Как найти эмпирическую дисперсию

Для
характеристики рассеяния значений
количественного признака X
генеральной
совокупности вокруг своего среднего
значения служат понятия генеральной
дисперсии и генерального среднего
квадратического отклонения.

Генеральной
дисперсией
D_T
называется
среднее арифметическое квадратов
отклонения значений признака X
генеральной
совокупности от их среднего значения

Если все значения

признака
генеральной совокупности объема N
являются
различными, то

^(9.23)

Если
значения x₁,
x₂,
…, x_k
имеют соответственно частоты
N_1,
N₂,..,N_k
причем

N₁+
N₂+…+,N_k=N
,
то

(9.24)

Генеральным
средним квадратическим отклонением


называется
корень квадратный из генеральной
дисперсии, т.е.

^(9.25)

Для
характеристики рассеяния значений
количественного признака выборки вокруг
среднего значения

вводят
понятия выборочной дисперсии и выборочного
среднего квадратического отклонения

Выборочной
дисперсией
D_B
называют среднее арифметическое
квадратов отклонения наблюдаемых
значений выборки от их среднего
значения
.

Если
все значения
,
признака выборки объема n
различны,
то

(9.26)

Если
значения x₁,
x₂,
…, x_k
имеют соответственно частоты n₁,
n₂, …,
n_k,
причем

n₁+n₂+…+n_k=n,
то

(9.27)

Выборочное
среднее квадратическое отклонение

определяется
формулой

(9.28)

Для
вычисления выборочной дисперсии можно
пользоваться формуло

D_B=
,
(9.29)

где

(9.30)

Докажем
формулу (9.29). Преобразуя формулу (9.27),
получаем

D_В=

Из
формулы (9.24) аналогично находим

.

Следовательно,
для обоих случаев

(9.31)

где
x²
–
среднее квадратов значение; (x²)
– квадрат общей средней.

Можно
доказать, что

(9.32)

Так
как

,
то выборочная дисперсия D_В

является смещенной оценкой генеральной
дисперсии D_Г
.
Чтобы получить несмещенную оценку
генеральной дисперсии
D_Г,
вводят понятие так называемой эмпирической
(или исправленной) дисперсии s².

Эмпирическая,
или исправленная,
дисперсия
s²
определяется
формулой

(9.33)

Исправленная
дисперсия (9.33) является несмешанной
оценкой генеральной дисперсии, так как

M(
)=M(

Для
оценки среднего квадратического
отклонения генеральной совокупности
служит «исправленное» среднее
квадратическое отклонение, или
эмпирический стандарт

s=

(9.34)

В
случае, когда все значения x₁,
x₂,
…, x_n
различны,
т.е. все n_i=1
и k
= n,
формулы

(9.33)
и (9.34) принимают вид

(9.35)

(9.36)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  30.04.2022143.36 Кб0Учебное пособие 40024.doc

• #
• #

Как найти дисперсию?

Дисперсия — это мера разброса значений случайной величины $X$ относительно ее математического ожидания $M(X)$ (см. как найти математическое ожидание случайной величины). Дисперсия показывает, насколько в среднем значения сосредоточены, сгруппированы около $M(X)$: если дисперсия маленькая — значения сравнительно близки друг к другу, если большая — далеки друг от друга (см. примеры нахождения дисперсии ниже).

Если случайная величина описывает физические объекты с некоторой размерностью (метры, секунды, килограммы и т.п.), то дисперсия будет выражаться в квадратных единицах (метры в квадрате, секунды в квадрате и т.п.). Ясно, что это не совсем удобно для анализа, поэтому часто вычисляют также корень из дисперсии — среднеквадратическое отклонение $sigma(X)=sqrt{D(X)}$, которое имеет ту же размерность, что и исходная величина и также описывает разброс.

Еще одно формальное определение дисперсии звучит так: «Дисперсия — это второй центральный момент случайной величины» (напомним, что первый начальный момент — это как раз математическое ожидание).

Формула дисперсии случайной величины

Дисперсия случайной величины Х вычисляется по следующей формуле:
$$
D(X)=M(X-M(X))^2,
$$
которую также часто записывают в более удобном для расчетов виде:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.
$$

Эта универсальная формула для дисперсии может быть расписана более подробно для двух случаев.

Если мы имеем дело с дискретной случайной величиной (которая задана перечнем значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$), то формула принимает вид:
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2.
$$
Если же речь идет о непрерывной случайной величине (заданной плотностью вероятностей $f(x)$ в общем случае), формула дисперсии Х выглядит следующим образом:
$$
D(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx — left( int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx right)^2.
$$

Пример нахождения дисперсии

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти дисперсию по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить и сравнить дисперсию двух законов распределения:
$$
x_i quad 1 quad 2 \
p_i quad 0.5 quad 0.5
$$
и
$$
y_i quad -10 quad 10 \
p_i quad 0.5 quad 0.5
$$

Для убедительности и наглядности расчетов мы взяли простые распределения с двумя значениями и одинаковыми вероятностями. Но в первом случае значения случайной величины расположены рядом (1 и 2), а во втором — дальше друг от друга (-10 и 10). А теперь посмотрим, насколько различаются дисперсии:
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2 =\
= 1^2cdot 0.5 + 2^2 cdot 0.5 — (1cdot 0.5 + 2cdot 0.5)^2=2.5-1.5^2=0.25.
$$
$$
D(Y)=sum_{i=1}^{n}{y_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{y_i cdot p_i} right)^2 =\
= (-10)^2cdot 0.5 + 10^2 cdot 0.5 — (-10cdot 0.5 + 10cdot 0.5)^2=100-0^2=100.
$$
Итак, значения случайных величин различались на 1 и 20 единиц, тогда как дисперсия показывает меру разброса в 0.25 и 100. Если перейти к среднеквадратическому отклонению, получим $sigma(X)=0.5$, $sigma(Y)=10$, то есть вполне ожидаемые величины: в первом случае значения отстоят в обе стороны на 0.5 от среднего 1.5, а во втором — на 10 единиц от среднего 0.

Ясно, что для более сложных распределений, где число значений больше и вероятности не одинаковы, картина будет более сложной, прямой зависимости от значений уже не будет (но будет как раз оценка разброса).

Пример 2. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной дискретным рядом распределения:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$

Снова используем формулу для дисперсии дискретной случайной величины:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.
$$
В случае, когда значений много, удобно разбить вычисления по шагам. Сначала найдем математическое ожидание:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Потом математическое ожидание квадрата случайной величины:
$$
M(X^2)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}
= (-1)^2cdot 0.1 + 2^2 cdot 0.2 +5^2cdot 0.3 +10^2cdot 0.3+20^2cdot 0.1=78.4.
$$
А потом подставим все в формулу для дисперсии:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=78.4-6.8^2=32.16.
$$
Дисперсия равна 32.16 квадратных единиц.

Пример 3. Найти дисперсию по заданному непрерывному закону распределения случайной величины Х, заданному плотностью $f(x)=x/18$ при $x in(0,6)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для расчета формулу дисперсии непрерывной случайной величины:
$$
D(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx — left( int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx right)^2.
$$
Вычислим сначала математическое ожидание:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{6} frac{x}{18} cdot x dx = int_{0}^{6} frac{x^2}{18} dx =
left.frac{x^3}{54} right|_0^6=frac{6^3}{54} = 4.
$$
Теперь вычислим
$$
M(X^2)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx = int_{0}^{6} frac{x}{18} cdot x^2 dx = int_{0}^{6} frac{x^3}{18} dx = left.frac{x^4}{72} right|_0^6=frac{6^4}{72} = 18.
$$
Подставляем:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=18-4^2=2.
$$
Дисперсия равна 2.

Другие задачи с решениями по ТВ

Вычисление дисперсии онлайн

Как найти дисперсию онлайн для дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
• Нажмите на кнопку «Вычислить».
• Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$ и затем искомое значение дисперсии $D(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое дисперсия и как найти дисперсию

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое дисперсия, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Полезные ссылки

Не забывайте сначала прочитать том, как найти математическое ожидание. А тут можно вычислить также СКО: Калькулятор математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по ТВ. Для закрепления материала — еще примеры решений задач по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

1. выборочное среднее;
2. выборочную дисперсию;;
3. подправленную дисперсию;
4. выборочное среднее квадратичное отклонение;
5. подправленное среднее квадратичное отклонение;
6. размах выборки;
7. медиану;
8. моду;
9. квантильное отклонение;
10. коэффициент вариации;
11. коэффициент асимметрии;
12. эксцесс для выборки:

Выборка задана рядом 11, 9, 8, 7, 8, 11, 10, 9, 12, 7, 6, 11, 8, 7, 10, 9, 11, 8, 13, 8.

Решение:
Запишем выборку в виде вариационного ряда (в порядке возрастания):
6; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 10; 10; 11; 11; 11; 11; 12; 13.
Далее записываем статистическое распределение выборки в виде дискретного статистического распределения частот:

Эмпирическую функцию распределения определим по формуле

Здесь n_x – количество элементов выборки которые меньше х. Используя таблицу и учитывая что объем выборки равен n = 20, запишем эмпирическую функцию распределения:

Далее вычислим числовые характеристики статистического распределения выборки.
Выборочное среднее вычисляем по формуле

Выборочную дисперсию находим по формуле


Выборочное среднее, что фигурирует в формуле дисперсии в квадрате найдено выше. Остается все подставить в формулу

Подправленную дисперсию вычисляем согласно формулы

Выборочное среднее квадратичное отклонение вычисляем по формуле

Подправленное среднее квадратичное отклонение вычисляем как корень из подправленной дисперсии

Размах выборки вычисляем как разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант, то есть:

Медиану находим по 2 формулам:
если число n — четное;
если число n — нечетное.
Здесь берем индексы в x_i согласно нумерации варианта в вариационном ряду.
В нашем случае n = 20, поэтому

Мода – это варианта которая в вариационном ряду случается чаще всего, то есть

Квантильное отклонение находят по формуле

где – первый квантиль, – третий квантиль.
Квантили получаем при разбивке вариационного ряда на 4 равные части.
Для заданного статистического распределения квантильное отклонения примет значение

Коэффициент вариации равный процентному отношению подправленного среднего квадратичного к выборочному среднему

Коэффициент асимметрии находим по формуле

Здесь центральный эмпирический момент 3-го порядка,

Подставляем в формулу коэффициента асимметрии

Эксцессом статистического распределения выборки называется число, которое вычисляют по формуле:

Здесь m₄ центральный эмпирический момент 4-го порядка. Находим момент

а далее эксцесс
Теперь Вы имеете все необходимые формулы чтобы найти числовые характеристики статистического распределения. Как найти моду, медиану и дисперсию должен знать каждый студент, который изучает теорию вероятностей.

Готовые решения по теории вероятностей

• Следующая статья — Построение уравнения прямой регрессии Y на X

Была ли эта статья полезной?

From Wikipedia, the free encyclopedia

In statistics, an empirical distribution function (commonly also called an empirical Cumulative Distribution Function, eCDF) is the distribution function associated with the empirical measure of a sample.^[1] This cumulative distribution function is a step function that jumps up by 1/n at each of the n data points. Its value at any specified value of the measured variable is the fraction of observations of the measured variable that are less than or equal to the specified value.

The empirical distribution function is an estimate of the cumulative distribution function that generated the points in the sample. It converges with probability 1 to that underlying distribution, according to the Glivenko–Cantelli theorem. A number of results exist to quantify the rate of convergence of the empirical distribution function to the underlying cumulative distribution function.

Definition[edit]

Let (X₁, …, X_n) be independent, identically distributed real random variables with the common cumulative distribution function F(t). Then the empirical distribution function is defined as^[2]

where is the indicator of event A. For a fixed t, the indicator is a Bernoulli random variable with parameter p = F(t); hence is a binomial random variable with mean nF(t) and variance nF(t)(1 − F(t)). This implies that is an unbiased estimator for F(t).

However, in some textbooks, the definition is given as

^[3][4]

Mean[edit]

The mean of the empirical distribution is an unbiased estimator of the mean of the population distribution.

which is more commonly denoted

Variance[edit]

The variance of the empirical distribution times is an unbiased estimator of the variance of the population distribution, for any distribution of X that has a finite variance.

Mean squared error[edit]

The mean squared error for the empirical distribution is as follows.

Where is an estimator and an unknown parameter

Quantiles[edit]

For any real number the notation (read “ceiling of a”) denotes the least integer greater than or equal to . For any real number a, the notation (read “floor of a”) denotes the greatest integer less than or equal to .

If is not an integer, then the -th quantile is unique and is equal to

If is an integer, then the -th quantile is not unique and is any real number such that

Empirical median[edit]

If is odd, then the empirical median is the number

If is even, then the empirical median is the number

Asymptotic properties[edit]

Since the ratio (n + 1)/n approaches 1 as n goes to infinity, the asymptotic properties of the two definitions that are given above are the same.

By the strong law of large numbers, the estimator converges to F(t) as n → ∞ almost surely, for every value of t:^[2]

thus the estimator is consistent. This expression asserts the pointwise convergence of the empirical distribution function to the true cumulative distribution function. There is a stronger result, called the Glivenko–Cantelli theorem, which states that the convergence in fact happens uniformly over t:^[5]

The sup-norm in this expression is called the Kolmogorov–Smirnov statistic for testing the goodness-of-fit between the empirical distribution and the assumed true cumulative distribution function F. Other norm functions may be reasonably used here instead of the sup-norm. For example, the L²-norm gives rise to the Cramér–von Mises statistic.

The asymptotic distribution can be further characterized in several different ways. First, the central limit theorem states that pointwise, has asymptotically normal distribution with the standard rate of convergence:^[2]

This result is extended by the Donsker’s theorem, which asserts that the empirical process , viewed as a function indexed by , converges in distribution in the Skorokhod space to the mean-zero Gaussian process , where B is the standard Brownian bridge.^[5] The covariance structure of this Gaussian process is

The uniform rate of convergence in Donsker’s theorem can be quantified by the result known as the Hungarian embedding:^[6]

Alternatively, the rate of convergence of can also be quantified in terms of the asymptotic behavior of the sup-norm of this expression. Number of results exist in this venue, for example the Dvoretzky–Kiefer–Wolfowitz inequality provides bound on the tail probabilities of :^[6]

In fact, Kolmogorov has shown that if the cumulative distribution function F is continuous, then the expression converges in distribution to , which has the Kolmogorov distribution that does not depend on the form of F.

Another result, which follows from the law of the iterated logarithm, is that ^[6]

and

Confidence intervals[edit]

As per Dvoretzky–Kiefer–Wolfowitz inequality the interval that contains the true CDF, , with probability is specified as

As per the above bounds, we can plot the Empirical CDF, CDF and Confidence intervals for different distributions by using any one of the Statistical implementations. Following is the syntax from Statsmodel for plotting empirical distribution.

Statistical implementation[edit]

A non-exhaustive list of software implementations of Empirical Distribution function includes:

• In R software, we compute an empirical cumulative distribution function, with several methods for plotting, printing and computing with such an “ecdf” object.
• In MATLAB we can use Empirical cumulative distribution function (cdf) plot
• jmp from SAS, the CDF plot creates a plot of the empirical cumulative distribution function.
• Minitab, create an Empirical CDF
• Mathwave, we can fit probability distribution to our data
• Dataplot, we can plot Empirical CDF plot
• Scipy, we can use scipy.stats.ecdf
• Statsmodels, we can use statsmodels.distributions.empirical_distribution.ECDF
• Matplotlib, we can use histograms to plot a cumulative distribution
• Seaborn, using the seaborn.ecdfplot function
• Plotly, using the plotly.express.ecdf function
• Excel, we can plot Empirical CDF plot

See also[edit]

• Càdlàg functions
• Count data
• Distribution fitting
• Dvoretzky–Kiefer–Wolfowitz inequality
• Empirical probability
• Empirical process
• Estimating quantiles from a sample
• Frequency (statistics)
• Kaplan–Meier estimator for censored processes
• Survival function
• Q–Q plot

References[edit]

Further reading[edit]

• Shorack, G.R.; Wellner, J.A. (1986). Empirical Processes with Applications to Statistics. New York: Wiley. ISBN 0-471-86725-X.

External links[edit]

• Media related to Empirical distribution functions at Wikimedia Commons