Как найти допускаемую нагрузку сопромат

Р
е ш е н и е

Определяем наибольшую допускаемую
нагрузку. Для этого сначала строим эпюру
моментов (рис. 3.10) и находим значение
изгибающего момента в опасном сечении,
.
Балку располагаем таким образом, чтобы
нагрузка была приложена в плоскостиХOY.

Рис. 3.10.

Величину Рможно определить из
условия прочности по нормальным
напряжениям

; .

отсюда

кН,

где
– допускаемое напряжение;W_z
– момент сопротивления (ч. I,
п. 4.1).

Расчетно-графическая
работа № 4

РАСЧЕТ
ПРОЧНОСТИ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК

Общие указания

Задание состоит из двух частей. В первой
части необходимо рассчитать консольную
балку и подобрать из условия прочности
сечение в виде круга и прямоугольника.
Во второй части предлагается рассчитать
двухопорную шарнирную балку, из условия
прочности подобрать сечение в виде
двутавра и сделать полную проверку его
прочности. Перед выполнением работы
необходимо вспомнить раздел: «Плоский
изгиб прямого бруса». Далее приведены
основные теоретические сведения.

Основные
теоретические сведения

Для того чтобы определить внутренние
силовые факторы в произвольном сечении,
необходимо мысленно рассечь балку (рис.
4.1,а) и рассмотреть равновесие одной из
ее частей (рис. 4.1,б).

a

б

Рис. 4.1.

При плоском поперечном изгибе вся
нагрузка расположена в главной плоскости
хOу, поэтому
она не дает проекций сил на осиzих,и моментов относительно осейхиу. Следовательно, отличными
от нуля остаются только величиныQ
_yиM_z.
Итак, при изгибе в сечении балки действуют
два внутренних силовых фактора:поперечная
силаQ_yиизгибающий моментМ_z.

Поперечная сила Q_y
равна сумме проекций всех сил,
расположенных по одну сторону от сечения,
на осьу, перпендикулярную оси балки.
Изгибающий моментМ_zравен сумме моментов всех сил, расположенных
по одну сторону от сечения, относительно
центра тяжести этого сечения. Правило
знаков установлено следующее: поперечная
сила считается положительной, если она
стремится повернуть вырезанный из балки
элемент бесконечно малой длины по ходу
часовой стрелки; изгибающий момент
считается положительным, если он
вызывает растяжение нижних волокон
(рис. 4.2).

Рис. 4.2.

Примечание:
Необходимо
отметить, что правило знаков для Q
и М не совпадает с правилом знаков для
уравнений статики.

Порядок построения эпюр Qy и мz

1. Составляются
   уравнения статики, из которых определяются
   величины и направления опорных реакций.

2. Балка
   разбивается на участки. Участок –
   отрезок стержня, в пределах которого
   нагрузка монотонна, а площадь поперечного
   сечения постоянна.

3. Для
   каждого участка составляются аналитические
   выражения поперечных сил Q_y(х)
   и изгибающихся моментов М_z(х).

4. По
   полученным выражениям вычисляются
   ординаты эпюр на границах участков.

5. Определяются
   сечения, в которых действуют моменты
   и вычисляются значения этих моментов.

6. По
   ординатам и формулам строятся эпюры.
   Анализ дифференциальных зависимостей
   между
   ипозволяет установить некоторые
   особенности эпюр поперечных сил и
   изгибающих моментов.

7. Участок
   балки – это часть её, в пределах которой
   функции Q_y
   и M_z
   непрерывны. Участок ограничен
   сосредоточенными силами или моментами,
   а также началом и концом распределённой
   нагрузки.

8. На
   участках, где нет распределённой
   нагрузки, поперечная сила Q_y
   постоянна, а изгибающий момент М_z
   меняется по линейному закону.

9. На
   участках, где к балке приложена равномерно
   распределённая нагрузка q,
   поперечная сила Q_y
   меняется по линейному закону, а изгибающий
   момент М_z
   – по закону квадратной параболы.

10. Изгибающий
    момент достигает максимума или минимума
    в сечениях, в которых график Q_y
    пересекает нулевую (базисную) линию.
    При этом выпуклость параболы обращена
    в сторону, противоположную направлению
    действия нагрузки q
    –правило «зонтика» (рис. 4.3).

11. На
    участках, где Q_y
    = 0, М_z
    = const – имеет место чистый изгиб.

Рис.
4.3.

1. При
   движении по балке слева направо на
   участках, где Q_y
   > 0, изгибающий момент М_z
   возрастает; на участках, где Q_y
   < 0, M_z
   – убывает.

2. В
   сечениях, где к балке приложены
   сосредоточенные силы, на эпюре Q
   будут скачки на величину и в направлении
   приложенных сил, а на эпюре М_z
   будут переломы, причем остриё перелома
   направлено против действия силы.

3. В
   сечениях, где к балке приложены
   сосредоточенные моменты, на эпюре М
   будут скачки на величину этих моментов
   (на эпюре Q
   изменений не будет). Направление скачка
   зависит от направления внешнего момента.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Решение.

Рассмотрим равновесие узла А. На него действует плоская сходящаяся система сил, для которой можно записать два уравнения равновесия

Из первого уравнения выразими подставим во второе уравнение

Отсюда выразим усилия в стержнях системы через силу P

Оба стержня растянуты. Запишем условия прочности и жесткости для стержня АВ

Длины стержней найдем по теореме синусов

Подставим (3) в (4)

Из этих соотношений найдем два значения для силы P

Аналогично, записывая условия прочности и жесткости для стержня АС,

найдем еще два значения для силы P

Из полученных четырех значений в качестве допускаемой нагрузки следует принять наименьшее значение

Проверим выполнения условий прочности и жесткости. Для стержня АВ:

Для стержня АС:

Все условия выполняются.

Ответ:

Решение этой задачи в среде Mathcad можно посмотреть ЗДЕСЬ

Определить грузоподъемность (допускаемую нагрузку [F]) шарнирно-стержневой системы для двух случаев:

1. Если материал стержней пластичный (сталь – 3, [σ]=160 МПа),
2. Если материал стержней хрупкий (чугун — [σ_р]=20 МПа, [σ_с]=80МПа).

Сначала необходимо найти усилия в стержнях, оставляя нагрузку в общем (буквенном) виде. Начинаем с использования метода сечений: делаем сквозной (замкнутый) разрез и рассматриваем равновесие средней части (неизвестные усилия при этом предполагаем положительными, т.е. растягивающими):

∑х = Н = 0,       (1)

∑у = R+N₁— F—N₂=0,    (2)

∑М(А)= N₁·1 — F·2 – N₂·3=0, (3)

В этих трёх уравнениях статики содержатся 4 неизвестных, следовательно, задача один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости придётся составить одно дополнительное уравнение, но уже не статическое, а геометрическое, которое выражало бы условие совместности деформаций всех упругих элементов системы. С этой целью следует рассмотреть систему в деформированном состоянии с тем, чтобы «связать» друг с другом абсолютные деформации первого и второго стержней. Картина возможной деформации системы:

Очевидно, что ВВ₁ – удлинение первого стержня (∆ℓ₁), а СС₁ – укорочение второго (∆ℓ₂). Из подобия треугольников

или

По формуле Гука:

(знак «плюс» соответствует деформации удлинения), а

(знак «минус» соответствует деформации укорочения). После подстановки получим необходимое нам дополнительное уравнение:

      (4)

Т.к. ℓ₁=2ℓ, ℓ₂=ℓ, А₁= 2см², А₂= 4см², то

,

откуда N₂=-12N₁. Подставляя это соотношение в уравнение (3), имеем: N₁·1- F·2 — (-12N₁) 3=0, откуда

(растяжение), и тогда

(сжатие).

Напряжения в стержнях будут:

Для определения допускаемой нагрузки используем условия прочности при растяжении-сжатии.

Случай 1. Оба стержня из пластичного материала, который одинаково сопротивляется как растяжению, так и сжатию. Для него достаточно одного условия прочности:

|_maxσ| ≤ [σ].

Наибольшим по абсолютной величине оказывается напряжение во втором стержне. Его и вводим в условие прочности. Допускаемая нагрузка (или грузоподъёмность) – это такая величина нагрузки, при которой напряжение в точности равно допускаемому значению (т.е. в условии прочности необходимо оставить знак равенства)

Случай 2. Оба стержня из хрупкого материала. В этом случае требуется выполнение двух условий прочности: а) по растяжению: _maxσ_р ≤ [σ_р],

б) по сжатию |_maxσ_с| ≤ [σ_с].

Начинать можно с любого из них. Например, из первого условия:

найдём одно значение допускаемой нагрузки (по растяжению):

Если принять это значение за допускаемую нагрузку, то во втором стержне возникает напряжение

Это напряжение превышает допускаемое значение по сжатию: |σ_II| =120МПа > [σ_р]=80МПа, следовательно, нагрузка [F_р] не является допускаемой для всей конструкции. Поэтому будем определять допускаемую нагрузку из второго условия прочности: Остается лишь убедиться, что при такой нагрузке в первом стержне условие прочности будет выполнено.

что меньше допускаемого по растяжению напряжения [σ_р]=20МПа. Итак, для варианта стержней из хрупкого материала допускаемая нагрузка [F]=49,333 кН.

   В предыдущем изложении методов расчета мы исходили из основного условия прочности . Это неравенство требует выбора размеров конструкции с таким расчетом, чтобы наибольшее напряжение в самом опасном месте не превосходило допускаемого.

   Но можно стать на другую точку зрения. Можно задать условие, чтобы действительная нагрузка на всю конструкцию не превосходила некоторой допускаемой величины. Условие это можно выразить таким неравенством:

   За допускаемую нагрузку надо выбрать некоторую часть той нагрузки, при которой конструкция перестанет функционировать правильно, перестанет выполнять свой назначение. Такая нагрузка обычно называется предельной, иногда—разрушающей в широком смысле слова (под разрушением конструкции подразумевают прекращение ее нормальной работы).

   В качестве примера возьмем систему из двух стальных стержней АВ и АС, (рис.1), нагруженных силой P.

Рис.1. Расчетная схема статически определимой стержневой системы

Рассчитывая эту систему обычным путем, найдем усилия N₁ = N₂ no формуле:

(из равновесия узла А). Отсюда площадь каждого из стержней равна:

По способу допускаемых нагрузок имеем:

   Введя в качестве коэффициента запаса для конструкции в целом ту же величину k, которая была принята в качестве коэффициента запаса для напряжений, мы получим, что величина

Предельной, опасной величиной P_пр будет та, при которой напряжения в стержнях дойдут до предела текучести:

Таким образом, допускаемая величина Р равна:

Условие прочности принимает вид

а учитывая, что

,

получаем:

Отсюда:

   Таким образом, расчет по допускаемым нагрузкам привел в данном случае к тем же результатам, что и расчет по допускаемым напряжениям. Это всегда имеет место для статически определимых конструкций при равномерном распределении напряжений, когда материал по всему сечению используется полностью.

   Совсем другие результаты мы получим, если будем применять способ допускаемых нагрузок к статически неопределимым системам, стержни которых изготовлены из материала, обладающего способностью к большим пластическим деформациям, например из малоуглеродистой стали.

В качестве примера рассмотрим систему из трех стержней, нагруженных силой Q (рис. 2). Пусть все стержни сделаны из малоуглеродистой стали с пределом текучести . Длины крайних стержней, как и выше, обозначим ; длину среднего . Допускаемое напряжение

Рис.2. Расчетная схема однократно статически неопределимой стержневой системы.

Как и раньше, при расчете этой статически неопределимой системы зададимся отношением площадей стержней; примем, что все три стержня будут иметь одинаковую площадь F. Получим:

Используя закон Гука, получим:

Следовательно:

Так как , средний стержень напряжен больше, чем крайние; поэтому подбор площади сечения F надо произвести по формуле:

Ту же величину площади надо дать и боковым стержням; в них получается некоторый дополнительный запас.

Применим способ допускаемых нагрузок; условием прочности будет:

   Что в данном случае следует понимать под предельной нагрузкой конструкции? Так как конструкция выполнена из материала, имеющего площадку текучести, то, по аналогии с простым растяжением стержня из такого материала, за предельную нагрузку следует взять груз, соответствующий достижению состояния текучести для всей конструкции в целом. Назовем эту нагрузку . Пока сила Q не достигла этого значения, для дальнейшей деформации (опускания точки A) требуется возрастание нагрузки. Когда же Q сделается равным , дальнейший рост деформаций будет происходить уже без увеличения нагрузки, — конструкция выйдет из строя.

   Для определения величины рассмотрим постепенный ход деформации нашей стержневой системы. Так как средний стержень напряжен сильнее крайних, то в нем раньше, чем в других, напряжение дойдет до предела текучести. Нагрузку, соответствующую этому моменту, обозначим Q_Т; она будет равна:

где — усилие в среднем стержне, соответствующее его пределу текучести.

   Напряжения в крайних стержнях, имеющих ту же площадь, в этот момент еще не дойдут до предела текучести, и эти стержни будут упруго сопротивляться дальнейшей деформации. Для того чтобы эта деформация происходила, необходимо дальнейшее увеличение нагрузки до тех пор, пока в крайних стержнях напряжения тоже не дойдут до предела текучести. Лишь тогда будет достигнута предельная грузоподъемность конструкции .

   Так как при нагрузке Q_Т напряжения в среднем стержне дойдут уже до предела текучести , то при дальнейшем возрастании груза они, а стало быть и усилие N₃, останутся без увеличения. Наша статически неопределимая система превратится в статически определимую, состоящую из двух стержней АВ и АС и нагруженную в точке А силой Q, направленной вниз, и известным усилием , равным (Рис.3).

Рис.3. Эквивалентная статически определимая система

Такая схема работы нашей конструкции будет иметь место, пока

   Для иллюстрации хода деформации рассматриваемой конструкции изобразим графически зависимость между силой Q и перемещением f точки А (Рис. 4). Пока опускание точки А равно удлинению среднего стержня и определяется формулой

Рис.4. Динамика деформации в зависимости от нагрузочной способности системы

   Как только Q будет заключаться в промежутке перемещение точки А должно быть вычислено, как опускание этого узла в системе двух стержней АС и АВ, нагруженных в точке А силой . Так как:

и, в свою очередь:

Отсюда

   Для f₁₂ (на втором участке) получаем уравнение прямой, но уже не проходящей через начало координат. После достижения нагрузкой Q значения напряжения в крайних стержнях достигнут предела текучести, и система будет деформироваться без увеличения нагрузки. График перемещения идет теперь параллельно оси абсцисс.

   Для определения предельной грузоподъемности всей системы мы должны для системы двух стержней, нагруженных силой , найти то значение Q, при котором напряжения и в крайних стержнях дойдут до предела текучести. Такая задача решена в предыдущем параграфе; подставляя в выражение (а) § 26 вместо Р величину , получаем:

Отсюда

Допускаемая нагрузка будет равна

а учитывая, что

,

получаем

Окончательно:

и

Эта величина меньше, чем полученная обычным методом расчета, т. е.

При (сталь) получаем: по обычному способу

по способу допускаемых нагрузок:

   Таким образом, метод расчета по допускаемым нагрузкам позволяет спроектировать статически неопределимую систему из материала, обладающего площадкой текучести, экономичнее, чем при расчете по допускаемым, напряжениям. Это понятно: при способе расчета по допускаемым напряжениям мы считали за предельную нагрузку нашей конструкции величину Q_Т, при которой до предела текучести доходил лишь материал среднего стержня, крайние же были недонапряжены. При методе расчета по допускаемым нагрузкам предельная грузоподъемность определяется величиной . При нагрузке полностью используется материал всех трех стержней.

   Таким образом, новый метод расчета позволяет реализовать скрытые при старом способе запасы прочности в статически неопределимых системах, добиться повышения их расчетной грузоподъемности и действительной равнопрочности всех частей конструкции. Не представит никаких затруднений распространить этот метод на случай, когда соотношение площадей среднего и крайних стержней не будет равно единице.

   Изложенные выше теоретические соображения проверялись неоднократно на опыте, причем всегда наблюдалась достаточно близкая сходимость величин предельной нагрузки — вычисленной и определенной при эксперименте. Это дает уверенность в правильности теоретических предпосылок метода допускаемых нагрузок.

Дальше…