Как найти диапазон в математике

Описание изображения

Вид на пустую аудиторию колледжа с задней стороны.

Для любого человека, заинтересованного в карьере математика или человека, который использует математику, например, в бизнесе, важно уметь четко объяснять формулы и решения. В случае нахождения диапазона функции, вы можете найти это значение несколькими способами. Умение объяснить эти методы может оказаться полезным по мере развития ваших математических и коммуникативных навыков.

В этой статье мы дадим определение математического диапазона, области и функции, а затем расскажем, как найти диапазон функции с помощью формулы, графика и отношения.

Основные выводы:

• В математике функция представляет собой определенную связь между независимой переменной (x) и зависимой переменной (y).

• Диапазон функции относится ко всем возможным значениям y.

• Формула для нахождения диапазона функции: y = f(x). Отношение является функцией только в том случае, если каждому значению x соответствует только одно значение y.

Что такое функция?

Функция — это прикладной математический термин, используемый для описания взаимосвязи между двумя переменными. В формуле вы можете представить функцию в виде:

y = f(x)

В этой формуле y является функцией x, то есть при изменении значения x изменяется и значение y (или диапазон, или зависимая переменная). Например:

Если x равен 2 в уравнении y = x -1, то значение y равно 1: y = 2-1

Но если x имеет значение 10, то y также изменится — до 9, или y=10-1

Что такое диапазон функции?

Значения переменных меняются, что можно представить в виде набора значений, называемых областью и диапазоном функции:

• Домен: Область функции — это набор чисел, представляющих все значения, которые может иметь x.

• Диапазон: Диапазон — это набор чисел, которые представляют все потенциальные значения, которые y может иметь на основе функции.

3 способа найти диапазон функции

Для x в упорядоченной паре (x, y) может соответствовать только одно значение y. Для y, однако, существует больше возможностей. Нахождение диапазона функции означает нахождение всех возможных значений, которые может иметь y в зависимости от x. Вы можете найти диапазон функции тремя способами: формула, график или зависимость.

1. Нахождение диапазона функции с помощью формулы

Формула может представлять, как переменная x взаимодействует с переменной y. Эти формулы могут выглядеть по-разному в зависимости от того, какое взаимодействие имеют значения. Ниже приведены шаги, которые можно использовать для алгебраического нахождения диапазона функции:

1. Запишите формулу

Запись формулы — где y = f(x)- может помочь вам определить некоторые аспекты связи между двумя переменными.

Пример: Если вы продаете журналы по 10 долларов за штуку, то ваш общий объем продаж, f(x), равен количеству проданных журналов, x, умноженному на 10. Итак, формула f(x) = 10(x). Если вы продаете ноль, 2, 4 или 10 журналов, то ваши общие продажи составляют $0, $20, $40 и $100.

2. Найдите другие пары координат

Если применить формулу y = f(x), то она показывает положительную зависимость между x и y для всех журналов продаж. Чтобы перепроверить эту информацию, вы можете нарисовать переменные в виде упорядоченных пар на графике. Полученный график является линейным и имеет тенденцию к росту. Это подтверждает вывод о том, что функция положительна.

3. Напишите диапазон

Зная, что вы не можете продавать отрицательные журналы, вы можете определить, что диапазон функции никогда не бывает меньше нуля. Поскольку вы всегда можете продать больше журналов, вы знаете, что диапазон может постоянно увеличиваться на интервалы в 10 раз. Таким образом, вы можете записать диапазон функции в виде эквивалентности.

В данном примере диапазон f(x) = все кратные 10 ? 0.

2. Нахождение диапазона функции с помощью графика

График может обеспечить визуальное представление формы, которую принимает функция, позволяя увидеть, как координаты y взаимодействуют с координатами x. Вот шаги для нахождения диапазона функции с помощью графика:

1. Нарисуйте функцию на графике

Чтобы найти диапазон функции на графике, отметьте (или постройте) координаты области (x) и диапазона (y) на листе бумаги с помощью маленьких точек. Это поможет вам увидеть форму функции. Вы можете увидеть прямую линию, изогнутую линию в форме u или n или что-то похожее на волны.

При построении графика перемещайтесь влево или вправо по оси x, в зависимости от того, отрицательна или положительна координата x. Затем вы двигаетесь вверх или вниз по оси y, в зависимости от того, положительна или отрицательна координата y.

После завершения работы проследите за формой графика. Например, если вы нарисуете координаты {(2, 1), (3, 2), (4, 3)}, то они образуют прямую линию, которая идет вверх (1, 2, 3).

2. Найдите минимум функции

Как только вы получите функцию в виде графика, вы сможете увидеть важные особенности, например, минимум. Это самая низкая точка, которую функция достигает визуально. Минимум может быть бесконечным, то есть график неограниченно расширяется вниз. Если это так, то нижний конец диапазона может быть представлен символом бесконечности (?).

3. Найдите максимум функции

Максимум — это наивысшая точка, которую функция достигает визуально. Как и минимум, это число может быть бесконечным. Это также может быть конкретное место на графике, которое можно записать в виде упорядоченной пары. Например, если максимум находится при 3 на оси x и 10 на оси y, то его координаты будут (3, 10).

4. Запишите диапазон в виде эквивалентности

Иногда невозможно написать каждую y-координату функции. Здесь вы можете указать диапазон как эквивалентность, используя символ меньше, чем (<), символ больше чем (>), меньше или равно символу (?) или символ больше или равно (?).

Пример: Для диапазона {-1, 1, 2, 3} вы можете использовать утверждение как:

-1 ? f(x) ? 3

Если ваш диапазон функции имеет бесконечную составляющую, например {-?, 10}, вы можете записать эквивалентность как:

f(x) ? 10

3. Нахождение диапазона функции с помощью отношения

Третий способ найти диапазон функции — записать ее в виде отношения. Отношение — это набор упорядоченных пар, представляющих координаты на графике. Вы можете записать пары отношения в форме (x, y). Ниже описаны шаги, которые можно использовать для нахождения диапазона функции, записанной в виде отношения:

1. Напишите отношение

Когда вы видите набор упорядоченных пар (x, y), вам может быть проще работать с отношением после того, как вы запишете пары на бумаге. Запишите весь набор в фигурных скобках. Например:

{(2, 1), (4, 5), (9, 21) (7, 14), (5, 14)}

2. Составьте список y-координат отношения

Вы можете перечислить y-координаты отношения, взяв второе число из каждой пары координат и записав их в фигурных скобках. Это поможет вам легче представить диапазон значений y.

Это также поможет вам сократить объем информации, с которой вы работаете при нахождении диапазона, или y. Используя приведенный выше пример, вы бы записали y-координаты как:

{1, 5, 21, 14, 14}

3. Удалите все дублирующиеся числа

В этом наборе отношений число 14 встречается дважды. Для нахождения диапазона функции второе 14 не имеет значения, поэтому его можно убрать. Вы можете записать новый список y-координат в виде:

{1, 5, 21, 14}

4. Напишите диапазон от наименьшего до наибольшего

Поскольку числа расположены не по порядку, трудно определить диапазон. Вы можете изменить порядок чисел, чтобы облегчить определение диапазона. Упорядоченный от наименьшего к наибольшему, набор y-координат отношения является таковым:

{1, 5, 14, 21}

Как только вы измените порядок чисел, вы получите диапазон функции с помощью отношения. Итак, для набора отношений:

{(2, 1), (4, 5), (9, 21) (7, 14), (5, 14)}

Диапазон после вычитания:

{1, 5, 14, 21}

5. Убедитесь, что отношение является функцией

Проверив, что каждое значение x дает одно и то же число y, вы можете подтвердить, что отношение является функцией. Отношение является функцией, только если каждому значению x соответствует только одно значение y.

Пример: Если вы вводите x как 2 и получаете на выходе 4, но в следующий раз, когда вы вводите x как 2, вы получаете на выходе 7, то это отношение не является функцией. Если вы каждый раз получаете одно и то же число, то отношение является функцией.

Для примера набора отношений {(2, 1), (4, 5), (9, 21) (7, 14), (5, 14)}, значения x 2, 4, 9, 7 и 5 имеют только одно связанное выходное число каждое, и поэтому это функция, а найденный диапазон функции проверяется.

У вас есть два разных способа определения диапазона в математике. Если вы ведете статистику, «диапазон» обычно означает разницу между самым высоким и самым низким значениями в наборе данных. Если вы выполняете алгебру или исчисление, под «диапазоном» понимается набор возможных результатов или выходных значений функции.

Диапазон в статистике

Если вас попросят найти диапазон в статистике, вас просто попросят найти самое высокое и самое низкое значения в вашем наборе данных, а затем найти разницу между ними. Каждый раз, когда вы слышите «разницу», это ключ, который вы собираетесь вычесть, поэтому формула, которую вы будете использовать:

самое высокое значение — самое низкое значение = диапазон

подсказки

• Не забудьте указать любые единицы измерения (футы, дюймы, фунты, галлоны и т. Д.), Которые могут быть добавлены в ваш набор данных.

Пример 1. Представьте, что вы заглянули в тетрадь своего учителя и увидели, что процентные доли учащихся в классе составляют {95, 87, 62, 72, 98, 91, 66, 75}. Фигурные скобки часто используются для включения набора данных, поэтому вы знаете, что все в фигурных скобках принадлежит друг другу.

Каков диапазон этого набора данных или, другими словами, диапазон оценок учеников? Сначала определите самую высокую точку данных (98) и самую низкую точку данных (62). Затем вычтите самое низкое значение из наибольшего значения:

98 — 62 = 36

Таким образом, диапазон этого конкретного набора данных составляет 36 процентных пунктов.

Диапазон функции

Когда вы начнете изучать функции в математике, вы столкнетесь со вторым определением диапазона. Чтобы понять диапазон, нужно думать о функциях как о маленьких математических машинах. Набор значений, которые вы можете поместить в математическую машину, называется доменом (еще одна очень важная концепция). Набор возможных результатов, как только вы проверяете эти значения с помощью математической машины, называется кодоменом. И набор фактических результатов или результатов, которые вы получаете, называется диапазоном.

Есть несколько важных отношений между диапазоном и областью, которые вам необходимо понять. Во-первых, каждое значение в домене соответствует только одному значению в диапазоне вашей функции. Если какие-либо значения в домене соответствуют более чем одному значению в диапазоне, у вас может быть связь между двумя наборами данных, но технически это не классифицируется как функция. Однако более одного значения домена могут соответствовать одному значению в диапазоне этой функции.

Один из лучших способов понять это — представить свой собственный математический класс. Учащиеся в классе представляют область (или информацию, которая входит в функцию), в то время как сам класс является функцией или «математической машиной». Ваши итоговые оценки представляют диапазон, или то, что вы получаете после запуска элементов домена (учащиеся) с помощью функции (урок математики).

Если вы посмотрите на этот пример, то сможете интуитивно увидеть, что каждый ученик получит только один итоговый балл после окончания урока. Каждое значение в домене соответствует только одному значению в диапазоне. Однако более одного студента могут получить одинаковые оценки. Например, в вашем классе может быть два или три ученика, которые очень усердно учились и сумели набрать 96 процентов в качестве итоговой оценки. Несколько значений в домене могут соответствовать одному значению в диапазоне.

Пример 2. Представьте, что вы имеете дело с функцией x ², с доменом, ограниченным {-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4}. Каков диапазон этой функции?

Хотя вы узнаете более продвинутые способы нахождения диапазона позже, на данный момент самый простой способ найти диапазон этой функции — применить функцию к каждому элементу домена и отслеживать ваши результаты. Другими словами, вставьте каждый элемент домена, по одному, как x в функцию x ². Это дает вам набор результатов:

{9, 4, 1, 1, 4, 9, 16}

Но, как видите, некоторые элементы там повторяются. Вспоминая пример математических оценок как функции, ничего страшного; более одного ученика могут получить одинаковую оценку, или более одного элемента домена могут «указывать» на один и тот же элемент в диапазоне. Но вы не хотите записывать повторяющиеся элементы, когда задаете диапазон. Итак, ваш ответ просто:

{1, 4, 9, 16}

Диапазон функции — это набор чисел, которые может произвести функция. Другими словами, это набор значений (y), который вы получаете, когда соединяете все возможные значения x с функцией. Этот набор возможных значений x называется областью. Если вы хотите узнать, как найти диапазон функции, просто выполните следующие действия.

шаги

Метод 1 из 4: определение диапазона функции по формуле

Шаг 1. Напишите формулу

Допустим, вы работаете по следующей формуле: f (x) = 3 x ² + 6x-2. Это означает, что когда вы помещаете в уравнение любой x, вы получаете значение y. Это функция притчи.

Шаг 2. Найдите вершину функции, если она квадратичная

Если вы работаете с прямой линией или какой-либо функцией с полиномом с нечетным номером, например, f (x) = 6 x ³ + 2 x + 7, вы можете пропустить этот шаг. Но если вы работаете с параболой или любым уравнением, в котором координата x возведена в квадрат или возведена в степень, вам нужно будет очертить вершину. Для этого просто используйте формулу -b / 2a, чтобы получить координату x функции 3x. ² + 6 x-2, где 3 = a, 6 = -2 и b = c. В этом случае -b равно -6, а 2a равно 6, поэтому координата x равна -6/6 или -1.

• Теперь поместите -1 в функцию, чтобы получить координату y. f (-1) = 3 (-1) ² + 6(-1) -2 = 3 — 6 -2 = -5.
• Вершина — (-1, -5). Изобразите точку, в которой координата x равна -1, а координата y равна -5. Он должен быть в третьем квадранте диаграммы.

Шаг 3. Найдите другие точки в функции

Чтобы получить представление о функции, вы должны указать некоторые другие координаты x, чтобы вы могли понять, как выглядит функция, прежде чем вы начнете искать диапазон. Поскольку это притча и координата ² x положительный, он будет направлен вверх. Но, чтобы покрыть ваши базы, давайте соединим координаты x, чтобы увидеть координаты y:

• f (-2) = 3 (-2)² + 6 (-2) -2 = -2. Точка на графике (-2, -2)
• f (0) = 3 (0)² + 6 (0) -2 = -2. Еще одна точка на графике (0, -2)
• f (1) = 3 (1)² + 6 (1) -2 = 7. Третья точка на графике — (1, 7).

Шаг 4. Найдите диапазон графика

Теперь посмотрите на координаты y на графике и найдите самую низкую точку, в которой график касается координаты y. В этом случае наименьшая координата y находится в вершине, -5, и график бесконечно простирается выше этой точки. Это означает, что диапазон функции y = все действительные числа ≥ -5.

Метод 2 из 4: определение диапазона функции на графике

Шаг 1. Найдите минимум функции

Найдите наименьшую координату y функции. Допустим, функция достигает своей нижней точки при -3. Эта функция также может становиться все меньше и бесконечно меньше, поэтому у нее нет определенной нижней точки — она просто бесконечна.

Шаг 2. Найдите максимум функции

Допустим, самая высокая координата y, которую достигает функция, равна 10. Эта функция также может быть бесконечно больше, поэтому у нее нет определенной наивысшей точки — это просто бесконечность.

Шаг 3. Определите диапазон

Это означает, что диапазон функции или диапазон координаты y находится в диапазоне от -3 до 10. Итак, -3 ≤ f (x) ≤ 10. Это диапазон функции.

• Но предположим, что график достигает своей нижней точки при y = -3, но зависает бесконечно. Таким образом, диапазон равен f (x) ≥ -3.
• Скажем, график достигает своей наивысшей точки в 10, но бесконечно идет вниз. Таким образом, диапазон равен f (x) ≤ 10.

Метод 3 из 4: определение диапазона функции отношения

Шаг 1. Напишите отношения

Отношение — это набор упорядоченных пар с координатами x и y. Вы можете посмотреть на соотношение и определить его домен и диапазон. Допустим, вы работаете со следующими отношениями: {(2, — 3), (4, 6), (3, — 1), (6, 6), (2, 3)}.

Шаг 2. Составьте y-координаты отношения

Чтобы найти диапазон отношения, просто запишите все координаты y каждой упорядоченной пары: {-3, 6, -1, 6, 3}.

Шаг 3. Удалите все повторяющиеся координаты, чтобы у вас была только одна координата каждой y

Вы заметите, что на нем дважды указано «6». Уберите один, и у вас будет {-3, -1, 6, 3}.

Шаг 4. Напишите диапазон отношений в порядке возрастания

Теперь измените порядок чисел в наборе, переходя от наименьшего к наибольшему, и вы получите диапазон. Диапазон отношения {(2, — 3), (4, 6), (3, — 1), (6, 6), (2, 3)} равен {-3, -1, 3, 6}. Готовый.

Шаг 5. Убедитесь, что отношения являются функцией

Чтобы отношение было функцией, каждый раз, когда вы помещаете число в координату x, координата y должна быть одинаковой. Например, отношение {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} не является функцией, потому что, когда вы вводите 2 как x в первый раз, вы получаете 3, но во второй раз, если ставишь 2, получаем четверку. Чтобы отношение было функцией, если вы вводите одинаковые входные данные, вы всегда должны получать один и тот же продукт. Если вы установите -7, вы должны каждый раз получать одну и ту же координату y (какой бы она ни была).

Метод 4 из 4: определение диапазона функции в задаче

Шаг 1. Прочтите задачу

Допустим, вы работаете со следующей проблемой: «Роберта продает билеты на школьное шоу талантов по 5 реалов каждый. Сумма денег, которую она собирает, зависит от того, сколько билетов она продает. Каков объем функции? »

Шаг 2. Запишите проблему как функцию

В этом случае M представляет собой сумму денег, которую она собирает, а T представляет собой количество билетов, которые она продает. Однако, поскольку каждый билет будет стоить 5 реалов, вам придется умножить количество проданных билетов на 5, чтобы найти сумму денег. Следовательно, функцию можно записать как M (t) = 5 t.

Например, если она продает 2 билета, вам нужно будет умножить 2 на 5, чтобы получить 10 — количество реалов, которое у нее будет

Шаг 3. Определите домен

Чтобы определить диапазон, необходимо сначала найти домен. Область — это все возможные значения t, которые работают с уравнением. В этом случае Роберта может продать 0 или более билетов — она не может продавать отрицательные билеты. Поскольку мы не знаем количество мест в ее школьной аудитории, мы можем предположить, что она теоретически может продать бесконечное количество билетов. И она может продавать только билеты целиком; например, она не может продать половину билета. Следовательно, область определения функции T = любое неотрицательное целое число.

Шаг 4. Определите диапазон

Диапазон — это возможная сумма денег, которую Роберта может заработать на своей продаже. Вы должны работать с доменом, чтобы найти диапазон. Если вы знаете, что домен представляет собой любое неотрицательное целое число и формула M (t) = 5t, то вы знаете, что вы можете использовать эту функцию для получения результата или диапазона любого неотрицательного целого числа. Например, если она продает 5 билетов, то M (5) = 5 x 5 или 25 реалов. Если продается 100, то M (100) = 5 x 100 или 500 долл. Таким образом, диапазон функции — любое неотрицательное целое число, кратное 5.

Это означает, что любое неотрицательное целое число, кратное пяти, является возможным продуктом для ввода функции

подсказки

• Посмотрите, сможете ли вы найти обратную функцию. Область определения обратной функции функции равна диапазону этой функции.
• Проверьте, повторяется ли функция. Любая функция, повторяющаяся по оси x, будет иметь одинаковый интервал для всей функции. Например, f (x) = sin (x) имеет диапазон от -1 до 1.

Числовые промежутки

• Виды числовых промежутков
• Открытый и замкнутый луч
• Отрезок
• Интервал и полуинтервал

Числовые промежутки или просто промежутки — это числовые множества, которые можно изобразить на координатной прямой. К числовым промежуткам относятся лучи, отрезки, интервалы и полуинтервалы.

Виды числовых промежутков

Название	Изображение	Неравенство	Обозначение
Открытый луч		x > a	(a; +∞)
	x < a	(-∞; a)
Замкнутый луч		x ⩾ a	[a; +∞)
	x ⩽ a	(-∞; a]
Отрезок		a ⩽ x ⩽ b	[a; b]
Интервал		a < x < b	(a; b)
Полуинтервал		a < x ⩽ b	(a; b]
	a ⩽ x < b	[a; b)

В таблице  a  и  b  — это граничные точки, а  x  — переменная, которая может принимать координату любой точки, принадлежащей числовому промежутку.

Граничная точка — это точка, определяющая границу числового промежутка. Граничная точка может как принадлежать числовому промежутку, так и не принадлежать ему. На чертежах граничные точки, не принадлежащие рассматриваемому числовому промежутку, обозначают незакрашенным кругом, а принадлежащие — закрашенным кругом.

Открытый и замкнутый луч

Открытый луч — это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, которая не входит в данное множество. Открытым луч называется именно из-за граничной точки, которая ему не принадлежит.

Рассмотрим множество точек координатной прямой, имеющих координату, большую 2, а, значит, расположенных правее точки 2:

Такое множество можно задать неравенством  x > 2.  Открытые лучи обозначаются с помощью круглых скобок —  (2; +∞),  данная запись читается так: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.

Множество, которому соответствует неравенство  x < 2,  можно обозначить  (-∞; 2)  или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

Замкнутый луч — это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, принадлежащей данному множеству. На чертежах граничные точки, принадлежащие рассматриваемому множеству, обозначаются закрашенным кругом.

Замкнутые числовые лучи задаются нестрогими неравенствами. Например, неравенства   x ⩾ 2   и   x ⩽ 2   можно изобразить так:

Обозначаются данные замкнутые лучи так:  [2; +∞)  и  (-∞; 2],  читается это так: числовой луч от двух до плюс бесконечности и числовой луч от минус бесконечности до двух. Квадратная скобка в обозначении показывает, что точка 2 принадлежит числовому промежутку.

Отрезок

Отрезок — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными нестрогими неравенствами.

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный отрезок, можно задать двойным неравенством   -2 ⩽ x ⩽ 3   или обозначить  [-2; 3],  такая запись читается так: отрезок от минус двух до трёх.

Интервал и полуинтервал

Интервал — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, не принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными строгими неравенствами.

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный интервал, можно задать двойным неравенством   -2 < x < 3   или обозначить  (-2; 3).  Такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Полуинтервал — это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, одна из которых принадлежит множеству, а другая не принадлежит. Такие множества задаются двойными неравенствами:

Обозначаются данные полуинтервалы так:  (-2; 3]  и  [-2; 3).  Читается это так: полуинтервал от минус двух до трёх, включая 3, и полуинтервал от минус двух до трёх, включая минус два.