Как найти фокусы эллипса по его уравнению - Avtoru.top

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

называются фокусами.

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат — каноническое уравнение эллипса:

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

Получаем фокусы эллипса:

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

где и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

Получаем уравнение директрис эллипса:

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнение эллипса готово:

Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

так как из исходного уравнения эллипса .

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Как найти координаты фокусов эллипса

Понятие о кривых второго порядка

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

называются фокусами.

называется эксцентриситетом эллипса.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат — каноническое уравнение эллипса:

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

Получаем фокусы эллипса:

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

где и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнение эллипса готово:

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

так как из исходного уравнения эллипса .

1. Окружность. 2Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной фиксированной точки, называемой центром окружности. Расстояние от произвольной точки окружности до его центра называется радиусом окружности.

g Если центр окружности находится в точке , а радиус равен R, то уравнение окружности имеет вид:

. (3.13)

4Обозначим через (рис. 3.5) произвольную точку окружности. Используя формулу расстояния между двумя токами (3.1) и определение окружности, получим: . Возводя полученное равенство в квадрат, мы получим формулу (3.13).3

2. Эллипс. 2 Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Для того, чтобы вывести каноническое (простейшее) уравнение эллипса, примем за ось Ox прямую, соединяющую фокусы F₁ и F₂. Пусть при этом фокусы будут симметричны относительно начала координат, т.е. будут иметь координаты: и . Здесь через 2с обозначено расстояние между фокусами. Обозначим через x и y координаты произвольной точки М эллипса (рис 3.6). Тогда по определению эллипса, сумма расстояний от точки М до точек F₁ и F₂ равно константе (обозначим эту константу через 2а).

. (3.14)

Уравнение (3.14) является уравнением эллипса. Упростим данное уравнение, избавившись от квадратных корней. Для этого перенесем один из радикалов в правую часть равенства (3.14) и возведем обе части полученного равенства в квадрат:

Возводя последнее равенство в квадрат, получим

, или

Разделим обе части на :

Так как сумма расстояний от произвольной точки эллипса до его фокусов больше расстояния между фокусами, т.е. 2а > 2c, то .

Обозначим через b 2 . Тогда простейшее (каноническое) уравнение эллипса будет иметь вид:

, (3.15)

. (3.16)

Оси координат являются осями симметрии эллипса, заданного уравнением (3.15). Действительно, если точка с текущими координатами (x; y) принадлежит эллипсу, то и точки при любом сочетании знаков принадлежат эллипсу.

2Ось симметрии эллипса, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса. Подставляя x = 0 или y = 0 в уравнение эллипса найдем координаты вершин:

2Отрезки А₁А₂ и B₁B₂, соединяющие противоположные вершины эллипса, а также их длины 2a и 2b, называют соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b, называют соответственно большой и малой полуосями эллипса.

2Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами (2с) к большой оси (2a), т.е.

. (3.17)

Так как а и с положительны, причем c

2Отрезок 2a, длина которого равна расстоянию между вершинами гиперболы, называют действительной осью гиперболы. Отрезок 2b называют мнимой осью гиперболы. Числа a и b, называют соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Можно доказать, что прямые линии

(3.23)

являются асимптотами гиперболы, т.е. такими прямыми, к которым неограниченно приближаются точки гиперболы при их неограниченном удалении от начала координат ( ).

2Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами (2с) к действительной оси (2a), т.е., как и в случае эллипса

. (3.24)

Однако в отличии от эллипса эксцентриситет гиперболы больше единицы.

Если фокусы гиперболы расположены на оси Oy, то в левой части уравнения гиперболы изменятся знаки на противоположные:

. (3.25)

В этом случае полуось b будет действительной, а полуось a – мнимой. Ветви гиперболы будут симметричны относительно оси Oy (рис 3.9). Формулы (3.22) и (3.23) не изменятся, формула (3.24) будет выглядеть следующим образом:

. (3.26)

4. Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что фокус не лежит на директрисе).

Для того, чтобы составить простейшее уравнение параболы примем за ось Ox прямую, проходящую через ее фокус перпендикулярно директрисе, и направленную от директрисы к фокусу. За начало координат примем середину отрезка O от фокуса F до точки А пересечения оси Ox с директрисой. Длина отрезка AF обозначается через p и называется параметром параболы.

В данной системе координат координаты точек А и F будут, соответственно, , . Уравнение директрисы параболы будет . Обозначим через (x; y) координаты произвольной точки М параболы (рис. 3.10). Тогда по определению параболы:

. (3.27)

Возведем обе части равенства (3.27) в квадрат:

, или

, откуда

. (3.28)

Уравнение (3.28) называется каноническим уравнением параболы.

Каноническими являются так же следующие уравнения параболы.

. (3.29)

Ветви параболы, заданной уравнением (3.29), направлены влево, фокус имеет координаты , уравнение директрисы .

. (3.30)

Ветви параболы, заданной уравнением (3.30), направлены вверх, фокус имеет координаты , уравнение директрисы .

. (3.31)

Ветви параболы, заданной уравнением (3.31), направлены вниз, фокус имеет координаты , уравнение директрисы .

Задача 3.3. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса:

Решение. В каноническом виде уравнение эллипса выглядит следующим образом: Из этого уравнения видно, что большая полуось эллипса равна а малая полуось равна Расстояние от центра эллипса до его фокусов, находим из формулы (3.16): Таким образом, фокусы эллипса имеют координаты:

Эксцентриситет эллипса найдем по формуле (3.17):

Задача 3.4. Асимптоты гиперболы имеют уравнения и расстояние между фокусами равно 10. Составить каноническое уравнение гиперболы.

Решение. Из условия задачи следует, что

Подставляя в равенство (3.22) с = 5 и a = 2b, мы получим уравнение, из которого найдем b:

b 2 = 25 – 4b 2 , 5b 2 = 25, b 2 = 5, . Следовательно, a = 2b = .

Подставляя a 2 = 20 и b 2 = 5 в уравнение (3.21), получим искомое уравнение гиперболы:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент — человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10572 — | 7332 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Эллипс – геометрическое место точек M(x;y), сумма расстояний которых до двух данных точек F₁F₂ имеет одно и то же значение 2a:

точки F₁ и F₂ – называются фокусами эллипса;

расстояние F₁F₂ – фокусное расстояние и равно F₁F₂=2с;

a — большая полуось;

b — малая полуось;

c — фокальный радиус, то есть полу расстояние между фокусами;

p — фокальный параметр;

R_min – минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе;

R_max — максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе;

где

Длина малой оси эллипса 134 м. Длина большой оси равна 140 м. Найти коэффициент сжатия k и сжатие α этого эллипса

Постройте кривую 4x 2 +9y 2 =36. Найдите фокусы, фокальный параметр и эксцентриситет.

Делим обе части на 36 и получаем каноническое уравнение эллипса

a=3, b=2

c 2 =a 2 -b 2 =3 2 -2 2 =9-4=5

Отсюда находим Фокусы F₁(-2,2;0) F₂(2,2;0)

Фокальный параметр находим следующим образом

Эксцентриситет эллипса

Пример 3
Постройте кривую . Найдите фокусы и эксцентриситет.

Решение
Уравнение запишем в виде

a=1, b=5
Это уравнение не является каноническим уравнением эллипса, так как b>a, а должно быть b c 2 =a 2 − b 2 =5 2 −1 2 =25 − 1=24

Следовательно, фокусы в системе координат (x’;y’) имеют координаты (-4,9;0) и (4,9;0), а в системе (x;y) координаты

Эксцентриситет эллипса равен

Эллипс

Определение эллипса.

Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac>>+frac>>=1label
$$
при условии (a geq b > 0).

Из уравнения eqref следует, что для всех точек эллипса (|x| leq a) и (|y| leq b). Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами (2a) и (2b).

Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты ((a, 0)), ((-a, 0)), ((0, b)) и ((0, -b)), называются вершинами эллипса. Числа (a) и (b) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Рис. 8.1. Эллипс

В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты ((x, y)) какой-либо точки /(M) ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты ((-x, y)), ((x, -y)) и ((-x, -y)) точек (M_<1>), (M_<2>) и (M_<3>) (рис. 8.1). Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы — его центром симметрии.

Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса (a) с центром в центре эллипса: (x^<2>+y^<2>=a^<2>). При каждом (x) таком, что (|x| Рис. 8.2. Сжатие окружности к эллипсу. Ординаты всех точек уменьшаются в отношении (b/a).

Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

У эллипса есть две замечательные точки, которые называются его фокусами.

Фокусами называются точки (F_<1>) и (F_<2>) с координатами ((c, 0)) и ((-c, 0)) в канонической системе координат (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Фокусы эллипса.

Для окружности (c=0), и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью.

Отметим, что (varepsilon Утверждение 2.

Расстояние от произвольной точки (M(x, y)), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (рис. 8.3) является линейной функцией от ее абсциссы (x):
$$
r_<1>=|F_<1>M|=a-varepsilon x, r_<2>=|F_<2>M|=a+varepsilon x.label
$$

Очевидно, что (r_<1>^<2>=(x-c)^<2>+y^<2>). Подставим сюда выражение для (y^<2>), найденное из уравнения эллипса. Мы получим
$$
r_<1>^<2>=x^<2>-2cx+c^<2>+b^<2>-fracx^<2>>>.nonumber
$$

Учитывая равенство eqref, это можно преобразовать к виду
$$
r_<1>^<2>=a^<2>-2cx+fracx^<2>>>=(a-varepsilon x)^<2>.nonumber
$$
Так как (x leq a) и (varepsilon Утверждение 3.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса (2a).

Необходимость. Если мы сложим равенства eqref почленно, то увидим, что
$$
r_<1>+r_<2>=2a.label
$$
Достаточность. Пусть для точки (M(x, y)) выполнено условие eqref, то есть
$$
sqrt<(x-c)^<2>+y^<2>>=2a-sqrt<(x+c)^<2>+y^<2>>.nonumber
$$
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
$$
xc+a^<2>=asqrt<(x+c)^<2>+y^<2>>.label
$$
Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение eqref. Мы придем к (b^<2>x^<2>+a^<2>y^<2>=a^<2>b^<2>), равносильному уравнению эллипса eqref.

Рис. 8.4. Фокусы и директрисы эллипса.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса (varepsilon).

Уравнение касательной к эллипсу.

Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть (M_<0>(x_<0>, y_<0>)) — точка на эллипсе и (y_ <0>neq 0). Через (M_<0>) проходит график некоторой функции (y=f(x)), который целиком лежит на эллипсе. (Для (y_ <0>> 0) это график (f_<1>(x)=bsqrt<1-x^<2>/a^<2>>), для (y_ <0>Утверждение 5.

Касательная к эллипсу в точке (M_<0>(x_<0>, y_<0>)) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Рис. 8.5.

источники:

http://hd01.ru/info/kak-najti-koordinaty-fokusov-jellipsa/

http://univerlib.com/analytic_geometry/second_order_lines_and_surfaces/ellipse/

Источник

Определение эллипса.

Начать изучение
Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

Начать изучение
Уравнение касательной к эллипсу.

Начать изучение

Определение эллипса.

Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^{2}}=1label{ref1}
$$
при условии (a geq b > 0).

Из уравнения eqref{ref1} следует, что для всех точек эллипса (|x| leq a) и (|y| leq b). Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами (2a) и (2b).

Рис. 8.1. Эллипс

В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты ((x, y)) какой-либо точки /(M) ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты ((-x, y)), ((x, -y)) и ((-x, -y)) точек (M_{1}), (M_{2}) и (M_{3}) (рис. 8.1). Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1.

Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса (a) с центром в центре эллипса: (x^{2}+y^{2}=a^{2}). При каждом (x) таком, что (|x| < a), найдутся две точки эллипса с ординатами (pm b sqrt{1-x^{2}/a^{2}}) и две точки окружности с ординатами (pm a sqrt{1-x^{2}/a^{2}}). Пусть точке эллипса соответствует точка окружности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно (b/a). Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении (b/a) (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Сжатие окружности к эллипсу. Ординаты всех точек уменьшаются в отношении (b/a).

Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

У эллипса есть две замечательные точки, которые называются его фокусами.

Определение.

Пусть по определению
$$
c^{2}=a^{2}-b^{2}label{ref2}
$$
и (c geq 0).

Фокусами называются точки (F_{1}) и (F_{2}) с координатами ((c, 0)) и ((-c, 0)) в канонической системе координат (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Фокусы эллипса.

Определение.

Отношение
$$
varepsilon=frac{c}{a}label{ref3}
$$
называется эксцентриситетом эллипса.

Отметим, что (varepsilon < 1).

Утверждение 2.

Расстояние от произвольной точки (M(x, y)), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (рис. 8.3) является линейной функцией от ее абсциссы (x):
$$
r_{1}=|F_{1}M|=a-varepsilon x, r_{2}=|F_{2}M|=a+varepsilon x.label{ref4}
$$

Доказательство.

Очевидно, что (r_{1}^{2}=(x-c)^{2}+y^{2}). Подставим сюда выражение для (y^{2}), найденное из уравнения эллипса. Мы получим
$$
r_{1}^{2}=x^{2}-2cx+c^{2}+b^{2}-frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}.nonumber
$$

Учитывая равенство eqref{ref2}, это можно преобразовать к виду
$$
r_{1}^{2}=a^{2}-2cx+frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}=(a-varepsilon x)^{2}.nonumber
$$
Так как (x leq a) и (varepsilon < 1), отсюда следует, что справедливо первое из равенств eqref{ref4}: (r_{1}=a-varepsilon x). Второе равенство доказывается аналогично.

Утверждение 3.

Доказательство.

Необходимость. Если мы сложим равенства eqref{ref4} почленно, то увидим, что
$$
r_{1}+r_{2}=2a.label{ref5}
$$
Достаточность. Пусть для точки (M(x, y)) выполнено условие eqref{ref5}, то есть
$$
sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}.nonumber
$$
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
$$
xc+a^{2}=asqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}.label{ref6}
$$
Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение eqref{ref2}. Мы придем к (b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}), равносильному уравнению эллипса eqref{ref1}.

С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе координат (рис. 8.4)
$$
x=frac{a}{varepsilon},\ x=-frac{a}{varepsilon}.label{ref7}
$$
Директрису и фокус, которые лежат по одну сторону от центра, будем считать соответствующими друг другу.

Рис. 8.4. Фокусы и директрисы эллипса.

Утверждение 4.

Доказательство.

Докажем это предложение для фокуса (F_{2}(-c, 0)). Пусть (M(x, y)) — произвольная точка эллипса. Расстояние от (M) до директрисы с уравнением (x=-a/varepsilon) по формуле (9) §3 гл. II равно
$$
d_{2}=|x+frac{a}{varepsilon}|=frac{1}{varepsilon}(varepsilon x+a).nonumber
$$
Из формулы eqref{ref4} мы видим теперь, что (r_{2}/d_{2}=varepsilon).

Обратно, пусть для какой-то точки плоскости (r_{2}/d_{2}=varepsilon), то есть
$$
sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=varepsilon left(x+frac{a}{varepsilon}right).nonumber
$$
Так как (varepsilon=c/a), это равенство легко приводится к виду eqref{ref6}, из которого, как мы знаем, следует уравнение эллипса.

Уравнение касательной к эллипсу.

Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть (M_{0}(x_{0}, y_{0})) — точка на эллипсе и (y_{0} neq 0). Через (M_{0}) проходит график некоторой функции (y=f(x)), который целиком лежит на эллипсе. (Для (y_{0} > 0) это график (f_{1}(x)=bsqrt{1-x^{2}/a^{2}}), для (y_{0} < 0) — график (f_{2}(x)=-bsqrt{1-x^{2}/a^{2}}). Не уточняя знака (y_{0}), обозначим подходящую функцию (f(x)).) Для нее выполнено тождество
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{(f(x))^{2}}{b^{2}}=1.nonumber
$$
Дифференцируем его по (x):
$$
frac{2x}{a^{2}}+frac{2ff’}{b^{2}}=0.nonumber
$$
Подставляя (x=x_{0}) и (f(x_{0}=y_{0})), находим производную от (f) в точке (x_{0}), равную угловому коэффициенту касательной:
$$
f'(x_{0})=frac{b^{2}}{a^{2}} frac{x_{0}}{y_{0}}.nonumber
$$
Теперь мы можем написать уравнение касательной:
$$
y-y_{0}=-frac{b^{2}}{a^{2}} frac{x_{0}}{y_{0}}(x-x_{0}).nonumber
$$
Упрощая это уравнение, учтем, что (b^{2}x_{0}^{2}+a^{2}y_{0}^{2}=a^{2}b^{2}), так как (M_{0}) лежит на эллипсе. Результату можно придать вид
$$
frac{xx_{0}}{a^{2}}+frac{yy_{0}}{b^{2}}=1.label{ref8}
$$

При выводе уравнения eqref{ref8} мы исключили вершины эллипса ((a, 0)) и ((-a, 0)), положив (y_{0} neq 0). Для этих точек оно превращается, соответственно, в уравнения (x=a) и (x=-a). Эти уравнения определяют касательные в вершинах. Проверить это можно, заметив, что в вершинах ж как функция от у достигает экстремума. Предоставим читателю проделать это подробно и показать тем самым, что уравнение eqref{ref8} определяет касательную для любой точки (M_{0}(x_{0}, y_{0})) на эллипсе.

Утверждение 5.

Касательная к эллипсу в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Доказательство.

Нам надо сравнить углы (varphi_{1}) и (varphi_{2}), составленные векторами (overrightarrow{F_{1}M_{0}}) и (overrightarrow{F_{2}M_{0}}) с вектором (boldsymbol{n}), перпендикулярным касательной (рис. 8.5). Из уравнения eqref{ref8} находим, что (boldsymbol{n}(x_{0}/a^{2}, y_{0}/b^{2})), и потому
$$
(overrightarrow{F_{1}M_{0}}, boldsymbol{n})=frac{x_{0}}{a^{2}}(x_{0}-c)+frac{y_{0}}{b^{2}}y_{0}=1-frac{x_{0}c}{a^{2}}=frac{a-varepsilon x_{0}}{a}.nonumber
$$
Используя eqref{ref4}, мы получаем отсюда, что (cos varphi_{1}=1/(a|boldsymbol{n}|)). Аналогично находим (cos varphi_{2}=1/(a|boldsymbol{n}|)). Утверждение доказано.

Рис. 8.5.

Источник

Эллипсом называют плоскую кривую, состоящую из точек, сумма расстояний которых от двух определённых точек плоскости является неизменной, строго заданной величиной, равной суммарной длине двух больших его полуосей (2a). Эти две точки называются фокусами эллипса.

F₁ и F₂ – фокусы эллипса;

а – большая полуось;

b – малая полуось

с – фокусное расстояние

Теорема

Фокусное расстояние эллипса и его полуоси связаны между собой соотношением [boldsymbol{a^{2}=b^{2}+c^{2}}]

Доказательство:

Когда точка M на линии эллипса находится на его пересечении с вертикальной осью, из теоремы Пифагора выходит, что

r₁ + r₂ = 2*√(b² + c²)

Когда точка M пересекает горизонтальную ось

r₁ + r₂ = а – c + а + c

По определению эллипса r₁ + r ₂= const

Это позволяет после приравнивания получить

a² = b² + c²

r₁ + r₂ = 2а

Что и требовалось доказать.

Уравнение эллипса

Каноническим уравнением эллипса называют уравнение [boldsymbol{1=left(x^{2} / a^{2}right)+left(y^{2} / b^{2}right)}]

Доказательство уравнения:

Введём прямоугольную декартову систему координат.

Сначала докажем, что координаты любой из точек на эллипсе удовлетворяют приведённому каноническому уравнению. Затем покажем, что любое из решений уравнения является координатами точки, лежащей на линии эллипса. Из этого будет следовать удовлетворение каноническому уравнению только тех точек, которые лежат на поверхности эллипса. Опираясь на этот факт и на определение эллипса можно будет однозначно сделать вывод, что написанное нами уравнением является каноническим уравнением или, как ещё говорят, основной формулой эллипса.

Пусть М(х, у) будет точкой эллипса, т.е. сумму её фокальных радиусов примем равной 2а, т. е. r₁ + r₂ = 2a.
С помощью формулы расстояния, разделяющего две точки на координатной плоскости, можно легко найти фокальные радиусы точки M.
r₁ = √[(x + c)² + y²]
r₂ = √[(x — c)² + y²]

Из этих уравнений получаем √[(x + c)² + y²] + √[(x — c)² + y²] = 2a

Если один из корней перенести в правую часть и возвести всё в квадрат, то придём к выражению
(x + c)² + y² = 4a² – 4a√[(x — c)² + y²] + (x – c)² + y²

После сокращения приходим к 2xc = 4a² – 4a√[(x-c)² + y²] – 2xc
После приведения подобных членов, сокращения на 4 и уединения радикала будем иметь
a√[(x-c)² + y²] = a² – xc

Возведём это выражение в квадрат
a²(x-c)² + a² y2 = a⁴ – 2a²xc + x²c²

Если раскрыть скобки и сократить на -2a² xc, то a²x² + a²c² + a²y² = a⁴ + x²c²
Отсюда легко получить (a² – c²)x² + a²y² = a²(a² – c²)
Из этого следует, что b²x² +a²y² = a²b²
Пусть некоторые числа (x, y) полностью удовлетворяют каноническому уравнению
1 = (x²/a²) + (y²/b²)
Пусть нам дана точка M(x,y) на координатной плоскости 0xy
Из канонического уравнения следует, что Y² = b²(1- x²/a²)
Если это равенство подставить в выражение для фокальных радиусов, которые имеет точка M, то можно получить
r₁ = √[(x + c)² +y²] = √[x²+2xc + c² +b²– b²x²/a²] = √[x²(1 – b²/a²) + 2xc +c² +b²] =
= √[x²(a² – b²)/a² + 2xc + (c² + b²)] = √[x²(c²/a²) + 2xc +a²] = √[x(c/a) +a]² = |a +xε|
т. е. r₁= |a +xε|
Отношение 2с/2a = c/a = ε называется эксцентриситетом эллипса. Оно у него всегда меньше 1.
То же самое просчитываем для r_2.
Т. к. x²/a² больше или равно 1 или x больше или равно большой полуоси (a), то можно сделать вывод о справедливости неравенства a≥|x|> |x|* ε = |xε|
Отсюда явно следует, что a+-|xε|>0 или a+-xε > 0 и r₁= a + xε, r₂ = a — xε
Из полученных равенств выходит, что r₁ + r₂ = 2a, это значит, что точка M однозначно является точкой эллипса. Это нам и нужно было доказать.

Свойства эллипса

У эллипса имеются две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Доказательство:
Переменные x и y в уравнение эллипса входят лишь во второй степени. Это означает, что если точка M с координатами (x,y) ему принадлежит, то и точки М₁(-x, y) и M₂ (x, -y) тоже принадлежат ему. Легко проверить, что указанные координаты удовлетворяют каноническому уравнению эллипса. M₁ симметрична по отношению к оси X, а M₂по отношению к оси Y. Получается, что у эллипса есть две взаимно перпендикулярные точки симметрии.
У эллипса есть центр симметрии.

Доказательство:
Если координаты точки М(x,y) будут удовлетворять уравнению эллипса, то и точка
N (–x; –y) ему тоже будет удовлетворять. M и N симметричны по отношению к началу координат. Это как раз и означает, что у эллипса имеется центр симметрии.
Эллипс пересекает каждую из осей в двух точках.

Доказательство:
Возьмём произвольную точку эллипса M(x,y). Расстояние этой точки до фокусов будет
r₁ = √[(x + c)² + y²]
r₂ = √[(x — c)² + y²]

Теперь давайте рассмотрим выражение

(x+-c)² + y² = x²+- 2xc + c²+ y² =
= x²+- 2xc + a² – b²+y² = x²+- 2xc+ a²— b² + b²(1-x²/a²) =
= (a² – b²)*x²/a² +-2xc +a² = c²*x²/a²+-2xa(c/a) + a² = (a +c*x/a)²

Эксцентриситет эллипса, как сказано ранее, меньше 1. Т. к. |x|≤ a, то a – εx > 0. Поэтому
F₁M = a + εx и F₂M = a – εx. Напомним, что ε – это эксцентриситет эллипса.

А теперь несколько свойств эллипса без доказательств.

Эллипс можно получить, сжав окружность.
Если через эллипс проходят две прямые, то отрезок, концами которого являются середины отрезков созданных при пересечении прямых, обязательно пересекает середину, центр эллипса.
Угол, созданный касательной к эллипсу и его радиусом, проходящем через фокусы указанной геометрической фигуры, в любых случаях пересекает середину эллипса.
Уравнение касательной к эллипсу в точке М, имеющей координаты x_M и y_M
1 = (x*x_M)/a² + (y*y_M)/b²
Эволюта эллипса представляет собой астероиду, растянутую вдоль его малой оси.
Угол между касательной к эллипсу и одним его фокальным радиусом (r₁) имеет ту же величину, что и угол, разделяющий касательную и другой фокальный радиус (r₂) фигуры.

Как построить эллипс

Расскажем, как построить эллипс по его большой и малой полуосям и с помощью циркуля.

Построение эллипса по его большой и малой осям

Считается самым простым, не требующим серьёзных навыков.

Проведите две перпендикулярные оси;

От места пересечения осей на вертикальной отложите верх и вниз отрезки. Они будут составлять малую ось эллипса. На горизонтальной отложите отрезки вправо и влево. Из них будет состоять большая ось;

Проведите две концентрические окружности. Одну диаметром AB, диаметром CD;

Проведите ещё диаметры в различных направлениях;

В местах, где лучи соприкасаются с окружностями, проведите линии параллельные малой и большой осям эллипса, пока они не пересекутся в точках, которые принадлежат эллипсу;

Соедините полученные точки плавной линией.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Как построить эллипс с помощью циркуля

Во многом здесь всё аналогично предыдущему способу, поэтому перегружать текст иллюстрациями не будем.

Порядок действий следующий:

Проведите две перпендикулярные линии. Они будут осями эллипса, а точка их пересечения центром геометрической фигуры;
Определитесь с величиной большой и малой полуосей, если их значения не заданы в условии задачи;
Установите раствор циркуля на длину большой полуоси (a). Поместите циркуль в точку O и отметьте на одной из линий две точки, P₁и P₂. Установите раствор циркуля на длину малой полуоси. Опять поместите его в точку O и отметьте на другой из линий ещё две точки, обозначьте их как Q₁ и Q₂. Отрезки P₁P₂ и Q₁Q₂ будут большой и малой полуосями будущего эллипса;
Установите раствор циркуля на величину a. Поместите циркуль в точке Q₁или Q₂. После этого обозначьте циркулем на отрезке P₁P₂точки F_{1 и}F₂. Это будут фокусы фигуры.
Отметьте на P₁P₂любую точку и обозначьте её T. Поставьте в этой точке циркуль и измерьте этим инструментом расстояние до P₁. Затем начертите окружность данного радиуса из фокуса F₁. После этого нужно сделать ещё одну окружность с радиусом величиной с расстояние от T до P₂, но уже с центром из F₂;
Отметьте точки, в которых пересекаются обе окружности. Повторяйте процедуру, описанную в предыдущем пункте с новыми точками, отмечаемыми на отрезке P₁P₂;
Соедините точки пересечения окружностей сплошной линией, когда построите их достаточное количество. Так у вас получится построить фигуру эллипс с помощью циркуля.

Примеры решения задач

Задача 1

Эллипс задан уравнением 16x² + 25y² = 400. Требуется найти большую и малую полуоси эллипса, координаты его фокусов и эксцентриситет.

Решение:

Разделим полученное уравнение на 400. Этим мы приведём его к виду

(x²/25) + (y²/16) =1. Большая полуось равна 5, корню квадратному из 25, а малая 4, корню квадратному из 16.

Из соотношения a² = b² + c² находим фокусное расстояние. Оно равно

c=+-√(a² – b²) = +-√(25-16) = +-3, а значит координаты фокусов будут

F₁(-3,0)и F₂(3,0). Эксцентриситет ε = с/a = 3/5.

Ответ: a = 5, b = 4, ε = 3/5.

Задача 2

Выяснить, является ли эллипсом линия, заданная как

9x² + 25y² – 225 = 0

Преобразуем данное нам уравнение к каноническому виду. Для этого:

Перенесём 225 в правую сторону

9x² + 25y² = 225

Поделим обе части этого уравнения на 225

(9x²/225) + (25y²/225) = 1

Сократим дроби и получим

(x²/25) + (y²/9) = 1

Как видим, нам удалось получить каноническое уравнение эллипса в чистом виде, т. е. исходное уравнение представляет собой эллипс, что и требовалось выяснить.

Ответ: 9x² + 25y² – 225 = 0 является уравнением эллипса.

Задача 3

Составить каноническое уравнение эллипса если расстояние между фокусами равно 8, а большая ось 10.

Решение:

Если большая ось равняется 10, значит полуось будет 5.

Если фокусное расстояние равно 8, то число c из координат фокусов будет 4.

Далее нужно подставить и вычислить

4 = √(25-b²)

Возведём это уравнение в квадрат

16 = 25 – b²

Перенесём b² влево, а 16 вправо

b² = 25 – 16 =9

В результате этих не сложных преобразований и вычислений получим каноническое уравнение

(x²/25) + (y²/9) = 1

Ответ: (x²/25) + (y²/9) = 1.

Задача 4

Получить каноническое уравнение эллипса, если его эксцентриситет равен 12/13, а большая полуось равна 26.

Решение:

Из уравнения эксцентриситета ε = с/a находим, что a = 13, а величина с = 12. Далее нужно вычислить квадрат длины меньшей полуоси

c = √(169 – b²)

Возведём обе части уравнения в квадрат

c² = 169 – b²

Отсюда

b² = 169 – 144 = 25

Далее остаётся лишь составить каноническое уравнение

(x²/169) + (y²/25) = 1

Ответ: (x²/169) + (y²/25) = 1

Задача 5

Найти фокусы у эллипса, который задан уравнением (x²/25) + (y²/16) = 1

Решение:

Нам нужно найти число с, которое определяет первые координаты фокусов

c = √(25-16) =3

Фокусы заданного эллипса будут равны

F₁(-3,0) и F₂(3,0).

Ответ: F₁(-3,0) и F₂(3,0).

Источник

Эллипс – это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки до двух точек равняется постоянной величине.

Что такое эллипс и фокусное расстояние

Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек, что называются фокусами, есть постоянная величина и равна .

Обозначим фокусы эллипса $F_{1}$ и $F_{2}$ . Допустим, что расстояние $F_{1}{F_{2}}$ = – фокусное расстояние.

Рис. 1

$F_{1}, F_{2}$ – фокусы .

$F_{1} = (c, 0)$ ; $F_{2} = (- c ; 0)$ ,

– половина расстояния между фокусами;

– большая полуось;

– малая полуось.

Теорема:

Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

Если точка находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, $r_{1} + r_{2} = 2 * sqrt{b^2 + c^2}$ (теорема Пифагора). Если же точка находится на пересечении его с горизонтальной осью, $r_1} + r_{2} = a - c + a + c$ . Так как по определению сумма $r_{1} + r_2}$ – постоянная величина, то приравнивая получается:

$a^2 = b^2 + c^2to{r_{1} + r_{2} = 2a$ .

Уравнение эллипса

Уравнение элиппса бывает двух видов:

Каноническое уравнение эллипса.
Параметрическое уравнение эллипса.

Сначала рассмотрим каноническое уравнение эллипса:

Уравнение описывает эллипс в декартовой системе координат. Если центр эллипсa в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, то эллипс описывается уравнением:

$1 = {x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}}$

Если центр эллипсa смещен в точку с координатами $(x_{0}, y_{0})$ тогда уравнение:

$1 = {(x - x_{0})^2over{a^2}} + {(y - y_{0})^2over{b^2}}$

Чтобы получить каноническое уравнение эллипса, разместим $F_{1}$ и $F_{2}$ на оси симметричной к началу координат. Тогда у фокусов будут такие координаты $F_{2}(-c, 0)$ и $F_{2}(c, 0)$ (см. рис. 2).

Пусть – произвольная точка эллипса. Обозначим через $r_{2}$ и $r_{1}$ – расстояние от точки к фокусам. Согласно с определением эллипса:

$r_{1} + r_{2} = 2a$

(1)

Рис. 2

Подставим в (1) $r_{1} = F_{1}M = sqrt{(x - c)^2 + (y - 0)^2}$ , $r_{2} = sqrt{(x + c)^2 + y^2}$ и освободимся от иррациональности, подняв обе части к квадрату, получим:

$r_{2} = 2a - r_{1}tosqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a - sqrt{(x - c)^2 + y^2}}to{x^2 + 2cx + c^2 + y^2} = 4a^2 - 4asqrt{(x - c)^2) + y^2} + x^2 - 2cx + c^2 + y^2to{4a}sqrt{(x - c^2 + y^2} = 4a^2 - 4cxarrowvert:4$

$asqrt{(x - c)^2 + y^2} =a^2 - cx$

(подносим к квадрату обе части): $to{a^2x^2 - 2ca^2x + a^2c^2 + a^2y^2} = {a^4 - 2ca^2x + c^2x^2to{(a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2)arrowvert:a^2(a^2 - c^2)$ ,

${x^2over{a^2}} + {y^2over{a^2 - c^2}} = 1$

Обозначим: , получаем каноническое уравнение эллипса:

${x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}} = {1}$

(2)

Отметим, что по известному свойству треугольника (сумма двух сторон больше третьей) из $Delta{F_{1}}MF_{2}$ у нас получается $F_{2}M + F_{1}M > F_{1}F_{2}to{r_{1} + r_{2}} > 2c$ . Так как $r_{1} + r_{2} = 2a$ , тогда , и поэтому .

Для построения эллипса обратим внимание, что если точка $M_{1}(x, y)$ принадлежит эллипсу, то есть удовлетворяет уравнение (2), тогда точки $M_{2}(-x, y), M_{3}(-x, -y), M_{4}(x, -y)$ тоже удовлетворяют это уравнение: из

${x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}} = 1to{(pm{x})^2over{a^2}} + {(pm{y})^2over{b^2}} = {1}$ .

Точки $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}$ – расположены симметрично относительно осей координат. Значит, эллипс – фигура, симметричная относительно координатных осей. Поэтому достаточно построить график в первой четверти, а тогда симметрично продолжить его.

Из уравнения (2) находим $y = pm{{b}over{a}}sqrt{a^2 - x^2$ , для первой четверти ${y} = {bover{a}}sqrt{a^2 - x^2}$ .

Если , тогда . Если же , тогда . Точки $A_{1}(a, 0)$ и $B_{1}(0, b)$ , а также симметричные с ними $A_{2}(-a, 0)$ , $B_{2}(0, -b)$ – вершины эллипса, точка – центр эллипса, $A_{1}A_{2}$ = большая ось, $B_{1}B_{2} = 2b$ – малая ось эллипса.

Если первой четверти, тогда из $y = {bover{a}}sqrt{a^2 - x^2$ получается, что при возрастании от к значение падает от к . (рис. 3)

Параметрическое уравнение выглядит так:

$left{ begin{aligned} x = a{cos}alpha\ y = b{sin}alpha end{aligned}quad {0leqalpha < 2pi right$

Основные свойства эллипса

Рассмотрим основные свойства эллипса, которые необходимы для решения многих задач.

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом $r_{1}$ равен углу между касательной и фокальным радиусом $r_{2}$ .

2. Уравнение касательной к эллипсу в точке с координатами $(x_{M}, y_{M})$ :

$1 = {x x_{M}over{a^{2}}} + {y y_{M}over{b^{2}}}$ .

3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, который соединяет середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда проходит через середину (центр) эллипсa. (При помощи данного свойства можно построить эллипс при помощи циркуля и линейка, а также найти центр эллипса).

4. Эволюта эллипсa – это астероида, которая растянута вдоль короткой оси.

5. Если вписать эллипс с фокусами $F_{1}$ и $F_{2}$ у треугольника , тогда выполняется соотношение:

= ${{overline{F_{1}A} * overline{F_{2}A}}over{overline{CA} * overline{AB}}} + {{overline{F_{1}B} * overline{F_{2}B}}over{overline{AB} * overline{BC}}} + {{overline{F_{1}C} * overline{F_{2}C}}over{overline{BC} * overline{CA}}}$

Эксцентриситет эллипса

Эксентриситет эллипса – это величина отношения межфокусного расстояния к большей оси и после сокращения на обозначается

Значения эксентриситета характеризует степень “сплющенность” эллипса. Если , тогда $c = {sqrt{a^2 + b^2}} = 0to{varepsilon = 0}$ – получается круг. Если же , тогда – эллипс превращается в отрезок. В некоторых случаях . Для фокальных радиусов приведём без доказательства такие формулы:

$left{ begin{aligned} r_{1} = a - varepsilon{x},\ r_{2} = a + varepsilon, end{aligned} quad{xin[-a, a]. right$

Рис. 3

Эллипс можно построить механическим способом. Из канонического уравнения нужно найти полуоси и , тогда вычислим $c = {sqrt{a^2 + b^2}}$ – полуфокусное расстояние.

Строим фокусы $F_{1}$ и $F_{2}$ на расстоянии один от другого Концы не растянутой нити длиной закрепляем в точках $F_{1}$ и $F_{2}$ . Натягивая остриём карандаша нитку, водим остриём по плоскости таким образом, чтобы нитка скользила по острию. Карандаш при этом опишет полуось. Оттягивая нить в противоположную сторону, начертим вторую половину эллипса.

Примеры решения задач

Задача

Задан эллипс уравнением ${x^2over{25}} + {y^2over{9}} = 1$ и точки $M_{0}(4; 1,8), M_{1}(3; 2,4)$ . Необходимо:

убедиться, что точки $M_{0}$ и $M_{1}$ лежат на эллипсе;
найти полуоси эллипса и координаты его фокусов;
найти расстояние от точки $M_{0}$ к фокусам;
убедиться, что сумма этих расстояний равна длине большой оси;
найти эксентриситет эллипса.

Решение

1. Подставим координаты точки $M_{0}$ в левую часть уравнения эллипса:

${x^2over{25}} + {y^2over{9}} = {4^2over25}} + {1,8 * 1,8over{9}} = {16over25}} + {36over{100}} = {16over{25}} + {9over25}} = 1$ – точка $M_{0}$ лежит на эллипсе. Аналогично для $M_{1}(3; 2,4)$ :

точка $M_{1}$ лежит на эллипсе.

2. С канонического ${x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}} = {1}$ и данного уравнения ${x^2over{25}} + {y^2over{9}} = 1$ эллипса выходит: $a^2 = {25},quad{b^2 = 9}to{a = 5, b = 3}.$ Из равенства получается:

$b^2 = a^2 - c^2to {c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9} = {16}to{c = 4}$ – полуфокусное расстояние. Координаты фокусов $F_{1}(4; 0)$ и $F_{2}(-4; 0)$ .

3. Найдём фокальные радиусы точки $M_{0}$ :

$r_{2} = F_{2}M_{0} = sqrt{(4 - (-4))^2 + 1,8^2} = sqrt{64 + 3,24} = sqrt{67,24} = 8,2$

$r_{1} = F_{1}M_{0} = sqrt{(4 - 4)^2 + 1,8^2} = 1,8.$

4. Найдём сумму $r_{1} + r_{2} = 1, 8 + 8.2 = 10 = 2 * 5 = 2a$ , что отвечает определению эллипса.

5. Эксцентриситет находится по формуле .

Задача

Найти оси, вершины и фокусы эллипса

Решение

Сведём обычное уравнение к каноническому:

$169x^2 + 25y^2 - 4225 = 0to{x^2over{25}} + {y^2over{169}} = 1$

, $b^2 = 169to{a = 5, b = 13}$ . Вершины эллипса в точках $A_{1}(5, 0)$ , $B_{1}(0, 13)$ , $A_{2}(-5, 0)$ , $B_{2}(0, -13)$ . Строим вершины на координатных осях и соединяем плавной линией (см. рис. 2). Так как в данном случае больше, чем , то эллипс, который вытянут вдоль оси , находим полуфокусное расстояние $c = sqrt{b^2 - a^2} = sqrt{169 - 25} = sqrt{144} = 12$ .

Фокусы в точках $F_{1}(0, 12)$ и $F_{2}(0, -12)$ . (см. рис. 3)

Рис. 4

Найти оси, вершины и фокусы эллипса $25x^2 + 144y^2 = 3600quad{:}arrowvertto{25x^2over{3600}} + {144y^2over{3600}} = {1}to{x^2over{144}} + {y^2over{25}} = {1}$ или ${X^2over{12^2}} + {y^2over{5^2}} = {1}$ . Построить эллипс.

Сравнивая последнее уравнение с уравнением (2), у нас получается:

, $b^2 = 5^2to{a = 12, b = 5}$ . Откуда находим оси эллипса: , и координаты вершин: $A_{1}(12, 0)$ , $A_{2} (-12, 0)$ , $B_{1}(0, 5)$ , $B_{2}(0, -5)$ . Дальше из формулы:

$b^2 = a^2 - c^2to{c^2 = a^2 - b^2 = 144 - 25 = 119}to{c = sqrt{119}}approx{10,91}$ . Значит, фокусами эллипса есть точки: $F_{1}(sqrt{119}, 0)$ и $F_{2}(-sqrt{119}, 0)$ . Для построения эллипса отложим на осях и вершины $A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2}$ соответственно соединим их плавной линией, (см. задачу 1).

Замечание! Если в каноническом уравнении ${x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}} = {1}$ большей полуосью будет , тогда фокусы эллипса будут расположены на оси и тогда $c = sqrt{b^2 - a^2}$ .

Источник

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Понятие о кривых второго порядка

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Как найти координаты фокусов эллипса

Понятие о кривых второго порядка

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Эллипс

Определение эллипса.

Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

Уравнение касательной к эллипсу.

Определение эллипса.

Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

Уравнение касательной к эллипсу.

Уравнение эллипса

Свойства эллипса

Как построить эллипс

Построение эллипса по его большой и малой осям

Как построить эллипс с помощью циркуля

Примеры решения задач

Что такое эллипс и фокусное расстояние

Уравнение эллипса

Основные свойства эллипса

Эксцентриситет эллипса

Примеры решения задач

Не пропустите также: