Как найти числовое значение тригонометрического выражения

В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.

Как найти значение числового выражения?

Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.

Простейшие случаи

Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами. 

Если в выражении есть только числа и арифметические знаки «+», «·», «-«, «÷», то действия выполняются слева направо в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Приведем примеры.

Выражения со скобками

Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.

Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.

В нахождении значений выражений со скобками главное — соблюдать последовательность действий.

Выражения с корнями

Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.

Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.

Выражения со степенями

Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.

Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения  с использованием свойств степени.

Выражения с дробями

Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения. 

Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.

Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.

Выражения с логарифмами

Когда в выражении присутствуют логарифмы, их значение, если это возможно, вычисляется с самого начала. К примеру, в выражении log24+2·4 можно сразу вместо log24 записать значение этого логарифма, а потом выполнить все действия. Получим: log24+2·4=2+2·4=2+8=10.

Под самим знаком логарифма и в его основании также могут находится числовые выражения. В таком случае, первым делом находятся их значения. Возьмем выражение log5-6÷352+2+7. Имеем:

log5-6÷352+2+7=log327+7=3+7=10.

Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.

Выражения с тригонометрическими функциями

Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.

Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.

Общий случай числового выражения

В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.

Разберем пример.

В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.

Вычисление значений выражений рациональными способами

Вычислять значения числовых нужно последовательно и аккуратно. Данный процесс можно рационализировать и ускорить, используя различные свойства действий с числами. К примеру, известно, что произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. С учетом этого свойства, можно сразу сказать, что выражение 2·386+5+58941-sin3π4·0 равно нулю. При этом, вовсе не обязательно выполнять действия по порядку, описанному в статье выше.

Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел. Не выполняя никаких действий, можно заказать, что значение выражения 56+8-3,789lne2-56+8-3,789lne2 также равно нулю.

Еще один прием, позволяющий ускорить процесс — использование тождественных преобразований таких как группировка слагаемых и множителей и вынесение общего множителя за скобки. Рациональный подход к вычислению выражений с дробями — сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе. 

Например, возьмем выражение 23-15+3·289·343·23-15+3·289·34. Не выполняя действий в скобках, а сокращая дробь, можно сказать, что значение выражения равно 13.

Нахождение значений выражений с переменными

Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных. 

Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.

Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.

Например, выражение х+3-х, очевидно, имеет значение 3, и для вычисления этого значения совсем необязательно знать значение переменной икс. Значение данного выражения равно трем для всех значений переменной икс из ее области допустимых значений. 

Еще один пример. Значение выражения xx равно единице для всех положительных иксов. 

Методическое пособие для подготовки учеников к ЕГЭ

Тема: Вычисление и преобразование тригонометрических выражений.

Скворцова Д.А.

1.02.15

Содержание

1. Модуль 1. Теоретическая часть по теме «Тригонометрические выражения»

2. Модуль 2. Ключевые задачи. Примеры решения задач.

3. Модуль 3. Задачи для отработки практических навыков.

4. Модуль 4. Задачи для зачета по данной теме.

5. Модуль 5. Домашнее задание.

6. Модуль 6. Варианты ЕГЭ по теме «Вычисление и преобразование тригонометрических выражений»

7. Модуль 7. Ответы .

8. Литература

Модуль 1. Теоретическая часть по теме «Тригонометрические выражения»

1. 1. 1. 1. Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента

Рассмотрим единичную окружность, т.е. окружность с центром в начале координат и радиусом 1.

Def:Синусом числа α называется ордината точки , образованной поворотом точки вокруг начала координат на угол α радиан.

Обозначается : , т.е. – ордината точки .

Def:Косинусом числа α называется абсцисса точки , полученной поворотом точки вокруг начала координат на угол α радиан.

Обозначается: , т.е. – абсцисса точки .

Синус и косинус определены для любого числа .

,

Def:Тангенсом числа называется отношение синуса числа к его косинусу:

Тангенс определен для всех , кроме тех значений, при которых , т.е.

Def:Котангенсом числа называется отношение косинуса числа к его синусу:

Котангенс определен для все , кроме тех значений, при которых , т.е

Для окружности произвольного радиуса R определение тригонометрических функций выглядит следующим образом:

; ; ;

Если , то справедливы равенства:

Пример 1. Найдите значение выражения:

1. 

2. 

Пример 2. Определите знак выражения:

1. т.к. — угол II четверти, то — угол III четверти, то .

2. т.к. — угол II четверти, то— угол III четверти, то .

1. 1. 1. 1. Соотношение между тригонометрическими функциями одного аргумента.

Основное тригонометрическое тождество:

Следствия:

Пример 1. Могут ли одновременно быть справедливы равенства:

1. и

Решение:

Так как рассматриваются функции синус и косинус одного и того же аргумента, то должно выполняться основное тригонометрическое тождество:

, но .

Поэтому равенства и одновременно справедливы, быть не могут (т.к. не выполняется основное тригонометрическое тождество).

1. и

Решение:

Так как рассматриваются функции синус и косинус одного и того же аргумента, то должно выполняться основное тригонометрическое тождество:

, но .

Основное тригонометрическое тождество выполняется. Значит, равенства, данные в условии, одновременно справедливы.

Пример 2. Найдите значения тригонометрических функций числа , зная, что и .

Решение:

Так как по условию , то — принадлежит II четверти. Поэтому

;

1. 1. 1. 1. Произведение тангенса и котангенса одно и того же аргумента.

Пример 1. Могут ли быть справедливы равенства:

1. 

2. 

Решение:

Поскольку , то :

1. , равенства справедливы, т.к. выполняется тождество.

2. , равенства не справедливы, т.к. не выполняется тождество.

Пример 2. Упростите:

Решение:

Так как , то

1. 1. 1. 1. Зависимость между тангенсом и косинусом одного аргумента.

Пример. Упростите:

Решение:

1. 1. 1. 1. Зависимость между котангенсом и синусом одного аргумента.

Пример. Вычислите значения тригонометрических функций, если , — угол IV четверти.

Решение:

Так как — угол IV четверти, то , , .

Известно, что . Отсюда

Но поэтому

1. 1. 1. 1. Формулы сложения

1. Синус суммы и разности

Def:Синус суммы двух аргументов равен сумме произведений синуса первого аргумента на косинус второго и косинус первого аргумента на синус второго:

Def:Синус разности двух аргументов равен разности произведений синуса первого аргумента на косинус второго и косинус первого аргумента на синус второго:

Пример1. Вычислите:

1. 

2. 

Решение:

1. 

2. 

Пример 2. Найдите значение выражений:

1. 

2. 

Решение:

1. 

2. 

1. Косинус суммы и разности

Def:Косинус суммы двух аргументов равен разности произведений косинуса первого аргумента на косинус второго и синуса первого аргумента на синус второго:

Def:Косинус разности двух аргументов равен сумме произведений косинуса первого аргумента на косинус второго и косинус первого аргумента на синус второго:

Пример . Вычислите:

1. 

2. 

Решение:

1. 

2. 

1. Тангенс и котангенс суммы и разности.

Пример 1. Вычислите:

1. 

2. 

Решение:

1. 

2. 

Пример 2. Докажите тождество:

Доказательство:

Тогда из данного равенства имеем:

1. 1. 1. 1. Следствия из формул сложения

1. Синус двойного аргумента

Def: Синус двойного аргумента равен удвоенному произведению синуса и косинуса данного аргумента:

Пример 1. Вычислите:

Решение:

. Найдем .

Так как , то — угол III четверти, т.е. .

Итак,

Пример 2. Вычислите:

Решение:

1. Косинус двойного аргумента.

Def: Косинус двойного аргумента равен разности квадратов косинуса и синуса данного аргумента.

Пример . Вычислите:

1. 

2. 

Решение:

1. 

2. 

1. Тангенс двойного аргумента.

Пример. Вычислите:

1. 

2. 

Решение:

1. 

2. 

1. 1. 1. 1. Формулы приведения

Def: Тригонометрические функции аргументов могут быть выражены через функции аргумента с помощью формул, которые называются формулами приведения.

Def: Два угла называются дополнительными, если из сумма равна , для них справедливы равенства:

Чтобы облегчить запоминание формул приведения для преобразования выражений вида:

удобно пользоваться такими правилами:

1. перед приведенной функций ставится тот знак, который имеет исходная функция, если

2. функция меняется на «кофункцию».

Примеры к этому правилу приведены в таблице.

Пример. Найдите значение:

1. 

2. 

Решение:

1. 

2. 

1. 1. 1. 1. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

1. 1. 1. 1. Знаки тригонометрических функций по координатным четвертям.

Модуль 2. Ключевые задачи. Примеры решения задач.

Разделим задачи на блоки:

1. Нахождение значения выражения.

2. Нахождение тригонометрических функций, если значение одной известно.

3. Применение формул приведения и основных тригонометрических преобразований.

4. Разные задачи.

1. Нахождение значения выражения.

Пример 1.

Решение:

Данные значения углов табличные, подставляем и вычисляем:

Пример 2.

Решение:

Косинус угла — это табличное значение. С косинусом угла   поступим следующим образом – выделим период, применим формулу приведения, и далее вычислим:

Пример 3.

Пример 4.

Решение:

Применяем свойство чётности косинуса и нечётности синуса, далее вычисляем:

Пример 5.

Решение:

Используем формулу синуса двойного аргумента. Затем выделим период и применим свойство периодичности:

Далее применим свойство нечётности синуса и формулу приведения:

Пример 6.

Решение:

Вынесем за скобку общий множитель и применим формулу косинуса двойного аргумента:

Далее используем формулу приведения и вычислим:

Пример 7.

Решение:

Выделим общий множитель и вынесем его за скобку, затем применим формулу косинуса двойного аргумента:

Далее выделим период, используем свойство периодичности и свойство чётности косинуса, вычисляем:

Пример 8.

Решение:

Выделим общий множитель и вынесем его за скобку, затем применим формулу косинуса двойного аргумента:

Далее выделим период и применим формулу приведения:

Пример 9.

Пример 10.

1. Нахождение тригонометрических функций, если значение одной известно.

Пример 1.Найдите tg α, если

Решение:

В этом и подобных примерах необходимо знать основное тригонометрическое тождество (его вообще нужно помнить всегда), а также формулу тангенса:

Косинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества  мы можем найти значение синуса. Затем подставить их в формулу тангенса.

Теперь важный момент: необходимо определить знак синуса для заданного интервала. Это интервал от 270 до 360 градусов (четвёртая четверть).  Значение синуса в этой четверти отрицательное, поэтому:

Таким образом:

Пример 2. Найдите tg α, если

Решение:

В этом и подобных примерах необходимо знать основное тригонометрическое тождество (его вообще нужно помнить всегда), а также формулу тангенса:

Cинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества  мы можем найти значение синуса. Затем подставить их в формулу тангенса.

Определяем знак косинуса для заданного интервала. Это интервал  от 90 до 180 градусов (вторая четверть). Значение косинуса в этой четверти отрицательное. Поэтому

Таким образом:

Пример 3. Найдите 5cos α, если

Решение:

Необходимо найти косинус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что cos²x = 1– sin²x и

Определим знак косинуса. Угол принадлежит интервалу от 270 до 360 градусов  (четвёртая четверть).  Значение косинуса в этой четверти  положительное, поэтому:

Таким образом, 5cos α = 5∙0,7 = 3,5

Пример 4 Найдите 0,1sin α, если

Необходимо найти синус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что sin²x = 1– cos²x  и

Определим знак синуса. Угол принадлежит интервалу от 0 до 90 градусов  (первая четверть).  Значение синуса в этой четверти  положительное, поэтому:

Таким образом 0,1sin α = 0,1∙0,3 = 0,03

Пример 5. Вычислить , если .

Решение:

Так как . Воспользовавшись формулой , получаем . При будет Поэтому .

Пример 6. Известно, что

Найдите , ,  
Решение:  Поскольку из условия задачи следует неравенство 
то, учитывая знак синуса, находим, что точка P принадлежит 4-й четверти. Поэтому 

Пример 7. Известно, что . Найдите

Решение:

Учитывая знак тангенса и условие задачи 

находим, что точка P принадлежит 4-й четверти. Поэтому 

Пример 8. Известно, что . Найдите

Решение:

Из условия 3 <  < 2 и неравенства sincos > 0 следует, что точка P принадлежит 3-й четверти. Следовательно, sin+cos < 0.

Кроме того, 

Поэтому

Пример 9. Известно, что . Найдите

Решение: Возведем обе части данного равенства в квадрат: 

Пример 10.

Решение:

1. Применение формул приведения и основных тригонометрических преобразований.

Пример 1. Найдите значение выражения

Решение:

Используем формулу синуса двойного аргумента:

Выражение в числителе «сворачиваем»:

Второй путь: можно было использовать эту же формулу преобразовав знаменатель.

Пример 2. Найдите значение выражения

Для решения этого примера достаточно знать формулу косинуса двойного аргумента:

Преобразуем знаменатель:

Пример 3. Найдите значение выражения

В данном случае 63 градуса представляем как разность 90⁰ – 27⁰

Пример 4. Найдите значение выражения

Представим 100⁰ как разность 360⁰ – 260⁰,  применим свойство периодичности нечётности синуса:

Пример 5. Найдите значение выражения

Используем формулу приведения косинуса. Представим 153⁰ как разность 180⁰– 27⁰:

Пример 6. Найдите значение выражения

Используем формулу приведения для тангенса. Представим 148⁰ как разность 180⁰ – 32⁰:

Пример 7. Найдите значение выражения

Представим 373⁰ как сумму 360⁰ + 13⁰,  используем свойство периодичности:

Пример 8. Найдите значение выражения

Используем формулы приведения:

Применили формулу тригонометрии:

Пример 9.  Найдите значение выражения

Применяем формулу синуса двойного аргумента в числителе, и формулу приведения в знаменателе:

Пример 10. Найдите значение выражения

Применяем формулу синуса двойного аргумента:

Пример 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Используем формулу приведения и основное тригонометрическое тождество:

Пример 12. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Косинус функция чётная, то есть

Её период равен 2Пn, то есть

Значит

Используем формулу приведения для косинуса:

1. Различные задачи.

1. Задача. («Ломоносов»,2007 ) Вычислите: , если

Решение:

Обозначим искомую величину за x. Раскрывая скобки, получим:

Слагаемые сгруппированы так , чтобы получились формулы.

1. Задача. (МГУ, ф-т почвоведения, 2008) Вычислите , если

.

Решение:

Поскольку положителен и , угол — угол II четверти: . Значит, его косинус отрицателен:

Отсюда

1. Задача. (МГУ, ф-т почвоведения, 2000) Найдите

1. 

2. , если известно, что

Решение:

Имеем:

Разделив последние два равенства, друг на друга получим:

Теперь возведем последние два равенства в квадрат и сложим:

Модуль 3. Задачи для отработки практических навыков.

1. Нахождение значения выражения.

1. Вычислите

2. Вычислите

3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

5. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

6. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

8. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

10. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

12. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

13. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

14. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

15. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

16. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

17. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: .

18. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

19. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

20. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

21. Най­ди­те , если .

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

1. Нахождение тригонометрических функций, если значение одной известно.

1. Найдите , если

2. («Ломоносов», 2007) Вычислите: , если

   1. 

3. (МГУ, ф-т гос.управления,2010) Найдите и , если известно, что а

4. Най­ди­те , если и .

5. Най­ди­те , если и

6. Най­ди­те , если и .

7. Най­ди­те , если и .

8. Най­ди­те , если .

9. Най­ди­те , если

10. Най­ди­те , если .

11. Най­ди­те , если .

12. Най­ди­те , если .

13. Най­ди­те если и

14. Най­ди­те если и

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

1. Применение формул приведения и основных тригонометрических преобразований.

1. Най­ди­те , если .

2. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния , если .

3. Най­ди­те , если и .

4. Най­ди­те , если и .

5. Най­ди­те , если

6. Най­ди­те , если .

7. Най­ди­те , если .

8. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния , если .

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния , если .

10. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

12. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

13. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

14. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

15. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

16. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

17. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

18. 

19. 

20. 

21. 

1. Разные задачи.

1. Докажите тождество:

2. Покажите, что:

3. Докажите:

4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

5. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Модуль 4. Задачи для зачет по данной теме.

Зачет № 1. Нахождение значения выражения.

Найдите значения выражений:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

Зачет №2 Нахождение тригонометрических функций, если значение одной известно.

Найдите значение если известно:

1. Найдите  tg² α, если

1. Найдите

1. Найдите

1. Найдите tg α, если

1. Найдите tg α, если

1. Найдите 24cos2α, если sinα = – 0,2. 

2.  Найдите 9cos2α, если cosα = 1/3

1. Найдите 

1. Найдите значение выражения

1. Найдите

Зачет №3 Применение формул приведения и основных тригонометрических преобразований.

1.  Найдите значение выражения

1. Найдите значение выражения

Найдите значение выражения

2. Найдите значение выражения

1. Найдите значение выражения

1. Найдите значение выражения

1. Найдите значение выражения

1. Найдите значение выражения

1. Найдите значение выражения

1. Найдите значение выражения

2. Найдите значение выражения

3. Найдите значение выражения

4. Найдите значение выражения

Модуль 5. Домашнее задание.

1.Упростите выражения:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. .

2. Вычислите:

1. 

2. ;

3. ;

4. ;

5. 

3. Известно, что sin α – cos α = 0,3. Найти:

1. sin²α;

2. sin⁴α + cos⁴α;

3. sin⁶α + cos⁶α.

4.Найти tg α, если 

5. Вычислить cos α, если cos2α = 3/4 и 

6. Найти значение выражения: 

7. Вычислить sin10º sin30º sin50º sin70º .

8. Упростить выражение: .

9. Доказать тождество при 

10. Найти значение следующих тригонометрических выражений: sin 2α, cos 2α, tg 2α, если 

11.* Вычислить значение выражения:

Модуль 6. Варианты ЕГЭ по теме «Вычисление и преобразование тригонометрических выражений»

Вариант 1

Вопрос 1. Найдите значение выражения 

Вопрос 2. Найдите значение выражения 

Вопрос 3. Найдите значение выражения 

Вопрос 4. Найдите значение выражения 

Вопрос 5. Найдите значение выражения 

Вопрос 6. Найдите значение выражения 

Вариант 2

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния , если .

2. Най­ди­те  если  и 

3. Най­ди­те , если .

4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

5. Най­ди­те , если .

6. Най­ди­те , если .

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

8. Най­ди­те , если .

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

10. Най­ди­те , если .

Вариант 3

1.  Най­ди­те , если  и .

2. Най­ди­те , если  и .

3. Най­ди­те , если .

4. Най­ди­те , если  и 

5. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

6. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

7. Най­ди­те  если  и 

8. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

9. Най­ди­те , если .

10. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: .

Вариант 4.

А1. Упростите выражение: 7cos²– 5 + 7sin²

1) 1 + cos²; 2) 2; 3) –12 ; 4) 12.

А2. Найдите значение выражения

1) 0; 2) 2 ; 3) –1 ; 4) –2.

А3. Найдите значение выражения при

1) 1 ;

А4. Упростите выражение: sincos + sincos – cos

А5. Упростите выражение:

;

А6. Найдите ,если ,

А7. Найдите значение выражения

1) 1; 2)

А8. Упростите выражение: 1) 0; 2) –1; 3) ; 4) —2

Вариант 5.

А1. Упростите выражение: cosx + tgx sinx

1) 1; 2) 2cosx; 3) cosx + sinx; 4)

А2. Найдите значение выражения

1) 0,5 ; 2) –4 ; 3) 4; 4) –4.

А3. Найдите значение выражения

А4. Упростите выражение:

А5. Упростите выражение:

А6. Найдите ,если ,

А7. Найдите значение выражения

А8. Упростите выражение: 1) 1; 2) 0,5 ; 3) –4 ; 4) .

Модуль 7. Ответы .

1. Модуль 3.

№

темы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

0,5

-0,5

6

-24

36

2

-16

-6

6

18

-12

-5

7

12

2

0,69

-0,5

-3

5

1

-1

22,08

7

8

2,25

-7

-0,2

-0,75

3

4,2

-28

0,6

-10

-2,5

-9

5

3

4

5

-14

-4

-5

14

4

2

1

№

темы

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

1

6

12

-3

-1,5

-1,5

-1,5

31,96

2

12

36

-1,5

-13

2

-0,4

2,25

-9

8

2

-0.68

1,75

-0,25

3

10

10

2

4

3

-24

-104

5

4

1. Модуль 4. Задачи для зачета по данной теме.

1. Зачет №1: 1) 36, 2) 2, 3) -16, 4) -12, 5) 2, 6) -1,5, 7) -1,5, 2, 9) 1

2. Зачет №2: 1) 7, 2)-9, 3) 5, 4)8, 5)2, 6) 22,08, 7)-7, 8)4, 9)3 10)10

3. Зачет №3: 1)6, 2)-24, 3)5, 4)-14, 5)-4, 6)-5, 7)14, 8)-5, 9)10, 10) -3, 11)-6, 12)6, 13)18

1. Модуль 5. Домашнее задание.

№ задания

ответ

№ задания

ответ

1

а) , b), c), d)0, e)1, f)

7

,

2

a)0,

b)1 ,

с), d), e)

8

3

a)0,91

b)0,545 c)0,3175

9

—

4

7

10

5

11

0

6

1

4. Модуль 6. Варианты ЕГЭ по теме «Вычисление и преобразование тригонометрических выражений»

№ варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

0,5

-17

22

6

4

2

12,8

-0,8

0,25

36

8

2

-1

5

22

-5

3

-1

0,7

11,08

-0,5

-34

44

-1/5

-30

-7

-7

4

2

4

1

2

1

2

2

4

5

4

1

2

4

1

4

4

4

Литература.

1. http://alexlarin.net

2. http://reshuege.ru

3. http://fipi.ru

4. http://www.matematikvn.ru/ege-oge/ege-avtorskie-materialy.php

5. http://xn—-etbbfc5ae1a3k.xn--p1ai/?level=trigonometricheskie-vyrazheniya

6. http://matematikalegko.ru/vichislnie-viragenii/trigonometricheskie-vyrazheniya-chast-6.html

7. ЕГЭ 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В/ А.Л.Семенов, И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, М.А. Посицельская, С.Е. Посицельский, С.А.Шестаков, Д.Е.Шноль, П.И. Захаров, А.В. Семенов, В.А. Смирнов; под редакцией А.Л Семенова, И.В. Ященко – 3 изд. перераб. и доп. – М. Издательство «Экзамен», 2012.-543,(1) с.

8. Математика. Подготовка к ЕГЭ- 2014 учебно- методическое пособие/ Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов – на- Дону: Легион-М, 2013-416с. – («Готовимся к ЕГЭ»)

9. ЕГЭ 2008. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Под редакцией Семенов П.В., Краснянская К. А. и др. ФИПИ-М.:Интелект-Центр, 2007.-240с.

10. ЕГЭ-2008:математика:реальные задании/ авт.-сост. В.В.Кочагин, Е.М. Бойченко, Ю.А.Глазков и др. – М.: АСТ: Астрель, 2008. – 125,[3] с. – (ФИПИ)

Тригонометрические функции любого угла и определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса:

Отметим на оси х справа от начала координат точку А и проведем через нее окружность с центром в точке О (рис. 64). Радиус OA будем называть начальным радиусом.

Повернем начальный радиус около точки О на 70° против часовой стрелки. При этом он перейдет в радиус ОВ. Говорят, что угол поворота равен 70°. Если повернуть начальный радиус около точки О на 70° по часовой стрелке, то он перейдет в радиус ОС. В этом случае говорят, что угол поворота равен —70°. Углы поворота в 70° и —70° показаны стрелками на рисунке 64.

Вообще при повороте против часовой стрелки угол поворота считают положительным, а при повороте по часовой стрелке — отрицательным.

Из курса геометрии известно, что мера угла в градусах выражается числом от 0 до 180. Что касается угла поворота, то он может выражаться в градусах каким угодно действительным числом от Так, если начальный

радиус повернуть против часовой стрелки на 180°, а потом еще на 30°, то угол поворота будет равен 210°. Если начальный радиус сделает полный оборот против часовой стрелки, то угол поворота будет равен 360°; если он сделает полтора оборота в том же направлении, то угол поворота будет равен 540° и т. д. На рисунке 65 стрелками показаны углы поворота в 405° и -200°.

Рассмотрим радиусы OA и ОВ (рис. 66). Существует бесконечно много углов поворота, при которых начальный радиус OA переходит в радиус ОВ. Так, если то соответствующие углы поворота будут равны 130° + 360°n, где n — любое целое число. Например, при n = 0, 1, —1, 2, —2 получаем углы поворота 130°, 490°, —230°, 850°, —590°.

Пусть при повороте на угол а начальный радиус OA переходит в радиус ОВ. В зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус ОВ, угол а называют углом этой четверти. Так, если 0° < а < 90°, то а — угол I четверти; если 90° < а <180°, то а — угол II четверти; если 180° < а < 270°, то а — угол III четверти; если 270° < а < 360°, то а — угол IV четверти. Очевидно, что при прибавлении к углу целого числа оборотов получается угол той же четверти. Например, угол в 430° является углом I четверти, так как 430° = 360°+ 70° и 0°<70°<90°; угол в 920° является углом III четверти, так как 200° < 270°.

Углы не относятся ни к какой четверти.

В курсе геометрии были определены синус, косинус и тангенс угла а при Теперь мы распространим эти определения на случай произвольного угла а. Кроме того, определим еще котангенс угла а, который обозначают ctg а.

Пусть при повороте около точки О на угол а начальный радиус OA переходит в радиус ОВ (рис. 67).

Синусом угла а называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.

Косинусом утла а называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.

Тангенсом угла а называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.

Котангенсом угла а называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.

Если координаты точки В равны х и у, а длина начального радиуса равна R, то

В курсе геометрии было показано, что значения синуса, косинуса и тангенса угла а, где зависят только от а и не зависят от длины радиуса R. И в общем случае sin а, cos a, tg а, а также ctg а зависят только от угла а.

Покажем, например, что sin а не зависит от R.

Пусть при повороте луча около точки О на угол а (рис. 68) радиусы займут положения Обозначим координаты точки а координаты точки

Опустим перпендикуляры из точек на ось х. Прямоугольные треугольники подобны. Отсюда

Так как точки принадлежат одной и той же координатной четверти, то их ординаты имеют одинаковые знаки. Поэтому

Заметим, что это равенство верно и в том случае, когда точки попадают на одну из осей координат. Таким образом, для любого угла а отношение не зависит от длины радиуса R.

Выражения sin а и cos а определены при любом а, так как для любого угла поворота можно найти соответствующие значения дробей Выражение tg а имеет смысл при любом а, кроме углов поворота так как для этих углов не имеет смысла дробь Для выражения ctg а исключаются углы 0°, ±180°, ±360°, для которых не имеет смысла дробь

Каждому допустимому значению а соответствует единственное значение sin a, cos а, tg а и ctg а. Поэтому синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями угла а. Их называют тригонометрическими функциями.

Можно доказать, что областью значений синуса и косинуса является промежуток [—1; 1], а областью значений тангенса и котангенса — множество всех действительных чисел.

Приведем примеры вычисления значений тригонометрических функций.

Пример:

Найдем с помощью чертежа приближенные значения sin 110°, cos 110°, tg 110° и ctg 110°.

Начертим окружность с центром в начале координат и радиусом OA = R = 3 (рис. 69). Повернем радиус OA на 110°. Получим радиус ОВ. Найдем по рисунку координаты х и у точки В: Отсюда

В таблице приведены известные из курса геометрии значения синуса, косинуса и тангенса углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90°. Прочерк сделан в том случае, когда выражение не имеет смысла.

Значения котангенса могут быть получены из значений тангенса, так как котангенс угла является числом, обратным тангенсу этого же угла. Поэтому, например,

Пример:

Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс углов 180° и 270°.

При повороте на 180° около точки О радиус OA, равный 1, (рис. 70) переходит в радиус ОВ, а при повороте на 270° — в радиус ОС.

Так как точка В имеет координаты х = — 1 и у = 0, то

Так как точка С имеет координаты х = 0 и у = —1, то

Напомним, что выражения ctg 180° и tg 270° не имеют смысла.

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Рассмотрим некоторые свойства тригонометрических функций.

Выясним сначала, какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей.

Пусть при повороте радиуса OA, равного R, на угол а точка А перешла в точку В с координатами х и у (см. рис. 67).

Так как то знак sin а зависит от знака у.

В I и II четвертях у > 0, а в III и IV четвертях у < 0. Значит, sin a > 0, если а является углом I или II четверти, и sin a < 0, если а является углом III или IV четверти.

Знак cos а зависит от знака х, так как В I и IV четвертях х > 0, а во II и III четвертях х < 0. Поэтому cos a > 0, если а является углом I или IV четверти, и cos a<0, если a является углом II или III четверти.

Так как то знаки tg а и ctg а зависят от знаков х и у. В I и III четвертях хну имеют одинаковые знаки, а во II и IV — разные. Значит, tg a > 0 и ctg a > 0, если а является углом I или III четверти; tg a < 0 и ctg a < 0, если а является углом II или IV четверти.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в каждой из четвертей показаны на рисунке 73.

Выясним теперь вопрос о четности и нечетности тригонометрических функций.

Пусть при повороте на угол а радиус OA переходит в радиус ОВ, а при повороте на угол — а в радиус ОС х (рис. 74). Соединив отрезком точки В и С, получим равнобедренный треугольник ВОС. Луч OA является биссектрисой угла ВОС. Значит, отрезок ОК является медианой и высотой треугольника ВОС. Отсюда следует, что точки В и С симметричны относительно оси абсцисс.

Пусть координаты точки В равны х и у, тогда координаты точки С равны х и -у. Пользуясь этим, найдем, что

Мы получили формулы, выражающие зависимость между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов:

Например:

Итак, синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, а косинус является четной функцией.

Рассмотрим еще одно свойство тригонометрических функций.

Если при повороте радиуса OA на угол а получен радиус ОВ (см. рис. 67), то тот же радиус получится и при повороте OA на угол, отличающийся от а на целое число оборотов. Отсюда следует, что при изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются.

Например:

Рассмотренные свойства позволяют свести нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к нахождению их значений для неотрицательного угла, меньшего 360°.

Пример:

Найдем sin 765° и cos ( — 1170°). Имеем:

Радианная мера угла. Вычисление значении тригонометрических функции с помощью микрокалькулятора

Как известно, углы измеряются в градусах, минутах, секундах. Эти единицы измерения связаны между собой соотношениями

Кроме указанных, используется также единица измерения углов, называемая радианом.

Углом в один радиан называют центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

Угол, равный 1 рад, изображен на рисунке 75.

Радианная мера угла, т. е. величина угла, выраженная в радианах, не зависит О А от длины радиуса. Это следует из того, что фигуры, ограниченные углом и дугой окружности с центром в вершине этого угла, подобны между собой (рис. 76).

Установим связь между радиан-ным и градусным измерениями углов.

Углу, равному 180°, соответствует полуокружность, т. е. дуга, длина l которой равна

Чтобы найти радианную меру этого угла, надо длину дуги l разделить на длину радиуса R. Получим:

Следовательно, радианная мера угла в 180° равна

Отсюда получаем, что радианная мера угла в 1° равна

Приближенно 1° равен 0,017 рад.

Из равенства рад также следует, что градусная мера угла в 1 рад равна

Приближенно 1 рад равен 57°.

Рассмотрим примеры перехода от радианной меры к градусной и от градусной меры к радианной.

Пример:

Выразим в градусах 4,5 рад.

Так как

Пример:

Найдем радианную меру угла в 72°.

Так как

При записи радианной меры угла обозначение «рад» часто опускают. Например, вместо равенства рад обычно пишут:

Выразим в радианной мере углы 30°, 45°, 60°, 90°, 270° и 360°. Получим:

Радианная мера угла часто используется в тригонометрических выражениях. Так, запись sirfl означает синус угла в 1 радиан, запись sin ( — 2,5) означает синус угла в —2,5 радиана, запись означает синус угла в радиан. Вообще запись sin х, где х — произвольное действительное число, означает синус угла, равного х радианам.

Значения тригонометрических функций для углов, выраженных как в градусах, так и в радианах, можно находить, используя микрокалькулятор. Так, с помощью микрокалькулятора «Электроника БЗ-З6» значения синуса, косинуса и тангенса вычисляют следующим образом. Переводят переключатель «ГРАД — РАД», находящийся в нижней части корпуса, в положение «ГРАД», если угол задан в градусах, или в положение «РАД», если угол задан в радианах. Вводят угол, нажимают клавишу а затем клавишу, над которой написано название соответствующей функции.

Пример:

Найдем с помощью микрокалькулятора значение выражения с точностью до 0,001:

а) Установим переключатель в положение «ГРАД», затем выразим 28°17′ в градусах и нажмем «последовательно клавиши Так как то программа вычислений выглядит так:

Получаем, что

б) Устанавливаем переключатель в положение «РАД» и находим значение cos 3,9 по программе:

Получаем, что cos

в) Переключатель устанавливаем в положение «РАД». При нахождении значения выражения воспользуемся тем, что на панели микрокалькулятора «Электроника БЗ-З6» имеется специальная клавиша при нажатии которой высвечивается число 3,1415926 — приближенное значение числа с точностью до Вычисления проводим по программе:

Получаем, что

Отметим, что для вычисления котангенса угла надо сначала найти значение тангенса этого угла, а потом обратное число, нажав клавиши

Основные тригонометрические формулы

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла:

Рассмотрим, как связаны между собой синус и косинус одного и того же угла.

Пусть при повороте радиуса OA вокруг точки О на угол а получен радиус ОВ (рис. 77). По определению

где х — абсцисса точки В, у — ее ордината, a R — длина радиуса OA. Отсюда

Так как точка В принадлежит окружности с центром в начале координат, радиус которой равен R, то ее координаты удовлетворяют уравнению

Подставив в это уравнение вместо х и у выражения R cos а и R sin а, получим:

Разделив обе части последнего равенства на найдем, что

Равенство (1) верно при любых значениях а. Выясним теперь, как связаны между собой тангенс, синус и косинус одного и того же угла.

По определению Так как y = R sin a, x = R cos a,

Таким образом,

Аналогично

Равенство (2) верно при всех значениях а, при которых cos , а равенство (3) верно при всех значениях а, при которых sin

С помощью формул (1) — (3) можно получить другие формулы, выражающие соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Из равенств (2) и (3) получим:

Равенство (4) показывает, как связаны между собой тангенс и котангенс угла а. Оно верно при всех значениях а, при которых tg а и ctg а имеют смысл.

Заметим, что формулу (4) можно получить и непосредственно из определения тангенса и котангенса.

Выведем теперь формулы, выражающие соотношения между тангенсом и косинусом, а также между котангенсом и синусом одного и того же угла.

Разделив обе части равенства (1) на получим:

Если обе части равенства (1) разделить на то будем иметь:

т. е.

Равенство (5) верно, когда cos а равенство (6), когда sin

Равенства (1) — (6) являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествами. Рассмотрим примеры использования этих тождеств для нахождения значений тригонометрических функций по известному значению одной из них.

Пример:

Найдем cos a, tg а и ctg а, если известно, что sin

Найдем сначала cos а. Из формулы получаем, что

Так как а является углом II четверти, то его косинус отрицателен. Значит,

Зная синус и косинус угла а, можно найти его тангенс:

Для отыскания котангенса угла а удобно воспользоваться формулой tg a • ctg a = 1. Имеем:

Пример:

Известно, что Найдем sin a, cos a и ctg a.

Воспользовавшись формулой найдем cos a. Имеем:

По условию угол a является углом I четверти, поэтому его косинус положителен. Значит,

Зная cos а и tg а, можно найти sin а. Из формулы получим:

По известному tg а легко найти ctga:

Итак,

Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражении

Мы уже встречались с некоторыми простейшими преобразованиями тригонометрических выражений. Рассмотрим более сложные примеры.

Пример:

Упростим выражение

Воспользовавшись формулами получим:

Пример:

Упростим выражение

Пример:

Докажем тождество

Преобразуем левую часть данного равенства:

Мы получили выражение, стоящее в правой части равенства. Таким образом, тождество доказано.

Формулы приведения

Тригонометрические функции углов вида могут быть выражены через функции угла а с помощью формул, которые называют формулами приведения.

Выведем сначала формулы приведения для синуса и косинуса.

Докажем, что для любого а

Повернем радиус OA, длина которого равна R, на угол а и на угол При этом радиус OA перейдет соответственно в радиусы ОВ1 и ОВ2 (рис. 78).

Опустим из точки В1 перпендикуляры на оси координат. Получим прямоугольник

Повернем прямоугольник около точки О на угол Тогда точка В1 перейдет в точку В2, точка С1 перейдет в точку С2 на оси у, точка D1 — в точку D2 на оси х, а прямоугольник перейдет в равный ему прямоугольник

Отсюда следует, что ордината точки В2 равна абсциссе точки В1, а абсцисса точки В2 равна числу, противоположному ординате точки В1. Обозначим координаты точки B1 через а координаты точки В2 через Тогда

Значит,

Из формул (1) следует, что

Действительно, представим разность в виде суммы Тогда

Формулы приведения для синуса и косинуса угла выглядят так:

Для доказательства достаточно представить в виде и дважды воспользоваться формулами (1). Например :

Заметим, что к формулам (2) легко прийти и из геометрических соображений (рис. 79). При повороте радиуса OA на угол а и на угол точка А перейдет соответственно в точки В1 и В2, которые симметричны относительно начала координат. Абсциссы, а также ординаты симметричных относительно

начала координат точек равны по модулю и противоположны по знаку. Отсюда следует, что а также — противоположные числа.

Из формул (2) следует, что

Для доказательства достаточно представить в виде суммы и применить формулы (2).

Формулы приведения для синуса и косинуса угла имеют вид:

Чтобы доказать формулы (3), достаточно представить и применить последовательно формулы (1) и (2).

Из формул (3) нетрудно получить, что

Наконец, формулы приведения для синуса и косинуса угла следуют из того, что при изменении угла на целое число оборотов значения синуса и косинуса не изменяются:

Справедливы также формулы

Например, для

Формулы приведения для тангенса и котангенса можно получить с помощью формул приведения для синуса и косинуса. Например:

Все формулы приведения сведем в две таблицы, поместив в первой из них формулы для углов а во второй — для углов

Цо таблицам легко проследить закономерности, имеющие место для формул приведения. Эти закономерности позволяют сформулировать правило, с помощью которого можно записать любую формулу приведения, не прибегая к таблице:

Функция в правой части равенства берется с тем же знаком, какой имеет исходная функция, если считать, что угол а является углом 1 четверти;

для углов название исходной функции сохраняется; для углов название исходной функции заменяется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).

Пример:

Выразим через тригонометрическую функцию угла а.

Если считать, что a — угол I четверти, то будет углом II четверти. Во II четверти тангенс отрицателен, значит, в правой части равенства следует поставить знак «минус». Для угла название исходной функции «тангенс» сохраняется. Поэтому

С помощью формул приведения нахождение значений тригонометрических функций любого угла можно свести к нахождению значений тригонометрических функций угла от .

Пример:

Найдем значение

Пример:

Найдем значение sin (— 585°).

Формулы сложения и их следствия

Выведем формулы, выражающие тригонометрические функции суммы и разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.

Повернем радиус OA, равный R, около точки О на угол а и на угол (рис. 80). Получим радиусы ОВ и ОС.

Найдем скалярное произведение векторов Пусть координаты точки В равны координаты точки С равны Эти же координаты имеют соответственно и векторы По определению скалярного произведения векторов:

Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов а и . Из определения косинуса и синуса следует, что

Подставив значения в правую часть равенства получим:

С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторов имеем:

Угол ВОС между векторами может быть равен а — (см. рис. 80), (рис. 81) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos Поэтому

Так как равно также то

Формулу (1) называют формулой косинуса разности.

Косинус разности двух углов равен произведению косинусов этих углов плюс произведение синусов этих углов.

С помощью формулы (1) легко получить формулу косинуса суммы:

Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов этих углов минус произведение синусов этих углов.

Выведем теперь формулы синуса суммы и синуса разности. Используя формулы приведения и формулу (1), получим:

Синус суммы двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс произведение косинуса первого угла на синус второго.

Для синуса разности имеем:

Синус разности двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго минус произведение косинуса первого угла на синус второго.

Формулы (1) — (4) называют формулами сложения для синуса и косинуса.

Приведем примеры использования формул сложения.

Пример:

Вычислим cos 15° и sin 15°. Представим 15° в виде разности 45° — 30°. Тогда

Пример:

Упростим выражение Воспользовавшись формулами косинуса суммы и косинуса разности, получим:

Используя формулы (1) — (4), можно вывести формулы сложения для тангенса и котангенса. Выведем, например, формулу тангенса суммы:

Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на произведение cos a cos , предполагая, что Получим:

Значит,

Аналогично можно доказать, что

Формулы двойного угла

Формулы сложения позволяют выразить sin 2a, cos 2a и tg 2a через тригонометрические функции угла a. Положим в формулах

равным a. Получим тождества:

Эти тождества называют формулами двойного угла.

Приведем примеры применения формул двойного угла для нахождения значений тригонометрических функций и преобразования тригонометрических выражений.

Пример:

Найдем значение sin 2а, зная, что cosa = — 0,8 и a — угол III четверти.

Сначала вычислим sin а. Так как a — угол III четверти, то sin а < 0. Поэтому

По формуле синуса двойного угла

Пример:

Упростим выражение

Вынесем за скобки sin a cos a и воспользуемся формулами двойного угла:

Из формулы (2) следует, что

Действительно, выразив cos 2a через sin a, получим:

Отсюда

Аналогично, выразив cos 2a через cos a, получим:

Формулы (4) и (5) используются в вычислениях и преобразованиях.

Пример:

Упростим выражение

Применим формулы (4) и (5) к выражениям 1 — cos а и 1 + cos а, представив а в виде произведения Получим:

Формулы суммы и разности тригонометрических функции

Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.

Чтобы представить в виде произведения сумму sin a + sin , положим и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:

Из равенств a = x + y и = x — y находим, что и Поэтому

Мы получили формулу суммы синусов двух углов.

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

Аналогично можно вывести формулы разности синусов, суммы и разности косинусов.

Формула разности синусов:

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.

Формула суммы косинусов:

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы, этих углов на косинус их полуразности.

Формула разности косинусов:

Разность косинусов двух углов равна взятому со знаком *минус» удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.

Учитывая, что формулу разности косинусов можно записать в другом виде:

Приведем примеры применения полученных формул.

Пример:

Упростим сумму sin 10° + sin 50°.

Воспользовавшись формулой суммы синусов, получим:

Пример:

Представим в виде произведения разность

Воспользовавшись формулой приведения, представим данное выражение в виде разности косинусов и преобразуем ее в произведение. Тогда

Пример:

Представим в виде произведения выражение 1 — sin а.

Так как то данное выражение можно представить в виде разности синусов. Поэтому

Эту задачу можно решить иначе:

С помощью формул приведения первое из полученных выражений можно преобразовать во второе и наоборот.

Вычисление значений тригонометрических выражений

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Вычисление значений тригонометрических выражений. В этой статье мы рассмотрим несколько примеров на вычисление значений тригонометрических выражений. В одной из статей уже были представлены такие примеры, посмотрите. Что необходимо знать, понимать и уметь применять?

Это формулы приведения, формулы периодичности тригонометрических функций, чётность нечётность, знаки тригонометрических функций в четвертях тригонометрической окружности, и конечно же, как всегда, требуется внимательность при вычислениях.

Периодичность тригонометрических функций.

Подробно саму теорию о периодичности здесь разъяснять не стану, будет отдельная статья, напомню  вам только сами формулы:

*Наименьший положительный период функции синус составляет 2Пи или 360⁰

*Наименьший положительный период функции косинус составляет 2Пи или 360⁰

*Наименьший положительный период функции тангенс составляет Пи или 180⁰

*Наименьший положительный период функции котангенс составляет Пи или 180⁰

Если вы знакомы с тригонометрической окружностью и тригонометрические функции основательно изучили, то понятие периодичности вам знакомо и смысл ясен.

Чётность и нечётность тригонометрических функций, кратко:

Рассмтотрим примеры.

*Общая рекомендация! Сначала выделяйте период и «избаляйтесь» от него, а уже затем применяйте свойство четности (нечётности) и формулы приведения.

64771. Найдите

Применим свойство периодичности синуса и формулу его приведения:

Вычислим cos α. Это можем сделать используя основное тригонометрическое тождество:

Определим знак косинуса для интервала (3П/2;2П). Это интервал от 270 до 360 градусов (четвёртая четверть).  Как переводить радианы в градусы (и наоборот) можно посмотреть здесь. Значение косинуса в этой четверти положительное, поэтому:

Таким образом, 8∙cos α = 8∙0,8 = 6,4

Второй способ:

Вычисляем cos α, получаем  0,8. Таким образом:

Ответ: 6,4

64897. Найдите

Применим формулу приведения для косинуса:

Вычислим sin α. Из основного тригонометрического тождества следует, что:

Определим знак синуса для интервала (0;π/2). Это интервал от 0 до 90 градусов (первая четверть). Значение синуса в этой четверти положительное, поэтому:

Таким образом,   –15∙sin α = –15∙0,96 = – 14,4

Ответ: – 14,4

65031. Найдите

Применим свойства нечётности тангенса, свойство его периодичности и формулу приведения:

Вычислим котангенс угла:

Таким образом

Ответ: – 0,8

65429. Найдите значение выражения

Используем свойство периодичности косинуса и формулу приведения синуса:

Ответ: – 2

65489. Найдите значение выражения

Используем периодичность синуса, свойство чётности косинуса и формулу приведения косинуса:

Ответ: 8

64695. Найдите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1

26784. Найдите

Посмотреть решение

26785. Найдите

26786. Найдите

Посмотреть решение

26792. Найдите значение выражения

Посмотреть решение

26793. Найдите значение выражения

Посмотреть решение

26783. Найдите значение выражения

Посмотреть решение

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.