Как найти дифференциал в маткаде - Avtoru.top - решение различных проблем

Тема 7. Решение дифференциальных уравнений и систем в MathCad

Краткие теоретические сведения

Для решения дифференциальных уравнений с начальными условиями система Mathcad имеет ряд встроенных функций:

rkfixed – функция для решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;

Rkadapt – функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта с переменным шагом;

Odesolve – функция, решающая ОДУ блочным методом.

Ниже приведено описание стандартной функции rkfixed с указанием параметров функции.

y – вектор начальных условий из k элементов ( k – количество уравнений в системе);

x1 и x2 – левая и правая границы интервала, на котором ищется решение ОДУ или системы ОДУ;

p – число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение;

D – вектор, состоящий из k-элементов, который содержит первую производную искомой функции или первые производные искомых функций, если речь идет о решении системы.

Результатом работы функции является матрица из p +1 строк, первый столбец которой содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – сами решения.

На рисунке 2.7.1 приведены конкретные примеры решения различных дифференциальных уравнений и систем ОДУ в MathCAD .

Рисунок 2.7.1 – Примеры решения дифференциальных уравнений и систем

При решении дифференциального уравнения первого порядка нужно создать вектор начальных условий из одного элемента Y 1 , который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора Y , границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0 ; 2), количество точек, в которых ищется решение – 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения – D . В результате получается матрица z , в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором – значения самой результирующей функции. При построении графика функции первый столбец полученной матрицы указывается как аргумент, второй столбец – как функция.

При решении системы дифференциальных уравнений нужно создать вектор начальных условий из двух элементов, например, вектор v , который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора v , и границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0 ; 5), количество точек, в которых ищется решение – 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения – D . В результате получается матрица s , в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором и третьем столбцах – значения самих функций при соответствующем значении аргумента. При построении графика можно воспользоваться первым столбцом полученной матрицы как аргументом, а вторым и третьим столбцами – как функциями.

На рисунке 2.7.2 приведен пример решения дифференциального уравнения второго порядка с использованием функции rkfixed . Необходимо решить дифференциальное уравнение второго порядка с заданными начальными условиями вида:

Рисунок 2.7.2 – Пример решения дифференциальных уравнений второго порядка с помощью rkfixed

Для решения уравнения с помощью функции rkfixed нужно выполнить замену переменных и привести дифференциальное уравнение второго порядка к двум дифференциальным уравнениям первого порядка. Вид этих уравнений приведен ниже.

Документ формируется точно так же, как и при решении системы ОДУ.

На рисунке 2.7.2 показана возможность вычисления вектора второй производной найденной функции – вектора а, построены графики исходной функции, функций первой и второй производных.

Практическая часть темы 7

7.1 Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Последовательность действий для р ешения дифференциального уравнения первого порядка такова:

q сформировать вектор начальных условий из одного элемента, присвоив начальное значение искомой функции переменной с индексом, например: или (в зависимости от значения переменной ORIGIN );

q определить вектор-функцию из одного элемента, которая содержит первую производную неизвестной функции:

· набрать имя функции с двумя параметрами: первый параметр – аргумент искомой функции (независимая переменная), второй – имя вектора, содержащего искомую функцию (можно использовать имя вектора начальных условий), например, D ( x , Y );

· набрать оператор «:=» и выражение для первой производной (выразить из дифференциального уравнения), в котором вместо имени искомой функции подставлен первый элемент вектора-параметра, например, для уравнения вектор-функция будет определятся следующим образом: ( если ORIGIN = 0 , подставлять );

q присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed , указав в скобках следующие параметры:

· первый – имя вектора начальных условий,

· второй – левая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· третий – правая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· четвертый – количество точек, в которых ищется решение,

· пятый – имя вектора-функции, описывающего первую производную, без параметров;

например: ,

(в результате получится матрица Z , в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором – значения самой функции);

q вывести матрицу, содержащую решение ДУ с помощь оператора «=», например: Z = ;

q построить график найденной функции ( см. тему 5 ), указав в качестве аргумента по оси абсцисс столбец , а в качестве значения функции по оси ординат – столбец ( если ORIGIN = 0 , набирать соответственно и ).

Пример 7.1 Найти численное решение дифференциального уравнения первого порядка на интервале от 0.2 до 5 в 1000 точках, при начальном условии y (0)=0.1.

Выполнить графическую интерпретацию результатов.

7.2 Решение систем дифференциальных уравнений

Последовательность действий для р ешения системы дифференциальных уравнений первого порядка такова (описана для значения ORIGIN =0 ):

q перейти в исходной системе уравнений к однотипным обозначениям функций и выразить первые производные,

например, систему можно преобразовать в ;

q в документе MathCad сформировать вектор начальных условий, количество элементов которого равно количеству уравнений системы, присвоив его некоторой переменной (см. тему 2);

например, ;

q определить вектор-функцию, которая содержит первые производные искомых функций:

· набрать имя функции с двумя параметрами: первый параметр – аргумент искомых функций (независимая переменная), второй – имя вектора, содержащего искомые функции (можно использовать имя вектора начальных условий), например, D ( t , V );

(Замечание: если независимая переменная явно не присутствует в системе, то в качестве ее имени можно выбрать любую переменную)

· набрать оператор «:=» и вставить шаблон вектора, количество элементов которого равно количеству уравнений системы (см. тему 2)

· набрать в качестве элементов вектора правые части системы уравнений, в которых искомые функции представлены соответствующими элементами вектора-параметра, например,

;

q присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed , указав в скобках следующие параметры:

· первый – имя вектора начальных условий,

· второй – левая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· третий – правая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· четвертый – количество точек, в которых ищется решение,

· пятый – имя вектора-функции, описывающего первые производные, без параметров;

например: ,

(в результате получится матрица Z , в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором – значения первой функции, в третьем – значения второй функции и т. д.);

q вывести матрицу, содержащую решение системы ДУ с помощь оператора «=», например: Z = ;

q построить графики найденных функций ( см. тему 5 ), указав в качестве аргумента по оси абсцисс первый столбец матрицы решений, например, , а в качестве значений функций по оси ординат – остальные столбцы матрицы через запятую, например, , и т. д.

Пример 7.2 Найти решение системы дифференциальных уравнений

на интервале от 0 до 0.5 в 1000 точках, при следующих начальных условиях: x (0)=0.1 и y (0)=1.

Выполнить графическую интерпретацию результатов.

Как дифференцировать уравнение в маткаде

Mathcad для студентов

Mathcad для начинающих

Скачать программы бесплатно

Дифференцирование и интегрирование в Mathcad

Дифференцирование в Mathcad осуществляется или посредством выполнения самой операции над задаваемым выражением, или с использованием и отображением оператора производной. В первом случае достаточно ввести выражение, выделить переменную дифференцирования в выражении, войти в меню Символика, Переменная, Дифференцировать. Несмотря на оперативность выполнения данной операции в Mathcad, при оформлении отчета о данных вычислениях, возникают неудобства, связанные с отсутствием самого символа (оператора ) производной. Например:

sin(x)2 – 2. ln(x)

Результат дифференцирования посредством меню Символика

Аналогичного результата можно добиться, используя символику дифференцирования на панели инструментов “Исчисление”. Данный вариант в Mathcad является более предпочтительным при формировании отчета о результатах вычислений:

Mathсad позволяет вычислить производную n-го порядка, что также можно осуществить используя панель инструментов “Исчисление”:

Интегрирование в Mathcad выполняется аналогично символьному дифференцированию. Причем можно вычислить как определенный, так и неопределенный интеграл, используя команды меню “Символика” (Символика, Переменная, Интегрировать) или элементы панели инструментов “Символика”. При этом необходимо учитывать, что в результате вычисления неопределенного интеграла постоянная интегрирования автоматически не выводится, а должна вводится пользователем принудительно. На Листинге приводится пример символьного интегрирования.

Необходимо отметить, что при вычислениях с помощью операторов панели инструментов “Символика” и команд меню “Символика” могут получаться разные результаты. Это связано с тем, что команды меню применяются только к выделенному выражению, в то время как при использовании операторов панели инструментов “Символика” учитываются все предшествующие вычисления.

Решение дифференциальных уравнений в MathCad 15

В статье рассмотрена работа функции odesolve для графического решения дифференциального уравнения в программе mathcad версии 15 и старше

Функция odesolve

Для примера рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания маятника с течением времени

В свободном поле mathcad введите оператор Given. Этот оператор запускает процесс ввода исходных данных для корректной работы функции odesolve. После этого найдите панель под названием Calculus. В этой панели нам понадобятся кнопки Derivative и Nth Derivative. Эти кнопки вводят заготовки для дифференциального уравнения. С помощью клавиатуры введите уравнение, как показано на рисунке 1. Знак равенства необходимо использовать из панели Boolean

Рис. 1. Ввод исходных данных для решения дифференциального уравнения

Далее введите начальные приближения. Количество начальных приближений зависит от порядка дифференциального уравнения. В нашем случае их будет 2. Введите приближения, как показано на рисунке 2. Обратите внимание, что для ввода значания первой производной вам нужно использовать символ «верхний апостроф«. Если вы его не можете ввести с клавиатуры вручную воспользуйтесь приложением windows Capter Map или используйте комбинацию клавиш Alt + 96 или Alt + 39

Рис. 2. Ввод первого приближения для решения дифференциального уравнения

Теперь, после начального приближения введите любую переменную (например y) и присвойте ей функцию Odesolve, как показано на рисунке 3. В качестве параметров функции Odesolve используется переменная t и интервал интегрирования. В нашем случае интервал равен 15

Рис. 3. Ввод функции odesolve для решения дифференциального уравнения

Можно отобразить функцию y на графике, где в качестве аргумента будет переменная t. Этот график и будет являться решением дифференциального уравнения. Обратите внимание, что график строится в пределах интервала интегрирования. Особенности оформления и отображения графиков в mathcad 15 смотрите в соответствующем разделе

Рис. 4. Вывод результата решения дифференциального уравнения на график

После корректного решения дифференциального уравнения функцию y(t) можно использовать далее в расчетах

Рис. 5. Результат решения дифференциального уравнения в mathcad 15 и старше

Donec eget ex magna. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fergiat. Pellentesque in mi eu massa lacinia malesuada et a elit. Donec urna ex, lacinia in purus ac, pretium pulvinar mauris. Curabitur sapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis dapibus rutrum facilisis. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Etiam tristique libero eu nibh porttitor fermentum. Nullam venenatis erat id vehicula viverra. Nunc ultrices eros ut ultricies condimentum. Mauris risus lacus, blandit sit amet venenatis non, bibendum vitae dolor. Nunc lorem mauris, fringilla in aliquam at, euismod in lectus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. In non lorem sit amet elit placerat maximus. Pellentesque aliquam maximus risus, vel venenatis mauris vehicula hendrerit.

Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fersapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique lorem ipsum dolor.

источники:

http://allmathcad.com/ru/differentsirovanie-i-integrirovanie.html

http://student-engineer.pro/mathcadold/difur/

Источник

Дифференциальное исчисление в пакете MathCad. Определение и понятие производной. Встроенные функции решения краевых задач, заданных в форме Коши

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю т.е.

2. Средства дифференцирования в MathCad

Оператор производной предназначен для нахождения значения производной функции в заданной точке.

Вызвать оператор производной можно следующими способами:

Используя ПИ производных и интегралов

для нахождения производной 1-го порядка

для нахождения производной n-го порядка

Для нахождения производной нужно:

1. 1. Определить точку (или диапазон), в которой будет найдена производная;

2. 2. Вызвать оператор нахождения производной:

v v появится шаблон нахождения производной 1-го порядка

v v шаблон нахождения производной n-го порядка

3. 3. Заполнить шаблон данными:

2.1 Примеры нахождения производных

1. Найти производную функции в точке x=2.

2. Найти производную той же самой функции в точках x, на заданном интервале.

3.Найти вторую производную той же функции в точке x=3.5

3. Нахождение производной в общем виде

Для вывода на экран формулы нахождения производной необходимо:

v v на ПИ выбрать шаблон неопределенного интеграла производной;

v v заполнить его;

v v набрать на клавиатуре Ctrl+.(точка);

v v нажать ввод.

4. Физический смысл производной

Пусть s=s(t) представляет закон прямолинейного движения материальной точки. Это уравнение выражает путь s, пройденный точкой, как функцию времени t. Обозначим через ∆s путь, пройденный за промежуток времени ∆tот момента t до t+∆t, то есть ∆s=s(t+∆t)-s(t).

Отношение называется средней скоростью точки за время от t до t+∆t.

Мгновенной скоростью точки в данный момент времени t называется предел средней скорости за промежуток от t до t+∆t, когда :

или

Ускорение точки в данный момент вычисляется по следующей формуле:

4.1 Пример применения физического смысла производной

Точка движется по закону . Определить ее мгновенную скорость в момент времени t=5 с.

5. Геометрический смысл производной

Угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) в точке a равен первой производной функции в данной точке: , где

β — угол наклона касательной к оси Ох.

Уравнение касательной имеет вид:

— угловой коэффициент касательной к графику функции, в точке x=a

5.1 Пример нахождения уравнения касательной функции в некоторой точке

Найти уравнение касательной к функции , в точке x₀= 2 и ее наклон к оси Ох.

6. Приложения производной

6.1. Экстремумы функции

Правило1 (признак нахождения экстремумов, основанный на исследовании знака первой производной):

Пусть , то если при переходе через точку x₀ функция f(x) меняет знак с + на – (с – на +), то x₀ – точка локального максимума (минимума).

Правило 2 (признак нахождения экстремумов, основанный на исследовании знака второй производной):

Пусть и , тогда если , то x₀ – точка локального максимума (минимума).

Пример нахождения экстремумов функции.

6.2. Разложение функции в ряд Тейлора.

Для приближенного определения значения функции f(x) разложим данную функцию в Ряд Тейлора в окрестности точки x=a.

MathCAD — это просто! Часть 12. MathCAD и дифференциальное исчисление

Одно из самых впечатляющих достижений математики прошлых веков — это создание аппарата, позволившего количественно описать практически все законы природы, что и позволило физике стать самой передовой из всех наук. Естественно, MathCAD дает пользователю возможность воспользоваться всей мощью аппарата математического анализа (так принято называть курс дифференциального и интегрального исчисления в отечественных вузах) для решения задач. Сейчас мы с вами научимся пользоваться MathCAD’ом для вычисления пределов, производных, интегралов и прочих не слишком любимых студентами технических специальностей вещей.

Изучение математического анализа традиционно начинается с теории пределов. Вычисление пределов на практике, тем не менее, зачастую становится даже более сложной задачей, чем вычисление производных функций в точке или определенных интегралов. Несмотря на существование системы правил и теорем, которые позволяют вычислять пределы практически во всех случаях, эти вычисления, как правило, сопровождаются громоздкими выкладками и занимают очень много времени. Поэтому лучше переложить этот неблагодарный труд на плечи MathCAD’а, а самому заняться интерпретацией полученных результатов.

Вычислять пределы в среде MathCAD довольно просто. Найдите на панели Calculus операторы вычисления предела — там они, как и в математическом анализе, обозначаются с помощью слова lim. Всего в MathCAD’е присутствует три разных оператора вычисления предела: оператор вычисления предела в точке (двустороннего предела) и операторы правостороннего и левостороннего пределов. Для вычисления предела соответствующего типа нужно выбрать один из операторов, ввести точку и переменную, для которых мы будем вычислять предел, а также подкоренное выражение. Обратите внимание на то, что для вычисления пределов нужно использовать не знак равенства, который используется в численных вычислениях, а стрелочку — знак вывода результатов символьных преобразований, который записывается с помощью клавиатурной комбинации Ctrl+точка (русское «ю»).

С помощью пределов в MathCAD’е можно вычислять и производные. Если вы помните, то производная по определению равна пределу приращения функции к приращению аргумента этой функции при условии, что это приращение стремится к нулю. Выбрав любую функцию, вы можете легко вычислить ее производную с использованием пределов точно так же, как это показано для натурального логарифма на соответствующей иллюстрации к статье.

Впрочем, вычислять производные таким образом, мягко говоря, не очень удобно, а потому в MathCAD’е существуют специальные операторы, позволяющие вычислять производные функций. О том, как ими правильно воспользоваться, мы с вами сейчас и поговорим.

Вычисление производных

Вычислять полные производные выражений любой сложности в MathCAD’е так же просто, как вычислять пределы. Для этого на все той же панели Calculus присутствует специальная кнопка, при нажатии на которую появляется оператор вычисления производной, который, как и в матанализе, имеет запись d/dx. Вместо x, конечно, может стоять любая другая переменная. Выражение, для которого мы должны рассчитать производную, должно записываться после оператора ее вычисления. Как и в случае с пределом, для получения результата мы должны воспользоваться оператором аналитического вычисления значения производной.

MathCAD умеет вычислять производные даже довольно сложных и громоздких выражений, хотя и не всегда выдает результаты подобных вычислений в удобной для пользователя форме. Тем не менее, если выражение будет очень сложным, то и MathCAD может с ним не справиться, что показывает соответствующая иллюстрация ниже.

Для получения численного значения производной в какой-то конкретной точке целесообразно использовать следующую схему: присвоить какой-либо новой функции значение производной от нужной вам функции, а после подставлять значение той точки, в которой нужно узнать производную, в эту новую функцию. Также, в принципе, можно воспользоваться изложенным выше методом вычисления производной с помощью пределов. Этот метод в общем случае является более корректным, поскольку MathCAD при попытке непосредственного вычисления производной функции в той точке, где она разрывается, может выдавать неверные результаты. Аналогичные результаты можно получить и при использовании оператора численного равенства (т.е. обычного знака «равно») при вычислении производной. Но тогда выше нужно будет указать значение переменной, для которого мы вычисляем производную численно.

Следует отметить, что вычисление производной аналитически, а затем подстановка конкретного значения переменной в функцию, выражающую производную данной функции, дает более точные результаты, чем непосредственное численное дифференцирование изначальной функции. Но, к сожалению, такой прим удается применить не всегда — как уже говорилось выше, встречаются ситуации, когда MathCAD’у не по силам вычислить аналитически значение производной функции. Тем не менее, точность численного вычисления значения производной в точке очень высока: не менее семи знаков после запятой являются верными, а в большинстве случаев она еще выше — от 10 до 12 знаков после запятой. Такой точности вполне хватает даже для очень точных расчетов, а потому использование в них численного дифференцирования вполне оправдано.

Для вычисления производных второго и более высокого порядков нужно использовать специальный оператор n-й производной функции, расположенный на панели Calculus рядом с оператором первой производной. Как и другие обозначения операторов в MathCAD’е, здесь используется общепринятое математическое обозначение dn/dxn.

В общем-то, вычисление производных высших порядков в MathCAD’е по своему принципу мало чем отличается от вычисления первой производной. Стоит заметить, впрочем, что с помощью MathCAD’а невозможно получить выражение для последующего вычисления производной n-го порядка путем подстановки числа n в какую-либо формулу. Дело в том, что оператор вычисления производных высших порядков допускает использование в качестве порядка производной только числовую константу (естественно, показатель должен быть натуральным числом). В общем-то, больше никаких особых ограничений оператор вычисления n-й производной на действия пользователя не накладывает.

Единственное, пожалуй, на что еще стоит обратить внимание при работе с производными высших порядков, это то, что численное дифференцирование с ними нужно производить куда аккуратнее, чем с первыми производными, так как существует проблема накопления погрешности при вычисления каждого следующего порядка производной через предыдущие. Уже для производных пятого порядка точность падает обычно до пяти знаков после запятой, а потому лучше использовать методы подстановки конкретных значений точек, в которых должна быть вычислена производная, в ее аналитическое выражение. Все же производные в большинстве случаев поддаются вычислению аналитически, а потому к численному дифференцированию для высоких порядков производной лучше вовсе не прибегать.

Вычисление производных, конечно же, не ограничивается этими двумя простыми случаями (полной производной первого и более высоких порядков), а потому в следующий раз мы немного поговорим о некоторых более сложных аспектах дифференцирования. Сейчас же мы перейдем к другому разделу математического анализа — рядам.

Числовые и функциональные ряды играют очень важную роль в математическом анализе. Они позволяют переходить от непрерывного представления функции, используемого, например, в физике, к дискретному, которое необходимо для вычисления ее значения с помощью компьютера. Поэтому работа с рядами поддерживается MathCAD’ом в полной мере.

Самая важная операция, касающаяся как числовых, так и функциональных рядов — это, конечно же, вычисление суммы ряда. Найти оператор вычисления этой суммы без труда можно на все той же панели Calculus, и выглядит он, как и в математике, как большая греческая буква сигма. Для вычисления суммы ряда необходимо задать индекс суммирования (для определенности будем полагать, что он записывается буквой n), диапазон суммирования и, конечно же, значение n-го члена ряда. При этом можно использовать символ бесконечности для вычисления сумм бесконечных рядов (этот символ находится на все той же панели Calculus, сразу за оператором вычисления n-й производной). При этом стоит отметить, что вычисление суммы конечного ряда возможно как аналитически, так и численно, т.е. можно использовать и знак равенства, и стрелку, а вот для бесконечного ряда найти сумму можно только аналитическим путем.

Как и в других областях, где MathCAD задействует свой символьный процессор, всплывают на поверхность и начинают раздражать пользователя минусы этого самого символьного процессора. Самый главный из них, с которым мы с вами уже сталкивались — это нежелание полноценно работать с тригонометрическими функциями. Поэтому если вам нужно рассчитать сумму тригонометрического ряда, то на MathCAD в этом случае можете не рассчитывать.

Суммы функциональных рядов можно сразу дифференцировать и интегрировать (про интегрирование функций средствами MathCAD’а мы с вами поговорим позже), причем можно производить дифференцирование или интегрирование как всей суммы сразу, так и отдельных членов ряда. Пример того, как это можно сделать, показан на приведенной ниже иллюстрации. Правда, как вы видите, может показаться, будто бы результаты различаются, но если упростить первое выражение, то станет понятно, что на самом деле они абсолютно идентичны.

В общем, MathCAD действительно хороший помощник при работе с производными, пределами, рядами и, как мы с вами далее убедимся, интегралами. Конечно, невозможность работы с тригонометрическими рядами — это довольно серьезный минус, ведь тригонометрические ряды Фурье используются для разложения периодических функций, однако на самом деле, учитывая все плюса MathCAD’а, этот минус не так уж и велик. MathCAD’у вполне по силам упростить работу с производными и интегралами, а о том, как справиться с громоздкостью получаемых результатов средствами самой среды MathCAD, мы еще побеседуем.

SF, spaceflyer@tut.by

Компьютерная газета. Статья была опубликована в номере 25 за 2008 год в рубрике soft