Как найти число молекул за секунду

Количество молекул продукта, образующихся за 1 секунду Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Квантовая эффективность для продуктов: 99 —> Конверсия не требуется
Количество поглощенных квантов: 51 —> Конверсия не требуется

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

5049 —> Конверсия не требуется

18 Закон Старка-Эйнштейна Калькуляторы

Количество молекул продукта, образующихся за 1 секунду формула

Молекулы продукта, образующиеся в секунду = Квантовая эффективность для продуктов*Количество поглощенных квантов

dN_Pdt = Φ_p*I_quanta

Что такое закон фотохимической эквивалентности Штарка-Эйнштейна?

Закон фотохимической эквивалентности Штарка-Эйнштейна можно сформулировать следующим образом: каждая молекула, участвующая в фотохимической реакции, поглощает один квант излучения, вызывающего реакцию. Этот закон применим к первичному акту возбуждения молекулы за счет поглощения света. Этот закон помогает вычислить квантовую эффективность, которая является мерой эффективности использования света в фотохимической реакции.

Что такое закон Гроттуса-Дрейпера?

Согласно этому закону, только свет, который поглощается молекулой, может вызвать в ней фотохимические изменения. Это означает, что недостаточно пропустить свет через вещество, чтобы вызвать химическую реакцию; но свет должен поглощаться им. Закон фотохимической эквивалентности Штарка-Эйнштейна обеспечивает квантово-механическую форму закону Гроттуса-Дрейпера.

• Средняя длина
  свободного пробега

• Эффективный
  диаметр молекулы

Молекулы
газа, находясь в тепловом движении,
непрерывно сталкиваются друг с другом.
Термин «столкновение» применительно
к молекулам не следует понимать буквально
и представлять себе этот процесс подобным
соударению твердых шаров. Под столкновением
молекул подразумевают процесс
взаимодействия между молекулами, в
результате которого молекулы изменяют
направление своего движения.

На рис.1 показана кривая, изображающая
взаимную потенциальную энергию двух
молекул как функцию расстояния r
между их центрами.

Рассмотрим с помощью этой кривой
процесс сближения (соударения) молекул.

• Поместим мысленно центр одной из молекул
  в начало координат, а центр второй
  молекулы представим перемещающимся
  по оси r.

• Пусть вторая молекула летит по направлению
  к первой из бесконечности, имея начальный
  запас кинетической энергии
  
  .

• Приближаясь к первой молекуле, вторая
  под действием силы притяжения движется
  с все возрастающей скоростью. В
  результате:

— кинетическая энергия молекулы

также растет.

— полная энергия системы, равная

,
остается неизменной (система двух
молекул замкнута) и равной

,
так как одновременно уменьшается
потенциальная энергия

.

• При прохождении молекулой точки с
  координатой
  
  
  силы притяжения сменяются силами
  отталкивания, вследствие чего молекула
  начинает быстро терять скорость (в
  области отталкивания кривая

  идет очень круто). В момент, когда
  потенциальная энергия

  становится равной полной энергии
  системы

  ,
  скорость молекулы обращается в нуль.
  В этот момент имеет место наибольшее
  сближение молекул друг с другом.

• После остановки молекулы все явления
  протекают в обратной последовательности:
  сначала молекула движется с все
  возрастающей скоростью под действием
  силы отталкивания; миновав расстояние
  ,
  молекула попадает под действие
  замедляющей ее движение силы притяжения
  и, наконец, удаляется на бесконечность,
  имея первоначальный запас кинетической
  энергии

  .

Минимальное расстояние, на которое
сближаются при столкновении центры
двух молекул, называется эффективным
диаметром молекулы d
(рис. 2).

Величина
называется
эффективным сечением молекулы
.

Из рис.1 видно, что в случае, когда
молекула начинает свое движение из
бесконечности с большим запасом энергии,
минимальное расстояние, на которое
сближаются центры молекул, оказывается
меньшим (d₁ и d₂
на рисунке).

Таким образом, эффективный диаметр
молекул зависит от их энергии, а
следовательно, и от температуры. С
повышением температуры эффективный
диаметр молекул уменьшается.

За время между двумя последовательными
соударениями молекула газа проходит
некоторый путь

,
который называется длиной
свободного пробега.

Длина свободного пробега — случайная
величина. Иной раз молекуле удается
пролететь между соударениями довольно
большой путь, в другой раз этот путь
может оказаться весьма малым.

Найдем вероятность различных значений

.

Вероятность dP
того, что молекула испытает
соударение на отрезке пути ds,
очевидно, пропорциональна величине
этого отрезка и не зависит от того, какой
путь уже прошла молекула без столкновений.

Взяв коэффициент пропорциональности
в виде

,
получим, что

Вероятность — безразмерная
величина, следовательно,

λ- имеет размерность длины.

Пусть из полного числа

молекул путь s пролетели
без столкновения N(s)
молекул.

Из их числа претерпевает соударения на
следующем за s отрезке ds
количество молекул, равное

.

Это количество представляет собой убыль
величины N(s)
на отрезке ds,
т. е. – dN(s).

Таким образом,

Проинтегрировав, получаем

.

Здесь

= N(0) — число
молекул, прошедших без столкновений
путь, равный нулю, т. е. полное число
молекул.

Отношение N(s)
к

дает вероятность P(s)
того, что молекула пролетит, начиная с
некоторого выбранного произвольно
момента времени, путь s
без столкновений:

Найдем среднее значение длины
свободного пробега

.

Для этого нужно знать вероятность dP_l
того, что молекула, пролетев без
столкновений путь

,
претерпит соударение на следующем за

отрезке d
.

Оба эти события, т. е. пролет без
столкновений пути

и соударение на отрезке d
,
статистически независимы. Следовательно,
dP_l
равна произведению вероятностей двух
указанных событий.

Вероятность первого события равна

.

Вероятность второго события в соответствии
равна

.

Таким образом,

Среднее значение

:

Таким образом, обозначенная нами
буквой λ величина совпадает
со средней длиной свободного пробега.

За секунду молекула проходит в среднем
путь, равный средней скорости

.

Если за секунду она претерпевает в
среднем

столкновений, то средняя длина
свободного пробега будет равна

Д
ля
того чтобы подсчитать среднее число
столкновений

,

• предположим вначале, что все
  молекулы, кроме данной, застыли неподвижно
  на своих местах.

• Проследим за движением выделенной
  нами молекулы.

— Ударившись об одну из неподвижных
молекул, она будет лететь прямолинейно
до тех пор, пока не столкнется с какой-либо
другой неподвижной молекулой (рис.3).

— Это соударение произойдет в том случае,
если центр неподвижной молекулы окажется
от прямой, вдоль которой летит молекула,
на расстоянии, меньшем эффективного
диаметра молекулы d.

— В результате столкновения молекула
изменит направление своего движения,
после чего некоторое время опять будет
двигаться прямолинейно, пока на ее пути
снова не встретится молекула, центр
которой будет находиться в пределах
показанного на рис.3 цилиндра радиуса
d.

• За секунду молекула проходит путь,
  равный

  .

• Число происходящих за это время
  соударений с неподвижными молекулами
  равно количеству молекул, центры которых
  попадают внутрь коленчатого цилиндра
  длины

  и радиуса d.

• Средняя длина свободного пробега много
  больше, чем эффективный диаметр молекул
  d.

• Поэтому объем цилиндра можно считать
  равным πd²
  .

• Умножив этот объем на число молекул в
  единице объема n,
  получим среднее число столкновений
  за секунду движущейся молекулы с
  неподвижными:

В действительности все молекулы движутся,
и число соударений определяется средней
скоростью движения молекул по отношению
друг к другу, а не средней скоростью

молекул относительно стенок сосуда.

Относительная скорость двух произвольно
взятых молекул равна

Возведя это соотношение в квадрат,
получим

Начало
формы

Конец
формы

(мы воспользовались тем, что

).

Среднее значение суммы нескольких
величин равно сумме средних значений
складываемых величин. Поэтому

События, заключающиеся в том,
что первая молекула имеет скорость

,
а вторая — скорость

,
являются статистически независимыми.

Поэтому

.

Для газа, находящегося в равновесии,
каждый из сомножителей равен нулю. Таким
образом,

(среднее значение квадрата скорости
всех молекул одинаково и равно

).

Среднее число столкновений за секунду

и средняя длина свободного пробега:

Заменив πd² через
σ (где

эффективное сечение молекулы) ,
получаем

При постоянной температуре n
пропорционально р (р=nkT).

Следовательно, средняя длина свободного
пробега обратно пропорциональна
давлению:

Эффективный диаметр молекул убывает
с ростом температуры, поэтому при
повышении температуры длина свободного
пробега увеличивается.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

2017-06-30   

Оцените число ударов молекул воздуха о поверхность оконного стекла площадью $S = l м^{2}$ со стороны аудитории за интервал времени $Delta t = 1 с$. Температура воздуха в аудитории $t = 27^{ circ} С$, давление $p = 10^{5} Па$, молярная масса воздуха $mu = 29 г/моль$.

Решение:

При заданных условиях ($p = 10^{5} Па$) воздух можно считать идеальным газом, поэтому молекулы воздуха, удаленные от поверхности стекла на расстояние не большее, чем $langle v rangle Delta t$ ($langle v rangle$ — средняя скорость молекул, под которой будем иметь ввиду среднеквадратичную скорость, $Delta t = frac{1}{ nu}$, $nu$ — частота столкновений молекул), будут менять направление своего движения только при столкновениях с поверхностью окна, а не за счет столкновений друг с другом. При этом за время $Delta t$ о поверхность стекла ударятся в среднем

$N = frac{nS langle v rangle Delta t}{6}$

молекул воздуха, т.е. те молекулы, которые находятся в объеме $Sv Delta t$ и движутся в направлении окна, $n$ — концентрация молекул. Это — 1/6 часть (примерно) всех молекул, заключенных в объеме $Sv Delta t$ (рисунок).

Концентрацию молекул можно выразить через давление $p$ и температуру $T = t + 273 К$ из уравнения состояния идеального газа $p = nkT$, а скорость можно найти из соотношения, связывающего среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы $langle E rangle$ и абсолютную температуру

$langle E rangle = frac{3}{2} kT = m_{0} frac{ langle v^{2} rangle }{2}$,

$m_{0}$ — масса молекулы. Тогда

$N = frac{pS Delta t}{6kT} sqrt{ frac{3kT}{m_{0}}} = frac{pS Delta t N_{A}}{6} sqrt{ frac{3}{R(t + 273) mu}} approx 2 cdot 10^{27}$.

Здесь $N_{A} = 6 cdot 10^{23} frac{1}{моль}$