Как найти частную производную функции в точке

Частная производная функции в точке

Как найти значение?

Постановка задачи

Найти значение частной производной функции $ u(x,y,z) $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $

План решения

Частная производная в точке обозначается и вычисляется по формуле:

$$ frac{partial u}{partial x} bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)} = frac{partial u}{partial x} (x_0,y_0,z_0) $$

$$ frac{partial u}{partial y} bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)} = frac{partial u}{partial y} (x_0,y_0,z_0) $$

$$ frac{partial u}{partial z} bigg |_{M(x_0,y_0,z_0)} = frac{partial u}{partial z} (x_0,y_0,z_0) $$

1. Находим частные производные, к примеру первого порядка:
   $$ frac{partial u}{partial x}; frac{partial u}{partial y}; frac{partial u}{partial z} $$
2. Подставляем координаты $ x_0,y_0,z_0 $ точки $ M $ в полученные частные производные вместо $ x,y,z $:
   $$ frac{partial u}{partial x} (x_0,y_0,z_0); frac{partial u}{partial y} (x_0,y_0,z_0); frac{partial u}{partial z} (x_0,y_0,z_0) $$
3. Вычисляем выражения и записываем ответ

Примеры решений 

36.
Частные производные ФНП, их нахождение.
Частные производные ФДП, их геометрический
смысл. Примеры.

Частные
производные

Частной
производной по x функции z
= f(x,y) в
точке A(x₀,y₀)
называется предел отношения частного
приращения по x функции
в точке A к
приращению ∆x при
стремлении ∆x к
нулю. 
Частные
производные функции z(x,y) находятся
по следующим формулам:  Вторые
частные производные функции z(x,y) находятся
по формулам: 
 

Смешанные
частные производные функции z(x,y) находятся
по формулам: 

Частные
производные функции нескольких переменных

Ели
одному из аргументов функции z
= f(x,y) придать
приращение, а другой аргумент не изменять,
то функция получит частное
приращение по одному из аргументов: –
эточастное приращение функции z по
аргументу x;  –
это частное приращение функции z по
аргументу у. 
Частной
производной функции нескольких
переменных по
одному из её аргументов называется
предел отношения частного приращения
функции по этому аргументу к соответствующему
приращению аргумента при условии, что
приращение аргумента стремится к
нулю: 
 –
это частная производная функции z по
аргументу x; 
 –
это частная производная функции z по
аргументу у. 
Чтобы
вычислить частную производную ФНП по
одному из её аргументов, нужно все другие
её аргументы считать постоянными и
проводить дифференцирование по правилам
дифференцирования функции одного
аргумента.

Пример
1.
z = 2x⁵ +
3x²y
+ y² –
4x + 5y — 1

Пример
2.
Найти частные производные  функции
z = f(x;y) в точке A(x₀;y₀). 
 
Находим
частные производные: 
 
 
Найдем
частные производные в точке А(1;1) 
 
 
Находим
вторые частные производные: 
 
 
Найдем
смешанные частные производные: 

Геометрический
смысл частных производных функции двух
переменных

Остановимся
на функции двух переменных.

Если
каждой паре значений x, y из
множества D ставится
в соответствие одно определённое
значение z из
множества E,
то z называется
функцией двух независимых друг от друга
переменных x и y и
обозначается z= f(x, y).

Множество D называется
областью определения функции z,
а множество E –
множеством её значений. Переменные x и y по
отношению к функции z называются
её аргументами.

Частным
значениям аргументов

Соответствует
частное значение функции

Пример
4.Область
определения функции S = xy,
выражающей зависимость площади
многоугольника от длин его сторон, может
быть записана двумя неравенствами

и

которые
определяют I квадрант на плоскости xOy.
Частное значение этой функции при x =
3, y =
5 составляет

В
общем случае область определения функции
двух переменных геометрически может
быть представлена некоторым множеством
точек (x; y)
плоскости xOy.

Подобно
тому, как функция y = f(x)
геометрически изображается графиком,
можно геометрически истолковать и
уравнение z = f(x, y).

Ставя
в соответствие каждой точке

аппликату z = f(x, y),
мы получим некоторое множество точек
(x; y; z)
трёхмерного пространства – чаще всего
некоторую поверхности. Поэтому
равенство z = f(x, y)
называют уравнением поверхности.

Пример
5. Пусть
задана функция

Её
область определения найдём из равенства

т.е.
 
 

Это
круг с центром в начале координат и
радиусом r.
Графиком функции

является
верхняя половина сферы

(разрешив
уравнение сферы относительно z,
получим две однозначные функции z:

и

Соседние файлы в папке Bilety

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Частные производные для функции от нескольких переменных

21 сентября 2015

Рассмотрим функцию от двух переменных:

[f=fleft( x,y right)]

Поскольку переменные $x$ и $y$ являются независимыми, для такой функции можно ввести понятие частной производной:

Частная производная функции $f$ в точке $M=left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ по переменной $x$ — это предел

[{{{f}’}_{x}}=underset{Delta xto 0}{mathop{lim }},frac{fleft( {{x}_{0}}+Delta x;{{y}_{0}} right)}{Delta x}]

Аналогично можно определить частную производную по переменной $y$ :

[{{{f}’}_{y}}=underset{Delta yto 0}{mathop{lim }},frac{fleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}}+Delta y right)}{Delta y}]

Другими словами, чтобы найти частную производную функции нескольких переменных, нужно зафиксировать все остальные переменные, кроме искомой, а затем найти обычную производную по этой искомой переменной.

Отсюда вытекает основной приём для вычисления таких производных: просто считайте, что все переменные, кроме данной, являются константой, после чего дифференцируйте функцию так, как дифференцировали бы «обычную» — с одной переменной. Например:

$begin{align}& {{left( {{x}^{2}}+10xy right)}_{x}}^{prime }={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}_{x}+10ycdot {{left( x right)}^{prime }}_{x}=2x+10y, \& {{left( {{x}^{2}}+10xy right)}_{y}}^{prime }={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}_{y}+10xcdot {{left( y right)}^{prime }}_{y}=0+10x=10x. \end{align}$

Очевидно, что частные производные по разным переменным дают разные ответы — это нормально. Куда важнее понимать, почему, скажем, в первом случае мы спокойно вынесли $10y$ из-под знака производной, а во втором — вовсе обнулили первое слагаемое. Всё это происходит из-за того, что все буквы, кроме переменной, по которой идёт дифференцирование, считаются константами: их можно выносить, «сжигать» и т.д.

Что такое «частная производная»?

Сегодня мы поговорим о функциях нескольких переменных и о частных производных от них. Во-первых, что такое функция нескольких переменных? До сих пор мы привыкли считать функцию как $yleft( x right)$ или $tleft( x right)$, или любую переменную и одну-единственную функцию от нее. Теперь же функция у нас будет одна, а переменных несколько. При изменении $y$ и $x$ значение функции будет меняться. Например, если $x$ увеличится в два раза, значение функции поменяется, при этом если $x$ поменяется, а $y$ не изменится, значение функции точно так же изменится.

Разумеется, функцию от нескольких переменных, точно так же как и от одной переменной, можно дифференцировать. Однако поскольку переменных несколько, то и дифференцировать можно по разным переменным. При этом возникают специфические правила, которых не было при дифференцировании одной переменной.

Прежде всего, когда мы считаем производную функции от какой-либо переменной, то обязаны указывать, по какой именно переменной мы считаем производную — это и называется частной производной. Например, у нас функция от двух переменных, и мы можем посчитать ее как по $x$, так и по $y$ — две частных производных у каждой из переменных.

Во-вторых, как только мы зафиксировали одну из переменных и начинаем считать частную производную именно по ней, то все остальные, входящие в эту функцию, считаются константами. Например, в $zleft( xy right)$, если мы считаем частную производную по $x$, то везде, где мы встречаем $y$, мы считаем ее константой и обращаемся с ней именно как с константой. В частности при вычислении производной произведения мы можем выносить $y$ за скобку (у нас же константа), а при вычислении производной суммы, если у нас где-то получается производная от выражения, содержащего $y$ и не содержащего $x$, то производная этого выражения будет равна «нулю» как производная константы.

На первый взгляд может показаться, что я рассказываю о чем-то сложном, и многие ученики по началу путаются. Однако ничего сверхъестественного в частных производных нет, и сейчас мы убедимся в этом на примере конкретных задач.

Задачи с радикалами и многочленами

Задача № 1

Чтобы не терять время зря, с самого начала начнем с серьезных примеров.

[zleft( x,y right)=sqrt{frac{y}{x}}]

Для начала напомню такую формулу:

[{{left( sqrt{x} right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{2sqrt{x}}]

Это стандартное табличное значение, которое мы знаем из стандартного курса.

В этом случае производная $z$ считается следующим образом:

[{{{z}’}_{x}}={{left( sqrt{frac{y}{x}} right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}{{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{x}]

Давайте еще раз, поскольку под корнем стоит не $x$, а некое другое выражение, в данном случае $frac{y}{x}$, то сначала мы воспользуемся стандартным табличным значением, а затем, поскольку под корнем стоит не $x$, а другое выражение, нам необходимо домножить нашу производную на еще одну из этого выражения по той же самой переменной. Давайте для начала посчитаем следующее:

[{{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{x}=frac{{{{{y}’}}_{x}}cdot x-ycdot {{{{x}’}}_{x}}}{{{x}^{2}}}=frac{0cdot x-ycdot 1}{{{x}^{2}}}=-frac{y}{{{x}^{2}}}]

Возвращаемся к нашему выражению и записываем:

[{{{z}’}_{x}}={{left( sqrt{frac{y}{x}} right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}{{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}cdot left( -frac{y}{{{x}^{2}}} right)]

В принципе, это все. Однако оставлять ее в таком виде неправильно: такую конструкцию неудобно использовать для дальнейших вычислений, поэтому давайте ее немного преобразуем:

[frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}cdot left( -frac{y}{{{x}^{2}}} right)=frac{1}{2}cdot sqrt{frac{x}{y}}cdot frac{y}{{{x}^{2}}}=]

[=-frac{1}{2}cdot sqrt{frac{x}{y}}cdot sqrt{frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{4}}}}=-frac{1}{2}sqrt{frac{xcdot {{y}^{2}}}{ycdot {{x}^{4}}}}=-frac{1}{2}sqrt{frac{y}{{{x}^{3}}}}]

Ответ найден. Теперь займемся $y$:

[{{{z}’}_{y}}={{left( sqrt{frac{y}{x}} right)}^{prime }}_{y}=frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}cdot {{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{y}]

Выпишем отдельно:

[{{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{y}=frac{{{{{y}’}}_{y}}cdot x-ycdot {{{{x}’}}_{y}}}{{{x}^{2}}}=frac{1cdot x-ycdot 0}{{{x}^{2}}}=frac{1}{x}]

Теперь записываем:

[{{{z}’}_{y}}={{left( sqrt{frac{y}{x}} right)}^{prime }}_{y}=frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}cdot {{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{y}=frac{1}{2sqrt{frac{y}{x}}}cdot frac{1}{x}=]

[=frac{1}{2}cdot sqrt{frac{x}{y}}cdot sqrt{frac{1}{{{x}^{2}}}}=frac{1}{2}sqrt{frac{x}{ycdot {{x}^{2}}}}=frac{1}{2sqrt{xy}}]

Все сделано.

Задача № 2

[zleft( x,y right)=frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}]

Этот пример одновременно и проще, и сложней, чем предыдущий. Сложнее, потому что здесь больше действий, а проще, потому что здесь нет корня и, кроме того, функция симметрична относительно $x$ и $y$, т.е. если мы поменяем $x$ и $y$ местами, формула от этого не изменится. Это замечание в дальнейшем упростит нам вычисление частной производной, т.е. достаточно посчитать одну из них, а во второй просто поменять местами $x$ и $y$.

Приступаем к делу:

[{{{z}’}_{x}}={{left( frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1} right)}^{prime }}_{x}=frac{{{left( xy right)}^{prime }}_{x}left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)-xy{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{prime }}_{x}}{{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{2}}}]

Давайте посчитаем:

[{{left( xy right)}^{prime }}_{x}=ycdot {{left( x right)}^{prime }}=ycdot 1=y]

Однако многим ученикам такая запись непонятна, поэтому запишем вот так:

[{{left( xy right)}^{prime }}_{x}={{left( x right)}^{prime }}_{x}cdot y+xcdot {{left( y right)}^{prime }}_{x}=1cdot y+xcdot 0=y]

Таким образом, мы еще раз убеждаемся в универсальности алгоритма частных производных: каким бы мы образом их не считали, если все правила применяются верно, ответ будет один и тот же.

Теперь давайте разберемся еще с одной частной производной из нашей большой формулы:

[{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{prime }}_{x}={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}_{x}+{{left( {{y}^{2}} right)}^{prime }}_{x}+{{{1}’}_{x}}=2x+0+0]

Подставим полученные выражения в нашу формулу и получим:

[frac{{{left( xy right)}^{prime }}_{x}left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)-xy{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{prime }}_{x}}{{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{2}}}=]

[=frac{ycdot left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)-xycdot 2x}{{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{2}}}=]

[=frac{yleft( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1-2{{x}^{2}} right)}{{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{2}}}=frac{yleft( {{y}^{2}}-{{x}^{2}}+1 right)}{{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{2}}}]

По $x$ посчитано. А чтобы посчитать $y$ от того же самого выражения, давайте не будем выполнять всю ту же последовательность действий, а воспользуемся симметрией нашего исходного выражения — мы просто заменим в нашем исходном выражении все $y$ на $x$ и наоборот:

[{{{z}’}_{y}}=frac{xleft( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 right)}{{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{2}}}]

За счет симметрии мы посчитали это выражение гораздо быстрее.

Нюансы решения

Для частных производных работают все стандартные формулы, которые мы используем для обычных, а именно, производная частного. При этом, однако, возникают свои специфические особенности: если мы считаем частную производную $x$, то когда мы получаем ее по $x$, то рассматриваем ее как константу, и поэтому ее производная будет равна «нулю».

Как и в случае с обычными производными, частную (одну и ту же) можно посчитать несколькими различными способами. Например, ту же конструкцию, которую мы только что посчитали, можно переписать следующим образом:

[{{left( frac{y}{x} right)}^{prime }}_{x}=ycdot {{left( frac{1}{x} right)}^{prime }}_{x}=-yfrac{1}{{{x}^{2}}}]

Далее мы точно таким же образом считаем еще две конструкции, а именно:

[{{left( xy right)}^{prime }}_{x}=ycdot {{{x}’}_{x}}=ycdot 1=y]

Вместе с тем, с другой стороны, можно использовать формулу от производной суммы. Как мы знаем, она равна сумме производных. Например, запишем следующее:

[{{left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 right)}^{prime }}_{x}=2x+0+0=2x]

Теперь, зная все это, давайте попробуем поработать с более серьезными выражениями, поскольку настоящие частные производные не ограничиваются одними лишь многочленами и корнями: там встречаются и тригонометрия, и логарифмы, и показательная функция. Сейчас этим и займемся.

Задачи с тригонометрическими функциями и логарифмами

Задача № 1

[zleft( x,y right)=sqrt{x}cos frac{x}{y}]

Запишем следующие стандартные формулы:

[{{left( sqrt{x} right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{2sqrt{x}}]

[{{left( cos x right)}^{prime }}_{x}=-sin x]

Вооружившись этими знаниями, попробуем решить:

[{{{z}’}_{x}}={{left( sqrt{x}cdot cos frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}={{left( sqrt{x} right)}^{prime }}_{x}cdot cos frac{x}{y}+sqrt{x}cdot {{left( cos frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}=]

Отдельно выпишем одну переменную:

[{{left( cos frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}=-sin frac{x}{y}cdot {{left( frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}=-frac{1}{y}cdot sin frac{x}{y}]

Возвращаемся к нашей конструкции:

[=frac{1}{2sqrt{x}}cdot cos frac{x}{y}+sqrt{x}cdot left( -frac{1}{y}cdot sin frac{x}{y} right)=frac{1}{2sqrt{x}}cdot cos frac{x}{y}-frac{sqrt{x}}{y}cdot sin frac{x}{y}]

Все, по $x$ мы нашли, теперь давайте займемся вычислениями по $y$:

[{{{z}’}_{y}}={{left( sqrt{x}cdot cos frac{x}{y} right)}^{prime }}_{y}={{left( sqrt{x} right)}^{prime }}_{y}cdot cos frac{x}{y}+sqrt{x}cdot {{left( cos frac{x}{y} right)}^{prime }}_{y}=]

Опять же посчитаем одно выражение:

[{{left( cos frac{x}{y} right)}^{prime }}_{y}=-sin frac{x}{y}cdot {{left( frac{x}{y} right)}^{prime }}_{y}=-sin frac{x}{y}cdot xcdot left( -frac{1}{{{y}^{2}}} right)]

Возвращаемся к исходному выражению и продолжаем решение:

[=0cdot cos frac{x}{y}+sqrt{x}cdot frac{x}{{{y}^{2}}}sin frac{x}{y}=frac{xsqrt{x}}{{{y}^{2}}}cdot sin frac{x}{y}]

Все сделано.

Задача № 2

[zleft( x,y right)=ln left( x+ln y right)]

Запишем необходимую нам формулу:

[{{left( ln x right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{x}]

Теперь посчитаем по $x$:

[{{{z}’}_{x}}={{left( ln left( x+ln y right) right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{x+ln y}.{{left( x+ln y right)}^{prime }}_{x}=]

[=frac{1}{x+ln y}cdot left( 1+0 right)=frac{1}{x+ln y}]

По $x$ найдено. Считаем по $y$:

[{{{z}’}_{y}}={{left( ln left( x+ln y right) right)}^{prime }}_{y}=frac{1}{x+ln y}.{{left( x+ln y right)}^{prime }}_{y}=]

[=frac{1}{x+ln y}left( 0+frac{1}{y} right)=frac{1}{yleft( x+ln y right)}]

Задача решена.

Нюансы решения

Итак, от какой бы функции мы не брали частную производную, правила остаются одними и теми же, независимо от того, работаем ли мы с тригонометрией, с корнями или с логарифмами.

Неизменными остаются классические правила работы со стандартными производными, а именно, производная суммы и разности, частного и сложной функции.

Последняя формула чаще всего и встречается при решении задач с частными производными. Мы встречаемся с ними практически везде. Ни одной задачи еще не было, чтобы там нам она не попадалась. Но какой бы мы формулой не воспользовались, нам все равно добавляется еще одно требование, а именно, особенность работы с частными производными. Как только мы фиксируем одну переменную, все остальные оказываются константами. В частности, если мы считаем частную производную выражения $cos frac{x}{y}$ по $y$, то именно $y$ и является переменной, а $x$ везде остается константой. То же самое работает и наоборот. Ее можно выносить за знак производной, а производная от самой константы будет равна «нулю».

Все это приводит к тому, что частные производные от одного и того же выражения, но по разным переменным могут выглядеть совершенно по-разному. Например, посмотрим такие выражения:

[{{left( x+ln y right)}^{prime }}_{x}=1+0=1]

[{{left( x+ln y right)}^{prime }}_{y}=0+frac{1}{y}=frac{1}{y}]

Задачи с показательными функциями и логарифмами

Задача № 1

[zleft( x,y right)={{e}^{x}}{{e}^{frac{x}{y}}}]

Для начала запишем такую формулу:

[{{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}_{x}={{e}^{x}}]

Зная этот факт, а также производную сложной функции, давайте попробуем посчитать. Я сейчас решу двумя различными способами. Первый и самый очевидный — это производная произведения:

[{{{z}’}_{x}}={{left( {{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}={{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}_{x}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{left( {{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}=]

[={{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}cdot {{left( frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}=]

Давайте решим отдельно следующее выражение:

[{{left( frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}=frac{{{{{x}’}}_{x}}cdot y-x.{{{{y}’}}_{x}}}{{{y}^{2}}}=frac{1cdot y-xcdot 0}{{{y}^{2}}}=frac{y}{{{y}^{2}}}=frac{1}{y}]

Возвращаемся к нашей исходной конструкции и продолжаем решение:

[={{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}cdot frac{1}{y}={{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}left( 1+frac{1}{y} right)]

Все, по $x$ посчитано.

Однако как я и обещал, сейчас постараемся посчитать эту же частную производную другим способом. Для этого заметим следующее:

[{{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}={{e}^{x+frac{x}{y}}}]

В этом запишем так:

[{{left( {{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}={{left( {{e}^{x+frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}={{e}^{x+frac{x}{y}}}cdot {{left( x+frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}={{e}^{x+frac{x}{y}}}cdot left( 1+frac{1}{y} right)]

В результате мы получили точно такой же ответ, однако объем вычислений оказался меньшим. Для этого достаточно было заметить, что при произведении показатели можно складывать.

Теперь посчитаем по $y$:

[{{{z}’}_{y}}={{left( {{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{y}={{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}_{y}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{left( {{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{y}=]

[=0cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}cdot {{left( frac{x}{y} right)}^{prime }}_{y}=]

Давайте решим одно выражение отдельно:

[{{left( frac{x}{y} right)}^{prime }}_{y}=frac{{{{{x}’}}_{y}}cdot y-xcdot {{{{y}’}}_{y}}}{{{y}^{2}}}=frac{0-xcdot 1}{{{y}^{2}}}=-frac{1}{{{y}^{2}}}=-frac{x}{{{y}^{2}}}]

Продолжим решение нашей исходной конструкции:

[={{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}cdot left( -frac{x}{{{y}^{2}}} right)=-frac{x}{{{y}^{2}}}cdot {{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}]

Разумеется, эту же производную можно было бы посчитать вторым способом, ответ получился бы таким же.

Задача № 2

[zleft( x,y right)=xln left( {{x}^{2}}+y right)]

Посчитаем по $x$:

[{{{z}’}_{x}}={{left( x right)}_{x}}cdot ln left( {{x}^{2}}+y right)+xcdot {{left( ln left( {{x}^{2}}+y right) right)}^{prime }}_{x}=]

Давайте посчитаем одно выражение отдельно:

[{{left( ln left( {{x}^{2}}+y right) right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{{{x}^{2}}+y}cdot {{left( {{x}^{2}}+y right)}^{prime }}_{x}=frac{2x}{{{x}^{2}}+y}]

Продолжим решение исходной конструкции: $$

[1cdot ln left( {{x}^{2}}+y right)+xcdot frac{2x}{{{x}^{2}}+y}=ln left( {{x}^{2}}+y right)+frac{2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+y}]

Вот такой ответ.

Осталось по аналогии найти по $y$:

[{{{z}’}_{y}}={{left( x right)}^{prime }}_{y}.ln left( {{x}^{2}}+y right)+xcdot {{left( ln left( {{x}^{2}}+y right) right)}^{prime }}_{y}=]

Одно выражение посчитаем как всегда отдельно:

[{{left( {{x}^{2}}+y right)}^{prime }}_{y}={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}_{y}+{{{y}’}_{y}}=0+1=1]

Продолжаем решение основной конструкции:

[xcdot frac{1}{{{x}^{2}}+y}cdot 1=frac{x}{{{x}^{2}}+y}]

Все посчитано. Как видите, в зависимости от того, какая переменная берется для дифференцирования, ответы получаются совершенно разные.

Нюансы решения

Вот яркий пример того, как производную одной и той же функции можно посчитать двумя различными способами. Вот смотрите:

[{{{z}’}_{x}}=left( {{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}} right)={{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}_{x}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{left( {{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}=]

[={{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}cdot {{e}^{frac{x}{y}}}cdot frac{1}{y}={{e}^{x}}cdot {{e}^{^{frac{x}{y}}}}left( 1+frac{1}{y} right)]

[{{{z}’}_{x}}={{left( {{e}^{x}}.{{e}^{frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}={{left( {{e}^{x+frac{x}{y}}} right)}^{prime }}_{x}={{e}^{x+frac{x}{y}}}.{{left( x+frac{x}{y} right)}^{prime }}_{x}=]

[={{e}^{x}}cdot {{e}^{^{frac{x}{y}}}}left( 1+frac{1}{y} right)]

При выборе разных путей, объем вычислений может быть разный, но ответ, если все выполнено верно, получится одним и тем же. Это касается как классических, так и частных производных. При этом еще раз напоминаю: в зависимости от того, по какой переменной идет взятие производной, т.е. дифференцирование, ответ может получиться совершенно разный. Посмотрите:

[{{left( ln left( {{x}^{2}}+y right) right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{{{x}^{2}}+y}cdot {{left( {{x}^{2}}+y right)}^{prime }}_{x}=frac{1}{{{x}^{2}}+y}cdot 2x]

[{{left( ln left( {{x}^{2}}+y right) right)}^{prime }}_{y}=frac{1}{{{x}^{2}}+y}cdot {{left( {{x}^{2}}+y right)}^{prime }}_{y}=frac{1}{{{x}^{2}}+y}cdot 1]

В заключение для закрепления всего этого материала давайте попробуем посчитать еще два примера.

Задачи с тригонометрической функция и функцией с тремя переменными

Задача № 1

[zleft( x,y right)={{3}^{xsin y}}]

Давайте запишем такие формулы:

[{{left( {{a}^{x}} right)}^{prime }}={{a}^{x}}cdot ln a]

[{{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}={{e}^{x}}]

Давайте теперь решать наше выражение:

[{{{z}’}_{x}}={{left( {{3}^{xsin y}} right)}^{prime }}_{x}={{3}^{x.sin y}}cdot ln 3cdot {{left( xcdot sin y right)}^{prime }}_{x}=]

Отдельно посчитаем такую конструкцию:

[{{left( xcdot sin y right)}^{prime }}_{x}={{{x}’}_{x}}cdot sin y+x{{left( sin y right)}^{prime }}_{x}=1cdot sin y+xcdot 0=sin y]

Продолжаем решать исходное выражение:

[={{3}^{xsin y}}cdot ln 3cdot sin y]

Это окончательный ответ частной переменной по $x$. Теперь посчитаем по $y$:

[{{{z}’}_{y}}={{left( {{3}^{xsin y}} right)}^{prime }}_{y}={{3}^{xsin y}}cdot ln 3cdot {{left( xsin y right)}^{prime }}_{y}=]

Решим одно выражение отдельно:

[{{left( xcdot sin y right)}^{prime }}_{y}={{{x}’}_{y}}cdot sin y+x{{left( sin y right)}^{prime }}_{y}=0cdot sin y+xcdot cos y=xcdot cos y]

Решаем до конца нашу конструкцию:

[={{3}^{xcdot sin y}}cdot ln 3cdot xcos y]

Задача № 2

[tleft( x,y,z right)=x{{e}^{y}}+y{{e}^{z}}]

На первый взгляд этот пример может показаться достаточно сложным, потому что здесь три переменных. На самом деле, это одна из самых простых задач в сегодняшнем видеоуроке.

Находим по $x$:

[{{{t}’}_{x}}={{left( x{{e}^{y}}+y{{e}^{z}} right)}^{prime }}_{x}={{left( xcdot {{e}^{y}} right)}^{prime }}_{x}+{{left( ycdot {{e}^{z}} right)}^{prime }}_{x}=]

[={{left( x right)}^{prime }}_{x}cdot {{e}^{y}}+xcdot {{left( {{e}^{y}} right)}^{prime }}_{x}=1cdot {{e}^{y}}+xcdot o={{e}^{y}}]

Теперь разберемся с $y$:

[{{{t}’}_{y}}={{left( xcdot {{e}^{y}}+ycdot {{e}^{z}} right)}^{prime }}_{y}={{left( xcdot {{e}^{y}} right)}^{prime }}_{y}+{{left( ycdot {{e}^{z}} right)}^{prime }}_{y}=]

[=xcdot {{left( {{e}^{y}} right)}^{prime }}_{y}+{{e}^{z}}cdot {{left( y right)}^{prime }}_{y}=xcdot {{e}^{y}}+{{e}^{z}}]

Мы нашли ответ.

Теперь остается найти по $z$:

[{{{t}’}_{z}}={{left( xcdot {{e}^{y}}+{{y}^{z}} right)}^{prime }}_{z}={{left( xcdot {{e}^{y}} right)}^{prime }}_{z}+{{left( ycdot {{e}^{z}} right)}^{prime }}_{z}=0+ycdot {{left( {{e}^{z}} right)}^{prime }}_{z}=ycdot {{e}^{z}}]

Мы посчитали третью производную, на чем решение второй задачи полностью завершено.

Нюансы решения

Как видите, ничего сложного в этих двух примерах нет. Единственное, в чем мы убедились, так это в том, что производная сложной функции применяется часто и в зависимости от того, какую частную производную мы считаем, мы получаем разные ответы.

В последней задаче нам было предложено разобраться с функцией сразу от трех переменных. Ничего страшного в этом нет, однако в самом конце мы убедились, что все они друг от друга существенно отличаются.

Ключевые моменты

Окончательные выводы из сегодняшнего видеоурока следующие:

1. Частные производные считаются так же, как и обычные, при этом, чтобы считать частную производную по одной переменной, все остальные переменные, входящие в данную функцию, мы принимаем за константы.
2. При работе с частными производными мы используем все те же стандартные формулы, что и с обычными производными: сумму, разность, производную произведения и частного и, разумеется, производную сложной функции.

Конечно, просмотра одного этого видеоурока недостаточно, чтобы полностью разобраться в этой теме, поэтому прямо сейчас на моем сайте именно к этому видео есть комплект задач, посвященных именно сегодняшней теме — заходите, скачивайте, решайте эти задачи и сверяйтесь с ответом. И после этого никаких проблем с частными производными ни на экзаменах, ни на самостоятельных работах у вас не будет. Конечно, это далеко не последний урок по высшей математике, поэтому заходите на наш сайт, добавляйтесь ВКонтакте, подписывайтесь на YouTube, ставьте лайки и оставайтесь с нами!

Смотрите также:

1. Производная параметрической функции
2. Системы линейных уравнений: основные понятия
3. Сравнение дробей
4. Четырехугольная пирамида в задаче C2
5. Задача B5: вычисление площади методом обводки
6. Задача B4: вклад в банке и проценты

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).