Как найти cos в степени

Ниже представлены таблицы с формулами степеней (квадрат, куб, в 4-ой степени) прямых и обратных тригонометрических функций: синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы квадратов

Степень	Формула
Синус в квадрате
Косинус в квадрате
Тангенс в квадрате
Котангенс в квадрате

microexcel.ru

Формулы кубов

Степень	Формула
Синус в кубе
Косинус в кубе
Тангенс в кубе
Котангенс в кубе

microexcel.ru

Степень	Формула
Синус в 4-ой степени
Косинус в 4-ой степени
Тангенс в 4-ой степени
Котангенс в 4-ой степени

microexcel.ru

Для удобства сразу же приведем таблицу с всеми тригонометрическими тождествами. Всегда удобно открыть формулы в одном месте, выбрать нужную и решить пример. После таблицы мы по отдельности рассмотрим каждую тригонометрическую формулу: обсудим ее вывод и порешаем примеры.

1. Основное тригонометрическое тождество:
   $$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
2. Определение тангенса и котангенса через синус и косинус:
   $$tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)};$$
   $$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};$$
3. Cвязь тангенса и котангенса:
   $$tg(alpha)=frac{1}{ctg(alpha)};$$
   $$tg(alpha)*ctg(alpha)=1;$$
4. Тангенс через косинус. Котангенс через синус:
   $$tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
   $$ctg(alpha)^2+1=frac{1}{sin(alpha)^2};$$
5. Синус суммы и разности:
   $$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
   $$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
6. Косинус суммы и разности:
   $$cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);$$
   $$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
7. Тангенс суммы и разности:
   $$tg(alpha+beta)=frac{tg(alpha)+tg(beta)}{1-tg(alpha)*tg(beta)};$$
   $$tg(alpha-beta)=frac{tg(alpha)-tg(beta)}{1+tg(alpha)*tg(beta)};$$
8. Котангенс суммы и разности:
   $$сtg(alpha+beta)=frac{-1+сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)+ctg(beta)};$$
   $$сtg(alpha-beta)=frac{-1-сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)-ctg(beta)};$$
9. Двойной угол:
   $$cos(2*alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2*sin(alpha)^2=2*cos(alpha)^2-1;$$
   $$sin(2*alpha)=2*sin(alpha)*cos(alpha);$$
   $$tg(2*alpha)=frac{2*tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
   $$ctg(2*alpha)=frac{ctg(alpha)^2-1}{2*ctg(alpha)};$$
10. Тройной угол:
    $$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3*sin(alpha)^2*cos(alpha)=-3*cos(alpha)+4*cos(alpha)^3;$$
    $$sin(3*alpha)=3*sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3;$$
    $$tg(3*alpha)=frac{3*tg(alpha)-tg(alpha)^3}{1-3*tg(alpha)^2};$$
    $$ctg(3*alpha)=frac{ctg(alpha)^3-3*ctg(alpha)}{3*ctg(alpha)^2-1};$$
11. Формулы половинного угла:
    $$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
    $$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
    $$tg(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
    $$ctg(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$
12. Понижение степени:
    $$sin(alpha)^2=frac{1-cos(2*alpha)}{2};$$
    $$cos(alpha)^2=frac{1+cos(2*alpha)}{2};$$
    $$sin(alpha)^3=frac{3*sin(alpha)-sin(3*alpha)}{4};$$
    $$cos(alpha)^3=frac{3*cos(alpha)+cos(3*alpha)}{4};$$
    $$sin(alpha)^4=frac{3-4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
    $$cos(alpha)^4=frac{3+4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
13. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:
    $$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$sin(alpha)-sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right);$$
    $$cos(alpha)+cos(beta)=2*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$cos(alpha)-cos(beta)=-2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$cos(alpha)-cos(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{beta-alpha}{2}right);$$
    $$tg(alpha)+tg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
    $$tg(alpha)-tg(beta)=frac{sin(alpha-beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
    $$ctg(alpha)+ctg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
    $$ctg(alpha)-ctg(beta)=frac{sin(beta-alpha)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
14. Преобразование произведения тригонометрических функций:
    $$sin(alpha)*sin(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)right);$$
    $$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)right);$$
    $$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)right);$$
15. Формулы подстановки тангенса:
    $$sin(alpha)=frac{2*tg(frac{alpha}{2})}{1+tg(frac{alpha}{2})^2};$$
    $$cos(alpha)=frac{1-tg(frac{alpha}{2})^2}{1+tg(frac{alpha}{2})^2};$$
    $$tg(alpha)=frac{2*tg(frac{alpha}{2})}{1-tg(frac{alpha}{2})^2};$$
    $$ctg(alpha)=frac{1-tg(frac{alpha}{2})^2}{2*tg(frac{alpha}{2})};$$
16. Формулы приведения можно найти в отдельной статье

Зачем нужны тригонометрические формулы?

Как видите, тригонометрических формул очень много. Тут еще и не все приведены. Но на ваше счастье, учить всю эту таблицу не нужно. Достаточно знать только основные: №1-6, 9. Остальные на ЕГЭ по профильной математике встречаются крайне редко, а если и попадутся, то, скорее всего, будут даны в справочных материалах.

Но для участия в олимпиадах или, если вы хотите поступать в сильный математический ВУЗ через вступительные экзамены, то вам может понадобиться вся таблица. По крайней мере, у вас точно должно быть представление о существовании таких формул, чтобы их вывести в случае необходимости. Да, большинство из них легко выводятся.

Тригонометрические формулы нужны, чтобы связать все тригонометрические функции между собой. Если вы знаете одну из функций, например, синус, то, используя эти формулы, можно легко найти оставшиеся три тригонометрические функции (косинус, тангенс и котангенс). Кроме этого тождества позволяют упростить выражение под тригонометрической функцией: например, выразить синус от двойного угла через комбинацию тригонометрических функций от одинарного угла, что бывает очень полезно при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Обсудим и порешаем примеры на все формулы из таблицы.

Основное тригонометрическое тождество

$$mathbf{sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;}$$

Эту формулу можно считать главной и самой часто используемой в тригонометрии. Она выводится при помощи определения синуса и косинуса через прямоугольный треугольник и теоремы Пифагора. Не буду еще раз описывать вывод, с ним можно познакомиться в самой первой главе по тригонометрии.

При помощи основного тригонометрического тождества очень удобно искать значение синуса, если известен косинус и наоборот. Разберем пример:

Пример 1
Найдите (3sqrt{2}*sin(alpha)=?), если (cos(alpha)=frac{1}{3}) и (alphain(0;frac{pi}{2})). (ЕГЭ)

Чтобы найти значение выражения (3sqrt{2}*sin(alpha)) необходимо сначала найти значение синуса.

Формула, которая связывает и синус, и косинус — это основное тригонометрическое тождество:
$$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
Просто подставим в нее известное значение косинуса
$$sin(alpha)^2+left(frac{1}{3}right)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+frac{1}{9}=1;$$
$$sin(alpha)^2=1-frac{1}{9};$$
$$sin(alpha)^2=frac{8}{9};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{8}{9}}=pmfrac{2sqrt{2}}{3};$$
Обратите внимание на знак (pm), отрицательное значение синуса нас тоже устраивает, так как при подстановке и возведении в квадрат знак минус исчезает.

В задании указано, что это пример из ЕГЭ первой части, значит должен быть только один ответ. Какое же значение синуса нам выбрать: положительное или отрицательное?

В этом нам поможет дополнительное условие на (alphain(0;frac{pi}{2})), что соответсвует первой четверти на тригонометрической окружности. Раз (alpha) лежит в первой четверти, то синус должен быть положительный. Выбираем положительное значение синуса:
$$sin(alpha)=frac{2sqrt{2}}{3};$$
И подставим найденное значение в искомое выражение:
$$3sqrt{2}*sin(alpha)=3sqrt{2}*frac{2sqrt{2}}{3}=4.$$

Ответ: (4.)

Аналогично по основному тригонометрическому тождеству можно находить значение косинуса, если известен синус.

Основные тригонометрическое тождество это ключ к решению более половины всех тригонометрических уравнений.

Основные связи тригонометрических функций

А как найти тангенс или котангенс, если нам, например, известен косинус? Посмотрите на формулы №2, для того, чтобы найти тангенс, нужно знать и косинус, и синус:

$$mathbf{tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)};}$$
$$mathbf{ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};}$$

Но зная косинус, мы легко можем найти синус по основному тригонометрическому тождеству, а потом уже найти тангенс.

Пример 2
Найдите (tg(alpha)) и (ctg(alpha)), если (cos(alpha)=frac{sqrt{10}}{10}) и (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)).

Сначала находим значение синуса:
$$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+left(frac{sqrt{10}}{10}right)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+frac{1}{10}=1;$$
$$sin(alpha)^2=1-frac{1}{10};$$
$$sin(alpha)^2=frac{9}{10};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{9}{10}}=pmfrac{3}{sqrt{10}};$$
Так как по условию задачи (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)), что соответсвует четвертой четверти на тригонометрической окружности, то (sin(alpha)<0). Выбираем отрицательное значение:
$$sin(alpha)=-frac{3}{sqrt{10}};$$
Теперь нам известны значения и косинуса, и синуса, можем найти тангенс:
$$tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}=frac{-frac{3}{sqrt{10}}}{frac{sqrt{10}}{10}}=-frac{3}{sqrt{10}}*frac{10}{sqrt{10}}=-3;$$
Котангенс можно найти аналогично по формуле:
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};$$
Но поступим проще и воспользуемся тригонометрической формулой, связывающей тангенс с котангенсом:
$$mathbf{сtg(alpha)=frac{1}{tg(alpha)};}$$
$$сtg(alpha)=frac{1}{-3}=-frac{1}{3};$$

Ответ: (tg(alpha)=-3;) (ctg(alpha)=-frac{1}{3}.)

Как видите, чтобы найти тангенс или котангенс через косинус или синус, необходимо воспользоваться сразу двумя тригонометрическими формулами. Это не очень удобно, поэтому очень полезны тригонометрические формулы, связывающие тангенс с косинусом или котангенс с синусом напрямую:
$$mathbf{tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};}$$
$$mathbf{ctg(alpha)^2+1=frac{1}{sin(alpha)^2};}$$

Вывод связи тангенса с косинусом и котангенса с синусом

Полезно знать, как они выводятся. Вывод, на самом деле, элементарный, с использованием основного тригонометрического тождества и определения тангенса через синус и косинус:
$$tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
$$left(frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}right)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
Приводим левую часть к общему знаменателю:
$$frac{sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}+frac{cos(alpha)^2}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
$$frac{sin(alpha)^2+cos(alpha)^2}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
В числителе у нас получилось основное тригонометрическое тождество:
$$frac{1}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
Получилось верное равенство — формула доказана. Аналогично доказывается формула для котангенса и синуса. (В качестве упражнения докажите ее сами).

Если решать пример №2 по этим формулам, то решение заметно сокращается:
$$tg(alpha)^2+1=frac{1}{left(frac{sqrt{10}}{10}right)^2};$$
$$tg(alpha)^2+1=10;$$
$$tg(alpha)^2=9;$$
$$tg(alpha)=pm3;$$
Так как (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)), то тангенс будет отрицательным:
$$tg(alpha)=-3;$$

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

1. Синус суммы и разности:
   $$mathbf{sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);}$$
   $$mathbf{sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);}$$
2. Косинус суммы и разности:
   $$mathbf{cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);}$$
   $$mathbf{cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);}$$
3. Тангенс суммы и разности:
   $$mathbf{tg(alpha+beta)=frac{tg(alpha)+tg(beta)}{1-tg(alpha)*tg(beta)};}$$
   $$mathbf{tg(alpha-beta)=frac{tg(alpha)-tg(beta)}{1+tg(alpha)*tg(beta)};}$$
4. Котангенс суммы и разности:
   $$mathbf{сtg(alpha+beta)=frac{-1+сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)+ctg(beta)};}$$
   $$mathbf{сtg(alpha-beta)=frac{-1-сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)-ctg(beta)};}$$

Формулы суммы разности тригонометрических функций попадаются в ЕГЭ по профильной математике в №12. В прошлые года эти формулы давались в справочные материалах и учить их было не обязательно. Тем не менее, я бы рекомендовал выучить хотя бы формулы суммы и разности для синуса и косинуса.

Это не очень удобно, но иногда формулы суммы разности используют для вывода формул приведения:

Пример 3
Упростить выражение (sin(frac{pi}{2}+alpha)).

Воспользуемся формулой синуса суммы:
$$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(frac{pi}{2}+alpha)=sin(frac{pi}{2})*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(frac{pi}{2})=$$
$$=1*cos(alpha)+sin(alpha)*0=cos(alpha);$$

Формулы суммы разности так же полезны, когда нужно посчитать значение тригонометрических функций некоторых нестандартных углов:

Пример 4
Найдите значение (sin(15^o)=?)

(15^o) нестандартный угол, вы его не найдете в тригонометрической таблице углов. Представим (15^o) в виде разности стандартных углов (15^o=45^o-30^o). И воспользуемся формулой синуса разности:
$$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(15^o)=sin(45^o-30^o)=sin(45^o)*cos(30^o)-sin(30^o)*cos(45^o)=$$
$$=frac{sqrt{2}}{2}*frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=$$
$$=frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4};$$
Вот мы наши синус (15^o). Получилось такое иррациональное некрасивое выражение, так и оставляем.

Ответ: (sin(15^o)=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}.)

Пример 5
Найдите значение (cos(75^o)=?)

(75^o) можно представить в виде суммы стандартных углов (75^o=30^o+45^o). Здесь воспользуемся формулой косинуса суммы:
$$cos(alpha+beta)=cos(30^o)*cos(45^o)-sin(30^0)*sin(45^0)=$$
$$=frac{sqrt{3}}{2}*frac{sqrt{2}}{2}-frac{1}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=$$
$$=frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4};$$
У нас получился опять отвратительный ответ, но внимательный читатель заметит, что ответ такой же, как в предыдущем примере, это значит, что (cos(75^o)=sin(15^o)). Такой же вывод можно было бы сделать исходя из формул приведения и знания тригонометрической окружности.

Ответ: (cos(75^o)=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}.)

Мы не будем выводить эти формулы — это не самое приятное занятие. Их проще выучить, а вывод вам вряд ли когда-либо пригодится. Но сами формулы суммы и разности служат основой для доказательства других тригонометрических формул.

Формулы двойного угла

$$cos(2*alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2*sin(alpha)^2=2*cos(alpha)^2-1;$$
$$sin(2*alpha)=2*sin(alpha)*cos(alpha);$$
$$tg(2*alpha)=frac{2*tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
$$ctg(2*alpha)=frac{ctg(alpha)^2-1}{2*ctg(alpha)};$$

Формулы двойного угла для синуса, косинуса, тангенса и котангенса дают возможность выразить двойной угол (2alpha) через (alpha). Формулы для синуса и косинуса очень часто встречаются на ЕГЭ. Их обязательно нужно знать. Все они легко выводятся из формул синуса и косинуса суммы (формулы №5 и №6) :

$$cos(2alpha)=cos(alpha+alpha)=cos(alpha)*cos(alpha)-sin(alpha)*sin(alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2;$$
Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством можно преобразовать эту формулу:
$$cos(2alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-sin(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2sin(alpha)^2;$$
$$cos(2alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=cos(alpha)^2-(1-cos(alpha)^2)=2cos(alpha)^2-1;$$

Синус двойного угла выводится аналогичным образом только с использованием формулы синуса суммы:
$$sin(2alpha)=sin(alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(alpha)=2sin(alpha)cos(alpha);$$

Для вывода формул двойного угла для тангенса нам понадобится представить тангенс в виде отношения синуса к косинуса по определению и только что выведенные формулы синуса и косинуса двойного угла:
$$tg(2alpha)=frac{sin(2alpha)}{cos(2alpha)}=frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}=frac{frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{cos(alpha)^2}}{frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}}=frac{frac{2sin(alpha)}{cos(alpha)}}{1-frac{sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}}=frac{2tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
Котангенс двойного угла выводится абсолютно также:
$$сtg(2alpha)=frac{cos(2alpha)}{sin(2alpha)}=frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{2sin(alpha)cos(alpha)}=frac{frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{sin(alpha)^2}}{frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{sin(alpha)^2}}=frac{frac{cos(alpha)^2}{sin(alpha)^2}-1}{frac{2cos(alpha)}{sin(alpha)}}=frac{ctg(alpha)^2-1}{2ctg(alpha)};$$

В первой части на ЕГЭ попадаются номера на преобразование тригонометрических выражений, где часто содержится двойной угол:

Пример 6
Найти значение (24cos(2alpha)=?), если (sin(alpha)=-0,2.)

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
$$cos(2alpha)=1-2sin(alpha)^2;$$
$$24cos(2alpha)=24(1-2sin(alpha)^2)=24-48sin(alpha)^2=24-48*(-0,2)^2=24-48*0,04=22,08.$$

Пример 7
Найти значение (frac{10sin(6alpha)}{3cos(3alpha)}=?), если (sin(3alpha)=0,6.)

Используем синус двойного угла, для этого представим (6alpha=2*(3alpha)):
$$sin(6alpha)=sin(2*(3alpha))=2sin(3alpha)cos(3alpha);$$
$$frac{10sin(6alpha)}{3cos(3alpha)}=frac{10*2sin(3alpha)cos(3alpha)}{3cos(3alpha)}=frac{20sin(3alpha)}{3}=frac{20*0,6}{3}=frac{12}{3}=4.$$

Пример 8
Найти значение выражения (frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{sin(22^o)}=?)

Замечаем, что (22^o=2*11^o) и воспользуемся синусом двойного угла:
$$frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{sin(22^o)}=frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{2sin(11^o)cos(11^o)}=frac{12}{2}=6.$$

Формулы тройного угла

Формулы тройного угла обычно попадаются на математических олимпиадах или вступительных экзаменах в математические ВУЗы. Учить их необязательно, но знать о существовании полезно, тем более, что они достаточно легко выводятся.
$$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3*sin(alpha)^2*cos(alpha)=-3*cos(alpha)+4*cos(alpha)^3;$$
$$sin(3*alpha)=3*sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3;$$
$$tg(3*alpha)=frac{3*tg(alpha)-tg(alpha)^3}{1-3*tg(alpha)^2};$$
$$ctg(3*alpha)=frac{ctg(alpha)^3-3*ctg(alpha)}{3*ctg(alpha)^2-1};$$

Выведем эти формулы, использую формулы сложения. Начнем с косинуса тройного угла:
$$cos(3*alpha)=cos(2alpha+alpha)=cos(2alpha)*cos(alpha)-sin(2alpha)*sin(alpha)=$$
$$=(cos(alpha)^2-sin(alpha)^2)*cos(alpha)-2sin(alpha)*cos(alpha)*sin(alpha)=$$
$$=cos(alpha)^3-sin(alpha)^2*cos(alpha)-2sin(alpha)^2*cos(alpha)=$$
$$=cos(alpha)^3-3sin(alpha)^2*cos(alpha);$$

Если расписать (sin(alpha)^2=1-cos(alpha)^2), то получим еще один вариант формулы тройного угла:
$$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3sin(alpha)^2*cos(alpha)=cos(alpha)^3-3(1-cos(alpha)^2)*cos(alpha)=$$
$$=4cos(alpha)^3-3cos(alpha);$$

Аналогично выводится формула синуса тройного угла:
$$sin(3alpha)=sin(2alpha+alpha)=sin(2alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(2alpha)=$$
$$=2sin(alpha)*cos(alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*(cos(alpha)^2-sin(alpha)^2)=$$
$$=2sin(alpha)*cos(alpha)^2+sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3;$$
Распишем по основному тригонометрическому тождеству (cos(alpha)^2=1-sin(alpha)^2) и подставим:
$$sin(3alpha)=3sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=$$
$$=3sin(alpha)*(1-sin(alpha)^2)-sin(alpha)^3=3sin(alpha)-4sin(alpha)^3;$$

Для тангенса и котангенса формулы тройного угла здесь выводить не будем, так как они достаточно редки. Но в качестве упражнения можете сами выполнить вывод, представив тангенс или котангенс по определению: через отношение синуса тройного угла к косинусу тройного угла или наоборот соотвественно.

Формулы тройного угла обычно используются при преобразовании сложных тригонометрических выражений. Например, на вступительных экзаменах в МФТИ любят давать тригонометрические уравнения на тройной угол и больше.

Формулы половинного угла (двойного аргумента)

$$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
$$tg(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
$$ctg(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$

Формулы половинного угла это по сути формулы обратные формулам двойного угла. Достаточно запомнить их элементарный вывод, тогда учить совсем необязательно. Здесь важный момент, что любой угол (alpha) всегда можно представить в виде удвоенного угла (frac{alpha}{2}):
$$alpha=2*frac{alpha}{2};$$

Выведем формулу синуса половинного угла, для этого нам понадобится формула косинуса двойного угла:
$$cos(alpha)=1-2*sin(frac{alpha}{2})^2;$$
Выразим отсюда (sin(frac{alpha}{2})):
$$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
Иногда эту формулу записывают без квадрата:
$$sin(frac{alpha}{2})=pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}};$$
Плюс минус возникает при избавлении от квадрата.
Вывод косинуса половинного угла тоже получается из формулы косинуса двойного угла:
$$cos(alpha)=2*cos(frac{alpha}{2})^2-1;$$
$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{cos(alpha)+1}{2};$$
$$cos(frac{alpha}{2})=pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}};$$

Доказательство формул половинного угла для тангенса и котангенса следует из выше доказанных формул:
$$tg(frac{alpha}{2})=frac{sin(frac{alpha}{2})}{cos(frac{alpha}{2})}=frac{pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}}}{pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}}}=sqrt{frac{frac{1-cos(alpha)}{2}}{frac{cos(alpha)+1}{2}}}=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
Точно так же для котангенса:
$$сtg(frac{alpha}{2})=frac{cos(frac{alpha}{2})}{sin(frac{alpha}{2})}=frac{pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}}}{pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}}}=sqrt{frac{frac{cos(alpha)+1}{2}}{frac{1-cos(alpha)}{2}}}=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$

Пример 9
При помощи формул половинного угла можно, например, посчитать (cos(15^o)):

$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
$$cos(15^o)^2=frac{1+cos(30^o)}{2}=frac{1+frac{sqrt{3}}{2}}{2}=frac{2+sqrt{3}}{4};$$
$$cos(15^o)=sqrt{frac{2+sqrt{3}}{4}}.$$

Кстати, формулы половинного угла справедливы не только в явном виде, когда аргумент правой части формулы (alpha), а левой (frac{alpha}{2}). Но и в неявном, достаточно, чтобы аргумент правой части был больше аргумента левой в два раза:
$$sin(5alpha)=pmsqrt{frac{1-cos(10alpha)}{2}};$$

Формулы понижения степени

$$sin(alpha)^2=frac{1-cos(2*alpha)}{2};$$
$$cos(alpha)^2=frac{1+cos(2*alpha)}{2};$$
$$sin(alpha)^3=frac{3*sin(alpha)-sin(3*alpha)}{4};$$
$$cos(alpha)^3=frac{3*cos(alpha)+cos(3*alpha)}{4};$$
$$sin(alpha)^4=frac{3-4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
$$cos(alpha)^4=frac{3+4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$

Формулы понижения второй степени на самом деле дублируют формулы половинного угла.

Формулы понижения третей степени перестановкой слагаемых дублируют формулы тройного угла.

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:

$$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$sin(alpha)-sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)+cos(beta)=2*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)-cos(beta)=-2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)-cos(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{beta-alpha}{2}right);$$
$$tg(alpha)+tg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
$$tg(alpha)-tg(beta)=frac{sin(alpha-beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
$$ctg(alpha)+ctg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
$$ctg(alpha)-ctg(beta)=frac{sin(beta-alpha)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$

Формулы для суммы и разности тригонометрических функций полезны, если необходимо превратить сумму двух функций в произведение. Они в основном используются в уравнениях и преобразованиях сложных выражений, когда необходимо слагаемые разложить на множители.

Для вывода формул суммы и разности синусов и косинусов нам понадобится пара трюков и формулы синуса и косинуса суммы и разности (тут можно запутаться, в названиях формул, будьте внимательны). Вывод получается не самый очевидный.

Обратите внимание, что любой угол (alpha) можно представить в таком странном виде:
$$alpha=frac{alpha}{2}+frac{alpha}{2}+frac{beta}{2}-frac{beta}{2}=frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2};$$
Аналогично угол (beta):
$$beta=frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2};$$
Эти странности нам понадобятся при выводе формул, просто обратите на них внимание.
А теперь перейдем непосредственно к выводу формулы суммы синусов двух углов. Для начала распишем угла (alpha) и (beta) по формулам выше:
$$sin(alpha)+sin(beta)=sin(frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2}); qquad (*)$$
Теперь воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности:

$$sin(gamma+sigma)=sin(gamma)*cos(sigma)+sin(sigma)*cos(gamma);$$
$$sin(gamma-sigma)=sin(gamma)*cos(sigma)-sin(sigma)*cos(gamma);$$

Только у нас под синусами будут стоять не (gamma) и (sigma), а целые выражения.
Пусть:
$$gamma=frac{alpha+beta}{2};$$
$$sigma=frac{alpha-beta}{2};$$
Применим формулы синуса суммы и разности в (*):
$$sin(alpha)+sin(beta)=sin(frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2})=$$
$$=left(sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha-beta}{2})*cos(frac{alpha+beta}{2})right)+$$
$$+left(sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2})-sin(frac{alpha-beta}{2})*cos(frac{alpha+beta}{2})right)=$$
$$=2*sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2}); $$
В самом конце мы просто раскрыли большие скобки и привели подобные слагаемые.

Аналогично выводятся все остальные формулы.

Пример 10
Вычислить (sin(165)+sin(75)=?)

(165^o) и (75^o) это не табличные углы. Значения синусов этих углов мы не знаем. Для решения этого примера воспользуемся формулой суммы синусов:
$$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$sin(165^o)+sin(75^o)=2*sinleft(frac{165^o+75^o}{2}right)*cosleft(frac{165^o-75^o}{2}right)=$$
$$=2*sin(120^o)*cos(45^o)=2*frac{sqrt{3}}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=frac{sqrt{6}}{2}.$$

Преобразование произведения тригонометрических функций

$$sin(alpha)*sin(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)right);$$
$$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)right);$$
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)right);$$

В некотором смысле формулы произведения синуса, косинуса, тангенса и котангенса являются обратными к тригонометрическим формулам суммы и разности тригонометрических функций. При помощи этих формул возможно перейти от произведения к сумме или разности.

Для вывода нам опять понадобятся формулы косинуса суммы и разности:
$$cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);$$
$$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$

Сложим эти две формулы. Для этого складываем их левые части и приравниваем сумме правых частей:

$$cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha)+cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Приводим подобные слагаемые:
$$cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=2*cos(alpha)*cos(beta);$$
Отсюда получаем:
$$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta));$$
Формула произведения косинусов доказана.

Произведение синусов доказывается похожим образом. Для этого домножим формулу косинуса суммы слева и справа на ((-1)):
$$-cos(alpha+beta)=-cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Косинус разности оставим без изменений:
$$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Сложим опять эти две формулы:
$$cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha)-cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
$$cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)=2*sin(beta)*sin(alpha);$$
$$sin(beta)*sin(alpha)=frac{1}{2}*(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta));$$
Произведение синусов тоже доказано.

Для того, чтобы вывести формулу произведения синуса и косинуса, нам понадобятся формулы синуса суммы и разности:
$$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
Сложим их:
$$sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)=2*sin(alpha)*cos(beta);$$
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta));$$

Пример 11
Вычислить (sin(75^o)*cos(15^o)=?)

Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса:
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta));$$
$$sin(75^o)*cos(15^o)=frac{1}{2}*(sin(75^o+15^o)+sin(75^o-15^o))=$$
$$=frac{1}{2}*(sin(90^o)+sin(60^o))=frac{1}{2}*(1+frac{sqrt{3}}{2})=frac{2+sqrt{3}}{4}.$$

Как разложить куб и четвертую степень синуса и косинуса?

Последнее редактирование ответа: 23.05.2012

• 
  Оставить отзыв

  Оставить отзыв

  Вы можете написать свои замечания к ответу, предложения об улучшении или просто поблагодарить автора. Комментарий, после проверки, увидят автор и редактор ответа. Будьте, пожалуйста, вежливыми. Спасибо!

  Если Вы хотите получить уведомление об
  исправлении ответа укажите свой e-mail:

  Неправильный формат адреса электронной почты

Задача C1: тригонометрия и показательная функция — 2 вариант

17 февраля 2014

Сегодня мы разберем еще одну комбинированную задачу из части С ЕГЭ по математике, где требуется решить уравнение, содержащее в себе и показательную, и тригонометрическую функцию.

Задача C1. Решите уравнение. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку:

Шаг 1: решение тригонометрического уравнения

Итак, нужно решить уравнение:

36 sin 2 x = 6 2sin x

Очевидно, перед нами комбинированная конструкция, содержащая в себе и показательное, и тригонометрическое уравнение.

Синус двойного угла

Как решать такое уравнение? Давайте для начала выпишем все тригонометрические функции, которые присутствуют в этом уравнении, а именно:

Что мы можем сказать о полученных выражениях? В первом (sin 2 x ) аргумент синуса — это 2х; а во втором (2sin x ) аргумент — просто x . Итак, аргументы наших тригонометрических функций не совпадают. Это первое, на что нужно обратить внимание при решении любого тригонометрического уравнения. Следовательно, каким-то образом нужно сделать так, чтобы аргументы стали одинаковыми. В данном случае все очень просто, ведь мы знаем формулу двойного угла:

sin 2 x = 2sin x · cos x;
36 2sin x cos x = 6 2sin x .

Решение показательного уравнения

Теперь у нас другая проблема: перед нами [показательное уравнение], в котором присутствуют функции с разными основаниями. Слева основание показательной степени 36, а справа — 6. И это еще один принципиальный момент: нам нужно сделать так, чтобы и слева, и справа основание показательной функции было одним и тем же. Для этого заметим, что 36 можно записать так:

Следовательно, мы можем переписать наше уравнение в следующем виде:

(6 2 ) 2sin x cos x = 6 2sin x

Теперь воспользуемся правилом возведения степени в степень: при возведении степень в степень, показатели этих степеней перемножаются. В нашем случае получаем:

( a 2 ) f ( x ) = a 2 f ( x ) ;
6 4sin x cos x = 6 2sin x .

Итак, мы получили классическое показательное уравнение, в котором основания степеней являются константами и равны друг другу. Следовательно, мы можем просто убрать их и записать:

4sin x cos x = 2sin x

Решение тригонометрического уравнения

Тригонометрическое уравнение, которое мы получили, содержит несколько элементов с тригонометрической функцией. Для решения такого уравнения предлагаю перенести все слагаемые в левую часть, в результате чего получим:

4sin x cos x − 2sin x = 0

В полученном уравнении присутствуют два алгебраических слагаемых, причем и в первом, и во втором имеется множитель 2sin x . Выносим 2sin x за скобку:

2sin x (2cos x − 1) = 0

Вынесение за скобку общего множителя

Обратите внимание: на этом шаге многие ученики допускают ошибку! Давайте я еще раз напомню, как выносить общий множитель за скобку. Для этого выпишем наше выражение еще раз:

4sin x cos x − 2sin x

Перепишем эту конструкцию следующим образом:

2 · 2sin x cos x − 2sin x

Отсюда нам нужно вынеси [общий множитель]. Как вообще определяется, что можно вынести множитель за скобку? Простым перебором: мы берем самое первое слагаемое в нашем выражении и рассматриваем самый первый множитель, входящий в это слагаемое. Таким множителем является число 2.

А теперь — вопрос: встречается ли множитель 2 во втором нашем слагаемом? Конечно, встречается! Значит, ее мы выносим и идем далее. Следующий множитель тоже 2, но второй двойки во втором слагаемом не имеется, поэтому еще одну двойку вынести за скобку мы не можем.

Идем дальше: множитель sin x . Присутствует ли sin x во втором слагаемом? Да, безусловно. И последний множитель из первого слагаемого — cos x . Есть ли он во втором слагаемом? Нет, такого множителя во втором слагаемом нет. Поэтому вынести за скобку множитель cos x мы не можем. Вот и все. Получается, что из нашей конструкции можно вынести за скобку лишь множители 2 и sin x .

2 · 2sin x cos x − 2sin x = 2sin x (2cos x − 1)

Но на этом проблемы не заканчиваются. Когда ученики записывают элементы в скобках, здесь часто допускаются совершенно нелепые ошибки. Поэтому всем своим ученикам я рассказываю одно и то же правило, которое [гарантировано] избавит вас от всех подобных проблем. Правило звучит следующим образом:

При вынесении за скобку общего множителя обязательно ставьте единицу на месте каждого вынесенного элемента!

Такая запись является гарантом того, что вы не допустите ошибку при вынесении множителя за скобку. Давайте посмотрим, как это правило сработает для нашего выражения. Записываем готовое разложение — и мы получили именно то выражение, которое у нас получилось в самом начале:

2 · 2sin x cos x − 2sin x = 2sin x (1 · 2 · 1cos x − 1 · 1) = 2sin x (2cos x − 1)

Решение простейших тригонометрических уравнений

С вынесением общего множителя за скобку разобрались, возвращаемся к нашему уравнению. Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем несколько вариантов:

2 = 0; sin x = 0 (х = π n , n ∈ Z ); 2cos x − 1 = 0.

Очевидно, что уравнение 2 = 0 корней не имеет (Что за бред вообще?). Второе уравнение мы разобрали сразу, т.к. это был частный случай. Рассмотрим теперь последнее уравнение:

Уравнение решено. Мы разобрали каждый вариант, поэтому других корней не будет.

Отбор корней на отрезке

Переходим ко второй части задачи C1 — отбору корней в отрезке:

И снова предлагаю вашему вниманию небольшое усовершенствование.

Хитрость: отмечаем корни на тригонометрическом круге

Этот прием я разработал совсем недавно вместе со своими учениками. Суть приема проста: чертим тригонометрический круг (в простонародье — радар) и отмечаем на нем наши корни. Сначала — первую группу:

Это одна точка в самом начале круга и еще одна точка, которая диаметрально противоположна исходной.

Теперь отмечаем вторую группу корней:

Поскольку период 2π k — это полный оборот окружности, никаких других точек на тригонометрическом круге точно не появится. Итого получим следующую картинку:

Все, корни мы отметили. Теперь разбираемся с концами отрезка. Давайте перепишем их в таком виде:

По существу, мы просто выделили целую часть — по аналогии с неправильными дробями в арифметике. Отметим эти точки на том же тригонометрическом круге:

Отлично, концы искомого отрезка отмечены. Осталось грамотно отметить сам отрезок. Для этого нужно понять, как он расположен на нашем тригонометрическом круге. И вот тут многие ученики опять допускают ошибку: они путаются, в какую сторону «наматывать» этот отрезок. Ведь существует два варианта — против часовой стрелки (это правильный вариант) и по часовой (соответственно, неправильный):

На самом деле, чтобы никогда больше не путаться, нужно вспомнить основное правило: мы всегда накручиваем углы в сторону, противоположную движению часовой стрелки. Например, если бы мы хотели попасть из точки 0 в точку 2π, мы бы двигались именно против часовой стрелки:

Это правило все прекрасно помнят, когда считают значение тригонометрических функций. Но почему-то забывают, что это правило работает для любых отрезков, а не только в пределах от 0 до 2π. Поэтому еще раз смотрим на наш исходный отрезок, берем его левый конец, т. е. самое маленькое число −7π/2, и идем от него в наш второй конец против часовой стрелки:

Прекрасно, отрезок отмечен. Для того, чтобы выявить интересующие нас корни, давайте продолжим лучи, проходящие через все корни, отмеченные красным, за пределы тригонометрического круга (по сути — до бесконечности). Таких лучей будет 4 штуки.

А теперь берем ручку, ставим ее в самый левый конец отрезка (точку −7π/2) и начинаем двигаться ко второму концу отрезка. Разумеется, мы тут же наткнемся на пересечение нашего отрезка и одного из лучей, отвечающих за корни. Так вот: любое такое пересечение означает, что мы нашли конкретный корень, который лежит на нашем рассматриваемом отрезке.

Возникает вопрос: как найти числовое значение этого корня? Но и тут все очень просто. Давайте подумаем: на какое расстояние нужно шагнуть из точки −7π/2, т. е. из начала нашего отрезка, чтобы попасть на горизонтальный диаметр? Очевидно, что это расстояние равно π/2. Прибавляем к концу нашего отрезка этот самый шаг:

В данном случае получилось, что этот корень уже изначально был отмечен, когда мы отмечали концы нашего отрезка: −7π/2 и −5π/2.

Если мы пойдем дальше, двигаясь из точки -3π к правому концу нашего отрезка, никаких других корней уже не встретим. Получается, что во время обхода мы столкнулись лишь с одним корнем — −3π. В принципе, это и неудивительно: в данной задаче нам попался довольно короткий отрезок, который на тригонометрическом круге занимает лишь половину полного оборота. И так уж получилось, что большинство корней, которые мы получили при решении уравнения, сосредоточены на второй половине нашего круга — в той самой, которую мы вообще не рассматривали.

В общем, не стоить удивляться, когда в процессе отбора корней у нас получился всего лишь один ответ. Это правильный ответ, и приведенный выше рисунок является полноценным тому обоснованием. Следовательно, задача решена полностью:

1. Мы решили само уравнение, последовательно разобравшись с показательным и тригонометрическим уравнением;
2. Затем отобрали те корни, которые лежат на требуемом отрезке, и обосновали этот выбор графически.

Замечание по поводу разложения на множители

Еще один тонкий момент в решении данной задачи состоит в том, что многие ученики неправильно выносят за скобку общие множители. Но это — тема отдельного урока, который вообще не относится к ЕГЭ по математике, поэтому сегодня я коснулся данного вопроса лишь вкратце. Ровно настолько, насколько это необходимо для решения конкретной задачи.

Однако если в сегодняшнем уроке вам все равно что-то непонятно, если вы хотите решать тригонометрию еще лучше, не нужно расстраиваться, просто заходите на мой сайт berdov . com . Там вас ждет еще больше уроков, а также тесты для самостоятельного решения.

Но и это еще не все: на любой странице моего сайта справа вверху есть форма для записи на занятие. Смело заполняйте ее, указывайте свое имя, телефон и хоть немного расскажите о своей математической проблеме. И как только вы нажмете на кнопку «Записаться», буквально через несколько секунд я получу ваше сообщение, и в течение нескольких минут (максимум — нескольких часов) я вам позвоню, и мы обсудим все интересующие проблемы и составим индивидуальную программу обучения, рассчитанную именно на вас.

И вот тогда вы точно убедитесь, что математика — это, на самом деле, легко, что никаких сложных формул и теорем в ней нет. Тем более, в школьном курсе. Пишите, звоните, приходите — и будем заниматься. А у меня на сегодня все. С Вами был Павел Бердов. До новых встреч!

Как решать уравнения с косинусами и синусами в степени

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Методы решения тригонометрических уравнений

Разделы: Математика

Составной частью ЕГЭ являются тригонометрические уравнения.

К сожалению, не существует общего единого метода, следуя которому можно было бы решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. Успех здесь могут обеспечить лишь хорошие знания формул и умение видеть те или иные полезные комбинации, что вырабатывается лишь практикой.

Общая цель обычно состоит в преобразовании входящего в уравнение тригонометрического выражения к такому виду, чтобы корни находились из так называемых простейших уравнений:

Для этого необходимо уметь применять тригонометрические формулы. Полезно знать и называть их “именами”:

1. Формулы двойного аргумента, тройного аргумента:

сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;

sin 2x = 2 sin x cos x;

tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;

ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;

sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x;

cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;

tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);

ctg 3x = (ctg 3 x – 3ctg x)/(3ctg 2 x – 1);

2. Формулы половинного аргумента или понижения степени:

sin 2 x/2 = (1 – cos x)/2; сos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;

tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);

ctg 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);

3. Введение вспомогательного аргумента:

рассмотрим на примере уравнения a sin x + b cos x = c а именно, определяя угол х из условий sin y = b/v(a 2 + b 2 ), cos y = a/v(a 2 + b 2 ), мы можем привести рассматриваемое уравнение к простейшему sin (x + y) = c/v(a 2 + b 2 ) решения которого выписываются без труда; тем самым определяются и решения исходного уравнения.

4. Формулы сложения и вычитания:

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;

sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;

cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;

tg (a + b) = ( tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);

tg (a – b) = ( tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);

5. Универсальная тригонометрическая подстановка:

cos a = (1 – tg 2 (a/2))/(1 + (tg 2 (a/2));

tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));

6. Некоторые важные соотношения:

sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));

cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));

7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;

sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;

tg a + tg b = sin (a + b)/(cos a cos b);

tg a – tg b = sin (a – b)/(cos a cos b).

А также формулы приведения.

В процессе решения надо особенно внимательно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней (например, при сокращении левой и правой частей уравнения на общий множитель), или приобретения лишних корней (например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат). Кроме того, необходимо контролировать принадлежат ли получающие корни к ОДЗ рассматриваемого уравнения.

Во всех необходимых случаях (т.е. когда допускались неэквивалентные преобразования), нужно обязательно делать проверку. При решении уравнении необходимо научить учащихся сводить их к определенным видам, обычно начиная с легких уравнении.

Ознакомимся с методами решения уравнений:

1. Сведение к виду аx 2 + bx + c = 0

2. Однородность уравнений.

3. Разложение на множители.

4. Сведение к виду a 2 + b 2 + c 2 = 0

5. Замена переменных.

6. Сведение уравнения к уравнению с одной переменной.

7. Оценка левой и правой части.

8. Метод пристального взгляда.

9. Введение вспомогательного угла.

10. Метод “ Разделяй и властвуй ”.

1. Решить уравнение: sin x + cos 2 х = 1/4.

Решение: Решим методом сведения к квадратному уравнению. Выразим cos 2 х через sin 2 x

4 sin 2 x – 4 sin x – 3 = 0

sin x = -1/2, sin x = 3/2(не удовлетворяет условию х€[-1;1]),

т.е. х = (-1) к+1 arcsin 1/2 + k, k€z,

Ответ: (-1) к+1 /6 + k, k€z.

2. Решить уравнение: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,

решим способом разложения на множители

2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0,где х /2 + k, k€z,

2 cos x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0

(2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0

2 cos x – 1 = 0 или tg x – 1 = 0

cos x = 1/2, tgx = 1,

т.е х = ± /3 + 2k, k€z, х = /4 + m, m€z.

Ответ: ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.

3. Решить уравнение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0.

Решение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0 однородное уравнение 2 степени. Поскольку cos x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим левую и правую часть на cos 2 х. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg x

tg x = 1 и tg x = 2,

откуда х = /4 + m, m€z,

х = arctg 2 + k, k€z.

Ответ: /4 + m, m€z, arctg 2 + k, k€z.

4. Решить уравнение: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.

Решение: Метод введения новой переменной

Пусть 5х + 6 = у, тогда cos 2у + 42 sin у = 4

1 – 2 sin 2 у + 42 sin у – 4 = 0

sin у = t, где t€[-1;1]

2t 2 – 42t + 3 = 0

t = 2/2 и t = 32/2 (не удовлетворяет условию t€[-1;1])

sin (5x + 6) = 2/2,

5x + 6 = (-1) к /4 + k, k€z,

х = (-1) к /20 – 6/5 + k/5, k€z.

Ответ: (-1) к ?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.

5. Решить уравнение: (sin х – cos у) 2 + 40х 2 = 0

Решение: Используем а 2 +в 2 +с 2 = 0, верно, если а = 0, в = 0, с = 0. Равенство возможно, если sin х – cos у = 0, и 40х = 0 отсюда:

х = 0, и sin 0 – cos у = 0, следовательно, х = 0, и cos у = 0, отсюда: х = 0, и у = /2 + k, k€z, также возможна запись (0; /2 + k) k€z.

Ответ: (0; /2 + k) k€z.

6. Решить уравнение: sin 2 х + cos 4 х – 2 sin х + 1 = 0

Решение: Преобразуем уравнение и применим метод “разделяй и властвуй”

(sin 2 х – 2 sin х +1) + cos 4 х = 0;

(sin х – 1) 2 + cos 4 х = 0; это возможно если

(sin х – 1) 2 = 0, и cos 4 х = 0, отсюда:

sin х – 1 = 0, и cos х = 0,

sin х = 1, и cos х = 0, следовательно

х = /2 + k, k€z

Ответ: /2 + k, k€z.

7. Решить уравнение: sin 5х + sin х = 2 + cos 2 х.

Решение: применим метод оценки левой и правой части и ограниченность функций cos и sin.

– 1 sin 5х 1, и -1 sin х 1

0 cos 2 х 1

0 + 2 2 + cos 2 х 1 + 2

2 2 + cos 2 х 3

sin 5х + sin х 2, и 2 + cos 2 х 2

-2 sin 5х + sin х 2, т.е.

sin 5х + sin х 2,

имеем левая часть 2, а правая часть 2,

равенство возможно если, они оба равны 2.

cos 2 х = 0, и sin 5х + sin х = 2, следовательно

х = /2 + k, k€z (обязательно проверить).

Ответ: /2 + k, k€z.

8. Решить уравнение: cos х + cos 2х + cos 3х+ cos 4х = 0.

Решение: Решим методом разложения на множители. Группируем слагаемые, расположенные в левой части, в пары.

(В данном случае любой способ группировки приводит к цели.) Используем формулу cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2.

2 cos 3/2х cos х/2 + 2 cos 7/2х cos х/2 = 0,

cos х/2 (cos 3/2х + cos 7/2х) = 0,

2 cos 5/2х cos х/2 cos х = 0,

Возникают три случая:

1. cos х/2 = 0, х/2 = /2 + k, k€z, х = + 2k, k€z;
2. cos 5/2х = 0, 5/2х = /2 + k, k€z, х = /5 + 2/5k, k€z;
3. cos х = 0, х = /2 + k, k€z.

Ответ: + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.

Обратим внимание на то, что второй случай включает в себя первый. (Если во втором случае взять к = 4 + 5, то получим + 2n). Поэтому нельзя сказать, что правильнее, но во всяком случае “культурнее и красивее” будет выглядеть ответ: х₁ = /5 + 2/5k, х₂ = /2 + k, k€z. (Вновь типичная ситуация, приводящая к различным формам записи ответа). Первый ответ также верен.

Рассмотренное уравнение иллюстрирует весьма типичную схему решения – разложение уравнения на множители за счёт попарной группировки и использования формул:

sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 cos (a – b)/2;

sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведём решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления лишних (посторонних) корней и методы “борьбы” с ними.

Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнений. Приведём примеры.

9. Решить уравнение: (sin 4х – sin 2х – cos 3х + 2sin х -1)/(2sin 2х – 3) = 0.

Решение: Приравняем нулю числитель (при этом происходит расширение области определения уравнения – добавляются значения х, обращающие в нуль знаменатель) и постараемся разложить его на множители. Имеем:

2 cos 3х sin х – cos 3х + 2sin х – 1 = 0,

(cos 3х + 1) (2 sin х – 1) = 0.

Получаем два уравнения:

cos 3х + 1 = 0, х = /3 + 2/3k.

Посмотрим, какие k нам подходят. Прежде всего, заметим, что левая часть нашего уравнения представляет собой периодическую функцию с периодом 2. Следовательно, достаточно найти решение уравнения, удовлетворяющее условию 0 х 8 х – cos 5 х = 1.

Решение этого уравнения основывается на следующем простом соображении: если 0 t убывает с ростом t.

Значит, sin 8 х sin 2 х, – cos 5 х cos 2 х;

Сложив почленно эти неравенства, будем иметь:

sin 8 х – cos 5 х sin 2 х + cos 2 х = 1.

Следовательно, левая часть данного уравнения равна единице тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:

sin 8 х = sin 2 х, cos 5 х = cos 2 х,

т.е. sin х может принимать значения -1, 0

Ответ: /2 + k, + 2k, k€z.

Для полноты картины рассмотрим ещё пример.

12. Решить уравнение: 4 cos 2 х – 4 cos 2 3х cos х + cos 2 3х = 0.

Решение: Будем рассматривать левую часть данного уравнения как квадратный трёхчлен относительно cos х.

Пусть D – дискриминант этого трёхчлена:

1/4 D = 4 (cos 4 3х – cos 2 3х).

Из неравенства D 0 следует cos 2 3х 0 или cos 2 3х 1.

Значит, возникают две возможности: cos 3х = 0 и cos 3х = ± 1.

Если cos 3х = 0, то из уравнения следует, что и cos х = 0, откуда х = /2 + k.

Эти значения х удовлетворяют уравнению.

Если cos 3х = 1, то из уравнения cos х = 1/2 находим х = ± /3 + 2k. Эти значения также удовлетворяют уравнению.

Ответ: /2 + k, /3 + 2k, k€z.

13. Решить уравнение: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.

Решение: Преобразуем выражение sin 4 x + cos 4 x,выделив полный квадрат: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 х cos 2 х + cos 4 x – 2 sin 2 х cos 2 х = (sin 2 х + cos 2 х) 2 – 2 sin 2 х cos 2 х, откуда sin 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sin 2 2х. Пользуясь полученной формулой, запишем уравнение в виде

1-1/2 sin 2 2х = 7/4 sin 2х.

обозначив sin 2х = t, -1 t 1,

получим квадратное уравнение 2t 2 + 7t – 4 = 0,

решая которое, находим t₁ = 1/2, t₂ = – 4

уравнение sin 2х = 1/2

2х = (- 1) к /6 + k, k€z, х = (- 1) к //12 + k /2, k€z .

уравнение sin 2х = – 4 решений не имеет.

Ответ: (- 1) к //12 + k /2, k€z .

14. Решить уравнение: sin 9х + sin х = 2.

Решение: Решим уравнение методом оценки. Поскольку при всех значениях а выполнено неравенство sin а1,то исходное уравнение равносильно sin х = 1 и sin 9х =1,откуда получаем х = /2 + 2k, k€z и х = /18 + 2n, n€z.

Решением будут те значения х, при которых выполнено и первое, и второе уравнение. Поэтому из полученных ответов следует отобрать только х = /2 + 2k, k€z.

Ответ: /2 + 2k, k€z.

15. Решить уравнение: 2 cos x = 1 – 2 cos 2 x – v3 sin 2х.

Решение: воспользуемся формулой:

сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;

и перепишем уравнение в виде

2 cos x = – cos 2х – 3 sin 2х.

Применим к правой части процедуру введения дополнительного аргумента. Получим уравнение:

2 cos x = – 2 (1/2 cos 2х + 3/2 sin 2х),

которое можно записать в виде

2 cos x = – 2 (cos а cos 2х + sin а sin 2х),

где очевидно, а = /3. Преобразуя правую часть полученного уравнения с помощью формулы:

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;

приходим к уравнению

2 cos x = – 2 cos (2х – /3),

cos x + cos (2х – /3) = 0.

Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение по формуле:

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2,

cos x + cos (2х – /3) = 2 cos (3х/2 – /6) cos (/6 – х/2) = 0

Это уравнение расщепляется на два уравнения

cos (3х/2 – /6) = 0, и

cos (/6 – х/2) = 0,

решение которых уже не представляет сколь нибудь значительных трудностей.

Ответ: 2/9(2 + 3n), 2/3(2 + 3 k), n, k€z.

16. При каких значениях параметра а, уравнение а sin x – 4 cos x = 5, имеет решения?

Решение: преобразуем левую часть уравнения, используя формулу введения дополнительного аргумента:

а sin x – 4 cos x = (а 2 + 16) sin (x – y), где y определяется из условий sin y = – 4/(а 2 + 16), и cos y = а /(а 2 + 16).

Но значение y нас не интересует. Поэтому данное уравнение перепишем в виде

(а 2 + 16) sin (x – y) = 5,

sin (x – y) = 5/(а 2 + 16), это уравнение имеет решение при условии 5/(а 2 + 16) 1.

Решим это неравенство:

5/(а 2 + 16) 1, обе части умножим на (а 2 + 16):

5 (а 2 + 16),

(а 2 + 16) 5,

а 2 + 16 25,

а 2 9, или

а 3, следовательно

а € (-;-3] U [3; ).

Ответ: (-;-3] U [3; ).

17. При каких значениях параметра а, уравнение 2 sin 2 x + 3 cos (x +2 а) = 5, имеет решения?

Решение: поскольку 0 sin 2 x 1, и -1 cos (x +2а) 1 левая часть уравнения может равняться 5 тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства sin 2 x = 1, и cos (x +2 а) = 1.

Это означает, что исходное уравнение равносильно системе уравнений sin 2 x = 1, и cos (x +2 а) = 1.

sin x = – 1, sin x = 1, cos (x +2 а) = 1;

х = /2 + n, n€z, и x +2 а = 2 к, к€z;

х = /2 + n, и x = – 2 а + 2 к;

/2 + n = – 2 а + 2 к;

2 а = 2 к – /2 – n;

а = к – /4 – n/2;

а = – /4 + /2 (2к – n);

а = – /4 + m/2, m€z.

Ответ: – /4 + m/2, где m€z.

Рассмотренные выше примеры лишь иллюстрируют несколько общих рекомендаций, которые полезно учитывать при решении тригонометрических уравнений. Из приведённых примеров видно, что дать общий рецепт в каждом конкретном случае невозможно.

Ежегодно варианты экзаменационных материалов ЕГЭ содержат от 4-х до 6-ти различных задач по тригонометрии. Поэтому параллельно с повторением теоретического материала значительное время должно быть отведено решению конкретных задач, в том числе и тригонометрических уравнений. А умение можно выработать, только получив практические навыки в решении достаточного числа тригонометрических уравнений.