Как найти эластичность функции в точке - Avtoru.top

Содержание:

Эластичность функции
Определение и свойства эластичности функций
Свойства эластичности функции
Эластичность спроса относительно цены
Эластичность предложения относительно цены

Эластичность функции

В экономических исследованиях приросты тех или иных показателей, характеризующих экономические процессы, чаще всего выражают в процентах к базовым значениям. Поэтому и изменение величин, которые связаны с ними функциональной зависимостью, также выражают в процентах. Для этого используют понятие эластичности функции, которое выражается через производную функции.

Определение и свойства эластичности функций

Пусть задана функция y = f (x). Если аргумент x получил приращение Δx и при этом функция y получила приращение Δy, то называют относительным приращением аргумента, а — относительным приращением функции.

Определение. Предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если существует, называется эластичностью функции.

Обозначают эластичность функции y = f (x) относительно переменной x E_x(y). То есть,

Итак, если в точке x функция имеет производную, то эластичность определяется формулой
Эластичность выражает приближенный процент приращения функции, который соответствует 1 % приращения аргумента.

Пример. Найти эластичность функции y = x² – 4 x +7 и вычислить ее при x = 1, x = 2, x = 5.

Решение.

Итак, если x вырастет на 1 % с 1 до 1,01, то y снизится на 0,5 %. Если x вырастет на 1 % с 2 до 2,02, то значение переменной y практически не изменится. Если x вырастет на 1 % с 5 до 5,05, то y вырастет на 2,5 %.

Свойства эластичности функции

ТЕОРЕМА 1. Эластичность произведения двух функций равна сумме эластичности сомножителей:
E_x (U ⋅ V) = E_x (U) + E_x (V).

Доказательство. По определению эластичности

ТЕОРЕМА 2. Эластичность частного двух функций равна разности показателей эластичности делимого и делителя:

Доказательство. По определению эластичности

Эластичность спроса относительно цены

В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности спроса и предложения.

Пусть p цена одного изделия, а Q — количество изделий, произведенных и проданных через некоторое время, что определяет спрос. Величина Q зависит от цены, т. е. Q является функцией от p: Q = f (p).

Пусть приращение цены Δp вызывает приращение ΔQ. тогда относительные приращения цены и спроса будут соответственно и
Отношение показывает относительное изменение спроса, если цена изделия возросла на 1 %.

Эластичностью спроса относительно цены называется предел отношения относительного приращения спроса к относительному приращению цены при условии, что приращение цены стремится к нулю.

Эластичность спроса относительно цены приближенно определяет, как меняется спрос на данное изделие, если его цена возрастает на 1 %.

Так, например, если рост цены на 5 % вызывает падение спроса на 8 %, то эластичность будет
Если эластичность спроса η = –0,5, то 10 % роста стоимости товара вызывает падение спроса на (–0,5) 10% = –5%.

Определение. Если процент изменения спроса больше процента изменения цены (η < 1), то спрос называют эластичным, если процент изменения спроса меньше процента изменения цены (-1 < η < 0), то спрос называют не эластичным, а если процент изменения спроса равен проценту изменения цены (η = 1), то спрос называют нейтральным.

Пример. Установлено, что количество произведенных и проданных изделий Q по цене p определяется по формуле Q = 10000 – 500p (0 < p < 20). Определить, при какой цене спрос эластичный, нейтральный, не эластичный.

Решение. Эластичность спроса относительно цены

Спрос будет эластичным, если η < –1, Отсюда, учитывая, что 20 – p > 0, имеем p > 20 — p; 2 p > 20; p > 10. Итак, спрос эластичен при цене 10 < p < 20 (руб.).

Спрос нейтральный при цене p = 10 (руб.). Спрос будет не эластичный, когда -1 < η < 0.

Итак, спрос не эластичный при цене меньшей 10 руб. за изделие.

Пример 2. Установить связь между доходом предприятия и эластичностью спроса от цены.

Решение. Доход определяется как произведение стоимости каждого изделия на количество произведенных и проданных изделий Q : D (Q) = p⋅ Q.

Найдем маржинальный доход, учитывая, что Q есть функция от p.

Если η ≤ –1, то 1 + η < 0, а И поэтому доход падает при росте p, когда спрос эластичен.
Если –1 < η < 0, то 1 + η > 0, а
То есть функция D (Q) дохода растет с ростом цены p, когда спрос не эластичный.

Эластичность предложения относительно цены

Понятие эластичности можно применять и к другим функциям экономического содержания.

Рассмотрим понятие эластичности предложения S в зависимости от цены товара p. Под предложением понимают количество некоторого товара, который предлагается на продажу за единицу времени. Как правило, предложение какого-либо товара является возрастающей функцией цены. Но бывают случаи, когда предложение повышается со снижением цены. Величина S является функцией от цены товара. То есть, S = S (p).

Пусть Δp — приращение цены, а ΔS — соответствующее приращение предложения. Тогда относительные приращения цены и предложения будут соответственно и .
Эластичностью предложения относительно цены называется предел отношения относительного приращения предложения к относительному приращению цены при условии, что приращение цены стремится к нулю.

Эластичность предложения относительно цены приближенно определяет процент приращения предложения на 1 % приращения цены.

Пример 3. Функция предложения некоторого товара . Определить эластичность предложения при цене p = 2.

Решение.

Если p = 2, то
Следовательно, при цене p = 2 увеличение ее на 1 % вызовет увеличение предложения на 0,2 %.

Лекции:

Разностные уравнения
Случайная вероятность
Эквивалентные бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно больших функций
Решение определённых интегралов
Параллельные прямые
Экстремум функции многих переменных
Пределы в математике
Дифференциал функции
Объемы подобных фигур
Алгебра логики

Источник

Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 127

В экономических исследованиях часто используется понятие эластичности функциии.

Определение. Эластичностью функции Ex (y) называется предел отношения относительного приращения функции y = f (x) к относительному приращению аргумента х при ∆x → 0 :

	∆y
Ex (y) = lim	y	=	x	lim	∆y	=	x	y′.
∆x		∆x
∆x→0		y ∆x→0		y

Если эластичность функции представить в виде

∆y 100%

Ex (y) = ∆limx→0 ∆yx 100% , x

то легко увидеть, что эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y = f (x) при изменении независимой

переменной х на 1%.

Пользуясь понятием дифференциала, эластичность можно представить иначе:

						dy
Ex (y) =	x	dy	=		y		= d(ln y) .
	dx
	y dx						d(ln x)
						x
Геометрическая интерпретация
Эластичность функции y = f (x) можно найти из графика этой функции.
По определению эластичности Ex (y) =		x	y′	=	x	tgα , где	α — угол наклона

				y			y

касательной к функции y = f (x) в точке

Из треугольника ACD :

CDAC = ACy0 = sin(π −α) = sinα .

Из треугольника BCL:

BCLC = BCx0 = cos(π −α) = −cosα

Откуда,
BC			x0		x0
−cosα			′
AC = y0		= − y
	f (x0 ) = −Ex (y)
				0
			sinα

С(x0, y0 ) (рис. 20).

	y
В	y = f ( x )

L	C( x0 , y0 )

Рис. 20.

т.е. эластичность убывающей функции равна отношению расстояний по касательной от точки С с координатами (x0, y0 ) до ее пересечения с осями

ординат и абсцисс, взятому со знаком минус. Таким образом, если аккуратно построить график функции y = f (x) и провести касательную к кривой в

исследуемой точке С(x0, y0 ), можно приблизительно определить величину эластичности функции в этой точке.

Свойства эластичности функции

Пусть функция y = f (x) имеет конечную или бесконечную производную на промежутке. Вспомним, что производная есть отношение дифференциалов

y′ =

dx .

1. Эластичность есть безразмерная величина

Ex (y) = Eax (by) .

◄Доказательство очевидно: Eax (by) = ax

d(by)

dy =

y′.►

by d(ax)

y dx

2. Эластичности взаимно обратных функций есть взаимно обратные

величины

Ex (y) =

Ey (x)

◄ Ex (y) =

dy =

.►

y dx

Ey (x)

x dy

3. Эластичность произведения функций u = u(x)

и v = v(x) равна сумме их

эластичностей Ex (uv) = Ex (u) + Ex (v).

◄При доказательстве свойства воспользуемся

дифференциала d(uv) = v du +u dv . Тогда

Ex (uv) =

d(uv)

x vdu +udv

uv dx

u dx

v dx

4. Эластичность отношения функций

u = u(x) и

их эластичностей

= Ex (u) − Ex (v) .

следующим свойством

=Ex (u) + Ex (v) .►

v = v(x) равна разности

◄Доказательство аналогично:

x vdu −udv

x du

x dv

(

) =

−

= E

(u) − E

(v) .►

u v2dx

u dx

v dx

5. Эластичность суммы функций u = u(x) и v = v(x) равна сумме их эластичностей, взятых с соответствующими весами:

Ex (u + v) = u u+ v Ex (u) + u +v v Ex (v) .

◄Доказательство

Ex (u + v) =

x d(u + v)

x du u

x dv v

u + v dx

u + v dx u

u + v dx v

►

Ex (u) +

Ex (v)

u + v

u dx

v dx

Эластичность элементарных функций

Вычислим эластичности некоторых функций.

Степенная функция y = xα . Ее эластичность:

x d(xα )

x αxα−1dx

Ex (x ) =

=α .

Показательная функция

y = ax .

Ex (ax ) =

d(ax )

ax ln a dx = xln a .

Логарифмическая функция y = ln x .

Ex (ln x) =

d(ln x)

ln x

Линейная функция y = ax +b .

Ex (ax +b) =

x d(ax +b)

ax +b

Функция в зависимости от величины своей эластичности может быть

совершенно эластичная

Ex (y)

= +∞

эластичная

Ex (y)

< +∞

неэластичная

0 <

Ex (y)

совершенно неэластичная

Ex (y) = 0

Эластичность функций применяется, например, при анализе спроса и потребления, в процессе анализа проектных рисков в ходе исследования изменений критериев оценки проектной эффективности в зависимости от изменений факторов риска.

Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 130

Так, эластичность спроса Q по цене P EP (Q) = QP dQdP

показывает величину относительного изменения спроса на какой-либо товар при изменении цены этого товара. Она характеризует «чувствительность» потребителей к изменению цен на продукцию.

Вопросы для повторения

1.Сформулировать и доказать теорему о производной монотонной функции.

2.Сформулировать определение локального максимума и минимума функции.

3.Сформулировать и доказать теорему о необходимом условии экстремума.

4.Сформулировать и доказать теорему о первом достаточном условии экстремума.

5.Сформулировать и доказать теорему о втором достаточном условии экстремума.

6.Привести схему исследования функции на экстремум.

7.Сформулировать определение наибольшего и наименьшего значения функции.

8.Сформулировать определение выпуклости функции.

9.Сформулировать и доказать теорему об условиях направленности выпуклости функции вверх или вниз.

10.Дать определение точки перегиба и сформулировать необходимое и достаточное условия существования точки перегиба.

11.Привести определения вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот графика функции.

12.Привести схему полного исследования функции с целью построения ее графика.

13.Сформулировать определение эластичности функции, дать геометрическую интерпретацию.

14.Перечислить и доказать свойства эластичности функции.

Лекция № 15 Комплексные числа проф. Дымков М. П. 131

«КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»

« Число в математике, как и время в физике, известно каждому, но непонятно лишь специалистам».

Из истории чисел. Понятие числа складывалось в математике постепенно с развитием общества, а также под давлением как практики, так и внутренних потребностей самой математической науки. Можно не останавливаться на подробностях числовых множеств N Z Q (натуральных, целых, рацио-

нальных чисел) – их появление и становление имеет очевидную практическую востребованность. (! Заметим лишь, что введение отрицательных чисел можно интерпретировать как необходимость решения уравнения x + n = 0,n N , а потребность рациональных чисел – для решения уравнений mx + n = 0, m,n N .)

Переход (Q → R ) от рациональных чисел к действительным вызван

скорее внутренней логикой развития математики, чем практическими потребностями. В частности, к необходимости введения действительных чисел привело известное математическое открытие, вытекающее из теоремы Пифагора и состоящее в том, что диагональ единичного квадрата несоизмерима с

его сторонами (т.е. не может быть измерена – или по-другому, нет такого
рационального числа вида	p	, обозначающее длину диагонали – или, что нет

	r
такой «единицы», что, разбив ее на q
«кусочков» 1	и, взяв потом р та-
			q

	p	1	, полученной «линейкой» измерим длину диагонали).
ких «кусочков»
		q

! Заметим, что для чисто практических целей рациональных чисел вполне хватает, так как с их помощью можно с любой наперед заданной точ-

ностью произвести измерение любой величины.				1
Алгебраическая запись факта «несоизмеримости» диаго-

нали ведет к необходимости решить уравнение		x2 = 2 . Это 1		2
уравнение во множестве рациональных чисел Q не имеет ре-
шения. Тогда «решили» ввести новый «символ»			(его назвали иррацио-
	2
нальным), которого нет во множестве Q, т.е. он является «внешним» для Q
(не принадлежащим Q) и расширить множество	Q , вводя новые «числа»


Лекция № 15	Комплексные числа	проф. Дымков М. П. 132

вида r1 + r2	, где r1, r2 Q пробегают все Q. Эти числа (и пределы по-
2

следовательностей из таких чисел) относят к действительным (вещественным) числам. Эти числа как бы заполняют промежутки между рациональными числами. Этот факт очень важен для математики, так как действительные числа представляют собой ту непрерывную среду, в которой помещены рациональные числа, и где становится совершенно ясным, что для чисел характерно не только наличие действий сложения (! имеется трудность, например, сложения чисел с непериодическими дробями – как сложить бесконечные «хвосты» – в арифметике оперируют лишь с конечными числами), умноже-

ния, деления, но также неарифметическая операция предельного перехода.

Конечно же, та «непрерывная» среда, куда «затолкали» (обманули, вклеили, и т.п.) рациональные числа, содержит много тайн. Например, если сравнивать «количество» элементов этих множеств (как говорят еще, сравнивать мощности этих множеств), то оказывается, что множество действительных чисел R, «больше» (мощнее), чем другие множества N, Q, чисел (хотя

их тоже бесконечно много). Среди парадоксов бесконечных множеств, например, следующее: все множество и его часть (подмножество) имеют одинаковое «количество» элементов –{10,11,12,….} N .

Про множество N натуральных чисел говорят, что оно счетно. Можно доказать, что Z и Q в некотором смысле эквиваленты множеству N, т.е. имеют одну и ту же мощность (т.е. являются счетными). Множество же R не является счетным, оно «больше». Про множество R говорят, что оно имеет

мощность континуума.

! Интересно заметить, что множество R и его подмножество – например, интервал (0,1) ) – имеют одну и ту же мощность континуума.

Для сравнения мощностей находят так называемые кардинальные числа. Тогда факт, что R больше Q записывается card(R) > card(Q) .

Далее, множество иррациональных чисел тоже сложно устроено. Есть иррациональные алгебраические числа, т.е. это такие иррациональные числа,

которые являются корнем некоторого алгебраического многочлена (т.е. многочлена некоторой конечной степени с целыми коэффициентами). Множество алгебраических иррациональных чисел счетно. Остальные иррациональные числа, т.е. числа, которые не являются алгебраическими, называют трансцендентными числами. Так как множество R имеет мощность континуума, а все перечисленные его подмножества ( N,Q, множество алгебраи-

ческих чисел) имеют меньшую мощность (счетные), то следовательно множество иррациональных трансцендентных чисел самое большое из них и

Лекция № 15 Комплексные числа проф. Дымков М. П. 133

имеет мощность континуума. Но, парадокс! Указать конкретно (предъявить) эти числа весьма непросто. (Чисел много больше, чем в N, а «показать» эти числа трудно!). Точнее, трудно доказать, что именно предъявленное число трансцендентно.

Примеры трансцендентности чисел. Совсем недавно доказали, что знаменитые числа «е» , «π »(Линдеман. 1882 г) являются трансцендентными (Напомним, что число «π »можно интерпретировать как отношение длины окружности к ее диаметру. Тогда с учетом трансцендентности числа «π » можно понять невозможность решения старинной задачи о квадратуре кру-

га). Числа вида αβ , где α алгебраическое, а β – иррациональное число, также является числом трансцендентным (Гельфонд, 1934).

! Любопытна так называемая « 7-ая проблема Гильберта»: Есть ли множества промежуточной мощности между «счетным» и « континуумом»? Была гипотеза, что нет таких множеств. В 1968 году Коэн (США) доказал неразрешимость этой проблемы, т.е. она не может быть не доказана, ни опровергнута (примерно ситуация как с «5-м пастулатом» Евклида).

Если теперь вернуться к 1-ой фразе в начале лекции, то должно быть ясно слушателям, что, действительно, числа (как математический объект) вещь далеко не тривиальная.

Перейдем теперь к очередному расширению, теперь уже расширению множества действительных чисел R →C .

Подобно тому, как в ситуации, когда алгебраическое уравнение x2 = 2 не имело решения во множестве рациональных чисел Q, и тогда для «исправления» этой ситуации был введен «внешний» (относительно Q) символ

2 и сделано расширение Q → R , путем добавления иррациональных чисел, так что это уравнение стало разрешимым в расширенном множестве. Точно так же для квадратного уравнения x2 = −1, можно ввести «внешний» символ


i =	−1	и решение уравнения записать в виде x = ±	−1	или	x = ±i . Здесь
символ i =		или i2 = −1 (введен, по-видимому, Эйлером)	обозначает но-
−1

вое, «недействительное», число.

Нет такого действительного числа, квадрат которого равен «– 1»! Его называют «мнимой единицей». С помощью этого символа можно сделать


расширение	R →C так, что любое квадратное уравнение будет иметь ре-
шение	в	новом	множестве C . Например, x2 − 2x + 4 = 0 имеет
x1,2 =1±			=1±	. Уже древние индусы знали, что не все квадрат-
	3 (−1)	3 i

ные уравнения решаются. Но они, и арабские математики, которые много за-

Лекция № 15	Комплексные числа	проф. Дымков М. П. 134

нимались теорией уравнений, относились к этому спокойно – не все же на свете имеет решение!

Конечно, только возможность извлекать корень квадратный из отрицательного числа недостаточна, чтобы заводить в математике новые числа.

Впервые, по-видимому, мнимые величины появилось в трудах Кардано (1545), который искал выражения в радикалах для решений уравнений 3- ей и 4-ой степеней. (Заметим, что Абель доказал, что, вообще говоря, решения уравнений выше 4-ой степени не выражаются в радикалах.) Он счел их бесполезными и непригодными к употреблению. Действительно, недоверие к этим числам отразилось даже в названии «мнимое». Это недоверие усугублялось тем, что некритическое перенесение формул обычной алгебры на мни-


мые числа порождало неприятные	парадоксы. Например, i =		,	i2 = −1, но
−1
по	правилам	действия	с	квадратными	корнями	получим

−1 = i2 = −1 −1 = (−1)2 = 1 =1. (Отметим наперед, что для комплексных

чисел нет понятия арифметического корня). Многие математики того времени изгоняли их, не признавали природы их, казалась им неясной, загадочной и даже мистической. Например, Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, Лейбниц ─ тоже, и ему принадлежит высокопарная фраза «Мнимые числа – это убежище божественного духа, почти что амфибия (гибрид) бытия и небытия».

Пользу мнимых величин впервые оценил Бомбелли (1572 г.). Он для записи решений кубических уравнений, которые имеют три действительных корня, использовал мнимые величины. Кроме того, дал описание основных операций над числами новой породы.

Термин «Комплексные числа» ввел Карно, но полное «гражданство» комплексным числам дал Гаусс. На протяжении 200 лет шли споры о природе комплексных чисел и само название «мнимые» числа отражало их нелегальный характер. Только на рубеже 18 – 19 веков Гаусс придал им полные гражданские права, дал им геометрическую интерпретацию, доказал основную теорему алгебры (любой многочлен имеет хотя бы один корень – действительный или комплексный). Комплексным числам предстоял долгий путь, прежде чем они стали ценнейшим математическим инструментом для решения важных прикладных задач в механике (упругость каркасов кораблей), физике (профили крыльев самолетов), гидродинамике ( обтекание препятствий).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Возьмем некоторую функцию $y=f(x)$. Возьмем некоторый произвольный $x_1$ из области определения данной функции, ему будет соответствовать единственный $y_1=f(x_1)$. Теперь вместо $x_1$ подставим в имеющуюся функцию $x_2$ (также принадлежащий её области определения). Получим $y_2=f(x_2)$. В зависимости от вида данной функции $y=f(x)$ можем получить, что $y_2=y_1$ или же, что $y_2neq y_1$. Функция реагирует на изменение её аргумента. $y_2$ может отличаться от $y_1$ на большую величину $Delta y$, а может и на маленькую. Эластичность функции как раз и показывает степень её реакции а изменение аргумента.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется значение функции при увеличении аргумента на один процент.

$E_x^y=dfrac {Delta F(x) (проценты) }{Delta x (проценты) }=dfrac {Delta y / y }{Delta x / x}=dfrac{Delta y}{Delta x} cdot dfrac{x}{y}$

В данной формуле $x$ традиционно был принят за независимую переменную.

Если нам нужно посчитать эластичность функции в какой-либо точке (когда изменение аргумента стремится к 0), то можно воспользоваться следующей формулой точечной эластичности:

$E=limlimits_{Delta x to 0} dfrac {Delta y}{Delta x} cdot dfrac{x}{y}=y'(x) cdot dfrac{x}{y}$

Пример 1
Функция спроса имеет вид $Q(P)=100-P$, посчитать эластичность в точке $Q=50$.

$Q=50$, значит и $P=50$

$Q'(P)=-1$

$E=-1 cdot dfrac{50}{50}= -1$

Формулой точечной эластичности можно также пользоваться, когда нужно узнать эластичность в окрестностях какой-либо точки — при малых изменениях функции и аргумента (до 10%):

$E=dfrac{Delta y}{Delta x} cdot dfrac{x}{y}=dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} cdot dfrac{x_1}{y_1}$

Пример 2
При увеличении цены с 50 до 51 д.ед количество покупаемого товара снизилось с 200 до 195 шт. Найти точечную эластичность

$E=dfrac{195-200}{51-50} cdot {50}{200}=-1{,}25$

При больших приращениях функции и аргумента (более 10%) мы ищем чувствительность функции к изменению аргумента на некотором отрезке измерения. Тогда воспользуемся формулой дуговой эластичности, которая поможет избежать проблемы, возникшей бы, если бы мы пользовались формулой для расчета точечной эластичности — при использовании формулы точечной эластичности для подсчета эластичности на отрезке на конечный результат влияет то, какую точку мы считаем $x_1$, а какую $x_2$:

Пример 3
Имеется линейная функция $Q=100-P$, взята точка $A$ c координатами $(25;75)$ и точка $B$ с координатами $(75;25)$ (на первом месте стоит цена). Необходимо посчитать эластичность на отрезке $AB$

Посчитаем по формуле точечной эластичности. Пусть $P_1=x_1=25$, $P_2=x_2=75$. Тогда:

$E=dfrac{25-75}{75-25} cdot dfrac{25}{75}=-dfrac{1}{3}$

Теперь пусть $x_1=75$, $x_2=25$

$E=dfrac{75-25}{25-75} cdot {75}{25}=-3$

Показатели эластичности на отрезке $AB$ различаются в зависимости от того, какую точку $A$ или $B$ принять за начало отрезка. поэтому для расчета эластичности функции при больших изменениях аргумента и зависимой переменной используется формула дуговой эластичности:

$E=dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} cdot dfrac { dfrac{x_2+x_1}{2}}{dfrac{y_2-y_1}{2}}=dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} cdot {x_2+x_1}{y_2+y_1}$

В данной формуле для расчета эластичности вторым множителем выступает не координата начальной точки, а координата точки, располагающейся в середине отрезка $AB$. Теперь значение эластичности не зависит от выбора направления движения.

Посчитаем эластичность по новой формуле. $x_1=25$, $x_2=75$

$E=dfrac{25-75}{75-25} cdot dfrac{75+25}{25+75}=-1$

Теперь $x_1=75$, $x_2=25$

$E=dfrac{75-25}{25-75} cdot dfrac{25+75}{75+25}=-1$

Считать эластичность по формуле дуговой эластичности можно и при малых (до 10%) изменениях аргумента и функции. Значение дуговой и точечной эластичности тогда будут близки. Точечная эластичность показывает реакцию функции на изменение аргумента в точке или в её окрестности, дуговая же показывает чувствительность функции к изменению аргумента на некотором отрезке.

Если эластичность функции в какой-любо точке/ на каком-либо отрезке равна 0, то данная функция в этом месте является совершенно неэластичной, если $0< E< 1$, то это неэластичный фрагмент, если $E=1$, то это фрагмент с единичной эластичностью, если $1< E< infty$, то фрагмент функции эластичен, если $E=infty$, то он совершенно эластичен.

Источник

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ К ЭКОНОМИЧЕСКИМ
ЗАДАЧАМ

Ни одно
человеческое исследование не может называться наукой, если оно не прошло через
математические
доказательства.

Леонардо
да Винчи

ПЛАН

1.
Экономический смысл производной.

2.
Эластичность. Задача о спросе и
предложении

3.
Применение производной для
функции, заданной таблично.

15.1.
Экономический смысл производной

Рассмотрим задачу, иллюстрирующую экономический смысл
производной. Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой
продукции x. Пусть Dx – прирост продукции, тогда Dy – приращение
издержек производства. Воспользуемся формулой (11.12)

Если ,
то получим

Таким
образом, производная характеризует приближенно
дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции
и выражает предельные издержки производства.

Аналогичным образом, могут быть определены предельные
выручка, предельный продукт и другие предельные показатели. Предельные величины
характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величина), а процесс,
изменение экономического объекта.

Пример
15.1. Функция издержек производства продукции некоторой фирмы имеет вид

Найти средние и предельные
издержки и вычислить их значение при .

Решение.
Найдем производную и ее значение – предельные издержки
производства:

, .

Средние издержки:

, .

Это означает,
что при данном уровне производства (количестве выпускаемой продукции) средние
затраты на производство одной единицы продукции составляют 28 ден. ед., а
увеличение объема производства на одну единицу продукции обойдутся фирме
приближенно в 11 ден. ед.

15.2.
Эластичность. Задача спроса и предложения

Для исследования экономических процессов и решения
других прикладных задач часто используется понятие эластичности.

Определение 15.1. Эластичностью функции называется предел
отношения относительного приращения функции y(x)
к относительному приращению переменной xпри :

. (15.1)

Вспоминая
определение производной, получим

.
(15.2)

Эластичность функции показывает приближенно, на
сколько процентов изменится функция при увеличении
независимой переменной на 1%.

Отметим,
что эластичность можно представить в виде

.
(15.3)

В связи с этим становятся
понятными следующие свойства эластичности:

, .

Пример
15.2. Найти эластичность функций: а) ,
б) .

Решение.
а) Поскольку , то по формуле (15.2)
получаем

б) Для степенной функции

Как мы видим, эластичность степенной функции есть
величина постоянная, равная показателю степени. Это характерное свойство только
степенных функций. Поэтому степенные функции довольно часто используются в экономической
теории, т.к. все ее параметры имеют четкий экономический смысл.

В случае табличного задания функции определение
эластичности не однозначно. Это связано с тем, что в отношении не ясно, что брать в качестве x:
первоначальное значение x₁, конечное
значение x₂ или
среднее значение . В зависимости от этого
различают:

конечную
эластичность

среднюю
эластичность

а
также логарифмическую эластичность

Все эти выражения мало отличаются друг от друга при
небольших относительных изменениях величин x
и y.

Эластичность функций часто применяется при анализе
спроса и потребления. Например, эластичность спроса y
относительно цены x
(или дохода x) показывает, на сколько процентов изменится спрос (объем
потребления) при увеличении цены (или дохода) на 1%. Спрос называется эластичным,
если , неэластичным, если , и нейтральным, если .

Пример
15.3. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y (тыс. руб.) и выпуском продукции x
(млн. руб.) выражается функцией

Найти эластичность себестоимости
при выпуске продукции, равном 60 млн. руб.

Решение.
Воспользуемся решением предыдущей задачи

В нашем случае

При

т.е. при выпуске продукции,
равном 60 млн. руб., увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости на
0,5%.

Пример
15.4. Функция спроса и предложения имеют соответственно вид:

, ,

где q
и s – количество товара, соответственно
покупаемого и продаваемого в единицу времени, p
– цена единицы товара. Найти: а) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос
и предложения уравновешиваются; б) эластичности спроса и предложения при
равновесной цене; в) изменение дохода при увеличении цены на 10% от
равновесной.

Решение.
а) Равновесная цена определяется из условия ,
т.е.

откуда
находим и .
Последний корень отбрасываем, т.к. цена не может быть отрицательной и
устанавливаем, что равновесная цена равна 2 ден. ед.

б) Найдем
эластичности спроса и предложения. Вычисляем соответствующие производные:

, ,

и подставляем их в формулу
(15.2):

Для равновесной цены имеем

, .

Так как
полученные значения эластичностей меньше 1, то спрос и предложение данного
товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены.
Это означает, что изменение цен не приведет к резкому изменению спроса и
предложения.

в) При
увеличении цены p на 10% от равновесной цены
спрос уменьшится на , следовательно, доход от проданной продукции (цена p умноженная на количество q
проданного товара) возрастет в целом на .
Несмотря на то, что цена на товар увеличилась и спрос на нее упал, предприятие
все равно получает прибыль.

Пример
15.5. Зависимость между спросом и ценой q и
ценой p за единицу продукции, выпускаемой
некоторым предприятием, дается соотношением:

Найти эластичность спроса.
Выяснить, при каких значениях цен спрос является эластичным, нейтральным и
неэластичным. Какие рекомендации о цене за единицу продукции можно дать
руководителям предприятия при и при ден. ед.?

Решение.
Найдем эластичность по формуле (15.2):

Для нахождения
p воспользуемся тем, что при нейтральном спросе , т.е.

Тогда .

Далее,
принимая во внимание, что цена и спрос , получим еще одно ограничение на p:

Таким образом, область изменения
цены p интервал (0; 324). Причем он точкой p = 144 делится на две части. Посмотрим модуль
эластичности на каждой из них.

Источник

Эластичность функции

Определение и свойства эластичности функций

Свойства эластичности функции

Эластичность спроса относительно цены

Эластичность предложения относительно цены

Эластичность функции y = f (x) можно найти из графика этой функции.

Свойства эластичности функции

Эластичность элементарных функций

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ К ЭКОНОМИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ

15.1. Экономический смысл производной

15.2. Эластичность. Задача спроса и предложения

Не пропустите также:

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ К ЭКОНОМИЧЕСКИМ
ЗАДАЧАМ

15.1.
Экономический смысл производной

15.2.
Эластичность. Задача спроса и предложения