB и PC. То есть PA, PB и PC удовлетворяют неравенству треугольника , согласно которому сумма любых двух из них больше третьего. Если P находится на описанной окружности, то сумма двух меньших из них равна самому длинному, и треугольник выродился в линию, этот случай известен как теорема Ван Скутена.

Другие свойства

By неравенство Эйлера, равносторонний треугольник имеет наименьшее отношение R / r радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу любого треугольника: в частности, R / r = 2.

Треугольник с наибольшей площадью из всех этих вписанная в данный круг — равносторонняя; и треугольник наименьшей площади из всех описанных вокруг данного круга является равносторонним.

Отношение площади вписанной окружности к площади равностороннего треугольника, π 3 3 { displaystyle { frac { pi} {3 { sqrt {3}}}}} ${ frac { pi} {3 { sqrt {3}}}}$ , больше, чем у любого неравностороннего треугольника.

Отношение площади к квадрату периметр равностороннего треугольника, 1 12 3, { displaystyle { frac {1} {12 { sqrt {3}}}},} $frac {1} {12 sqrt {3}},$ больше, чем у любого другого треугольника.

Если сегмент разделяет равносторонний треугольник на две области с равным периметром и с областями A 1 и A 2, то

7 9 ≤ A 1 А 2 ≤ 9 7. { displaystyle { frac {7} {9}} leq { frac {A_ {1}} {A_ {2}}} leq { frac {9} {7}}.} $frac {7} {9} leq frac {A_1} {A_2} leq frac {9} {7}.$

Если треугольник помещается в комплексную плоскость с комплексными вершинами z 1, z 2 и z 3, затем для любого нереального кубический корень ω { displaystyle omega} omega из 1 треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда

z 1 + ω z 2 + ω 2 z 3 = 0. { displaystyle z_ { 1} + omega z_ {2} + omega ^ {2} z_ {3} = 0.} $z_ {1} + omega z_ {2} + omega ^ {2} z_ {3} = 0.$

Для точки P внутри равностороннего треугольника отношение суммы ее расстояний от вершин сумма расстояний от сторон больше или равна 2, равенство сохраняется, когда P является центроидом. Ни в каком другом треугольнике нет точки, для которой это отношение было бы равно 2. Это неравенство Эрдеша – Морделла ; более сильным вариантом этого является неравенство Барроу, которое заменяет перпендикулярные расстояния до сторон на расстояния от P до точек, где биссектрисы угла APB, ∠BPC и ∠ CPA пересекает стороны (A, B и C — вершины).

Для любой точки P на плоскости с расстояниями p, q и t от вершин A, B и C соответственно

3 (p 4 + q 4 + t 4 + a 4) = (р 2 + д 2 + т 2 + а 2) 2. { displaystyle displaystyle 3 (p ^ {4} + q ^ {4} + t ^ {4} + a ^ {4}) = (p ^ {2} + q ^ {2} + t ^ {2} + a ^ {2}) ^ {2}.} $displaystyle 3 (p ^ {4} + q ^ {4} + t ^ {4} + a ^ {4}) = (p ^ {2} + q ^ {2} + t ^ {2} + a ^ {2 }) ^ {2}.$

Для любой точки P на плоскости с расстояниями p, q и t от вершин

p 2 + q 2 + t 2 = 3 ( R 2 + L 2) { displaystyle displaystyle p ^ {2} + q ^ {2} + t ^ {2} = 3 (R ^ {2} + L ^ {2})} ${ displaystyle displaystyle p ^ {2} + q ^ {2} + t ^ {2} = 3 (R ^ {2} + L ^ {2})}$

п 4 + q 4 + t 4 = 3 [(R 2 + L 2) 2 + 2 R 2 L 2], { displaystyle displaystyle p ^ {4} + q ^ {4} + t ^ {4} = 3 [(R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {2} + 2R ^ {2} L ^ {2}],} ${ displaystyle displaystyle p ^ {4} + q ^ {4} + t ^ {4} = 3 [(R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {2} + 2R ^ {2} L ^ {2}],}$

где R — описанный радиус, а L — расстояние между точками P и центр тяжести равностороннего треугольника.

Для любой точки P вписанной окружности равностороннего треугольника с расстояниями p, q и t от вершин

4 (p 2 + q 2 + t 2) = 5 a 2 { displaystyle displaystyle 4 (p ^ {2} + q ^ {2} + t ^ {2}) = 5a ^ {2}} $displaystyle 4 (p ^ {2} + q ^ {2} + t ^ {2 }) = 5a ^ {2}$

16 (p 4 + q 4 + t 4) = 11 а 4. { displaystyle displaystyle 16 (p ^ {4} + q ^ {4} + t ^ {4}) = 11a ^ {4}.} $displaystyle 16 (p ^ {4} + q ^ {4} + t ^ {4}) = 11a ^ {4}.$

Для любой точки P на малой дуге BC описанной окружности с расстояния p, q и t от A, B и C соответственно,

p = q + t { displaystyle displaystyle p = q + t}

q 2 + qt + t 2 = а 2; { displaystyle displaystyle q ^ {2} + qt + t ^ {2} = a ^ {2};} $displaystyle q ^ {2} + qt + t ^ {2} = a ^ {2};$

кроме того, если точка D на стороне BC делит PA на сегменты PD и DA, причем DA имеет длину z и PD имеет длину y, тогда

z = t 2 + tq + q 2 t + q, { displaystyle z = { frac {t ^ {2} + tq + q ^ {2}} {t + q} },} $z = frac {t ^ {2} + tq + q ^ 2} {t + q},$

, что также равно t 3 — q 3 t 2 — q 2 { displaystyle { tfrac {t ^ {3} -q ^ {3}} {t ^ {2} -q ^ {2}}}} $tfrac {t ^ {3} -q ^ {3}} {t ^ {2} -q ^ {2 }}$ если t ≠ q; и

1 q + 1 t = 1 y, { displaystyle { frac {1} {q}} + { frac {1} {t}} = { frac {1} {y}},} ${ frac {1} {q}} + { frac {1} {t}} = { frac {1} {y}},$

, которое является оптическим уравнением .

Существует множество неравенств треугольника , которые выполняются с равенством тогда и только тогда, когда треугольник является равносторонним.

Равносторонний треугольник — это наиболее симметричный треугольник, имеющий 3 линии отражения и симметрию вращения порядка 3 относительно его центра. Его группа симметрии — это двугранная группа порядка 6 D3.

Равносторонние треугольники — единственные треугольники, у которых эллипс Штейнера является окружностью (в частности, это вписанная окружность).

Целочисленный равносторонний треугольник — единственный треугольник с целыми сторонами и тремя рациональными углами, измеренными в градусах.

Равносторонний треугольник — единственный остроугольный треугольник, который подобен своему ортогональному треугольнику (с вершинами в основании на высотах ) (семиугольный треугольник является единственным тупым треугольником).

Правильный тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольников.

Равносторонние треугольники встречаются во многих других геометрических конструкциях. Пересечение окружностей, центры которых находятся на расстоянии радиуса друг от друга, представляет собой пару равносторонних арок, в каждую из которых можно вписать равносторонний треугольник. Они образуют грани правильных и однородных многогранников. Три из пяти Платоновых тел состоят из равносторонних треугольников. В частности, правильный тетраэдр имеет четыре равносторонних треугольника для граней и может считаться трехмерным аналогом формы. Плоскость может быть выложена плиткой с использованием равносторонних треугольников, что дает треугольную мозаику.

Геометрическая конструкция

Построение равностороннего треугольника с циркулем и линейкой

Равносторонний треугольник легко построить с помощью линейка и циркуль, потому что 3 — это простое число Ферма. Нарисуйте прямую линию, поместите точку циркуля на один конец линии и проведите дугу от этой точки до другой точки отрезка. Повторите то же самое с другой стороной линии. Наконец, соедините точку, где две дуги пересекаются с каждым концом отрезка линии

Альтернативный метод — нарисовать круг с радиусом r, поместить точку циркуля на круг и нарисовать еще один круг с такой же радиус. Два круга пересекутся в двух точках. Равносторонний треугольник можно построить, взяв два центра окружностей и любую из точек пересечения.

В обоих методах побочным продуктом является образование vesica piscis.

Доказательство того, что полученная фигура представляет собой равносторонний треугольник, является первым предложением Книги I Элементов Евклида.

Вывод формулы площади

Формула площади A = 3 4 a 2 { displaystyle A = { frac { sqrt {3}} {4}} a ^ {2}} $A = frac { sqrt {3}} {4} a ^ 2$ с точки зрения длины стороны a может быть получено непосредственно с помощью теоремы Пифагора или с помощью тригонометрии.

Использование теоремы Пифагора

Площадь треугольника равна половине одной стороны, умноженной на высоту h с этой стороны:

A = 1 2 a h. { displaystyle A = { frac {1} {2}} ах.} $A = frac {1} {2} ах.$

Равносторонний треугольник со стороной 2 имеет высоту √3, так как синус 60 ° равно √3 / 2.

Катеты любого прямоугольного треугольника, образованного высотой равностороннего треугольника, составляют половину основания a, а гипотенуза — это сторона a равностороннего треугольника. Высоту равностороннего треугольника можно найти с помощью теоремы Пифагора

(a 2) 2 + h 2 = a 2 { displaystyle left ({ frac {a} {2}} right) ^ {2} + h ^ {2} = a ^ {2}} $left ( frac {a} {2} right) ^ 2 + h ^ 2 = a ^ 2$

, так что

h = 3 2 a. { displaystyle h = { frac { sqrt {3}} {2}} a.} $h = frac { sqrt { 3}} {2} a.$

Подстановка h в формулу площади (1/2) ah дает формулу площади равностороннего треугольника:

A = 3 4 а 2. { displaystyle A = { frac { sqrt {3}} {4}} a ^ {2}.} $A = frac { sqrt {3}} {4} a ^ 2.$

Используя тригонометрию

Используя тригонометрию, площадь треугольник с любыми двумя сторонами a и b, а угол C между ними равен

A = 1 2 ab sin ⁡ C. { displaystyle A = { frac {1} {2}} ab sin C.} $A = frac {1} {2} ab sin C.$

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60 °, поэтому

A = 1 2 a b sin ⁡ 60 ∘. { displaystyle A = { frac {1} {2}} ab sin 60 ^ { circ}.} $A = frac {1} {2} ab sin 60 ^ circ.$

Синус 60 ° равен 3 2 { displaystyle { tfrac { sqrt { 3}} {2}}} ${ tfrac { sqrt {3}} {2}}$ . Таким образом,

A = 1 2 ab × 3 2 = 3 4 ab = 3 4 a 2 { displaystyle A = { frac {1} {2}} ab times { frac { sqrt {3}} { 2}} = { frac { sqrt {3}} {4}} ab = { frac { sqrt {3}} {4}} a ^ {2}} $A = frac {1} {2} ab times frac { sqrt {3}} {2} = frac { sqrt {3}} { 4} ab = frac { sqrt {3}} {4} a ^ 2$

, поскольку все стороны равностороннего треугольника равны.

В культуре и обществе

Равносторонние треугольники часто появлялись в искусственных сооружениях:

Форма встречается в современной архитектуре, например, в поперечном сечении Арки ворот.
Его применение во флагах и геральдике включает флаг Никарагуа и флаг Филиппин.
Это форма различных дорожных знаков, включая знак уступки.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

v t Фундаментальный выпуклый правильный и равномерный многогранник в измерениях 2–10
An	Bn	I2(p) / Dn	E6 / E7 / E8 / F4 / G2	Hn
Треугольник	Квадрат	p- гон	Шестиугольник	Пентагон
Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
5-элементный	16 ячеек • Tesseract	Demitesseract	24-элементный	120-элементный • 600-элементный
5-симплексный	5-ортоплексный • 5-куб	5-полукуб
6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-полукуб	122 • 221
7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукуб	132 • 231 • 321
8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукуб	142 • 241 • 421
9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
n-симплекс	n-ортоплекс • n- куб	n-полукуб	1k2 • 2k1 • k21	n-пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Обычные многогранник • Список правильных многогранников и соединений

Источник

Как узнать равносторонний треугольник

Признаки равностороннего треугольника

Как определить, что треугольник — равносторонний? Это можно сделать, использовав либо определение, либо признаки равностороннего треугольника.

По определению, треугольник равносторонний, если все его стороны равны.

Признаки равностороннего треугольника

1) Если у треугольника все углы равны, то этот треугольник — равносторонний.

то треугольник ABC — равносторонний.

2) Если у треугольника совпадают проведённые к двум сторонам

— медиана и высота

— биссектриса и высота

— медиана и биссектриса,

то этот треугольник — равносторонний.

Если AK и BF (или AK и CD, или BF и CD)

— медианы и высоты

— или биссектрисы и высоты

— или медианы и биссектрисы,

то треугольник ABC — равносторонний.

3) Если у треугольника центр вписанной и описанной окружностей совпадают, то этот треугольник — равносторонний.

Если точка O для треугольника ABC —

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности;
R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Правильный треугольник — свойства, признаки и формулы

Общие сведения

Любое пространство можно описать размерностью. В трёхмерном измерении плоская геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков и такого же количества точек, в которых они соединяются, называется треугольником. Отрезки называют сторонами или боковыми гранями, площадь, ограниченная ими — внутренней, а точки — вершинами. Фигура имеет 3 угла и является невырожденной.

Строгого требования к обозначениям элементов многоугольника нет. Но традиционно вершины подписывают заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, а противолежащие им стороны — аналогичными строчными знаками. В качестве обозначений для углов используют греческие символы: α, β, γ. Например, если имеется треугольник ABC, у него будут углы A, B, C и стороны a, b, c. Боковые грани могут подписываться и как отрезки, тогда в их имени учитываются ограничивающие точки. Например, AB, BC, CA.

В зависимости от соотношения размеров сторон, все треугольники разделяют на 3 вида. Они бывают:

Равнобедренными — многоугольники, у которых одна сторона не равна двум другим. Эта грань называется основанием. Углы при этой стороне равны.
Разносторонние (неправильные) — длины всех граней разные.
Равносторонние — треугольники, имеющие одинаковые стороны. Часто эти фигуры называют правильными. По сути, они являются частным случаем равнобедренного многоугольника.

Существуют правила, позволяющие утверждать о равенстве или подобии двух и более треугольников. Они считаются идентичными, то есть их параметры полностью совпадают, если 2 стороны и угол равны или все грани имеют одинаковую длину. А также фигуры будут одинаковыми, когда у них совпадают 2 стороны и угол, располагающийся напротив большего отрезка.

Признаки подобия помогают определить вид треугольника при сравнении с известным. Если 2 любых угла равны в обеих фигурах, они считаются похожими. Когда же 2 стороны многоугольника пропорциональны двум отрезкам другого, причём углы, заключённые между этими гранями, равны, такие фигуры подобны.

Особые линии и точки

Медиана, высота и биссектриса — 3 замечательные линии любого треугольника. Представляют они собой внутренние отрезки, построенные из углов на противоположные стороны. Линия, соединяющая вершину с серединой противоположной грани, называется медианой. Луч, разделяющий угол на 2 равные части — это биссектриса, а перпендикуляр, построенный к стороне — высота.

В любом правильном треугольнике можно начертить 3 отрезка. Если отложить медиану, а потом биссектрису и высоту, можно заметить, что эти линии совпадут. Эта особенность и есть замечательным свойством равностороннего многоугольника, то есть если в любой другой трёхугольной фигуре можно построить 12 особых линий, то в рассматриваемом только 3.

Доказать это утверждение можно следующим образом: пусть имеется треугольник АВС, в котором проведена высота ВH. Далее, рассуждения нужно построить так:

Отрезок BH перпендикулярен прямой AC по построению.
Точка H разделяет отрезок AC на AD и CD. Если это утверждение будет верным, это означает, что построенная высота BH будет медианой треугольника.
Отрезок BH создаёт в многоугольнике 2 угла — ∠ABH и ∠CBH. При верности этого утверждения можно утверждать, что отрезок BH является биссектрисой.

Если создать зеркальное отражение треугольнику и совместить его с оригинальным, все углы попарно совместятся. Совпадут и стороны. Так как ВH — высота, она перпендикуляр. Значит, в точке H отрезок образует прямой угол с боковой гранью AC. Отсюда следует, что образованные треугольники AHB и CBH прямоугольные.

Они являются равными по общей гипотенузе и острому углу. Это следует из того, что правильный многоугольник — частный случай равнобедренного. Так как треугольники совпадают, у них одинаковые углы ABH и CBH. Причём они смежные, поэтому BH — биссектриса. В то же время точка H делит AC на 2 равных отрезка, значит, BH — медиана.

Точка, в которой пересекаются отрезки, будет центром тяжести фигуры. Её особенность в том, что она разделяет эту линию на 2 части в отношении 2 к 1, если считать от угла. Кроме этого, из-за равенства медианы и биссектрисы эта точка будет и ортоцентром.

Основные формулы

Для каждого треугольника существует набор формул, с помощью которых можно определить его элементы. Чаще всего приходится выяснять длины сторон, площадь, высоты и периметр. При этом если известны боковые грани, можно найти практически любые остальные параметры.

Вокруг правильной фигуры можно описать круг, причём окружность можно и вписать в середину. Что интересно, их центры совпадут между собой и с местом пересечения высот. В этом случае радиус внешнего круга равняется R = (a * √‎3) / 3 = a / 2 * sin (a), а внутреннего: r = (a * √‎3) / 6 = R / 2. Чтобы найти высоту, зная радиус, используют выражение: h = (3 *R) / 2. Кроме этой формулы, довольно часто применяют равенство, связывающее сторону и перпендикуляр: h = (a * √‎3) / 2.

Доказательство верности формулы для нахождения радиуса вписанной окружности можно построить исходя из выражения, справедливого к равнобедренной фигуре: r = b / 2 √(‎(2 a — b) / (2 a + b)). Так как стороны равны, то a = b. Получается, что r = a / 2 √‎(2a — a) / (2a + a) = (a / 2) * √‎(1 / 3) = a / (2 * √‎3) = (a √‎3) / 6.

Чтобы определить длину стороны, нужно знать высоту и теорему Пифагора. Согласно ей, квадрат гипотенузы находится как сумма квадратов высоты и длины разделённого основания. Применяя теорему к правильной фигуре, можно записать: AB 2 = h 2 + (AB / 2) 2 . Это равенство решают следующим образом: AB 2 = h 2 + AB 2 / 2 2 . Выражение можно преобразовать в вид: (3a 2 / 4) = h 2 → a 2 = (4 * h 2 ) / 3 → a 2 = √‎((4 * h 2 ) / 3) → a = (2 * h) / √3.

Из других существующих формул можно перечислить те, что чаще всего применяют при решении примеров:

Площадь. Находят из выражения: S = (a 2 * √3) / 4. Вывести эту формулу довольно просто. Если взять за основу, что равенство для площади верно, то исходя из свойств фигуры можно записать: S = ½ * a 2 * sin 60 = ½ * a 2 * √3 / 2 = (√3 / 4) * a 2 . Что и следовало доказать.
Периметр. Чтобы его определить, нужно сложить длины всех сторон, но так как в правильной фигуре они равны, можно воспользоваться формулой: P = 3 * a.

Существуют ещё 2 значимые теоремы: косинусов и синусов. Согласно первой, квадрат стороны фигуры будет ранятся удвоенному произведению двух оставшихся отрезков и косинусу угла между ними, отнятому из суммы квадратов: a 2 = b 2 + c 2 — 2 * b * c * cos (a). Согласно же второй, длины отрезков пропорциональны синусам углов, лежащих напротив: a / sin (a) = b / sin (b) = c / sinс.

Решение задач

Чтобы уметь решать различные задания, связанные с треугольником, нужно помнить всего несколько формул. Но понадобится знать, что углы в фигуре равны друг другу и составляют 60 градусов. Часто придётся применять и теорему Пифагора. Вот некоторые из типовых заданий, используемые при обучении школьников в седьмом классе:

Какой будет радиус вписанной в правильный треугольник окружности, если его высота равняется 9 см. Зная свойство фигуры, решить задачу можно за пару секунд. Так как радиус равен 1/3 высоты, ответом на задачу будет: r = h / 3 = 9 / 3 = 3 см.
Сторона равностороннего треугольника равняется корню из трёх. Определить диаметр описанной окружности. Известно, что отношение синуса к противолежащему углу составляет 2R. Следовательно: R = a / 2 * sin (a) = √‎3 * 2 / 2 * √‎3 = 1.
Вокруг треугольной фигуры со стороной 8 √‎3 описан круг. Узнать его радиус. Эта задача в 2 действия. Используя формулу для нахождения вписанного радиуса и определение r = R / 2 можно записать: R = 2 * a * √‎3 / 6 = 2 * 8 * √‎3 * √‎3 / 6 = 2 * 4 = 8.
Пусть имеется квадрат, вокруг которого описана окружность. В ней так же располагается правильный треугольник. Периметр треугольной фигуры равен 9 √‎ 6. Нужно вычислить сумму всех сторон квадрата. На первом шаге необходимо определить длину боковой грани треугольника. Найти её можно по формуле: a = 3 √‎6. Теперь возможно рассчитать радиус описанной окружности: a = R * √‎3. Выполнив подстановку, найти ответ несложно: R = 3 √‎6 / √‎3 = 3 * √‎2. На третьем шаге можно выяснить, чему равняется сторона четырёхугольника. В этом поможет равенство: 3 √‎2 = (n √‎2) / 2. Отсюда n = 6. Значит, периметр квадрата равняется: P = 4 * 6 = 24.

Проверить правильность решения, возможно, используя онлайн-калькуляторы. Это сервисы, которые предлагают бесплатно вычислить элементы правильной фигуры. При этом от пользователя требуется лишь внести в специальную форму исходные данные и нажать кнопку «Рассчитать».

Следует отметить, что выучить наизусть все формулы сложно, поэтому обычно используют логическое мышление и теоремы синусов-косинусов. Учитывая, что любой угол в равностороннем треугольнике равен 60 градусов практически любую формулу вывести можно самостоятельно.

Правильный треугольник — свойства, признаки и формулы

Общие сведения

В зависимости от соотношения размеров сторон, все треугольники разделяют на 3 вида. Они бывают:

Равнобедренными — многоугольники, у которых одна сторона не равна двум другим. Эта грань называется основанием. Углы при этой стороне равны.
Разносторонние (неправильные) — длины всех граней разные.
Равносторонние — треугольники, имеющие одинаковые стороны. Часто эти фигуры называют правильными. По сути, они являются частным случаем равнобедренного многоугольника.

Признаки подобия помогают определить вид треугольника при сравнении с известным. Если 2 любых угла равны в обеих фигурах, они считаются похожими. Когда же 2 стороны многоугольника пропорциональны двум отрезкам другого, причём углы, заключённые между этими гранями, равны, такие фигуры подобны.

Особые линии и точки

Отрезок BH перпендикулярен прямой AC по построению.
Точка H разделяет отрезок AC на AD и CD. Если это утверждение будет верным, это означает, что построенная высота BH будет медианой треугольника.
Отрезок BH создаёт в многоугольнике 2 угла — ∠ABH и ∠CBH. При верности этого утверждения можно утверждать, что отрезок BH является биссектрисой.

Точка, в которой пересекаются отрезки, будет центром тяжести фигуры. Её особенность в том, что она разделяет эту линию на 2 части в отношении 2 к 1, если считать от угла. Кроме этого, из-за равенства медианы и биссектрисы эта точка будет и ортоцентром.

Основные формулы

Из других существующих формул можно перечислить те, что чаще всего применяют при решении примеров:

Площадь. Находят из выражения: S = (a 2 * √3) / 4. Вывести эту формулу довольно просто. Если взять за основу, что равенство для площади верно, то исходя из свойств фигуры можно записать: S = ½ * a 2 * sin 60 = ½ * a 2 * √3 / 2 = (√3 / 4) * a 2 . Что и следовало доказать.
Периметр. Чтобы его определить, нужно сложить длины всех сторон, но так как в правильной фигуре они равны, можно воспользоваться формулой: P = 3 * a.

Решение задач

Какой будет радиус вписанной в правильный треугольник окружности, если его высота равняется 9 см. Зная свойство фигуры, решить задачу можно за пару секунд. Так как радиус равен 1/3 высоты, ответом на задачу будет: r = h / 3 = 9 / 3 = 3 см.
Сторона равностороннего треугольника равняется корню из трёх. Определить диаметр описанной окружности. Известно, что отношение синуса к противолежащему углу составляет 2R. Следовательно: R = a / 2 * sin (a) = √‎3 * 2 / 2 * √‎3 = 1.
Вокруг треугольной фигуры со стороной 8 √‎3 описан круг. Узнать его радиус. Эта задача в 2 действия. Используя формулу для нахождения вписанного радиуса и определение r = R / 2 можно записать: R = 2 * a * √‎3 / 6 = 2 * 8 * √‎3 * √‎3 / 6 = 2 * 4 = 8.
Пусть имеется квадрат, вокруг которого описана окружность. В ней так же располагается правильный треугольник. Периметр треугольной фигуры равен 9 √‎ 6. Нужно вычислить сумму всех сторон квадрата. На первом шаге необходимо определить длину боковой грани треугольника. Найти её можно по формуле: a = 3 √‎6. Теперь возможно рассчитать радиус описанной окружности: a = R * √‎3. Выполнив подстановку, найти ответ несложно: R = 3 √‎6 / √‎3 = 3 * √‎2. На третьем шаге можно выяснить, чему равняется сторона четырёхугольника. В этом поможет равенство: 3 √‎2 = (n √‎2) / 2. Отсюда n = 6. Значит, периметр квадрата равняется: P = 4 * 6 = 24.

Проверить правильность решения, возможно, используя онлайн-калькуляторы. Это сервисы, которые предлагают бесплатно вычислить элементы правильной фигуры. При этом от пользователя требуется лишь внести в специальную форму исходные данные и нажать кнопку «Рассчитать».

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна .

Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .

источники:

http://nauka.club/matematika/geometriya/pravilnyy-treugolnik.html

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/pravilnyj-treugolnik-i-ego-ploshhad/

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

Equilateral triangle

Type	Regular polygon
Edges and vertices	3
Schläfli symbol	{3}
Coxeter–Dynkin diagrams
Symmetry group	D₃
Area	$tfrac{sqrt{3}}{4} a^2$
Internal angle (degrees)	60°

In geometry, an equilateral triangle is a triangle in which all three sides have the same length. In the familiar Euclidean geometry, an equilateral triangle is also equiangular; that is, all three internal angles are also congruent to each other and are each 60°. It is also a regular polygon, so it is also referred to as a regular triangle.

Principal properties[edit]

An equilateral triangle. It has equal sides ( a=b=c ), equal angles (), and equal altitudes ( ${displaystyle h_{a}=h_{b}=h_{c}}$ ).

Denoting the common length of the sides of the equilateral triangle as , we can determine using the Pythagorean theorem that:

Denoting the radius of the circumscribed circle as R, we can determine using trigonometry that:

The area of the triangle is ${displaystyle mathrm {A} ={frac {3{sqrt {3}}}{4}}R^{2}}$

Many of these quantities have simple relationships to the altitude («h») of each vertex from the opposite side:

In an equilateral triangle, the altitudes, the angle bisectors, the perpendicular bisectors, and the medians to each side coincide.

Characterizations[edit]

A triangle ABC that has the sides , , , semiperimeter , area , exradii $r_{a}$ , ${displaystyle r_{b}}$ , ${displaystyle r_{c}}$ (tangent to , , respectively), and where and are the radii of the circumcircle and incircle respectively, is equilateral if and only if any one of the statements in the following nine categories is true. Thus these are properties that are unique to equilateral triangles, and knowing that any one of them is true directly implies that we have an equilateral triangle.

Sides[edit]

Semiperimeter[edit]

Angles[edit]

Area[edit]

Circumradius, inradius, and exradii[edit]

Equal cevians[edit]

Three kinds of cevians coincide, and are equal, for (and only for) equilateral triangles:^[7]

The three altitudes have equal lengths.
The three medians have equal lengths.
The three angle bisectors have equal lengths.

Coincident triangle centers[edit]

Every triangle center of an equilateral triangle coincides with its centroid, which implies that the equilateral triangle is the only triangle with no Euler line connecting some of the centers. For some pairs of triangle centers, the fact that they coincide is enough to ensure that the triangle is equilateral. In particular:

A triangle is equilateral if any two of the circumcenter, incenter, centroid, or orthocenter coincide.^[8]^: p.37
It is also equilateral if its circumcenter coincides with the Nagel point, or if its incenter coincides with its nine-point center.^[6]

Six triangles formed by partitioning by the medians[edit]

For any triangle, the three medians partition the triangle into six smaller triangles.

A triangle is equilateral if and only if any three of the smaller triangles have either the same perimeter or the same inradius.^[9]^{: Theorem 1}
A triangle is equilateral if and only if the circumcenters of any three of the smaller triangles have the same distance from the centroid.^[9]^{: Corollary 7}

Points in the plane[edit]

Notable theorems[edit]

Visual proof of Viviani’s theorem

Morley’s trisector theorem states that, in any triangle, the three points of intersection of the adjacent angle trisectors form an equilateral triangle.

Napoleon’s theorem states that, if equilateral triangles are constructed on the sides of any triangle, either all outward, or all inward, the centers of those equilateral triangles themselves form an equilateral triangle.

A version of the isoperimetric inequality for triangles states that the triangle of greatest area among all those with a given perimeter is equilateral.^[11]

Viviani’s theorem states that, for any interior point in an equilateral triangle with distances , , and from the sides and altitude ,

independent of the location of .^[12]

Pompeiu’s theorem states that, if is an arbitrary point in the plane of an equilateral triangle ABC but not on its circumcircle, then there exists a triangle with sides of lengths , , and . That is, , , and satisfy the triangle inequality that the sum of any two of them is greater than the third. If is on the circumcircle then the sum of the two smaller ones equals the longest and the triangle has degenerated into a line, this case is known as Van Schooten’s theorem.

Geometric construction[edit]

Construction of equilateral triangle with compass and straightedge

An equilateral triangle is easily constructed using a straightedge and compass, because 3 is a Fermat prime. Draw a straight line, and place the point of the compass on one end of the line, and swing an arc from that point to the other point of the line segment. Repeat with the other side of the line. Finally, connect the point where the two arcs intersect with each end of the line segment

An alternative method is to draw a circle with radius , place the point of the compass on the circle and draw another circle with the same radius. The two circles will intersect in two points. An equilateral triangle can be constructed by taking the two centers of the circles and either of the points of intersection.

In both methods a by-product is the formation of vesica piscis.

The proof that the resulting figure is an equilateral triangle is the first proposition in Book I of Euclid’s Elements.

Derivation of area formula[edit]

The area formula $A = frac{sqrt{3}}{4}a^2$ in terms of side length can be derived directly using the Pythagorean theorem or using trigonometry.

Using the Pythagorean theorem[edit]

The area of a triangle is half of one side times the height from that side:

${displaystyle A={frac {1}{2}}ah.}$

An equilateral triangle with a side of 2 has a height of √3, as the sine of 60° is √3/2.

The legs of either right triangle formed by an altitude of the equilateral triangle are half of the base , and the hypotenuse is the side of the equilateral triangle. The height of an equilateral triangle can be found using the Pythagorean theorem

${displaystyle left({frac {a}{2}}right)^{2}+h^{2}=a^{2}}$

so that

${displaystyle h={frac {sqrt {3}}{2}}a.}$

Substituting into the area formula ${displaystyle {frac {1}{2}}ah}$ gives the area formula for the equilateral triangle:

${displaystyle A={frac {sqrt {3}}{4}}a^{2}.}$

Using trigonometry[edit]

Using trigonometry, the area of a triangle with any two sides and , and an angle between them is

${displaystyle A={frac {1}{2}}absin C.}$

Each angle of an equilateral triangle is 60°, so

${displaystyle A={frac {1}{2}}absin 60^{circ }.}$

The sine of 60° is ${tfrac {sqrt {3}}{2}}$ . Thus

${displaystyle A={frac {1}{2}}abtimes {frac {sqrt {3}}{2}}={frac {sqrt {3}}{4}}ab={frac {sqrt {3}}{4}}a^{2}}$

since all sides of an equilateral triangle are equal.

Other properties[edit]

An equilateral triangle is the most symmetrical triangle, having 3 lines of reflection and rotational symmetry of order 3 about its center, whose symmetry group is the dihedral group of order 6, ${displaystyle mathrm {D} _{3}}$ . The integer-sided equilateral triangle is the only triangle with integer sides, and three rational angles as measured in degrees.^[13] It is the only acute triangle that is similar to its orthic triangle (with vertices at the feet of the altitudes),^[14]^{: p. 19} and the only triangle whose Steiner inellipse is a circle (specifically, the incircle). The triangle of largest area of all those inscribed in a given circle is equilateral, and the triangle of smallest area of all those circumscribed around a given circle is also equilateral.^[15] It is the only regular polygon aside from the square that can be inscribed inside any other regular polygon.

By Euler’s inequality, the equilateral triangle has the smallest ratio of the circumradius to the inradius of any triangle, with^[16]^: p.198

${displaystyle {frac {R}{r}}=2.}$

Given a point in the interior of an equilateral triangle, the ratio of the sum of its distances from the vertices to the sum of its distances from the sides is greater than or equal to 2, equality holding when is the centroid. In no other triangle is there a point for which this ratio is as small as 2.^[17] This is the Erdős–Mordell inequality; a stronger variant of it is Barrow’s inequality, which replaces the perpendicular distances to the sides with the distances from to the points where the angle bisectors of , , and cross the sides (, , and being the vertices). There are numerous other triangle inequalities that hold with equality if and only if the triangle is equilateral.

For any point in the plane, with distances , , and from the vertices , , and respectively,^[18]

${displaystyle 3left(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4}right)=left(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2}right)^{2}.}$

For any point in the plane, with distances , , and from the vertices,^[19]

${displaystyle p^{2}+q^{2}+t^{2}=3left(R^{2}+L^{2}right),}$

${displaystyle p^{4}+q^{4}+t^{4}=3left[left(R^{2}+L^{2}right)^{2}+2R^{2}L^{2}right],}$

where is the circumscribed radius and is the distance between point and the centroid of the equilateral triangle.

For any point on the inscribed circle of an equilateral triangle, with distances , , and from the vertices,^[20]

${displaystyle 4left(p^{2}+q^{2}+t^{2}right)=5a^{2},}$

${displaystyle 16left(p^{4}+q^{4}+t^{4}right)=11a^{4}.}$

For any point on the minor arc of the circumcircle, with distances , , and from , , and , respectively^[12]

${displaystyle q^{2}+qt+t^{2}=a^{2}.}$

Moreover, if point on side divides into segments and with having length and having length , then^[12]^: 172

${displaystyle z={frac {t^{2}+tq+q^{2}}{t+q}},}$

which also equals ${textstyle {tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}}$ if and

${displaystyle {frac {1}{q}}+{frac {1}{t}}={frac {1}{y}},}$

which is the optic equation.

For an equilateral triangle:

The ratio of its area to the area of the incircle, ${frac {pi }{3{sqrt {3}}}}$ , is the largest of any triangle.^[21]^{: Theorem 4.1}

The ratio of its area to the square of its perimeter, $frac{1}{12sqrt{3}},$ is larger than that of any non-equilateral triangle.^[11]

${displaystyle {frac {7}{9}}leq {frac {A_{1}}{A_{2}}}leq {frac {9}{7}}.}$

If a triangle is placed in the complex plane with complex vertices ${displaystyle z_{1}}$ , ${displaystyle z_{2}}$ , and ${displaystyle z_{3}}$ , then for either non-real cube root omega of 1 the triangle is equilateral if and only if^[22]^{: Lemma 2}

${displaystyle z_{1}+omega z_{2}+omega ^{2}z_{3}=0.}$

The equilateral triangle tiling fills the plane.

Notably, the equilateral triangle tiles two dimensional space with six triangles meeting at a vertex, whose dual tessellation is the hexagonal tiling. 3.12², 3.4.6.4, (3.6)², 3².4.3.4, and 3⁴.6 are all semi-regular tessellations constructed with equilateral triangles.^[23]

A regular tetrahedron is made of four equilateral triangles.

In three dimensions, equilateral triangles form faces of regular and uniform polyhedra. Three of the five Platonic solids are composed of equilateral triangles: the tetrahedron, octahedron and icosahedron.^[24]^: p.238 In particular, the tetrahedron, which has four equilateral triangles for faces, can be considered the three-dimensional analogue of the triangle. All Platonic solids can inscribe tetrahedra, as well as be inscribed inside tetrahedra. Equilateral triangles also form uniform antiprisms as well as uniform star antiprisms in three-dimensional space. For antiprisms, two (non-mirrored) parallel copies of regular polygons are connected by alternating bands of equilateral triangles.^[25] Specifically for star antiprisms, there are prograde and retrograde (crossed) solutions that join mirrored and non-mirrored parallel star polygons.^[26]^[27] The Platonic octahedron is also a triangular antiprism, which is the first true member of the infinite family of antiprisms (the tetrahedron, as a digonal antiprism, is sometimes considered the first).^[24]^: p.240

As a generalization, the equilateral triangle belongs to the infinite family of -simplexes, with n=2 .^[28]

In culture and society[edit]

Equilateral triangles have frequently appeared in man made constructions:

The shape occurs in modern architecture such as the cross-section of the Gateway Arch.^[29]
Its applications in flags and heraldry includes the flag of Nicaragua^[30] and the flag of the Philippines.^[31]
It is a shape of a variety of road signs, including the yield sign.^[32]

References[edit]

^ Bencze, Mihály; Wu, Hui-Hua; Wu, Shan-He (2008). «An equivalent form of fundamental triangle inequality and its applications» (PDF). Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. 10 (1): 1–6 (Article No. 16). ISSN 1443-5756. MR 2491926. S2CID 115305257. Zbl 1163.26316.
^ Dospinescu, G.; Lascu, M.; Pohoata, C.; Letiva, M. (2008). «An elementary proof of Blundon’s inequality» (PDF). Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. 9 (4): 1-3 (Paper No. 100). ISSN 1443-5756. S2CID 123965364. Zbl 1162.51305.
^ Blundon, W. J. (1963). «On Certain Polynomials Associated with the Triangle». Mathematics Magazine. Taylor & Francis. 36 (4): 247–248. doi:10.2307/2687913. JSTOR 2687913. S2CID 124726536. Zbl 0116.12902.
^ ^a ^b Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009). When less is more. Visualizing basic inequalities. Dolciani Mathematical Expositions. Vol. 36. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. pp. 71, 155. doi:10.5948/upo9781614442028. ISBN 978-0-88385-342-9. MR 2498836. OCLC 775429168. S2CID 117769827. Zbl 1163.00008.
^ ^a ^b Pohoata, Cosmin (2010). «A new proof of Euler’s inradius — circumradius inequality» (PDF). Gazeta Matematica Seria B (3): 121–123. S2CID 124244932.
^ ^a ^b ^c Andreescu, Titu; Andrica, Dorian (2006). Complex Numbers from A to…Z (1st ed.). Boston, MA: Birkhäuser. pp. 70, 113–115. doi:10.1007/0-8176-4449-0. ISBN 978-0-8176-4449-9. OCLC 871539199. S2CID 118951675.
^ Owen, Byer; Felix, Lazebnik; Deirdre, Smeltzer (2010). Methods for Euclidean Geometry. Classroom Resource Materials. Vol. 37. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. pp. 36, 39. doi:10.5860/choice.48-3331. ISBN 9780883857632. OCLC 501976971. S2CID 118179744.
^ Yiu, Paul (1998). «Notes on Euclidean Geometry» (PDF). Florida Atlantic University, Department of Mathematical Sciences (Course Notes).
^ ^a ^b Cerin, Zvonko (2004). «The vertex-midpoint-centroid triangles» (PDF). Forum Geometricorum. 4: 97–109.
^ ^a ^b «Inequalities proposed in «Crux Mathematicorum»» (PDF).
^ ^a ^b Chakerian, G. D. «A Distorted View of Geometry.» Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
^ ^a ^b ^c Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1996). Challenging Problems in Geometry. Dover Publ.
^ Conway, J. H., and Guy, R. K., «The only rational triangle», in The Book of Numbers, 1996, Springer-Verlag, pp. 201 and 228–239.
^ Leon Bankoff and Jack Garfunkel, «The heptagonal triangle», Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19,
^ Dörrie, Heinrich (1965). 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover Publ. pp. 379–380.
^ Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012). «Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities» (PDF). Forum Geometricorum. 12: 197–209.
^ Lee, Hojoo (2001). «Another proof of the Erdős–Mordell Theorem» (PDF). Forum Geometricorum. 1: 7–8.
^ Gardner, Martin, «Elegant Triangles», in the book Mathematical Circus, 1979, p. 65.
^ Meskhishvili, Mamuka (2021). «Cyclic Averages of Regular Polygonal Distances» (PDF). International Journal of Geometry. 10: 58–65.
^ De, Prithwijit (2008). «Curious properties of the circumcircle and incircle of an equilateral triangle» (PDF). Mathematical Spectrum. 41 (1): 32–35.
^ Minda, D.; Phelps, S. (2008). «Triangles, ellipses, and cubic polynomials». American Mathematical Monthly. 115 (October): 679–689. doi:10.1080/00029890.2008.11920581. JSTOR 27642581. S2CID 15049234.
^ Dao, Thanh Oai (2015). «Equilateral triangles and Kiepert perspectors in complex numbers» (PDF). Forum Geometricorum. 15: 105–114.
^ Grünbaum, Branko; Shepard, Geoffrey (November 1977). «Tilings by Regular Polygons» (PDF). Mathematics Magazine. Taylor & Francis, Ltd. 50 (5): 231–234. doi:10.2307/2689529. JSTOR 2689529. MR 1567647. S2CID 123776612. Zbl 0385.51006.
^ ^a ^b Johnson, Norman W. (2018). Geometries and Transformations (1st ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pp. xv, 1–438. doi:10.1017/9781316216477. ISBN 978-1107103405. S2CID 125948074. Zbl 1396.51001.
^ Cromwell, Peter T. (1997). «Chapter 2: The Archimedian solids». Polyhedra (1st ed.). New York: Cambridge University Press. p. 85. ISBN 978-0521664059. MR 1458063. OCLC 41212721. Zbl 0888.52012.
^ Klitzing, Richard. «n-antiprism with winding number d». Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org (Anton Sherwood). Retrieved 2023-03-09.
^ Webb, Robert. «Stella Polyhedral Glossary». Stella. Retrieved 2023-03-09.
^ H. S. M. Coxeter (1948). Regular Polytopes (1 ed.). London: Methuen & Co. LTD. pp. 120–121. OCLC 4766401. Zbl 0031.06502.
^ Pelkonen, Eeva-Liisa; Albrecht, Donald, eds. (2006). Eero Saarinen: Shaping the Future. Yale University Press. pp. 160, 224, 226. ISBN 978-0972488129.
^ White, Steven F.; Calderón, Esthela (2008). Culture and Customs of Nicaragua. Greenwood Press. p. 3. ISBN 978-0313339943.
^ Guillermo, Artemio R. (2012). Historical Dictionary of the Philippines. Scarecrow Press. p. 161. ISBN 978-0810872462.
^ Riley, Michael W.; Cochran, David J.; Ballard, John L. (December 1982). «An Investigation of Preferred Shapes for Warning Labels». Human Factors: The Journal of the Human Factors and Ergonomics Society. 24 (6): 737–742. doi:10.1177/001872088202400610. S2CID 109362577.

External links[edit]

Weisstein, Eric W. «Equilateral Triangle». MathWorld.

v t e Fundamental convex regular and uniform polytopes in dimensions 2–10
Family	A_n	B_n	I₂(p) / D_n	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H_n
Regular polygon	Triangle	Square	p-gon	Hexagon	Pentagon
Uniform polyhedron	Tetrahedron	Octahedron • Cube	Demicube		Dodecahedron • Icosahedron
Uniform polychoron	Pentachoron	16-cell • Tesseract	Demitesseract	24-cell	120-cell • 600-cell
Uniform 5-polytope	5-simplex	5-orthoplex • 5-cube	5-demicube
Uniform 6-polytope	6-simplex	6-orthoplex • 6-cube	6-demicube	1₂₂ • 2₂₁
Uniform 7-polytope	7-simplex	7-orthoplex • 7-cube	7-demicube	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
Uniform 8-polytope	8-simplex	8-orthoplex • 8-cube	8-demicube	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
Uniform 9-polytope	9-simplex	9-orthoplex • 9-cube	9-demicube
Uniform 10-polytope	10-simplex	10-orthoplex • 10-cube	10-demicube
Uniform n-polytope	n-simplex	n-orthoplex • n-cube	n-demicube	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-pentagonal polytope
Topics: Polytope families • Regular polytope • List of regular polytopes and compounds

Источник

Общие сведения

В зависимости от соотношения размеров сторон, все треугольники разделяют на 3 вида. Они бывают:

Равнобедренными — многоугольники, у которых одна сторона не равна двум другим. Эта грань называется основанием. Углы при этой стороне равны.
Разносторонние (неправильные) — длины всех граней разные.
Равносторонние — треугольники, имеющие одинаковые стороны. Часто эти фигуры называют правильными. По сути, они являются частным случаем равнобедренного многоугольника.

Признаки подобия помогают определить вид треугольника при сравнении с известным. Если 2 любых угла равны в обеих фигурах, они считаются похожими. Когда же 2 стороны многоугольника пропорциональны двум отрезкам другого, причём углы, заключённые между этими гранями, равны, такие фигуры подобны.

Особые линии и точки

Отрезок BH перпендикулярен прямой AC по построению.
Точка H разделяет отрезок AC на AD и CD. Если это утверждение будет верным, это означает, что построенная высота BH будет медианой треугольника.
Отрезок BH создаёт в многоугольнике 2 угла — ∠ABH и ∠CBH. При верности этого утверждения можно утверждать, что отрезок BH является биссектрисой.

Точка, в которой пересекаются отрезки, будет центром тяжести фигуры. Её особенность в том, что она разделяет эту линию на 2 части в отношении 2 к 1, если считать от угла. Кроме этого, из-за равенства медианы и биссектрисы эта точка будет и ортоцентром.

Основные формулы

Чтобы определить длину стороны, нужно знать высоту и теорему Пифагора. Согласно ей, квадрат гипотенузы находится как сумма квадратов высоты и длины разделённого основания. Применяя теорему к правильной фигуре, можно записать: AB² = h² + (AB / 2)². Это равенство решают следующим образом: AB² = h² + AB² / 2². Выражение можно преобразовать в вид: (3a² / 4) = h ² → a ² = (4 * h²) / 3 → a ² = √‎((4 * h²) / 3) → a = (2 * h) / √3.

Из других существующих формул можно перечислить те, что чаще всего применяют при решении примеров:

Площадь. Находят из выражения: S = (a ² * √3) / 4. Вывести эту формулу довольно просто. Если взять за основу, что равенство для площади верно, то исходя из свойств фигуры можно записать: S = ½ * a² * sin 60 = ½ * a² * √3 / 2 = (√3 / 4) * a². Что и следовало доказать.
Периметр. Чтобы его определить, нужно сложить длины всех сторон, но так как в правильной фигуре они равны, можно воспользоваться формулой: P = 3 * a.

Существуют ещё 2 значимые теоремы: косинусов и синусов. Согласно первой, квадрат стороны фигуры будет ранятся удвоенному произведению двух оставшихся отрезков и косинусу угла между ними, отнятому из суммы квадратов: a² = b² + c²— 2 * b * c * cos (a). Согласно же второй, длины отрезков пропорциональны синусам углов, лежащих напротив: a / sin (a) = b / sin (b) = c / sinс.

Решение задач

Какой будет радиус вписанной в правильный треугольник окружности, если его высота равняется 9 см. Зная свойство фигуры, решить задачу можно за пару секунд. Так как радиус равен 1/3 высоты, ответом на задачу будет: r = h / 3 = 9 / 3 = 3 см.
Сторона равностороннего треугольника равняется корню из трёх. Определить диаметр описанной окружности. Известно, что отношение синуса к противолежащему углу составляет 2R. Следовательно: R = a / 2 * sin (a) = √‎3 * 2 / 2 * √‎3 = 1.
Вокруг треугольной фигуры со стороной 8 √‎3 описан круг. Узнать его радиус. Эта задача в 2 действия. Используя формулу для нахождения вписанного радиуса и определение r = R / 2 можно записать: R = 2 * a * √‎3 / 6 = 2 * 8 * √‎3 * √‎3 / 6 = 2 * 4 = 8.
Пусть имеется квадрат, вокруг которого описана окружность. В ней так же располагается правильный треугольник. Периметр треугольной фигуры равен 9 √‎ 6. Нужно вычислить сумму всех сторон квадрата. На первом шаге необходимо определить длину боковой грани треугольника. Найти её можно по формуле: a = 3 √‎6. Теперь возможно рассчитать радиус описанной окружности: a = R * √‎3. Выполнив подстановку, найти ответ несложно: R = 3 √‎6 / √‎3 = 3 * √‎2. На третьем шаге можно выяснить, чему равняется сторона четырёхугольника. В этом поможет равенство: 3 √‎2 = (n √‎2) / 2. Отсюда n = 6. Значит, периметр квадрата равняется: P = 4 * 6 = 24.

Проверить правильность решения, возможно, используя онлайн-калькуляторы. Это сервисы, которые предлагают бесплатно вычислить элементы правильной фигуры. При этом от пользователя требуется лишь внести в специальную форму исходные данные и нажать кнопку «Рассчитать».

Источник

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник (понятие, определение)

Свойства равностороннего треугольника

Признаки равностороннего треугольника

Формулы равностороннего треугольника

Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник

Равносторонний треугольник (понятие, определение):

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник называется также правильным или равноугольным треугольником.

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Рис. 1. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = АС – стороны треугольника, ∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника

Свойства равностороннего треугольника:

1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.

2. В равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.

3. В равностороннем треугольнике каждая медиана, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к каждой стороне, является медианой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и медианой, и они равны между собой.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

АK = BF = CD

4. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника. Она же является центром вписанной и описанной окружностей.

Рис. 3. Равносторонний треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

5. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.

6. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, если считать от вершин.

Рис. 4. Равносторонний треугольник

AO : OK = BO : OА = CO : OD = 2 : 1

Признаки равностороннего треугольника:

– если в треугольнике три угла равны, то он равносторонний;

– если в треугольнике три стороны равны, то он равносторонний.

Формулы равностороннего треугольника:

Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).

Рис. 6. Равносторонний треугольник

Формула радиуса вписанной окружности (r):

Формула радиуса описанной окружности (R):

Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:

Формулы площади (S) равностороннего треугольника:

Формулы высоты (h), медианы (m) и биссектрисы (l) треугольника:

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Коэффициент востребованности
21 593

Источник

Содержание

Основные свойства

Характеристики

Стороны

Полупериметр

Углы

Площадь

Окружной радиус, внутренний и внешний радиус

Равные чевианы

Совпадающие центры треугольников

Шесть треугольников, образованных разделением медианами

Точки на плоскости

Известные теоремы

Другие свойства

Геометрическая конструкция

Вывод формулы площади

Использование теоремы Пифагора

Используя тригонометрию

В культуре и обществе

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Как узнать равносторонний треугольник

Признаки равностороннего треугольника

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

Определение равностороннего треугольника

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

Свойство 2

Свойство 3

Свойство 4

Свойство 5

Свойство 6

Пример задачи

Правильный треугольник — свойства, признаки и формулы

Общие сведения

Особые линии и точки

Основные формулы

Решение задач

Правильный треугольник — свойства, признаки и формулы

Общие сведения

Особые линии и точки

Основные формулы

Решение задач

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Principal properties[edit]

Characterizations[edit]

Sides[edit]

Semiperimeter[edit]

Angles[edit]

Area[edit]

Circumradius, inradius, and exradii[edit]

Equal cevians[edit]

Coincident triangle centers[edit]

Six triangles formed by partitioning by the medians[edit]

Points in the plane[edit]

Notable theorems[edit]

Geometric construction[edit]

Derivation of area formula[edit]

Using the Pythagorean theorem[edit]

Using trigonometry[edit]

Other properties[edit]

In culture and society[edit]

See also[edit]

References[edit]

External links[edit]

Общие сведения

Особые линии и точки

Основные формулы

Решение задач

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.

Равносторонний треугольник (понятие, определение):

Свойства равностороннего треугольника:

Признаки равностороннего треугольника:

Формулы равностороннего треугольника:

Не пропустите также: