Как найти длину средней линии треугольника трапеции

 Средняя линии треугольника. Средняя линия трапеции.

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

На рисунке средней линией является отрезок DE.

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна не пересекающейся с ней стороне треугольника и равна половине этой стороны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и DBE. Они подобны, так как имеют две пары пропорциональных сторон (AB = 2BD, BC = 2BE) и общий угол B. Значит, все углы в этих треугольниках равны. ∠BDE = ∠BAC, следовательно, DE||AC по признаку параллельности: соответствующие углы равны. Коэффициент подобия равен 2, значит, AC = 2DE.

Следствие. Три средних линии делят треугольник на 4 равных треугольника ADF, DBE, ECF, DEF.

Каждый из четырёх треугольников ADF, DBE, ECF, DEF подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 0,5.

Напомним, что трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны. Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции. Отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции, называют диагоналями трапеции.

Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

На рисунке средней линией трапеции является отрезок EF.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна половине суммы этих оснований.

Дано: ABCD – трапеция, E – середина AB, F – середина CD.

Доказать: EF||BC||AD, EF = (BC+AD):2.

Доказательство. Проведем через вершину B и середину боковой стороны F трапеции прямую линию. Обозначим точку пересечения прямых BF и AD буквой G.

Рассмотрим треугольники BCF и FDG. В них CF = FD (по условию), ∠BFC = ∠DFG (вертикальные углы), ∠BCF = ∠GDF (накрест лежащие при параллельных прямых). Следовательно, треугольники равны по второму признаку.

Из равенства треугольников следует BF = FG и DG = BC. Значит, отрезок EF является средней линией треугольника ABG. Отсюда следует параллельность: EF||AD||BC.

Найдем длину EF. По теореме о средней линии треугольника EF = AG:2 = (AD+DG):2 = (AD+BC):2, что и требовалось доказать.

План урока:

Средняя линия треугольника

Средняя линия трапеции

Теорема о точке пересечения медиан

Подобие в прямоугольном треугольнике

Практические задачи

Задачи на построение

Свойство биссектрисы

Средняя линия треугольника

Отметим в треугольнике середины двух сторон и соединим их. В итоге получится отрезок, который именуют средней линией треугольника.

Здесь точки N и M– это середины АС и ВС соответственно, поэтому NM – это средняя линия. Обратим внимание на ∆АBС и ∆СNM. По рисунку видно, что они подобны, и это действительно так. Ясно, что отношение отрезков АС и СN равно 2, ведь середина N разбивает АС на отрезки, которые вдвое меньше АС:

При этом ∠С является общим для обоих треуг-ков. Это значит, что ∆АBС и ∆NMC подобны (по второму признаку подобия треугольников), причем коэффициент их подобия равен 2. Отсюда сразу следует, что и NM вдвое короче, чем АB.

Из подобия треугольников также следует, что

Но эти два угла являются соответственными для отрезков АB и NM и их секущей AN. Из равенства соответственных углов вытекает, что отрезки АB и NM параллельны. В итоге можно сформулировать два основных свойства средней линии:

Задание. Найдите длину средней линии треугольника FDE, параллельной стороне DE:

Решение. Средняя линия будет вдвое короче DE. Видно, что DE имеет длину 10 клеточек, значит, средняя линия равна 10:2 = 5.

Ответ: 5.

Задание. Стороны треуг-ка имеют длину 8, 5 и 7 см. Середины всех сторон соединили отрезками и получили новый треуг-к. Каков его периметр?

Решение. В данном задаче в треуг-ке построили не одну, а сразу 3 средние линии:

Пусть стороны АB, АС и ВС соответственно составляют 8, 7 и 5 см. Тогда средние линии, параллельные им, будут вдвое меньше:

Задание. Докажите, что три средние линии треуг-ка разбивают его на 4 равные части.

Решение. Пусть стороны треуг-ка равны а, b и с.Отметим середины каждой стороны. Эти середины разобьют стороны на отрезки длиной а/2, b/2 и с/2. Средние же линии, построенные в треуг-ке, будут вдвое меньше сторон значит, их длина также будет составлять а/2, b/2 и c/2:

В итоге у каждого из получившегося треуг-ка стороны равны величинам а/2, b/2 и c/2. Значит, по 3-ему признаку равенства треуг-ков, они все равны друг другу, ч. т. д. 

Задание. В произвольном четырехугольнике отрезками соединили середины смежных сторон. Докажите, что эти отрезки образуют параллелограмм.

Решение. Отметим буквами M, E, Fи H середины сторон четырехуг-ка АBСD. Также построим диагонали АС и BD:

Легко заметить, что МН оказывается средней линией в ∆АBD, ведь она соединяет середины AD и AB. Значит, МН параллельна BD. Но и EF в свою очередь – это средняя линия в ∆BDC, и поэтому она также параллельна BD. Но два отрезка, параллельные третьему, должны быть параллельны и друг другу, то есть МН||EF.

Аналогично и отрезки МЕ и HF – это средние линии в ∆АСD и ∆АBС, поэтому они оба параллельны АС, а значит, и друг другу. В итоге в четырехуг-ке МНFE противоположные стороны оказываются параллельными. Это значит, что он по определению является параллелограммом.

Примечание. Геометрия – наука, развивавшаяся ещё во времена Античности, и большинство теорем и фактов из школьного курса было известно ещё древним грекам. Однако тот приведенный выше факт, что середины любого четырехуг-ка образуют параллелограмм, был доказан только в XVII в. французом Пьером Вариньоном. Соответственно, такой параллелограмм называют вариньоновским.

Вариньоновский параллелограмм обладает множеством свойств. В частности, его площадь вдвое меньше площади исходного четырехуг-ка, а периметр – это сумма длин его диагоналей. Попробуйте самостоятельно доказать это.

Средняя линия трапеции

Напомним, что ранее мы уже изучили другую среднюю линию, которую можно провести в трапеции. Мы доказали, что она параллельна основаниям трапеции. Попробуем найти способ для нахождения ее длины.

Пусть точки M и N – середины боковых сторон АB и CD трапеции АBСD. Построим отрезок BN, а далее продлим прямые BN и AD до их пересечения в некоторой точке K:

Посмотрим на ∆ВNC и ∆KND. У них есть два одинаковых угла:

Отсюда вытекает, что эти треуг-ки подобны (по первому признаку подобия), причем стороны ND и CN – сходственные. Однако эти же отрезки одинаковы, ведь N – середина СD. То есть коэффициент подобия треуг-ков – единица. Это означает, что ∆ВСN и ∆KND равны, и тогда ВС = DK, а. Следовательно, длина АК равна сумме длин оснований трапеции:

Из равенства треуг-ков также вытекает, что BN = NK, то есть N– это середина BK. Но тогда MN по определению – это средняя линия для ∆АBK. Значит, она составляет половину AK, которая в свою очередь является суммой оснований трапеции:

Задание. Найдите длину средней линии трапеции, показанной на рисунке:

Решение. По рисунку видно, что основания имеют длины 10 и 4. Надо лишь сложить эти числа и поделить их надвое:

(10 + a):2 = 14:2 = 7

Ответ: 7.

Задание. Длины боковых сторон трапеции имеют длину 13 и 15 см, ее периметр составляет 48 см. Вычислите длину ее средней линии.

Решение. Задачу можно решить и без рисунка. Обозначим основания трапеции буквами a и b. Периметр – это сумма всех сторон фигуры, поэтому, зная его и длины боковых сторон, можем составить уравнение, из которого найдем величину a + b:

Задание. Докажите, что средняя линия трапеции делит ее диагонали пополам.

Решение. Обозначим середину диагонали BD трапеции АBСD как точку К. Нам надо доказать, эта точка лежит на средней линии MN. Будем доказывать способом «от противного». Пусть точка K не лежит на MN:

Тогда МК будет средней линией в ∆АBD, ведь она соединяет середины АB и BD. Значит, отрезок МК параллелен AD. Аналогично и МN как средняя линия в АBСD также параллельна AD. Однако тогда получается, что через точку М проходят сразу две прямые, параллельные AD, что противоречит аксиоме параллельности. Значит, K не может НЕ лежать на MN, то есть эта точка лежит на средней линии.

Очевидна схожесть формул для вычисления средней линии как в трапеции, так и в треуг-ке. Эта схожесть подсказывает нам, что треуг-к можно рассматривать как особый частный случай трапеции, у которой одно из оснований как бы «стянулось» в точку и стало иметь нулевую длину. Такие частные случаи в математике называются вырожденными.

Теорема о точке пересечения медиан

Подобие позволяет найти отношение, в котором медианы треуг-ка делят друг друга. Построим произвольный ∆АBС и отметим середины сторон АC и ВС точками N и M. По определению NM – это средняя линия, а AМ и BN– медианы. Пусть эти медианы пересекаются в точке O:

Отрезки NM и AB параллельны друг другу, ведь NM – средняя линия. Тогда

ведь они накрест лежащие. Тогда в ∆ОАB и ∆ONM есть два одинаковых угла, следовательно, они подобны. АB и NM –сходственные стороны, поэтому их отношение равно коэффициенту подобия. Но MN как средняя линия вдвое короче, чем АB, то есть

k = AB/MN = 2

Тогда и отношение других сходственных сторон треугольников должно быть таким же:

Таким образом, точка пересечения двух медиан делит их в отношении 2:1, причем больший отрезок начинается от вершины, а меньший – от середины противоположной стороны.

Естественно, что аналогичное утверждение можно доказать и для любой другой пары медиан. Но только одна точка на отрезке может делить ее в каком-нибудь конкретном отношении, в частности, 2:1, поэтому все медианы должны пересечься в одной точке.

Задание. Медианы АМ и BN в ∆АBС пересекаются в точке О. Известны их длины: АМ = 15 и BN = 12. Каковы длины отрезков АО, ОВ, ОN и OM?

Решение:

Медиана АМ делится точкой О в отношении 2:1. Это значит, что АО вдвое длиннее М. Обозначим длину ОМ буквой х, тогда длина АО будут записываться как 2х, в сумме же эти величины дают АМ, то есть 15. Отсюда находим х:

Итак, ОМ = 5, а АО вдвое длиннее, то есть АО = 10. Аналогично, обозначив ОN как у, а ОВ как 2у, найдем и эти отрезки:

Задание. Докажите, что медианы треуг-ка разбивают его на 6 равновеликих треуг-ков.

Решение. Сначала напомним уже известный нам факт, что всякая медиана делит треуг-к на две равновеликие части. Действительно, проведем в произвольном треуг-ке из одной вершины и медиану, и высоту:

Площадь ∆АМС можно по формуле

Теперь рассмотрим случай с тремя медианами, которые мы обозначим как AM, BN и СК. Они разбивают ∆АBС на 6 треуг-ков, площади которых обозначим буквами S₁, S₂, S₃, S₄, S₅ и S₆:

СК делит весь ∆АBС на равновеликие ∆АСК (показан желтым цветом) и ∆СКВ (показан красным цветом), поэтому можно записать равенство:

Но заметим, что отрезки ON, OM и ОК являются также медианами для ∆АОС, ∆ВОС и ∆АОВ, то есть они тоже разделены на равновеликие части:

Мы уже доказали, что есть 4 равновеликих фигуры. Чтобы включить сюда оставшиеся 2 фигуры, нужно записать ещё какое-нибудь равенство. Например, медиана BN делит ∆АBС на две равновеликих части, то есть

Подобие в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треуг-к отличается тем, что его легко можно разбить на два подобных ему треуг-ка. Для этого надо всего лишь опустить высоту на его гипотенузу:

Действительно, пусть на гипотенузу АB опущена высота СН. Пусть в ∆АBС ∠А = α. Вспомним, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике составляет 90°. Тогда, рассматривая ∆АBС, мы можем записать, что

Получается, что в ∆АBС, ∆АСН и ∆ВСН есть по два (и даже по три) одинаковых угла, а потому они подобны друг другу.

Этот факт можно использовать в том числе и для того, чтобы доказать теорему Пифагора. Действительно, из подобия ∆АСН и ∆АBС можно записать, что отношение их гипотенуз равно отношению их катетов, лежащих против угла 90° – α:

Перемножая члены пропорции крест накрест, получаем, что

Аналогично из подобия ∆ВСН и ∆АBС получаем, что отношение их гипотенуз равно отношению тех катетов, что лежат против угла α:

Преимущество этого доказательства заключается в том, что оно никак не опирается на понятие площади фигур.

Всего, если опустить на гипотенузу высоту, получается 6 разных отрезков (на рисунке это АB, АС, ВС, СН, АН, ВН). Зная длину лишь любых двух их них, можно найти и все остальные.

Задание. В прямоугольном ∆АBС опустили высоту АН на гипотенузу ВС. Известно, что СН = 90, НВ = 160. Вычислите все остальные неизвестные отрезки на рисунке.

Решение. Проще всего найти ВС, ведь это просто сумма СН и НВ:

Отрезки же АB и АС найдем, применяя теорему Пифагора. Сначала запишем ее для ∆АBН:

Практические задачи

Подобие треуг-ков может быть использовано и на практике, для измерения некоторых размеров. Например, пусть надо измерить высоту одиноко стоящего дерева. Для этого можно просто поставить рядом, например, человека, чей рост известен. Далее надо измерить длину тени этого человека и самого дерева:

Так как тень должна падать под одним и тем же углом, то в итоге можно получить два подобных треугольника:

Например, пусть высота человека составляет 1,8 м, а тени человека и дерева имеют протяженность 1,2 и 4,8 м. На рисунке ∆АBD и ∆АСЕ подобны, причем стороны AD и АЕ – сходственные. Поделим их чтобы найти коэффициент подобия треугольников:

Также подобие помогает находить расстояние до недоступных точек, например, до горных вершин. Пусть точка В недоступна нам. Выберем две доступные нам точки А и С и измерим расстояние между ними. Также измерим∠А и ∠С в ∆АBС (для этого используется какой-нибудь прибор, например, астролябия). Далее построим на бумаге треуг-к А₁В₁С₁ с такими же углами, но меньшей длиной А₁С₁:

При построении можно выбрать определенный масштаб, например, 1:1000. Так, если реальная длина АB оказалась равной 57 метрам, то на чертеже отрезок А₁В₁ должен быть в тысячу раз короче, то есть равен 57 мм (в 1 метр как раз составляет 1000 мм). Далее на чертеже измеряют длину А₁С₁. Пусть она оказалась равной 519 мм. Тогда длина реального размера АС будет составлять уже 519 метров.

Задачи на построение

Подобие помогает решать некоторые задачи, связанные с построением фигур. Пусть требуется построить треуг-к, если известны только два его угла, а также длина биссектрисы, выходящей из третьего угла. Решение состоит из 5 шагов:

На первом шаге строится произвольный треуг-к, в котором два угла равны заданным в условии. На втором шаге третий угол получившегося треуг-ка разбивается пополам, то есть строится его биссектриса, причем она строится в виде луча, а не конечного отрезка. На третьем шаге на этом луче откладывается отрезок, длина которого совпадает с заданной длиной биссектрисы. В результате на луче можно отметить точку, которая соответствует концу этого отрезка. На шаге 4 через эту точку проводится прямая, параллельная основанию уже построенного треуг-ка. Наконец, на последнем шаге стороны треуг-ка продлеваются до пересечения с новой прямой. В итоге получается новый треуг-к, который будет соответствовать условиям задачи.

Свойство биссектрисы

В заключение рассмотрим одно важное свойство биссектрисы, которое напрямую не связано с подобием, однако использует понятие пропорциональных отрезков. Пусть в ∆АBС, в котором известны стороны АС и ВС, проведена биссектриса СМ. Она разбивает АB на два отрезка, АМ и МВ. Можно ли что-то сказать о длине АМ и МВ?

Оказывается, биссектриса будет делить АB на отрезки, которые окажутся пропорциональными сторонам АС и ВС. Докажем это.

Опустим из точки М высоты на МD и MF на стороны АС и ВС:

Исследуем ∆СМD и ∆СМF. Они прямоугольные, причем у них общая гипотенуза СМ и одинаковые острые углы (∠МСD = ∠МСF, ведь МС – биссектриса). Следовательно, они равны, и тогда высоты МD и МF оказываются одинаковыми:

Теперь запишем эти же площади, проведя другую высоту, СН, которая будет общей для ∆АСМ и ∆СМВ:

В итоге получили вывод:

Задание. AD – биссектриса в ∆АBС. Известно, что

Решение.Отношение отрезка BD к DC равно отношению АB к АС:

Сегодня мы увидели, что пропорциональные отрезки в треугольнике возникают и при выполнении множества построений, а подобие фигур позволяет на практике находить размеры, которые сложно измерить непосредственно. Это подчеркивает практическую значимость изучения геометрии.

Средние линии

Средние линии треугольника

Определение . Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (рис. 1).

На рисунке 1 средней линией является отрезок DE .

Утверждение 1 . Средняя линия треугольника параллельна не пересекающейся с ней стороне треугольника и равна половине этой стороны.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и обозначим буквой D середину стороны AB (рис. 2). Проведем через точку D до пересечения с прямой BC прямую, параллельную прямой AC . Обозначим буквой E точку пересечения прямых DE и BC .

Поскольку AD = DB , а прямые AC и DE параллельны, то выполнены все условия теоремы Фалеса, и можно заключить, что выполнено равенство: CE = EB . Отсюда вытекает, что точка E является серединой стороны CB , а отрезок DE является средней линией треугольника.

Первую часть утверждения 1 мы доказали.

Для того, чтобы доказать вторую часть утверждения 1, заметим, что в любом треугольнике можно провести три средних линии – отрезки DE , EF и FD (рис.3).

Но поскольку AF = FC , то отсюда вытекает равенство

что и требуется доказать.

Доказательство утверждения 1 закончено.

• Три средних линии делят треугольник на 4 равных треугольника ADF , DBE , ECF , DEF (рис. 4).
• Каждый из четырёх треугольников ADF , DBE , ECF , DEF подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 0,5 .

Средняя линия трапеции

Напомним, что трапецией трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называют основаниями , а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции, называют диагоналями трапеции.

Определение . Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 5).

На рисунке 5 средней линией трапеции является отрезок EF .

Утверждение 2 . Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна половине суммы этих оснований.

Доказательство . Проведем через вершину B и середину боковой стороны F трапеции прямую линию (рис. 6). Обозначим точку пересечения прямых BF и AD буквой G . Рассмотрим треугольники BCF и FDG . У этих треугольников стороны CF и FD равны, поскольку точка F – середина стороны CD . Углы BCF и FDG равны, поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых BC и AD с секущей CD . Углы BFC и DFG равны, поскольку они являются вертикальными. Тем самым выполнены все условия признака равенства треугольников «По стороне и прилежащим к ней углам», и можно заключить, что треугольники BCF и FDG равны. Из равенства треугольников BCF и FDG следует равенство отрезков BF и FG , откуда вытекает, что отрезок EF является средней линией треугольника ABG . Поэтому

что и требовалось доказать.

Задача 1 . Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами на основаниях трапеции.

Решение . Пусть ABCD – трапеция, EF – её средняя линия, LM – указанный отрезок (рис.7). Поскольку AE = EB , то, в силу теоремы Фалеса, выполнено равенство: LN = NM , что и требовалось доказать.

Задача 2 . Доказать, что отрезок, который диагонали трапеции высекают на средней линии трапеции, равен половине разности оснований трапеции.

Решение . Пусть ABCD – трапеция, EF – её средняя линия, KL – указанный отрезок (рис.8). В соответствии с задачей 1 можем заключить, что точка K – середина отрезка AC , а точка L – середина отрезка BD . Поэтому отрезок EK – средняя линия треугольника BAC , а отрезок EL – средняя линия треугольника ABD . В силу утверждения 1 выполнены равенства:

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Прямая, проходящая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения боковых сторон трапеции.

Доказательство . Пусть K и L – середины оснований BC и AD трапеции ABCD соответственно (рис.9). Обозначим буквой M точку пересечения боковых сторон AB и CD . Проведем через точки M и K прямую и обозначим точку пересечения этой прямой с основанием AD символом N . Докажем, что точки N и L совпадают. Для этого заметим, что треугольник BMK подобен треугольнику AMN . Следовательно, выполнено равенство:

Из этих соотношений получаем:

откуда вытекает, что точки N и L совпадают. Доказательство завершено.

Почти те же рассуждения позволяют доказать следующий факт, который мы предоставляем читателю в качестве упражнения.

Утверждение 4 . Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину одного из оснований трапеции, проходит через середину другого основания трапеции.

Следствие . Точка пересечения диагоналей, середины оснований и точка пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

Средние линии четырехугольника. Теорема Вариньона

Определение . Средней линией четырехугольника называют отрезок, соединяющий середины непересекающихся сторон четырёхугольника.

Поскольку у каждого четырехугольника имеются две пары непересекающихся сторон, то у каждого четырехугольника имеются две средних линии (рис.10).

На рисунке 10 средние линии – это отрезки EF и GH .

Замечание 1 . Приведенное определение средней линии относится не только к плоским четырехугольникам, но и к «пространственным четырехугольникам» (рис.11). «Пространственным четырехугольником» мы называем замкнутую ломаную линию из 4 звеньев без самопересечений, не лежащую в одной плоскости.

На рисунке 11 изображен «пространственный четырёхугольник» ABCD , средними линиями которого являются отрезки EF и GH .

Замечание 2 . Несмотря на то, что трапеция является четырехугольником, принято средней линией трапеции называть только отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Замечание 3 . В данном разделе справочника не рассматриваются невыпуклые четырёхугольники и четырёхугольники с самопересечениями.

Теорема Вариньона . Середины сторон произвольного плоского или «пространственного» четырёхугольника являются вершинами параллелограмма параллелограмма .

Доказательство . Рассмотрим плоский четырёхугольник ABCD , изображенный на рисунке 12. Точки E, G, F, H – середины сторон, отрезок AC – диагональ четырёхугольника.

Поскольку отрезок EG – средняя линия треугольника ABC , то отрезок EG параллелен диагонали AC и равен её половине. Поскольку отрезок FH – средняя линия треугольника CDA , то отрезок FH параллелен диагонали AC и равен её половине. Таким образом, в четырёхугольнике EGFH противоположные стороны EG и FH равны и параллельны. В силу признака параллелограмма признака параллелограмма признака параллелограмма отсюда вытекает, что четырёхугольник EGFH – параллелограмм, что и требовалось доказать.

Замечание 4 . В случае «пространственного четырёхугольника» ABCD доказательство остаётся тем же (рис. 13).

Утверждение 5 . Средние линии произвольного четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам (рис. 14).

Утверждение 6 . Рассмотрим произвольный плоский или «пространственный» четырёхугольник ABCD , у которого отрезок EF является одной из средних линий (рис. 15). Тогда будет выполнено векторное равенство:

что и требовалось доказать.

Следствие . Средняя линия четырёхугольника меньше или равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника, причём равенство достигается лишь в том случае, когда указанные стороны четырёхугольника параллельны.

Другими словами, средняя линия четырёхугольника равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника лишь в том случае, когда этот четырехугольник является трапецией трапецией , а не пересекающие среднюю линию стороны четырёхугольника – основания трапеции.

Средние линии тетраэдра

Тетраэдром называют произвольную треугольную пирамиду (рис.17).

У каждого тетраэдра имеется 4 вершины, 4 грани и 6 рёбер, причем все рёбра делятся на 3 пары непересекающихся рёбер . На рисунке 17 каждая пара непересекающихся рёбер выделена отдельным цветом. Каждые два непересекающихся ребра тетраэдра лежат на скрещивающихся прямых скрещивающихся прямых .

Определение . Средней линией (бимедианой) тетраэдра называют отрезок, соединяющий середины двух непересекающихся рёбер тетраэдра.

У каждого тетраэдра имеется 3 средних линии. Изображённый на рисунке 18 отрезок EF является одной из средних линий тетраэдра.

Утверждение 7 . Все средние линии тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство . Выберем какую-нибудь среднюю линию тетраэдра, например, EF и докажем, что любая другая средняя линия тетраэдра проходит через середину отрезка EF . Для этого рассмотрим, например, среднюю линию GH , соединяющую середины рёбер AC и BD , и соединим отрезками точки E, H, F, G (рис.19).

Заметим, что отрезок EH является средней линией треугольника ADB , поэтому

Определение . Точку пересечения средних линий тетраэдра называют центроидом тетраэдра .

Утверждение 8 . Рассмотрим в пространстве декартову систему координат с началом в точке O и произвольный тетраэдр ABCD . Если обозначить буквой M центроид этого тетраэдра (рис. 20), то будет выполнено векторное равенство:

Определение средней линии треугольника трапеции

Ключевые слова: треугольник, отрезок, средняя линия, длина отрезка, средняя линия треугольника, средняя линия трапеции, средняя линия четырехугольника

Отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырехугольника, называется средней линией четырехугольника.

Если в выпуклом четырехугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырехугольника, то диагонали равны.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины этой стороны.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

См. также:
Биссектриса, Медиана, Прямоугольный треугольник, Равнобедренный треугольник, Равносторонний треугольник

Трапеция, Средняя линия трапеции, треугольник

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами. Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя Линия Трапеции

Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

MN средняя линия, AB и CD — основания, AD и BC — боковые стороны

Основная задача: Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.

Средняя Линия Треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема: Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.

AM = MC and BN = NC =>

Применение свойств средней линии треугольника и трапеции

Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = A₄A₅
Мы соединяем A₅ с B и проводим такие прямые через A₄, A₃, A₂ и A₁, которые параллельны A₅B. Они пересекают AB соответственно в точках B₄, B₃, B₂ и B₁. Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB₃A₃A₅ мы видим, что BB₄ = B₄B₃. Таким же образом, из трапеции B₄B₂A₂A₄ получаем B₄B₃ = B₃B₂

В то время как из трапеции B₃B₁A₁A₃, B₃B₂ = B₂B₁.
Тогда из B₂AA₂ следует, что B₂B₁ = B₁A. В заключении получаем :
AB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ = B₄B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.