Как найти длину отрезка грань середина ребра

Сайты, меню, вход, новости

В данной задаче мы имеем правильную треугольную пирамиду SABC, где S — вершина, а точка N — середина ребра BC. Известно, что AB = 1 и площадь боковой поверхности равна 3. Нам нужно найти длину отрезка SN.

Поскольку треугольник ABC — прямоугольный, то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти длину грани AC. Из условия задачи мы знаем длину стороны AB, которая равна 1, и площадь боковой поверхности, которая равна 3. Зная формулу площади боковой поверхности, мы можем записать:

S = (1/2) * p * l,

где S — площадь боковой поверхности, p — периметр основания и l — длина боковой грани.

Для правильной треугольной пирамиды периметр основания равен 3, так как сторона треугольника ABC имеет длину 1. Таким образом, мы можем выразить длину боковой грани:

l = (2 * S) / p = (2 * 3) / 3 = 2.

Теперь мы можем найти длину грани AC, используя теорему Пифагора:

AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 2^2 = 5.

AC = sqrt(5).

Отрезок SN является медианой треугольника ABC, которая делит грань AC пополам. Таким образом, мы можем найти длину отрезка SN как половину длины грани AC:

SN = AC / 2 = sqrt(5) / 2.

Итак, мы получили ответ: длина отрезка SN равна sqrt(5) / 2.

Что проще? Разные подходы к решению стереометрических задач

В «Математике» 2009, № 6 были опубликованы две статьи,
посвященные векторно-координатному методу решения стереометрических задач [1,
2]. Мы приведем «чисто геометрические» решения всех 10 задач, разобранных в [1],
и обсудим плюсы и минусы двух подходов, а также рассмотрим некоторые
стереометрические задачи ЕГЭ. Нумерация задач сохранена.

Задача 1. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с
центроидом противолежащей грани, называется медианой этого тетраэдра; отрезок,
соединяющий середины противоположных ребер тетраэдра, называется его бимедианой.
Докажите:

а) что все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и эта
точка делит каждую из медиан в отношении 3 : 1, считая от вершины;

б) все бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке и
делятся ею пополам;

в) точка пересечения бимедиан тетраэдра совпадает с точкой
пересечения его медиан.

Решение. Рассмотрим произвольную медиану, например, DD₁
и произвольную бимедиану, например, MN, где M — середина BC.
Они лежат в одной плоскости AMD, и потому пересекаются в некоторой точке
G. Зная отношения

AN : ND = 1 : 1 и AD₁ : D₁M
= 2 : 1,

легко найти, в каких отношениях отрезки MN и DD₁
делят друг друга. Проще всего воспользоваться теоремой Менелая, из которой сразу
получим, что

MG = GN и DG = 3GD₁.

Следовательно, все бимедианы имеют общую середину (G),
и эта точка делит любую медиану в отношении 3 : 1, считая от вершины тетраэдра,
что и требовалось доказать.

Если применение теоремы Менелая «недостаточно элементарно»,
нужные отношения можно найти, проведя, например, отрезок NK, параллельный
DD₁ (рис. 1); тогда из теоремы Фалеса и подобия
соответствующих треугольников получим:

Задача 2.В параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁
точка М — середина диагонали А₁С₁
грани A₁B₁C₁D₁,
точка K — середина ребра ВВ₁. Докажите, что прямые А₁В₁,
KМ и ВС₁ параллельны некоторой плоскости.

Решение. Плоскость α = BC₁D₁ (рис. 2) содержит прямую BC₁,
параллельна прямой A₁B₁ (так как C₁D₁
C
A₁B₁) и параллельна прямой MK (так
как MK C
BD₁ как средняя линия треугольника BB₁D₁).
Поэтому все три рассматриваемые прямые параллельны любой плоскости, параллельной
α.

Задача 3. На диагоналях АВ₁ и ВС₁
граней AA₁B₁B и ВВ₁С₁С
параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁
взяты точки соответственно Н и M так, что отрезки НM и A₁C
параллельны. Найдите отношение длин этих отрезков.

Решение. Нарисуем параллельную проекцию данной фигуры
(рис. 3) вдоль прямой BD; для определенности — на плоскость ACC₁.
Получится рисунок 4: вся прямая BD проецируется в одну точку, а именно, в
точку O ее пересечения с AC, то есть в середину AC, и,
аналогично, прямая B₁D₁, параллельная BD,
перейдет в середину O₁ отрезка A₁C₁.
Поскольку проекции AO₁ и OC₁ отрезков AB₁
и BC₁ параллельны, все отрезки MRHR
с концами на OC₁ и AO₁, параллельные A₁C,
в том числе и проекция рассматриваемого отрезка MH, равны между собой.
Таким образом, они равны отрезку M₀H₀,
высекаемому прямыми AO₁ и OC₁
непосредственно на диагонали A₁C (см. рис. 4; на самом
деле, этот отрезок как раз и будет проекцией отрезка MH, хотя это нам
сейчас и неважно). По теореме Фалеса CM₀ = M₀H₀
= H₀A₁; следовательно, MH :
A₁C = M₀H₀ : A₁C
= 1 : 3.

В решении использовано то, что проекция отрезка MH —
это отрезок, параллельный A₁C (или лежащий на прямой
A₁C), и что эти отрезки пропорциональны своим проекциям;
эти факты следуют из известных основных свойств параллельной проекции.

Задача 4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁,
ребро которого равно 6, найдите:

а) расстояние от вершины А₁ до плоскости
ВС₁D;

б) угол между диагональю ВА₁ грани АА₁В₁В
и плоскостью ВС₁D .

Решение. а) Рассмотрим тетраэдр A₁BC₁D
(рис. 5). Все его ребра — диагонали граней куба (они равны ), то есть этот
тетраэдр правильный. Расстояние от его вершины A₁ до грани
BC₁D есть его высота, и найти ее можно через объем.
Тетраэдр получается в результате отрезания от куба плоскостями его граней
четырех равных «прямоугольных» тетраэдров. Возьмем один из них, например,
ABDA₁. Площадь его основания ABD вдвое меньше площади
грани куба, а высота равна высоте куба, поэтому его объем в 6 раз меньше объема
куба. Следовательно,

Статья опубликована при поддержке компании «Евина». Карнизы, фризы, кронштейны, пилястры, балясины, панно, порезки и другое. Гарантия качества, доступные цены, изготовление и реставрация лепнины. Узнать подробную информацию о компании, посмотреть каталог лепнины, цены и контакты Вы сможете
по ссылке — www.evina.ru.

Площадь S равностороннего треугольника BDC₁
со стороной равна Следовательно, искомое расстояние равно

б) Если из точки P проведены к некоторой плоскости
наклонная длины l и перпендикуляр h (рис. 6), то угол
a между
наклонной и плоскостью можно найти по формуле В нашей задаче и

Задача 5. Найдите расстояние между скрещивающимися
диагоналями АВ₁ и ВС₁ смежных граней АА₁В₁В
и ВВ₁С₁С куба ABCDA₁B₁C₁D₁,
если ребро этого куба равно 12.

Решение. Поскольку AB₁DC₁,
плоскость BDC₁ параллельна прямой AB₁ (рис.
7). Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от любой точки прямой
AB₁, например, от A, до указанной плоскости и найти его
можно через объем, как в задаче 4. С поправкой на другую длину ребра куба, мы,
фактически, уже вычислили и объем тетраэдра CBDC₁ (он равен
объему ABDA₁), и площадь грани BDC₁.

Ответ:

Данную задачу можно было бы решить и с помощью задачи 3,
заметив, что диагональ A₁C куба перпендикулярна и к
BC₁, и к AB₁ (это следует из теоремы о трех
перпендикулярах: например, проекция A₁C на грань BCC₁B₁
есть диагональ B₁C этой грани и перпендикулярна BC₁,
значит, и A₁C BC₁). Таким образом, общий перпендикуляр прямых BC₁
и AB₁ есть отрезок с концами на этих прямых, параллельный A₁C.
А в задаче 3 мы нашли, что он втрое короче A₁C.=

Задача 7. В треугольной пирамиде РАВС все плоские
углы при вершине Р прямые. Найдите площадь сферы, описанной около этой
пирамиды, если РА = 2, РВ = 3, РС = 4.

Решение. Достроим данную пирамиду до прямоугольного
параллелепипеда (рис. 9). Как известно, его диагонали равны и имеют общую
середину O. Точка O равноудалена от вершин параллелепипеда и,
следовательно, является центром его описанной сферы, которая, разумеется, будет
и описанной сферой пирамиды. Следовательно, радиус R сферы равен половине
диагонали d параллелепипеда, а ее площадь равна

Задача 8. В
тетраэдре РАВС два плоских угла при вершине Р прямые, а величина
третьего плоского угла равна 60°.
Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды, если РА = РВ = РС = 12.

В этом случае тетраэдр можно достроить до правильной призмы,
искомая сфера будет описана около этой призмы и ее центр будет серединой
отрезка, соединяющего центры оснований (рис. 10). Вычисление радиуса оставляем в
качестве упражнения.

Задачу 9 из [1] мы пропустим — это упрощенный вариант
задачи 7.

Задача 10. В трехгранном угле РАВС известны
величины плоских углов при вершине Р:
АРВ
= ВРС
= АРС
= 60°.
Сфера, центр которой удален от вершины Р на расстояние, равное касается
всех ребер этого угла. Найдите радиус данной сферы.

Решение. Рассматриваемый угол равен трехгранному углу
правильного тетраэдра. Поместим такой тетраэдр в куб, как это было сделано на
рисунке 5. Очевидно, что вписанная в куб сфера касается всех ребер тетраэдра, то
есть диагоналей граней куба (в их серединах). Ее центр находится в центре куба.
Если радиус сферы равен R, то ребро куба равно 2R, а расстояние от
его центра до вершины равно Поскольку оно равно то (Заметим, что решение этой
задачи занимает в [1] целую страницу!)

Разобранные примеры убеждают, что по части простоты
(краткости) и тем более изящности векторно-координатные решения не могут
тягаться с геометрическими. Достоинства векторно-координатного метода имеют
более прагматический характер. Во-первых, этот метод более «алгоритмичен»,
позволяет решать задачи «не думая», по шаблону. Во-вторых, он универсален —
предлагаемые алгоритмы решения применимы к любой геометрической конфигурации. И,
наконец, он практически не требует геометрических обоснований, которые все равно
почти никогда не бывают полными. Именно эти соображения выходят на первый план,
например, в условиях экзамена. Но нужно понимать, что они оборачиваются и тем,
что решения зачастую получаются громоздкими, с большим количеством вычислений,
которые оторваны от геометрического смысла, а значит, и с большей вероятностью
арифметических ошибок, которые трудно отследить. Кроме того, в школьном курсе
геометрии остались лишь только самые основные сведения о векторах и координатах
в пространстве, так что круг задач, в которых их целесообразно применять,
невелик. В первую очередь к таким задачам можно отнести задачи на углы между
скрещивающимися прямыми, в частности, на перпендикулярность. А в задачах на
нахождение расстояний удобнее использованный нами выше метод объемов, который не
уступает векторному методу в смысле «алгоритмичности», но, как правило, приводит
к более экономным вычислениям. Еще один полезный метод — метод проекций. Он был
использован в решении задачи 3, но применим и ко многим другим задачам типа
рассмотренных выше; подробнее см. [3].

Интересно посмотреть с этой точки зрения на стереометрические
задачи ЕГЭ. В [2] две такие задачи решены с применением координат на одном из
этапов решения. Вряд ли можно сказать, что это приносит особые дивиденды по
сравнению с «обычными» решениями, да и в целом анализ задач ЕГЭ показывает, что
они не очень «приспособлены» к векторно-координатному подходу. А вот хорошие
«геометрические» решения, использующие, как и многие из примеров выше, удачные
конкретные данные, встречаются. Такие решения иногда выглядят не совсем
«честными», но для экзаменационных задач они достаточно типичны — ведь задачи
составляются так, чтобы их можно было решить, да еще и чтобы ответ был хорошим.
Приведем пример из ЕГЭ 2008 г.

Задача 11. Дан конус с вершиной M, радиус
основания которого равен 6. На окружности его основания выбраны точки A,
B, C так, что углы BMA, AMC, CMB равны 90°
каждый. Точка F выбрана на дуге BC окружности основания конуса, не
содержащей точки A, так, что объем пирамиды MABFC наибольший.
Найдите расстояние от точки F до плоскости MAB.

Задача решается в несколько строк и практически без
вычислений. Ясно, что пирамида MABC правильная (рис. 11), а F —
середина дуги BC (кстати, последнее разрешалось не доказывать на
экзамене). Искомое расстояние h_F — это высота пирамиды MABF,
опущенная на грань ABM.

Заметим, что высоту h_C пирамиды MABC,
опущенную на ту же грань, легко найти — она совпадает с ребром CM и равна

Поэтому достаточно найти отношение h_F :
h_C, а оно равно отношению объемов пирамид. Имеем:

(мы учли, что пирамиды имеют общую высоту, проведенную из
вершины M; последнее равенство очевидно). Отсюда

Ответ:

Интересно, что аналогичные задачи из большинства других
вариантов этого же экзамена оказались значительно сложнее, что было явной
недоработкой составителей ЕГЭ. Предлагаем одну из этих задач в качестве
упражнения. Общий план ее решения такой же, как и в предыдущей задаче, но здесь
у нас нет такого подарка, как практически данная эталонная величина, с которой
можно сравнить искомое расстояние (длина ребра CM, равная расстоянию от
C до плоскости ABM). Поэтому приходится потрудиться. А при
вычислениях можно использовать и метод объемов, и проекцию.

Задача 12. Дан конус с вершиной M, радиус
основания которого равен В основание этого конуса вписан шестиугольник ABCDEF
так, что углы AMB, BMC, CMD, DME, EMF, FMA
равны a
каждый, причем На дуге BC окружности основания конуса, не содержащей
точки A, выбрана точка L так, что объем пирамиды MABLCDEF
наибольший. Найдите расстояние от точки L до плоскости ABM.

1. Потоскуев Е. Векторный метод решения
стереометрических задач // Математика, 2009, № 6, с. 27–34.

2. Фалин Г., Фалин А. Применение метода координат
для решения задач ЕГЭ по стереометрии // Математика, 2009, № 6, с. 24–26.

3. Дубровский В. Неожиданный ракурс // Квант, 1980, № 2, с. 46–50.

Дубровский В.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1.  В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2.  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и :

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

.

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

;

.

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

.

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Упростим систему:

.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике»

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA₁ = √3

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.