Как найти числовое значение тригонометрического выражения

9. Преобразование числовых и буквенных выражений


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Числовые тригонометрические выражения

(blacktriangleright) Алгоритм применения формул приведения:

Шаг 1: определить, меняется ли функция на кофункцию: [sin
longleftrightarrow cos]
[mathrm{tg} longleftrightarrow mathrm{ctg}]
Шаг 2: определить знак, который имеет изначальная функция, поняв, в какой четверти тригонометрической окружности находится изначальный угол (предполагая, что (alpha) – острый)

(blacktriangleright) Если угол можно представить в виде ((pi npm
alpha))
, где (n) – натуральное, то функция на кофункцию не меняется.
Пример: (sin (pi npm alpha)=bigodot sin alpha), где на месте (bigodot) должен стоять знак синуса для угла ((pi npm alpha))

(blacktriangleright) Если угол можно представить в виде (left(dfrac{pi}2npm alpharight)), где (n) – нечетное число, то функция на кофункцию меняется
Пример: (sin left(dfrac{pi}2npm alpharight)=bigodot cos
alpha)
, где на месте (bigodot) должен стоять знак синуса для угла (left(dfrac{pi}2npm alpharight))

(blacktriangleright) Основные формулы:

[begin{array}{|ccc|}
hline sin^2 alpha+cos^2 alpha =1&& mathrm{tg} alpha cdot
mathrm{ctg}alpha
=1\ &&\
mathrm{tg} alpha=dfrac{sin alpha}{cos alpha}&&mathrm{ctg}
alpha
=dfrac{cos alpha}{sin alpha}\&&\
cos {2alpha}=cos^2 alpha — sin^2 alpha&&cos
{2alpha}=1-2sin^2
alpha\&&\
cos {2alpha}=2cos^2alpha -1&&sin {2alpha}=2sin alpha cos
alpha\
hline
end{array}]


Задание
1

#573

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения (2sin^2 30^circ + cos^2 30^circ).

Используя основное тригонометрическое тождество, исходное выражение можно преобразовать следующим образом: [2sin^2 30^circ + cos^2 30^circ = sin^2 30^circ + (sin^2 30^circ + cos^2 30^circ) = sin^2 30^circ + 1.] Так как (sin 30^circ = 0,5), то значение исходного выражения равно (0,5^2 + 1 = 1,25).

Ответ: 1,25


Задание
2

#2958

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения [dfrac{24}{sin^2127^circ+1+sin^2217^circ}]

Заметим, что (217^circ=90^circ+127^circ). Так как по формуле приведения (sin(90^circ+alpha)=cos alpha), то [sin
217^circ=sin (90^circ+127^circ)=cos 127^circ]
Следовательно, выражение можно переписать в виде: [dfrac{24}{sin^2127^circ+cos^2127^circ+1}=dfrac{24}{1+1}=12,] так как по основному тригонометрическому тождеству (sin^2alpha+cos^2alpha=1) для любого угла (alpha).

Ответ: 12


Задание
3

#2626

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения

[sqrt{48}-sqrt{192}sin^2dfrac{19pi}{12}]

(Задача от подписчиков.)

Заметим, что (192=48cdot 4), следовательно, (sqrt{192}=2sqrt{48}). Таким образом, выражение примет вид (по формуле косинуса двойного угла (cos2x=1-2sin^2x)):

[sqrt{48}left(1-2sin^2dfrac{19pi}{12}right)=
sqrt{48}cdot cosdfrac{19pi}6]

Т.к. (dfrac{19pi}6=dfrac{18pi+pi}6=3pi+dfrac{pi}6), то по формуле приведения:

[sqrt{48}cosleft(3pi+dfrac{pi}6right)=
sqrt{48}cdot left(-cosdfrac{pi}6right)=-sqrt{48}cdot
dfrac{sqrt3}2=-4sqrt3cdot dfrac{sqrt3}2=-6.]

Ответ: -6


Задание
4

#2434

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения

[8left(sindfrac{pi}{12}cosdfrac{pi}{12}-1right)]

По формуле синуса двойного угла (sin2alpha=2sinalphacosalpha) имеем: (sinalphacosalpha=frac12sin2alpha). Следовательно,

[8left(dfrac12sin2cdotdfrac{pi}{12}-1right)=8left(dfrac12sindfrac{pi}6-1right)=
8left(dfrac12cdot dfrac12-1right)=-6.]

Ответ: -6


Задание
5

#2625

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения

[dfrac{32}{sinleft(-dfrac{35pi}4right)cdot cos dfrac{25pi}4}]

(Задача от подписчиков.)

Т.к. синус — нечетная функция, то есть (sin (-alpha)=-sin
alpha)
, то (sinleft(-frac{35pi}4right)=-sin frac{35pi}4).

Заметим, что :

(dfrac{35pi}4=dfrac{36pi
-pi}4=9pi-dfrac{pi}4)
;

(dfrac{25pi}4=dfrac{24pi+pi}4=6pi+dfrac{pi}4).

Таким образом, по формулам приведения:

(sin
dfrac{35pi}4=sinleft(9pi-dfrac{pi}4right)=sindfrac{pi}4)
;

(cos
dfrac{25pi}4=cosleft(6pi+dfrac{pi}4right)=cosdfrac{pi}4)
.

Следовательно, выражение принимает вид:

[dfrac{32}{-sindfrac{pi}4cosdfrac{pi}4}=
-dfrac{32}{dfrac{sqrt2}2cdot dfrac{sqrt2}2}=-64.]

Ответ: -64


Задание
6

#581

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения (dfrac{7sin{11^circ}}{cos{79^circ}}).

Используя формулу приведения (sin(90^circ pm alpha) = cos alpha), исходное выражение можно преобразовать следующим образом: [dfrac{7sin{11^circ}}{cos{79^circ}} = dfrac{7sin{(90^circ — 79^circ)}}{cos{79^circ}} = dfrac{7cos{79^circ}}{cos{79^circ}} = 7.]

Ответ: 7


Задание
7

#1841

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения (dfrac{15}{sin{(-frac{20pi}{3})}
cdot cos{(-frac{43pi}{6})}})
.

Используя формулы приведения, а также четность косинуса и нечетность синуса, исходное выражение можно преобразовать следующим образом: [dfrac{15}{-sin{left(6pi + frac{2pi}{3}right)} cdot
cos{left(7pi + frac{pi}{6}right)}} =
dfrac{15}{-sin{left(frac{2pi}{3}right)} cdot
(-cos{left(frac{pi}{6}right)})} =
dfrac{15}{-frac{sqrt{3}}{2} cdot ({-frac{sqrt{3}}{2})}} = 20.]

Ответ: 20

Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды

Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды

В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.

Как найти значение числового выражения?

Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.

Простейшие случаи

Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами. 

Если в выражении есть только числа и арифметические знаки «+», «·», «-«, «÷», то действия выполняются слева направо в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Приведем примеры.

Пример 1. Значение числового выражения

Пусть нужно найти значения выражения 14-2·15÷6-3.

Выполним сначала умножение и деление. Получаем:

14-2·15÷6-3=14-30÷6-3=14-5-3.

Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:

14-5-3=9-3=6.

Пример 2. Значение числового выражения

Вычислим: 0,5-2·-7+23÷234·1112.

Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:

0,5-2·-7+23÷234·1112=12-(-14)+23÷114·1112

12-(-14)+23÷114·1112=12-(-14)+23·411·1112=12-(-14)+29.

Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:

12-(-14)+29=12+14+29=14+1318=141318.

Искомое значение найдено.

Выражения со скобками

Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.

Пример 3. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 0,5·(0,76-0,06).

В выражении присутствуют скобки, поэтому сначала выполняем операцию вычитания в скобках, а уже потом — умножение.

0,5·(0,76-0,06)=0,5·0,7=0,35.

Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.

Пример 4. Значение числового выражения

Вычислим значение 1+2·1+2·1+2·1-14.

Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним. 

1+2·1+2·1+2·1-14=1+2·1+2·1+2·34

1+2·1+2·1+2·34=1+2·1+2·2,5=1+2·6=13.

В нахождении значений выражений со скобками главное — соблюдать последовательность действий.

Выражения с корнями

Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.

Пример 5. Значение числового выражения

Вычислим значение выражения с корнями -2·3-1+60÷43+3·2,2+0,1·0,5.

Сначала вычисляем подкоренные выражения.

-2·3-1+60÷43=-6-1+153=83=2

2,2+0,1·0,5=2,2+0,05=2,25=1,5.

Теперь можно вычислить значение всего выражения.

-2·3-1+60÷43+3·2,2+0,1·0,5=2+3·1,5=6,5

Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.

Пример 6. Значение числового выражения

Сколько будет 3+13-1-1

Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.

3+13-1=3-1.

Таким образом:

3+13-1-1=3-1-1=1.

Выражения со степенями

Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.

Пример 7. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 23·4-10+161-123,5-2·14.

Начинаем вычислять по порядку.

23·4-10=212-10=22=4

16·1-123,5-2·14=16*0,53=16·18=2.

Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:

23·4-10+161-123,5-2·14=4+2=6.

Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения  с использованием свойств степени.

Пример 8. Значение числового выражения

Вычислим значение следующего выражения: 2-25·45-1+3136.

Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.

2-25·45-1+3136=2-25·225-1+313·6

2-25·225-1+313·6=2-25·22·5-2+32=22·5-2-25+32

22·5-2-25+32=2-2+3=14+3=314

Выражения с дробями

Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения. 

Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.

Пример 9. Значение числового выражения

Найдем значение выражения, содержащего дроби: 3,22-3·7-2·36÷1+2+39-6÷2.

Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.

3,22=3,2÷2=1,6

7-2·36=7-66=16

1+2+39-6÷2=1+2+39-3=66=1.

Перепишем наше выражение и вычислим его значение:

1,6-3·16÷1=1,6-0,5÷1=1,1

Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.

Пример 10. Значение числового выражения

Вычислим выражение 25-1-25-74-3.

Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.

25-1=25+15-15+1=25+15-1=25+24

Исходное выражение принимает вид:

25-1-25-74-3=25+24-25-74-3.

Вычислим значение этого выражения:

25+24-25-74-3=25+2-25+74-3=94-3=-34.

Выражения с логарифмами

Когда в выражении присутствуют логарифмы, их значение, если это возможно, вычисляется с самого начала. К примеру, в выражении log24+2·4 можно сразу вместо log24 записать значение этого логарифма, а потом выполнить все действия. Получим: log24+2·4=2+2·4=2+8=10.

Под самим знаком логарифма и в его основании также могут находится числовые выражения. В таком случае, первым делом находятся их значения. Возьмем выражение log5-6÷352+2+7. Имеем:

log5-6÷352+2+7=log327+7=3+7=10.

Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.

Пример 11. Значение числового выражения

Найдем значение выражения log2log2256+log62+log63+log5729log0,227.

log2log2256=log28=3.

По свойству логарифмов:

log62+log63=log6(2·3)=log66=1.

Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:

log5729log0,227=log5729log1527=log5729-log527=-log27729=-log27272=-2.

Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.

log2log2256+log62+log63+log5729log0,227=3+1+-2=2.

Выражения с тригонометрическими функциями

Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.

Пример 12. Значение числового выражения

Найдите значение выражения: tg24π3-sin-5π2+cosπ.

Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.

tg4π3=3

sin-5π2=-1

cosπ=-1.

Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:

tg24π3-sin-5π2+cosπ=32-(-1)+(-1)=3+1-1=3.

Значение выражения найдено.

Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.

Пример 13. Значение числового выражения

Нужно найти значение выражения cos2π8-sin2π8cos5π36cosπ9-sin5π36sinπ9-1.

Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.

cos2π8-sin2π8cos5π36cosπ9-sin5π36sinπ9-1=cos2π8cos5π36+π9-1=cosπ4cosπ4-1=1-1=0.

Общий случай числового выражения

В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.

Как найти значение выражения
  1. Корни, степени, логарифмы и т.д. заменяются их значениями.
  2. Выполняются действия в скобках.
  3. Оставшиеся действия выполняются по порядку слева направо. Сначала — умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Разберем пример.

Пример 14. Значение числового выражения

Вычислим, чему равно значение выражения -2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2+1+39.

Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?

Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение. 

Первым делом вычислим значение подкоренного выражения 2·sinπ6+2·2π5+3π5+3. Чтобы сделать это, нужно найти значение синуса, и выражения, которое является аргументом тригонометрической функции. 

π6+2·2π5+3π5=π6+2·2π+3π5=π6+2·5π5=π6+2π

Теперь можно узнать значение синуса:

sinπ6+2·2π5+3π5=sinπ6+2π=sinπ6=12.

Вычисляем значение подкоренного выражения:

2·sinπ6+2·2π5+3π5+3=2·12+3=4

Отсюда:

2·sinπ6+2·2π5+3π5+3=4=2.

Со знаменателем дроби все проще:

lne2=2.

Теперь мы можем записать значение всей дроби:

2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2=22=1.

С учетом этого, запишем все выражение:

-1+1+39=-1+1+33=-1+1+27=27.

Окончательный результат:

-2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2+1+39=27.

В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.

Вычисление значений выражений рациональными способами

Вычислять значения числовых нужно последовательно и аккуратно. Данный процесс можно рационализировать и ускорить, используя различные свойства действий с числами. К примеру, известно, что произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. С учетом этого свойства, можно сразу сказать, что выражение 2·386+5+58941-sin3π4·0 равно нулю. При этом, вовсе не обязательно выполнять действия по порядку, описанному в статье выше.

Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел. Не выполняя никаких действий, можно заказать, что значение выражения 56+8-3,789lne2-56+8-3,789lne2 также равно нулю.

Еще один прием, позволяющий ускорить процесс — использование тождественных преобразований таких как группировка слагаемых и множителей и вынесение общего множителя за скобки. Рациональный подход к вычислению выражений с дробями — сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе. 

Например, возьмем выражение 23-15+3·289·343·23-15+3·289·34. Не выполняя действий в скобках, а сокращая дробь, можно сказать, что значение выражения равно 13.

Нахождение значений выражений с переменными

Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных. 

Нахождение значений выражений с переменными

Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.

Пример 15. Значение выражения с переменными

Вычислить значение выражения 0,5x-y при заданных x=2,4 и y=5.

Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:

0,5x-y=0,5·2,4-5=1,2-5=-3,8.

Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.

Например, выражение х+3-х, очевидно, имеет значение 3, и для вычисления этого значения совсем необязательно знать значение переменной икс. Значение данного выражения равно трем для всех значений переменной икс из ее области допустимых значений. 

Еще один пример. Значение выражения xx равно единице для всех положительных иксов. 

Методическое пособие для подготовки учеников к ЕГЭ

Тема: Вычисление и преобразование тригонометрических выражений.

Скворцова Д.А.

1.02.15

hello_html_58a97402.gif hello_html_137ba7fc.gif hello_html_55a7fe44.gif

Содержание

  1. Модуль 1. Теоретическая часть по теме «Тригонометрические выражения»

  2. Модуль 2. Ключевые задачи. Примеры решения задач.

  3. Модуль 3. Задачи для отработки практических навыков.

  4. Модуль 4. Задачи для зачета по данной теме.

  5. Модуль 5. Домашнее задание.

  6. Модуль 6. Варианты ЕГЭ по теме «Вычисление и преобразование тригонометрических выражений»

  7. Модуль 7. Ответы .

  8. Литература

Модуль 1. Теоретическая часть по теме «Тригонометрические выражения»

        1. Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента

Рhello_html_m376656be.pngассмотрим единичную окружность, т.е. окружность с центром в начале координат и радиусом 1.

Def:Синусом числа α называется ордината точки hello_html_7a986aff.gif , образованной поворотом точки hello_html_16526fb7.gif вокруг начала координат на угол α радиан.

Обозначается : hello_html_m2b0dd7ce.gif, т.е. hello_html_m10687fe2.gif – ордината точки hello_html_7a986aff.gif.

Def:Косинусом числа α называется абсцисса точки hello_html_7a986aff.gif, полученной поворотом точки hello_html_16526fb7.gif вокруг начала координат на угол α радиан.

Обозначается: hello_html_333748d3.gif, т.е. hello_html_m6bb5145c.gif – абсцисса точки hello_html_7a986aff.gif.

Синус и косинус определены для любого числа hello_html_7860bddc.gif .

hello_html_m6c00494a.gif, hello_html_6cfff5e9.gif

Def:Тангенсом числа hello_html_7860bddc.gif называется отношение синуса числа hello_html_7860bddc.gif к его косинусу:

hello_html_57cf1f2a.gif

Тангенс определен для всех hello_html_7860bddc.gif, кроме тех значений, при которых hello_html_m1b0b1259.gif, т.е.

hello_html_m26c87b95.gif

Def:Котангенсом числа hello_html_7860bddc.gif называется отношение косинуса числа hello_html_7860bddc.gif к его синусу:

hello_html_5ee7d452.gif

Котангенс определен для все hello_html_7860bddc.gif, кроме тех значений, при которых hello_html_m11507bb2.gif, т.е

hello_html_m7424ebd6.gif

Для окружности произвольного радиуса R определение тригонометрических функций выглядит следующим образом:

hello_html_m8b205ce.gif; hello_html_m20d4f1e0.gif; hello_html_m2c99c6d3.gif; hello_html_m2a9782c0.gif

Если hello_html_m2e3d680d.gif, то справедливы равенства:

hello_html_m29a35284.gif

hello_html_m80e81e.gif

hello_html_m18b96905.gif

hello_html_m6d78483f.gif

Пример 1. Найдите значение выражения:

  1. hello_html_425aa8bc.gif

  2. hello_html_m3289163d.gif

Пример 2. Определите знак выражения:

  1. hello_html_m61395513.gifт.к. hello_html_m46b2b5e5.gif — угол II четверти, то hello_html_34087b4b.gif— угол III четверти, то hello_html_509fce4b.gif.

  2. hello_html_m5762eaae.gif т.к. hello_html_8d328f3.gif — угол II четверти, тоhello_html_m3cb5109d.gif— угол III четверти, то hello_html_m318da659.gif.

        1. Соотношение между тригонометрическими функциями одного аргумента.

Основное тригонометрическое тождество:

hello_html_6888bbc.gif

Следствия:

hello_html_28e65d8.gif

hello_html_m5073fbdf.gif

hello_html_6de84cce.gif

hello_html_6f24153a.gif

hello_html_m6437625c.gif

hello_html_m6054943b.gif

hello_html_4a4ddcd7.gif

hello_html_m72edc719.gif

Пример 1. Могут ли одновременно быть справедливы равенства:

  1. hello_html_m339297c6.gif и hello_html_71254335.gif

Решение:

Так как рассматриваются функции синус и косинус одного и того же аргумента, то должно выполняться основное тригонометрическое тождество:

hello_html_6888bbc.gif, но hello_html_2503cbb0.gif.

Поэтому равенства hello_html_m339297c6.gif и hello_html_m67464446.gif одновременно справедливы, быть не могут (т.к. не выполняется основное тригонометрическое тождество).

  1. hello_html_1615592b.gif и hello_html_71254335.gif

Решение:

Так как рассматриваются функции синус и косинус одного и того же аргумента, то должно выполняться основное тригонометрическое тождество:

hello_html_6888bbc.gif, но hello_html_48b65d60.gif.

Основное тригонометрическое тождество выполняется. Значит, равенства, данные в условии, одновременно справедливы.

Пример 2. Найдите значения тригонометрических функций числа hello_html_7860bddc.gif, зная, что hello_html_m78a88da8.gif и hello_html_363dfbf3.gif.

Решение:

Так как по условию hello_html_363dfbf3.gif, то hello_html_7860bddc.gifпринадлежит II четверти. Поэтому

hello_html_d12b041.gif;

hello_html_1b11eb31.gif

hello_html_41d5db13.gif

        1. Произведение тангенса и котангенса одно и того же аргумента.

hello_html_m6437625c.gif

hello_html_m6054943b.gif

Пример 1. Могут ли быть справедливы равенства:

  1. hello_html_288533d3.gif

  2. hello_html_5ff16682.gif

Решение:

Поскольку hello_html_m4dafc8a.gif, то :

  1. hello_html_35f886c7.gif , равенства справедливы, т.к. выполняется тождество.

  2. hello_html_49dcd14e.gif, равенства не справедливы, т.к. не выполняется тождество.

Пример 2. Упростите:

hello_html_1d760f95.gif

Решение:

Так как hello_html_m27b1b402.gif, то

hello_html_18d7aa22.gif

        1. Зависимость между тангенсом и косинусом одного аргумента.

hello_html_4a4ddcd7.gif

Пример. Упростите: hello_html_m7f0e4e3c.gif

Решение:

hello_html_m62ab15fc.gif

        1. Зависимость между котангенсом и синусом одного аргумента.

hello_html_m72edc719.gif

Пример. Вычислите значения тригонометрических функций, если hello_html_308f2c4b.gif, hello_html_m721878f8.gif— угол IV четверти.

Решение:

Так как hello_html_m721878f8.gif— угол IV четверти, то hello_html_35789a3a.gif, hello_html_m7559817d.gif, hello_html_m47c4cafe.gif.

Известно, что hello_html_599a4845.gif. Отсюда

hello_html_m4cb1c880.gif hello_html_140b2b98.gif hello_html_4beb25f2.gif hello_html_m5f6c5458.gif

Но hello_html_m17017e39.gif поэтому hello_html_m4481ce0c.gif

hello_html_2822b079.gif

hello_html_md88ffb7.gif

        1. Формулы сложения

  1. Синус суммы и разности

Def:Синус суммы двух аргументов равен сумме произведений синуса первого аргумента на косинус второго и косинус первого аргумента на синус второго:

hello_html_ebecd66.gif

Def:Синус разности двух аргументов равен разности произведений синуса первого аргумента на косинус второго и косинус первого аргумента на синус второго:

hello_html_m4d065c8e.gif

Пример1. Вычислите:

  1. hello_html_2114bea3.gif

  2. hello_html_m3b3f8c49.gif

Решение:

  1. hello_html_458bb588.gif

  2. hello_html_71610f8f.gif

Пример 2. Найдите значение выражений:

  1. hello_html_mfafeddb.gif

  2. hello_html_142e2f79.gif

Решение:

  1. hello_html_4bb24c44.gif

  2. hello_html_m16cdf741.gif

  1. Косинус суммы и разности

Def:Косинус суммы двух аргументов равен разности произведений косинуса первого аргумента на косинус второго и синуса первого аргумента на синус второго:

hello_html_5c89502f.gif

Def:Косинус разности двух аргументов равен сумме произведений косинуса первого аргумента на косинус второго и косинус первого аргумента на синус второго:

hello_html_m3e249afd.gif

Пример . Вычислите:

  1. hello_html_7d303dca.gif

  2. hello_html_577c7bf9.gif

Решение:

  1. hello_html_m6c5ee028.gif

  2. hello_html_m54e26a0f.gif

  1. Тангенс и котангенс суммы и разности.

hello_html_m7421e143.gif

hello_html_m4ee46ddd.gif

hello_html_1d22285d.gif

hello_html_46b06ec0.gif

Пример 1. Вычислите:

  1. hello_html_m5809b98c.gif

  2. hello_html_m3f5769d8.gif

Решение:

  1. hello_html_db44591.gif

  2. hello_html_6d82e80f.gif

Пример 2. Докажите тождество:

hello_html_1fa588f6.gif

Доказательство:

hello_html_m184be9e1.gif

Тогда из данного равенства имеем:

hello_html_m20834f5b.gif

        1. Следствия из формул сложения

  1. Синус двойного аргумента

Def: Синус двойного аргумента равен удвоенному произведению синуса и косинуса данного аргумента:

hello_html_739d1bf6.gif

Пример 1. Вычислите:

hello_html_208da40d.gif

Решение:

hello_html_739d1bf6.gif. Найдем hello_html_m5fce267a.gif.

Так как hello_html_m57623add.gif, то hello_html_537a54aa.gifугол III четверти, т.е. hello_html_609b4c2e.gif.

hello_html_m59acb6dd.gif

Итак, hello_html_8619cb0.gif

Пример 2. Вычислите:

hello_html_16eed308.gif

Решение:

hello_html_1df7e651.gif

  1. Косинус двойного аргумента.

Def: Косинус двойного аргумента равен разности квадратов косинуса и синуса данного аргумента.

hello_html_17e9b7a5.gif

Пример . Вычислите:

  1. hello_html_m3253b704.gif

  2. hello_html_m40c55cae.gif

Решение:

  1. hello_html_m79ae6608.gif

  2. hello_html_482b1fd9.gif

  1. Тангенс двойного аргумента.

hello_html_7af4b9c7.gif

Пример. Вычислите:

  1. hello_html_1523fbb7.gif

  2. hello_html_m7c19867f.gif

Решение:

  1. hello_html_m70d788b4.gif

  2. hello_html_m5ebaad7e.gif

        1. Формулы приведения

Def: Тригонометрические функции аргументов hello_html_m60123bb2.gif могут быть выражены через функции аргумента hello_html_m721878f8.gif с помощью формул, которые называются формулами приведения.

Def: Два угла называются дополнительными, если из сумма равна hello_html_25d26630.gif, для них справедливы равенства:

hello_html_m3412cd54.gif

hello_html_mf969a4c.gif

Чтобы облегчить запоминание формул приведения для преобразования выражений вида:

hello_html_m748267dd.gif

удобно пользоваться такими правилами:

  1. перед приведенной функций ставится тот знак, который имеет исходная функция, если hello_html_4d29afde.gif

  2. функция меняется на «кофункцию».

Примеры к этому правилу приведены в таблице.

hello_html_m6dc9d7d6.png

Пример. Найдите значение:

  1. hello_html_m77eb0fd.gif

  2. hello_html_m7f98c18.gif

Решение:

  1. hello_html_6bb775f2.gif

  2. hello_html_3cae4f43.gif

        1. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

hello_html_397e6059.gif

hello_html_69e9cf9b.gif

hello_html_m668cf3c.gif

hello_html_335b635f.gif

hello_html_da85f09.gif

hello_html_2d9cbbbe.gif

hello_html_m67068ba2.gif

hello_html_m2e0fc703.gif

        1. Знаки тригонометрических функций по координатным четвертям.

hello_html_m557a6aa9.png

Модуль 2. Ключевые задачи. Примеры решения задач.

Разделим задачи на блоки:

  1. Нахождение значения выражения.

  2. Нахождение тригонометрических функций, если значение одной известно.

  3. Применение формул приведения и основных тригонометрических преобразований.

  4. Разные задачи.

  1. Нахождение значения выражения.

Пример 1. hello_html_2293a7a0.png

Решение:

Данные значения углов табличные, подставляем и вычисляем:

hello_html_m5a2ee35b.png

Пример 2.

hello_html_m249b1561.png

Решение:

Косинус угла hello_html_69b70a01.gif — это табличное значение. С косинусом угла hello_html_m67e8f12b.gif  поступим следующим образом – выделим период, применим формулу приведения, и далее вычислим:

hello_html_m5143f928.png

Пример 3.

hello_html_m47a4565c.png

Пример 4.

hello_html_m703907e.png

Решение:

Применяем свойство чётности косинуса и нечётности синуса, далее вычисляем:

hello_html_m77d98bcb.png

Пример 5.

hello_html_m583c8e45.png

Решение:

Используем формулу синуса двойного аргумента. Затем выделим период и применим свойство периодичности:

hello_html_1fbc1b81.png

Далее применим свойство нечётности синуса и формулу приведения:

hello_html_m40572b24.png

Пример 6.

hello_html_m18b9146a.png

Решение:

Вынесем за скобку общий множитель и применим формулу косинуса двойного аргумента:

hello_html_m6f351702.png

Далее используем формулу приведения и вычислим:

hello_html_m7db71c3d.png

Пример 7.

hello_html_1fdb2224.png

Решение:

Выделим общий множитель и вынесем его за скобку, затем применим формулу косинуса двойного аргумента:

hello_html_1eb6b2da.png

Далее выделим период, используем свойство периодичности и свойство чётности косинуса, вычисляем:

hello_html_2a7a47a0.png

Пример 8.

hello_html_mb29f9ce.png

Решение:

Выделим общий множитель и вынесем его за скобку, затем применим формулу косинуса двойного аргумента:

hello_html_mbc6e507.png

Далее выделим период и применим формулу приведения:

hello_html_m65ffed86.png

Пример 9.

hello_html_7abebb4d.png

Пример 10.

hello_html_5b3f8f81.png

  1. Нахождение тригонометрических функций, если значение одной известно.

Пример 1.Найдите tg α, если

hello_html_mac7eb19.png

Решение:

В этом и подобных примерах необходимо знать основное тригонометрическое тождество (его вообще нужно помнить всегда), а также формулу тангенса:

hello_html_462ce078.png

Косинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества  мы можем найти значение синуса. Затем подставить их в формулу тангенса.

Теперь важный момент: необходимо определить знак синуса для заданного интервала. Это интервал от 270 до 360 градусов (четвёртая четверть).  Значение синуса в этой четверти отрицательное, поэтому:

hello_html_45547595.png

Таким образом:

hello_html_m5d3ef21a.png

Пример 2. Найдите tg α, если

hello_html_m5a9676ed.png

Решение:

В этом и подобных примерах необходимо знать основное тригонометрическое тождество (его вообще нужно помнить всегда), а также формулу тангенса:

hello_html_a8c2a85.png

Cинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества  мы можем найти значение синуса. Затем подставить их в формулу тангенса.

Определяем знак косинуса для заданного интервала. Это интервал  от 90 до 180 градусов (вторая четверть). Значение косинуса в этой четверти отрицательное. Поэтому

hello_html_2a63da6a.png

Таким образом:

hello_html_538d6c47.png

Пример 3. Найдите 5cos α, если

hello_html_341f49f6.png

Решение:

Необходимо найти косинус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что cos2x = 1– sin2x и

hello_html_603a9600.png

Определим знак косинуса. Угол принадлежит интервалу от 270 до 360 градусов  (четвёртая четверть).  Значение косинуса в этой четверти  положительное, поэтому:

hello_html_6c5960e5.png

Таким образом, 5cos α = 5∙0,7 = 3,5

Пример 4 Найдите 0,1sin α, если

hello_html_2a88f8ea.png

Необходимо найти синус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что sin2x = 1– cos2x  и

hello_html_13bcdb97.png

Определим знак синуса. Угол принадлежит интервалу от 0 до 90 градусов  (первая четверть).  Значение синуса в этой четверти  положительное, поэтому:

hello_html_a16f62a.png

Таким образом 0,1sin α = 0,1∙0,3 = 0,03

Пример 5. Вычислить hello_html_21867df5.gif, если hello_html_m5ff1cc52.gif.

Решение:

Так как hello_html_m4d89e345.gif. Воспользовавшись формулой hello_html_1ba9f17b.gif, получаем hello_html_m7d347f9f.gif. При hello_html_m3ccae9b.gif будет hello_html_731fbaa3.gif Поэтому hello_html_m10738a74.gif.

Пример 6. Известно, что

hello_html_m2fd3bd2b.gif
Найдите hello_html_73f26df8.gifhello_html_m2eaf28b4.gif,  hello_html_2778fe56.gif
Решение:  Поскольку из условия задачи следует неравенство hello_html_m23b9dfa9.gif
то, учитывая знак синуса, находим, что точка P принадлежит 4-й четверти. Поэтому 

hello_html_m5e75c4d1.gif

hello_html_m5ad05695.gif

hello_html_m35af73f7.gif

Пример 7. Известно, что hello_html_2b71bc31.gif. Найдите hello_html_76c98b00.gif

Решение:

hello_html_471ad677.gif

Учитывая знак тангенса и условие задачи 

hello_html_4843a1b.gif

находим, что точка P принадлежит 4-й четверти. Поэтому 

hello_html_4464c2d5.gif

hello_html_m20beb97c.gif

Пример 8. Известно, что hello_html_629476df.gif. Найдите hello_html_m6638c860.gif

Решение:

Из условия 3 <  < 2 и неравенства sincos > 0 следует, что точка P принадлежит 3-й четверти. Следовательно, sin+cos < 0.

Кроме того, hello_html_3afb245c.gif

Поэтому hello_html_1f892680.gif

Пример 9. Известно, что hello_html_59f25c33.gif. Найдите hello_html_m337b1034.gif

Решение: Возведем обе части данного равенства в квадрат: 

hello_html_1cd217.gif

Пример 10.

hello_html_m3fe389c8.png

Решение:

hello_html_5dd8c57f.png

  1. Применение формул приведения и основных тригонометрических преобразований.

Пример 1. Найдите значение выражения

hello_html_57b19e6b.png

Решение:

Используем формулу синуса двойного аргумента:

hello_html_m1105b87.png

Выражение в числителе «сворачиваем»:

hello_html_e4bf8d4.png

Второй путь: можно было использовать эту же формулу преобразовав знаменатель.

hello_html_53cf8fe1.png

Пример 2. Найдите значение выражения

hello_html_309cc30.png

Для решения этого примера достаточно знать формулу косинуса двойного аргумента:

hello_html_m58d67621.png

Преобразуем знаменатель:

hello_html_m3c4cc06f.png

Пример 3. Найдите значение выражения

hello_html_6e3bab0f.png

В данном случае 63 градуса представляем как разность 900 – 270

hello_html_65a5feb3.png

Пример 4. Найдите значение выражения

hello_html_7f3ab0bb.png

Представим 1000 как разность 3600 – 2600,  применим свойство периодичности нечётности синуса:

hello_html_m4af6734.png

Пример 5. Найдите значение выражения

hello_html_2c320a07.png

Используем формулу приведения косинуса. Представим 1530 как разность 1800– 270:

hello_html_ac5fd6.png

Пример 6. Найдите значение выражения

hello_html_m5de2790d.png

Используем формулу приведения для тангенса. Представим 1480 как разность 1800 – 320:

hello_html_m5313d625.png

Пример 7. Найдите значение выражения

hello_html_47313281.png

Представим 3730 как сумму 3600 + 130,  используем свойство периодичности:

hello_html_2adab332.png

Пример 8. Найдите значение выражения

hello_html_16d78a5d.png

Используем формулы приведения:

hello_html_m655c36cc.png

Применили формулу тригонометрии:

hello_html_m57c4dcfd.png

Пример 9.  Найдите значение выражения

hello_html_m7bfd4d98.png

Применяем формулу синуса двойного аргумента в числителе, и формулу приведения в знаменателе:

hello_html_mbda5798.png

Пример 10. Найдите значение выражения

hello_html_49265c11.png

Применяем формулу синуса двойного аргумента:

hello_html_ma0f99df.png

Пример 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

hello_html_m535d988e.png

Используем формулу приведения и основное тригонометрическое тождество:

hello_html_m1e7e1582.png

Пример 12. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

hello_html_m2feebc2c.png

Косинус функция чётная, то есть

hello_html_616884ac.png

Её период равен 2Пn, то есть

hello_html_5fd3c86d.png

Значит

hello_html_6a381ffb.png

Используем формулу приведения для косинуса:

hello_html_475dcacf.png

  1. Различные задачи.

  1. Задача. («Ломоносов»,2007 ) Вычислите: hello_html_4335ec42.gif, если hello_html_m50cb0834.gif

Решение:

Обозначим искомую величину за x. Раскрывая скобки, получим:

hello_html_m60d34fe8.gif

Слагаемые сгруппированы так , чтобы получились формулы.

hello_html_6a3cce92.gif

  1. Задача. (МГУ, ф-т почвоведения, 2008) Вычислите hello_html_35fc9843.gif, если

hello_html_15c37e3b.gif.

Решение:

Поскольку hello_html_m75486e0.gif положителен и hello_html_m34dd5479.gif, угол hello_html_m69964a8a.gif— угол II четверти: hello_html_m15242bf2.gif. Значит, его косинус отрицателен:

hello_html_35676bb0.gif

Отсюда hello_html_m2e8e2c7f.gif

  1. Задача. (МГУ, ф-т почвоведения, 2000) Найдите

  1. hello_html_4c4fbb58.gif

  2. hello_html_m7f083e87.gif, если известно, что hello_html_m3040b52d.gif

Решение:

Имеем: hello_html_m6f0cda13.gif hello_html_4fac128d.gif

Разделив последние два равенства, друг на друга получим:

hello_html_mbac21ad.gif

Теперь возведем последние два равенства в квадрат и сложим:

hello_html_53fe78d.gif

Модуль 3. Задачи для отработки практических навыков.

  1. Нахождение значения выражения.

  1. Вычислите hello_html_m79c1c97b.gif

  2. Вычислите hello_html_m95e07ec.gif

  3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m73fce0bd.png.

  4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_34feab98.png.

  5. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_3fb13bab.png.

  6. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m96ccb0.png.

  7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_47b20d8f.png.

  8. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m124d5a73.png.

  9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m57f87c14.png.

  10. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m3687503d.png.

  11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_40020042.png.

  12. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_1e09e7a1.png.

  13. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_41e412aa.png.

  14. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m5fc23318.png.

  15. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m1fc696cb.png.

  16. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m5e4ba97a.png.

  17. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: hello_html_33431fb6.png.

  18. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m34d93c3e.png.

  19. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m691f98bc.png.

  20. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m592c0ddc.png.

  21. Най­ди­те hello_html_328d4679.png, если hello_html_m7e8ca007.png.

  22. hello_html_4027d1c2.png

  23. hello_html_m15508a81.png

  24. hello_html_74afccf8.png

  25. hello_html_m275c0f51.png

  26. hello_html_53693dc9.png

  1. Нахождение тригонометрических функций, если значение одной известно.

  1. Найдите hello_html_65703ab8.gif, если hello_html_148d01a4.gif

  2. («Ломоносов», 2007) Вычислите: hello_html_4331c6f6.gif, если

    1. hello_html_m558f53e.gif

  3. (МГУ, ф-т гос.управления,2010) Найдите hello_html_m60af1226.gif и hello_html_m43bc8c29.gif, если известно, что hello_html_m6b9378cb.gifа hello_html_516f767b.gif

  4. Най­ди­те hello_html_m32c2a545.png, если hello_html_722e3bc3.pngи hello_html_m769bbe1a.png.

  5. Най­ди­те hello_html_m32c2a545.png, если hello_html_m32c7510b.pngи hello_html_4c7553c3.png

  6. Най­ди­те hello_html_143d8a0b.png, если hello_html_4e2f9173.pngи hello_html_m769bbe1a.png.

  7. Най­ди­те hello_html_m52ac9134.png, если hello_html_13f11eda.pngи hello_html_m769bbe1a.png.

  8. Най­ди­те hello_html_5b48d948.png, если hello_html_m56c38af6.png.

  9. Най­ди­те hello_html_m247f3b1c.png, если hello_html_m4c52a8dd.png

  10. Най­ди­те hello_html_m32c2a545.png, если hello_html_m2600f20.png.

  11. Най­ди­те hello_html_m32c2a545.png, если hello_html_5c97cec9.png.

  12. Най­ди­те hello_html_5205b3c2.png, если hello_html_75b96bdd.png.

  13. Най­ди­те hello_html_m359ddb79.pngесли hello_html_a8d875e.pngи hello_html_m1b3ef643.png

  14. Най­ди­те hello_html_m359ddb79.pngесли hello_html_m36213fe2.pngи hello_html_m1b3ef643.png

  15. hello_html_m11422cfb.png

  16. hello_html_m36ee16f2.png

  17. hello_html_1d873494.png

  18. hello_html_129f3597.png

  19. hello_html_7efe759f.png

  20. hello_html_316ed394.png

  21. hello_html_m3c50e534.png

  22. hello_html_m55f04a5b.png

  1. Применение формул приведения и основных тригонометрических преобразований.

  1. Най­ди­те hello_html_m7598ce08.png, если hello_html_m6920824f.png.

  2. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_4e810c66.png, если hello_html_a0324f8.png.

  3. Най­ди­те hello_html_m21493b98.png, если hello_html_m6bb2b5e1.pngи hello_html_m2e1a2074.png.

  4. Най­ди­те hello_html_6ef8d575.png, если hello_html_m6855685d.pngи hello_html_m769bbe1a.png.

  5. Най­ди­те hello_html_m5a4513db.png, если hello_html_49fc60b1.png

  6. Най­ди­те hello_html_65ab2f6c.png, если hello_html_m21b2df42.png.

  7. Най­ди­те hello_html_m7195c03f.png, если hello_html_6e373842.png.

  8. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_30f24acd.png, если hello_html_601d0525.png.

  9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_1b12578a.png, если hello_html_c4bd1bb.png.

  10. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m2448f18b.png.

  11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m7b2beb3e.png.

  12. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m25c301d3.png.

  13. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_281d258c.png.

  14. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_1c862ee9.png.

  15. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m5cf8e0eb.png.

  16. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_34fab0.png.

  17. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m5f42af92.png.

  18. hello_html_m4f6076fa.png

  19. hello_html_1224b13.png

  20. hello_html_71f462ff.png

  21. hello_html_med17f54.png

hello_html_ma9a6e2c.png

  1. Разные задачи.

  1. Докажите тождество: hello_html_m45e878bb.gif

  2. Покажите, что: hello_html_m4ea7a8db.gif

  3. Докажите: hello_html_7c61f72.gif

  4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_20998673.png.

  5. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_20998673.png.

Модуль 4. Задачи для зачет по данной теме.

Зачет № 1. Нахождение значения выражения.

Найдите значения выражений:

  1. hello_html_m40530d75.png

  2. hello_html_m4b709641.png

  3. hello_html_m30c7782d.png

  4. hello_html_3a8d7314.png

  5. hello_html_m7e0fc36a.png

  6. hello_html_666e2811.png

  7. hello_html_11b154d4.png

  8. hello_html_29616562.png

  9. hello_html_435fbd94.png

Зачет №2 Нахождение тригонометрических функций, если значение одной известно.

Найдите значение если известно:

  1. Найдите  tg2 α, если hello_html_271b9108.png

  1. Найдитеhello_html_m71e44ab5.png

  1. Найдитеhello_html_78bfc5e9.png

  1. Найдите tg α, еслиhello_html_1e2b4c7.png

  1. Найдите tg α, еслиhello_html_m774e940e.png

  1. Найдите 24cos2α, если sinα = – 0,2. 

  2.  Найдите 9cos2α, если cosα = 1/3

  1. Найдите hello_html_614f72af.png

  1. Найдите значение выраженияhello_html_m655d9e8b.png

  1. Найдите hello_html_m59730d66.png

Зачет №3 Применение формул приведения и основных тригонометрических преобразований.

  1.  Найдите значение выраженияhello_html_m4271984e.png

  1. Найдите значение выраженияhello_html_m15b434ef.png

Найдите значение выраженияhello_html_847a2da.png

  1. Найдите значение выраженияhello_html_m3212654e.png

  1. Найдите значение выраженияhello_html_7ec45120.png

  1. Найдите значение выраженияhello_html_7ec4c9eb.png

  1. Найдите значение выраженияhello_html_m505a45c0.png

  1. Найдите значение выраженияhello_html_m332db878.png

  1. Найдите значение выраженияhello_html_61bf2803.png

  1. Найдите значение выраженияhello_html_m1043df95.png

  2. Найдите значение выраженияhello_html_62383331.png

  3. Найдите значение выраженияhello_html_29185c44.png

  4. Найдите значение выраженияhello_html_5e69f126.png

Модуль 5. Домашнее задание.

1.Упростите выражения:

  1. hello_html_55e675ba.png

  2. hello_html_m575e5b92.png

  3. hello_html_mcb7a2fb.png

  4. hello_html_m48341efd.png

  5. hello_html_m6bc152ed.png

  6. hello_html_m90da6be.png.

2. Вычислите:

  1. hello_html_mab5c707.png

  2. hello_html_55fc617d.png;

  3. hello_html_1104f139.png;

  4. hello_html_m1d319af2.png;

  5. hello_html_33bd357f.png

3. Известно, что sin α – cos α = 0,3. Найти:

  1. sin2α;

  2. sin4α + cos4α;

  3. sin6α + cos6α.

4.Найти tg α, если hello_html_5b0904e7.png

5. Вычислить cos α, если cos2α = 3/4 и hello_html_m6db5bbc9.png

6. Найти значение выражения: hello_html_m45e4c600.png

7. Вычислить sin10º sin30º sin50º sin70º .

8. Упростить выражение: hello_html_6a5d7ffa.png.

9. Доказать тождество при hello_html_103f9ae7.png

10. Найти значение следующих тригонометрических выражений: sin 2α, cos 2α, tg 2α, если hello_html_4f4a2860.png

11.* Вычислить значение выражения:hello_html_1d3f72bf.png

Модуль 6. Варианты ЕГЭ по теме «Вычисление и преобразование тригонометрических выражений»

Вариант 1

Вопрос 1. Найдите значение выражения hello_html_m77027.png

Вопрос 2. Найдите значение выражения hello_html_79f2aa6e.png

Вопрос 3. Найдите значение выражения hello_html_m40a71fd9.png

Вопрос 4. Найдите значение выражения hello_html_m6ad9d406.png

Вопрос 5. Найдите значение выражения hello_html_5025f205.png

Вопрос 6. Найдите значение выражения hello_html_m4f4f7e57.png

Вариант 2

  1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_1186f6bb.png, если hello_html_m11930c3.png.

  2. Най­ди­те hello_html_m6f747d5e.png если hello_html_m6a9a3a1.png и hello_html_59b90822.png

  3. Най­ди­те hello_html_m5fc9554f.png, если hello_html_m73d342e2.png.

  4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m1fa16624.png.

  5. Най­ди­те hello_html_5af015e5.png, если hello_html_6d54f9d2.png.

  6. Най­ди­те hello_html_m71c32de6.png, если hello_html_m6aba02de.png.

  7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m62c5daa0.png

  8. Най­ди­те hello_html_23629670.png, если hello_html_m3d392796.png.

  9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m63bcd50c.png.

  10. Най­ди­те hello_html_m18107740.png, если hello_html_m281c8740.png.

Вариант 3

  1.  Най­ди­те hello_html_m3ce1150c.png, если hello_html_m5c34b17f.png и hello_html_m5153d7ee.png.

  2. Най­ди­те hello_html_37940b48.png, если hello_html_3f7a59e1.png и hello_html_122b9cbf.png.

  3. Най­ди­те hello_html_4ff0f08f.png, если hello_html_m19ec8058.png.

  4. Най­ди­те hello_html_5af015e5.png, если hello_html_1f52af75.png и hello_html_m341b30cc.png

  5. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m508c5e09.png.

  6. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_1f09aa63.png.

  7. Най­ди­те hello_html_56f86523.png если hello_html_76c48852.png и hello_html_a32ecc8.png

  8. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_mfe2eb05.png

  9. Най­ди­те hello_html_m18107740.png, если hello_html_m281c8740.png.

  10. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: hello_html_6aac043.png.

Вариант 4.

А1. Упростите выражение: 7cos2hello_html_284e617c.gif– 5 + 7sin2hello_html_284e617c.gif

1) 1 + cos2hello_html_284e617c.gif; 2) 2; 3) –12 ; 4) 12.

А2. Найдите значение выражения hello_html_4fae5587.gif

1) 0; 2) 2 ; 3) –1 ; 4) –2.

А3. Найдите значение выражения hello_html_m59125073.gif при hello_html_m3ab3b208.gif

1) 1 ; hello_html_m3e1bf3f2.gif

А4. Упростите выражение: sinhello_html_6cc2e794.gifcoshello_html_61661d9.gif + sinhello_html_61661d9.gifcoshello_html_6cc2e794.gifcoshello_html_314b911d.gif

hello_html_m7b26aea3.gif

А5. Упростите выражение: hello_html_m32bd23df.gif

hello_html_m4b20d3e9.gif ; hello_html_m4e5c40c5.gif

А6. Найдите hello_html_21867df5.gif,если hello_html_m46e59355.gif, hello_html_m1f021a20.gif

hello_html_m38878294.gif

А7. Найдите значение выражения

hello_html_35b10532.gif 1) 1; 2) hello_html_m3a8eef7e.gif

А8. Упростите выражение: hello_html_74e118e2.gif 1) 0; 2) –1; 3) hello_html_m980c3de.gif; 4) 2hello_html_m980c3de.gif

Вариант 5.

А1. Упростите выражение: cosx + tgx hello_html_m6578c62.gifsinx

1) 1; 2) 2cosx; 3) cosx + sinx; 4)hello_html_m7da3f216.gif

А2. Найдите значение выражения hello_html_593d2943.gif

1) 0,5 ; 2) –4 ; 3) 4hello_html_m980c3de.gif; 4) –4hello_html_m980c3de.gif.

А3. Найдите значение выражения hello_html_m4b50004f.gif

hello_html_3a0e8d65.gif

А4. Упростите выражение: hello_html_66a5cafa.gif

hello_html_5c5afa9b.gif

А5. Упростите выражение: hello_html_m63acffc0.gif

hello_html_56403fe7.gif

А6. Найдите hello_html_21867df5.gif,если hello_html_m10583bb.gif, hello_html_m5913a361.gif

hello_html_1c275f33.gif

А7. Найдите значение выражения

hello_html_21e9145a.gifhello_html_47da7301.gif

А8. Упростите выражение: hello_html_28e5c4b0.gif 1) 1; 2) 0,5 ; 3) –4 ; 4) hello_html_m980c3de.gif.

Модуль 7. Ответы .

  1. Модуль 3.

темы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

0,5

-0,5

6

-24

36

2

-16

-6

6

18

-12

-5

7

12

2

0,69

-0,5

hello_html_m61c4a4f4.gif

-3

5

1

-1

22,08

7

8

2,25

-7

-0,2

-0,75

3

4,2

-28

0,6

-10

-2,5

-9

5

3

4

5

-14

-4

-5

14

4

2

1

темы

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

1

6

12

-3

-1,5

-1,5

-1,5

31,96

2

12

36

-1,5

-13

2

-0,4

2,25

-9

8

2

-0.68

1,75

-0,25

3

10

10

2

4

3

-24

-104

5

4

  1. Модуль 4. Задачи для зачета по данной теме.

  1. Зачет №1: 1) 36, 2) 2, 3) -16, 4) -12, 5) 2, 6) -1,5, 7) -1,5, 8) 2, 9) 1

  2. Зачет №2: 1) 7, 2)-9, 3) 5, 4)8, 5)2, 6) 22,08, 7)-7, 8)4, 9)3 10)10

  3. Зачет №3: 1)6, 2)-24, 3)5, 4)-14, 5)-4, 6)-5, 7)14, 8)-5, 9)10, 10) -3, 11)-6, 12)6, 13)18

  1. Модуль 5. Домашнее задание.

№ задания

ответ

№ задания

ответ

1

а) hello_html_m55e14bc1.gif, b)hello_html_m1e4239b.gif, c)hello_html_m1e4239b.gif, d)0, e)1, f)hello_html_m2cbe8333.gif

7

hello_html_39a7ecce.png,

2

a)0,

b)1 ,

с)hello_html_m6ecc112f.gif, d)hello_html_m4919e35a.gif, e)hello_html_m6706f971.gif

8

hello_html_4b256ce1.png

3

a)0,91

b)0,545 c)0,3175

9

4

7

10

hello_html_m24fd83a2.png

5

hello_html_m6694022f.png

11

0

6

1

4. Модуль 6. Варианты ЕГЭ по теме «Вычисление и преобразование тригонометрических выражений»

№ варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

0,5

-17

22

6

4

2

12,8

-0,8

0,25

36

8

2

-1

5

22

-5

3

-1

0,7

11,08

-0,5

-34

44

-1/5

-30

-7

-7

4

2

4

1

2

1

2

2

4

5

4

1

2

4

1

4

4

4

Литература.

  1. http://alexlarin.net

  2. http://reshuege.ru

  3. http://fipi.ru

  4. http://www.matematikvn.ru/ege-oge/ege-avtorskie-materialy.php

  5. http://xn—-etbbfc5ae1a3k.xn--p1ai/?level=trigonometricheskie-vyrazheniya

  6. http://matematikalegko.ru/vichislnie-viragenii/trigonometricheskie-vyrazheniya-chast-6.html

  7. ЕГЭ 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В/ А.Л.Семенов, И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, М.А. Посицельская, С.Е. Посицельский, С.А.Шестаков, Д.Е.Шноль, П.И. Захаров, А.В. Семенов, В.А. Смирнов; под редакцией А.Л Семенова, И.В. Ященко – 3 изд. перераб. и доп. – М. Издательство «Экзамен», 2012.-543,(1) с.

  8. Математика. Подготовка к ЕГЭ- 2014 учебно- методическое пособие/ Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов – на- Дону: Легион-М, 2013-416с. – («Готовимся к ЕГЭ»)

  9. ЕГЭ 2008. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Под редакцией Семенов П.В., Краснянская К. А. и др. ФИПИ-М.:Интелект-Центр, 2007.-240с.

  10. ЕГЭ-2008:математика:реальные задании/ авт.-сост. В.В.Кочагин, Е.М. Бойченко, Ю.А.Глазков и др. – М.: АСТ: Астрель, 2008. – 125,[3] с. – (ФИПИ)

Тригонометрические функции любого угла и определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса:

Отметим на оси х справа от начала координат точку А и проведем через нее окружность с центром в точке О (рис. 64). Радиус OA будем называть начальным радиусом.

Повернем начальный радиус около точки О на 70° против часовой стрелки. При этом он перейдет в радиус ОВ. Говорят, что угол поворота равен 70°. Если повернуть начальный радиус около точки О на 70° по часовой стрелке, то он перейдет в радиус ОС. В этом случае говорят, что угол поворота равен —70°. Углы поворота в 70° и —70° показаны стрелками на рисунке 64.

Тригонометрические выражения

Вообще при повороте против часовой стрелки угол поворота считают положительным, а при повороте по часовой стрелке — отрицательным.

Из курса геометрии известно, что мера угла в градусах выражается числом от 0 до 180. Что касается угла поворота, то он может выражаться в градусах каким угодно действительным числом от Тригонометрические выражения Так, если начальный

Тригонометрические выражения

радиус повернуть против часовой стрелки на 180°, а потом еще на 30°, то угол поворота будет равен 210°. Если начальный радиус сделает полный оборот против часовой стрелки, то угол поворота будет равен 360°; если он сделает полтора оборота в том же направлении, то угол поворота будет равен 540° и т. д. На рисунке 65 стрелками показаны углы поворота в 405° и -200°.

Рассмотрим радиусы OA и ОВ (рис. 66). Существует бесконечно много углов поворота, при которых начальный радиус OA переходит в радиус ОВ. Так, если Тригонометрические выражения то соответствующие углы поворота будут равны 130° + 360°n, где n — любое целое число. Например, при n = 0, 1, —1, 2, —2 получаем углы поворота 130°, 490°, —230°, 850°, —590°.

Пусть при повороте на угол а начальный радиус OA переходит в радиус ОВ. В зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус ОВ, угол а называют углом этой четверти. Так, если 0° < а < 90°, то а — угол I четверти; если 90° < а <180°, то а — угол II четверти; если 180° < а < 270°, то а — угол III четверти; если 270° < а < 360°, то а — угол IV четверти. Очевидно, что при прибавлении к углу целого числа оборотов получается угол той же четверти. Например, угол в 430° является углом I четверти, так как 430° = 360°+ 70° и 0°<70°<90°; угол в 920° является углом III четверти, так как Тригонометрические выражения200° < 270°.

Углы Тригонометрические выражения не относятся ни к какой четверти.

В курсе геометрии были определены синус, косинус и тангенс угла а при Тригонометрические выражения Теперь мы распространим эти определения на случай произвольного угла а. Кроме того, определим еще котангенс угла а, который обозначают ctg а.

Пусть при повороте около точки О на угол а начальный радиус OA переходит в радиус ОВ (рис. 67).

Тригонометрические выражения

Синусом угла а называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.

Косинусом утла а называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.

Тангенсом угла а называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.

Котангенсом угла а называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.

Если координаты точки В равны х и у, а длина начального радиуса равна R, то

Тригонометрические выражения

В курсе геометрии было показано, что значения синуса, косинуса и тангенса угла а, где Тригонометрические выражения зависят только от а и не зависят от длины радиуса R. И в общем случае sin а, cos a, tg а, а также ctg а зависят только от угла а.

Покажем, например, что sin а не зависит от R.

Пусть при повороте луча Тригонометрические выражения около точки О на угол а (рис. 68) радиусы Тригонометрические выражения займут положения Тригонометрические выраженияОбозначим координаты точки Тригонометрические выражения а координаты точки Тригонометрические выражения

Опустим перпендикуляры из точек Тригонометрические выраженияна ось х. Прямоугольные треугольники Тригонометрические выражения подобны. Отсюда

Тригонометрические выражения

Так как точки Тригонометрические выражения принадлежат одной и той же координатной четверти, то их ординаты Тригонометрические выражения имеют одинаковые знаки. Поэтому Тригонометрические выражения

Заметим, что это равенство верно и в том случае, когда точки Тригонометрические выражения попадают на одну из осей координат. Таким образом, для любого угла а отношение Тригонометрические выражения не зависит от длины радиуса R.

Выражения sin а и cos а определены при любом а, так как для любого угла поворота можно найти соответствующие значения дробей Тригонометрические выражения Выражение tg а имеет смысл при любом а, кроме углов поворота Тригонометрические выражения так как для этих углов не имеет смысла дробь Тригонометрические выражения Для выражения ctg а исключаются углы 0°, ±180°, ±360°, для которых не имеет смысла дробь Тригонометрические выражения

Каждому допустимому значению а соответствует единственное значение sin a, cos а, tg а и ctg а. Поэтому синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями угла а. Их называют тригонометрическими функциями.

Можно доказать, что областью значений синуса и косинуса является промежуток [—1; 1], а областью значений тангенса и котангенса — множество всех действительных чисел.

Приведем примеры вычисления значений тригонометрических функций.

Пример:

Найдем с помощью чертежа приближенные значения sin 110°, cos 110°, tg 110° и ctg 110°.

Начертим окружность с центром в начале координат и радиусом OA = R = 3 (рис. 69). Повернем радиус OA на 110°. Получим радиус ОВ. Найдем по рисунку координаты х и у точки В: Тригонометрические выражения Отсюда

Тригонометрические выражения
Тригонометрические выражения
Тригонометрические выражения

В таблице приведены известные из курса геометрии значения синуса, косинуса и тангенса углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90°. Прочерк сделан в том случае, когда выражение не имеет смысла.

Тригонометрические выражения

Значения котангенса могут быть получены из значений тангенса, так как котангенс угла является числом, обратным тангенсу этого же угла. Поэтому, например,

Тригонометрические выражения

Пример:

Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс углов 180° и 270°.

При повороте на 180° около точки О радиус OA, равный 1, (рис. 70) переходит в радиус ОВ, а при повороте на 270° — в радиус ОС.

Тригонометрические выражения

Так как точка В имеет координаты х = — 1 и у = 0, то

Тригонометрические выражения

Так как точка С имеет координаты х = 0 и у = —1, то

Тригонометрические выражения

Напомним, что выражения ctg 180° и tg 270° не имеют смысла.

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Рассмотрим некоторые свойства тригонометрических функций.

Выясним сначала, какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей.

Пусть при повороте радиуса OA, равного R, на угол а точка А перешла в точку В с координатами х и у (см. рис. 67).

Так как Тригонометрические выражения то знак sin а зависит от знака у.

В I и II четвертях у > 0, а в III и IV четвертях у < 0. Значит, sin a > 0, если а является углом I или II четверти, и sin a < 0, если а является углом III или IV четверти.

Знак cos а зависит от знака х, так как Тригонометрические выражения В I и IV четвертях х > 0, а во II и III четвертях х < 0. Поэтому cos a > 0, если а является углом I или IV четверти, и cos a<0, если a является углом II или III четверти.

Так как Тригонометрические выражения то знаки tg а и ctg а зависят от знаков х и у. В I и III четвертях хну имеют одинаковые знаки, а во II и IV — разные. Значит, tg a > 0 и ctg a > 0, если а является углом I или III четверти; tg a < 0 и ctg a < 0, если а является углом II или IV четверти.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в каждой из четвертей показаны на рисунке 73.

Тригонометрические выражения

Выясним теперь вопрос о четности и нечетности тригонометрических функций.

Пусть при повороте на угол а радиус OA переходит в радиус ОВ, а при повороте на угол — а в радиус ОС х (рис. 74). Соединив отрезком точки В и С, получим равнобедренный треугольник ВОС. Луч OA является биссектрисой угла ВОС. Значит, отрезок ОК является медианой и высотой треугольника ВОС. Отсюда следует, что точки В и С симметричны относительно оси абсцисс.

Тригонометрические выражения

Пусть координаты точки В равны х и у, тогда координаты точки С равны х и -у. Пользуясь этим, найдем, что

Тригонометрические выражения

Мы получили формулы, выражающие зависимость между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов:

Тригонометрические выражения

Например:

Тригонометрические выражения

Итак, синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, а косинус является четной функцией.

Рассмотрим еще одно свойство тригонометрических функций.

Если при повороте радиуса OA на угол а получен радиус ОВ (см. рис. 67), то тот же радиус получится и при повороте OA на угол, отличающийся от а на целое число оборотов. Отсюда следует, что при изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются.

Например:

Тригонометрические выражения

Рассмотренные свойства позволяют свести нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к нахождению их значений для неотрицательного угла, меньшего 360°.

Пример:

Найдем sin 765° и cos ( — 1170°). Имеем:

Тригонометрические выражения

Радианная мера угла. Вычисление значении тригонометрических функции с помощью микрокалькулятора

Как известно, углы измеряются в градусах, минутах, секундах. Эти единицы измерения связаны между собой соотношениями

Тригонометрические выражения

Кроме указанных, используется также единица измерения углов, называемая радианом.

Углом в один радиан называют центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

Угол, равный 1 рад, изображен на рисунке 75.

Тригонометрические выражения

Радианная мера угла, т. е. величина угла, выраженная в радианах, не зависит О А от длины радиуса. Это следует из того, что фигуры, ограниченные углом и дугой окружности с центром в вершине этого угла, подобны между собой (рис. 76).

Установим связь между радиан-ным и градусным измерениями углов.

Углу, равному 180°, соответствует полуокружность, т. е. дуга, длина l которой равна Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Чтобы найти радианную меру этого угла, надо длину дуги l разделить на длину радиуса R. Получим:

Тригонометрические выражения

Следовательно, радианная мера угла в 180° равна Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Отсюда получаем, что радианная мера угла в 1° равна Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Приближенно 1° равен 0,017 рад.

Из равенства Тригонометрические выражения рад также следует, что градусная мера угла в 1 рад равна Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Приближенно 1 рад равен 57°.

Рассмотрим примеры перехода от радианной меры к градусной и от градусной меры к радианной.

Пример:

Выразим в градусах 4,5 рад.

Так как Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Пример:

Найдем радианную меру угла в 72°.

Так как Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

При записи радианной меры угла обозначение «рад» часто опускают. Например, вместо равенства Тригонометрические выражения рад обычно пишут:

Тригонометрические выражения

Выразим в радианной мере углы 30°, 45°, 60°, 90°, 270° и 360°. Получим:

Тригонометрические выражения

Радианная мера угла часто используется в тригонометрических выражениях. Так, запись sirfl означает синус угла в 1 радиан, запись sin ( — 2,5) означает синус угла в —2,5 радиана, запись Тригонометрические выраженияозначает синус угла в Тригонометрические выражения радиан. Вообще запись sin х, где х — произвольное действительное число, означает синус угла, равного х радианам.

Значения тригонометрических функций для углов, выраженных как в градусах, так и в радианах, можно находить, используя микрокалькулятор. Так, с помощью микрокалькулятора «Электроника БЗ-З6» значения синуса, косинуса и тангенса вычисляют следующим образом. Переводят переключатель «ГРАД — РАД», находящийся в нижней части корпуса, в положение «ГРАД», если угол задан в градусах, или в положение «РАД», если угол задан в радианах. Вводят угол, нажимают клавишу Тригонометрические выражения а затем клавишу, над которой написано название соответствующей функции.

Пример:

Найдем с помощью микрокалькулятора значение выражения с точностью до 0,001:

Тригонометрические выражения

а) Установим переключатель в положение «ГРАД», затем выразим 28°17′ в градусах и нажмем «последовательно клавиши Тригонометрические выражения Так как Тригонометрические выражения то программа вычислений выглядит так:

Тригонометрические выражения

Получаем, что Тригонометрические выражения

б) Устанавливаем переключатель в положение «РАД» и находим значение cos 3,9 по программе:

Тригонометрические выражения

Получаем, что cos Тригонометрические выражения

в) Переключатель устанавливаем в положение «РАД». При нахождении значения выражения Тригонометрические выражения воспользуемся тем, что на панели микрокалькулятора «Электроника БЗ-З6» имеется специальная клавиша Тригонометрические выражения при нажатии которой высвечивается число 3,1415926 — приближенное значение числа Тригонометрические выражения с точностью до Тригонометрические выражения Вычисления проводим по программе:

Тригонометрические выражения

Получаем, что Тригонометрические выражения

Отметим, что для вычисления котангенса угла надо сначала найти значение тангенса этого угла, а потом обратное число, нажав клавиши Тригонометрические выражения

Основные тригонометрические формулы

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла:

Рассмотрим, как связаны между собой синус и косинус одного и того же угла.

Пусть при повороте радиуса OA вокруг точки О на угол а получен радиус ОВ (рис. 77). По определению

Тригонометрические выражения

где х — абсцисса точки В, у — ее ордината, a R — длина радиуса OA. Отсюда

Тригонометрические выражения

Так как точка В принадлежит окружности с центром в начале координат, радиус которой равен R, то ее координаты удовлетворяют уравнению

Тригонометрические выражения

Подставив в это уравнение вместо х и у выражения R cos а и R sin а, получим:

Тригонометрические выражения

Разделив обе части последнего равенства на Тригонометрические выражения найдем, что

Тригонометрические выражения

Равенство (1) верно при любых значениях а. Выясним теперь, как связаны между собой тангенс, синус и косинус одного и того же угла.

По определению Тригонометрические выражения Так как y = R sin a, x = R cos a,

Тригонометрические выражения

Таким образом,

Тригонометрические выражения

Аналогично

Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Равенство (2) верно при всех значениях а, при которых cos Тригонометрические выражения, а равенство (3) верно при всех значениях а, при которых sin Тригонометрические выражения

С помощью формул (1) — (3) можно получить другие формулы, выражающие соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Из равенств (2) и (3) получим:

Тригонометрические выражения

Равенство (4) показывает, как связаны между собой тангенс и котангенс угла а. Оно верно при всех значениях а, при которых tg а и ctg а имеют смысл.

Заметим, что формулу (4) можно получить и непосредственно из определения тангенса и котангенса.

Выведем теперь формулы, выражающие соотношения между тангенсом и косинусом, а также между котангенсом и синусом одного и того же угла.

Разделив обе части равенства (1) на Тригонометрические выражения получим:

Тригонометрические выражения

Если обе части равенства (1) разделить на Тригонометрические выражения то будем иметь:

Тригонометрические выражения

т. е.

Равенство (5) верно, когда cos Тригонометрические выражения а равенство (6), когда sin Тригонометрические выражения

Равенства (1) — (6) являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествами. Рассмотрим примеры использования этих тождеств для нахождения значений тригонометрических функций по известному значению одной из них.

Пример:

Найдем cos a, tg а и ctg а, если известно, что sinТригонометрические выражения

Найдем сначала cos а. Из формулы Тригонометрические выраженияполучаем, что Тригонометрические выражения

Так как а является углом II четверти, то его косинус отрицателен. Значит,

Тригонометрические выражения

Зная синус и косинус угла а, можно найти его тангенс:

Тригонометрические выражения

Для отыскания котангенса угла а удобно воспользоваться формулой tg a • ctg a = 1. Имеем:

Тригонометрические выражения

Пример:

Известно, что Тригонометрические выражения Найдем sin a, cos a и ctg a.

Воспользовавшись формулой Тригонометрические выражения найдем cos a. Имеем:

Тригонометрические выражения

По условию угол a является углом I четверти, поэтому его косинус положителен. Значит,

Тригонометрические выражения

Зная cos а и tg а, можно найти sin а. Из формулы Тригонометрические выражения получим:

Тригонометрические выражения

По известному tg а легко найти ctga:

Тригонометрические выражения

Итак,

Тригонометрические выражения

Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражении

Мы уже встречались с некоторыми простейшими преобразованиями тригонометрических выражений. Рассмотрим более сложные примеры.

Пример:

Упростим выражение Тригонометрические выражения

Воспользовавшись формулами Тригонометрические выраженияТригонометрические выражения получим:

Тригонометрические выражения

Пример:

Упростим выражение Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Пример:

Докажем тождество

Тригонометрические выражения

Преобразуем левую часть данного равенства:

Тригонометрические выражения

Мы получили выражение, стоящее в правой части равенства. Таким образом, тождество доказано.

Формулы приведения

Тригонометрические функции углов вида Тригонометрические выражения Тригонометрические выражения могут быть выражены через функции угла а с помощью формул, которые называют формулами приведения.

Выведем сначала формулы приведения для синуса и косинуса.

Докажем, что для любого а

Тригонометрические выражения

Повернем радиус OA, длина которого равна R, на угол а и на угол Тригонометрические выражения При этом радиус OA перейдет соответственно в радиусы ОВ1 и ОВ2 (рис. 78).

Тригонометрические выражения

Опустим из точки В1 перпендикуляры Тригонометрические выражения на оси координат. Получим прямоугольник Тригонометрические выражения

Повернем прямоугольник Тригонометрические выражения около точки О на угол Тригонометрические выражения Тогда точка В1 перейдет в точку В2, точка С1 перейдет в точку С2 на оси у, точка D1 — в точку D2 на оси х, а прямоугольник Тригонометрические выражения перейдет в равный ему прямоугольник Тригонометрические выражения

Отсюда следует, что ордината точки В2 равна абсциссе точки В1, а абсцисса точки В2 равна числу, противоположному ординате точки В1. Обозначим координаты точки B1 через Тригонометрические выражения а координаты точки В2 через Тригонометрические выражения Тогда

Тригонометрические выражения

Значит,

Тригонометрические выражения

Из формул (1) следует, что

Тригонометрические выражения

Действительно, представим разность Тригонометрические выражения в виде суммы Тригонометрические выражения Тогда

Тригонометрические выражения

Формулы приведения для синуса и косинуса угла Тригонометрические выражения выглядят так:

Тригонометрические выражения

Для доказательства достаточно представить Тригонометрические выражения в виде Тригонометрические выражения и дважды воспользоваться формулами (1). Например :

Тригонометрические выражения

Заметим, что к формулам (2) легко прийти и из геометрических соображений (рис. 79). При повороте радиуса OA на угол а и на угол Тригонометрические выражения точка А перейдет соответственно в точки В1 и В2, которые симметричны относительно начала координат. Абсциссы, а также ординаты симметричных относительно

Тригонометрические выражения

начала координат точек равны по модулю и противоположны по знаку. Отсюда следует, что Тригонометрические выражения а также Тригонометрические выражения — противоположные числа.

Из формул (2) следует, что

Тригонометрические выражения

Для доказательства достаточно представить Тригонометрические выражения в виде суммы Тригонометрические выражения и применить формулы (2).

Формулы приведения для синуса и косинуса угла Тригонометрические выражения имеют вид:

Тригонометрические выражения

Чтобы доказать формулы (3), достаточно представить Тригонометрические выражения и применить последовательно формулы (1) и (2).

Из формул (3) нетрудно получить, что

Тригонометрические выражения

Наконец, формулы приведения для синуса и косинуса угла Тригонометрические выражения следуют из того, что при изменении угла на целое число оборотов значения синуса и косинуса не изменяются:

Тригонометрические выражения

Справедливы также формулы

Тригонометрические выражения

Например, для Тригонометрические выражения

Формулы приведения для тангенса и котангенса можно получить с помощью формул приведения для синуса и косинуса. Например:

Тригонометрические выражения

Все формулы приведения сведем в две таблицы, поместив в первой из них формулы для углов Тригонометрические выражения а во второй — для углов Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Цо таблицам легко проследить закономерности, имеющие место для формул приведения. Эти закономерности позволяют сформулировать правило, с помощью которого можно записать любую формулу приведения, не прибегая к таблице:

Функция в правой части равенства берется с тем же знаком, какой имеет исходная функция, если считать, что угол а является углом 1 четверти;

для углов Тригонометрические выражения название исходной функции сохраняется; для углов Тригонометрические выражения название исходной функции заменяется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).

Пример:

Выразим Тригонометрические выражения через тригонометрическую функцию угла а.

Если считать, что a — угол I четверти, то Тригонометрические выражения будет углом II четверти. Во II четверти тангенс отрицателен, значит, в правой части равенства следует поставить знак «минус». Для угла Тригонометрические выраженияназвание исходной функции «тангенс» сохраняется. Поэтому

Тригонометрические выражения

С помощью формул приведения нахождение значений тригонометрических функций любого угла можно свести к нахождению значений тригонометрических функций угла от Тригонометрические выражения.

Пример:

Найдем значение Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Пример:

Найдем значение sin (— 585°).

Тригонометрические выражения

Формулы сложения и их следствия

Выведем формулы, выражающие тригонометрические функции суммы и разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.

Повернем радиус OA, равный R, около точки О на угол а и на угол Тригонометрические выражения(рис. 80). Получим радиусы ОВ и ОС.

Найдем скалярное произведение векторов Тригонометрические выражения Пусть координаты точки В равны Тригонометрические выражения координаты точки С равны Тригонометрические выражения Эти же координаты имеют соответственно и векторы Тригонометрические выражения По определению скалярного произведения векторов:

Тригонометрические выражения

Выразим скалярное произведение Тригонометрические выражения через тригонометрические функции углов а и Тригонометрические выражения. Из определения косинуса и синуса следует, что

Тригонометрические выражения

Подставив значения Тригонометрические выражения в правую часть равенства Тригонометрические выражения получим:

Тригонометрические выражения

С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторов имеем:

Тригонометрические выражения

Угол ВОС между векторами Тригонометрические выражения может быть равен а — Тригонометрические выражения (см. рис. 80), Тригонометрические выражения (рис. 81) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos Тригонометрические выражения Поэтому

Тригонометрические выражения

Так как Тригонометрические выражения равно также Тригонометрические выражения то

Тригонометрические выражения

Формулу (1) называют формулой косинуса разности.

Косинус разности двух углов равен произведению косинусов этих углов плюс произведение синусов этих углов.

С помощью формулы (1) легко получить формулу косинуса суммы:

Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов этих углов минус произведение синусов этих углов.

Выведем теперь формулы синуса суммы и синуса разности. Используя формулы приведения и формулу (1), получим:

Тригонометрические выражения

Синус суммы двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс произведение косинуса первого угла на синус второго.

Для синуса разности имеем:

Тригонометрические выражения

Синус разности двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго минус произведение косинуса первого угла на синус второго.

Формулы (1) — (4) называют формулами сложения для синуса и косинуса.

Приведем примеры использования формул сложения.

Пример:

Вычислим cos 15° и sin 15°. Представим 15° в виде разности 45° — 30°. Тогда

Тригонометрические выражения

Пример:

Упростим выражение Тригонометрические выражения Воспользовавшись формулами косинуса суммы и косинуса разности, получим:

Тригонометрические выражения

Используя формулы (1) — (4), можно вывести формулы сложения для тангенса и котангенса. Выведем, например, формулу тангенса суммы:

Тригонометрические выражения

Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на произведение cos a cos Тригонометрические выражения, предполагая, что Тригонометрические выраженияПолучим:

Тригонометрические выражения

Значит,

Тригонометрические выражения

Аналогично можно доказать, что

Тригонометрические выражения

Формулы двойного угла

Формулы сложения позволяют выразить sin 2a, cos 2a и tg 2a через тригонометрические функции угла a. Положим в формулах

Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения равным a. Получим тождества:

Тригонометрические выражения

Эти тождества называют формулами двойного угла.

Приведем примеры применения формул двойного угла для нахождения значений тригонометрических функций и преобразования тригонометрических выражений.

Пример:

Найдем значение sin 2а, зная, что cosa = — 0,8 и a — угол III четверти.

Сначала вычислим sin а. Так как a — угол III четверти, то sin а < 0. Поэтому

Тригонометрические выражения

По формуле синуса двойного угла

Тригонометрические выражения

Пример:

Упростим выражение

Тригонометрические выражения

Вынесем за скобки sin a cos a и воспользуемся формулами двойного угла:

Тригонометрические выражения

Из формулы (2) следует, что

Тригонометрические выражения

Действительно, выразив cos 2a через sin a, получим:

Тригонометрические выражения

Отсюда Тригонометрические выражения

Аналогично, выразив cos 2a через cos a, получим:

Тригонометрические выражения

Формулы (4) и (5) используются в вычислениях и преобразованиях.

Пример:

Упростим выражение Тригонометрические выражения

Применим формулы (4) и (5) к выражениям 1 — cos а и 1 + cos а, представив а в виде произведения Тригонометрические выражения Получим:

Тригонометрические выражения

Формулы суммы и разности тригонометрических функции

Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.

Чтобы представить в виде произведения сумму sin a + sin Тригонометрические выражения, положим Тригонометрические выражения и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:

Тригонометрические выражения

Из равенств a = x + y и Тригонометрические выражения= x — y находим, что Тригонометрические выражения и Тригонометрические выражения Поэтому

Тригонометрические выражения

Мы получили формулу суммы синусов двух углов.

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

Аналогично можно вывести формулы разности синусов, суммы и разности косинусов.

Формула разности синусов:

Тригонометрические выражения

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.

Формула суммы косинусов:

Тригонометрические выражения

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы, этих углов на косинус их полуразности.

Формула разности косинусов:

Тригонометрические выражения

Разность косинусов двух углов равна взятому со знаком *минус» удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.

Учитывая, что Тригонометрические выражения формулу разности косинусов можно записать в другом виде:

Тригонометрические выражения

Приведем примеры применения полученных формул.

Пример:

Упростим сумму sin 10° + sin 50°.

Воспользовавшись формулой суммы синусов, получим:

Тригонометрические выражения

Пример:

Представим в виде произведения разность Тригонометрические выражения

Воспользовавшись формулой приведения, представим данное выражение в виде разности косинусов и преобразуем ее в произведение. Тогда

Тригонометрические выражения

Пример:

Представим в виде произведения выражение 1 — sin а.

Так как Тригонометрические выражения то данное выражение можно представить в виде разности синусов. Поэтому

Тригонометрические выражения

Эту задачу можно решить иначе:

Тригонометрические выражения

С помощью формул приведения первое из полученных выражений можно преобразовать во второе и наоборот.

Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Решение заданий и задач по предметам:

  • Математика
  • Высшая математика
  • Математический анализ
  • Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показатель степени
  89. Показательные функции и логарифмы
  90. Множество
  91. Множество действительных чисел
  92. Числовые множества
  93. Преобразование рациональных выражений
  94. Преобразование иррациональных выражений
  95. Геометрия
  96. Действительные числа
  97. Степени и корни
  98. Степень с рациональным показателем
  99. Тригонометрические функции угла
  100. Тригонометрические функции числового аргумента
  101. Преобразование тригонометрических выражений
  102. Комбинаторика
  103. Вычислительная математика
  104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  105. Прямая и плоскость
  106. Линии и уравнения
  107. Прямая линия
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат

111

Вычисление значений тригонометрических выражений. В этой статье мы рассмотрим несколько примеров на вычисление значений тригонометрических выражений. В одной из статей уже были представлены такие примеры, посмотритеЧто необходимо знать, понимать и уметь применять?

Это формулы приведения, формулы периодичности тригонометрических функций, чётность нечётность, знаки тригонометрических функций в четвертях тригонометрической окружности, и конечно же, как всегда, требуется внимательность при вычислениях.

Периодичность тригонометрических функций.

Подробно саму теорию о периодичности здесь разъяснять не стану, будет отдельная статья, напомню  вам только сами формулы:

Периодичность тригонометрических функций

*Наименьший положительный период функции синус составляет 2Пи или 3600

*Наименьший положительный период функции косинус составляет 2Пи или 3600

*Наименьший положительный период функции тангенс составляет Пи или 1800

*Наименьший положительный период функции котангенс составляет Пи или 1800

Если вы знакомы с тригонометрической окружностью и тригонометрические функции основательно изучили, то понятие периодичности вам знакомо и смысл ясен.

Чётность и нечётность тригонометрических функций, кратко:

Рассмтотрим примеры.

*Общая рекомендация! Сначала выделяйте период и «избаляйтесь» от него, а уже затем применяйте свойство четности (нечётности) и формулы приведения.

64771. Найдите

Применим свойство периодичности синуса и формулу его приведения:

Вычислим cos α. Это можем сделать используя основное тригонометрическое тождество:

Определим знак косинуса для интервала (3П/2;2П). Это интервал от 270 до 360 градусов (четвёртая четверть).  Как переводить радианы в градусы (и наоборот) можно посмотреть здесь. Значение косинуса в этой четверти положительное, поэтому:

Таким образом, 8∙cos α = 8∙0,8 = 6,4

Второй способ:

Вычисляем cos α, получаем  0,8. Таким образом:

Ответ: 6,4

64897. Найдите

Применим формулу приведения для косинуса:

Вычислим sin α. Из основного тригонометрического тождества следует, что:

Определим знак синуса для интервала (0;π/2). Это интервал от 0 до 90 градусов (первая четверть). Значение синуса в этой четверти положительное, поэтому:

Таким образом,   –15∙sin α = –15∙0,96 = – 14,4

Ответ: – 14,4

65031. Найдите

Применим свойства нечётности тангенса, свойство его периодичности и формулу приведения:

Вычислим котангенс угла:

Таким образом

Ответ: – 0,8

65429. Найдите значение выражения

Используем свойство периодичности косинуса и формулу приведения синуса:

Ответ: – 2

65489. Найдите значение выражения

Используем периодичность синуса, свойство чётности косинуса и формулу приведения косинуса:

Ответ: 8

64695. Найдите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1

26784. Найдите

Посмотреть решение

26785. Найдите

26786. Найдите

Посмотреть решение

26792. Найдите значение выражения

Посмотреть решение

26793. Найдите значение выражения

Посмотреть решение

26783. Найдите значение выражения

Посмотреть решение

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как мне найти друга в тимспике
  • Как по функции распределения найти матожидание
  • Как найти потенциальный спрос
  • Найти как назвать команду
  • Как найти юриста на сделку

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии