Как найти длину касательной если известен радиус

Tangent to a Circle is a straight line that touches the circle at any one point or only one point to the circle, that point is called tangency. At the tangency point, the tangent of the circle will be perpendicular to the radius of the circle. In the below figure PQ is the tangent to the circle and a circle can have infinite tangents.

• From the above figures, PQ is the tangent.
• The two tangents can be drawn parallel to a secant that can be drawn at a circle

Note: A circle can have an infinite number of tangents.

A tangent can be drawn between two circles in two ways. They are

Externally

An external tangent can be drawn between two circles in one way

• We can name the upper tangent as AB
• And lower tangent as CD

Example: AB is the common tangent to O, P circles. Find the length of AB.

Solution: 

AB is a tangent, 
Draw a line parallel to AB as shown below 
 

Point on OA can be assumed as Q 

Now POQ forms right angle triangle as shown below 
So, 1² + B² = 3² 
B² = 9 – 1 
B² = 8 
B = √8 cm

so the length of AB is 2√8 cm 
 

Internally

If Tangents of two circles intersect at a common point is called the internal tangents. We have four cases for internal tangents

Case 1 

If the two circles touch at just one point, with one inside the other, there is just one line that is a tangent to both.

Example: If The radius of the big circle is 6 cm and the small circle is 3 cm then find the shortest perpendicular distance from the common tangent to 2 circles. 

Solution:

Given r1 = 6cm, r2 = 3cm 

For the big circle,
the shortest distance is 

y² = 3² + 3²  

y² = 9 + 9 

y = √18 

for small circle, the shortest distance is 

x² = 6² + 6² 

x² = 36 + 36 

x = √72 

Hence, the shortest distance from the tangent where it grazes and to perpendicular to top of the circle.  

Case 2

A tangent of two circles is a common internal tangent. The intersection of the tangent and the line segment joining the centers is not empty.

For example, line AB common internal tangents.

Example: Find the number of common tangents to the circles x2 + y2 − 4x − 6y − 12 = 0 and x2 + y2 + 6x + 18y + 26 = 0. 

Solution:

Small circle equation is x² + y² − 4x − 6y − 12 = 0 and big circle equation is x² + y² + 6x + 18y + 26 = 0.

Centers of circles are C1 (2, 3) and C2 (−3, −9) and their radii are r1 = 5 and r2 = 8 Obviously r1 + r2 = C1C2 i.e., circles touch each other externally. 

Hence, there are three common tangents. 
 

Case 3 

In case the tangents of two circles will intersect at a point we can name as O

• AB is the common tangent
• CD also a common tangent
• These two tangents AB, CD intersecting at one point.

Example: Given equations of 2 tangents with equations x + 2y + 1 = 0 and 2x + 3y + 5 = 0. Check whether the tangents will 
intersect or not? 

Solution: 

Firstly checking the slopes of two tangents. 

1st equation = slope = – y/x = -2 /1 

2nd equation = slope = – y/x = -3 /2 

Hence there are no slopes, so the tangents will intersect. 
 

Note 1: The set of circles cannot have common internal and external tangents.

Note 2: If one circle is inside another circle, then we cannot draw a tangent. It was shown below

Secant

The line which intersects two points on the circle is known as the secant. (or) The line which cuts the circle at two distinct points is called Secant

• From the above figure, AB is the secant to the circle
• In the above figure the points A and B, two distinct points cutting the circle.
• The secant cut the circle in any direction.
• The secant can even be drawn from outside the circle.

Example 1: Describe the tangents and secants from the given figure 

Solution: 

According to the above figure, 

AB is a tangent. 

CD is the secant. 

EF is the tangent. 

GH is the secant. 

IJ is the tangent 
 

Example 2: List out the number of tangents and secants from the given figure 

Solution: 

From the figure, 

we have 3 tangents, i.e AB, EF, IJ. 

And we have 2 secants, i.e CD, GH. 

Chord

The Line which divides a circle into two halves is called a chord. (or) The two distinct points which divide the circle into two equal parts called as chord.

• From the figure, the CD is the chord of the circle
• The chord touches the two points in the circle, the two points are CD from above.
• The chord lies within the circle.

Radius is perpendicular to the tangent line

Theorem 

The Tangent at any point of a circle is perpendicular to the radius.

Proof

To prove: OP perpendicular to AB

• Here O is the center of the circle.
• AB is the tangent to the circle with the center O.
• P is the point of tangency.
• Let Q be a point on the tangent AB.
• Draw an imaginary line from point O to Q it touches the circle at R.

• As OQ > OP
• OQ = OR + RQ.
• OP < OR + RQ.
• So same will be the case with all other points on the tangent
• Hence, OP is the smallest line that connects tangent AB.
• We know that the smallest line is always perpendicular. Therefore, OP is perpendicular to AB

Sample Problems on Tangent to a Circle

Problem 1: RA and RB are two tangents to the circle with a radius of 6 cm. Find the length of the arc ACB?

Solution: 

Step 1: Write all the given values in the question.

RA and RB are two tangents.

Radius r = 6.

Step 2: Write the angle degree between the two tangents RA and RB, if not given the default angle between the two tangents is 60 degrees.

Now the angle between RA and RB is 60 degree

Step 3: Try to extend the line from point A to O and B to O it should make 90⁰ with the tangent.

it forms a quadrilateral.

Step 4: Apply the rules of a quadrilateral to find the angle between AOB.

here RAOB will be a quadrilateral. So, R^o + A^o + B^o+ AOB^o  = 360⁰

                                                            60^o + 90^o + 90⁰  + AOB⁰ = 360⁰

                                                              AOB⁰ = 360⁰ – 240⁰

                                                                                   AOB⁰ = 120⁰

Note: A^o = B^o = 90^o  Since A, B are perpendicular to the tangents RA and RB.

Step 5: Now we need to find the length of ARC by using the following formula

Length of arc = (angle/360) * radius

We get = (120 / 360) * 6

             = (1.9) = 2

therefore, the length of the arc ACB is 2 cm.

Problem 2: RA and RB are two tangents to the circle with a radius of 9 cm. Find the length of the arc ACB?  

Solution: 

Given RA and RB are two tangents.

Radius r = 6, lets us assume the point  where two tangent is R

And angle between two tangents RA and RB is 30⁰

Extend the line from point  A to  O and B to O it should make 90⁰ with the tangent.

It forms a quadrilateral as above.

Here RAOB will be a quadrilateral So, R^o + A^o + B^o + AOB^o  = 360⁰.

                                                           30^o + 90^o + 90⁰  + AOB⁰ = 360⁰

                                                            AOB⁰ = 360⁰ – 210⁰

                                                            AOB⁰ = 150⁰

Note: A^o = B^o = 90^o  since A, B are perpendicular to the tangents RA and RB.

Length of arc = (angle/360) * radius

We get = (150 / 360) * 9

            = (3.75) = 4cm

Problem 3: Find the value of x from the given figure.

Solution: 

Given A is tangent (from the figure)

by using Right angle triangle properties we can find the value of x

i.e A² + B² = C²

A = 16cm, B = xcm, C = 25cm

(16)² + (x)² = (25)²

256 +  (x)²  = 625

(x)² = 625 – 256

(x)² = 369

Taking root on both the sides

√(x)² = √369   (square and root get cancelled)

we get, x = 3√41cm.

Общие сведения

Важно знать терминологию, соотношения и теоремы для решения задач этого класса. Касательной к окружности называется прямая, которая имеет с ней только одну точку соприкосновения. Прямая — это линия, не имеющая границ, т. е. она ничем не ограничена. Окружностью называется геометрическое место точек, удаленных от центра на одинаковые расстояния.

Следует отметить, что касательные бывают внешними и внутренними. Внешней называет прямая линия, проходящая с внешней стороны окружности. Внутренние касательные пересекают отрезок, который соединяет центры двух окружностей. Последний тип прямых не существует, когда два круга пересекаются. Касательные нужно уметь правильно строить, поскольку от этого зависит правильность решения задачи.

Построение касательных

Для построения касательной к окружности следует на последней отметить произвольную точку. Затем необходимо через нее провести прямую. Нужно отметить, что у круга может быть несколько таких прямых. Когда даны две окружности, тогда можно проводить не только внешние, но и внутренние. Существует определенный алгоритм, по которому можно построить первый тип:

1. Начертить 2 окружности с центрами в точках О1 и О2. При этом должно соблюдаться условие r1 > r2, где r1 и r2 — радиусы I и II соответственно.
2. Нарисовать III окружность с центром в О1 и радиусом r3 = r1 — r2.
3. Провести 2 касательные из точки О2 к III. Они параллельны искомым, поскольку радиусы I и II уменьшаются на r2.

Существует более простая модель построения таких прямых. Для этого следует начертить один круг, а затем отметить две произвольные точки на его противоположных сторонах. Далее начертить II круг, превышающий I по радиусу. Отметить на нем точки, воспользовавшись подобием, т. е. они должны быть в тех же местах, что и на I. Затем провести прямые, которые должны соприкасаться с I и II кругами только в одной точке.

Для построения внутренних касательных существует определенная методика. В интернете можно найти много информации. В одних источниках алгоритм построения является сложным, а в других — простым. Однако есть один метод, позволяющий осуществить данную операцию. Специалисты описали его на «понятном» языке для новичков. Суть методики заключается в следующем:

1. Необходимо построить два круга, которые не пересекаются, с радиусами r1 и r2. Расстояния между ними должно составлять r1 + r2.
2. Соединить их центры (середины) отрезком.
3. Отметить на нем среднюю точку, которая делит его на две равные части.
4. Через точку, полученную на третьем шаге методики, провести прямую. Она должна иметь только одну точку соприкосновения с I и II окружностями.
5. Аналогично провести еще одну прямую.
6. Искомые прямые являются внутренними касательными.

Далее нужно рассмотреть некоторые свойства, на основании которых можно решать задачи и доказывать геометрические тождества.

Основные свойства

Свойства — утверждения, полученные в результате доказательства теорем о касательной к окружности. Первые нет необходимости доказывать, поскольку об этом уже позаботились математики. Они выделяют всего 4 свойства касательных к окружности:

1. Если провести из одной точки две касательные к некоторой окружности, то отрезки, лежащие на них, будут равны. Искомый угол будет делиться радиусом пополам.
2. Любая касательная и радиус, проведенный к ее точке, образуют прямой угол. Справедливо и обратное утверждение: радиус, который проведен в точку касания, перпендикулярен данной прямой.
3. Вся секущая, умноженная на свою внешнюю часть, равна квадрату расстояния касательной, которая проведена из общей с ней точки.
4. Образованный угол между касательной и секущей, эквивалентен градусной мере угла, который опирается на образованную хорду.

Для рассмотрения I свойства необходимо начертить окружность с центром О1. Затем нужно отметить точку М вне окружности. Из М провести одну прямую, которая соприкасается с кругом в точке А. Такую же операцию следует проделать и для другой касательной. Точку соприкосновения назвать В. Отрезки АМ и ВМ равны между собой.

Если провести радиусы к точкам А и В, то можно сделать вывод, что углы являются прямыми. Чтобы понять третье свойство, необходимо начертить окружность и отметить некоторую точку М за ее пределами. После этого следует из искомой точки провести секущую и касательную. Первой называется прямая, проходящая через окружность и пересекающая ее в двух точках. Для касательной точку соприкосновения необходимо обозначить А. Тогда секущая пересекает круг в точках В (ближняя) и С (дальняя). В результате этого получается такое соотношение: АМ ² = АВ * МС.

Когда для произвольной окружности существуют касательная и секущая, тогда между ними образуется некоторый угол.

Хорда, полученная в результате прохождения через окружность, образует также угол. Он опирается на искомую хорду и является вписанным. Следовательно, по свойству градусные меры углов равны между собой. Далее нужно разобрать частные случаи, на основании которых можно сделать вывод о количестве касательных.

Когда окружность вписана в ромб, тогда их точки касания нужно рассматривать по первому свойству. Радиус окружности можно найти по следующим формулам:

1. Через диагонали (d1, d2) и сторону (a): r = (d1 * d2) / 4а.
2. Только по диагоналям: r = (d1 * d2) / [(d1)^2 + (d2)^2]^(½).

Следует отметить, что у ромба две диагонали. Они различаются по размеру. Одна из них больше другой (d1 > d2).

Частные случаи

В некоторых задачах нужно определить количество касательных у двух окружностей. Можно выполнить ряд сложных и трудоемких доказательств. В результате этого будет потрачено много времени, а можно воспользоваться уже готовыми дополнительными свойствами:

1. Четыре касательных: круги не соприкасаются, т. е. d > r1 + r2 (значение диаметра больше суммы радиусов r1 и r2).
2. Две общие внешние и одна внутренняя: окружности соприкасаются только в одной точке (d = r1 + r2).
3. Только две внешние: пересечение окружностей в двух точках (|r1 — r2| < d < r1 + r2).
4. Одна общая внешняя: окружности касаются внутри друг друга (d = |r1 — r2|).
5. Отсутствуют: один круг находится внутри другого (d < |r1 — r2|).

В последнем случае любая касательная будет являться секущей для другой окружности. Существует еще одно положение, когда окружности совпадают. Тогда любая касательная считается общей. В высшей математике разбирается также «отрицательный» радиус. Тогда вышеперечисленные свойства можно править следующим образом:

1. Нет касательных: окружности не соприкасаются, и для них выполняется условие d < — (r1 + r2).
2. Две внутренние (общие) и одна внешняя: круги соприкасаются в одной точке (d = -r1 — r2).
3. Одна пара внутренних: пересечение в 2 точках (|r1 — r2| > d > — r1 — r2).
4. Внутренняя общая (одна): соприкасаются внутри (d = |r2 — r1|).
5. Четыре: при d > |r1 — r2|.

Когда заданы окружности, радиус одной из которых равен 0, тогда «нулевой» круг эквивалентен двойной точке. Прямая является двойной и проходит через эту точку. В этом случае математики определяют всего две внешних. Если r1 = r2 = 0, то всего 4 внешних общих касательных. Далее для решения задач нужно разобрать доказательства некоторых свойств.

Доказательства утверждений

Очень важно знать доказательства некоторых свойств и теорем, поскольку одним из типов задач считаются упражнения повышенной сложности, требующие логических расчетов в общем виде. Например, нужно доказать, что касательная образует с радиусом, проведенным к точке касания, прямой угол. Существует тип доказательства от противного.

Для этого следует предположить, что искомый угол не равен 90 градусам. Пусть дана некоторая касательная р. Она имеет с кругом общую точку А. Нужно провести к ней перпендикуляр (радиус). Далее нужно провести из центра О отрезок ОВ на р. Образуется прямоугольный треугольник АВО с гипотенузой ОВ. Если опираться на утверждение от противного, то гипотенуза будет меньше катета (d < r). Однако радиус не может быть больше диаметра, поскольку он рассчитывается по следующей формуле: d = 2 * r. Следовательно, утверждение доказано.

Аналогично доказывается и обратное свойство. Его формулировка имеет такой вид: прямая, проходящая под прямым углом через точку, которая образована радиусом, является касательной. В этом случае можно доказывать не от противного. Расстояние от прямой до центра окружности эквивалентно некоторой величине и является радиусом. Из определения следует, что прямая и окружность имеют общую точку, и только одну. Следовательно, она и есть касательная.

Доказательство об отрезках, проведенных из одной точки, тоже нужно разобрать, поскольку такой прием применяется в решении сложных задач. Отрезки равны между собой и образуют с прямой, проведенной к центру круга, эквивалентные углы.

Следует выполнить построение окружности с центром Р. Далее нужно обозначить точку А за ее пределами и провести из нее лучи-касательные к искомой окружности. Они образуют на круге точки А и В. Кроме того, следует доказать равенство углов ОАВ и САО. При построении образовалось два треугольника ОВА и ОСА. Фигуры являются прямоугольными на основании свойства о касательной и радиусе.

Далее необходимо доказать равенство фигур ОВА и ОСА. Это сделать довольно просто: гипотенуза — общая, катеты ОВ и ОС равны (радиусы) и углы АВО = АСО = 90. Следовательно, они равны по первому признаку, а также эквивалентны друг другу стороны АВ и АС. Кроме того, угол ОАВ = САО. Утверждение доказано. Гипотенуза является также и биссектрисой. В некоторых источниках можно встретить доказательство равенства тангенсов углов.

Пример решения задачи

Нужно составить уравнения касательных к окружности (описанной графиком функции х ² + y ² = 2x + 6y + 19), проходящих через координаты х =0 у= -14. Для решения задачи следует действовать по такому алгоритму:

1. Перенести все слагаемые, кроме 19, в левую сторону: х ² + y ² — 2x — 6y = 19.
2. Выделить полный квадрат для окончательной записи уравнения окружности: х ² — 2x + 1 — 1 + y ² — 6y +9 — 9 = (х — 1)^2 + (y — 3)^2 = 29.
3. Уравнение прямой, проходящей через (0;-14) в общем виде: y — (-14) = k * (x — 0) или у = кх — 14.
4. Составить систему уравнений: (х — 1)^2 + (y — 3)^2 = 29 и у = кх — 14.
5. Подставить второе в первое: (х — 1)^2 + (кх — 14 — 3)^2 = 29.
6. Упростить выражение: (х — 1)^2 + (кх — 14 — 3)^2 — 29 = х ² — 2x + 1 +k ² * x ² — 34kx + 289 — 29 = (1 + k ² ) * x ² — 2 * (17k + 1) + 261.
7. Решением уравнения должен быть один корень: D/4 = 0.
8. Упростить тождество: D/4 = (-(17k + 1))^2 — 261 (1 + k ² ) = 289k ² + 34k + 1 — 261 — 261k ² = 28k ² + 34k — 260 = 0.
9. Найти значение D: 17 ² — 28 * (-260) = 289 + 7280 = 7569.
10. Первый коэффициент к1 = (-17 — 87) / 28 = -26/7.
11. Коэффициент к2 = (-17 + 87) / 28 = 5/2.
12. Записать уравнения прямых с учетом к1 и к2: у1 = (-26/7) * х — 14 (26х + 7у + 98 = 0) и у2 = (5/2) * х — 14 (5х — 2у — 28 = 0).

Следует отметить, что уравнение окружности с радиусом, равным единице, описывается функцией x² + y ² = 1. Эта запись применяется для решения задач в общем виде. Прямая — функция, описанная прямой пропорциональностью у = кх + b. Чтобы связать окружность и касательные, нужно составить систему уравнений. Этот математический ход объясняется тем, что у функций должны быть общие решения (точка на окружности). После решения можно выполнить проверочные вычисления, подставив корни в систему.

Таким образом, для решения задач об окружности и касательной следует знать общие понятия, а также основные свойства и теоремы.

Понятие касательной к окружности

Окружность имеет три возможных взаимных расположений относительно прямой:

1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

Введем теперь понятие касательной прямой к окружности.

Теоремы, связанные с понятием касательной к окружности

Доказательство.

Рассмотрим окружность с центром $O$. Проведем в точке $A$ касательную $a$. $OA=r$ (Рис. 2).

Докажем, что $abot r$

Будем доказывать теорему методом «от противного». Предположим, что касательная $a$ не перпендикулярна радиусу окружности.

То есть $OA$ — наклонная к касательной. Так как перпендикуляр к прямой $a$ всегда меньше наклонной к этой же прямой, то расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса. Как нам известно, в этом случае прямая имеет две точки пересечения с окружностью. Что противоречит определению касательной.

Следовательно, касательная перпендикулярна к радиусу окружности.

Теорема доказана.

Доказательство.

По условию задачи мы имеем, что радиус — перпендикуляр, проведенный из центра окружности к данной прямой. Следовательно, расстояние от центра окружности до прямой равняется длине радиуса. Как мы знаем, в этом случае окружность имеет только одну точку пересечения с этой прямой. По определению 1 и получаем, что данная прямая — касательная к окружности.

Теорема доказана.

Доказательство.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Из точки $A$ (лежащей все окружности) проведены две различные касательные. Из точки касания соответственно $B$ и $C$ (Рис. 3).

Докажем, что $angle BAO=angle CAO$ и что $AB=AC$.

По теореме 1, имеем:

Следовательно, треугольники $ABO$ и $ACO$ — прямоугольные. Так как$OB=OC=r$, а гипотенуза $OA$ — общая, то эти треугольники равны по гипотенузе и катету.

Отсюда и получаем, что $angle BAO=angle CAO$ и $AB=AC$.

Теорема доказана.

Пример задачи на понятие касательной к окружности