Как найти численное значение вектора

ВЕКТОР

ВЕКТОР. В физике и математике вектор – это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Их можно противопоставить другим величинам, таким, как масса, объем, давление, температура и плотность, которые можно описать обычным числом, и называются они «скалярами».

Векторная запись используется при работе с величинами, которые невозможно задать полностью с помощью обычных чисел. Например, мы хотим описать положение предмета относительно некоторой точки. Мы можем сказать, сколько километров от точки до предмета, но не можем полностью определить его местоположение, пока не узнаем направление, в котором он находится. Таким образом, местонахождение предмета характеризуется численным значением (расстоянием в километрах) и направлением.

Графически векторы изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины, как на рис. 1. Например, для того чтобы представить графически силу в пять килограммов, надо нарисовать отрезок прямой длиной в пять единиц в направлении действия силы. Стрелка указывает, что сила действует от A к B; если бы сила действовала от B к A, то мы бы записали или . Для удобства векторы обычно обозначаются полужирными прописными буквами (A, B, C и так далее); векторы A и –A имеют равные численные значения, но противоположны по направлению. Численное значение вектора А называется модулем или длиной и обозначается A или |A|. Это величина, конечно, скаляр. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается O.

Два вектора называются равными (или свободными), если их модули и направления совпадают. В механике и физике этим определением, однако, надо пользоваться с осторожностью, так как две равных силы, приложенные к различным точкам тела в общем случае будут приводить к различным результатам. В связи с этим векторы подразделяются на «связанные» или «скользящие», следующим образом:

Связанные векторы имеют фиксированные точки приложения. Например, радиус-вектор указывает положение точки относительно некоторого фиксированного начала координат. Связанные векторы считаются равными, если у них совпадают не только модули и направления, но они имеют и общую точку приложения.

Скользящими векторами называются равные между собой векторы, расположенные на одной прямой.

Сложение векторов.

Идея сложения векторов возникла из того, что мы можем найти единственный вектор, который оказывает то же воздействие, что и два других вектора вместе. Если для того, чтобы попасть в некоторую точку, нам надо пройти сначала A километров в одном направлении и затем B километров в другом направлении, то мы могли бы достичь нашей конечной точки пройдя C километров в третьем направлении (рис. 2). В этом смысле можно сказать, что

Вектор C называется «результирующим вектором» A и B, он задается построением, показанным на рисунке; на векторах A и B как на сторонах построен параллелограмм, а C – диагональ, соединяющая начало А и конец В. Из рис. 2 видно, что сложение векторов «коммутативно», т.е.

Аналогичным образом можно сложить несколько векторов, последовательно соединяя их «непрерывной цепочкой», как показано на рис. 3 для трех векторов D, E и F. Из рис. 3 также видно, что

т.е. сложение векторов ассоциативно. Суммировать можно любое число векторов, причем векторы необязательно должны лежать в одной плоскости. Вычитание векторов представляется как сложение с отрицательным вектором. Например,

где, как определялось ранее, –B – вектор, равный В по модулю, но противоположный по направлению.

Это правило сложения может теперь использоваться как реальный критерий проверки, является ли некоторая величина вектором или нет. Перемещения обычно подчиняются условиям этого правила; то же можно сказать и о скоростях; силы складываются таким же образом, как можно было видеть из «треугольника сил». Однако, некоторые величины, обладающие как численными значениями так и направлениями, не подчиняются этому правилу, поэтому не могут рассматриваться как векторы. Примером являются конечные вращения.

Умножение вектора на скаляр.

Произведение mA или Am, где m (m № 0) – скаляр, а A – ненулевой вектор, определяется как другой вектор, который в m раз длиннее A и имеет тоже направление что и A, если число m положительно, и противоположное, если m отрицательно, как показано на рис. 4, где m равно 2 и –1/2 соответственно. Кроме того, 1A = A, т.е. при умножении на 1 вектор не изменяется. Величина –1A – вектор, равный A по длине, но противоположный по направлению, обычно записывается как –A. Если А – нулевой вектор и(или) m = 0, то mA – нулевой вектор. Умножение дистрибутивно, т.е.

Мы можем складывать любое число векторов, причем порядок слагаемых не влияет на результат. Верно и обратное: любой вектор раскладывается на две или более «компоненты», т.е. на два вектора или более, которые, будучи сложенными, в качестве результирующего дадут исходный вектор. Например, на рис. 2, A и B – компоненты C.

Многие математические действия с векторами упрощаются, если разложить вектор на три компоненты по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Выберем правую систему декартовых координат с осями Ox, Oy и Oz как показано на рис. 5. Под правой системой координат мы подразумеваем, что оси x, y и z располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки. Из одной правой системы координат всегда можно получить другую правую систему координат соответствующим вращением. На рис. 5, показано разложение вектор A на три компоненты и . Они в сумме составляют вектор A, так как

Можно было бы также сначала сложить и получить , а затем к прибавить .

Проекции вектора А на три координатные оси, обозначенные A_x, A_y и A_z называются «скалярными компонентами» вектора A:

где a , b и g – углы между A и тремя координатными осями. Теперь введем три вектора единичной длины i, j и k (орты), имеющие то же самое направление, что и соответствующие оси x, y и z. Тогда, если A_x умножить на i, то полученное произведение – это вектор, равный , и

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие скалярные компоненты. Таким образом, A = B тогда и только тогда, когда A_x = B_x, A_y = B_y, A_z = B_z.

Два вектора можно сложить, складывая их компоненты:

Кроме того, по теореме Пифагора:

Линейные функции.

Выражение aA + bB, где a и b – скаляры, называется линейной функцией векторов A и B. Это вектор, находящийся в той же плоскости, что A и B; если A и B не параллельны, то при изменении a и b вектор aA + bB будет перемещаться по всей плоскости (рис. 6). Если A, B и C не все лежат в одной плоскости, то вектор aA + bB + cC (a, b и c изменяются) перемещается по всему пространству. Предположим, что A, B и C – единичные векторы i, j и k. Вектор ai лежит на оси x; вектор ai + bj может перемещаться по всей плоскости xy; вектор ai + bj + ck может перемещаться по всему пространству.

Можно было бы выбрать четыре взаимно перпендикулярных вектора i, j, k и l и определить четырехмерный вектор как величину

а можно было бы продолжать до пяти, шести или любого числа измерений. Хотя визуально такой вектор представить невозможно, никаких математических трудностей здесь не возникает. Такая запись часто бывает полезна; например, состояние движущейся частицы описывается шестимерным вектором P (x, y, z, p_x, p_y, p_z), компоненты которого – ее положение в пространстве (x, y, z) и импульс (p_x, p_y, p_z). Такое пространство называется «фазовым пространством»; если мы рассматриваем две частицы, то фазовое пространство 12-мерное, если три, то 18-ти и так далее. Число размерностей можно неограниченно увеличивать; при этом величины, с которыми мы будем иметь дело, ведут себя во многом также, как те, которые мы рассмотрим в оставшейся части этой статьи, а именно, трехмерные векторы.

Умножение двух векторов.

Правило сложения векторов было получено путем изучения поведения величин, представленных векторами. Нет никаких видимых причин, по которым два вектора нельзя было бы каким-либо образом перемножить, однако это умножение будет иметь смысл только в том случае, если можно показать его математическую состоятельность; кроме того, желательно, чтобы произведение имело определенный физический смысл.

Существуют два способа умножения векторов, которые соответствуют этим условиям. Результатом одного из них является скаляр, такое произведение называется «скалярным произведением» или «внутренним произведением» двух векторов и записывается A Ч B или (A, B). Результатом другого умножения является вектор, называемый «векторным произведением» или «внешним произведением» и записывается A ґ B или [A, B]. Скалярные произведения имеют физический смысл для одного-, двух- или трех измерений, тогда как векторные произведения определены только для трех измерений.

Скалярные произведения.

Если под действием некоторой силы F точка, к которой она приложена, перемещается на расстояние r, то выполненная работа равна произведению r и компоненты F в направлении r. Эта компонента равна F cos б F, r с , где б F, r с – угол между F и r, т.е.

Произведенная работа = Fr cos б F, r с .

Это – пример физического обоснования скалярного произведения, определенного для любых двух векторов A, B посредством формулы

Так как все величины правой части уравнения – скаляры, то

следовательно, скалярное умножение коммутативно.

Скалярное умножение также обладает свойством дистрибутивности:

Если векторы A и B перпендикулярны, то cos б A, B с равен нулю, и, поэтому, A Ч B = 0, даже если ни A, ни B не равны нулю. Именно поэтому мы не можем делить на вектор. Допустим, что мы разделили обе части уравнения A Ч B = A Ч C на A. Это дало бы B = C, и, если бы можно было бы выполнить деление, то это равенство стало бы единственным возможным результатом. Однако, если мы перепишем уравнение A Ч B = A Ч C в виде A Ч (B – C) = 0 и вспомним, что (B – C) – вектор, то ясно, что (B – C) необязательно равен нулю и, следовательно, B не должен быть равным C. Эти противоречивые результаты показывают, что векторное деление невозможно.

Скалярное произведение дает еще один способ записи численного значения (модуля) вектора:

Скалярное произведение можно записать и другим способом. Для этого вспомним, что:

Поскольку последнее уравнение содержит x, y и z в качестве нижних индексов, уравнение, казалось бы, зависит от выбранной конкретной системы координат. Однако это не так, что видно из определения, которое не зависит от выбранных координатных осей.

Векторные произведения.

Векторным или внешним произведением векторов называется вектор, модуль которого равен произведению их модулей на синус угла, перпендикулярный исходным векторам и составляющий вместе с ними правую тройку. Это произведение легче всего ввести, рассматривая соотношение между скоростью и угловой скоростью. Первая – вектор; мы теперь покажем, что последнюю также можно интерпретировать как вектор.

Угловая скорость вращающегося тела определяется следующим образом: выберем любую точку на теле и проведем перпендикуляр из этой точки до оси вращения. Тогда угловая скорость тела – это число радиан, на которые эта линия повернулась за единицу времени.

Если угловая скорость – вектор, она должна иметь численное значение и направление. Численное значение выражается в радианах в секунду, направление можно выбрать вдоль оси вращения, можно его определить, направив вектор в том направлении, в котором двигался бы правосторонний винт при вращении вместе с телом.

Рассмотрим вращение тела вокруг фиксированной оси. Если установить эту ось внутри кольца, которое в свою очередь закреплено на оси, вставленной внутрь другого кольца, мы можем придать вращение телу внутри первого кольца с угловой скоростью w 1 и затем заставить внутреннее кольцо (и тело) вращаться с угловой скоростью w 2. Рисунок 7 поясняет суть дела; круговые стрелки показывают направления вращения. Данное тело – это твердая сфера с центром О и радиусом r.

Придадим этому телу движение, которое является суммой двух различных угловых скоростей. Это движение довольно трудно представить наглядно, но достаточно очевидно, что тело больше не вращается относительно фиксированной оси. Однако все-таки можно сказать, что оно вращается. Чтобы показать это, выберем некоторую точку P на поверхности тела, которая в рассматриваемый нами момент времени находится на большом круге, соединяющем точки, в которых две оси пересекают поверхность сферы. Опустим перпендикуляры из P на оси. Эти перпендикуляры станут радиусами PJ и PK окружностей PQRS и PTUW соответственно. Проведем прямую POP ў , проходящую через центр сферы. Теперь точка P, в рассматриваемый момент времени одновременно перемещается по окружностям, которые соприкасаются в точке P. За малый интервал времени D t, P перемещается на расстояние

Это расстояние равно нулю, если

В этом случае точка P находится в состоянии мгновенного покоя, и точно также все точки на прямой POP ў . Остальная часть сферы будет в движении (окружности, по которым перемещаются другие точки, не касаются, а пересекаются). POP ў является, таким образом, мгновенной осью вращения сферы, подобно тому, как колесо, катящееся по дороге в каждый момент времени, вращается относительно своей нижней точки.

Чему равна угловая скорость сферы? Выберем для простоты точку A, в которой ось w 1 пересекает поверхность. В момент времени, который мы рассматриваем, она перемещается за время D t на расстояние

по кругу радиуса r sin w 1. По определению, угловая скорость

Из этой формулы и соотношения (1) мы получим

Другими словами, если записать численное значение и выбрать направление угловой скорости так, как это описано выше, то эти величины складываются как векторы и могут быть рассмотрены как таковые.

Теперь можно ввести векторное произведение; рассмотрим тело, вращающееся с угловой скоростью w . Выберем любую точку P на теле и любое начало координат О, которое находится на оси вращения. Пусть r – вектор, направленный от О к P. Точка P движется по окружности со скоростью

Вектор скорости V является касательным к окружности и указывает в направлении, показанном на рис. 8.

Это уравнение дает зависимость скорости V точки от комбинации двух векторов w и r. Используем это соотношение, чтобы определить новый вид произведения, и запишем:

Так как результатом такого умножения является вектор, это произведение названо векторным. Для любых двух векторов A и B, если

и направление вектора C таково, что он перпендикулярен плоскости, проходящей через А и B и указывает в направлении, совпадающем с направлением движения правовращающегося винта, если он параллелен C и вращается от A к B. Другими словами, мы можем сказать, что A, B и C, расположенные в таком порядке, образуют правый набор координатных осей. Векторное произведение антикоммутативно; вектор B ґ A имеет тот же модуль, что и A ґ B, но направлен в противоположную сторону:

Это произведение дистрибутивно, но не ассоциативно; можно доказать, что

Посмотрим, как записывается векторное произведение в терминах компонент и единичных векторов. Прежде всего, для любого вектора A,

Следовательно, в случае единичных векторов,

Это равенство также можно записать в виде определителя:

Если A ґ B = 0, то либо A или B равно 0, либо A и B коллинеарны. Таким образом, как и в случае скалярного произведения, деление на вектор невозможно. Величина A ґ B равна площади параллелограмма со сторонами A и B. Это легко видеть, так как B sin б A, B с – его высота и A – основание.

Существует много других физических величин, которые являются векторными произведениями. Одно из наиболее важных векторных произведений появляется в теории электромагнетизма и называется вектором Пойтинга P. Этот вектор задается следующим образом:

где E и H – векторы электрического и магнитного полей соответственно. Вектор P можно рассматривать как заданный поток энергии в ваттах на квадратный метр в любой точке. Приведем еще несколько примеров: момент силы F (крутящий момент) относительно начала координат, действующей на точку, радиус-вектор которой r, определяется как r ґ F; частица, находящаяся в точке r, массой m и скоростью V, имеет угловой момент mr ґ V относительно начала координат; сила, действующая на частицу, несущую электрический заряд q через магнитное поле B со скоростью V, есть qV ґ B.

Тройные произведения.

Из трех векторов мы можем сформировать следующие тройные произведения: вектор (A Ч B) ґ C; вектор (A ґ B) ґ C; скаляр (A ґ B) Ч C.

Первый тип – произведение вектора C и скаляра A Ч B; о таких произведениях мы уже говорили. Второй тип называется двойным векторным произведением; вектор A ґ B перпендикулярен к плоскости, где лежат A и B, и поэтому (A ґ B) ґ C – вектор, лежащий в плоскости A и B и перпендикулярный C. Следовательно, в общем случае, (A ґ B) ґ C № A ґ (B ґ C). Записав A, B и C через их координаты (компоненты) по осям x, y и z и умножив, можно показать, что A ґ (B ґ C) = B ґ (A Ч C) – C ґ (A Ч B). Третий тип произведения, который возникает при расчетах решетки в физике твердого тела, численно равен объему параллелепипеда с ребрами A, B, C. Так как (A ґ B) Ч C = A Ч (B ґ C), знаки скалярного и векторного умножений можно менять местами, и произведение часто записывается как (A B C). Это произведение равно определителю

Заметим, что (A B C) = 0, если все три вектора лежат в одной и той же плоскости или, если А = 0 или (и) В = 0 или (и) С = 0.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА

Предположим, что вектор U является функцией одной скалярной переменной t. Например, U может быть радиус-вектором, проведенным из начала координат до перемещающейся точки, а t – временем. Пусть t изменится на небольшую величину D t, что приведет к изменению U на величину D U. Это показано на рис. 9. Отношение D U/ D t – вектор, направленный в том же направлении, что и D U. Мы можем определить производную U по t, как

при условии, что такой предел существует. С другой стороны, можно представить U как сумму компонент по трем осям и записать

Если U – радиус-вектор r, то dr/dt – скорость точки, выраженная как функция времени. Продифференцировав по времени еще раз, мы получим ускорение. Предположим, что точка перемещается вдоль кривой, показанной на рис. 10. Пусть s – расстояние, пройденное точкой вдоль кривой. В течение малого интервала времени D t точка пройдет расстояние D s вдоль кривой; положение радиус-вектора изменится на D r. Следовательно D r/ D s – вектор направленный как D r. Далее

есть единичный вектор, касательный к кривой. Это видно из того, что при приближении точки Q к точке P, PQ приближается к касательной и D r приближается к D s.

Формулы для дифференцирования произведения подобны формулам для дифференцирования произведения скалярных функций; однако, так как векторное произведение антикоммутативно, порядок умножения должен быть сохранен. Поэтому,

Таким образом, мы видим, что, если вектор является функцией одной скалярной переменной, то мы можем представить производную почти также, как в случае скалярной функции.

Вектор и скалярные поля.

Градиент.

В физике часто приходится иметь дело с векторными или скалярными величинами, которые меняются от точки к точке в заданной области. Такие области называются «полями». Например, скаляр может быть температурой или давлением; вектор может быть скоростью движущейся жидкости или электростатическим полем системы зарядов. Если мы выбрали некоторую систему координат, то любой точке P (x, y, z) в заданной области соответствует некоторый радиус-вектор r (= xi + yj + zk) и также значение векторной величины U (r) или скаляра f (r), связанных с ним. Предположим, что U и f определены в области однозначно; т.е. каждой точке соответствует одна и только одна величина U или f , хотя различные точки могут, конечно, иметь различные значения. Допустим, что мы хотим описать скорость, с которой U и f изменяются при передвижении по этой области.

Простые частные производные, такие, как ¶ U/ ¶ x и ¶f / ¶ y, нас не устраивают, потому что они зависят от конкретно выбранных координатных осей. Однако можно ввести векторный дифференциальный оператор, независимый от выбора осей координат; этот оператор называется «градиентом».

Пусть мы имеем дело со скалярным полем f . Сначала в качестве примера рассмотрим контурную карту области страны. В этом случае f – высота над уровнем моря; контурные линии соединяют точки с одним и тем же значением f . При движении вдоль любой из этих линий f не меняется; если двигаться перпендикулярно этим линиям, то скорость изменения f будет максимальной. Мы можем каждой точке сопоставить вектор, указывающий величину и направление максимального изменения скорости f ; такая карта и некоторые из этих векторов показаны на рис. 11. Если мы проделаем это для каждой точки поля, то получим векторное поле, связанное со скалярным полем f . Это поле вектора, называемого «градиентом» f , который записывается как grad f или Сf (символ С также называется «набла»).

В случае трех измерений, контурные линии становятся поверхностями. Малое смещение D r (= i D x + j D y + k D z) приводит к изменению f , которое записывается как

где точками обозначены члены более высоких порядков. Это выражение можно записать в виде скалярного произведения

Разделим правую и левую части этого равенства на D s, и пусть D s стремится к нулю; тогда

где dr/ds – единичный вектор в выбранном направлении. Выражение в круглых скобках – вектор, зависящий от выбранной точки. Таким образом, d f /ds имеет максимальное значение, когда dr/ds указывает в том же направлении, выражение, стоящее в скобках, является градиентом. Таким образом,

– вектор, равный по величине и совпадающий по направлению с максимальной скоростью изменения f относительно координат. Градиент f часто записывается в виде

Это означает, что оператор С существует сам по себе. Во многих случаях он ведет себя, как вектор, и фактически является «векторным дифференциальным оператором» – одним из наиболее важных дифференциальных операторов в физике. Несмотря на то, что С содержит единичные векторы i, j и k, его физический смысл не зависит от выбранной системы координат.

Какова связь между Сf и f ? Прежде всего предположим, что f определяет потенциал в любой точке. При любом малом смещении D r величина f изменится на

Если q – величина (например масса, заряд), перемещенная на D r, то работа, выполненная при перемещении q на D r равна

Так как D r – перемещение, то q Сf – сила; – Сf – напряженность (сила на единицу количества), связанная с f . Например, пусть U – электростатический потенциал; тогда E – напряженность электрического поля, задается формулой

Допустим, что U создается точечным электрическим зарядом в q кулонов, помещенным в начало координат. Значение U в точке P (x, y, z) с радиус-вектором r задается формулой

где e 0 – диэлектрическая постоянная свободного пространства. Поэтому

откуда следует, что E действует в направлении r и его величина равна q/(4 pe 0r 3 ).

Зная скалярное поле, можно определить связанное с ним векторное поле. Также возможно и обратное. С точки зрения математической обработки скалярными полями оперировать легче, чем векторными, так как они задаются одной функцией координат, в то время как векторное поле требует три функции, соответствующие компонентам вектора в трех направлениях. Таким образом, возникает вопрос: дано векторное поле, может ли мы записать связанное с ним скалярное поле?

Дивергенция и ротор.

Мы видели результат действия С на скалярную функцию. Что произойдет, если С применить к вектору? Имеются две возможности: пусть U (x, y, z) – вектор; тогда мы можем образовать векторное и скалярное произведения следующим образом:

Первое из этих выражений – скаляр, называемый дивергенцией U (обозначается divU); второе – вектор, названный ротор U (обозначается rotU).

Эти дифференциальные функции, дивергенция и ротор, широко используются в математической физике.

Представьте, что U – некоторый вектор и что он и его первые производные непрерывны в некоторой области. Пусть P – точка в этой области, окруженная малой замкнутой поверхностью S, ограничивающей объем D V. Пусть n – единичный вектор, перпендикулярный к этой поверхности в каждой точке (n меняет направление при движении вокруг поверхности, но всегда имеет единичную длину); пусть n направлен наружу. Покажем, что

Здесь S указывает, что эти интегралы берутся по всей поверхности, da – элемент поверхности S.

Для простоты мы выберем удобную для нас форму S в виде небольшого параллелепипеда (как показано на рис. 12) со сторонами D x, D y и D z; точка P – центр параллелепипеда. Вычислим интеграл из уравнения (4) сначала по одной грани параллелепипеда. Для передней грани n = i (единичный вектор параллелен оси x); D a = D y D z. Вклад в интеграл от передней грани равен

На противоположной грани n = –i; эта грань дает вклад в интеграл

Используя теорему Тейлора, получим общий вклад от двух граней

Заметим, что D x D y D z = D V. Аналогичным образом можно вычислить вклад от двух других пар граней. Полный интеграл равен

и если мы положим D V ® 0, то члены более высокого порядка исчезнут. По формуле (2) выражение в скобках – это divU, что доказывает равенство (4).

Равенство (5) можно доказать таким же образом. Воспользуемся снова рис. 12; тогда вклад от передней грани в интеграл будет равен

и, используя теорему Тейлора, получим, что суммарный вклад в интеграл от двух граней имеет вид

т.е. это два члена из выражения для rotU в уравнении (3). Другие четыре члена получатся после учета вкладов от других четырех граней.

Что, в сущности, означают эти соотношения? Рассмотрим равенство (4). Предположим, что U – скорость (жидкости, например). Тогда n Ч U da = U_n da, где U_nявляется нормальной компонентой вектора U к поверхности. Поэтому, U_n da – это объем жидкости, протекающей через da в единицу времени, а – это объем жидкости, вытекающей через S в единицу времени. Следовательно,

– скорость расширения единицы объема вокруг точки P. Отсюда дивергенция получила свое название; она показывает скорость, с которой жидкость расширяется из (т.е. расходится от) P.

Чтобы объяснить физическое значение ротора U, рассмотрим другой поверхностный интеграл по маленькому цилиндрическому объему высотой h, окружающему точку P; плоско-параллельные поверхности могут быть ориентированы в любом направлении, которое мы выбираем. Пусть k –единичный вектор перпендикулярный к каждой поверхности, и пусть площадь каждой поверхности D A; тогда полный объем D V = h D A (рис. 13). Рассмотрим теперь интеграл

Подынтегральное выражение – уже упоминавшееся ранее тройное скалярное произведение. Это произведение будет равно нулю на плоских поверхностях, где k и n параллельны. На кривой поверхности

где ds – элемент кривой как показано на рис. 13. Сравнивая эти равенства с соотношением (5), получаем, что

Мы по-прежнему предполагаем, что U – скорость. Чему в таком случае будет равна средняя угловая скорость жидкости вокруг k? Очевидно, что

если D A ® 0. Это выражение максимально, когда k и rotU указывают в одном и том же направлении; это означает, что rotU – вектор, равный удвоенной угловой скорости жидкости в точке P. Если жидкость вращается относительно P, то rotU № 0, и векторы U будут вращаться вокруг P. Отсюда и возникло название ротора.

Теорема дивергенции (теорема Остроградского – Гаусса)

Теорема дивергенции (теорема Остроградского – Гаусса) является обобщением формулы (4) для конечных объемов. Она утверждает, что для некоторого объема V, ограниченного замкнутой поверхностью S,

и справедлива для всех непрерывных векторных функций U, имеющих непрерывные первые производные всюду в V и на S. Мы не будем приводить здесь доказательство этой теоремы, но ее справедливость можно понять интуитивно, представляя объем V разделенным на ячейки. Поток U через поверхность, общую для двух ячеек обращается в нуль, и только ячейки, находящиеся на границе S внесут вклад в поверхностный интеграл.

Теорема Стокса

является обобщением уравнения (6) для конечных поверхностей. Она утверждает, что

где C – замкнутая кривая и S – любая поверхность, ограниченная этой кривой. U и ее первые производные должны быть непрерывны всюду на S и C.

Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М., 1968
Погорелов А.В. Аналитическая геометрия, 3 изд. М., 1968

Векторное исчислени

Основы векторного исчисления:

Существуют две категории физических величин: скалярные и
векторные.

Скалярные и векторные величины

Скалярные величины характеризуются при выбранной единице меры одним числом. Сюда относятся, например, масса, объем тела, время, температура и т. п.

Векторные величины в отличие от скалярных характехарактеризуются, помимо численного значения, еще своим направлением в пространстве; к векторным величинам относятся сила, перемещение, скорость и ускорение точки, напряжение и т. п.

Условимся .в дальнейшем в тексте и на рисунках обозначать векторы жирными буквам латинского или греческого алфавита:

Скаляры и численные значения векторов условимся обозначать светлым
шрифтом латинского или греческого алфавита:

Так, например, если величина А вектора А (рис. 1) равна 5 кГ, а выбранный ними масштаб таков, что 1 см соответствует 1 кГ, то длина А изобразится отрезком в 5 см.

Иногда вектор обозначают двумя буквами, стоящими в начале и в конце вектора с чертой наверху, а его модуль обозначается теми же буквами, но без черты.

Так, например, вектор А (рис. 1) можно обозначать через , а его модуль — через .

Типы векторов

Имеются три типа векторов — свободные, скользящие (или передвижные) и определенные.

Вектор называется свободным, если по смыслу выражаемой им величины начало вектора может быть взято в любой точке пространства. Начало передвижного вектора может быть передвинуто вдоль линии действия вектора, и, наконец, начало определенного вектора всегда скреплено с определенной точкой пространства.

Два свободных вектора А и В называются равными, если они имеют одинаковую численную величину и одинаковое направление. Два передвижных вектора равны один другому, когда они, помимо одинаковой численной величины и одинакового направления, лежат на одной прямой. Для равенства определенных векторов дополнительным условием является общая точка их приложения. Равенство двух векторов А и В записывается в виде: А = В.

Те операции, которые можно производить над свободными векторами. Эти операции могут быть распространены на передвижные и определенные векторы с некоторыми ограничениями, которые будут рассмотрены ниже в специальных отделах теоретической механики.

Суммой двух векторов.А и В или их результирующей (рис. 2) называется вектор С, равный по величине и направлению диагонали параллелограмма, построенного на слагаемых векторах.
Сложение векторов записывается в виде:

Разностью двух векторов А и В называется такой вектор, который в сумме с вычитаемым вектором В дает уменьшаемый вектор А.

Вычитание векторов обозначается равенством:

Отсюда следует, что для нахождения разности С надо оба вектора А и В отложить из общего начала О (рис. 3) и соединить их концы; отрезок, направленный от конца вычитаемого к концу уменьшаемого вектора, даст искомую разность С.

Несколько векторов А, В, С и D складывают по правилу многоугольника векторов, для чего из конца , вектора А (рис. 4) проводят вектор равный вектору В, далее из точки b — вектор , равный С, и из точки с — вектор , равный D. Соединяя начало О первого вектора с концом d последнего вектора , получим результирующий вектор Е, имеющий направление, обратное направлению составляющих векторов:

Вектор Е называется также геометрической суммой векторов, или замыкающей многоугольника векторов.

Если три вектора А, В и С не лежат в одной плоскости, то их результирующая D выразится диагональю построенного на слагаемых векторах (рис. 5).

Это следует из того, что любые два вектора, найример В и А, можно заменить одним вектором Е = А + В. В свою очередь, векторы Е и С можно заменить вектором D, равным D = Е + С = А + В + С, что и доказывает изложенное правило.

При сложении данного вектора с противоположным сумма обращается в нуль. Противоположным вектором называется вектор, численно равный данному, но имеющий противоположное направление.

Не трудно показать обратно, что вектор можно разложить по любым двум направлениям на два составляющих вектора по правилу параллелограмма и по любым трем направлениям, не лежащим в одной плоскости, по правилу параллелепипеда.

Из сложения векторов следует, что вектор А можно умножить на любую скалярную величину ; при этом получается новый вектор В, определяемый равенством ; при вектор В имеет то же направление, что и А; при вектор В направлен противоположно А.

Деление вектора А на скалярную величину сводится к умножению его на .

Если два вектора А и В дают в сумме вектор С, то при их умножении на скалярную величину и геометрическом сложении получим новый вектор, который найдем из рассмотрения подобных угольников (рис. 6):

Вектор называется единичным, если его модуль равен единице. Единичные векторы мы будем обозначать малыми буквами, например и т. д.

Любой вектор А можно представить как произведение его модуля, т. е. численной величины А на единичный вектор а, имеющий направление вектора А. Найдем проекцию вектора на ось L, при этом рассмотрим случай, когда вектор А и ось L не лежат в одной плоскости (рис. 7).

Для нахождения проекции проведем через начало О и конец Р вектора А две плоскости, перпендикулярные к оси проекций L, и тогда отрезок на оси L, заключенный между плоскостями, и будет искомой проекцией . Проекцию вектора А на ось L можно найти иначе. Для этого перенесем мысленно ось L параллельно самой себе в начало вектора О (положение ) и из конца Р вектора А опустим на перенесенную ось перпендикуляр , тогда отрезок будет проекцией вектора А на ось L, так как . Проекция вектора А на ось L является величиной скалярной и может быть найдена из прямоугольного треугольника по формуле:

Знак для берется плюс, если направление проекции вектора совпадает с направлением оси L, как в нашем случае, и — минус, если направление проекции вектора обратно направлению оси L. Введя в рассмотрение единичный вектор оси ; мы можем выразить вектор , равный проекции вектора А на ось L, в виде:

Спроектируем теперь результирующую С и составляющие векторы А, В и С на ось L (рис. 8).

т. e. проекция замыкающей равна алгебраической сумме проекций составляющих.

Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат. Имеются две системы прямоугольных координатных осей — левая и правая (рис. 9); при этом одна является зеркальным отображением другой.

Если мы захотим последовательно совместить координатные оси, т. е. ось и , то для левой системы осей это совмещение будет происходить по направлению движения часовой стрелки, для правой же — против движения стрелки часов.

В дальнейшем в качестве основной системы координат примем правую. Если-имеется вектор А, отнесенный к правой системе координат, и если — единичные векторы (орты) координатных осей х, у и z (рис. 10), то вектор А может быть выражен через составляющие его векторы по координатным осям (компоненты) следующим образом:

Из равенств (5) находим косинусы углов, которые составляет вектор А с координатными осями:

выразится фор-

Так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, то

Отсюда модуль вектора А через его проекции выразится формулой:

Возводя в квадрат и складывая равенства (6), получаем:

Перейдем теперь к умножению векторов. При умножении векторов различают два вида их произведения — скалярное и векторное.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов А и В (рис. 11) называется скалярная величина, равная произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов обозначается символом или и определяется:

Примером скалярного произведения двух векторов из области механики является работа, где одним вектором является сила, другим — перемещение. Скалярное произведение двух векторов обладает следующими свойствами.

1. От порядка расположения перемножаемых векторов результат не меняется (свойство коммутативности), т. е, . Это свойство вытекает из определения скалярного произведения.

2. Скалярное произведение параллельных векторов равно произведению их модулей:

где знак плюс соответствует одинаково направленным, а знак минус — противоположно направленным векторам. В частности

3. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю, т. е. , и, следовательно:

4. Скалярное произведение можно рассматривать как произведение проекции одного вектора на другой, умноженной на модуль другого вектора (рис. 11):

что следует из определения скалярного произведения. Отсюда проекция вектора на ось есть скалярное произведение вектора на единичный вектор оси проекций.

5. Скалярное произведение обладает свойством дистрибутивности (раскрытия скобок), например:

6. Чтобы умножить скалярное произведение на скалярный множитель , достаточно умножить на него один из векторов:

7. Скалярное произведение равно алгебраической сумме произведений одноименных проекций:

Равенство (9) получится, если векторы А и В выразить через их компоненты по равенству (4) и раскрыть скобки.

Остановимся на рассмотрении векторного произведения векторов.

Рассмотрим площадку в виде параллелограмма, построенного из векторов А и В (рис. 12).

Этой площадке соответствует вектор С, направленный нормально к площадке и численно равный ее величине; такой вектор мы назовем вектором площадки, а откладывать его будем сообразно обходу контура площадки. Операцию, в результате которой получают вектор площадки, называют векторным произведением векторов А и В и обозначают символом или .

Таким образом, векторным произведением двух векторов А и В называется вектор С, модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Вектор С направлен перпендикулярно к плоскости этого параллелограмма в такую сторону, чтобы, смотря с острого конца этого вектора, направление обхода, задаваемое первым вектором, стоящим в векторном произведении, происходило против часовой стрелки при выбранной нами правой системе:

где — единичный вектор нормали к площадке.

Векторное произведение двух векторов обладает следующими свойствами:

1. При перемене порядка перемножаемых векторов векторное произведение меняет знак:

Это следует из того, что вектор С меняет свое направление.

2. Векторное произведение параллельных векторов равно нулю, т. е. , так как при. В частности

3. Численное значение векторного произведения перпендикулярных векторов равно произведению их численных зйачений, т. е. . В частности

Векторы же

4. Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности:

Это свойство не трудно доказать.

5. При умножении векторного произведения на скалярный множитель достаточно умножить на него один из сомножителей:

что следует из определения векторного произведения.

6. Векторное произведение может быть выражено через проекции перемножаемых векторов следующим образом:

Эта более сокращенная запись называется детерминантом, или определителем. Наиболее часто встречаются детерминант второго порядка

и детерминант третьего порядка

В справедливости последнего равенства можно легко убедиться, если вместо А и В подставить их компоненты по равенству (4) и произвести преобразования.

Коэффициенты, стоящие при ортах и , суть величины проекций векторного произведения на координатные оси х, у и z, выпишем их отдельно:

Формулы (11) легко запомнить, так как индексы у С, А и В меняются по закону круговой подстановки минус произведение А на В с обратно переставленными индексами.

Перейдем теперь к рассмотрению скалярно-векторного, или смешанного произведения векторов, обозначаемого или . Это произведение имеет простой геометрический смысл.

Построим на перемножаемых векторах А, В и С параллелепипед (рис. 13) и обозначим через D, тогда имеем

где — проекция вектора А на направление D, выражает высоту параллелепипеда, a D по величине равен основанию параллелепипеда. Следовательно, выражает объем параллелепипеда V.

Не трудно видеть, что смешанное произведение не меняется при. циклической перестановке множителей, т. е.

и обращается в нуль, если перемножаемые векторы комплонарны или если два из перемножаемых векторов коллинеарны, так как объем параллелепипеда, построенного на таких векторах, обращается в нуль.

Векторы, расположенные в одной плоскости, называются комплонарными.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны.

Смешанное произведение можно выразить через проекции перемножаемых векторов в виде:

Рассмотрим,наконец, двойное векторное произведение или , которое дает некоторый вектор, комплонарный с векторами В и С. Действительно, векторное произведение дает вектор Р, перпендикулярный к плоскости параллелограмма векторов В и С (рис. 14), а вектор должен быть перпендикулярен к плоскости параллелограмма векторов А и Р, а следовательно, лежать в плоскости параллелограмма векторов В и С. Далее имеем:

что после преобразования дает:

т. е. двойное векторное произведение равно среднему — вектору с коэффициентом, равным скалярному произведению двух оставшихся векторов минус второй вектор, во внутренний скобках, с коэффициентом, равным скалярному произведению оставшихся векторов.

Задача:

Найти величину и направление результирующей D трех передвижных векторов, линии действия которых пересекаются в одной точке:

Решение. По формуле (3) находим результирующую D заданных векторов: которая будет рас-положена в плоскости ху. Величина результирующей , а направление ее определится косинусами углов и , которые результирующая составляет с осями координат х и у:

Краткие сведения из векторного анализа

Выше мы ограничились рассмотрением постоянных которые не меняли ни величины, ни направления с течением времени. Представим себе теперь движущуюся в пространстве точку М (рис. 15).

Положение ее в пространстве в данный момент времени определяется тремя координатами х, у и z или концом радиуса вектора r, проведенного из начала координат. За малый промежуток времени точка М перейдет в положение , тогда ее положение в пространстве будет определяться уже другими координатами , а следовательно, и другим радиусом-вектором Здесь мы имеем дело с переменным радиусом-вектором, который является функцией скалярного аргумента времени t.

Вообще переменные векторы, зависящие от различных скалярных аргументов, принято обозначать через и т. д.

За время радиус-вектор движущейся точки получит приращение , которое называется геометрическим приращением вектора и найдется как геометрическая разность:

Вектор называется непрерывным, если при значении аргумента будет выполнено условие:

При дальнейших операциях мы будем рассматривать только непрерывные векторные функции. Если для ряда малых промежутков времени нам известен ряд последовательных положений переменного вектора г, то, перенося все векторы в общее начало О и переходя к пределу при , мы получим плавную кривую, соединяющую концы перенесенных векторов. Эта кривая, будучи непрерывной при непрерывности г, называется годографом вектора г и играет по отношению к вектору г ту же роль, что и график скалярной функции по отношению к координатам х, у и z.

Для движущейся точки М (рис. 15) годографом радиуса-вектора г, определяющего положение точки М, является та кривая, которую описывает точка М при своем движении.

При движении точки М быстрота изменения вектора г будет определяться отношением , которое представляет вектор, направленный по .

Переходя к пределу, получим:

Последнее равенство выражает производную вектора г по скалярному аргументу t. Эта производная является вектором, направленным по касательной к кривой в точке М.

В самом деле, так как вектор г непрерывный, то при и , а поэтому в пределе совпадает с направлением касательной к кривой в данной точке. Если г = const, то .

Рассмотрим теперь основные свойства производных от векторных функций.

Выводы математического анализа, известные для скалярных переменных, могут быть распространены на область переменных векторов, зависящих от скалярных аргументов. Эти выводы, хорошо известные из курса анализа, мы здесь не приводим.

1. Производная суммы векторов равна сумме производных от каждого слагаемого:

2. Производная от скалярного произведения двух векторов равна произведению первого вектора на производную второго плюс произведение второго вектора на производную первого:

3. Производная от векторного произведения двух векторов находится аналогично предыдущему:

4. Производная от произведения скаляра на вектор находится аналогично (15):

5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

6. Скалярное произведение вектора на его производную равно произведению модуля вектора на производную его модуля:

С другой стороны, ; но так как ,

то:

или

7. Производная вектора, имеющего постоянную величину, равна его модулю, умноженному на производную по скалярному аргументу от угла поворота, и представляет вектор, направленный перпендикулярно данному вектору в сторону его вращения:

17

гдеτ— единичный вектор, направленный перпендикулярно к вектору г в сторону его вращения.

В самом деле, если модуль вектора вижном начале О вектора г его конец будет описывать окружность с центром в точке О (рис. 16).

При повороте вектора на угол Δθ его конец опишет дугу . Производная же вектора г по скалярному аргументу t согласно (а) найдется по выражению:

Так как предел отношения длины хорды к длине дуги равен единице, то предел отношения Δг к Δs представляет вектор, численно равный единице и направленный перпендикулярно к вектору г; обозначим его τ. Отсюда получаем равенство (20). В частности производная от единичного вектора n радиуса-вектора г, изменяющего только свое направление, будет равна:

8. Производная вектора г, зависящего от скаляра s, который в свою очередь, зависит от скалярного аргумента t, находится по тем же правилам, что и для сложных скалярных функций:

9. Все свойства нахождения производных от векторных функций можно распространить на случай их дифференцирования. Например:

Рекомендую подробно изучить предмет:

Теоретическая механика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Виды связей
• Параллельные силы
• Произвольная плоская система сил
• Равновесие системы, состоящей из нескольких тел
• Потенциальное силовое поле
• Закон сохранения механической энергии
• Принцип Даламбера
• Динамические реакции при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

§ 30. Векторы

30.1 Понятие вектора

Как вы знаете из физики и планиметрии, векторными величинами или, короче, векторами называются величины, которые характеризуются не только численным значением при выбранной единице измерения, но и направлением. Численное значение вектора называется его модулем или абсолютной величиной. Особый случай представляет нулевой вектор — его модуль равен нулю, а направления он не имеет.

Ненулевые векторы изображаются направленными отрезками. Напомним, что направленным отрезком называется отрезок, у которого указан порядок концов: первый называется началом, второй — концом. Направленные отрезки также называют векторами.

Вектор с началом А и концом В обозначается . Модуль вектора — это длина отрезка АВ.

30.2 Сонаправленность и равенство векторов

Ненулевые векторы и называются сонаправленными или одинаково направленными, если лучи АВ и MN сонаправлены (рис. 260, а, б). Напомним, что понятие сонаправленности лучей было определено в п. 15.1. Для сонаправленных векторов и применяется обозначение ↑↑ .

Из этого определения и сонаправленности двух лучей, сонаправленных с третьим (лемма п. 15.1), вытекает признак сонаправленности векторов: два вектора, сонаправленные с третьим вектором, сонаправлены.

Ненулевые векторы называются равными, если их длины равны и они сонаправлены. Равенство нулевых векторов определяется лишь первым из этих условий.

Итак, равенство = означает, что выполняются два условия: 1) || = || и 2) ↑↑ (рис. 261, а, б). Второе условие проверяется лишь в случае, когда || ≠ 0.

Из данного определения и признака сонаправленности векторов следует признак равенства векторов: два вектора, равные третьему вектору, равны. Действительно, длины у них равны, а направление у них одно и то же, так как два вектора, сонаправленные с третьим, сонаправлены.

Отложить от данной точки вектор, равный данному, — значит построить направленный отрезок с началом в этой точке, изображающий данный вектор. От любой точки в пространстве можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Действительно, пусть заданы вектор и некоторая точка М. Тогда найдётся единственная точка N, такая, что = . Если точка М не лежит на прямой (АВ) (см. рис. 261, а), то, построив параллелограмм ABNM, найдём искомую точку N. Если же точка М лежит на прямой (АВ) (см. рис. 261, б), то на том луче прямой АВ, который имеет начало в точке М и сонаправлен с лучом АВ, откладываем отрезок MN, равный отрезку АВ. В обоих случаях точка N единственная.

Напомним ещё, что два вектора называются коллинеарными (или параллельными), если изображающие их направленные отрезки параллельны или лежат на одной прямой. Аналогично определяется параллельность и перпендикулярность векторов прямым и плоскостям. О двух параллельных, но несонаправленных ненулевых векторах говорят, что они направлены противоположно. Параллельность, перпендикулярность и противоположная направленность векторов и обозначается соответственно так: || , ⊥ , ↑↓ .

30.3 Сложение векторов

Как и в планиметрии, сумму двух векторов можно найти по правилу треугольника (рис. 262, а). А именно если даны два вектора и , то вектор откладываем от любой точки А: = . Затем от его конца — точки В — откладываем вектор : = . Суммой + векторов и называется вектор = .

Полученный результат не зависит от выбора точки А. А именно если взять другую точку А₁ и отложить векторы — и = , то в результате получим вектор = (рис. 262, б).

Если векторы и не параллельны, то их сумму можно получить, пользуясь известным вам правилом параллелограмма. Согласно этому правилу надо отложить их от одной точки: = и = (рис. 262, в). Затем построить на отрезках АВ и AD параллелограмм ABCD. Вектор = + .

Свойства операций сложения векторов в стереометрии те же, что и в планиметрии, и доказываются они точно так же, как в планиметрии. Перечислим эти свойства, сопровождая их рисунками, из которых ясно, как они доказываются.

1. Переместительное свойство, или коммутативность: + = + для любых векторов и (рис. 262, г).
2. Сочетательное свойство, или ассоциативность: + ( + ) = ( + ) + для любых векторов , , (рис. 262, д).
3. Свойство нуль-вектора: + = а для любого вектора .
4. Существование и единственность противоположного вектора: для каждого вектора существует, и притом единственный, вектор —, такой, что + (-) = (рис. 262, е).

Вычитание векторов — это операция, обратная сложению векторов. Вычесть из вектора вектор — значит найти такой вектор , который в сумме с вектором даст вектор (рис. 263, а). Чтобы вычесть из вектора вектор , можно прибавить к вектору а вектор — (рис. 263, б).

По правилу параллелограмма сумма двух векторов, непараллельных одной прямой, представляется диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах, отложенных от одной точки.

Аналогично сумма трёх векторов, непараллельных одной плоскости, представляется диагональю параллелепипеда, построенного на данных векторах, отложенных от одной точки, как на рёбрах (рис. 264). Убедитесь в этом.

30.4 Умножение вектора на число

Напомним определение умножения вектора на число, данное ещё в планиметрии.

Пусть даны ненулевой вектор и действительное число х ≠ 0. Произведением вектора на число х называется такой вектор х, который, во-первых, имеет длину |x| • || и, во-вторых, сонаправлен с , если х > 0, и направлен противоположно , если х

Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т. е. каждым двум точкам X, У сопоставляются такие точки Х’, У’, что .

А так как по (9) , то получаем, что

Итак, параллельный перенос — это движение. Оказывается, что любое движение в пространстве можно получить, последовательно выполняя два из трёх рассмотренных нами видов движений: отражение в плоскости, поворот вокруг прямой и перенос. А именно справедлива следующая

Теорема (о классификации движений в пространстве): каждое движение в пространстве можно получить, последовательно выполняя либо поворот вокруг прямой и перенос вдоль этой прямой (такое движение называется винтовым, рис. 274, а), либо поворот вокруг прямой и отражение в плоскости, перпендикулярной этой прямой (такое движение называется зеркальным поворотом, рис. 274, б), либо отражение в плоскости и перенос вдоль этой плоскости (такое движение называется скользящим отражением, рис. 274, в).

Доказательство этой теоремы мы не приводим.

Содержание:

Определение: Вектором называется направленный отрезок прямой

где А — начало, а В — конец вектора.

Замечание: Векторы в основном обозначают одной прописной буквой латинского алфавита со стрелочкой (или черточкой) наверху .

Определение: Если начало и конец вектора не закреплены, то он называется свободным.

Замечание: Свободный вектор можно перемещать как вдоль его прямой, так и параллельно самому себе.

Определение: Если зафиксирована точка, которая определяет начало вектора, то она называется точкой приложения вектора.

Определение: Длиной (модулем) вектора а называется расстояние от его начала до его конца:

Определение: Векторы называются коллинеарными (Рис. 1), если они лежат на одной прямой или в параллельных прямых.

Рис.1. Коллинеарные векторы.

Определение: Векторы называются компланарными (Рис. 2), если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Рис.2. Компланарные векторы.

Определение: Два коллинеарных вектора и называются равными, если они со-направлены и имеют одинаковую длину.

Определение вектора и основные свойства

Многие величины, например, масса, длина, время, температура и др. характеризуются только числовыми значениями. Такие величины называются скалярными величинами. Некоторые же величины, например, скорость, ускорение, сила и др. определяются как числовыми значениями, так и направлением. Такие величины называются векторными величинами. Перемещение — самый простой пример векторных величин. Перемещение тела из точки в точку изображается с помощью направленного от до отрезка — вектора. Вектор изображается с помощью направленного отрезка.

Длина этого отрезка, называется длиной или модулем вектора. Вектор обозначается указанием начальной и конечной точки. Например, вектор , здесь — начало, вектора. Вектор обозначается также и маленькими буквами, например, вектор . Длину вектора обозначают, как:

Два вектора называется равными, если они равны по модулю и одинаково направлены. На рисунке векторы и равны: .

• Два вектора называются противоположными, если они равны по модулю и противоположно направлены.

Векторы и противоположны:

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается Длина нулевого вектора равна 0, а направление не определено. Если направленные отрезки, изображающие векторы, параллельны или лежат на одной и той же прямой, то они называются коллинеарными векторами. Коллинеарные вектора могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Одинаково направленные вектора обозначаются как , а противоположно направленные .

На рисунке векторы -коллинеарные векторы. Здесь

Выражения вектора компонентами в координатной плоскости

Рассмотрим вектор на координатной плоскости. Конечная точка относительно начальной точки изменила свое положение вдоль оси на (при направо, при налево), вдоль оси на (при вверх, при вниз). Векторы и , определенные (и по модулю, и по направлению) парами чисел и (как указано выше), являются компонентами вектора . На координатной плоскости вектор записывается как . Эта запись называется записью вектора с компонентами.

Равные векторы имеют равные компоненты. Наоборот, если, соответствующие компоненты векторов равны, то эти векторы равны. На рисунке . Если дан какой либо вектор , то выбрав любую точку плоскости как начало, можно построить вектор равный данному, причем только один. Значит, выбирая разные начальные точки можно построить бесконечно много векторов равных данному.

На координатной плоскости вектор с начальной точкой и конечной точкой согласно координатам этих точек можно выразить с компонентами. Так как , то . Здесь называются также координатами вектора.

Длина вектора

Длину вектора можно найти по координатам начальной у и конечной точек, используя формулу расстояния между точками.

Длину вектора данными с компонентами можно найти по формуле:

Пример 1.

Напишите вектор начальная точка которого , конечная в виде

Решение: Напишем вектор с компонентами:

Пример 2.

Точка начальная точка вектора Найдите координаты конечной точки этого вектора.

Решение: Примем за координаты конечной точки вектора — точку : Тогда . Конечная точка этого вектора

Пример 3.

В координатной плоскости нарисуйте несколько векторов равных вектору начальными точками которых являются точки .

Решение: Данные точки отмечаются на координатной плоскости. Начиная с этих точек изображаются векторы равные

Пример 4.

и соответственно начальная и конечная точка вектора . Напишите этот вектор в виде и найдите длину

Направление вектора

В соответствии с областями применения существуют различные способы определения направления вектора. В повседневной жизни мы выражаем направление словами налево, направо, вниз, вверх или же восток, запад, север, юг. На координатной плоскости направление вектора определяется углом с положительным направлением оси против часовой стрелки. Этот угол назовем углом наклона.

На рисунке длина вектора обозначена а угол, определяющий направление, через .

длина вектора:

направление вектора: или

Иногда для простоты вектор изображается на плоскости только указанием положительного направления .

Пример 1.

Вектор перемещения, модуль которого 200 м, направлен под углом наклона Выбрав масштаб 1 см : 100 м, нарисуйте этот вектор.

Решение: От начала луча, образующий с положительным направлением оси угол в , соответственно масштабу 1 см : 100 м линейкой отложим отрезок длиной 2 см.

Пример 2.

Определите длину и угол наклона вектора

Решение: Произвольную точку на координатной плоскости примем за начало вектора. От этой точки по горизонтальной оси отложим компоненту , равную 3 единицам, по вертикальной оси отложим компоненту , равную 4 единицам, и построим вектор как показано на рисунке. Если измерить транспортиром угол , то можно увидеть, что его приближенное значение равно Это можно проверить вычислениями.

Длина вектора: Угол наклона:

Сложение и вычитание коллинеарных векторов

Вектор, показывающий сумму одинаково направленных коллинеарных векторов называется результирующим. Его абсолютная величина равна сумме абсолютных величин данных векторов, а сам вектор имеет одинаковое направление с данными векторами.

Абсолютная величина результирующего вектора 2-х противоположно-направленных коллинеарных векторов равна разности абсолютных величин этих векторов, а направление совпадает с направлением вектора большего по абсолютной величине.

Выполним графически сложение векторов, соответствующее реальным жизненным ситуациям.

Задача 1.

Для того, чтобы достичь финиша, Джамиля должна пройти 3 знака. Если она пройдет 10 м на восток, то доберется до 1-го знака, потом пройдя 50 м вперед до 2-го знака и, пройдя в том же направлении еще 20 м, сможет добраться до финиша. Изобразите движение Джамили графически — векторами. Выберем масштаб:

1 см : 10 м и на числовой оси нарисуем векторы так, чтобы начало второго вектора совпало с концом первого, а начало третьего с концом второго.

Результирующий вектор обозначим через Его длину можно выразить как:

Общее перемещение: 10 м + 50 м + 20 м = 80 м (на восток) Изображается вектор длиной 8 см согласно выбранному масштабу.

Задача 2.

Представьте, что вы прошли 100 м на восток, еще 200 метров на запад.

Нарисуем данные вектора в масштабе

По определению, модуль результирующего вектора равен разности модулей векторов. А направление будет на запад.

В этом случае длина результирующего вектора равна:

200 м 100 м = 100 м (на запад)

Пусть векторы и противоположно направленные, а их результирующий вектор. При и вектор одинаково направлен с вектором .

При и вектор одинаково направлен с вектором .

При то есть сумма противоположных векторов равна вектору.

Для того, чтобы найти разность нужно к вектору прибавить вектор , противоположный вектору .

То есть выражения эквивалентные.

Жившие в XVII веке ученые-математики Рене Декарт и Пьер Ферма, взаимосвязывая алгебру и геометрию, создали новую область науки-аналитическую геометрию. Аналитическая геометрия, благодаря методу координат, позволила, с одной стороны, посредством алгебраических выкладок легко доказывать геометрические теоремы, а с другой стороны, в силу наглядности геометрических представлений упрощает решение задач над векторами.

Сложение векторов

Существуют различные способы сложения неколлинеарных векторов. Рассмотрим два графических способа. При сложении векторов графическим способом данные вектора и результирующий вектор, показывающий их сумму строятся с помощью линейки (модуль) и транспортира(направление).

Вектора можно складывать в любой последовательности. Переместительное свойство сложения верно и для векторов. По этому правилу можно складывать три и более вектора. Определим графическим способом вектор Для этого: 1) нарисуем вектор противоположный вектору 2) переместим так, чтобы конечная точка вектора совпадала с начальной точкой вектора

3. Соединим начальную точку вектора и конечную точку вектора Это будет вектор

Пример 1.

Джамал прошел от палатки, разбитой в лагере 60 метров на юг, 120 м на восток, еще 100 м на север и дошел до озера. Какое наименьшее расстояние от палатки до озера?

Решение:

Выберем масштаб: 1 см : 40 м

Движение Джамала изобразим последовательно соответствующими векторами по выбранному масштабу.

Начальную точку 1-го вектора, показывающего движение Джамала, соединим с конечной точкой 3-го вектора. Полученный результирующий вектор выражает сумму векторов Длина этого вектора приблизительно 126,4 метров, а направление под углом

Ответ: Озеро находится на расстоянии 126,4 м от палатки.

Правило параллелограмма

1. Даны вектора: и

2. Переместим вектор так, чтобы начальные точки векторов и совпадали.

3. Построим параллелограмм со сторонами и параллельным переносом соответствующих векторов и Диагональ этого параллелограмма, которая соединяет начальную и конечную точку векторов показывает их сумму:

Переместительные и сочетательные свойства сложения векторов

Для любых векторов верно следующее:

Переместительное свойство:

Сочетательное свойство:

Свойство идентичности:

Сумма противоположенных векторов:

Пример:

Сложение векторов, заданных компонентами

Выполним сложение двух векторов на координатной плоскости, используя их компоненты.

Суммой векторов и будет вектор:

Пример 1.

Если и то вектор выразите через компоненты.

Решение: Для того, чтобы найти компоненты вектора нужно по горизонтали (оси абсцисс) и по вертикали (оси ординат) сложить соответствующие компоненты векторов

Пример 2.

Самолет летит в направлении северо-востока со скоростью 707 миль/час. Скорость самолета выражается вектором В восточном направлении дует ветер со скоростью 40 миль/час. Скорость ветра выражается вектором Как изменится скорость самолета под воздействием ветра?

Конечная скорость самолета:

Аналогично можно показать, что

Пример 3.

Если , то

Тригонометрические отношения и компоненты вектора

Найдем компоненты вектора в координатной плоскости, используя тригонометрические отношения. Обозначим

имеем:

Запись также является записью вектора с компонентами. Угол наклона можно найти по формуле

Пример 1.

Автомобиль движется в северо-восточном направлении под углом со скоростью 80 км/ч. Напишите вектор скорости с компонентами.

Решение: По данным

скорость в вост. напр.

скорость в север, напр.

Пример 2.

Движения мяча изображены двумя векторами: с углом наклона и модулем равным 18 м и с углом наклона и модулем равным 10 м. Определите вектор, показывающий перемещение мяча (модуль и направление).

Решение: Перемещение мяча: Запишем векторы c компонентами:

Здесь

Пусть

По правилу сложения векторов с заданными компонентами имеем:

Найдем длину и угол наклона вектора перемежения мяча, изобразив этот вектор в новой системе координат.

Умножение вектора на число

Произведение вектора на число записывается как а его длина равна при вектора имеют одинаковое направление, при вектора имеют противоположное направление. Любой вектор коллинеарен вектору, выражающему произведение этого вектора на число (отличное от нуля). Если и коллинеарные векторы, то существует единственное число что

Свойство умножения вектора на число

1. Сочетательное свойство.

Для любых чисел и вектора

2. Распределительное свойство.

Для любых чисел и вектора

Для любого числа и векторов

Действия над векторами, заданным над координатами

Для вектора заданного компонентами и для любого числа верно:

Пример: Если

Пример: Если

• Соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

• Наоборот, если соответствующие координаты векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарные.

Условие коллинеарности векторов (при )

Пример: При каком значении векторы коллинеарны?

Подробное объяснение вектора:

Определение: Вектор — Упорядоченную совокупность n вещественных чисел называют n-мерным вектором, а числа — компонентами, или координатами, вектора.

Пример:

Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент.

Обозначения:

Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху, например, Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.

Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) (2, 3, 5, 0, 1).

Операции над векторами. Произведением вектора на действительное число называется вектор Суммой векторов и называется вектор

Пространство векторов. N-мерное векторное пространство определяется как множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.

Экономическая иллюстрация. Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространство благ (товаров). Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте. Предположим, что существует конечное число наличных товаров n; количества каждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров

где через обозначается количество блага, приобретенного потребителем. Будем считать, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров

Линейная независимость. Система n-мерных векторов называется линейно зависимой, если найдутся такие числа из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство в противном случае данная система векторов называется линейно независимой, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все Геометрический смысл линейной зависимости векторов в интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоремы.

Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Теорема 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Левая и правая тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае — левая тройка. Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Базис и координаты. Тройка некомпланарных векторов в называется базисом, а сами векторы — базисными. Любой вектор может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде (1.1) числа в разложении (1.1) называются координатами вектора в базисе и обозначаются

Ортонормированный базис. Если векторы попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать Будем предполагать, что в пространстве выбрана правая система декартовых прямоугольных координат

Векторное произведение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется следующими тремя условиями:

1. Длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах
2. Вектор перпендикулярен к каждому из векторов
3. Векторы взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Для векторного произведения вводится обозначение

Если векторы коллинеарны, тo в частности, Векторные произведения ортов: Если векторы заданы в базисе координатами то Смешанное произведение. Если векторное произведение двух векторов скалярно умножается на третий вектор , то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом Если векторы в базисе заданы своими координатами

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование — это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.

Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка — левая, то и следовательно

Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору обозначается символом Символом обозначается радиус-вектор точки М, символами обозначаются модули векторов

Пример №1

Найдите угол между векторамиединичные векторы и угол между равен 120°.

Решение:

Имеем:

Окончательно имеем:

Пример №2

Зная векторы АВ(-3,-2,6) и ВС(-2,4,4), вычислите длину высоты AD треугольника АВС.

Решение:

Обозначая площадь треугольника АВС через S, получим:

значит, вектор имеет координаты (—5,2,10).

Пример №3

Даны два вектора Найдите единичный вектор , ортогональный векторам и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов была правой.

Решение:

Обозначим координаты вектора относительно данного правого ортонормированного базиса через Поскольку По условию задачи требуется, чтобы и Имеем систему уравнений для нахождения

Из первого и второго уравнений системы получим Подставляя в третье уравнение, будем иметь:

Используя условие получим неравенство

С учетом выражений для перепишем полученное неравенство в виде: откуда следует, что

Линейные операции над векторами

1. Сумма векторов. Для нахождения суммы векторов существует два правила: а) правило треугольника. Пусть векторы и неколлинеарные и пусть начало вектора совмещено с концом вектора , тогда их суммой будет вектор начало которого совпадает с началом вектора , а его конец — с концом вектора (Рис. 3):

Рис. 3. Сложение векторов по правилу треугольника.

б) правило параллелограмма. Пусть векторы неколлинеарные и пусть начала векторов совпадают. Построим на векторах параллелограмм (Рис. 4), тогда их суммой будет вектор начало которого совпадает с общим началом векторов , а его конец лежит в противоположной вершине параллелограмма:

Рис. 4. Сложение векторов по правилу параллелограмма.

Сумма векторов обладает следующими свойствами:

-переместительным ; — сочетательным

2. Разность векторов. Разностью векторов называется вектор сумма которого с вектором дает вектор (Рис. 5): Рис. 5. Разность векторов.

3. Умножение вектора на вещественное число. При умножении веществе иного числа k на вектор получают ему коллинеарный вектор длина которого равна сонаправленный с вектором если и антинаправленный вектору если

Замечание: Числа в векторной алгебре называют скалярами. Отметим здесь, что векторы и скаляры нельзя складывать и вычитать, так как это объекты разной природы.

Замечание: Из определения операции 3 следует первое условие коллинеарности векторов: — отношения соответствующих проекции векторов должны быть равны между собой (о проекциях векторов см. ниже пункты 3 и 4).

Пример №4

Найти произведение вектора на 2 и (-3).

Решение:

Используя вышеприведенное правило, получим

Произведение числа на вектор обладает следующими свойствами:

Замечание: Если k = 0, то в результате умножения , получают нулевой вектор.

Определение: Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают, т.е. расположены в одной точке.

Проекция вектора на произвольную ось

Пусть дана ось l и вектор Проведем через начало вектора прямую,

которая параллельна оси l, угол между прямой и вектором обозначим через (Рис. 6):

Рис. 6. Проекция вектора на заданную ось.

Из начала и конца вектора опустим на ось l перпендикуляры, получим отрезок

Определение: Проекцией вектора на ось l называется длина отрезка взятая со знаком «+», если угол и со знаком «-», если Из рисунка видно, что отрезок следовательно, Из этой формулы видно, что при величина а при величина При проекция равна нулю, Т. е.

Проекции обладают свойствами:

— если то

Декартова система координат и вектора

Определение: Направленная прямая с выбранным началом отсчета и масштабом измерения называется числовой осью.

Определение: Две (три) взаимно перпендикулярные числовые оси называются декартовой системой координат на плоскости (в пространстве).

Рассмотрим декартову систему координат и спроектируем вектор на координатные оси (Рис. 7).

Рис. 7. Проекции вектора на оси декартовой системы координат.

Из рисунка видно, что проекции вектора на:

(в пространстве — ось аппликат (Oz) ).

Определение: Проекции называются координатами вектора Используя теорему Пифагора, найдем длину вектора

Направляющие косинусы вектора

Обозначим углы, которые образует вектор с положительными направлениями координатных осей пространственной декартовой системы отсчета через Тогда

Определение: Величины называются направляющими косинусами вектора

Вычислив квадрат модуля вектора найдем соотношение, которое связывает направляющие косинусы вектора

Способы задания вектора

1. Задаются координаты начальной и конечной точек вектора и. Тогда
2. Задаются аффинные координаты вектора
3. Задаются длина вектора и два любых угла, которые образует вектор с какими-либо координатными осями и знак одной из проекций:, но так как по условию , то . Следовательно,

Деление отрезка в заданном отношении

Пусть в пространственной декартовой системе отсчета даны две точки и Требуется найти на заданном отрезке такую точку чтобы где — заданное число (Рис. 8).

Рис. 8. Деление отрезка в заданном отношении.

Из рисунка видно, что В силу того, что Подставляя это равенство в систему и исключая вектор найдем, что .

Отсюда найдем вектор В проекциях на координатные оси это равенство равносильно системе равенств которая определяет деление отрезка в заданном отношении. Если точка делит отрезок пополам то система полученных равенств принимает вид известный из курса математики средней школы

Понятие базиса векторов

Определение: Любые два (три) неколлинеарных (некомпланарных) вектора образуют базис.

Теорема: Пусть даны два неколлинеарных вектора и . Любой другой компланарный им вектор может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов и : , где и — вещественные числа.

Доказательство: Пусть векторы , и приведены к общему началу (Рис. 9), т.е.

Рис. 9. Разложение вектора по заданному базису.

Из рисунка видно, что (правило параллелограмма, Лекция .№ 4). Вектор коллинеарен вектору а вектор вектору Следовательно, найдутся 2 вещественных числа такие, что будут выполняться равенства: Отсюда следует, что

Докажем единственность разложения вектора по базису Пусть существуют другие вещественные числа такие что и пусть хотя бы одна из пар содержит разные числа, например, Вычитая из первого разложения второе, получим

Это означает, что векторы коллинеарные, что противоречит условию теоремы о том, что они образуют базис. Таким образом, разложение вектора по базису единственно и имеет ВИД В силу произвольности вектора данная теорема справедлива для любого вектора компланарного с векторами

Замечание: С геометрической точки зрения числа определяют те числа, на которые надо умножить базисные вектора чтобы по правилу параллелограмма получить вектор В трехмерном пространстве произвольный вектор может быть разложен по некомпланарной тройке векторов причем единственным образом.

Определение: Ортом направления оси называется вектор единичной длины в выбранном масштабе измерения, сонаправленный с этой осью Рассмотрим пространственную декартову систему координат, по всем осям (абсцисс — Ох, ординат — Оу и аппликат — Oz) выберем одинаковый масштаб измерения. Вдоль направления каждой оси отложим отрезки единичной длины. Обозначим орты осей: — через — через — через (Рис. 10):

Рис. 10. Орты (единичные векторы) декартовой системы координат.

Из Рис. 10 видно, что орты осей имеют следующие проекции:

Так как векторы некомпланарные, то они образуют базис и любой пространственный вектор может быть единственным образом разложен по этому базису, причем в качестве чисел выступают проекции вектора:

Векторы в геометрии

Изучая материал этого параграфа, вы узнаете, что векторы используются не только в физике, но и в геометрии. Вы научитесь складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число, находить угол между двумя векторами, применять свойства векторов для решения задач.

Понятие вектора в геометрии

Вы знаете много величин, которые определяются своими числовыми значениями: масса, площадь, длина, объем, время, температура и т. д. Такие величины называют скалярными величинами или скалярами.

Из курса физики вам знакомы величины, для задания которых недостаточно знать только их числовое значение. Например, если на пружину действует сила 5 то непонятно, будет ли пружина сжиматься или растягиваться (рис. 12.1). Надо еще знать, в каком направлении действует сила.

Величины, которые определяются не только числовым значением, но и направлением, называют векторными величинами или векторами.

Сила, перемещение, скорость, ускорение, вес — примеры векторных величин.

Есть векторы и в геометрии.

Рассмотрим отрезок Если мы договоримся точку считать началом отрезка, а точку — его концом, то такой отрезок будет характеризоваться не только длиной, но и направлением от точки к точке

Если указано, какая точка является началом отрезка, а какая точка — его концом, то такой отрезок называют направленным отрезком или вектором.

Вектор с началом в точке и концом в точке обозначают так: (читают: «вектор

На рисунках вектор изображают отрезком со стрелкой, указывающей его конец. На рисунке 12.2 изображены векторы Для обозначения векторов также используют строчные буквы латинского алфавита со стрелкой сверху. На рисунке 12.3 изображены векторы

Вектор, у которого начало и конец — одна и та же точка, называют нулевым вектором или нуль-вектором и обозначают Если начало и конец нулевого вектора — это точка то его можно обозначить и так: На рисунке нулевой вектор изображают точкой.

Модулем вектора называют длину отрезка Модуль вектора обозначают так: а модуль вектора — так:

Модуль нулевого вектора считают равным нулю:

Определение. Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

На рисунке 12.4 изображены коллинеарные векторы и

Тот факт, что векторы коллинеарны, обозначают так:

На рисунке 12.5 ненулевые коллинеарные векторы одинаково направлены. Такие векторы называют сонаправленными и пишут:

Если

Аналогичным свойством обладают и сонаправленные векторы, то есть если (рис. 12.6).

На рисунке 12.7 ненулевые коллинеарные векторы противоположно направлены. Этот факт обозначают так:

Определение. Ненулевые векторы называют равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны.

На рисунке 12.8 изображены равные векторы Это обозначают так:

Равенство ненулевых векторов означает, что и

Нетрудно доказать, что если Убедитесь в этом самостоятельно.

Часто, говоря о векторах, мы не конкретизируем, какая точка является началом вектора. Так, на рисунке 12.9 изображены вектор а и векторы, равные вектору Каждый из них также принято называть вектором

На рисунке 12.10, а изображены вектор и точка Если построен вектор равный вектору то говорят, что вектор отложен от точки (рис. 12.10, б).

Покажем, как от произвольной точки отложить вектор, равный данному вектору

Если вектор нулевой, то искомым вектором будет вектор

Теперь рассмотрим случай, когда Пусть точка лежит на прямой, содержащей вектор (рис. 12.11). На этой прямой существуют две точки такие, что На указанном рисунке вектор будет равным вектору Его и следует выбрать.

Если точка не принадлежит прямой, содержащей вектор то через точку проведем прямую, ей параллельную (рис. 12.12). Дальнейшее построение аналогично уже рассмотренному.

От заданной точки можно отложить только один вектор, равный данному.

Пример №5

Дан четырехугольник Известно, что и Определите вид четырехугольника

Решение:

Из условия следует, что Следовательно, четырехугольник — параллелограмм.

Равенство означает, что диагонали четырехугольника равны. А параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.

Координаты вектора

Рассмотрим на координатной плоскости вектор Отложим от начала координат равный ему вектор (рис. 13.1). Координатами вектора называют координаты точки Запись означает, что вектор имеет координаты

Числа называют соответственно первой и второй координатами вектора

Из определения следует, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Например, каждый из равных векторов (рис. 13.2) имеет координаты

Справедливо и обратное утверждение: если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы.

Действительно, если отложить такие векторы от начала координат, то их концы совпадут.

Очевидно, что нулевой вектор имеет координаты

Теорема 13.1. Если точки соответственно являются началом и концом вектора то числа и равны соответственно первой и второй координатам вектора

Доказательство: Пусть вектор равный вектору имеет координаты Докажем, что

Если то утверждение теоремы очевидно.

Пусть Отложим от начала координат вектор равный вектору Тогда координаты точки равны

Поскольку то, воспользовавшись результатом задачи 12.32, можем сделать вывод, что середины отрезков совпадают. Координаты середин отрезков соответственно равны Тогда

Эти равенства выполняются и тогда, когда точка совпадает с точкой или точка совпадает с точкой

Отсюда

Из формулы расстояния между двумя точками следует, что если вектор имеет координаты то

Пример №6

Даны координаты трех вершин параллелограмма Найдите координаты вершины

Решение:

Поскольку четырехугольник — параллелограмм, то Следовательно, координаты этих векторов равны.

Пусть координаты точки равны Для нахождения координат векторов воспользуемся теоремой 13.1.

Имеем:

Отсюда:

Ответ:

Сложение и вычитание векторов

Если тело переместилось из точки в точку а затем из точки в точку то суммарное перемещение из точки в точку естественно представить в виде вектора считая этот вектор суммой векторов то есть (рис. 14.1).

Этот пример подсказывает, как ввести понятие суммы векторов, то есть как сложить два данных вектора и

Отложим от произвольной точки вектор равный вектору Далее от точки отложим вектор равный вектору Вектор называют суммой векторов (рис. 14.2) и записывают:

Описанный алгоритм сложения двух векторов называют правилом треугольника.

Это название связано с тем, что если векторы не коллинеарны, то точки являются вершинами треугольника (рис. 14.2).

По правилу треугольника можно складывать и коллинеарные векторы. На рисунке 14.3 вектор равен сумме коллинеарных векторов

Следовательно, для любых трех точек выполняется равенство которое выражает правило треугольника для сложения векторов.

Теорема 14.1. Если координаты векторов соответственно равны то координаты вектора равны

Доказательство: Пусть точки таковы, что Имеем: Докажем, что координаты вектора равны

Найдем координаты векторов

Имеем:

С учетом того, что получаем:

Замечание. Описывая правило треугольника для нахождения суммы векторов мы отложили вектор от произвольной точки. Если точку заменить точкой то вместо вектора равного сумме векторов получим некоторый вектор Из теоремы 14.1 следует, что координаты векторов равны следовательно, Это означает, что сумма векторов не зависит от того, от какой точки отложен вектор Свойства сложения векторов аналогичны свойствам сложения чисел.

Для любых векторов выполняются равенства:

Для доказательства этих свойств достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правой и левой частях равенств. Сделайте это самостоятельно.

Сумму трех и более векторов находят так: сначала складывают первый и второй векторы, затем складывают полученный вектор с третьим и т. д. Например,

Из переместительного и сочетательного свойств сложения векторов следует, что при сложении нескольких векторов можно менять местами слагаемые и расставлять скобки любым способом.

В физике часто приходится складывать векторы, отложенные от одной точки. Так, если к телу приложены силы (рис. 14.4), то равнодействующая этих сил равна сумме

Для нахождения суммы двух неколлинеарных векторов, отложенных от одной точки, удобно пользоваться правилом параллелограмма для сложения векторов.

Пусть надо найти сумму неколлинеарных векторов (рис. 14.5). Отложим вектор равный вектору Тогда Поскольку векторы равны, то четырехугольник — параллелограмм с диагональю

Приведенные соображения позволяют сформулировать правило параллелограмма для сложения неколлинеарных векторов

Отложим от произвольной точки вектор равный вектору и вектор равный вектору Построим параллелограмм (рис. 14.6). Тогда искомая сумма равна вектору

Определение. Разностью векторов называют такой вектор сумма которого с вектором равна вектору

Пишут:

Покажем, как построить вектор, равный разности данных векторов

От произвольной точки отложим векторы соответственно равные векторам (рис. 14.7). Тогда вектор равен разности Действительно, Следовательно, по определению разности двух векторов то есть

На рисунке 14.7 векторы неколлинеарны. Однако описанный алгоритм применим и для нахождения разности кол-линеарных векторов. На рисунке 14.8 вектор равен разности коллинеарных векторов

Следовательно, для любых трех точек выполняется равенство которое выражает правило нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки.

Теорема 14.2. Если координаты векторов соответственно равны то координаты вектора равны

Докажите эту теорему самостоятельно.

Из теоремы 14.2 следует, что для любых векторов существует единственный вектор такой, что

Определение. Два ненулевых вектора называют противоположными, если их модули равны и векторы противоположно направлены.

Если векторы противоположны, то говорят, что вектор противоположный вектору а вектор противоположный вектору

Вектором, противоположным нулевому вектору, считают нулевой вектор.

Вектор, противоположный вектору обозначают так:

Из определения следует, что противоположным вектору является вектор Тогда для любых точек выполняется равенство

Из правила треугольника следует, что

А из этого равенства следует, что если вектор имеет координаты то вектор имеет координаты

Теорема 14.3. Для любых векторов выполняется равенство

Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правой и левой частях равенства. Сделайте это самостоятельно.

Теорема 14.3 позволяет свести вычитание векторов к сложению: чтобы из вектора вычесть вектор можно к вектору прибавить вектор (рис. 14.9).

Пример №7

Диагонали параллелограмма пересекаются в точке (рис. 14.10). Выразите векторы и через векторы

Решение:

Поскольку точка — середина отрезков и

Имеем:

Умножение вектора на число

Пусть дан ненулевой вектор На рисунке 15.1 изображены вектор равный вектору и вектор равный вектору Очевидно, что

Вектор обозначают и считают, что он получен в результате умножения вектора на число 2. Аналогично считают, что вектор получен в результате умножения вектора на число -3, и записывают:

Этот пример подсказывает, как ввести понятие «умножение вектора на число».

Определение. Произведением ненулевого вектора и числа отличного от нуля, называют такой вектор что:

2) если если

Пишут:

Если то считают, что

На рисунке 15.2 изображены векторы

Из определения следует, что

Также из определения следует, что если то векторы коллинеарны.

А если векторы коллинеарны, то можно ли представить вектор в виде произведения Ответ дает следующая теорема.

Теорема 15.1. Если векторы коллинеарны и то существует такое число что

Доказательство: Если то при получаем, что Если то или

1) Пусть Рассмотрим вектор Поскольку следовательно, Кроме того, Таким образом, векторы сонаправлены и их модули равны. Отсюда

2) Пусть Рассмотрим вектор Для этого случая завершите доказательство самостоятельно.

Теорема 15.2. Если вектор имеет координаты то вектор имеет координаты

Доказательство: Если то утверждение теоремы очевидно.

Пусть Рассмотрим вектор . Покажем, что Имеем:

Отложим от начала координат векторы равные соответственно векторам Поскольку прямая проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид Этой прямой принадлежит точка Тогда Отсюда

Следовательно, точка также принадлежит прямой поэтому векторы коллинеарны, то есть

При числа имеют одинаковые знаки (или оба равны нулю). Таким же свойством обладают числа Следовательно, при точки лежат в одной координатной четверти (или на одном координатном луче), поэтому векторы сонаправлены (рис. 15.3), то есть При векторы будут противоположно направленными, то есть Следовательно, мы получили, что

Следствие 1. Векторы коллинеарны.

Следствие 2. Если векторы коллинеарны, причем то существует такое число

С помощью теоремы 15.2 можно доказать такие свойства умножения вектора на число.

Для любых чисел и любых векторов выполняются равенства:

Для доказательства этих свойств достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правых и левых частях равенств. Сделайте это самостоятельно.

Эти свойства позволяют преобразовывать выражения, содержащие сумму векторов, разность векторов и произведение векторов на число, аналогично тому, как мы преобразовываем алгебраические выражения. Например,

Пример №8

Докажите, что если то точки и лежат на одной прямой.

Решение:

Из условия следует, что векторы коллинеарны. Кроме того, эти векторы отложены от одной точки Следовательно, точки лежат на одной прямой.

Пример №9

Точка — середина отрезка — произвольная точка (рис. 15.4). Докажите, что

Решение:

Применяя правило треугольника, запишем:

Сложим эти два равенства:

Поскольку векторы противоположны, то Имеем:

Отсюда

Пример №10

Докажите, что середины оснований трапеции и точка пересечения продолжение ее боковых сторон лежат на одной прямой.

Решение:

Пусть точки — середины оснований и трапеции — точка пересечения прямых (рис. 15.5).

Применяя ключевую задачу 2, запишем:

Поскольку где —некоторые числа.

Поскольку Следовательно,

Имеем:

Из ключевой задачи 1 следует, что точки лежат на одной прямой.

Пример №11

Докажите, что если — точка пересечения медиан треугольника то

Решение:

Пусть отрезки — медианы треугольника (рис. 15.6). Имеем:

Отсюда

Из свойства медиан треугольника следует, что

Тогда Аналогично

Отсюда

Применение векторов

Применяя векторы к решению задач, часто используют следующую лемму.

Лемма. Пусть — такая точка отрезка что (рис. 15.9). Тогда для любой точки выполняется равенство

Доказательство: Имеем:

Поскольку то

Запишем:

Поскольку то имеем:

Заметим, что эта лемма является обобщением ключевой задачи 2 п. 15.

Пример №12

Пусть — точка пересечения медиан треугольника — произвольная точка (рис. 15.10). Докажите, что

Решение:

Пусть точка — середина отрезка Имеем: Тогда, используя лемму, можно записать:

Докажем векторное равенство, связывающее две замечательные точки треугольника.

Теорема. Если точка — ортоцентр треугольника а точка — центр его описанной окружности, то

Доказательство: Для прямоугольного треугольника равенство очевидно.

Пусть треугольник не является прямоугольным. Опустим из точки перпендикуляр на сторону треугольника (рис. 15.11). В курсе геометрии 8 класса было доказано, что

На луче отметим точку такую, что Тогда Поскольку то четырехугольник — параллелограмм.

По правилу параллелограмма

Поскольку точка является серединой отрезка то в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм. Отсюда

Имеем:

Обратимся к векторному равенству где — точка пересечения медиан треугольника Так как — произвольная точка, то равенство остается справедливым, если в качестве точки выбрать точку — центр описанной окружности треугольника

Имеем:

Учитывая равенство получаем:

Это равенство означает, что точки лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера. Напомним, что это замечательное свойство было доказано в курсе геометрии 8 класса, но другим способом.

Скалярное произведение векторов

Пусть — два ненулевых и несонаправленных вектора (рис. 16.1). От произвольной точки отложим векторы соответственно равные векторам Величину угла будем называть углом между векторами и

Угол между векторами обозначают так: Например, на рисунке 16.1 а на рисунке 16.2

Если векторы сонаправлены, то считают, что Если хотя бы один из векторов нулевой, то так же считают, что

Следовательно, для любых векторов имеет место неравенство:

Векторы называют перпендикулярными, если угол между ними равен Пишут:

Вы умеете складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число. Также из курса физики вы знаете, что если под действием постоянной силы тело переместилось из точки в точку (рис. 16.3), то совершенная механическая работа равна где

Изложенное выше подсказывает, что целесообразно ввести еще одно действие над векторами.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называют произведение их модулей и косинуса угла между ними. Скалярное произведение векторов обозначают так:

Имеем:

Если хотя бы один из векторов нулевой, то очевидно, что

Пусть

Скалярное произведение называют скалярным квадратом вектора и обозначают

Мы получили, что то есть скалярный квадрат, вектора равен квадрату его модуля.

Теорема 16.1. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Доказательство: Пусть Докажем, что

Имеем: Отсюда

Пусть теперь Докажем, что

Запишем: Поскольку Отсюда

Теорема 16.2. Скалярное произведение векторов можно вычислить по формуле

Доказательство: Сначала рассмотрим случай, когда векторы и неколлинеарны.

Отложим от начала координат векторы соответственно равные векторам (рис. 16.4). Тогда

Применим теорему косинусов к треугольнику

Отсюда

Поскольку

Кроме того, Отсюда

Имеем: Воспользовавшись формулой нахождения модуля вектора по его координатам, запишем:

Упрощая выражение, записанное в правой части последнего равенства, получаем:

Рассмотрим случай, когда векторы коллинеарны.

Если то очевидно, что

Если то существует такое число то есть

Если Имеем:

Случай, когда рассмотрите самостоятельно.

Следствие. Косинус угла между ненулевыми векторами можно вычислить по формуле

Доказательство: Из определения скалярного произведения векторов следует, что Воспользовавшись теоремой 16.2 и формулой нахождения модуля вектора по его координатам, получаем формулу

С помощью теоремы 16.2 легко доказать следующие свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов и любого числа справедливы равенства:

— переместительное свойство;

— сочетательное свойство;

— распределительное свойство.

Для доказательства этих свойств достаточно выразить через координаты векторов скалярные произведения, записанные в правых и левых частях равенств, и сравнить их. Сделайте это самостоятельно.

Эти свойства вместе со свойствами сложения векторов и умножения вектора на число позволяют преобразовывать выражения, содержащие скалярное произведение векторов, аналогично тому, как мы преобразовываем алгебраические выражения.

Например,

Пример №13

С помощью векторов докажите, что диагонали ромба перпендикулярны.

Решение:

На рисунке 16.5 изображен ромб Пусть Очевидно, что По правилу параллелограмма имеем:

Отсюда

Следовательно,

Пример №14

Известно, что

Найдите

Решение:

Поскольку скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то Отсюда

Ответ:

Пример №15

В треугольнике известно, что Найдите медиану

Решение. Применяя ключевую задачу 2 п. 15, запишем: (рис. 16.6).

Отсюда:

Следовательно,

Ответ:

Справочный материал

Вектор

Если указано, какая точка является началом отрезка, а какая точка — его концом, то такой отрезок называют направленным отрезком или вектором.

Коллинеарные векторы

Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Равные векторы

Ненулевые векторы называют равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы.

Координаты вектора

Если точки соответственно являются началом и концом вектора то числа равны соответственно первой и второй координатам вектора

Модуль вектора

Если вектор имеет координаты

Правила сложения двух векторов

Правило треугольника

Отложим от произвольной точки вектор равный вектору а от точки — вектор равный вектору Вектор — сумма векторов Для любых трех точек выполняется равенство

Правило параллелограмма

Отложим от произвольной точки вектор равный вектору и вектор равный вектору Построим параллелограмм Тогда вектор — сумма векторов

Координаты суммы векторов

Если координаты векторов соответственно равны и то координаты вектора равны

Свойства сложения векторов

Для любых векторов выполняются равенства:

Разность векторов

Разностью векторов называют такой вектор сумма которого с вектором равна вектору

Для любых трех точек выполняется равенство

Координаты разности векторов

Если координаты векторов соответственно равны и то координаты вектора равны

Противоположные векторы

Два ненулевых вектора называют противоположными, если их модули равны и векторы противоположно направлены. Для любых точек выполняется равенство

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора и числа отличного от нуля, называют такой вектор что:

2) если

Если то считают, что

Если вектор имеет координаты то вектор имеет координаты

Свойства коллинеарных векторов

Если векторы коллинеарны, причем то существует такое число

Если векторы коллинеарны, причем то существует такое число

Свойства умножения вектора на число

Для любых чисел и любых векторов справедливы равенства:

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называют произведение их модулей и косинуса угла между ними:

Скалярное произведение векторов можно вычислить по формуле

Свойства скалярного произведения

Для любых векторов и любого числа выполняются равенства:

Условие перпендикулярности двух векторов

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Косинус угла между двумя векторами

Косинус угла между ненулевыми векторами можно вычислить по формуле

Векторы в аналитической геометрии

Понятие вектора широко применяется в экономике, математике, физике и других науках, при этом одинаково широко используется как алгебраическая концепция изложения векторного анализа, так и его геометрическая интерпретация, в рамках которой различаются величины двух видов: скалярные и векторные.

Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая полностью определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, например, цена, количество проданного товара, стоимость и т.д.

Векторной величиной или вектором называется величина, для задания которой кроме численного значения необходимо указать и ее направление в пространстве, например, изменение темпов производства (рост или падение), колебание курса акций на бирже и т.д.

Векторная величина графически обычно изображается как связанный вектор или направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, у которого указано, какая из ограничивающих точек является его началом, а какая концом. Но в отличие от направленного отрезка, для описания которого необходимо указать начальную точку, длину и направление, свободный вектор или просто вектор представляет собой множество всех эквивалентных между собой связанных векторов и вполне характеризуется:

• направлением;
• длиной (модулем).

Для задания такого множества достаточно указать какой-либо один из связанных векторов этого множества — представитель вектора, в качестве которого обычно выбирается связанный вектор с началом, совпадающим с началом координат.

Вектор обозначается одной маленькой буквой со стрелкой сверху, например, или двумя буквами со стрелкой , где точка А есть начало вектора (его точка приложения), а В — его конец.

Длина вектора называется его модулем, обозначаетсяили

и равна длине любого его представителя, т.е. расстоянию между начальной и конечной точками связного вектора . Вектор, длина которого равна нулю, называется нуль-вектором и обозначается .

Два вектора называются равными, если:

1. равны их длины;
2. они параллельны;
3. они направлены в одну сторону.

Иными словами, равные векторы получаются один из другого параллельным переносом в пространстве.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых, и компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Орт обозначатся .

Линейные операции над векторами

Сложение вектора производится по правилу параллелограмма:

Поскольку вектор равен , то можно дать другое правило нахождения суммы (правило треугольника): суммой векторов является вектор, идущий из начала в конец если вектор приложен к концу вектора , т.е.:

(4-1)

Это правило распространяется на любое число слагаемых: если векторы образуют ломаную OAB…KL, то суммой этих векторов является вектор , замыкающий эту ломаную, т.е.:

(4-2)

В частности, если ломаная замыкается, т.е. O = L, то сумма ее звеньев равна нуль-вектору .

Сложение векторов подчиняется обычным законам сложения -сочетательному и переместительному, а также обладает обратной операцией — вычитанием.

Разностью двух векторов , отложенных от одной точки О является вектор, направленный из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора , т.е. (Рис. 4.2.). Это правило следует из формулы (1): т.к. .

Рис. 4.2.

Векторы можно не только складывать и вычитать, но и умножать на числа (скаляры).

Вектор равен , где — некоторое число, если:

1. коллинеарен ;
2. длина вектора отличается от длины вектора в раз, т.е.
3. 
4. при направлены в одну сторону, при — в разные.

Произведение вектора на скаляр обладает следующими свойствами:

Проекция вектора на ось

Пусть даны ось и вектор . Проектируя начало и конец вектора на ось получим на ней вектор . Проекциейвектора на ось называется число, равное длине вектора , взятой со знаком плюс или минус в зависимости от того, направлен ли вектор , в ту же сторону, что и ось (. или в противоположную.

Проекция вектора на ось (: обозначается ).

Свойства проекций:

1. — угол между вектором и осью ;
2. 
3. 

Пусть — произвольная конечная система векторов; произвольная система действительных чисел.

Вектор называется линейной комбинацией векторов этой системы.

Из свойства проекций следует, что:

Линейная зависимость векторов

Говорят, что векторы линейно независимы, если из равенства:

(4-3)

следует, что .

В противном случае векторы , называются линейно зависимыми. Если какой-нибудь вектор можно представить в виде как, то говорят, что вектор линейно выражается через векторы .

Теорема. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные.

Следствие. Если векторы линейно независимы, то ни один из них нельзя выразить через остальные; в частности , ни один из них не может быть нулевым.

Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. Любые два неколлинеарных вектора линейно независимы. В самом деле, предположим, неколлинсарные векторы линейно зависимы. Тогда, по предыдущей теореме, один из них, например ? линейно выражается через второй, т.е. , а это противоречит неколлинеарности . Следовательно, — линейно независимы.

Пусть неколлинеарные векторы, — произвольный вектор компланарный векторам . Отложим векторы и от одной точки О, т.е. построим (Рис.4.3).

Из параллелограмма видно, что:

Следовательно, любые три компланарных вектора линейно зависимы.

Любые три некомпланарных вектора линейно независимы.

Если предположить, что три некомпланарных вектора линейно зависимы, то один из них, например , линейно выражается через , т.е. а это говорит о том, что три вектора лежат в одной плоскости, что противоречит условию.

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю.

Пусть векторы в некотором базисе имеют координаты

соответственно. Тогда векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы. Значит, векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда существуют числа , неравные одновременно нулю, что выполняется равенство:

Линейная зависимость означает, что существует ненулевой набор коэффициентов такой, что:

4)

Если один из векторов, например, ,, является нулевым, то система окажется линейно зависимой, т.к. равенство (4.4) будет выполнено при .

Теорема, Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Базис. Координаты вектора в базисе

Определим понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на

этой прямой. Любой другой вектор , коллинеарный данной прямой,

может быть выражен через вектор в виде .

Базисом на плоскости называются любых два линейно независимых вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке. Любой третий вектор , компланарный плоскости, на которой выбран базис , может быть представлен в виде .

Базисом в трехмерном пространстве называются любые три некомпланарных вектора взятые в определенном порядке. Такой базис обозначается . Пусть — произвольный вектор трехмерного пространства, в котором выбран базис . Тогда существуют числа такие, что:

(4.5)

Коэффициенты называются координатами вектора в базисе , а формула (4.5) есть разложение вектора с по данному базису.

Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.

Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в точке взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс (Ох), вторая — осью ординат (Оу), третья — осью аппликат (Oz); точка О — начало координат (Рис. 4.4).

Положение координат осей можно задать с помощью единичных векторов направленных по осям Ох, Оу, Oz. Векторы называются основными или базисными ортами и определяют базис в трехмерном пространстве.

Пусть в пространстве дана точка М. Проектируя ее на ось Ох, получим точку Мх. Первой координатой х или абсциссой точки М называется длина вектора , взятая со знаком плюс, если направлен в ту же сторону, что и вектор , и со знаком минус -если в противоположную. Аналогично проектируя точку М на оси Оу и Oz, определим ее ординату у и аппликату z. Тройка чисел (х, у, z) взаимно однозначно соответствует точке М .

Система координат называется правой, если вращение от оси Ох к оси Оу в ближайшую сторону видно с положительного направления оси Oz совершающимися против часовой стрелки, и левой, если вращение от оси Ох к оси Оу в ближайшую сторону видно совершающимися по часовой стрелке.

Вектор , направленный из начала координат в точку М(х, у, z) называется радиус-вектором точки М, т.е.:

(4.6)

Если даны координаты точек , то координаты вектора АВ получаются вычитанием из координат его конца В координат начала или .

Следовательно, по формуле (4.5):

При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

(4.8)

Длина вектора, заданного координатами своих концов, т.е. расстояние между точками А и В вычисляется по формуле:

(4.9)

Если коллинеарны, то они отличаются друг от друга скалярным множителем. Следовательно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

(4.10)

Пусть точка М(х, у, z) делит отрезок между точками и в отношении , тогда радиус-вектор точки М выражается через радиусы-векторы его концов по формуле:

Отсюда получаются координатные формулы:

В частности, если точка М делит отрезок пополам, то

Направляющие косинусы

Пусть дан вектор . Единичный вектор того же направления, что и (орт вектора ) находится по формуле:

Пусть ось образует с осями координат углы. Направляющими косинусами оси называются косинусы этих углов: . Если направление задано единичным вектором , то направляющие косинусы служат его координатами, т.е.:

Направляющие косинусы связаны между собой соотношением:

Если направление задано произвольным вектором , то находят орт этого вектора и, сравнивая его с выражением для единичного вектора , получают:

Скалярное произведение

Скалярными произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

4. Если — ненулевые векторы, то тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Если , то угол между а и Ь— острый, если , то угол — тупой;

5. Скалярный квадрат вектора а равен квадрату его длины, т.е.

Следовательно,

Геометрический смысл скалярного произведения: скалярное произведение вектора на единичный вектор равно проекции вектора на направление, определяемое , т.е. .

Из определения скалярного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов :

Если векторы заданы своими координатами и

, то, перемножая эти векторы скалярно и используя таблицу умножения ортов, получим выражение скалярного произведения через координаты векторов:

Векторное произведение

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор длина и направление которого определяется условиями:

  3. направлен так, что кратчайший поворот от виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Векторное произведение обладает следующими свойствами: 4. Векторное произведение равно нулю (нуль вектору) тогда и только тогда, когда коллинсарны. В частности для любого вектора ;

5. Если неколлинеарны, то модуль векторного произведения равен площади параллелограмма S построенного на этих векторах, как на сторонах.

Из первых трех свойств следует, что векторное умножение суммы векторов на сумму векторов подчиняется обычным правилам перемножения многочленов. Надо только следить за тем, чтобы порядок следования множителей не менялся.

Основные орты перемножаются следующим образом:

Если, то с учетом свойств векторного произведения векторов, можно вывести правило вычисления координат векторного произведения по координатам векторов-сомножителей :

Если принять во внимание полученные выше правила перемножения ортов, то:

(4.11)

Более компактную форму записи выражения для вычисления координат векторного произведения двух векторов можно построить, если ввести понятие определителя матрицы.

Рассмотрим частный случай, когда вектора принадлежат плоскости Оху, т.е. их можно представить как и

Если координаты векторов записать в виде таблицы следующим образом: , то можно сказать, что из них сформирована квадратная матрица второго порядка, т.е. размером 2×2, состоящая из двух строк и двух столбцов. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, которое вычисляется из элементов матрицы по определенным правилам и называется определителем. Определитель матрицы второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и побочной диагонали:

В таком случае:

Абсолютная величина определителя, таким образом, равна площади параллелограмма, построенного на векторах , как на сторонах.

Если сравнить это выражение с формулой векторного произведения (4.7), то: (4.12) Это выражение представляет собой формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка по первой строке. Таким образом:

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом:

и представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых.

Формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка легко запомнить, если воспользоваться правилом Саррюса, которое формулируется следующим образом:

• Каждое слагаемое является произведением трех элементов, расположенных в разных столбцах и разных строках матрицы;
• Знак «плюс» имеют произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали;
• Знак «минус» имеют произведения элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной побочной диагонали.

Смешанное произведение

Смешанным произведением тройки векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение

Если рассматриваемые векторы некомпланарны, то векторное произведение есть вектор, длина которого численно равна площади построенного на них параллелограмма. Направлен этот вектор по нормали к плоскости параллелограмма. Если этот вектор скалярно умножить на вектор а, то получившееся число будет равно произведению площади основания параллелепипеда, построенного на тройке векторов , и его высоты, т.е. объему этого параллелепипеда.

Таким образом, смешанное произведение векторов

(которое обозначается есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного па векторах .

Знак произведение положителен, если векторы, образуют правую тройку векторов, т.е. вектор направлен так, что кратчайший поворот от виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Из геометрического смысла смешанного произведения непосредственно следует необходимое и достаточное условие некомпланарности векторов : для того, чтобы векторы были некомпланарными необходимо и достаточно, чтобы их сметанное произведение было отлично от нуля.

Если и то:

или в свернутой форме:

Справедливы следующие свойства сметанного произведения векторов:

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей
2. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный

Векторы в высшей математике

Определение вектора:

На начальной стадии, когда приходится прибегать к математическим методам исследования, необходимо разработать удобное средство организации исходных данных. Таким простейшим средством является вектор. Например, еженедельное изменение цены за месяц на некоторый товар удобно записать в виде массива: (5500; 5700; 6000; 6200). Записанный таким образом массив чисел называют вектором.

Алгебраические операции над векторами и их свойства

Введём теперь математическое определение векторов и алгебраические операции над ними.

Упорядоченную совокупность действительных чисел назовём вектором и обозначим , т.е . Действительные числа будем называть координатами вектора. Равные векторы имеют равные координаты. Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Вектор, у которого одна из координат равна 1, а все остальные равны нулю, называется единичным вектором. Единичными векторами будут векторы:

С геометрической точки зрения, вектор — это направленный отрезок. Поэтому вектор, длина которого равна единице, также называется единичным вектором.

Определим далее линейные операции над векторами: сложение и умножение вектора на число.

Сложение векторов

Пусть даны два вектора

. Суммой двух векторов и

назовем вектор , координаты которого равны суммам соответствующих координат векторов :

Пусть дан вектор . Обозначим через — вектор, порождённый вектором , такой, что .

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1. Для любых двух векторов существует единственный вектор , называемый суммой векторов .
2. Для любых .
3. Для любых .
4. Существует единственный вектор , называемый нулевым вектором, такой, что для всех .
5. Для любого вектора существует единственный вектор , такой, что . Вектор называется вектором, противоположным вектору

Из указанных свойств векторов следует, что можно рассматривать сумму любого конечного числа векторов .

Умножение вектора на число

Пусть и

. Произведение вектора на число — это вектор, обозначаемый, полученный умножением координат вектора на число :

.

Положим, для любого вектора для любого числа .

Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:

1. Для любого вектора и любого числа существует единственный вектор .
2. для любых чисел и любого.
3. для любых чисел и любого .
4. для любых чисел и любого .
5. для любого .

Выражение где — вскто-ры, а — любые действительные числа, называется ли-нейиой комбинацией векторов с коэффициентами . Линейная комбинация векторов-это вектор. Вектор представленный в виде будем называть транспонированным по отношению к вектору и обозначать .

Замечание. Зная координаты вектора , можно вычислить его длину по формуле

.

Пример №16

Найти линейную комбинацию векторов .

Решение:

Воспользуемся определением линейной комбинации векторов и операций над векторами. Тогда получим вектор вида:

Скалярное произведение векторов и его свойства

Предположим, что объем продаж трёх видов товаров фирмы в течение месяца составил 34, 57, 21 единиц, и что цены этих же товаров были равны соответственно 2, 3, 7 дсн.ед. Следовательно, общий доход от продажи всех трёх товаров за месяц равен: ден.ед. Представим данные о продажах с помощью вектора: , а соответствующие цены с помощью вектора . Тогда общий доход от продажи трёх товаров, равный 386 ден.ед., представляет собой сумму произведений элементов вектора на соответствующие элементы вектора :.

Приведенный пример помогает уяснить общую методику введения скалярного произведения векторов.

Определепие2.2.1. Скалярным произведением векторов называется число, обозначаемое , равное сумме произведений соответствующих коорди-. пат векторов :

Это определение можно применять только в тех случаях, когда векторы содержат одинаковое количество координат; в противном случае скалярное произведение не может быть определено.

Укажем некоторые свойства скалярного произведения:

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

Два ненулевых вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.

Рассмотрим систему n ненулевых векторов . Если

скалярное произведение каждого вектора на себя равно единице, а скалярное произведение различных векторов равно нулю, т.е.

то система векторов называется ортоиормированной. Условия (1.3) можно записать в координатной форме:

где .

Пример №17

Найти вектор коллинеарный1 вектору и удовлетворяющий условию .

Решение:

Так как вектор коллинеарный вектору , то его координаты пропорциональны координатам вектора , т.е.

. Воспользовавшись определением скалярного произведения, составим равенство: .

Откуда следует, что . Тогда вектор коллинеарный вектору я будет иметь координаты: (6,-2,8).

Пример №18

Пусть рассматривается проект вложения капитала на четыре года. Этот проект должен обеспечивать следующую денежную выручку: в первый год- 1000 дсн.ед.; во второй — 3000 дсн.ед.; в третий — 10000 ден.ед.; в четвёртый — 15000 дсн.ед. Проект будет принят в том случае, если совокупный доход от капиталовложений (в пересчёте на сегодняшний доход) будет превышать требующиеся затраты, составляющие 17000 дсн.ед. Дисконтирование ожидаемого дохода проводится по годовой ставке равной 10%. Будет ли принят рассматриваемый проект?

Решение:

При ставке дисконтирования 10% годовых, доход, который будет получен на протяжении первого года, должен быть умножен на , на протяжении второго года- на  , на протяжении третьего года- на 0,7513 = и на протяжении четвёртого года- на 0,6838 =.

1. Вектор называется коллинеарным вектору , если при совмещении их начальных точек они располагаются на одной прямой.

Запишем денежную выручку и дисконтирующие множители в векторной форме:

и

.

Скалярное произведение векторов и — —определяет дисконтированный совокупный доход за четыре года:

Так как 21158,3>17000, то рассматриваемый проект вложения капитала будет принят.

Операции над векторами в высшей математике

Внимание! Вектор определяется числом и направлением.

Отрезком АВ называется множество точек, заключенных между точками

А и В, включая их. Точки А и В называются концами отрезка.

Отрезок АВ называется направленным, если его концы упорядочены.

Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В будем обозначать АВ. Направленный отрезок ВА с началом в точке В и концом в точке А называется противоположно направленным отрезку АВ.

Модулем направленного отрезка АВ называется его длина.

Вектором называется класс направленных отрезков, расположенных на параллельных или совпадающих прямых и имеющих одинаковые направление и длину.

Векторы геометрически изображают направленными отрезками и обозначаются и буквами жирного шрифта

Вывод. Вектор однозначно определяется своим одним направленным отрезком. Пусть заданы два вектора и (рис.1). Суммой векторов а и b

называется вектор, проведенный из начала а к концу b:

Способ сложения векторов, показанный на рис.1, называется правилом треугольника.

Замечание. На векторах а и b можно построить параллелограмм, в котором одна диагональ будет их суммой: , а вторая — разностью: Способ сложения векторов, показанный на рис.2, называется правилом параллелограмма.

Множество всех нулевых отрезков называется нулевым вектором и обозначается 0. Направление нулевого вектора произвольно.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Для любого вектора а верны равенства:

Произведением вектора а на число отличное от нуля, называется вектор, обозначаемый и удовлетворяющий следующим условиям:

1. длина вектора равна длине вектора а, умноженного на модуль числа
2. векторы а и одинаково направлены, если , и противоположно направлены, если (рис.З).

Произведение вектора на число «нуль» есть нулевой вектор.

Углом между двумя векторами а и b называется наименьший угол на который нужно повернуть один вектор, чтобы он совпал по направлению с другим вектором (рис.4).

Проекцией вектора а на вектор b называется длина вектора а, умноженная на косинус угла между векторами а и b (рис.4):

Внимание! Для ненулевых векторов возможны три варианта произведений: скалярное произведение (в ответе получается число), векторное произведение (в ответе получается вектор) и смешанное произведение (в ответе получается число).

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение: Таким образом,

Например, для скалярного квадрата ii, где i -единичный вектор, имеем

Векторным произведением двух ненулевых векторов а и b называется такой вектор что

1. 1) его модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е.
2. 2) он перпендикулярен плоскости построенного на данных векторах параллелограмма, , т.е.
3. 3) векторы образуют правую тройку векторов, т.е. при наблюдении из конца вектора кратчайший поворот от а к b виден против часовой стрелки.

Пример №19

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b. если а — единичный вектор, длина вектора b равна трем, а их скалярное произведение — двум.

Решение:

Площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, равна .

По условию задачи имеем

Найдем синус угла между векторами а и b. Так как то

Следовательно,

Подставим найденное значение в формулу и получим: Задача решена.

Смешанным произведением трех ненулевых векторов а, b и с называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов а и b на третий вектор . Обозначение:

Замечание. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е.

Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Действительно,

где S — площадь основания параллелепипеда, H — высота параллелепипеда, V -объем параллелепипеда.

Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен

Необходимое и достаточное условие ортогональности:

Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю Нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой. Пулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности:

1. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. — произвольное число, отличное от нуля.
2. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору (площадь параллелограмма равна нулю).

Три вектора называются компланарными, если они лежат на одной плоскости. Любую тройку векторов, содержащую нулевой вектор, считают компланарной.

Необходимое и достаточное условие компланарности. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (объем параллелепипеда равен нулю).

Действия над векторами, заданными прямоугольными координатами

Пусть Ох, Оу, Oz — три взаимно перпендикулярные оси в трехмерном пространстве (оси координат), исходящие из общей точки О (начала координат) и образующие правую тройку (рис. 5).

Точка М с координатами х, у, z обозначается M(x,y,z), причем первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой, третья — аппликатой точки М.

Для каждой точки М пространства существует ее радиус-вектор r=ОМ, начало которого есть начало координат О и конец которого есть данная точка М. Координаты x,y,z точки М являются проекциями радиус-вектора r на оси Ох, Оу, Oz соответственно.

Пусть в прямоугольной системе координат заданы точки и Тогда координаты вектора АВ вычисляются по формуле:

(«от координат конца отнимают координаты начала»).

Например, координаты радиус-вектора

Если ввести единичные векторы i,j, k, направленные по осям Ох, Оу, Oz соответственно (рис.5), то координаты вектора r можно записать в эквивалентной форме:

Векторы i, j,k называются базисными.

Пусть даны два вектора

Сложив векторы почленно, получим:

или

Умножив вектор а на число получим:

или

Пример №20

Найти вектор х из уравнения

Решение:

Выразим х из векторного уравнения:

Подставим векторы а, b и с в полученное выражение:

Задача решена.

Скалярное произведение двух векторов в координатной форме вычисляется по формуле:

Для cкалярного квадрата аа получаем:

но, с другой стороны, Следовательно,

Мы получили формулу вычисления длины вектора, заданного в координатной форме.

Векторное произведение двух векторов в координатной форме вычисляется по формуле

которую можно выразить через символический определитель третьего порядка

Смешанное произведение трех векторов в координатной форме определяется формулой

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №21

Вершины треугольной пирамиды находятся в точках А( 1,1 ,-1), В(2,1,-3), С(-1,1,1), D(0,7,3). Вычислить высоту пирамиды, опущенную из вершины D на основание АВС.

Решение:

Высоту треугольной пирамиды найдем из формулы:

где — объем пирамиды ABCD, — площадь основания АВС, H — высота пирамиды, опущенная из вершины D.

Найдем площадь треугольника АВС. Она равна половине площади параллелограмма, построенного, например, на векторах АВ и АС. Следовательно, по определению векторного произведения

По координатам точек А, В и С найдем координаты векторов АВ и АС:

Векторное произведение АВ и АС в координатной форме равно

Найдем объем треугольной пирамиды. Он равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного, например, на векторах АВ, АС и AD. Тогда по геометрическому смыслу смешанного произведения Найдем координаты вектора AD:

Смешанное произведение АВ, АС и AD в координатной форме равно разложим определитель по второму столбцу

Задача решена.

Замечание.

• 1. Площадь треугольника АВС можно находить из площади параллелограмма, построенного на любых двух векторах, исходящих из одной вершины, например: АВ и АС; ВА и ВС; СА и СВ.
• 2. Объем треугольной пирамиды ABCD можно находить из объема параллелепипеда, построенного на любых трех векторах, исходящих из одной точки, например: АВ, АС и AD; ВА, ВС и BD; СА, СВ и CD; DA, DB и DC.

Линейное пространство

Идея линейности является одним из важнейших принципов математики. На этой основе построены различные разделы математики. Более того, почти каждый экономический процесс в малом является линейным, что позволяет делать о нём достаточно точные выводы, изучая линейный, гораздо более простой для исследования объект.

В математике часто приходится встречаться с объектами, для которых определены операции сложения и умножения на числа. Объектами такого рода являются векторы, функции, матрицы и т.д. Для того, чтобы изучать все такие объекты с единой точки зрения и вводится понятие линейного пространства.

Определение 2.3.1. Множество L элементов х, у, z,… называется линейным пространством, если:

При этом введенные операции должны удовлетворять следующим требованиям (аксиомам):

1. х+у = у+х (коммутативности);
2. (х+у)+ z = x+(y+z) (ассоциативности);
3. существует элемент 0, такой, что х+0=х для любого х. Элемент 0 называется нулевым элементом;
4. для каждого х существует противоположный элемент, обозначаемый -х, такой, что х+(-х)=0;
5. ;
6. ;
7. :;
8. ,

где и — вещественные числа.

В определении линейного пространства не говорится, как определяются операции сложения и умножения на числа, и не говорится о природе объектов. Требуется только, чтобы были выполнены сформулированные выше аксиомы. Поэтому всякий раз, когда мы встречаемся с операциями, удовлетворяющими этим условиям, будем считать их операциями сложения и умножения.

Рассмотрим систему векторов на плоскости и в трёхмерном пространстве, для которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число как в п.2.1. Так как для этих операций выполняются свойства (1) — (8) определения 2.3.1, то они образуют линейное пространство.

Линейное пространство образует и совокупность многочленов степени не выше п с вещественными коэффициентами, для которых определены обычные операции сложения многочленов и умножения многочлена на число.

Линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется евклидовым.

Пространство, где векторами являются наборы из n действительных чисел с покомпонентными операциями сложения и умножения их на число, и скалярное произведение определяется по формуле (1.2.1), является евклидовым пространством. Это пространство обозначается .

Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Свойства линейной зависимости векторов.

Определение линейной комбинации векторов, тесно связано с понятием подпространства векторного пространства.

Определение 2.4.1. Некоторое непустое подмножество векторного пространства М называется подпространством, если оно само является векторным пространством.

А доказательство того, что подмножество является векторным пространством, проводится на основании доказательства того, что всякая линейная комбинация любых двух векторов этого подмножества, также является вектором этого подмножества.

Определение 2.4.2. Векторы из называются линейно независимыми, если не существует чисел хотя бы одно из которых отлично от нуля, таких, что

Если равенство (2.4.1) возможно и при ненулевом значении хотя бы одного числа , то векторы называются линейно зависимыми.

Пример №22

Рассмотрим евклидово пространство и векторы

называемые координатными векторами. Покажем, что в пространстве векторылинейно независимы.

Решение:

Пусть произвольные числа. Составим линейную комбинацию векторов :

Подставив координаты векторов , получим:

В результате получили вектор, который будет нулевым если . Следовательно, линейная комбинация , может равняться нулю если . А это и есть условие линейной независимости векторов .

Вектор называется линейной комбинацией векторов из , если существуют числа, такие, что выполняется равенство: .

Относительно линейной зависимости векторов справедливы следующие утверждения:

1. Если совокупность векторов из содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
2. Если в системе векторов имеется подсистема линейно зависимых векторов, то и вся совокупность векторов линейно зависима.
3. Система векторов из линейно зависима тогда и только тогда, если один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.
4. Любые векторов из , каждый из которых является линейной комбинацией m векторов линейно зависимы. .

Пример №23

Выясним линейную зависимость векторов и . Решение. Составим линейную комбинацию этих векторов

Полученный вектор является нулевым, если координаты равны нулю:

Полученная система имеет только одно решение . Следовательно, векторное равенство выполняется при нулевых значениях коэффициентов . Это значит, что векторы линейно независимы.

Заметим, что два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны (их направления параллельны). Три геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (их направления параллельны некоторой плоскости).

Элементы векторной алгебры

Некоторые физические величины (например, температура, масса, объем, работа, потенциал) могут быть охарактеризованы одним числом, которое выражает отношение этой величины к соответствующей единице измерения; такие величины называются скалярными. Ещё примеры скалярных величин: длина, площадь, время, угол, плотность, сопротивление.

Другие величины (например, сила, скорость, ускорение, напряжённость электрического или магнитного поля) характеризуются числом и направлением. Эти величины называются векторными.

Необходимо подчеркнуть, что вектор не является числом. Если мы рассматриваем вектор, лежащий в плоскости, то для его описания необходимо знать два фактора – модуль и его направление (например, угол, образуемый им с одним из осей координат). Если рассматривается вектор в трехмерном пространстве, то для описания вектора требуется три фактора: один – величину для его модуля и два для указания его положения в системе координат.

Скаляры и векторы

Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром. Таковы, например, масса тела, объем его, температура среды и т. п. Скаляр определяется числом положительным или отрицательным или равным нулю.

Величина, кроме числового значения характеризуемая еще направлением, называется векторной или вектором. К числу их относятся сила, перемещение, скорость и т.п. Вектор определяется числом и направлением.

Векторы обычно обозначают буквами жирного шрифта, например а. Геометрически вектор изображается направленным отрезком пространства (рис. 168); при этом используется обозначение а = , где точка А — начало В отрезка, а точка В — конец его. В дальнейшем, для наглядности изложения, векторы мы будем рассматривать как направленные отрезки.

Под модулем (длиной) вектора а

понимается числовое значение его, без учета направления. (Естественно, обозначает модуль вектора ) Вектор 0, модуль которого равен нулю, называется нулевым или нуль-вектором (направление нулевого вектора произвольно).

Два вектора считаются равными, если они расположены на параллельных или совпадающих прямых (параллельность в широком смысле) и имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Мы условимся не различать равные векторы и, таким образом, приходим к понятию свободного вектора. Иными словами, свободный вектор допускает перенос его в любую точку пространства при условии сохранения длины и направления.

В частности, для свободных векторов можно обеспечить общую начальную точку их. В дальнейшем мы будем излагать теорию свободных векторов в трехмерном пространстве.

Сумма векторов

Определение: Суммой нескольких векторов, например а, b, с, d (рис. 169), называется вектор

по величине и направлению равный замыкающей ОМ пространственной ломаной линии, построенной на данных векторах.

Для случая двух векторов а и b (рис. 170) их суммой s является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки приложения их (правило параллелограмма).

Так как в треугольнике длина одной стороны не превышает суммы длин двух других сторон, то из рис. 170 имеем

т. е. модуль суммы двух векторов не превышает суммы модулей этих векторов.

Для случая трех векторов а, b, с (рис. 171) их суммой s является диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда).

Легко проверить, что для векторного сложения справедливы следующие свойства:

1)переместительное свойство

а + b = b + а,

т. е. векторная сумма не зависит от порядка слагаемых;

2)сочетательное свойство

т.е. сумма трех (и большего числа) векторов не зависит от порядка расстановки скобок.

Для каждого вектора (рис. 172) существует противоположный вектор , имеющий ту же длину, но противоположное направление. По правилу параллелограмма, очевидно, имеем

где 0 — нуль-вектор.

Легко проверить, что а + 0 = а.

Разность векторов

Под разностью векторов (рис. 173) понимается вектор

такой, что

Отметим, что в параллелограмме, построенном на данных векторах (см. рис. 170), их разностью является соответственно направленная вторая диагональ.

Легко проверить, что справедливо следующее правило вычитания:

Умножение вектора на скаляр

Определение: Произведением вектора а на скаляр k (рис. 174) называется вектор

имеющий длину b = а, направление которого: 1) совпадает

с направлением вектора а, если k > 0; 2) противоположно ему, если k < 0; 3) произвольно, если k = 0.

Нетрудно убедиться, что эта векторная операция обладает следующими свойствами:

Пример:

Если ненулевой вектор а разделить на его длину a = |a| (т.е. умножить на скаляр 1 /а), то мы получим единичный вектор е, так называемый , того же направления: е = а/а. Отсюда имеем стандартную формулу вектора

Формула (1) формально справедлива также и для нулевого вектора а = 0, где а = 0 и е — произвольный орт.

Коллинеарные векторы

Определение: Два вектора (рис. 175) называются коллинеарными, если они параллельны в широком смысле (т. е. расположены или на параллельных прямых, или же на одной и той же прямой).

Так как направление нулевого вектора произвольно, то можно считать, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Теорема: Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е.

(k — скаляр).

Доказательство: 1) Пусть векторы коллинеарны и е, е’ — их орты. Имеем

Очевидно,

где знак плюс соответствует векторам одинакового направления, а знак минус— векторам противоположного направления.

Из формул (2) и (3) получаем

Отсюда вытекает формула (1), где

2) Если выполнено равенство (1), то коллинеарность векторов непосредственно следует из смысла умножения векторов на скаляр.

Компланарные векторы

Определение: Три вектора a, b и с называются компланарны ми, если они параллельны некоторой плоскости в широком смысле (т. е. или параллельны плоскости, или лежат в ней).

Можно сказать также, что векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда после приведения их к общему началу они лежат в одной плоскости.

По смыслу определения тройка векторов, среди которых имеется хотя бы один нулевой, компланарна.

Теорема: Три ненулевых вектора а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией других, т.е., например,

(k, I — скаляры).

Доказательство: 1) Пусть векторы а, b и с компланарны, расположены в плоскости Р (рис. 176) и имеют общую точку приложения О.

Предположим сначала, что эти векторы не все попарно коллинеарны, например векторы а и b неколлинеарны. Тогда, производя разложение вектора с в сумму векторов с_а и с_ь, коллинеарных соответственно векторам а и b, в силу будем иметь

где k и I — соответствующие скаляры.

Если векторы а, b, с попарно коллинеарны, то можно написать

таким образом, снова выполнено условие (1).

2) Обратно, если для векторов (рис. 176) выполнено условие (1), то на основании смысла соответствующих векторных операций вектор с расположен в плоскости, содержащей векторы а и b, т. е. эти векторы компланарны.

Пример:

Векторы а, а + b, а — b компланарны, так как

Проекция вектора на ось

Осью называется направленная прямая. Направление прямой обычно обозначается стрелкой. Заданное направление оси будем считать положительным, противоположное — отрицательным.

Определение: Проекцией точки А на ось (рис.177) называется основание А’ перпендикуляра АА’, опущенного из точки А на эту ось.

Здесь под перпендикуляром АА’ понимается прямая, пересекающая ось и составляющая с ней прямой угол. Таким образом, проекция А есть пересечение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной оси с этой осью.

Определение: Под ком-по не н той (составляющей) вектора относительно оси (рис. 177) понимается вектор а’ = АВ’, начало которого А есть проекция на ось начала А вектора а, а конец которого В’ есть проекция на ось конца В этого вектора.

Определение: Под проекцией вектора а на ось понимается скаляр , равный длине {модулю) его компоненты а’ относительно оси , взятой со знаком плюс.

Напомним, что все геометрические объекты мы здесь рассматриваем в трехмерном пространстве.

Если направление компоненты совпадает с направлением оси , и со знаком минус, если направление компоненты противоположно направлению оси

Если а = О, то полагают = О.

Заметим, что если е — единичный вектор оси , то для компоненты а’ справедливо равенство

Теорема: Проекция вектора а на ось равна произведению длины а вектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси, т.е.

Доказательство: Так как вектор свободный (рис. 178), то можно предположить, что начало его О лежит на оси .

1) Если угол ф между вектором a и осью острый , то направление компоненты вектора а совпадает с направлением оси (рис. 178, а). В этом случае имеем

2) Если угол ф между вектором а и осью тупой (рис. 178, б), то направление компоненты вектора а противоположно направлению оси Тогда получаем

3) Если же ф = , то формула (2), очевидно, выполняется, так как при этом .

Таким образом, формула (2) доказана.

Следствие 1. Проекция вектора на ось: 1) положительна, если вектор образует с осью острый угол; 2) отрицательна, если этот угол — тупой, и 3) равна нулю, если этот угол — прямой.

Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Теорема: Проекция суммы нескольких векторов на данную ось равна сумме их проекций на эту ось.

Доказательство: Пусть, например, s = a + b + с,

где (рис. 179) и, следовательно, .

Обозначая проекции точек на ось через и учитывая направления компонент (рис. 179), имеем

что и требовалось доказать.

Следствие. Проекция замкнутой векторной линии на любую ось равна нулю.

Теорема: При умножении вектора на скаляр его проекция на данную ось умножается на этот скаляр, т.е.

Формула (4) следует из теоремы 1 и смысла умножения вектора на скаляр.

Следствие. Проекция линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации проекций этих векторов, т.е.

Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Пусть (рис. 180) Ox, Оу, Oz — три взаимно перпендикулярные оси в трехмерном пространстве (оси координат), исходящие из общей точки О (начало координат) и образующие правую тройку (правая система координат), т. е. ориентированные по правилу правого буравчика. Иными словами, для наблюдателя, направленного по оси Oz, кратчайший поворот оси Ох к оси Оу происходит против хода часовой стрелки.

Три взаимно перпендикулярные плоскости Oyz, Ozx и Оху, проходящие через соответствующие оси, называются координатными плоскостями; они делят все пространство на восемь октантов.

Для каждой точки М пространства (рис. 180) существует ее радиус-вектор г = ОМ, начало которого есть начало координат О и конец которого есть данная точка М.

Определение: Под декартовыми прямоугольными координатами х, у, z точки М понимаются проекции ее радиуса вектора г на соответствующие оси координат, т. е.

В дальнейшем для краткости декартовы прямоугольные координаты мы будем называть просто прямоугольными координатами.

Точка М с координатами х, у, z обозначается через М (х, у, z), причем первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой, а третья — аппликатой точки М.

Для нахождения этих координат через точку М проведем три плоскости МА, MB, МС, перпендикулярные соответственно осям Ox, Оу, Oz (рис. 180). Тогда на этих осях получатся направленные отрезки

численно равные координатам точки М.

Радиус-вектор г является диагональю параллелепипеда П с измерениями , образованного плоскостями МА, МБ, МС и координатными плоскостями. Поэтому

Если обозначить через углы, образованные радиусом-вектором г с координатными осями, то будем иметь

Косинусы cos а, cos р, cos у называются направляющими косинусами радиуса-вектора г. Из (4), учитывая (3), получаем

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов радиуса-век-тора точки пространства равна 1.

Из формулы (4) следует, что координата точки М положительна, если радиус-вектор этой точки образует острый угол с соответствующей координатной осью, и отрицательна, если этот угол тупой. В частности, в I октанте пространства, ребра которого составляют положительные полуоси координат, все координаты точек положительны- В остальных октантах пространства отрицательными координатами точек будут те, которые соответствуют отрицательно направленным ребрам октанта.

Измерения параллелепипеда П равны расстояниям точки М соответственно от координатных плоскостей Oyz, Ozx, Оху. Таким образом, декартовы прямоугольные координаты точки М пространства представляют собой расстояния от этой точки до координатных плоскостей, взятые с надлежащими знаками,

В частности, если точка лежит на плоскости Oyz, то х = 0; если на плоскости Ozx, то у = 0; если же на плоскости Оху, то z = 0, и обратно.

Длина и направление вектора

Пусть в пространстве Oxyz задан вектор а. Проекции этого вектора на оси координат

называются координатами вектора а; при этом вектор мы будем записывать так:

Так как вектор а свободный, то его можно рассматривать как радиус-вектор точки . Отсюда получаем длину вектора

т.е. модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Направляющие косинусы вектора а определяются из уравнений

причем

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице. Направляющие косинусы ненулевого вектора однозначно определяют его направление. Следовательно, вектор полностью характеризуется своими координатами.

Пример №24

Найти длину и направление вектора а = {1, 2, -2}.

Решение:

Имеем

Отсюда

Таким образом, вектор а образует острые углы с координатными осями Ох и Оу и тупой угол с координатной осью Ог.

Расстояние между двумя точками пространства

Пусть — начальная точка отрезка и — конечная точка его. Точки можно задать их радиусами-векторами и (рис. 181).

Рассматривая вектор , из будем иметь

Проецируя это векторное равенство на оси координат и учитывая свойства проекций, получаем

Таким образом, проекции направленного отрезка на оси координат равны разностям соответствующих координат конца и начала отрезка.

Из формул (2) получаем длину отрезка (или, иначе, расстояние между двумя точками )

Итак, расстояние между двумя точками пространства равно корню квадратному из квадратов разностей одноименных координат этих точек.

Пример №25

Ракета из пункта М₁ (10, -20, 0) прямолинейно переместилась в пункт М₂ (-30, -50, 40) (расстояния даны в километрах). Найти путь пройденный ракетой.

Решение:

На основании формулы (3) имеем

Заметим, что, найдя направляющие косинусы вектора перемещения , нетрудно определить направление движения ракеты.

Действие над векторами, заданными в координатной форме

Пусть вектор задан своими проекциями на оси координат Ox, Оу, Oz.

Построим параллелепипед (рис. 182), диагональю которого является вектор а, а ребрами служат компоненты его относительно соответствующих координатных осей. Имеем разложение

Если ввести единичные векторы (орты) i, j, k, направленные по осям координат, то на основании связи между компонентами вектора и его проекциями будем иметь

Подставляя эти выражения в равенство (1), получаем координатную форму вектора

Заметим, что разложение (3) для вектора а единственно. Действительно, пусть

Отсюда, вычитая из равенства (3) равенство (3′) и пользуясь перемести -тельным и сочетательным свойствами суммы векторов, а также свойствами разности векторов, будем иметь

Если хотя бы один из коэффициентов при ортах i, j и k был отличен от нуля, то векторы i, j и k были бы компланарны, что неверно. Поэтому и единственность разложения (3) доказана.

Если то, очевидно, также имеем

Рассмотренные выше линейные операции над векторами можно теперь записать в следующем виде:

или короче: . Таким образом, при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр;

или кратко:

Таким образом, при сложении (или вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (или вычитаются):

Пример №26

Найти равнодействующую F двух сил

и ее направление.

Решение:

Имеем . Отсюда

где — направляющие косинусы равнодействующей F.

Скалярное произведение векторов

Определение: Под скалярным произведением двух векторов а и b понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. в обычных обозначениях:

где

Заметим, что в формуле (1) скалярное произведение можно еще записывать как ab, опуская точку. Так как (рис. 183)

то можно записать

т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию другого на ось с направлением первого.

Физический смысл скалярного произведения

Пусть постоянная сила F обеспечивает прямолинейное перемещение материальной точки. Если сила F образует угол ф с перемещением s (рис. 184), то из физики известно, что работа силы F при перемещении s равна

На основании формулы (1) имеем

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее м точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Скалярное произведение векторов обладает следующими основными свойствами.

1)Скалярное произведение двух векторов не зависит от порядка этих сомножителей (переместительное свойство):

Эта формула непосредственно следует из формулы (1).

2)Для трех векторов а, b и с справедливо распределительное свойство

т. е. при скалярном умножении суммы векторов на вектор можно «раскрыть скобки».

Действительно, на основании формул (2), учитывая свойства проекций векторов, имеем

3)Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, т.е.

Действительно,

Отсюда для модуля вектора получаем формулу

4)Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т.е.

Это свойство также легко получается из (1).

5)Скалярное произведение линейной комбинации векторов на произвольный вектор равно такой же линейной комбинации данных векторов на этот вектор, т.е.

( — скаляры).

Это — очевидное следствие 2) и 4).

Из определения (1) вытекает, что косинус угла между двумя ненулевыми векторами а и b равен

Из формулы (8) получаем, что два вектора а и b перпендикулярны (ортогональны), т. е. , тогда и только тогда, когда

Это утверждение справедливо также и в том случае, когда хотя бы один из векторов а или b нулевой.

Пример №27

Найти проекцию вектора а на вектор b. Обозначая через угол между этими векторами, имеем

где е =— орт вектора b

Скалярное произведение векторов в координатной форме

Пусть

Перемножая эти векторы как многочлены и учитывая соотношения

будем иметь

Таким образом, скалярное произведение векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат. Отсюда, обозначая через ф угол между векторами а и b, получаем

Пример:

Определить угол ф между векторами а = { 1,+2, 3} и b ={-3, 2,-1}. На основании формулы (4) имеем

Отсюда

Пусть векторы а и b коллинеарны (параллельны). Согласно условию коллинеарности,

где k — скаляр, что эквивалентно или

Таким образом, векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны.

Для перпендикулярных (ортогональных) векторов а и b имеем и, следовательно, cos ф = 0 или, согласно формуле (4),

Таким образом, два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма парных произведений их одноименных координат равна нулю.

Векторное произведение векторов

Напомним, что тройка а, b и с некомпланарных векторов называется правой (рис. 185, а) или левой (рис. 185, б), если она ориентирована по правилу правого винта или соответственно по правилу левого винта.

Заметим, что если в тройке некомпланарных векторов а, b, с переставить два вектора, то она изменит свою ориентацию, т. е. из правой сделается левой или наоборот.

В дальнейшем правую тройку мы будем считать стандартной.

Определение: Под векторным произведением двух векторов а и b понимается вектор

для которого:

1)модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т. е.

где (рис. 186);

2)этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам (иначе говоря, перпендикулярен плоскости построенного на них параллелограмма), т. е. ;

3)если векторы неколлинеарны, то векторы а, b, с образуют правую тройку векторов.

Укажем основные свойства векторного произведения.

1)При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т. е.

Действительно, при перестановке векторов а и b площадь построенного на них параллелограмма остается неизменной, т. е. . Однако тройка векторов является левой. Поэтому направление вектора противоположно направлению вектора (а и b неколлинеарны). Если а и b коллинеарны, то равенство (3) очевидно.

Таким образом, векторное произведение двух векторов не обладает переместительным свойством.

2)Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.

Это — очевидное следствие свойства 1).

3)Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. если — скаляр, то

Это свойство непосредственно вытекает из смысла произведения вектора на скаляр и определения векторного произведения.

4)Для любых трех векторов а, b, с справедливо равенство

т.е. векторное произведение обладает распределительным свойством.

Пример:

Отсюда, в частности, имеем

т. е. площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма, равна удвоенной площади этого параллелограмма.

С помощью векторного произведения удобно формулировать легко проверяемый критерий коллинеарности двух векторов а и b:

Векторное произведение в координатной форме

Пусть

Перемножая векторно эти равенства и используя свойства векторного произведения, получим сумму девяти слагаемых:

Из определения векторного произведения следует, что для ортов справедлива следующая «таблица умножения»:

Поэтому из формулы (3) получаем

(с сохранением порядка следования букв ).

Для удобства запоминания формула (4) записывается в виде определителя третьего порядка (см. гл. XVII)

Из формулы (4) вытекает, что

Геометрически формула (6) дает квадрат площади параллелограмма, построенного на векторах .

Пример №28

Найти площадь треугольника с вершинами А (1, 1, 0), В (1,0, 1) и С (0, 1, 1).

Решение:

Площадь S треугольника ABC равна 1/2 площади параллелограмма, построенного на векторах (рис. 187). Используя формулы для проекций направленных отрезков, имеем отсюда

Следовательно,

Смешанное произведение векторов

Определение: Под смешанным (или векторно-скалярным) произведением векторов понимается число

Построим параллелепипед П (рис. 188), ребрами которого, исходящими из общей вершины О, являются векторы .

Тогда представляет собой площадь параллелограмма, построенного на векторах , т.е. площадь основания параллелепипеда.

Высота этого параллелепипеда , очевидно, равна

где и знак плюс соответствует острому углу , а знак минус — тупому углу ф. В первом случае векторы образуют правую тройку, а во втором — левую тройку.

На основании определения скалярного произведения имеем

где V — объем параллелепипеда, построенного на векторах . Отсюда

т. е. смешанное произведение трех векторов равно объему V параллелепипед а у построенного на этих векторах, взятому со знаком плюсу если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку.

Справедливы следующие основные свойства смешанного произведения векторов.

1)Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е.

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда П, ни ориентация его ребер.

2)При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на обратный, т. е.

Это следует из того, что перестановка соседних множителей, сохраняя объем параллелепипеда, изменяет ориентацию тройки векторов, т.е. правая тройка переходит в левую, а левая — в правую.

С помощью смешанного произведения получаем необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов :

abc = 0

(объем параллелепипеда равен нулю). Если

то, используя выражения в координатах для векторного и скалярного  произведений векторов, получаем

т. e.

Численное значение — вектор

Cтраница 1

Численное значение вектора называется его модулем или длиной вектора.
 [1]

Численное значение вектора называется его модулем. Образно говоря, модуль дает длину вектора.
 [2]

Численное значение вектора называется величиной или модулем вектора. На чертеже вектор обозначается стрелкой, длина которой в некотором масштабе равна модулю вектора, а направление указывает направление вектора. Как правило, векторы обозначаются жирными латинскими буквами; иногда вектор, имеющий начало в точке А, а оканчивающийся в точке В, обозначается символом АВ.
 [3]

Численные значения векторов токов определяются произведением напряжения и проводимости соответствующей ветви.
 [5]

Численные значения векторов напряжений определяются произведением тока и сопротивления соответствующего участка.
 [6]

Численные значения векторов токов определяются произведением напряжения и проводимости соответствующей ветви.
 [7]

Чтобы найти численное значение вектора х0, необходимо иметь три уравнения.
 [8]

Дг — изменение численного значения вектора скорости; направлено тангенциальное ускорение по касательной к траектории.
 [9]

При построении силового поля удобно характеризовать численное значение вектора в данной точке густотой силовых линий. При этом величину вектора а определяют числом силовых линий, приходящихся в дайной точке поля на единицу площади, перпендикулярной к силовым линиям. Впоследствии мы покажем, что для интересующих нас полей такое определение позволяет иметь непрерывную структуру линий.
 [11]

Интенсивностью вихря ( вихревой трубки) называется произведение численного значения вектора rot v в каком-нибудь нормальном сечении вихревой трубки на площадь а этого сечения. Интенсивность вихря постоянна вдоль всей вихревой трубки и равна циркуляции скорости вдоль произвольного замкнутого контура, проведенного на поверхности вихревой трубки и охватывающего трубку один раз.
 [12]

Длина отрезка соответствует ( в произвольном масштабе) численному значению вектора; стрелка указывает направление вектора.
 [13]

Векторы могут быть изображены стрелками, длина которых равна численному значению вектора, а направление параллельно направлению вектора.
 [14]

Доказывается, что для электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме, численные значения векторов Е и Я, измеренные в системе СГС, равны между собой: ЕН.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

   3

Некоторые сведения о векторах.

Элементы векторной
алгебры. Скаляр. Вектор.

Правила сложения
векторов. Скалярное и векторное
произведение.

Векторами называются
величины, характеризующиеся численным
значением и направлением. Численное
значение вектора называется модулем
(модуль дает длину вектора). Модуль
вектора – скаляр, причем всегда
положительный.

Сложение векторов
достигается, если начало второго вектора
совместить с концом первого, а затем
провести из начала первого в конец
второго результирующий вектор.

Разностью
двух векторов а и b
называется такой вектор с , который в
сумме с вектором b
дает вектор а.

Умножение
вектора на скаляр.
В результате умножения вектора а на
скаляр α получается новый вектор b=
αа. Из определения операции умножения
вектора на скаляр следует, что всякий
вектор а можно представить в виде а=,
где— модуль вектора а,— вектор с модулем, равным единице,
имеющий такое же направление, как и а.
Векторназывается единичным вектором или ортом
вектора а.

Проекция
вектора. Рассмотрим некоторое направление
в пространстве, которое мы зададим осью
l.
Пусть вектор а образует с осью l
угол .
Величина

(а
– модуль вектора) называется проекцией
вектора а на ось l.

Проекция
вектора есть величина алгебраическая.
Если вектор образует с данным направлением
острый угол, то cos>0,
так что проекция положительна. Если
угол 
тупой, то cos<0,
и проекция отрицательна. Когда вектор
перпендикулярен к данной оси, проекция
равна нулю.

Радиус-вектор.
Радиусом-вектором r
некоторой точки называется вектор,
проведенный из начала координат в данную
точку (рис.). Его проекции на координатные
оси равны декартовым координатам данной
точки:

.

Радиус-вектор
можно представить в виде

где
i,
j,
k
– орты осей.

Тогда

Скалярное
произведение векторов.
Скалярным произведением векторов а и
b
называется скаляр, равный произведению
модулей этих векторов на косинус угла
α между ними:
.
Когда α острыйаb>0,
при α тупом аb<0.
Скалярное произведение взаимно
перпендикулярных векторов равно нулю.

Векторное
произведение.
Векторным произведением векторов а и
b
называется вектор с:

а
и b
– модули перемножаемых векторов, α –
угол между векторами, n
– единичный вектор нормали

1. Кинематика

1.1. Системы отсчета. Прямолинейное движение

Механика
– наука о
движении тел. Простейшей формой движения
материи является механическое движение.
Механическое
движение —
это процесс изменения взаимного
расположения тел. Совокупность тел,
выделенная для рассмотрения, называется
механической
системой.
Какие тела следует включить в систему,
зависит от характера решаемой задачи.
В физике вводят понятие тела отсчета.
Тело отсчета
– это материальное тело, относительно
которого изучают движение. Система
координат с телом отсчета, линейкой и
часами составляет систему
отсчета.

Вообще при движении
тела в пространстве нужно учитывать
его размеры и расположения его в
пространстве. Это иногда осложняет
решение задачи. Поэтому к рассмотрению
вводят материальную точку. Но любое
тело можно рассматривать, как систему
материальных точек, то есть, иначе
говоря, движение этого тела есть
суперпозиция движений отдельных
материальных точек, из которых состоит
предоставленное тело.

Линия, вдоль которой
перемещается тело, называется траекторией.
По виду траектории движения разделяются
на два типа: прямолинейное и криволинейное.

Материальная
точка – это тело, размерами которого
можно пренебречь в данных условиях
задачи. (При
рассмотрении движения Земли вокруг
Солнца вполне можно пренебречь размерами
Земли. При этом описание движения
значительно упрощается – положение
Земли в пространстве можно определить
одной точкой.)

Кинематика
– раздел
механики, изучающий движение,
безотносительно к причинам его породившим.
Все системы отсчета в кинематике
равноправны. В зависимости от свойств
объекта кинематика распределяется на
кинематику материальной точки и
кинематику твердого тела. В кинематике
различают прямую и обратную задачи.
Прямая задача кинематики – по заданному
положению тела в пространстве в любой
момент времени определить скорость и
ускорение также в любой момент времени.

Обратная задача
– по заданному ускорению, как функции
времени найти скорость и координаты
или радиус-вектор частицы в любой момент
времени.

Описать движение
– это значит знать в любой момент
времени: где находится тело; с какой
скоростью оно движется; какое у него
ускорение.

В зависимости от
того, каким образом задают положение
тела в пространстве, выделяют различные
способы описания движения.

а)
векторный способ. Рассмотрим
прямую задачу кинематики.

В
векторном способе положение точки в
пространстве определяется при помощи
радиус-вектора. Радиус-вектором
точки А относительно, например точки
О, называют вектор, начало которого
находится в точке О, а конец в точке А.

Пусть
за времятело переместилось вдоль некоторой
траектории из точки 1 в точку 2. Вектор,
соединяющий начальное и конечное
положение тела называют перемещением.
Из рис. видно, что перемещение тела равно
приращению радиус-вектора за время:.

Любое
перемещение происходит в пространстве
по времени, поэтому для характеристики
движения вводят понятие вектор
скорости
движения,
которое определяется изменением
перемещения по времени. Различают
мгновенную
и среднюю скорости.

Мгновенная
скорость –
это предел отношения перемещения тела
ко времени за которое оно совершено при
стремлении
к нулю.(это скорость в предоставленный
момент времени, то есть это производная
радиуса-векторапо времени):

(1.1)

Средним
вектором скорости
называют отношение перемещения тела
ко времени, за которое оно совершено:

(1.2)

Скорость
изменения скорости называют ускорением
тела.

(1.3)

Таким образом, для
того чтобы задать движение тела векторным
способом достаточно знать зависимость
от времени радиус-вектора. При этом,
местоположение тела определяется
радиус-вектором, скорость тела – первой
производной от радиус-вектора по времени,
а ускорение – второй производной от
радиус-вектора по времени.

Обратная
задача кинематики. Задано
ускорение как функция времени. Найти
скорость и радиус-вектор. Для однозначного
решения обратной задачи необходимо
задать начальные условия, то есть
начальное положение тела и его скорость
в начальный момент. Даны начальные
условия
и

Рассмотрим
движение тела с постоянным ускорением
.

По
определению ускорение
.
Тогда приращение скорости, соответствующее
бесконечно малому времениdt

(1.4)

Проинтегрируем
обе части уравнения (1.4), с учетом начальных
условий.

После интегрирования
получим

Получаем,
что в момент времени t

(1.5)

Так
как скорость по определению
,
то отсюда приращение радиус вектора.
Интегрируем обе части

Находим зависимость
радиус-вектора от времени:

(1.6)

Соотношения (1.5) и
(1.6) дают хорошо известные из школьного
курса соотношения для равноускоренного
движения.

Путь пройденный
телом есть:

В
случае замедленного движения может
наступить момент времени
,
при котором скорость тела становится
равной нулю. В этом случае путь тела
слагается из пути до «точки поворота»
и после «точки поворота».

б) координатный
способ.

В
этом способе положение тела в пространстве
в момент времени t
задается при помощи его координат,
например, декартовых, которые можно
рассматривать как проекции радиус-вектора
на соответствующие оси (см.рис. 1.2)

Первые производные
от координат по времени определяют
проекции вектора скорости на соответствующие
координатные оси:

Тогда вектор
скорости определяется как векторная
сумма его компонент:

где
единичные векторы (орты)
вдоль осей

Модуль вектора
скорости:

Аналогично находим
проекции вектора ускорения:

Тогда вектор
ускорения определяется как векторная
сумма его компонент

Модуль вектора
ускорения:

Таким образом, для
того чтобы задать движение тела
координатным способом достаточно знать
зависимость от времени его координат.

Обратная задача:
заданы проекции ускорения, необходимо
найти проекции вектора скорости и
координаты. Начальные условия имеют
вид

и

Решается аналогично
векторному способу.

Например, для
проекций на ось х:

.

Аналогично
для у, z
и
,
.

Средней
скоростью тела называют скалярную
величину, равную отношению пути S(t)
ко времени t,
за которое этот путь пройден.

1.2.
Вращательное движение.

Основными
кинематическими величинами, что
характеризуют вращательное движение
точки, имеется ее угловая скорость и
угловое ускорение.

Угловая скорость
точки в определенный момент времени
определяется отношением вектора углового
смещения
к
соответствующему промежутку времени

. (1.10)

Вектор
совпадает за направлением с вектором
и также является аксиальным вектором.
За единицу угловой скорости в системе
отсчета СИ принят радиан за секунду
(рад/с).

Изменение
вектору
со временем характеризуют вектором
углового ускорения,который
определяют как

. (1.11)

Направление
вектора углового ускорения
совпадает с направлением прироста
вектора . Вектор, как и, является
аксиальным. За единицу углового ускорения
в СИ принят радиан за секунду в квадрате
(рад/с2).

Решение
всех задач на вращение твердого тела
вокруг неподвижной вехе аналогично по
форме задачам на прямолинейное движение
точки. Достаточно заменить линейные
величине
на соответствующие угловые, получим
соотношение для вращательного движения
тела (см.табл.
1.1). const

Таблица 1.1

Основные величины и равнения
поступательного движения	вращательного движения
Перемещение		Угол поворота радиус-вектора
Пройденный путь
Линейная скорость		Угловая скорость
Линейное ускорение		Угловое ускорение
Равномерное прямолинейное движение		Равномерное вращательное движение
Равнопеременное прямолинейное движение		Равнопеременное вращательное движение

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Была ли эта статья полезной?