Нахождение всех делителей числа
- Все делители числа
- Калькулятор нахождения всех делителей
Все делители числа
Все делители, на которые данное число делится нацело, можно получить из разложения числа на простые множители.
Нахождение всех делителей числа выполняется следующим образом:
- Сначала нужно разложить данное число на простые множители.
- Выписываем каждый полученный простой множитель (без повторов, если какой-то множитель повторяется).
- Далее, находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой и добавляем их к выписанным простым множителям.
- В конце добавляем в качестве делителя единицу.
Например, найдём все делители числа 40. Раскладываем число 40 на простые множители:
40 = 23 · 5.
Выписываем (без повторов) каждый полученный простой множитель — это 2 и 5.
Далее находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой:
| 2 · 2 = 4, |
| 2 · 2 · 2 = 8, |
| 2 · 5 = 10, |
| 2 · 2 · 5 = 20, |
| 2 · 2 · 2 · 5 = 40. |
Добавляем в качестве делителя 1. В итоге получаем все делители, на которые число 40 делится без остатка:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
Других делителей у числа 40 нет.
Калькулятор нахождения всех делителей
Данный калькулятор поможет вам получить все делители числа. Просто введите число и нажмите кнопку «Вычислить».
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Число называется делителем (или множителем) другого числа в том случае, если при делении на него получается целый результат без остатка.[1]
Для малого числа (например, 6) определить количество делителей довольно легко: достаточно выписать все возможные произведения двух целых чисел, которые дают заданное число. При работе с большими числами определить количество делителей становится сложнее. Тем не менее, если вы разложите целое число на простые множители, то легко сможете определить число делителей с помощью простой формулы.
-
1
Запишите заданное целое число вверху страницы. Вам понадобится достаточно места для того, чтобы расположить ниже числа дерево множителей. Для разложения числа на простые множители можно использовать и другие методы, которые вы найдете в статье Как разложить число на множители.
- Например, если вы хотите узнать, сколько делителей, или множителей имеет число 24, запишите вверху страницы.
- Например, если вы хотите узнать, сколько делителей, или множителей имеет число 24, запишите
-
2
Найдите два числа (помимо 1), при перемножении которых получается заданное число. Таким образом вы найдете два делителя, или множителя данного числа. Проведите от данного числа две ветки вниз и запишите на их концах полученные множители.
-
3
Поищите простые множители. Простым множителем называется такое число, которое делится без остатка лишь на само себя и на 1.[2]
Например, число 7 является простым множителем, так как оно делится без остатка лишь на 1 и 7. Для удобства обводите найденные простые множители кружком.- Например, 2 является простым числом, поэтому обведите кружком.
- Например, 2 является простым числом, поэтому обведите
-
4
Продолжайте раскладывать составные (не простые) числа на множители. Проводите следующие ветки от составных чисел до тех пор, пока все множители не станут простыми. Не забывайте обводить простые числа кружками.
-
5
Представьте каждый простой множитель в степенной форме. Для этого подсчитайте, сколько раз встречается каждый простой множитель в нарисованном дереве множителей. Это число и будет степенью, в которую необходимо возвести данный простой множитель.[3]
-
6
Запишите разложение числа на простые множители. Первоначально заданное число равно произведению простых множителей в соответствующих степенях.
- В нашем примере .
Реклама
- В нашем примере
-
1
-
2
Подставьте в формулу величины степеней. Будьте внимательны и используйте степени при простых множителях, а не сами множители.
-
3
Сложите величины в скобках. Просто прибавьте 1 к каждой степени.
-
4
Перемножьте полученные величины. В результате вы определите количество делителей, или множителей данного числа
.
Реклама
Советы
- Если число представляет собой квадрат целого числа (например, 36 является квадратом числа 6), то оно имеет нечетное количество делителей. Если же число не является квадратом другого целого числа, количество его делителей четно.
Реклама
Похожие статьи
Об этой статье
Эту страницу просматривали 120 968 раз.
Была ли эта статья полезной?
Перед тем как найти делитель, нужно понимать, что такое делитель, что такое делимое и частное.
Делитель — это число, на которое можно разделить другое число без остатка.
Давайте рассмотрим пример: число 12. Если мы разделим 12 на 2, то получим 6, а если разделим на 3, то получим 4 без остатка. Это значит, что 2 и 3 являются делителями числа 12. Чтобы найти все делители числа, нужно просто проверять все числа, начиная с 1 и заканчивая самим числом.
Если число делится на какое-то из этих чисел без остатка, то это число является делителем. Например, чтобы найти все делители числа 12, мы можем проверить, делится ли 12 на 1, 2, 3, 4, 6 и 12 без остатка.
Также можно заметить, что делители всегда идут парами: например, 2 и 6, 3 и 4 являются парами делителей числа 12, так как 2 * 6 = 12 и 3 * 4 = 12.
Существует определенное правило для нахождения делителя. Вспомним, что такое делимое, делитель и частное.
Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное. В примере выше делитель у нас 4, поэтому мы разделим делимое 12 на частное 3. Легко, не так ли ? Теперь попробуем найти делитель в более сложных примерах.
Пример 1. Найдите делитель: (1080 : 24x = 15)
Решение:
(1080 : 24x = 15)
Алгоритм решения тот же: делимое делим на частное:
(1080:15 =72)
(24x=72)
(72:24=3)
Данное правило мы можем применять везде, где есть деление чисел.
Ответ: делитель равен (72) ((x=3)).
Если вы сомневаетесь, что на что надо делить, то придумайте такой же пример, только с простыми числами. Рассмотрим это на примере ниже.
Пример 2. Найдите делитель: (784:x=14)
Решение:
(784:x=14)
Аналогичный пример с простыми числами:
(6:x=2) — здесь понятно, чтобы найти (x) надо (6) разделить на (2), то есть делитель равен (3)
(784:14 = 56) — искомый делитель
Делитель
Делителем натурального числа a называют натуральное число, на которое а делится без остатка.
Обозначение: 2|10 (2 является делителем 10) или 
(10 делится на 2 без остатка).
Например: 
.
Число 1 является делителем любого натурального числа.
Кратное
Кратным натурального числа a называют натуральное число, которое делится без остатка на a.
КРАТНО=ДЕЛИТСЯ
Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных. Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.
Например: 
(27 кратно 3).
Деление с остатком
Деление одного натурального числа на другое меньшее его число нацело не всегда возможно. Но разделить с остатком можно всегда.
ДЕЛИМОЕ=ДЕЛИТЕЛЬ·(НЕПОЛНОЕ ЧАСТНОЕ)+ОСТАТОК
Например, 32:3=10 (ост. 2) или 32=3·10+2.
Разложение числа на множители
Простое число — число, имеющее только два делителя (1 и само это число). Например: 2, 5, 7.
Составное число — число, имеющее более двух делителей. Например: 6, 8, 10.
Число 1 не относят ни к простым, ни к составным.
Любое составное число можно разложить на простые множители, причём единственным образом (если не учитывать порядок записи множителей).
Например: 12=2·2·3.
Решето Эратосфена
Решето Эратосфена – это алгоритм нахождения простых чисел меньшие или равные заданного натурального числа путем постепенного отсеивания составных чисел. Образно говоря, через решето Эратосфена в процессе его тряски проскакивают составные числа, а простые остаются в решете.
Алгоритм:
Принять n=2.
- Выписать все натуральные числа от 2 по заданное натуральное число.
- Обвести первое не зачеркнутое и не обведенное число.
- Вычеркнуть все числа кратные n, кроме обведенного.
- Увеличить n на 1. Повторить последовательно пункты 2-4 пока не останется не зачеркнутых и не обведенных чисел.
Полученные таким образом обведенные числа — простые числа по заданное натуральное число.
Например: Найдем все простые числа меньшие или равные 10.
- Выпишем все натуральные числа от 2 по 10: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
- Обведем 2: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
- Вычеркнем все числа, кратные 2: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
- Обведем первое не зачеркнутое и не обведенное число: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
- Вычеркнем все числа, кратные 3: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
- Обведем первое не зачеркнутое и не обведенное число: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
- Вычеркнем все числа, кратные 4: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Их нет. Просто продолжаем алгоритм.
- Обведем первое не зачеркнутое и не обведенное число: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
- Все числа или обведены или зачеркнуты. 2, 3, 5 и 7 — искомые простые числа.
Совершенное число
Число, равное сумме всех его делителей называется совершенным числом.
Например, 6=1+2+3 — совершенное число.
Напишите в комментарии те совершенные числа, которые вы знаете.
В школе даются начальные знания по основным наукам. Огромную роль играет математика. Она используется не только при расчетах, но и в программировании.
В данной статье рассмотрена теория чисел. Она является своеобразной «базой», помогающей более подробно рассматривать математические действия и операции. В ней особую роль играют делители чисел. Зная о них, можно достаточно быстро и точно провести большинство операций. Пример – посчитать дроби и выделить грамотно доли.
Определение
Делители чисел – это такие значения, при делении на которые у «первоначального» числового компонента не будет остатка. Является целым в обязательном порядке. Пример – у 21 два делителя: 3 и 7. Проверить это можно по таблице умножения, которая изучается в начальных классах. Других упомянутых компонентов к 21 нет. В остальных случаях при делении будет получаться остаток.
Кратные
С делителями чисел познакомились. Теперь стоит обратить внимание на еще один момент, изучаемый в младших классах. Речь идет о кратных.
Краткое – это ситуация, при которой какое-нибудь значение удалось поделить без остатка на другое. Кратным a будет называться значение, которое без остатка делится на a.
Каждая «цифра» в математике имеет бесконечно много кратных. Пример – 5. Сюда можно отнести: 5, 10, 15, 20, 25, 100, 1005 и так далее. Все они будут без остатка делиться на пятерку.
Простые и составные
В начальных классах учителя говорят, что в математике есть простые числа и составные. Тут необходимо запомнить:
- Простые – это натуральное число, которое делится только на себя и единицу.
- Единица не включена в ряд простых.
- Составное число – это непростой элемент в математике. Единица сюда тоже не включена. Имеет несколько делителей. Согласно информации, подаваемой в начальных классах – больше двух.
Если интересует, сколько делителей у простого заданного числа, ответ будет очевиден – их всего два. И найти таковые проще простого. Эта информация очевидна из самого определения.
Составные числа могут иметь бесконечное количество делителей. Ответить, сколько именно, невозможно – все зависит от конкретной ситуации. Главное – чтобы их в конечном итоге оказалось больше двух.
В программировании найти «простую цифру» достаточно легко. Операция с легкостью проводится за O(N), где N – это проверяемый элемент. Достаточно проверить, будет ли оно делиться без остатка хотя бы на один элемент среди цепочки: 2, 3, 4, …, N-1. В школьных классах соответствующая информация не изучается. Она пригодится непосредственным программистам.
Вот – пример реализации. Этот код нужно просто обработать компилятором и посмотреть на выданные результаты. N – подставить свое значение.
Делимость – признаки
В разных классах начальной школы (иногда – в среднем звене) активно рассматриваются не только делители числа, но и признаки делимости. Эта информация тоже включена в рассматриваемую теорию. Она помогает найти простые делители заданного числа намного быстрее. А еще – понять, простое оно или сложное. Узнать количество делителей, которые имеют числа, будет намного проще.
На десятку
Если «цифра» заканчивается на 0, она может делиться без остатка на 10. Это – правило, которое нужно запомнить в младших классах. Обычно такие элементы относятся к сложным/составным. Об этом учителя говорят еще в начальных классах. Связано это с тем, что «цифра», которая делится на 10, обычно может быть поделена:
- сама на себя;
- на десятку;
- на пятерку.
Из ранее изученных определений следует достоверность последнего утверждения.
Делимость на 5 и 2
Теперь стоит изучить более сложные варианты. Они тоже рассматриваются в начальных классах и позволяют понять, сколько делителей будет у «цифры», заданной в примере. Среди основных знаний, которые нужно освоить в начальной школе, выделяют признаки делимости на двойку и пятерку.
Тут в начальных классах требуется запомнить, что:
- Любая «цифра», которая заканчивается на 0, делится без остатка на 5 и 2.
- Если в конце стоит 0 или 5, то возможно деление без остатков на «пятерку».
- Когда «цифра» заканчивается на 0, 2, 4, 6, 8 – оно будет делиться на 2. Остаток не предусматривается.
Все это поможет быстрее найти делитель числа в начальных классах. Но есть и иные признаки делимости. Они тоже необходимы для нахождения рассматриваемых элементов.
Согласно установленным правилам, если сумма цифр в заданном элементе делится на 3, то все оно тоже разделяется без остатка на «тройку». Пример – 27. Сумма его составляющих будет равна 9. Оно делится на 3. Отсюда следует, что 27 при делении на «тройку» остатка не образовывается.
Рассматривая делители числа, стоит обратить внимание на еще один признак делимости. Речь идет о 9. Если сумма цифр в заданном компоненте делится на «девятку», то и все оно тоже не образовывает остатка вследствие выполняемых математических манипуляций. Соответствующий принцип тоже изучается в младших классах.
Разложение на множители
Разложение на простые множители – еще одна операция, которая изучается в рассматриваемой теории в начальных классах. Можно провести разложение любого натурального числа, которое входит в заданное выражение им же, но представленном в ином виде. Для этого требуется изучить делители чисел. Они пригодятся в соответствующей операции.
Суть приема заключается в том, что нужно представить «цифру» в виде произведения нескольких простых множителей (делителей заданных чисел). Пример – дана «шестерка». Находим делители этого числа. Справиться с соответствующей задачей сможет ученик младших классов:
- 1;
- 2;
- 3;
- 6.
В поиске натуральных множителей теперь не будет никаких проблем. И в представлении «цифры» соответствующей записью – тоже. Шестерка – это 3*2 и 6*1.
Стоит обратить внимание – согласно правилам, продиктованным математикой в начальных классах, разложить на множители удастся только составную «цифру». У него будет простой делитель натурального заданного числа. Простая заданная «цифра» не подлежит разложению.
Данный вариант разложения – элементарный. Его легко освоить даже в начальных классах, после изучения таблицы умножения. Подходит для небольших «цифр». Когда дело доходит до больших значений, стоит воспользоваться иным методом:
- Провести вертикальную линию.
- Слева написать делимые.
- Справа прописать делители заданного числа.
- Собрать полученные сведения во множители.
Правила, изучаемые в начальных классах, указывают на то, что тут на помощь приходят признаки делимости.
Выше – пример реализации приема с числом 180.
Правило обнаружения делителей
Чтобы найти простые делители числа, в начальных классах необходимо запомнить следующий принцип (правило):
- Записать в качестве первого делителя единицу.
- Исходный элемент разложить на простые множители.
- Выписать из соответствующих делителей те, на которые без остатка делится заданная изначально «цифра». При повторении повторно записывать его не потребуется.
- Отыскать все произведения полученных простых множителей между собой.
Полученные ответы – это остальные искомые компоненты. Если этот принцип усвоить в младших классах школы, удастся достаточно быстро разобраться в математике и счете.
Дроби
Ближе к средним классам школьная программа начинает предлагать дроби. Там рассмотренная тема будет особо актуальна. Одно и то же число можно записать десятично (15 – 3*5) и в виде дроби.
У дробей есть:
- числитель – то, что написано над чертой-разделителем;
- знаменатель – нижняя часть записи.
Чтобы в любом классе без проблем привести дроби к общему знаменателю, потребуется:
- Найти общее кратное знаменателей. Эта запись будет общим знаменателем.
- Разделить общий знаменатель на знаменатель каждой отдельно взятой дроби. Получится дополнительный множитель.
- Умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель.
Лишь после этого можно проводить сложение и вычитание дробей. Соответствующая информация пригодится в любом классе школы и даже во взрослой жизни при разнообразных вычислениях.
Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!
