Как найти деление числа в данном отношении

Математика

6 класс

Урок № 4

Деление числа в данном отношении

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Понятия деления числа в данном отношении.
• Свойства отношений.
• Понятия отношений величин одного наименования и разных.

Тезаурус

Частное двух не равных нулю чисел a и b называется отношением чисел a и b.

Числа a и b называются членами отношения.

Скорость – это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден.

Скорость сближения – это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.

Цена товара – это отношение стоимости товара к его массе или количеству единиц товара.

Основная литература

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня мы с вами разберём, что означает деление числа в данном отношении.

Правило деления числа в данном отношении.

Чтобы разделить число c в отношении a к b, можно разделить число c на сумму членов отношения a + b и результат умножить на каждый член отношения, числа a, b и c не равны нулю.

Задача 1.

Ответ: конфеты между друзьями надо разделить так: первому – 16 конфет, а второму – 64 конфеты.

Задача 2.

Сестра и брат сложили свои деньги для покупки лотерейного билета. У сестры было 50 рублей, а у брата 30 рублей. Билет выиграл 4000 рублей. Как они должны разделить эти деньги между собой?

Решение:

Ответ: 2500 рублей, 1500 рублей.

Задача 3.

Трое хотят купить фирму по продаже мороженого. Первый желает иметь 6 частей акций, второй – 4 части акций, третий – 2 части. Всего нужно заплатить 960 000 рублей. Сколько денег должен внести каждый из них.

Решение:

Ответ: 480 000 рублей, 320 000 рублей, 160 000 рублей.

Задача 4.

Первая машинистка печатает 180 страниц за 20 часов, а вторая – за 30 часов. Как распределить между ними 180 страниц, чтобы они напечатали их в кратчайший срок?

Решение:

Ответ: первой машинистке – 108 страниц, второй – 72 страницы.

Задача 5.

Мотоциклист может проехать расстояние между пунктами за 4 часа, а велосипедист – за 12 часов. Однажды они одновременно отправились навстречу друг другу из этих пунктов. Сколько километров проедет каждый до встречи, если расстояние между пунктами 120 километров?

Решение:

Ответ: 30 км, 90 км.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: сортировка элементов по категориям.

Поставьте в соответствующие столбцы числа, которые можно разделить нацело в заданных отношениях.

№2. Тип задания: подчеркивания.

Нужно подчеркнуть правильный вариант ответа.

Для правильного вычисления числа в отношении необходимо понимать наименьшую равную часть числа, путем его деления на (n) частей, исходя из условия задачи.  Разберемся более подробно на конкретном примере.

Пример 1.  

Решение:

Тут важно понимать, что число мы делим на 3 части, только в  отношении: (5:2:13) . Эту задачу можно решать двумя способами.

1 способ.

Примем наименьшую часть числа за (x ), итого можно составить уравнение:

(5x+12x+3x=180)

(20x=180)

(x = 9) — искомая наименьшая часть числа. Теперь найдем сами числа:

(5*9=45)   (12*9=108)  (3*9=27)

(45:108:27-)число в отношении (5:2:13)

Проверяем: (45+108+27=180).

Ответ: (45:108:27-)число в отношении (5:2:13)

Ответ: .(45:108:27-)число в отношении (5:2:13)

 В шестом классе изучается тема деления чисел в данном отношении. Тема для учеников не всегда понятна с первого объяснения учителя, поэтому разберем ее подробнее на страницах сайта 7 гуру. Напишем понятия и правила, разберем примеры решения задач на деление в данном отношении.

Понятие отношения

Частное двух не равных нулю чисел a и b называется отношением чисел a и b. Числа a и b называются членами отношения.

Скорость – это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден.
Скорость сближения – это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Цена товара – это отношение стоимости товара к его массе или количеству единиц товара.

Правило деления числа в данном отношении.

Чтобы разделить число c в отношении a к b, можно разделить число c на сумму членов отношения a + b и результат умножить на каждый член отношения, числа a, b и c не равны нулю.

Задача 1. Разделите между двумя друзьями 80 конфет в отношении 1:4.

Задача 2.  Сестра и брат сложили свои деньги для покупки лотерейного билета. У сестры было 50 рублей, а у брата 30 рублей. Билет выиграл 4000 рублей. Как они должны разделить эти деньги между собой?

Решение:

Задача 3. Трое хотят купить фирму по продаже мороженого. Первый желает иметь 6 частей акций, второй – 4 части акций, третий – 2 части. Всего нужно заплатить 960 000 рублей. Сколько денег должен внести каждый из них.

Решение:

Задача 4. Первая машинистка печатает 180 страниц за 20 часов, а вторая – за 30 часов. Как распределить между ними 180 страниц, чтобы они напечатали их в кратчайший срок?

Решение:

Ответ: первой машинистке – 108 страниц, второй – 72 страницы.

Задача 5. Мотоциклист может проехать расстояние между пунктами за 4 часа, а велосипедист – за 12 часов. Однажды они одновременно отправились навстречу друг другу из этих пунктов. Сколько километров проедет каждый до встречи, если расстояние между пунктами 120 километров?

Решение:

Задача 6. Сортировка элементов по категориям. Поставьте в соответствующие столбцы (1:4; 2:5) числа, которые можно разделить нацело в заданных отношениях. Варианты ответов: 25, 13, 14, 45, 28, 6.

Представим
себе такую историю…

–
Саша, чем ты занимаешься? – поинтересовался у друга Паша.

–
Хочу приготовить мороженое, – ответил Саша. – Уже и рецепт нашёл, и подготовил
все ингредиенты, но вот только разобраться не могу, сколько чего брать.

–
А что в рецепте написано? – уточнил Паша.

–
В рецепте сказано, что для приготовления мороженого нужно смешать 3 части молока,
2 части сливок и 1 часть сахара, – прочитал Саша. – А как эти части высчитать,
если я хочу приготовить, например, 3 килограмма мороженого?

–
И вправду, сложная задача у тебя получается, – задумался Паша. – Как эти части
считать, не понятно. Но я знаю, кто нам сможет помочь!

–
Ребята, прежде чем я отвечу на ваш вопрос, давайте немного разомнёмся и
выполним устные задания, – предложил Мудряш.

–
Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было
получиться!

–
Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Чтобы ответить на
вопрос «Сколько каких ингредиентов нужно взять для приготовления смеси мороженого?»,
прежде всего нужно научиться выполнять деление числа в данном отношении. Итак,
вы хотите приготовить 3 килограмма мороженого. Для удобства давайте переведём
килограммы в граммы, всё же так будет легче и привычнее считать.

–
Так как 1 килограмм равен 1000 грамм, – стал размышлять Саша, – значит, я хочу
приготовить 3000 грамм мороженого.

–
Хорошо! – согласился Мудряш. – По рецепту для приготовления мороженого нужно смешать
3 части молока, 2 части сливок и 1 часть сахара. Будем считать, что смесь
мороженого состоит из  частей,
имеющих одинаковые массы. Тогда как посчитать, сколько приходится на 1 часть?

–
Нужно 3000 разделить на 6, – ответил Паша.

–
Правильно! – сказал Мудряш. – Значит, масса одной части смеси равна 500 граммам.
По рецепту молоко в смеси составляет 3 части, сливки – 2 части, а сахар – 1
часть. Посчитайте, чему же будут равны эти части.

–
Тогда масса молока в смеси будет равна  и
равна 1500 граммам, – принялся считать Саша. – Масса сливок будет равна  и
равна 1000 грамм, а масса сахара будет равна  и
равна 500 граммам.

–
Получается, что для приготовления 3 килограммов мороженого нужно взять 1500
грамм молока, добавить 1000 грамм сливок, а затем добавить 500 грамм сахара? –
решил уточнить Паша.

–
Всё верно! – согласился Мудряш. – Из решения вашей задачи следует, что число 3000
можно представить в виде суммы трёх слагаемых – 1500, 1000 и 500, отношение
которых равно .
В таких случаях говорят, что число 3000 разделили в отношении .
Также можно сказать, что число 3000 представили в виде суммы трёх слагаемых,
пропорциональных числам 3, 2 и 1.

–
И совсем несложная задача оказалась, – заметил Саша. – Теперь я без труда могу
приготовить мороженое.

–
Эту же задачу можно было решить и другим способом, – продолжил Мудряш. – Пусть
масса одной части смеси мороженого составляет х грамм. Тогда массы молока,
сливок и сахара составляют соответственно 3х грамм, 2х грамм и х
грамм. Поскольку масса всей смеси мороженого равна 3000 грамм, то можем
составить уравнение .
Решим это уравнение. Получим, что .
Отсюда .
Тогда массы молока, сливок и сахара равны соответственно  грамм,
 грамм
и  грамм.

–
Сделаем вывод, – сказал Мудряш. – Чтобы разделить число в данном
отношении, можно разделить это число на сумму членов отношения, а затем
результат умножить на каждый член отношения.

–
А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько
заданий.

Задание
первое: разделите числа в указанных отношениях: а) число  в
отношении ;  
б) число  в
отношении .

Решение: нужно
разделить число 12 в отношении 1 к 3. Будем считать, что всё число состоит из  частей.
Значит, 1 часть равна .
Тогда 3 части будут равны .
Следовательно, число двенадцать можно разделить в отношении 1 к 3 так: 3 и 9.

В
следующем условии нам нужно разделить число 3,5 в отношении 3 к 4. Будем
считать, что всё число состоит из  частей.
Тогда 1 часть равна .
Отсюда 3 части числа равны .
Следовательно, число 3,5 можно разделить в отношении 3 к 4 так: 1,5 и 2.

Следующее
задание: два числа относятся как 4 к 7. Найдите эти числа,
зная, что: их сумма равна 110, их разность равна 12.

Решение: обозначим
за х одну часть. Тогда можем записать, что первое число равно 4х,
второе – 7х. В первом условии сказано, что сумма этих чисел равна 110.
Составим уравнение .
Решим его. Получим .
Отсюда .
Значит, первое число равно ,
второе – .

Во
втором условии сказано, что разность этих чисел равна 12. Составим уравнение .
Решим его. Получим .
Отсюда .
Значит, первое число равно ,
второе – .

Решим
задачу: стороны прямоугольника  относятся
как 2 к 3. Найдите площадь этого прямоугольника, если его периметр равен 20
сантиметров.

Решение: обозначим
за х длины частей, из которых состоят стороны прямоугольника. Так как
периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его соседних сторон, то
можем составить уравнение: .
Решим уравнение. Получим .
Отсюда .
Следовательно, одна сторона прямоугольника равна  сантиметрам,
вторая –  сантиметрам.
Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних сторон. Тогда площадь
прямоугольника равна  см².
Запишем ответ.

И
решим ещё одну задачу. Для приготовления фарфора смешивают 25
частей белой глины, 2 части песка и 1 часть гипса. Сколько нужно взять каждого
материала, чтобы приготовить 504 грамма смеси?

Решение: будем
считать, что вся смесь состоит из  частей,
имеющих одинаковые массы. Тогда 1 часть содержит  грамм.
Следовательно, чтобы приготовить 504 грамма смеси фарфора, нужно взять:  грамм
белой глины,  грамм
песка и  грамм
гипса.

Не
забудем записать ответ.

Разделить число в отношении