1. Как строить эпюру Q по эпюре M
(или как проверить их соответствие друг другу)
1 правило –определение знака эпюры Q по эпюре М:
Если на эп.М граничная линия эпюры «поворачивается» от «нулевой» линии по часовой стрелке, то Q – положительна; если – против часовой стрелки, то Q – отрицательна. Например:
2 правило:определение значений поперечной силы Q по дифференциальной зависимости Q = dM/dx = tg α
а) если эпюра М прямолинейна:
Примеры: Построить эпюру поперечных сил Q.
а) Эпюра моментов М — прямолинейна.
б) Если эпюра моментов – квадратная парабола (на участке – равномерно — распределённая нагрузка). В этом случае пользуются принципом независимости действия сил: сначала определяют поперечную силу от равномерно — распределённой нагрузки — «балочную поперечную силу» Qб, затем определяют поперечную силу от изгибающего момента и складывают их.
1-й способ – по формуле: Q = Qб – Мпр. + Млев./ l
Знаки моментов: плюс + по часовой стрелке, минус — против часовой стрелки.
2-й способ – «визуальный» («по здравому смыслу»):
Сначала определяем реакции от нагрузки: 12, затем – от моментов: 8, затем их складываем: 12+8=20, 12-8=4. Знаки Q определяем, как обычно.
2. Как найти экстремальный момент?
Его надо искать в том сечении, где Q = 0 (меняет знак).
(Q = dM/dx ; из математики: в экстремальных значениях функции первая производная равна нулю).
Объяснение на примере:
1-й способ(для студентов):
1) отмечаем Х;
2) выражаем Qx через Х, приравнивая её к нулю. Находим Х:
Qx= ‒ 2 + 4·Х = 0; Х = 0.5м;
3) определяем Мех по правилу: Мех = 2·Х ‒ 4·Х· Х/2 = 2·0.5 – 4·0.5·0.25 = 0.5.
2-й способ – по дифференциальным зависимостям:q = 
= tgα;
Рассматриваем треугольник на эпюре Q: Х= 
(более простой, особенно в примерах с большим количеством участков).
1) отмечаем Х;
2) Находим Х = Q/q = 2/4 = 0.5.
3) определяем Мех по правилу: Мех = 2·Х ‒ 4·Х· Х/2 = 2·0.5 – 4·0.5·0.25 = 0.5.
нейного перемещения прикладывается сосредоточенная единичная сила, для угла поворота – сосредоточенный единичный момент. Все единичные воздействия безразмерны.
Построить эпюры моментов (эп. M ) от каждого единичного воздействия.
Найти заданные перемещения при помощи интеграла Мора:
i = ∑ 1 ∫l M F Mdx , EI 0
где EI – жесткость стержня, которую в этом задании следует принять постоянной.
Определение перемещений в системах, состоящих из прямолинейных элементов постоянной жесткости, можно значительно упростить путем применения графоаналитических способов вычисления этого интеграла. Этот прием называют способом перемножения эпюр. Для перемножения эпюр будем использовать правило Верещагина и формулу Симпсона. Формулу Мора в дальнейшем будем писать в сокращенном виде, опуская знак суммы и знак интеграла.
Правило Верещагина формулируется следующим образом: результат перемножения двух эпюр, одна из которых прямолинейна, равен произведению площади криволинейной эпюры ω на
|
ординату |
yC, |
вычисленную в |
q |
||||||||||
|
прямолинейной эпюре под цен- |
|||||||||||||
|
тром тяжести (ц. т.) криволиней- |
l/2 |
l/2 |
|||||||||||
|
ной (рис. 2): |
|||||||||||||
|
l |
|||||||||||||
|
MF M ωyC |
ц.т. |
b Эп. МF |
|||||||||||
|
= |
EI |
= EI . |
a |
e |
|||||||||
|
Площади некоторых про- |
|||||||
|
стейших фигур, а также коорди- c |
Эп. |
||||||
|
yC |
g |
М |
|||||
|
наты их центров тяжести приве- |
d |
||||||
|
дены на рис. 3. |
Рис. 2 |
11
|
Прямоугольник |
Треугольник |
||||||||||
|
h |
l/2 |
||||||||||
|
h |
h/2 |
l h |
|||||||||
|
ц.т. |
• |
ω = l h |
ц.т. • |
ω = |
|||||||
|
l/2 |
l/2 |
l/3 |
2l/3 |
2 |
|||||||
|
l |
l |
||||||||||
|
Квадратная парабола |
Квадратная парабола |
||||||||||
|
с вершиной в точке К |
с вершиной в точке L |
||||||||||
|
h |
l/2 |
h |
L |
l/2 |
|||||||
|
l h |
3h/4 |
2l h |
|||||||||
|
ц.т. • |
h/4 |
ц.т. |
|||||||||
|
ω = |
• |
ω = |
|||||||||
|
l/4 |
3l/4 |
K |
3 |
3l/8 |
5l/8 |
3 |
|||||
|
l |
l |
||||||||||
|
Квадратная парабола |
Трапеция |
||||||||||
|
h |
a + b |
||||||||||
|
2l h |
a |
2 |
a + b |
||||||||
|
ц.т. • |
b |
||||||||||
|
ω = |
ω = |
l |
|||||||||
|
l/2 |
l/2 |
3 |
l/2 |
l/2 |
2 |
||||||
|
l |
l |
|
Перекрученная трапеция |
Криволинейная трапеция |
||||
|
a |
a − b |
a + b |
ql2 |
||
|
2 |
|||||
|
2 |
8 |
||||
|
a − b |
a |
||||
|
ω = |
2 |
l |
b |
||
|
l/2 |
l/2 |
b |
l/2 |
l/2 |
|
|
l |
l |
||||
|
Рис. 3 |
Результат будет положительным, если центр тяжести криволинейной эпюры и ордината yC в прямолинейной эпюре расположены по одну сторону от оси стержня. Если же они расположены по разные стороны от оси, произведение берется со знаком минус.
12
В том случае, когда обе эпюры прямолинейны, можно брать площадь любой из них.
Ниже приведем площади, положения центров тяжести и значения ординат в серединах участков некоторых фигур.
Для фигур, у которых сложно найти площадь и центр тяжести, можно применить развернутую формулу Верещагина (см.
рис. 2):
|
M F |
l |
ql2 |
||||||||||
|
= |
M |
= |
2ac + 2bd + ad + bc ± |
c + d |
||||||||
|
. |
||||||||||||
|
EI |
6EI |
4 |
В этой формуле в скобках первые два слагаемых представляют собой удвоенные произведения соответствующих ординат графиков друг на друга – левой ординаты эп. MF на левую ординату эп. M и правой ординаты эп. MF на правую ординату эп. M . Следующие два слагаемых — произведения ординат крест- на-крест, т.е. левой ординаты грузовой эпюры на правую ординату, взятую из единичной, и наоборот. Произведения ординат берутся со знаком плюс, если перемножаемые ординаты лежат по одну сторону от оси. Если же они лежат по разные стороны от оси, причем совершенно неважно, какая из них сверху, а какая снизу, произведение берется со знаком минус.
Далее в этой формуле следует слагаемое, зависящее от интенсивности распределенной нагрузки q. Перед ним знак выбирается следующим образом: ординаты a и b на грузовой эпюре мысленно соединим прямой линией (на рис. 2 эта линия показана пунктиром). Если криволинейная добавка расположена от спрямляющей линии с той же стороны, что и серединное значение на единичной эпюре от своей оси (оба сверху или оба снизу), берется знак плюс. Если же они лежат по разные стороны – знак минус.
В некоторых случаях бывает удобнее воспользоваться формулой Симпсона:
|
= |
M F M |
= |
l |
(ac + 4eg + bd ). |
|
|
EI |
6EI |
13
Здесь в скобках первое и последнее слагаемые представляют собой произведения соответствующих граничных ординат перемножаемых графиков (см. рис. 2). Второе слагаемое — это учетверенное произведение средних ординат.
Развернутая формула Верещагина и формула Симпсона универсальны, т.е. применимы к графикам любых очертаний. Формула Симпсона более компактна, но требует дополнительного вычисления значений в серединах участков.
Определяя перемещения, следует помнить о том, что перемножение грузовой и единичной эпюр будет представлять собой сумму произведений соответствующих друг другу участков.
Если при перемножении эпюр мы получим отрицательный результат, это будет означать, что искомое перемещение направлено в противоположную сторону, чем приложенное единичное воздействие.
Расчетно-проектировочная работа должна состоять из пояснительной записки и графической части. В пояснительной записке содержится условие задачи и ее решение. На графическую часть сводятся все схемы и эпюры. Схемы должны быть сделаны в едином масштабе. То, что касается построения грузовой эпюры моментов и проверки равновесия узлов, должно быть расположено на одном листе. Единичные эпюры моментов и схемы для них можно расположить на другом листе графической части.
ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
Пример 1
Для рамы (рис. 4, а) требуется:
1.Построить эпюры внутренних силовых факторов.
2.Для сечения К1 определить угол поворота, а для сечения К2 — вертикальное перемещение. Жесткости стержней принять одинаковыми.
14
Решение
Прежде всего, необходимо убедиться в том, что заданная рама статически определима. Для этого подсчитаем число степеней свободы системы (см. рис. 4, а):
W= 3d − 2ш− соп = 3 3 − 2 3 − 3 = 0 .
Вдальнейшем все схемы и эпюры будем показывать на гра-
фической части (рис. 4, 5). На расчетных схемах рамы мы будем опускать размерности величин, подразумевая, что силы проставлены в килоньютонах, а линейные размеры – в метрах. Вычислим реакции опор (рис. 4, б).
|
∑M A = 0 : |
− 6 8 4 + 24 + RB 14 = 0; |
RB = 12 êН; |
|
∑MB = 0 : |
− 6 8 4 + 24 + RА 14 = 0; |
RA = 12 êН; |
|
∑X = 0 : 6 8 − H A = 0; H A = 48 êН; |
||
|
∑Y = 0 : |
12 −12 = 0 — проверка выполняется. |
Для того чтобы построить эпюры внутренних силовых факторов, покажем поэтажную схему (рис. 4, в). Основной рамой (нижний этаж) будет являться часть AGLBDE. Часть DPCSE – верхний этаж, который опирается на нижний в шарнирах D и E. Эти шарниры заменим шарнирно неподвижными опорами. Рас-
|
смотрим верхний этаж. Найдем реакции опор D и E: |
|
|
∑MD = 0 : − 6 4 2 + 24 + RE 8 = 0; |
RE = 3 êН; |
|
∑ME = 0 : − 6 4 2 + 24 + RD 8 = 0; |
RD = 3 êН; |
|
∑Y = 0 : − 3 + 3 = 0 — проверка. |
|
|
∑MCсправа = 0 : 24 + 3 4 − HE 4 = 0; |
HЕ = 9 êН; |
|
∑MCслева = 0 : 6 4 2 + 3 4 − HD 4 = 0; |
HD = 9 êН; |
∑X = 0 : −15 − 9 + 6 4 = 0 — проверка.
Далее строим эпюры внутренних силовых факторов методом сечений по точкам.
15
Рассмотрим участок DP верхнего этажа. Здесь удобнее рассматривать нижнюю отсеченную часть (см. рис. 4, в):
N = 3 êН; QD = 15 êН; QP = 15 − 6 4 = −9 êН;
MD = 0; MP = 15 4 − 6 4 2 = 12 êН м.
По полученным данным построим эпюры на участке
DP: эп. NF (рис. 4, г); эп. QF (рис. 4, д); эп. MF (рис. 4, е). В ре-
зультате мы видим, что эпюра Q на этом участке меняет свой знак (см. рис. 4, д). Это означает, что в том месте, где поперечная сила равна нулю, на эпюре моментов будет экстремальное значение (см. рис. 4, е).
При определении перемещений величина экстремума не представляет интереса. При построении графиков изменения внутреннего изгибающего момента в стержневых системах знать экстремальное значение необходимо для расчетов на прочность. Исключение составляют случаи, когда экстремум очень мало (менее чем на 5 %) отличается от уже найденных значений момента на границах или в середине участка.
Покажем, как можно найти экстремальный момент. Здесь мы воспользуемся дифференциальной зависимостью между по-
перечной силой и изгибающим моментом: dMdx = Q .
Составим выражение, отражающее изменение поперечной силы на участке DP, и приравняем его к нулю. Так мы находим расстояние от точки D до сечения (Т), в котором момент приобретает экстремальное значение QDP = 15 − 6x = 0, x = 2,5 м.
Пользуясь той же дифференциальной зависимостью, найдем значение экстремума по площади эпюры Q:
|
MT |
= M лев + ωQ |
x |
, |
|
|
0 |
||||
где Mлев — значение момента в крайней левой точке участка (в данном случае, при взгляде на раму изнутри, это будет значение
16
момента в сечении D); ωQ – площадь, ограниченная графиком
изменения поперечной силы и пределами интегрирования (т.е. это площадь под графиком Q в пределах от точки D до точки T). Все значения, встречающиеся нам в этой формуле, нужно брать со своими знаками.
MT = 0 + 15 22,5 = 18,75 êН м.
Рассмотрим участок PS. Здесь следует заметить, что разбивать его на два в точке С необязательно, так как эта точка не является точкой приложения или изменения нагрузки, а значит не является границей участка. Следует только помнить о том, что значение внутреннего момента во врезанном шарнире (С) должно быть равно нулю. Делая сечение в пределах участка PS, удобнее рассматривать правую отсеченную часть верхнего этажа рамы
(см. рис. 4, в):
N = −9 êН; Q = −3 êН;
MS = −9 4 + 24 = −12 êН м;
MP = −9 4 + 24 + 3 8 = 12 êН м.
Получившиеся здесь значения так же, как и в предыдущем случае, отложим на соответствующих графиках (см. рис. 4, г – е).
Участок ES верхнего этажа. Равновесие нижней отсеченной части:
N = −3 êН; Q = 9 êН;
ME = 0; MS = −9 4 = −36 êН м.
Далее переходим к рассмотрению нижнего этажа. При этом реакции опор с верхней части рамы переносятся на нижнюю в виде сил, равных этим реакциям по величине, но направленных в противоположную сторону (см. рис. 4, в).
17
Участок DG. Здесь будем рассматривать равновесие верхней отсеченной части:
N = 3 êН; QD = 15 êН; QG = 15 + 6 4 = 39 êН;
MD = 0; MG = 15 4 + 6 4 2 = 108 êН м.
Участок АG. Равновесие левой отсеченной части:
N = 48 êН; Q = −12 êН;
M A = 0; MG = −12 3 = −36 êН м.
Участок EL. Равновесие верхней отсеченной части нижнего этажа:
N = −3 êН; Q = 9 êН;
ME = 0; ML = 9 4 = 36 êН м.
Участок LB. Равновесие правой отсеченной части:
N = 0; Q = −12 êН;
MB = 0; ML = 12 3 = 36 êН м.
Участок GL. Равновесие правой отсеченной части нижнего этажа:
N = 9 êН; Q = −12 + 3 = −9 êН;
ML = 12 3 − 9 4 = 0; MG = 12 11− 9 4 − 3 8 = 72 êН м.
Получившиеся эпюры показаны на рис. 4.
После построения эпюр необходимо сделать проверку равновесия узлов (рис. 4, ж).
18
|
а) |
24 кН·м |
б) |
24 |
|||||||||||||||||
|
м |
6 кН/м |
6 |
P |
С |
S |
|||||||||||||||
|
4 |
К1 |
|||||||||||||||||||
|
D |
E |
|||||||||||||||||||
|
RА=12 |
RВ=12 |
|||||||||||||||||||
|
4м |
||||||||||||||||||||
|
HА=48 |
А |
В |
||||||||||||||||||
|
К2 |
G |
L |
||||||||||||||||||
|
3м |
4м |
4м |
3м |
3 |
4 |
4 |
3 |
|||||||||||||
|
в) |
24 |
г) |
3 |
9 |
3 |
|||||||||||||||
|
6 |
P |
С |
S |
P |
S |
|||||||||||||||
|
4 |
9 |
|||||||||||||||||||
|
RD=3 |
RE=3 |
|||||||||||||||||||
|
HD=15 |
HЕ=9 |
|||||||||||||||||||
|
Эп. NF |
||||||||||||||||||||
|
D 15 |
9 |
E |
||||||||||||||||||
|
RА=12 |
RВ=12 |
48 |
48 |
(кН) |
9 |
|||||||||||||||
|
4 |
3 |
|||||||||||||||||||
|
3 |
||||||||||||||||||||
|
HА=48 |
||||||||||||||||||||
|
А |
G |
L |
В |
А |
G |
9 |
L |
B |
||||||||||||
|
3 |
3 |
|||||||||||||||||||
|
д) |
9 |
9 |
е) |
12 |
12 |
36 |
||||||||||||||
|
P |
S |
P |
S |
|||||||||||||||||
|
4 |
3 |
T |
3 |
12 |
С |
|||||||||||||||
|
2,5 |
2,5 |
18,75 |
Эп. МF |
|||||||||||||||||
|
15 |
Эп. QF |
К1 |
||||||||||||||||||
|
D |
(кН) |
D |
(кН·м) |
Е |
||||||||||||||||
|
4 |
9 |
36 |
||||||||||||||||||
|
А |
G |
L |
B |
А |
G |
К2 36 |
L |
B |
||||||||||||
|
39 |
||||||||||||||||||||
|
12 |
12 |
9 |
9 |
12 |
12 |
108 |
36 |
36 |
||||||||||||
|
72 |
||||||||||||||||||||
|
y |
12 |
ж) |
3 |
3 |
||||||||||||||||
|
12 |
||||||||||||||||||||
|
9 |
9 |
39 |
9 |
|||||||||||||||||
|
P |
S |
108 |
36 |
|||||||||||||||||
|
12 |
12 |
12 |
9 |
9 |
12 |
|||||||||||||||
|
3 |
3 |
|||||||||||||||||||
|
9 |
9 |
48 |
36 |
G |
72 |
9 |
9 |
L |
36 |
x |
||||||||||
|
3 |
3 |
|||||||||||||||||||
|
Рис. 4 |
19 |
|||||||||||||||||||
Перейдемкпостроениюединичныхэпюрмоментов(см. рис. 5). Для определения угла поворота сечения К1 приложим в этом сечениибезразмерныйединичныймомент(рис. 5, а). Найдемреакцииопор:
|
∑ M A = 0 : |
1+ RB 14 = 0; |
RB = −0,0714 |
1 |
, |
|||
|
м |
|||||||
|
∑Y = 0 : |
RA − 0,0714 = 0; |
RA = 0,0714 |
1 |
. |
|||
|
м |
|||||||
|
а) |
S |
б) |
P |
С |
||||
|
P |
||||||||
|
RD=0,125 |
||||||||
|
C |
M=1 |
M=1 |
||||||
|
HD=0,125 |
||||||||
|
К1 |
||||||||
|
D |
E RВ |
D |
0,125 |
|||||
|
RА |
RА=0,0714 |
0,125 |
0,125 |
|||||
|
HА A G |
L |
B |
А |
0,125 |
||||
|
G |
||||||||
S RE=0,125
HЕ=0,125
E RВ=0,0714
L В
в) 0,5
P
0,5
D
0,286
A
G
0,214
д)
P
D
RА=0,5
A G
3м
0,5
S
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
E |
Эп. M 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
0,71 |
|||||||||||||||||||||||||
|
0,214 |
|||||||||||||||||||||||||
|
B |
|||||||||||||||||||||||||
|
0,5 |
L |
||||||||||||||||||||||||
|
0,5 |
|
S |
|
|
C |
4 м |
|
F=1 |
E RB=0,5 |
|
L |
4 м |
|
B |
|
|
К2 |
|
|
4м 4м |
3м |
0,214 
0,286
G
0,5
0,714 
0,214
L
е)
P S
Эп. M 2
(м)
|
A |
G |
К2 |
L |
B |
|
1,5 |
3,5 |
1,5 |
||
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
В этом уроке будем учиться строить эпюры для балок, работающих на поперечный изгиб — эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Важно уметь правильно построить и проанализировать эти эпюры, потому что большинство современных инженерных сооружений состоят из элементов, которые работают на изгиб.
В статье рассмотрим 2 примера: один попроще — консольная балка, загруженная сосредоточенными силами и моментом, другой посложнее — двухопорная балка, загруженная распределённой нагрузкой.
Чтобы освоить материал этого урока, уже нужно знать, как определяются опорные реакции. Умеешь — отлично, но если же нет, то можешь изучить этот урок.
Подробно рассматривать в этом уроке нахождения реакций не будем, я буду приводить только их расчёт.
Поперечные силы и изгибающие моменты
При поперечном изгибе, в поперечных сечениях балки, возникает два внутренних силовых фактора (ВСФ) – поперечная сила (Q) и изгибающий момент (Mизг).
Наша задача, научиться определять их и строить эпюры. Чтобы потом, используя полученные эпюры, можно было проводить различные расчёты. Например, подбирать размеры поперечных сечений балки или проверять прочность балки, если эти размеры уже заданы и т. д.
Поперечные силы и изгибающие моменты определяются с помощью метода сечений. Когда балка мысленно рассекается на две части. Затем действие частей балки друг на друга заменяется внутренними силовыми факторами (ВСФ) – поперечными силами и изгибающими моментами. Потом путём рассмотрения равновесия одной из частей находятся ВСФ.
Если пока не очень понятно — это нормально, когда начнём это всё делать на практике, ты обязательно всё поймёшь!
Обозначения поперечных сил и изгибающих моментов
Теперь поговорим по поводу обозначений для поперечных сил и изгибающих моментов. Как правило, задачи в сопромате, и механике в целом, решаются относительно каких-то координатных осей. А поперечные силы и изгибающие моменты, имеют индексы в зависимости от выбранной системы координат.
Например, если выбрать следующие обозначения для координатных осей:
То, поперечная сила, будет обозначаться, как Qy (параллельна оси y), а изгибающий момент, как Mx (поворачивает относительно оси x). Это наиболее частый вариант. Однако, можно встретить обозначения – Qy, Mz или Qz, Mx. Самые ленивые, предпочитают подписывать данные величины, как просто Q и M. Как видишь, здесь всё зависит от предпочтений твоего преподавателя. Чтобы изучая этот урок, ты не привыкал (- а) к каким-то индексам, т. к. твой преподаватель тебя всё равно будет учить по-своему, я решил использовать в статье для поперечной силы, просто букву – Q, а для изгибающего момента – Mизг. Такое обозначение изгибающего момента, тоже используется часто, а сам индекс «изг» нужен, чтобы не путать внутренний – изгибающий момент, с внешними моментами, которые почти всегда подписываются просто буквой – M.
Расчётная схема балки
Также нужно понимать, что когда мы рассчитываем поперечные силы и изгибающие моменты, мы считаем их непросто для какой-то линии:
А подразумеваем, что мы рассчитываем некоторый элемент конструкции — балку, которая обязательно имеет некоторую форму, либо для которой впоследствии будет рассчитана эта форма, в зависимости от целей расчёта.
К примеру, балка может иметь прямоугольное поперечное сечение:
Если в расчётах эпюр при растяжении (сжатии) или кручении, форма стержня указывалась явно, и в этом был определённый смысл, так как те стержня имели ступенчатую форму – разную жёсткость на участках. То здесь, как правило, балки имеют одинаковое сечение, по всей длине, поэтому для экономии времени, балку показывают в виде такой линии. Затем, после построения эпюр, традиционно, для балки либо подбирается поперечное сечение из условия прочности, либо проверяется прочность уже заданного сечения.
Правила знаков для поперечных сил и изгибающих моментов
В этом разделе поговорим о правилах знаков для поперечных сил и изгибающих моментов. Для примера возьмём самую простую расчётную схему — консольную балку, загруженную сосредоточенной силой (F).
Расчётная схема
Предположим, что нужно определить поперечную силу и изгибающий момент в каком-то поперечном сечении. Пока не будем строить никаких эпюр, а просто поставим перед собой простейшую задачу — рассчитать внутренние силовые факторы (Q и Мизг) для одного, конкретного сечения. Например, рассмотрим сечение в заделке (А).
Чтобы вычислить внутренние силовые факторы для этого сечения, нужно учесть всю внешнюю нагрузку, либо справа от сечения, либо слева. Если учитывать нагрузку справа — нужно учесть силу F, а если учитывать нагрузку слева — нужно учесть тогда реакции в заделке. Чтобы не вычислять реакции, пойдём по короткому пути и учтём всю нагрузку — справа.
Правило знаков для поперечных сил
Поперечная сила в сечении будет равна алгебраической сумме всех внешних сил (с учётом знака) по одну сторону от рассматриваемого сечения.
А знаки внешних сил определяются следующим образом — если внешняя сила, относительно рассматриваемого сечения, стремится повернуть:
• ПО часовой стрелке, то её нужно учесть с «плюсом»;
• ПРОТИВ часовой стрелки — учитываем её с «минусом».
Таким образом, для нашего случая, поперечная сила в сечении A будет равна:
Правило знаков для изгибающих моментов
Изгибающий момент в сечении будет равен алгебраической сумме всех моментов внешних сил (с учётом знака) по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Перед тем как поговорить о правилах знаков для изгибающих моментов. Необходимо понять ещё одну особенность — когда на балку действует какая-то внешняя нагрузка, балка деформируется. При деформации балки принято различать «верхние волокна» и «нижние волокна», относительно линии (нейтральной оси), проходящей через центр тяжести поперечного сечения балки.
Одни волокна при поперечном изгибе, будут растягиваться, а другие сжиматься.
В нашем случае, «верхние волокна», как видишь, будут растянуты, а нижние – сжаты.
На основании этой особенности, часто используется следующее правило для изгибающих моментов — если момент силы стремится растянуть:
• верхние волокна, то учитываем его с «минусом»;
• нижние волокна, то нужно учесть его с «плюсом».
Не забываем, что мы ведём расчёт моментов, поэтому все силы нужно умножать на соответствующие плечи.
Таким образом, в нашем случае, изгибающий момент в сечении A будет равен:
Если на балку действуют сосредоточенные моменты, то правило знаков аналогичное:
Сосредоточенные моменты, конечно, уже не нужно ни на что умножать. Например, для верхней схемы, изгибающий момент в сечении A будет равен:
Как построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов ?
В пределах участков, и эпюра Q и эпюра M меняются по определённому закону. Границами участков являются точки приложения сил, моментов, а также начало и конец распределённой нагрузки (будем рассматривать во второй задаче). Поэтому, чтобы построить эпюры в пределах участка, сначала необходимо написать уравнения, которые будут описывать изменение поперечных сил и изгибающих моментов в пределах участка. А затем, подставляя в уравнения координаты начала и конца участка, получить значения на эпюрах в характерных точках, и построить эпюры на участке. Рассчитав таким образом все участки, можно построить эпюры для балки.
Чувствую, опять перегрузил тебя информацией…давай лучше, наконец, посмотрим, как это всё делается на практике 😉
Построение эпюр для консольной балки
В качестве первого примера, возьмём консольную балку, жёстко закреплённую с левого торца и загруженной следующим образом:
Будем рассчитывать балку справа налево.
Рассмотрим первый участок
Обозначим некоторое сечение 1-1 на расстоянии x1, от свободного торца балки, при этом x1 будет находиться в диапазоне: 0 ≤ x1 ≤ 4м.
Так как расчёт выполняется справа налево, то в уравнениях необходимо учесть всю нагрузку, которая находится правее рассматриваемого сечения. Как видишь, на этом участке действует всего лишь одна сила F. Её и будем учитывать.
Поперечные силы на первом участке
Сила F, относительно сечения 1-1, поворачивает ПО часовой стрелке, поэтому с учётом правила знаков, записываем её с «плюсом»:
Как видишь, поперечная сила будет постоянна на первом участке:
Уже можем отразить это на эпюре поперечных сил:
Изгибающие моменты на первом участке
Теперь запишем уравнение для изгибающих моментов. Сила F растягивает верхние волокна, поэтому с учётом правила знаков, нужно учесть момент силы F со знаком «минус»:
Здесь уже изгибающие моменты будут меняться по линейному закону. Как я уже писал, чтобы построить эпюру изгибающих моментов на участке, нужно вычислить значения на границах участка:
Откладываем полученные значения:
Расчёт второго участка
Переходим ко второму участку. Также будем рассматривать некоторое сечение 2-2, на расстоянии x2 от начала участка (0 ≤ x2 ≤ 6м). Здесь также нужно учесть ВСЮ нагрузку, которая находится справа от сечения 2-2.
Поперечные силы на втором участке
Теперь на участке будут действовать 2 силы (сосредоточенный момент — M, никак не влияет на эпюру поперечных сил), учитываем их с учётом правила знаков:
Теперь можем показать окончательную эпюру поперечных сил:
Изгибающие моменты на втором участке
Для изгибающих моментов, с учётом правила знаков, второе уравнение будет выглядеть следующим образом:
Вычисляем значения на границах второго участка:
Показываем окончательную эпюру изгибащих моментов:
Проверка построенных эпюр
Балку можно рассчитать и слева направо. При этом очевидно, должны получаться те же эпюры. Давай проверим себя и рассчитаем эту балку с другой стороны.
Определение реакций в жёсткой заделке
Первым делом, нам потребуется определить реакции в заделке:
Расчёт эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Рассчитываем все участки теперь слева направо:
Ожидаемо, получили те же эпюры поперечных сил и изгибающих моментов:
Причём не обязательно считать все участки балки только слева направо или справа налево. Можно считать балку с разных сторон:
Такой подход позволяет минимизировать расчёт: когда балка имеет много расчётных участков. Как раз так и будем считать вторую двухопорную балку.
Эпюра моментов со стороны растянутых или сжатых волокон
По построенной эпюре можно явно сказать, какие волокна балки будут растянуты, а какие сжаты. Это очень полезная информация, при проведении прочностных расчётов.
Причем сама эпюра была построенна со стороны растянутых волокон:
Однако, студентов некоторых специальностей учат строить эпюры, с другой стороны – со стороны сжатых волокон:
Как видишь, в первом случае, отрицательные значения на эпюре моментов откладываются выше нулевой линии, а во втором – ниже. При этом правила знаков для расчета эпюр и сами расчёты не меняются. Обычно эпюры «на растянутых волокнах» строят студенты — строители, а эпюры «на сжатых волокнах» строятся студентами машиностроительных специальностей. В конечном счёте с какой стороны ты будешь строить эпюры, будет зависеть от твоего преподавателя, как он учит. В своих уроках я буду строить эпюры моментов со стороны растянутых волокон.
Учёт распределённой нагрузки
Перед тем как пойдём дальше и рассмотрим вторую задачу – двухопорную балку, нужно научиться работать с распределённой нагрузкой.
Давай рассмотрим ещё одну простенькую схему — консольную балку, загруженную распределённой нагрузкой:
Определение поперечной силы и изгибающего момента в сечении A
Чтобы определить поперечную силу в сечении A, первым делом нужно «свернуть» распределённую нагрузку (q) до сосредоточенной силы. Для этого нужно интенсивность нагрузки (q) умножить на длину участка действия нагрузки.
После чего получим силу — ql, приложенную ровно посередине участка, на котором действует распределённая нагрузка:
Тогда поперечная сила QA будет равна:
Изгибающий момент Mизг, A будет равен:
Расчёт эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Для написания уравнений для расчёта эпюр рассмотрим сечение 1-1:
Уравнение для поперечных сил будет следующее:
Рассчитаем значения на эпюре поперечных сил:
Уравнение для изгибающих моментов будет следующее:
Тогда значения на эпюре будут такими:
На участке с распределённой нагрузкой, на эпюре изгибающих моментов всегда будет либо выпуклость, либо вогнутость. Так как эпюра на этом участке будет меняться по квадратичному закону.
Если эпюра моментов откладывается со стороны растянутых волокон, распределённая нагрузка будет направлена «внутрь вогнутости» (выпуклости) эпюры изгибающих моментов:
Если же эпюра моментов откладывается со стороны сжатых волокон, то наоборот:
Построение эпюр для двухопорной балки
А теперь давай рассмотрим более сложную схему – двухопорную балку, загруженную всеми типами нагрузок:
Определим реакции опор:
Рассчитываем первый участок:
Строим эпюры на первом участке:
Определение экстремума на эпюре моментов
Так как эпюра поперечных сил пересекает нулевую линию на первом участке, это значит, что в месте пересечения — на эпюре изгибающих моментов будет экстремум — точка, в которой эпюра моментов часто имеет наибольшее значение. Это значение, обязательно следует рассчитывать, потому — что экстремумы часто являются не только максимальными значениями в пределах участка, но и для всей балки в целом. Поэтому так важно, вычислять это значение, для дальнейшего проведения прочностных расчётов.
Чтобы найти экстремум, сначала нужно найти координату, где эпюра поперечных сил пересекает нулевую линию. Для этого уравнение для поперечных сил нужно приравнять к нулю:
Отсюда найти значение координаты:
Затем подставить это значение в уравнение для изгибающих моментов:
Теперь можем указать экстремум на эпюре:
Расчет эпюр на остальных участках
Расчёты остальных участков не вижу смысла комментировать, потому что здесь будет применяться всё то, о чём я уже рассказывал по ходу урока. Поэтому просто приведу решение:
Определение экстремума:
Оценка правильности построенных эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
И напоследок хочу рассказать как можно проверить себя – оценить правильность построенных эпюр визуально. Собственно так, как проверяют эпюры — преподаватели, ведь они не проверяют у всех студентов каждое уравнение, каждый знак или цифру, т.к. это бы занимало слишком много времени.
Вот несколько признаков, правильно построенных эпюр:
- На эпюре поперечных сил, в местах приложения сосредоточенных сил, должны быть скачки на величину этих сил.
- На эпюре изгибающих моментов, в местах приложения сосредоточенных моментов, должны быть скачки на величину этих моментов.
- Эпюра поперечных сил, на участках без распределённой нагрузки, должна быть постоянна. А на участках, где действует распределённая нагрузка – меняться по линейному закону.
- Эпюра изгибающих моментов, на участках без распределённой нагрузки, должна меняться по линейному закону или быть постоянна (если действуют только сосредоточенные моменты). А на участках, где действует распределённая нагрузка – иметь вогнутость или выпуклость.
Видеоурок по определению экстремума эпюры изгибающих моментов балки
При построении эпюр в сечении где поперечная сила Qy равна нулю, необходимо рассчитать значение экстремума эпюры изгибающих моментов.
На видео показан пример его определения для построенной эпюры M для двухопорной балки.
Предыдущие видео:
- Определение опорных реакций балки
- Расчет и построение эпюр Qy и Mx.
Другие видео
Последующие видео:
- Проверка эпюр Q и M
Пояснения и дополнения:
- Теоретическая механика
- Сопротивление материалов
- Примеры решения задач
Все видео >
Сохранить или поделиться с друзьями
Вы находитесь тут:
На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь
Подробнее
Решение задач и лекции по технической механике, теормеху и сопромату
1) Вычертить расчётные схемы, указав числовые значения размеров и нагрузок ;
2) Вычислить опорные реакции (схема 2) и проверить их ;
3) Составить аналитические выражения изменения изгибающего момента Mx и поперечной силы Qy на всех участков балок ;
4) Построить эпюры изгибающих моментов Mx и поперечных сил Qy, указав значения ординат во всех характерных сечениях участков балок ;
5) Руководствуясь эпюрами изгибающих моментов, вычертить приблизительный вид изогнутых осей балок ;
6) Определить положения опасных сечений и из условия прочности подобрать поперечные размеры балок :
a) для схемы 1 – круг диаметром d при допускаемом напряжении [σ]=280 МПа (сталь) ;
б) для схемы 2 – двутавровое (ГОСТ 8239-72) при допускаемом напряжении [σ]=200 МПа (сталь).
Дано : схема 1 — № 7 ; схема 2 — № 4 ; c/a=1.8 ; P/qa=1.8 ; m/qa2=0.8 ; a=2 м ; q=11 кН/м.
Решение.
а) Схема 1.
Расчётная схема.
P=1.8qa=1.8×11×2=39.6 кН ; m=0.8qa2=0.8×11×22=35.2 кН·м ; c=1.8a=1.8×2=3.6 м.
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов строим методом сечений. Определим выражения для поперечных сил и изгибающих моментов на каждом из участков балки. Балка имеет два участка. Обозначим zi – расстояние от левого конца балки до некоторого сечения.
На участке AB : 0≤z1≤a
Q1=-P+qz1 ; M1=—Pz1+0.5qz12
На участке BC : a≤z2≤c+a
Q2=-P+qz2 ; M2=-Pz2+m+0.5qz22
Вычислим поперечные силы и изгибающие моменты в характерных сечениях балки.
На участке AB : при z1=0 ;
QA=-P=-39.6 кН ; MA=0 кН·м.
при z1=a ;
QлB=-P+qa= -39.6+11×2=-17.6 кН ;
MлB=—Pa+0.5qa2=—39.6×2+0.5×11×22= —57.2 кН·м.
На участке BC : при z2=a ; QпрB=-P+qa=-39.6+11×2=-17.6 кН ;
MпрB=-Pa+m+0.5qa2=-39.6×2+35.2+0.5×11×22= -22 кН·м.
при z2=a+c ; QC=-P+q(a+c)=-39.6+11×(2+3.6)=22 кН ;
MС=-P(a+c)+m+0.5q(c+a)2=-39.6×(2+3.6)+35.2+0.5×11×(3.6+2)2= -14.1 кН·м.
На участках AB и BC эпюра Q изменяется по линейному закону (её эпюра представляет собой наклонную линию), а эпюра М ограничена параболой, которая имеет экстремум на участке BC, так как эпюра Q меняет свой знак на этом участке. Так в данной задаче нас интересуют только максимальные значения в пределах участков (по абсолютной величине), то для построения эпюры на участке AB достаточно двух точек, а на участке BC необходимо три точки. (Наибольшим будет одно из граничных значений).
Найдём сечение, где действует экстремальный момент из условия :
Q2=—P+qz0
Отсюда : z0=P/q=39.6/11=3.6 м
Найдём значение экстремального момента :
Mэкс=—Pz0+m+0.5qz02=-39.6×3.6+35.2+0.5×11×3.62=-36.1 кН·м
По полученным данным строим эпюры Q и М. Для этого отложим перпендикулярно к оси абсцисс в удобном для пользовании масштабе вычисленные значения Q и М для граничных сечений участков и соединим концы полученных ординат линиями, соответствующими законам изменения Q и М. При этом положительные ординаты эпюры Q будем откладывать вверх, а отрицательные – вниз от оси абсцисс ; ординаты же эпюры М будем откладывать со стороны растянутых волокон.
Построим теперь изображение примерного вида изогнутой оси балки. Поскольку наши построения носят приблизительный характер, то основой для проведения такой линии будут являться следующие положения : кривизна балки на участках соответствует расположению эпюр изгибающих моментов, т.е. , так как эпюра Мx построена на нижних волокнах (в данном случае они растянуты, то балка будет изгибаться вниз. В точке заделки поворот сечения отсутствует, следовательно, линия изогнутой оси балки должна выходить под прямым углом (в данном случае, к вертикали). Построенная с учётом сказанного упругая линия консольной балки изображена на рисунке.
Подберём размеры круглого сечения методом допускаемого напряжения, т.е. в рассмотрение следует принимать лишь сечение балки, в котором действует наибольший по абсолютной величине изгибающий момент. В нашем примере опасным является сечение B, в котором Mmax=57.2 кН·м.
Круглое сечение стальной балки подбираем из условия прочности при допускаемом напряжении [σ]=280 МПа :
σ=Mmax/Wx=[σ]
Откуда находим требуемый момент сопротивления сечения балки при изгибе :
Wx=57.2×103/(280×106)=204.3×10-6 м3=204.3 см3
Момент сопротивления круглого сечения относительно нейтральной оси X имеет вид :
Wx=0.1d3
Тогда : d=
=12.7 см. Принимаем d=13 см.
б) Схема 2.
Расчётная схема.
P=1.8qa=1.8×11×2=39.6 кН ; m=0.8qa2=0.8×11×22=35.2 кН·м ; c=1.8a=1.8×2=3.6 м.
Для определения опорных реакций воспользуемся уравнениями статики.
ΣmC=0 ; -Pc-RB(2a+2c)+0.5q(2a+2c)2-m=0 , откуда
RB=
=45.73 кН
ΣmB=0 ; —P(2a+3c)-0.5q(2a+2c)2+RC(2a+2c)-m=0 , откуда
RC=
=117.07 кН.
Сделаем проверку. Для этого составим уравнение проекций сил на вертикальную ось.
ΣY=-P+RB—q(2a+2c)+RC=-39.6+45.73—11×(4+7.2)+117.07=162.8-162.8=0
Реакции вычислены верно. Горизонтальная составляющая реакции в опоре C равна нулю и на рисунке не показана.
Балка имеет три участка. Запишем выражения для поперечных сил и изгибающих моментов на каждом из участков.
Участок AB (ход слева) ; 0≤z1≤a ; Q1=0 ; M1=m
Участок BC (ход слева) ; a≤z2≤3a+2c ; Q2=RB—q(z2—a) ; M2=m+RB(z2—a)-0.5q(z2—a)2
Участок СD (ход справа) ; 0≤z3≤c ; Q3=P ; M3=-Pz3
Определим значения Qy и Мx в характерных точках балки.
Участок AB : z1=0 ; QA=0 кН ; MA=m=35.2 кН∙м.
z1=a ; QлB=0 кН ; MлB=m=35.2 кН·м.
Участок BC : z2=a ; QпрB=RB=45.73 кН ; MпрB=m=35.2 кН·м.
z2=3a+2c ; QлC=RB-q(2a+2c)=39.6—11×(4+7.2)=-83.6 кН ;
MлC=m+RB(2a+2c)-0.5q(2a+2c)2=35.2+45.73×(4+7.2)-0.5×11×(4+7.2)2=-142.5 кН·м.
Участок CD : z3=с ; QпрC=P=39.6 кН ; MпрC=-Pc=—39.6×3.6=-142.5 кН·м.
z3=0 ; QD=P=39.6 кН ; MD=0
На участке BC эпюра М ограничена параболой, которая имеет экстремум в сечении, где поперечная сила равна нулю. Найдём координату этого сечения из условия :
Q2=RB—q(z0—a)=0 , откуда z0=RB/q+a=39.6/11+2=5.6 м. Тогда экстремальный момент : Mэкс=m+RB(z0—a)-0.5q(z0—a)2=35.2+45.73×(5.6-2)-0.5×11×(5.6-2)2=128.5 кН·м.
По результатам расчета строим эпюры Q и М. В той же последовательности, что и для консольной балки.
Построим изображения примерного вида изогнутой оси балки. В отличии от первого случая здесь имеются две характерные точки (опоры B и C), в которых перемещения равны нулю. Так же имеется точка перегиба, где меняется направление изгиба оси балки (в сечении с изгибающим моментом равным нулю).
Номер двутавра для балки подбираем из условия прочности при изгибе и допускаемом напряжении [σ]=200 МПа.
σ=Mmax/Wx=[σ]
В нашем случае Mmax=142.5 кН·м
Требуемый момент сопротивления Wx=142.5×103/(200×106)=712.5×10-6 м3=712.5 см3
По сортаменту (ГОСТ 8239-72) выбираем двутавр №36 с Wx=743 см3
σ=Mmax/Wx=142.5×103/(743×10-6)=192×106 Па=192 МПа<[σ]=200 МПа
Прочность балки обеспечена.