Как найти длину высоты пирамиды по векторам - Avtoru.top

Как найти высоту пирамиды по векторам

Инструкция . Для решения подобных задач в онлайн режиме заполните координаты вершин, нажмите Далее . см. также по координатам треугольника найти.

Решение онлайн
Видеоинструкция
Оформление Word

Пример №1 . В пирамиде SABC : треугольник ABC – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S . Сделать чертеж.
Решение: Координаты векторов находим по формуле: X = x₂ – x₁; Y = y₂ – y₁; Z = z₂ – z₁
Так, для вектора AB, это будут координаты: X = 0-2; Y = 3-0; Z = 0-0, или AB(-2;3;0).
AC(-2;0;1); AD(-2;2;3); BC(0;-3;1); BD(0;-1;3); CD(0;2;2) .
Длину вектора находим по формуле:

Пример №2 . В тетраэдре ABCD вычислить:

объем тетраэдра ABCD;
высоту тетраэдра, опущенную из вершины D на грань ABC.

A(2, 3, -2), B(3, 1, 0), C(-2, 2, 1), D(6, 1, -1)

Ответ

Проверено экспертом

Даны вершины пирамиды A(3;-2;3)B(-1;0;2)C(-3;1;-1)D(-3;-3;1) .

Находим векторы АВ, АС и АД.

Вектор АВ = (-4; 2; -1 ), модуль равен √(16+4+1) = √21 ≈ 4,58258.

Определяем векторное произведение АВ х АС.

-6 3 -4 | -6 3 = -8i + 6j – 12k – 16j + 3i + 12k = -5i – 10j = (-5; -10; 0).

Далее находим смешанное произведение (АВ х АС) х АД.

(АВ х АС) = (-5; -10; 0),

(АВ х АС) х АД = 30 + 10 + 0 = 40.

Объем пирамиды равен (1/6) этого произведения:

V = (1/6)*40 = (20/3) куб.ед.

Высота h пирамиды ABCD, опущенная из вершины D на плоскость основания ABC, равна: h = 3V/S(ABC).

Площадь основания АВС равна половине модуля векторного произведения АВ х АС.

S(ABC) = (1/2)*√((-5)² + (-10)² + 0²) = (1/2)√(25 + 100) = (5/2)√5 кв.ед.

h = (3*20/3)/((5/2)√5) = 8/√5 = 8√5/5 ≈ 3,5777.

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

A ( ; ; ), B ( ; ; ),
C ( ; ; ), D ( ; ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Длина и уравнение высоты опущенной из вершины d на плоскость abc

Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет — тут

Неправильный логин или пароль.

Укажите электронный адрес и пароль.

Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.

Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.

Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль

Нажимая кнопку «Зарегистрироваться» вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.

Длина и уравнение высоты опущенной из вершины d на плоскость abc

Даны координаты вершин пирамиды ABCD:
A(6;2;3); B(6;5;6); C(3;6;7); D(4;2;2).

Найти: 1) |AB|.
Вектор АВ= = (0; 3; 3).
Длина ребра АВ = √(0² + 3² + 3²) = √18 ≈ 4,242640687.

Скалярное произведение векторов АВ и АС равно:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 0 · (-3) + 3 · 4 + 3 · 4 = 0 + 12 + 12 = 24.

3) Проекция вектора AB на AC;
Решение: Пр ba = ( a · b)/ |b|.

Скалярное произведение векторов уже найдено и равно 24.

Найдем модуль вектора:

|b| = √(bx² + by ² + bz ²) = √((-3)² + 4² + 4²) = √(9 + 16 + 16) = √41.
Пр ba = 24/ √41 = 24√41/ 41 ≈ 3,7481703.

4) площадь грани ABC.
S = (1/2)*|AB|*|AC|*sin α = (1/2)*|AB|*|AC|*√(1 — cos²α) .
Найдем угол между ребрами AB(0;3;3) и AC(-3;4;4):
cos α = (0*(-3)+3*4+3*4)/(√18*√41) = 24/√738 = 4√82/41 ≈ 0,883452.
sin α = √(1 — 0,883452 ²) = 0,468521.
S(ABC) = (1/2)* √18*√41*0,468521 = 6,363961.

5) уравнение грани ABC.

Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1 = 0.

Уравнение плоскости ABC

x-6 y-2 z-3 0 3 3 -3 4 4 = 0. (x-6)(3*4-4*3) — (y-2)(0*4-(-3)*3) + (z-3)(0*4-(-3)*3) = — 9y + 9z-9 = 0.
Упростим выражение: — y + z — 1 = 0.

6) уравнение ребра AD.
Уравнение прямой AD(-2,0,-1)
AD: (x — 6)/(-2) = (y — 2)/0 = (z — 3)/(-1).
Параметрическое уравнение прямой:
x=6-2t
y=2+0t
z=3-t.

7) угол между ребром AD и гранью ABC.
Синус угла γ между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
sin γ = |Al+Bm+Cn|/(√A²+B²+C²)*√(l²+m²+n²).
Уравнение плоскости ABC: — y + z-1 = 0
Уравнение прямой AD получено выше.
sin γ = |0*(-2)+(-1)*0+1*(-1)|/(√0²+1²+1²)*√(2²+0²+1²) = 1/(√2*√5) =
= 1/√10 ≈ 0,316228.
γ = arc sin 0,316228 = 0,321751 радиан = 18,43495 °.

смешанное произведение (AB, AC, AD) и V — объём пирамиды ABCD.
Произведение векторов a × b = .
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
|X1 Y1 Z1|
V = (1/6) |X2 Y2 Z2|
|X3 Y3 Z3|

| 0 3 3|
V = (1/6) |-3 4 4| = 9/6 = 1,5.
|-2 0 -1|
где определитель матрицы равен:
∆ = 0*(4*(-1)-0*4)-(-3)*(3*(-1)-0*3)+(-2)*(3*4-4*3) = -9.

9) уравнение высоты,опущенной из вершины D на грань ABC и
ее длину.
Для вычисления расстояния от точки M(4, 2, 2) до плоскости — y +z -1 = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²)
Подставим в формулу данныеd = |0·4 + (-1)·2 + 1·2 + (-1)|/√((0² + (-1)² + 1²) =
= |0 — 2 + 2 — 1| /√(0² + (-1)² + 1²) = 1/√2 ≈ 0.70710678.

10) уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно грани ABC.
Плоскость, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Уравнение плоскости ABC: — y + z-1 = 0
0(x-4)-1(y-2)+1(z-2) = 0
или
0x-y+z+0 = 0.

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

Источник

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольной пирамиды (тетраэдра):

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Пример 1:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти:

1) координаты и модули векторов А₁А₂и А₁А₄;

2) угол между ребрами А₁А₂и А₁А₄;

3) площадь грани А₁А₂А₃;

4) объем пирамиды;

5) уравнение прямой А₁ А₂;

6) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

7) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А_3.

Сделать чертеж.

А₁(0; 4; -4), А₂(5; 1; -1), А₃(-1; -1; 3), А₄(0; -3; 7).

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А_3.Сделать чертеж.

1. А₁(7; 7; 3), А₂(6; 5; 8), А₃(3; 5; 8), А₄(8; 4; 1).

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Решение от преподавателя:

Уравнение плоскости.
Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

x-x₁	y-y₁	z-z₁
x₂-x₁	y₂-y₁	z₂-z₁
x₃-x₁	y₃-y₁	z₃-z₁

= 0

Уравнение плоскости A₁A₂A₃

(x-3)(1*2-0*3) — (y-2)((-2)*2-3*3) + (z+2)((-2)*0-3*1) = 2x + 13y — 3z-38 = 0

Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃.
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=sin%20gamma%20%20%20=%20frac%7b|Al%20%2B%20Bm%20%2B%20Cn|%7d%7bsqrt%7bA%5e%7b2%7d%20%2B%20B%5e%7b2%7d%20%2B%20C%5e%7b2%7d%7dsqrt%7bl%5e%7b2%7d%20%2B%20m%5e%7b2%7d%20%2B%20n%5e%7b2%7d%7d%7d$
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y — 3z-38 = 0
Уравнение прямой A₁A₄:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%203%7d%7b-3%7d%20=%20frac%7by%20-%202%7d%7b0%7d%20=%20frac%7bz%20%2B%202%7d%7b4%7d$
γ = arcsin(0.267) = 15.486^o

Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(0,2,2)
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y — 3z-38 = 0
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%20x_%7b0%7d%7d%7bA%7d%20=%20frac%7by%20-%20y_%7b0%7d%7d%7bB%7d%20=%20frac%7bz%20-%20z_%7b0%7d%7d%7bC%7d$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%200%7d%7b2%7d%20=%20frac%7by%20-%202%7d%7b13%7d%20=%20frac%7bz%20-%202%7d%7b-3%7d$

Уравнение плоскости через вершину A₄(0,2,2)
Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:
A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y — 3z-38 = 0
2(x-0)+13(y-2)-3(z-2) = 0
или
2x+13y-3z-20 = 0

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Даны координаты пирамиды: A₁(0,1,1), A₂(3,4,4), A₃(-3,9,3), A₄(0,5,4)

Уравнение плоскости.
Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

x-x₁	y-y₁	z-z₁
x₂-x₁	y₂-y₁	z₂-z₁
x₃-x₁	y₃-y₁	z₃-z₁

= 0

Уравнение плоскости A₁A₂A₃

(x-0)(3*2-8*3) — (y-1)(3*2-(-3)*3) + (z-1)(3*8-(-3)*3) = -18x — 15y + 33z-18 = 0
Упростим выражение: -6x — 5y + 11z-6 = 0

2) Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃.
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:

Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x — 5y + 11z-6 = 0
Уравнение прямой A₁A₄:

γ = arcsin(0.193) = 11.128^o

3) Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(0,5,4)
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x — 5y + 11z-6 = 0

4) Уравнение плоскости через вершину A₄(0,5,4)
Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости

Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:
A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x — 5y + 11z-6 = 0
-6(x-0)-5(y-5)+11(z-4) = 0
или
-6x-5y+11z-19 = 0

5) Координаты вектора A₁A₄(0;4;3)

Уравнение прямой, проходящей через точку А₁(0,1,1) параллельно вектору А₁А₂(0,4,3) имеет вид:

Пример 5:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А_3.Сделать чертеж.

А₁(4; 4; 10), А₂(4; 10; 2), А₃(2; 8; 4), А₄(9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

1) Даны координаты вершин пирамиды: A₁(0,1,1), A₂(3,4,4), A₃(-3,9,3), A₄(0,5,4)
Координаты векторов.
Координаты векторов: A₁A₂(3;3;3) A₁A₄(0;4;3)

Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

Угол между ребрами.

Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле:
, где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂
Найдем угол между ребрами A₁A₂(3;3;3) и A₁A₃(0;4;3):

А₁ = arccos(0,808)

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
S =
Найдем векторное произведение

=i(3*2-8*3) — j(3*2-(-3)*3) + k(3*8-(-3)*3) = -18i — 15j + 33k

3) Объем пирамиды.
Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен:

Координатывекторов:A₁A₂(3;3;3) A₁A₃(-3;8;2) A₁A₄(0;4;3) :

где определитель матрицы равен:
∆ = 3*(8*3-4*2)-(-3)*(3*3-4*3)+0*(3*2-8*3) = 39

Пример 7:

Решение от преподавателя:

Угол между ребрами.
Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=cos%20gamma%20%20%20=%20frac%7ba_%7b1%7da_%7b2%7d%7d%7b|a_%7b1%7d|cdot%20|a_%7b2%7d|%7d$
где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂
Найдем угол между ребрами A₁A₂(-2;1;3) и A₁A₃(3;0;2):
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=cos%20gamma%20%20%20=%20frac%7b(-2)cdot%203%20%2B%201cdot%200%20%2B%203cdot%202%7d%7bsqrt%7b14%7dcdot%20sqrt%7b13%7d%7d%20=%200$
γ = arccos(0) = 90.003⁰
Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=S%20=%20frac%7b1%7d%7b2%7d%20|a|cdot%20|b|%20sin%20gamma$
где

Найдем площадь грани A₁A₂A₃
Найдем угол между ребрами A₁A₂(-2;1;3) и A₁A₃(3;0;2):
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=cos%20gamma%20%20%20=%20frac%7b(-2)cdot%203%20%2B%201cdot%200%20%2B%203cdot%202%7d%7bsqrt%7b14%7dcdot%20sqrt%7b13%7d%7d%20=%200$

Площадь грани A₁A₂A₃
Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен:

$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=V%20=%20frac%7b1%7d%7b6%7d$

$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%20=%20frac%7b18%7d%7b6%7d%20=%203$

где определитель матрицы равен:
∆ = (-2)*(0*4-0*2)-3*(1*4-0*3)+(-3)*(1*2-0*3) = -18

Пример 8:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ . Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между рёбрами А₁А₂и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объём пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

Сделать чертёж.

А₁(3; 5; 4), А₂(8; 7; 4), А₃(5; 10; 4), А₄(4; 7; 8).

Решение от преподавателя:

1) Длина ребра A₁A₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

Найдем уравнение стороны А₁А₄:

Вектор нормали: к плоскости А₁А₂А₃.

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

Итак: z=4 – уравнение плоскости А₁А₂А₃.

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

A₄O – высота:

Уравнение A₄O:

Т.к. , то

В результате получаем уравнение высоты:

Пример 9:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А_3.Сделать чертеж.

А₁(4; 4; 10), А₂(4; 10; 2), А₃(2; 8; 4), А₄(9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Источник

Аналитическая геометрия — задача на расчет пирамиды (тетраэдра)

Краткая теория

Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат.
Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное — разобраться и уделить задаче достаточно времени.

Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.

Пример решения задачи

Задача

Даны координаты
вершин пирамиды
. Найти:

Сделать чертеж.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

Длина ребра

Длину ребра

найдем по
формуле расстояния между 2-мя точками:

Угол между ребрами

найдем как угол
между направляющими векторами

Косинус угла между
векторами:

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Вычислим угол между
ребром

и гранью

Для этого вычислим
координаты нормального вектора плоскости

–им будет
векторное произведение векторов

Найдем векторное произведение. Для этого

вычислим определитель:

Нормальный вектор
плоскости:

Синус угла:

Площадь грани

Вычислим площадь
грани

. Она будет численно равна половине модуля векторного
произведения векторов

Искомая площадь:

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Вычислим объем
пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов

Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо
найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:

Искомый объем
пирамиды:

Уравнение прямой в пространстве

Вычислим уравнение
прямой

. Направляющим
вектором искомой прямой является вектор

. Кроме того, прямая проходит через точку

Уравнение искомой
прямой:

Уравнение плоскости

Вычислим уравнение
плоскости

. Нормальный вектор плоскости

. кроме того, плоскость проходит через точку

-уравнение
грани

Уравнение высоты, опущенной на грань

Составим уравнение
высоты, опущенной на грань

из вершины

Нормальный вектор

является
направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку

Искомое уравнение
высоты:

Сделаем схематический чертеж:

Источник

Тема: уравнение и длина высоты пирамиды (Прочитано 13893 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Даны координаты точек пирамиды: А(4;2;5) В(3;0;4) С(0;0;3) S(5;-2;-4), необходимо составить уравнение ввсоты,опушенной из S и ее длину. Я делаю так:
1) уравнение высоты: использую условие перпендикулярности прямой и плоскости А/m=В/n=C/p, т.е. координаты вектора N(-2;3;6) так, уравнение высоты получается — (х-5)/2 = (у+2)/3 = -(z+4)/6
2) длина высоты, опущенной из S:
сначала нахожу площадь основания АВС=1/2 * /АВ*АС/, где АВ*АС-векторное произведение векторов АВ и АС, получается площадь АВС = sqrt11 ед²
3) Объем данной пирамиды равен 48, отсюда по формуле V_пир=1/3 * S_АВС * H, нахожу высоту:
48*3=S_АВС*H H=144/S_АВС H=144/sqrt11
В вычислениях ошибки нет, но че-то меня смушает длина высоты
Или я где-то все-таки ошиблась?

На счет уравнения прямой все понятно и логика ясна.
Но вот только не ясно зачем Вы делали столько действий для нахождения длины высоты? Может проще по известной формуле плоскости основания найти расстояние от точки до плоскости, это и будет длиной высоты =))

То есть, расстояние от точки до поскости = (Ах₀+Ву₀+Сz₀+D)/sqrt (А²+В²+С²). Если я правильно поняла,то получается дробь: (-2*5+3*(-2)-6*(-4)+18)/sqrt((-2)²+3²+(-6)²)Тогда у меня получается длина высоты 26/7.
А вот уравнение плоскости,проходящей через ребро SB, перпендикулярной основанию АВС не могу составить(((По теории знаю,что условие перпендикулярности плоскостей: А₁А₂+В₁В₂+С_{/sub]С₂=0 Крутила-вертела, получилось,что уравнение такое: -2*х-3*у-6*z+8=0. Но в этом я так сомневаюсь, что даже стыдно!}

Ну все, я эту контрольную не сделаю,заклинило меня на этой теме про перпендикулярную плоскость :'(

У тебя есть уравнение нормали плоскости + уравнение направляющей прямой, может найти векторное произведение данных векторов и получить нормаль перпендикулярной плоскости ?? =))
Если конечно я все правильно понял =))

Так, уравнение нормали к проскости АВС: вектор N (-2;3;-6), а уравнение направляющей прямой это уравнение прямой, перпендикулярной плоскости АВС? -2/m=3/n=-6/p-это оно?
В общем вот на чем я остановилась:
1) условие перпендикулярности прямой и плоскости: А/m=B/n=C/p, где А, В, С-координаты нормали плоскости АВС, вектор N(-2;3;6). m?n?p- координаты направляющего вектора S
2) Высота проходит через точку S (5;-2;-4), составила ур-ние высоты:
(х-5)/m=(y+2)/n=(z+4)/p
То есть, (х-5)/-2=(у+2)/3=(z+4)/-6
3) Условие перпендикулярности плоскостей: n₁перпендикулярна n₂? если А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂=0
уравнение плоскости,проходящей через ребро SB, перпендикулярной основанию АВС
Вектор SB (2;-2;-7)

Что дальше-то делать? Подскажите,пожалуйста!

Найди вектор SB и нормаль известной плоскости, их векторное произведение и будет нормалью новой, перпендикулярной плоскости.
Если я конечно уже сам не запутался =))

Asix, спасибо огромное! решила, векторное произведение получилось:
i j k
2 -2 -6 = 36*i+28*j+2*k
-2 3 -6
Дальше проверяю условие перпендикулярности:
n₁ (-2;3;-6), n₂ (36;28;2): -2/36+3*28+2*(-6)=0
То есть, уравнение плоскости, проходящей через ребро SB будет: 36*х+28*у+2*z+D=0
И откуда это D брать? Или оно будет таким же, как в уравнении плоскости АВС, которой найденная плоскость перпендикулярна, т.е. 18?

Может подскажете где посмотреть теорию по этой теме? искала в яндексе,на мейле-не нашла. вдруг на будущее пригодится, так хоть буду знать где брать это D. И еще раз огромное спасибо!

Уравнение плоскости:
Ax + By + Сz + D = 0
A, B, C — известны.
Плоскость проходит через точки B и S
Вот подставьте в уравнение новой плоскости координаты одной из точек и найдете D.
Вроде верно думаю =))

Asix, я сама додумалась уже после того,как отправила сообщение, но все равно спасибо, Вы прибавили мне уверенности! Я сделала эту контрольную, ура!!!

Не за что.
Осталось тока сдать =))

Источник

Как найти высоту пирамиды по векторам

Ответ

Проверено экспертом

Длина и уравнение высоты опущенной из вершины d на плоскость abc

Длина и уравнение высоты опущенной из вершины d на плоскость abc

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

Пример 1:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Решение от преподавателя:

Аналитическая геометрия — задача на расчет пирамиды (тетраэдра)

Задача

Длина ребра

Угол между ребрами

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Площадь грани

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение плоскости

Уравнение высоты, опущенной на грань

<img decoding="async" src="https://www.webmath.ru/forum/Themes/LikeIPBTheme/images/topic/normal_post.gif" alt /> Тема: уравнение и длина высоты пирамиды (Прочитано 13893 раз)

Не пропустите также:

Тема: уравнение и длина высоты пирамиды (Прочитано 13893 раз)