Как найти градус угла равностороннего треугольника

Углы равностороннего треугольника

Чему равны углы равностороннего треугольника?

(свойство углов равностороннего треугольника)

Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.

Аналогично, так как AC=BC, ∠A=∠B.

Отсюда следует, что в равностороннем треугольнике все углы равны между собой: ∠A=∠B=∠C

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то ∠A=∠B=∠C=180º:3=60º, то есть каждый угол равностороннего треугольника равен 60º.

Что и требовалось доказать .

Тот факт, что все углы равностороннего треугольника равны между собой, можно рассмотреть также как следствие из теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника. В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол, напротив меньшей стороны — меньший угол. Так как все три стороны правильного треугольника равны, то и все углы тоже равны.

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

• R – радиус описанной окружности;
• r – радиус вписанной окружности;
• R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

1. Три стороны треугольника.
2. Две стороны треугольника и угол между ними.
3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

(1)

(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

.

.

Далее, из формулы

.

.

(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

,

Из формулы (3) найдем cosA:

.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Информация по назначению калькулятора

Треугольник — это одна из основных геометрических фигур: многоугольник с тремя углами (или вершинами) и тремя сторонами (или ребрами), которые являются прямыми отрезками.

В евклидовой геометрии любые три неколлинеарные точки определяют треугольник и единственную плоскость, то есть двумерное декартово пространство.

Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда превышает длину третьей стороны. Это и есть неравенство треугольника.

Треугольники могут быть классифицированы в соответствии с относительной длиной их сторон:

⇒ В равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину. Равносторонний треугольник также является равноугольным многоугольником, т.е. все его внутренние углы равны, а именно 60° — это правильный многоугольник.

⇒ В равнобедренном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину. Равнобедренный треугольник также имеет два совпадающих угла (а именно, углы, противоположные совпадающим сторонам). Равносторонний треугольник — это равнобедренный треугольник, но не все равнобедренные треугольники являются равносторонними треугольниками.

⇒ В скалярном треугольнике все стороны имеют разную длину. Внутренние углы в скалярном треугольнике все разные.

Треугольники также могут быть классифицированы в соответствии с их внутренними углами:

⇒ Прямоугольный треугольник имеет один внутренний угол 90° (прямой угол). Сторона, противоположная прямому углу, является гипотенузой; это самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике. Две другие стороны — катеты треугольника.

⇒ Тупой треугольник имеет один внутренний угол, больший 90° (тупой угол).

⇒ Острый треугольник имеет внутренние углы, которые все меньше 90° (три острых угла). Равносторонний треугольник — это острый треугольник, но не все острые треугольники являются равносторонними треугольниками.

⇒ Наклонный треугольник имеет только углы, которые меньше или больше 90°. Следовательно, это любой треугольник, который не является прямоугольным треугольником.

Онлайн калькулятор поможет найти параметры треугольника, такие как:

• Длины сторон

— равны в равностороннем треугольнике

• Углы

— также равны в равностороннем треугольнике

• Высота

— это прямая линия, проходящая через вершину и перпендикулярная противоположной стороне (т. е. образующая прямой угол с ней)

• Периметр

— равен сумме всех 3х сторон (P=AB+BC+AC)

• Площадь

— равна половине произведения высоты и стороны к которой построена высота (S=1/2 * H * AC)

• Медианы
• Биссектрисы
• Радиус Вписанной и Описанной окружностей
• Диаметр Вписанной и Описанной окружностей
• Длина Вписанной и Описанной окружностей
• Площадь Вписанной и Описанной окружностей

Все знают, что из себя представляет такая геометрическая фигура, как треугольник.

Соответственно надо знать несколько правил.

1) У фигуры 3 угла.

2) У равностороннего треугольника — все стороны равны.

3) Также у него равны и углы.

4) Сумма всех углов ЛЮБОГО треугольника 180 градусов.

Значит мы 180 делим на 3 и получаем 60.

Каждый угол такого треугольника равен 60 градусов.

Что такое равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике все углы равны аксиома.

На странице виды треугольников, мы упоминали о таком виде треугольников, как равносторонний треугольник.

Что из себя представляет равносторонний треугольник!?

Из самого названия видно, что все стороны данного треугольника равны:

Равносторонний треугольник называют еще правильным.

Какой первый интересный вопрос у вас возникает при виде равностороннего треугольника!?

Сколько градусов составляет угол в равностороннем треугольнике!?

Нет!? Не угадал… жаль…
смайлы

Но тем не менее, раз уж вопрос задан, то узнать сколько градусов составляет угол разностороннего треугольника :

180° разделить на 3…

180°/3 = 60°

Поскольку у нас треугольник равносторонний. то все углы у такого треугольника будут равны…

Равносторонний треугольник максимальный угол

Поисковый запрос -> «равносторонний треугольник максимальный угол» — не может быть максимальный, минимальный угол в равностороннем треугольнике — потому, что угол в равностороннем треугольнике всегда один!
60°

Высота равностороннего треугольника

Формула высоты равностороннего треугольника, если сторону выразить через символ «a», то формула звучит так :

Высота равностороннего треугольника равна , корень из 3 деленное на 2 и умножить на сторону равностороннего квадрата.

Высота равностороннего треугольника формула через сторону

Доказательство :

Докажем что высота равностороннего треугольника равна — корню из 3, умноженное на сторону и деленное на 2.

Если мы опустим высоту из верхнего угла, то это будет биссектрисой, которая в данном случае не только разделит угол пополам, но и сторону противолежащую…

И если верхний угол будет поделен на 2, то он будет равен :

60 / 2 = 30

И если мы прибавим 30 и например оставшийся справа 60, то получим 60 + 30 = 90.

И далее мы можем получить угол между высотой «h» и стороной «a».

180 — 90 = 90

И мы получим прямоугольный треугольник, в котором все стороны обозначены…

…и отсюда мы уже можем вывести по теореме пифагора
c² = a² + b²

a² = a²2² + h² = a²4 + h²

Обе стороны умножим на 4, чтобы избавиться от 4 в дроби :

4a² = a² + 4h²

высоту оставляем одну слева и получаем:

4a² — a² = 4h² -> 4h² = 4a² — a² -> 4h² = 3a² -> h² = 3a²/4

И осталось извлечь квадратный корень из правой стороны…

h = √3a²/4
И далее получаем

Площадь равностороннего треугольника

Какая формула для площади равностороннего треугольника!?

Она звучит так:

Доказательство :

Доказательство очень простое !

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник

Или вам может встретиться вторая формула вписанной окружности в равносторонний треугольник :

Почему встречаются две формулы радиуса вписанной окружности!?

Потому, что они выводятся разными путями, хоть они и не похожи — но это одинаковые значения.

Сможете доказать самостоятельно выше озвученный тезис?

Доказательство первой формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Соотношение радиуса вписанной и описанной окружностей 1 : 2(на момент написания данной страницу мы еще это не прошли на сайте)

Отсюда мы получаем, что :

r =13 * h

Подставляем ранее выведенную высоту

r =13 * √32a =
√36a

Доказательство второй формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Не будем здесь доказывать, что два треугольника «ABM» и «AOK» подобные и отличаются в своих размерах и других показателях на коэффициент «Х».

Из этого мы можем создать зависимость:

r : а2 =
а2 : h

Как вы знаете, что при делении подобные выражения ведут себя не так, как при умножении(скоро и про это напишем), поэтому заменим деление на умножение:

r * 2а =
а2 * 1h

Теперь мы можем избавиться в левой стороне от дроби 2/а, умножив две стороны на а/2 :

r = а2 * а2 * 1h

В последней дроби заменяем «h» на наши значение из пункта 2 и поскольку получается опять деление, меняем знак и переворачиваем дробь( см.: деление дробей)

r = а2 * а2 * 1h =
а2 * а2 * 2√3 * а

Парами сокращаем а и 2
r =
а2 * а2 * 2√3 * а

И в итоге получаем :

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

С описанной окружностью доказывается аналогично, лишь с той разницей, что радиус больше в два раза:

Или :

Задача : Вписанный квадрат в равносторонний треугольник.

Докажите, что вписанный квадрат в равносторонний треугольник делит одним углом, сторону треугольника пополам или не делит.

Решение задачи :

Мы знаем, что в равностороннем треугольнике все углы равны 60 :

180°/3 = 60°

Угол вписанного квадрата не делит сторону равностороннего треугольника пополам!

Периметр равностороннего треугольника формула

Напишите «формулу периметра равностороннего треугольника»:

Обозначается периметр буквой P

Сторону обозначим через — а

Формула периметра равностороннего треугольника

P = 3a

Конечно, можно еще представить данную формулу таким образом:

P = a + a + a

Но такого написания, я никогда не встречал.

Задача: найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.

Условие задачи :

Известна сторона «CB» вписанного квадрата, требуется найти высоту равностороннего треугольника «AM».

В пункте №6 и подпункте 4, мы вывели, что :

Сторона «AB» равна стороне квадрата «BC» и стороне «BE»

Поэтому, высота «AN» маленького треугольника будет равна :

И далее мы уже можем вывести высоту треугольника :

Задача: найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

Условие задачи :

Известна площадь равностороннего треугольника «S», требуется узнать его сторону «а».

Я уже вывел площадь равностороннего треугольника в этом пункте, там же было доказательство!

Нам понадобится данная формула для решения выше озвученной задачи!

Нам всего-то навсего нужно выразить сторону «а» через «S»

S = √3 4*a²

Умножаем обе стороны на

4√3

Справа, в выражении дробь сократится, а слева появится данная дробь в перевернутом виде:

S* 4√3 = a²

Далее, чтобы получить сторону через площадь, нам нужно извлечь корень :

Преобразуем :

Преобразуем еще раз:

Ответ задачи : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

Сторона равностороннего треугольника равна корню из площади умноженное на 2, и деленное на корень 4 степени из 3.

Задача: если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний

Повстречал вот такой поисковый запрос :

«если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний«

Данную формулировку можно перефразировать и будет выглядеть совсем по другому:

Докажите, что радиус вписанной окружности равностороннего треугольника больше в два раза, радиуса описанной окружности

Вообще… эта одна из самых простых задач!

А почему, вы узнаете дальше.

Для доказательства данного утверждения нам понадобится :

Как вы наверное знаете, что при делении одной дроби н вторую существует правило, по которому вторую дробь нужно перевернуть и знак будет умножить…
После этого, смотрим, что можно сократить

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника больше в два раза, радиуса описанной окружности