|
Есть 10 мешков, полные монет. В девяти из них — все монеты из чистого золота, а в одном мешке — все монеты фальшивые. Известно, что фальшивая монета весит на один грамм меньше золотой. Как при помощи только одного взвешивания на циферблатных весах определить, в каком из мешков находятся фальшивые монеты?
Во первых нужно пронумеровать мешки от 1 до 10, и из каждого мешка взять столько монет, сколько соответствует его номеру, из первого 1-ну, из второго 2-ве и т.д. из десятого 10 всего 55 штук. Если бы все монеты были настоящими, их вес был бы 110 грамм (при условии что настоящая весит 2 грамма, а фальшивка 1 грамм). на сколько грамм меньше будут весить мешок(вместо 110 грамм) можно определить фальшивый мешок. если на грамм ,то 1-й мешок, если на 5 грамм, то 5-й мешок и т.д. система выбрала этот ответ лучшим
Татьяна100 6 лет назад Я больше практик, чем теоретик, поэтому если бы сама попала в такую ситуацию, то обходилась бы вообще без весов. Ведь если следовать математическому методу и из каждого мешка брать по 1, 2, 3 монеты и т.д., то общее количество монет будет 55. Весы в условиях задачи — циферблатные, т.е. никаких двух чаш там нет — можно только узнать точный вес. А ведь взвешивать можно только ОДИН раз (может весы после этого сразу ломаются или батарейки садятся — не знаю), но если вы даже высчитали, что фальшивки например в 9 мешке, то как вы ПОТОМ из этих 55 монет найдете эти 9 фальшивых уже без взвешивания? Поэтому я бы расставила эти мешочки в ряд по объему (на взгляд) — от маленького к большому. Потом в самом маленьком и пересчитала монеты, запомнила цифру. Далее в каждом мешке оставила бы столько же монет — остальные лежали бы кучкой рядом с этим мешочком. Когда в каждом мешочке оказалось бы по одинаковому количеству монет, определить самый легкий было бы не трудно — ведь каждая сотня монет, это уже разница в 100 грамм, а тысяча — уже килограмм. Конечно, долго пересчитывать, но золото требует терпения.
fatalex 8 лет назад Вообще, в этой задаче не хватает данных Какие весы используются ( с одной чашей или с двумя ) ? Если весы двухчашечные и при этом показывают разницу в граммах, то… нумеруем мешки, как предложил Владимир и выкладываем на левую чашу 1 монету из первого мешка, 2 из второго, 3 из третьего, 4 из четвертого и 5 из пятого. На правую чашу 1 монету из шестого мешка, 2 из седьмого, 3 из восьмого, 4 из девятого и 5 из десятого. Если легче левая чаша весов, то разница в весе укажет количество фальшивых монет на весах и номер мешка с фальшивыми монетами, а если легче правая чаша, то номер мешка с фальшивками равен разнице веса монет плюс 5. Так, если правая чаша легче на 4 грамма, то фальшивки в 4 плюс 5 = 9-том мешке. Если же весы с одной чашей, то нужно еще знать массу фальшивой или настоящей монеты. Допустим настоящая весит 5.2 грамма. Выкладываем на весы монеты так, как предложил Владимир. Если бы все монеты были настоящими, то на весах была бы масса 55 * 5.2 = 286 грамм, но т.к. в одном мешке монеты легче, то и весы в итоге покажут меньшую массу, а отличие полученной массы монет от эталонных 286 грамм укажет нам на номер мешка с фальшивыми монетами. Допустим фальшивки в 7 мешке. Значит на весах окажется 7 фальшивых монет и 48 настоящих. Масса монет на весах составит 5.2 * 48 плюс 4.2 * 7 = 249.6 плюс 29.4 = 279 грамм. Проверяем: 286 — 279 = 7 Фальшивки в 7-ом мешке и на весах их 7 штук. Пы.Сы. пишу «плюс» прописью потому, что значок плюс со смартфона, с которого я пишу ответ, почему-то отображается здесь в виде пробела
Колючка 555 3 года назад Видела как то я эту задачу, только монеты были серебряными и весили 5 грамм, а фальшивые 4 грамма. От этих цифр давайте и отталкиваться. Из первого мешка берем 1 монету, из 2 две и так далее. Всего 55 монет. Их вес должен быть 275 грамм, если бы все были золотыми. А так как в одном из мешков фальшивка, то и вес будет меньше. Если на весах 270 грамм, то фальшивые монеты в 5 мешке. Также и другие мешки можно вычислить.
Galina7v7 7 лет назад Главное — определить отличие в общем весе монет от эталонного.и на сколько граммов.Все мешки нумеруются.и из каждого берется столько монет-какой номер мешка.Монет будет 55.(1+2+3+4+5+…9+10=55)Пусть настоящие монеты весят по 2 г.а фальшивые по 1 г.Правильный вес должен быть =110 г.Но он будет отличаться на 1.2.3…10 г.И вот сколько г.не будет хватать.под тем номером и будет мешок с фальшивыми монетами.
Даксплячи Учлинзайх 7 лет назад Тут уже давали вариант что из первого мешка одну монету берем, из второго две и т.д. Хотя можно конечно и попроще задачку решить Главное что бы в мешках было одинаковое количество монет Взвесьте мешки — мешок с фальшивыми монетами будет весить меньше, чем остальные мешки Но это только в том случае, если в мешках одинаковое количество монет Ну и разумеется должны быть хорошие весы
МарияСС 6 лет назад Нам необходимо сначала разделить мешки на 2 части по 5 мешков, далее (из каждой части) взять из первого мешка одну монету, из второго — 2 и так далее. Всего мы возьмем 30 монет. Часть из них фальшивая и весит на один грамм меньше. Нам необходимо определить сколько точно монет фальшивых, тогда мы сможем выяснить номер мешка, в котором находятся поддельные монеты. Нужны для этого нам чашечные весы. На сколько граммов одна кучка монет будет легче другой, такой и порядковый номер мешка из той части, в которой оказались более легкие монеты.
Korobok 10 лет назад Насчёт немцев — не знал, это любопытно. Что же до задачи, то, думаю, Владимир решил правильно, но лишь наполовину. Принцип тот же, только мешки надо разделить поровну, по 5 штук и кучки монет от каждой партии разложить на разные чаши весов. Количество делений ( граммов ), на которые отклонится стрелка от нуля, и укажет на искомый мешок.
Трифон Ли 10 лет назад В детстве читал эту задачу. О ней такая история. Во время 2 мировой немцы разбросали над Англией листовки с этой задачей. Цемцы посчитали, что нанесли этим ущерб английской экономике, т.к. на решение казалось бы простой задачи люди потратили уйму рабочего времени. Если бы цемцы не были такими наивными они тогда еще изобрели комп.
chela 10 лет назад Нумеруем мешки. Из мешков в последовательности берем 1,2,3 … 10 монет. Всего будет 55 монет. Взвешиваем их и получаем вес, например m и разделим его на 55. Получим целое число и дробь. Теперь запишем (1-дробь)*55=№ нужного нам мешка. Для решения этой задачи нужны очень точные весы, желательно аптечные.
Максим Костенко 10 лет назад А на кой ляд тут вообще весы? Каждая фальшивая монета весит на грамм меньше. В мешке с фальшивыми монетами их тысячи. Мешок с фальшивыми монетами будет на килограммы легче. Знаете ответ? |
Время на прочтение
3 мин
Количество просмотров 204K
Сегодня я снова хочу вернуться к теме о задаче нахождении фальшивой монеты методом взвешивания на весах без циферблата.
Наиболее распространенные из таких задач — определение количества взвешиваний для выявления фальшивой монеты, если:
1) неизвестно какая она по весу;
2) известно, что она легче/тяжелее остальных.
Или обратная задача: можно ли за определенное количество взвешиваний выявить фальшивую из заданного количества монет.
1. Давайте сначала разберемся с 2 вариантом, который является частным случаем варианта 1.
Некоторое время назад, я на Хабре уже описывал решение такой задачи, но в одном из комментариев было замечание о немного странном первом разделении монет, по-этому предлагаю другой алгоритм решения. Хотя результат будет тот же и формула решения задачи остается та же:
N >= log3A,
где N — максимально необходимое количество взвешиваний, натуральное число, округленное в большую сторону;
A — количество монет.
Которая выведена на основании опытов (за 1 взвешивание можно найти одну фальшивую из 3-х монет, за 2 — из 9, за 3 — из 27 и т.д.)
Сам алгоритм решения простой, и я покажу его на примерах
1) Пусть у нас есть 26 монет. Нужно найти одну, которая легче/тяжелее
Первым действием буде разделение монет на три группы, в двух из которых число монет будет одинаковым, важно только что бы в третьей группе — остатке — было меньше монет, чем в каждой из двух других групп. То есть частое округляется к большему натуральному числу. То есть
A = 2 * B + C,
где A — количество монет;
B — частное от деления количества монет на 3, натуральное число, округленное в большую сторону;
C — остаток.
По условию задачи
26/3 = 8.666(6),
26 = 2 * 9 + 8,
При первом взвешивании будут сравниваться две группы: правая (ПГ) — 9 монет и левая (ЛГ) — 9 монет.
Далее у нас возможны два варианта:
1) фальшивая монета в левой/правой группе (9 монет)
2) фальшивая монета в остатке (8 монет)
для 1 варианта следующее деление на группы будет — 9 = 2 * 3 + 3;
для 2 варианта — 8 = 2 * 3 + 2
Ну и за одно взвешивание можно определить какая из 2 или 3 монет легче/тяжелее
Этот же результат я приведу в таблице
| № взвешивания | Число монет | ЛГ | ПГ | Остаток |
| 1 | 26 | 9 | 9 | 8 |
| 2 | 8 | 3 | 3 | 2 |
| 2 | 9 | 3 | 3 | 3 |
| 3 | 2 | 1 | 1 | 0 |
| 3 | 3 | 1 | 1 | 1 |
по формуле — log326 =2.9656 — соответственно количество взвешиваний — 3.
еще пример:
число монет- 71. По формуле log371 =3.8800 — количество взвешиваний — 4. Проверяем
| № взвешивания | Число монет | ЛГ | ПГ | Остаток |
| 1 | 71 | 24 | 24 | 23 |
| 2 | 23 | 8 | 8 | 7 |
| 2 | 24 | 8 | 8 | 8 |
| 3 | 7 | 3 | 3 | 1 |
| 3 | 8 | 3 | 3 | 2 |
| 4 | 2 | 1 | 1 | 0 |
| 4 | 3 | 1 | 1 | 1 |
Ну с алгоритм решения этих задач, я думаю, понятен.
2. Теперь перейдем к задачам, в которых не известно легче монета или тяжелее.
В данном случае я предлагаю такое первое действие: разделить монеты на четыре группы, три — с максимально одинаковым количеством монет, а в четвертой группе — остаток. Причем в остатке должны быть 1 или 2 монеты. То есть при делении на 3 частное округляется до меньшего натурального числа.
A = 3 * B + C,
где A — количество монет;
B — частное от деления количества монет на 3, натуральное число, округленное в меньшую сторону;
C — остаток.
Например, для 58-ми монет — это будет 58 = 3 * 19 + 1, для 23 = 3 * 7 + 2, для 15 = 3 * 5 + 0 и т. д.
Далее выполняем два взвешивания:
1) первая и вторая группы;
2) первая и третья группы;
и анализируем результат.
Здесь возможны четыре варианта:1, 2, 3 — это первая, вторая или третья группа отличаются по весу от двух остальных, или они равны, тогда нам повезло, так как фальшивая — в остатке. Так же два взвешивания помогают определить определить тяжелее фальшивая монета или легче. Кстати, если в остатке две монеты, то нужно выполнить еще 2 взвешивания для определения фальшивой монеты.
Теперь у нас есть задача: определить одну фальшивую монету из группы, которая легче/тяжелее.
Что касается формулы, то она примет следующий вид
N >= log3B + 2,
где N — максимально необходимое количество взвешиваний, натуральное число;
B — количество монет в группе после второго взвешивания.
А если учесть, что B = A/3, где A — количество всех монет, тогда получим:
log3B = log3A — 1,
N >= log3A + 1
Итог:
1) если известно, что фальшивая монета легче/тяжелее, тогда максимальное число взвешиваний определяется по формуле:
N >= log3A
2) если не известно, какая фальшивая, тогда максимальное число взвешиваний определяется по формуле:
N >= log3A + 1
где N — максимально необходимое количество взвешиваний, натуральное число, округленное в большую сторону;
А — количество монет.
Мешок с фальшивыми монетами
 |
У Эрудита есть 10 мешков с монетами. В каждом мешке лежит по 10 монет. Но в одном мешке лежат фальшивые монеты. Настоящая монета весит 10 граммов, а фальшивая только 9.
У Эрудита есть весы со шкалой в граммах. Как за одно взвешивание определить в каком мешке находятся фальшивые монеты? |
Теги: фальшивые монеты, смекалка, взвешивание, мешки
Другие логические задачи:
| Странный возраст | Странный объект | Эрудит — турист |
| Переправа с обезьянка… | Израильская шутка | Последовательность |
| Четыре Эрудита | Кот в сапогах | Полет чаек |
| Два корабля | Стрелки на часах | Взвешивание под водой |
| Химия любви | Любители яичницы | Кубик Рубика |
|
Порядок вывода комментариев:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
