Как найти дельта удлинение

Механические свойства

К механическим свойствам металлов относят их способность сопротивляться деформациям (изменению формы или размеров) и разрушению под действием внешних нагрузок. Такими свойствами являются прочность, пластичность, твердость, вязкость (ударная), усталость, ползучесть.

Деформации, которые исчезают после снятия нагрузки, при этом материал принимает первоначальную форму, называют упругими. Деформации, которые остаются после снятия нагрузки, называют остаточными.

Для определения механических свойств материалов специальные образцы или готовые изделия испытывают в соответствии с требованиями ГОСТов. Испытания образцов могут быть статическими, когда на образец действует постоянная или медленно возрастающая нагрузка, динамическими, когда на образец действует мгновенно возрастающая (ударная) нагрузка, и повторно-переменными (усталостными), при которых нагрузка на образец многократно изменяется по величине и направлению.

В зависимости от характера действия приложенных к образцу или изделию сил (нагрузок) различают деформации сжатия, растяжения, изгиба, сдвига (среза), кручения.

Виды деформаций металла в зависимости от направления действующей нагрузки:

а — сжатия, б — растяжения, в — изгиба, г — сдвига (среза), д — кручения

Механические свойства оцениваются численным значением напряжения.

Напряжение — мера внутренних сил, возникающих в образце под влиянием внешних воздействий (сил, нагрузок).

Напряжение служит для оценки нагрузки, не зависящей от размеров деформируемого тела. Напряжения, действующие вдоль оси образца, называют нормальными и обозначают буквой σ (сигма).

Нормальные напряжения определяются отношением сил, действующих вдоль оси детали или образца, к площади их поперечного сечения:

σ = P/F,

где σ — нормальное напряжение, Па (1 Па = H/м²; 1 кгс/см² = 10⁵ Па);

P — сила, действующая вдоль оси образца, H;

F — площадь поперечного сечения образца, м².

Нормальные напряжения в зависимости от направления действующих нагрузок бывают сжимающими и растягивающими.

Напряжения, действующие перпендикулярно оси образца, называют касательными и обозначают буквой τ.

Под действием касательных напряжений происходит деформация среза.

Напряжения определяют при механических испытаниях образцов на специальных машинах. Эти напряжения используют при расчетах деталей машин на прочность.

Усилия, нагрузки, действующие на детали, создают в них напряжения, которые в свою очередь вызывают деформацией деталей.

Например, канат автомобильного крана при поднятии груза под действием растягивающей нагрузки испытывает напряжение растяжения, поэтому и подвергается деформации растяжения. Под действием сжимающих напряжений деформацию сжатия испытывают станины и фундаменты станков, опорные колонны, колеса и катки машин. В стреле автомобильного или башенного крана, поднимающего груз, возникают напряжения изгиба, которые вызывают деформацию изгиба стрелы. Деформации изгиба испытывают балки, на которые положен груз, рельсы под тяжестью
поезда, башенного или козлового крана. На срез работают заклепочные соединения, стопорные болты.

Напряжения кручения вызывают деформацию кручения, например, когда у стяжных болтов
затягивают гайки.

Прочность — способность металлов или сплавов сопротивляться разрушению при действии внешних сил, вызывающих внутренние напряжения и деформации.
В зависимости от характера действия внешних сил различают прочность на растяжение, сжатие, изгиб, кручение, ползучесть и усталость.

Определение характеристик прочности при растяжении — наиболее важный и распространенный вид механических испытаний металлов. Испытывают образцы определенной формы и размеров на специальных разрывных машинах (ГОСТ 1497—73). Стандартный образец (рис. Стандартный образец для испытания на растяжение) закрепляют головками в машине и медленно нагружают с постоянной скоростью.

В результате возрастающей нагрузки происходит растяжение образца вплоть до разрушения.
При испытании производится автоматическая запись диаграммы растяжения, представляющей собой график изменения абсолютной длины образца в зависимости от приложенной нагрузки.

Определенные точки на диаграмме растяжения p, c, s, b отражают наиболее важные характеристики прочности: предел пропорциональности, условные пределы упругости, текучести и прочности.

Предел пропорциональности σ пц (точка p на диаграмме растяжения) — это наибольшее напряжение, возникающее под действием нагрузки P пц, до которого деформации в металле растут прямо пропорционально нагрузке. При этом в образце происходят только упругие деформации, т.е. образец после снятия нагрузки принимает свои первоначальные размеры. При дальнейшем увеличении нагрузки деформации образца будут остаточными.

Условный предел упругости σ 0,05 (точка c на диаграмме растяжения) — это напряжение, при котором образец получает остаточное удлинение, равное 0,05% первоначальной длины образца.

Практически предел упругости очень близок пределу пропорциональности.

Условный предел текучести (точка s на диаграмме растяжения) — это напряжение, при котором остаточное
удлинение достигает заданного значения, обычно 0,2%, но иногда 0,1 или 0,3% и более при нагрузках Рt.

В соответствии с этим условный предел текучести обозначается σ 0,2, σ о,1, σ 0,3 и т. д.

Следовательно, условный предел текучести отличается от условного предела упругости только заданным значением остаточного удлинения.
Условный предел текучести соответствует напряжению, при котором происходит наиболее полный переход к пластической деформации металла.

Условный предел прочности σ в (точка b на диаграмме растяжения) — это условное наибольшее напряжение, при котором происходит наибольшая равномерная по всей длине деформация образца.

После точки s на участке sb диаграммы растяжения при дальнейшем увеличении нагрузки в образце развивается интенсивная пластическая деформация. До точки b образец удлиняется равномерно по всей длине. В точке b начинается резкое уменьшение поперечного сечения образца на коротком участке с образованием так называемой шейки.

Предел прочности определяют по формуле:

σ в = Pв/Fo,

где σ в — предел прочности материала, Па;

Pв — нагрузка в точке b, H;

Fo — площадь поперечного сечения образца до испытания, м².

Характеристиками прочности пользуются при изготовлении деталей машин. Практическое значение пределов пропорциональности, упругости и текучести сводится к тому, чтобы определить численное значение напряжений, под действием которых могут работать детали машинах, не подвергаясь остаточной деформации (предел пропорциональности) или подвергаясь деформации на небольшую допустимую величину σ 0,о5, σ о,2 и т. д.

Пластичность — способность металлов сохранять изменение формы, вызванное действием деформирующих сил после того, как силы сняты.

Пластические свойства испытываемого образца металла определяют при испытаниях на растяжение. Под действием нагрузки образцы удлиняются, при этом поперечное сечение их соответственно уменьшается. Чем больше удлиняется образец при испытании, тем более пластичен материал. Характеристиками пластичности материалов служат относительное удлинение и относительное сужение образцов.

Относительным удлинением называется отношение приращения длины образца после разрыва к его перво-
начальной длине.

Относительное удлинение δ (дельта) выражают в процентах и вычисляют по формуле:

δ = [ (l1 — l0)/l0 ] • 100%

где l1 — длина образца после разрыва, м;

l0 — длина образца до начала испытания, м.

Относительным сужением называется отношение уменьшения площади поперечного сечения образца после разрыва к площади поперечного сечения образца до начала испытания.

Относительное сужение ψ (пси) выражают в процентах и вычисляют по формуле

ψ = [ (F0 — F1)/F0 ] • 100%

где F0 — площадь поперечного сечения образца до начала испытания, м²;

F1 — площадь поперечного сечения образца после разрыва, м².

Твердость — сопротивление поверхностных слоев материала местным деформациям.

Твердость обычно оценивается сопротивлением вдавливанию в поверхность металла индикатора из более твердого материала.

Измерение твердости металлов и сплавов как метод щенки их механических свойств широко используется в технике.
По твердости судят о других свойствах металла и сплава. Например, для многих сплавов, чем выше твердость, тем больше прочность на растяжение, выше износостойкость; как правило, сплавы с меньшей твердостью легче обрабатываются резанием.

Твердость определяют непосредственно на деталях без их разрушения. Поэтому испытание на твердость является незаменимым производственным методом оценки механических свойств материалов.

На практике в зависимости от используемого прибора твердость определяют двумя способами. Если твердость исследуемого материала меньше, чем твердость закаленной стали, то используют твердомер шариковый — ТШ, если твердость исследуемого материала больше, чем твердость закаленной стали, то пользуются твердомером конусным — ТК.

При определении твердости по Бринеллю на приборах ТШ (ГОСТ 9012—59) стальной закаленный шарик диаметром D (2,5; 5 или 10 мм) вдавливают в испытуемый металл под действием нагрузки P в течение определенного времени.

После удаления нагрузки на поверхности испытуемого металла остается отпечаток.
Измерив под микроскопом диаметр отпечатка а, по таблицам стандарта определяют твердость металла.
Отношение приложенной к шарику нагрузки (кгс) к площади поверхности отпечатка шарика (мм²) называется числом твердости по Бринеллю и обозначается HB.

Если на шарик диаметром 0-10 мм действует нагрузка Р=3000 кгс в течение 10 с, то определяемое по таблицам число твердости по Бринеллю записывают так: HВ400, HВ250, HВ500 и т. д.

При других условиях испытания к обозначению НВ добавляют цифры, характеризующие диаметр шарика (мм), нагрузку (кгс) и продолжительность выдержки (с).

Например, HВ5/750/30—350 обозначает, что число твердости по Бринеллю равно 350 при испытании вдавливанием шарика диаметром D = 5 мм под нагрузкой Р = 750 кгс в течение t = 30 с.

При определении твердости по Роквеллу на приборах ТК (ГОСТ 9013—59) алмазный конус с углом при вершине 120° вдавливают в испытуемый металл сначала под действием предварительной нагрузки Р0, равной
10 кгс, которая не снимается до конца испытания.

Под нагрузкой Р0 алмазный конус вдавливается на глубину h0. Затем к предварительной нагрузке добавляется основная нагрузка Р1, равная 140 или 50 кгс — для очень твердых и хрупких материалов. Алмазный конус вдавливается на глубину h1. Через 1 — 3 с, после того как стрелка прибора замедлит свое движение, основную нагрузку снимают. Стрелка прибора показывает на шкале твердость металла в условных единицах.

За условную единицу твердости по Роквеллу принимается глубина вдавливания алмазного конуса на величину 0,002 мм ≈ h0. Все шкалы прибора отградуированы в безразмерных условных единицах твердости.

Твердость, определяемая на приборах ТК. методом вдавливания алмазного конуса, называется твердостью по Роквеллу и обозначается НR. Отсчет твердости ведут по двум шкалам в зависимости от применяемой общей нагрузки Р.

Если Р = Р0 + Р1= 10 + 140= 150 кгс, то отсчет твердости ведут по шкале С и твердость обозначают НРС, если Р = Ро+Р1 = 10+50 = 60 кгс, то отсчет твердости ведут также по шкале С, но твердость обозначают НРА.

Если необходимо измерить твердость по Роквеллу мягких материалов, то алмазный конус заменяют шариком диаметром 1,6 мм. Основная нагрузка Р1 = 90 кгс, значит, общая нагрузка Р = Р0 + Р1 = 10 + 90 = 100 кгс.

Отсчет твердости ведут по специальной шкале B, а твердость обозначают НRB.

Твердость по Роквеллу НR записывают таким образом:
HRC65, HRB30, HRA80 и т. д., где цифры обозначают твердость, а буквы А, С, В — соответствующую шкалу.

Ударная вязкость — способность металлов сопротивляться действию ударных нагрузок. При ударных нагрузках напряжения, возникающие в металле, действуют мгновенно, поэтому их трудно определить. Ударную вязкость определяют работой, затраченной на излом образца.

Для определения ударной вязкости при нормальной температуре (ГОСТ 9454—78) предусмотрено 20 типоразмеров образцов квадратного и прямоугольного сечения. Чаще применяют образцы квадратного сечения 10 х 10 мм длиной 55 мм с концентратором (надрезанные с одной стороны посередине длины на глубину 2 мм).

Образец 1 стандартной формы

укладывают горизонтально в специальный шаблон маятникового копра, обеспечиваюший установку надреза образца строго в середине пролета между опорами 3. Маятник 2 копра закрепляется в исходном верхнем положении на высоте H.

Затем маятник сбрасывается, и он, свободно падая под действием собственной тяжести, наносит удар по образцу 1 со стороны, противоположной надрезу. В результате удара образец изгибается и ломается, а маятник после разрушения образца продолжает двигаться дальше и поднимается на высоту h.

Работа, затраченная на разрушение образца, определяется разностью потенциальных энергий маятника в начальный (после подъема на угол α) и конечный моменты испытания (после взлета на угол β) и выражается формулой:

k = P (H — h)

k — работа, затраченная на разрушение образца, Дж (кгс · м)

Р — вес маятника, кгс

H и h — высоты подъема и взлета маятника, м

Основную характеристику при испытании на ударную вязкость — определяют по формуле:

kcu = k/So

kc — ударная вязкость, Дж/м² (1 Дж/м² ≈ 0,1 кгс · м/см²)

u — форма концентратора

So — площадь поперечного сечения образца в месте надреза до испытания, м²

Многие детали машин и конструкции во время работы подвергаются ударным нагрузкам, действие которых на детали происходит мгновенно. В результате изменяются условия, при которых работают такие детали.

Ударные нагрузки испытывают инструменты типа штампов. некоторые зубчатые передачи и т.д.

Усталость — разрушение металлов под действием многократных повторно-переменных (циклических) нагрузок, при напряжениях меньших предела прочности на растяжение.

В условиях действия повторно-переменных нагрузок в работающих деталях образуются и развиваются трещины, которые приводят к полному разрушению деталей. Подобное разрушение опасно тем, что может происходить под действием напряжений, намного меньших пределов прочности и текучести.

Свойство противостоять усталости называется выносливостью. Сопротивление усталости характеризуется пределом выносливости, т. е. наибольшим напряжением, которое может выдержать металл без разрушения заданное число раз.

Под действием повторно-переменных нагрузок работают коленчатые валы двигателей, многие детали машин — валы, шатуны, пальцы, шестерни и т. д.

Цель испытаний на усталость (ГОСТ 2860-65) — количественная оценка способности материала (образца) работать при повторно-переменных нагрузках без разрушения.

Цикл напряжений — совокупность переменных значений напряжении за один перепад их изменения. Заданное число циклов нагружения при испытании называют базой испытания. Обычно база испытания составляет 10⁸ циклов нагружения. Если материал выдержал базовое число циклов без разрушения, то он хорошо противостоит усталости и деталь из этого материала будет работать надежно.

Ползучесть — способность металлов и сплавов медленно и непрерывно пластически деформироваться под действием постоянной, длительно действующей нагрузки.

Изделия из металлов и сплавов, работающие при повышенных или высоких температурах, обладают меньшей прочностью. При эксплуатации любой материал под действием постоянной нагрузки (напряжения) может в определенных условиях прогрессивно деформироваться с течением времени.

Испытания на ползучесть при растяжении (ГОСТ 3248-60) заключаются в том, что испытуемый образец в течение длительного времени подвергается действию постоянного растягивающего усилия при постоянной высокой температуре.

В результате испытания определяют предел ползучести металла, т. е. наибольшее растягивающее напряжение, при котором скорость ползучести или относительное удлинение за определенный промежуток времени достигает заданной величины.

Если задаются скоростью ползучести, то предел ползучести обозначают σνп,

где νп — заданная скорость ползучести, %/ч; t — температура испытания, °С.

Например,  —  это предел ползучести при температуре 1000°С и скорости ползучести νп = 1 · 10^-4 %/ч.

Если задаются относительным удлинением, то в обозначении предела ползучести используют три индекса:

температуру испытания t, °С

относительное удлинение σ, %

продолжительность испытания τ, ч

Например,  — предел ползучести при температуре 800° С, когда относительное удлинение σ = 1% достигается за 1000 ч.

Сила упругости широко используется в технике. Эта сила возникает в упругих телах при их деформации. Деформация – это изменение формы тела, под действием приложенных сил.

Виды деформации

Деформация – это изменение формы, или размеров тела.

Есть несколько видов деформации:

• сдвиг;
• кручение;
• изгиб;
• сжатие/растяжение;

Деформация сдвига возникает, когда одни части тела сдвигаются относительно других его частей. Если подействовать на верхнюю часть картонного ящика, наполненного различными предметами, горизонтальной силой, то вызовем сдвиг верхней части ящика относительно его нижней части.

Сжатие или растяжение легко представить на примере прямоугольного куска тонкой резины. Такая деформация используется, к примеру, в резинках для одежды.

Примеры изгиба и кручения показаны на рисунке 1. Пластиковая линейка, деформированная изгибом, представлена на рис. 1а, а на рисунке 1б – эта же линейка, деформируемая кручением.

В деформируемом теле возникают силы, имеющие электромагнитную природу и препятствующие деформации.

Растяжение пружины

Рассмотрим подробнее деформацию растяжения на примере пружины.

Давайте прикрепим пружину к некоторой поверхности (рис. 2). На рисунке слева указана начальная длина (L_{0}) пружины.

Подвесим теперь к пружине груз. Пружина будет иметь длину (L), указанную на рисунке справа.

Сравним длину нагруженной пружины с длиной свободно висящей пружины.

[ large L_{0} + Delta L = L ]

Найдем разницу (разность) между длинами свободно висящей пружины и пружины с грузом. Вычтем для этого из обеих частей этого уравнения величину (L_{0}).

[ large boxed{ Delta L = L — L_{0} }]

( L_{0} left(text{м} right) )  – начальная длина пружины;

( L left(text{м} right) )  – конечная длина растянутой пружины;

( Delta L left(text{м} right) )  – кусочек длины, на который растянули пружину;

Величину ( Delta L ) называют удлинением пружины.

Иногда рассчитывают относительное удлинение. Это относительное удлинение часто выражают десятичной дробью. Или дробью, в знаменателе которой находится число 100 — такую дробь называют процентом.

Примечание: Отношение – это дробь. Относительное – значит, дробное.

[ large boxed{ frac{Delta L }{ L_{0}} = frac{ L — L_{0}}{L_{0} } = varepsilon } ]

( varepsilon ) – это отношение (доля) растяжения пружины к ее начальной длине. Измеряют в процентах и называют относительным удлинением.

Расчет силы упругости

Если растягивать пружину вручную, мы можем заметить: чем больше мы растягиваем пружину, тем сильнее она сопротивляется.

Значит, с удлинением пружины связана сила, которая сопротивляется этому удлинению.

Конечно, если пружина окажется достаточно упругой, чтобы сопротивляться. Например, разноцветная пружина-игрушка (рис. 3), изготовленная из пластмассы, сопротивляться растяжению, увеличивающему ее длину в два раза, практически не будет.

Закон Гука

Английский физик Роберт Гук, живший во второй половине 17-го века, установил, что сила сопротивления пружины и ее удлинение связаны прямой пропорциональностью. Силу, с которой пружина сопротивляется деформации, он назвал ( F_{text{упр}} ) силой упругости.

[ large boxed{ F_{text{упр}} = k cdot Delta L }]

Эту формулу назвали законом упругости Гука.

( F_{text{упр}} left( H right) ) – сила упругости;

( Delta L left(text{м} right) )  – удлинение пружины;

( displaystyle k left(frac{H}{text{м}} right) )  – коэффициент жесткости (упругости).

Какие деформации называют малыми

Закон Гука применяют для малых удлинений (деформаций).

Если убрать деформирующую силу и тело вернется к первоначальной форме (размерам), то деформации называют малыми.

Если же тело к первоначальной форме не вернется – малыми деформации назвать не получится.

Как рассчитать коэффициент жесткости

Груз, прикрепленный к концу пружины, растягивает ее (рис. 4). Измерим удлинение пружины и составим силовое уравнение для проекции сил на вертикальную ось. Вес груза направлен против оси, а сила упругости, противодействующая ему – по оси.

Так как силы взаимно компенсируются, в правой части уравнения находится ноль.

[ large F_{text{упр}} — m cdot g = 0 ]

Подставим в это уравнение выражение для силы упругости

[ large k cdot Delta L — m cdot g = 0 ]

Прибавим к обеим частям вес груза и разделим на измеренное изменение длины (Delta L ) пружины. Получим выражение для коэффициента жесткости:

[ large boxed{ k = frac{ m cdot g }{Delta L} }]

(g) – ускорение свободного падения, оно связано с силой тяжести.

Соединяем две одинаковые пружины

В задачниках по физике и пособиях для подготовки к ЕГЭ встречаются задачи, в которых одинаковые пружины соединяют последовательно, либо параллельно.

Параллельное соединение пружин

На рисунке 5а представлена свободно висящая пружина. Нагрузим ее (рис. 5б), она растянется на величину (Delta L). Соединим две такие пружины параллельно и подвесим груз в середине перекладины (рис. 5в). Из рисунка видно, что конструкция из двух параллельных пружин под действием груза растянется меньше, нежели единственная такая пружина.

Сравним растяжение двух одинаковых пружин, соединенных параллельно, с растяжением одной пружины. К пружинам подвешиваем один груз весом (mg).

Одна пружина:

[ large k_{1} cdot Delta L = m cdot g ]

Две параллельные пружины:

[ large k_{text{параллел}} cdot Delta L cdot frac{1}{2}= m cdot g ]

Так как правые части уравнений совпадают, левые части тоже будут равны:

[ large k_{text{параллел}} cdot Delta L cdot frac{1}{2}= k_{1} cdot Delta L ]

Обе части уравнения содержат величину (Delta L ). Разделим обе части уравнения на нее:

[ large k_{text{параллел}} cdot frac{1}{2}= k_{1} ]

Умножим обе части полученного уравнения на число 2:

[ large boxed{ k_{text{параллел}} = 2k_{1} } ]

Коэффициент жесткости (k_{text{параллел}}) двух пружин, соединенных параллельно, увеличился вдвое, в сравнении с одной такой пружиной

Последовательное соединение пружин

Рисунок 6а иллюстрирует свободно висящую пружину. Нагруженная пружина (рис. 6б), растянута на длину (Delta L). Теперь возьмем две такие пружины и соединим их последовательно. Подвесим груз к этим (рис. 6в) пружинам.

Практика показывает, что конструкция из двух последовательно соединенных пружин под действием груза растянется больше единственной пружины.

На каждую пружину в цепочке действует вес груза. Под действием веса пружина растягивается и передает далее по цепочке этот вес без изменений. Он растягивает следующую пружину. А та, в свою очередь, растягивается на такую же величину (Delta L).

Примечание: Под действием силы пружина растягивается и передает эту растягивающую силу далее по цепочке без изменений

Сравним растяжение двух одинаковых последовательно соединенных пружин и растяжение единственной пружины. В обоих случаях к пружинам подвешиваем одинаковый груз весом (mg).

Одна пружина:

[ large k_{1} cdot Delta L = m cdot g ]

Две последовательные пружины:

[ large k_{text{послед}} cdot Delta L cdot 2 = m cdot g ]

Так как правые части уравнений совпадают, левые части тоже будут равны:

[ large k_{text{послед}} cdot Delta L cdot 2 = k_{1} cdot Delta L ]

Обе части уравнения содержат величину (Delta L ). Разделим обе части уравнения на нее:

[ large k_{text{послед}} cdot 2 = k_{1} ]

Разделим обе части полученного уравнения на число 2:

[ large boxed{ k_{text{послед}} = frac{k_{1}}{2} } ]

Коэффициент жесткости (k_{text{послед}}) двух пружин, соединенных последовательно, уменьшится вдвое, в сравнении с одной такой пружиной

Потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины

Пружина сжатая (левая часть рис. 7), или растянутая (правая часть рис. 7) на длину (Delta L ) обладает потенциальной возможностью вернуться в первоначальное состояние и при этом совершить работу,  например, по перемещению груза. В таких случаях физики говорят, что пружина обладает потенциальной энергией.

Эта энергия зависит от коэффициента жесткости пружины и от ее удлинения (или укорочения при сжатии).

Чем больше жесткость (упругость) пружины, тем больше ее потенциальная энергия. Увеличив удлинение пружины получим повышение ее потенциальной энергии по квадратичному закону:

[ large boxed{ E_{p} = frac{k}{2} cdot  left( Delta L right)^{2} }]

( E_{p} left( text{Дж} right)) – потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины;

( Delta L left(text{м} right) )  – удлинение пружины;

( displaystyle k left(frac{H}{text{м}} right) )  – коэффициент жесткости (упругости) пружины.

Выводы

1. Упругие тела – такие, которые сопротивляются деформации;
2. Во время деформации в упругих телах возникает сила, она препятствует деформации, ее называют силой упругости;
3. Деформация – изменение формы, или размеров тела;
4. Есть несколько видов деформации: изгиб, кручение, сдвиг, растяжение/сжатие;
5. Удлинение пружины – это разность ее конечной и начальной длин;
6. Сжатая или растянутая пружина обладает потенциальной энергией (вообще, любое упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией);
7. Система, состоящая из нескольких одинаковых пружин, будет иметь коэффициент жесткости, отличный от жесткости единственной пружины;
8. Если пружины соединяют параллельно – коэффициент жесткости системы увеличивается;
9. А если соединить пружины последовательно – коэффициент жесткости системы уменьшится.

Сила упругости. Закон Гука

1. Виды деформаций
2. Закон Гука
3. Измерение силы с помощью динамометра
4. Задачи

п.1. Виды деформаций

Под действием силы все тело или отдельные его части приходят в движение.

При движении одних частей тела относительно других происходит изменение формы и размеров.

Деформация — это изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением друг относительно друга под действием приложенной силы, при котором тело изменяет свою форму и размеры.

К простейшим видам деформации относятся: растяжение; сжатие; сдвиг; изгиб; кручение.

Различают упругие (обратимые) и неупругие (необратимые) деформации.

Деформация является упругой, если, после прекращения действия вызвавших её сил, тело полностью восстанавливает свою форму и размеры.

Например, если немного согнуть школьную линейку, растянуть пружину или надавить на воздушный шарик, после прекращения действия силы линейка выпрямится, пружина сожмется, и шарик опять станет круглым. Эти деформации – упругие, они обратимы.

Если же приложенная сила окажется слишком большой, линейка сломается, пружина так и останется растянутой, а шарик лопнет. Эти деформации – неупругие, они необратимы.

Все здания и сооружения вокруг нас рассчитываются так, чтобы их «нагруженные» части испытывали только упругие деформации; это обеспечивает надёжность и долговечность конструкций.

Восстановление формы и размера тела при упругой деформации происходит под действием силы упругости, которая возникает благодаря межатомным и межмолекулярным взаимодействиям.

Сила упругости уравновешивает действие внешней силы и направлена в сторону, противоположную смещению частиц.

Например (см. рисунок):

• при растяжении сила упругости стремится сжать тело;
• при сжатии сила упругости стремится распрямить тело.

п.2. Закон Гука

Проведем серию опытов с пружиной. Пусть при действии на пружину силой (F) мы получаем деформацию (удлинение) (Delta l). При этом в пружине возникают силы упругости, стремящиеся вернуть её в исходное положение, (overrightarrow{F_{text{упр}}}=-overrightarrow{F}). Если приложенную силу увеличить в 2 раза, то деформация также увеличится в 2 раза. Увеличение силы в 3 раза приводит к росту деформации в 3 раза и т.д. Опыты показывают, что во всех случаях деформация будет прямо пропорциональна приложенной силе.

Следовательно, сила упругости также будет прямо пропорциональна деформации: $$ F_{text{упр}}simDelta l $$

Для каждого тела отношение силы упругости к величине деформации при малых упругих деформациях является постоянной величиной $$ k=frac{F_{text{упр}}}{Delta l}=const $$ которая называется коэффициентом упругости или жесткостью.
Жесткость тела зависит от формы, размеров и материала, из которого оно изготовлено.
В системе СИ жесткость измеряется в ньютонах на метр, (frac{text{Н}}{text{м}}).

Закон Гука
Сила упругости, возникающая во время упругой деформации тела, прямо пропорциональна удлинению (величине деформации): $$ F_{text{упр}}=kDelta l $$ Сила упругости всегда направлена противоположно деформации.

п.3. Измерение силы с помощью динамометра

Динамометр– это прибор для измерения силы. Простейший пружинный динамометр состоит из пружины с крючком и дощечки со шкалой (проградуированной в ньютонах). Удлинение пружины будет прямо пропорциональным приложенной силе: чем больше сила, тем больше удлинение. В результате, стрелка прибора перемещается по шкале и показывает значение силы.

В технике используются динамометры более сложных конструкций.

Но принцип действия – использование закона Гука – во многих из них сохраняется.

п.4. Задачи

Задача 1. Резиновая лента удлинилась на 10 см под действием силы 50 Н. Какова жесткость ленты?

Дано:
(Delta l=10 text{см}=0,1 text{м})
(F=50 text{Н})
__________________
(k-?)

Жесткость ленты $$ k=frac{F}{Delta l} $$ $$ k=frac{50}{0,1}=500 left(frac{text{Н}}{text{м}}right) $$ Ответ: 500 Н/м

Задача 2. Под действием силы 300 Н пружина динамометра удлинилась на 0,6 см. Каким будет удлинение пружины под действием силы 700 Н? Ответ запишите в миллиметрах.

Дано:
(F_1=300 text{Н})
(Delta l_1=0,6 text{см}=6cdot 10^{-3} text{м})
(F_2=700 text{Н})
__________________
(Delta l_2-?)

Жесткость пружины begin{gather*} k=frac{F_1}{Delta l_1}=frac{F_2}{Delta l_2}Rightarrow Delta l_2=frac{F_2}{F_1}Delta l_1\[6pt] Delta l_2=frac{700}{300}cdot 6cdot 10^{-3}=14cdot 10^{-3} (text{м})=14 (text{мм}) end{gather*} Ответ: 14 мм

Задача 3. Пружина без груза имеет длину 30 см и коэффициент жесткости 20 Н/м. Найдите длину растянутой пружины, если на нее действует сила 5 Н. Ответ запишите в сантиметрах.

Дано:
(l_0=30 text{cм}=0,3 text{м})
(k=20 text{Н/м})
(F=5 text{Н})
__________________
(l-?)

Удлинение пружины под действием силы: $$ Delta l=frac Fk $$ Длина растянутой пружины begin{gather*} l=l_0+Delta l=l_0+frac Fk\[6pt] l=0,3+frac{5}{20}=0,3+0,25=0,55 (text{м})=55 (text{cм}) end{gather*} Ответ: 55 cм

Задача 4*. Грузовик взял на буксир легковой автомобиль массой 1,5 т с помощью троса. Двигаясь равноускоренно, они проехали путь 600 м за 50 с. На сколько миллиметров удлинился во время движения трос, если его жесткость равна (3cdot 10^5 text{Н/м})?

Дано:
(m=1,5 text{т}=1500 text{кг})
(s=600 text{м})
(t=50 text{c})
(v_0=0)
(k=3cdot 10^5 text{Н/м})
__________________
(Delta l-?)

Сила упругости, возникающая в тросе, уравновешивает силу тяги, передвигающую автомобиль с постоянным ускорением: $$ F_{text{упр}}=kDelta l=F_{text{т}}=ma $$ Перемещение из состояния покоя $$ s=frac{at^2}{2}Rightarrow a=frac{2s}{t^2} $$ Получаем: begin{gather*} kDelta l=mcdotfrac{2s}{t^2}Rightarrow Delta l=frac mkcdot frac{2s}{t^2}\[6pt] Delta l=frac{1500}{3cdot 10^5}cdot frac{2cdot 600}{50^2}=2,4cdot 10^{-3} (text{м})=2,4 (text{мм}) end{gather*} Ответ: 2,4 мм

При растяжении возникает удлинение стержня – разница между длиной стержня до и после погрузки. Эта величина еще называется абсолютной деформацией.

$Delta l = l-l_0$

Как показывают опыты, удлинение зависят от значения продольной силы, от площади сечения и от длины стержня.

При этом отмечено, что при увеличении силы или длины стержня удлинения увеличивается пропорционально.

При изменении площади удлинения, наоборот, обратно пропорционально площади сечения. Есть

$Delta l = frac{N l}{E A}$,

где Е — определенный коэффициент пропорциональности.

Записав по другому, получим

$frac{N}{A} = frac{Delta l}{l} E$

Введем следующее понятие.

Относительная деформация (относительное удлинение) – отношение удлинения к начальной длине стержня.

$epsilon=frac{Delta l}{l}$

Тогда, учтя что N/A = $sigma$, получим зависимость между напряжениями и относительными деформациями

  — закон Гука.

Закон Гука — утверждение, согласно которому деформация, возникающая в материале, пропорциональна напряжений. Открытый закон в 1660 году английским ученым Робертом Гуком.

Величина E называется модуль упругости (модуль Юнга). Это величина, характеризующая свойства материала сопротивляться растяжению или сжатию. Назван в честь английского физика XIX века Томаса Юнга.

Модуль упругости численно равен напряжению, которые могли бы возникнуть при единичных относительных деформациях (при $epsilon$ = 1).