Математика
6 класс
Урок № 42
Деление дробей
Перечень рассматриваемых вопросов:
- деление рациональных чисел, правила знаков при делении.
Тезаурус
Частное двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителя первой дроби и знаменателя второй, а знаменатель – произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.
Частным двух дробей с одинаковыми знаками является положительная дробь, модуль которой равен частному модулей делимого и делителя.
Частное дробей с разными знаками есть отрицательная дробь, модуль которой равен частному модулей делимого и делителя.
Обязательная литература:
- Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
Дополнительная литература:
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
На прошлом уроке мы изучали правила умножения дробей.
Сегодня рассмотрим правила деления.
Аналогично умножению, дроби с любыми знаками делят по тем же правилам, что и положительные дроби.
Частное двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителя первой дроби и знаменателя второй, а знаменатель – произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.
Найдём частное от деления двух дробей.
Запишем равенство, которое можно получить на основании правила деления.
Доказательство
Чтобы разделить дробь на целое, не равное нулю число, можно её знаменатель умножить на это число.
Найдём частное
Знак «–» перед дробью, можно записывать и в знаменателе, и в числители дроби, то есть верны равенства:
Используя свойство взаимно обратных дробей, что их произведение равно 1, можем сформулировать следующее утверждение:
Чтобы одну дробь разделить на другую, отличную от нуля, можно делимое умножить на дробь, обратную делителю.
Найдём частное
Правила знаков, при делении дробей
Правило деления дробей с одинаковыми знаками
Частным двух дробей с одинаковыми знаками является положительная дробь, равная частному модулей делимого и делителя.
Выполним деление
Правило деления дробей с разными знаками
Частное от деления дробей с разными знаками есть отрицательная дробь, модуль которой равен частному модулей делимого и делителя.
Выполним деление
Из правил деления дробей с любыми знаками следует, что их можно делить по тем же правилам, что и целые числа. То есть мы можем сначала определять знак результата, а потом выполнять действия с модулями.
Выполним деление
Дополнительный материал
Решение задачи
Решение
Найдём, сколько автомобиль проехал за второй час. Известно, что в 2 раза меньше, чем за первый, значит, путь за первый час разделим на 2.
Найдём общую часть пути за два часа.
Для этого сложим части пути за первый и за второй час.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Разместите нужные подписи под изображениями.
Какие действия изображены?
Варианты ответов:
деление дробей с одинаковыми знаками
деление дробей с разными знаками
деление дроби на целое число
Для ответа на вопрос задания, обратимся к теоретическому материалу урока.
Правильный ответ
№ 2. Вставьте в текст нужные слова.
Частное двух дробей есть дробь, … которой равен … числителя первой дроби и … второй, а знаменатель – произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.
Варианты слов для вставки:
числитель
произведению
частному
сумме
разности
знаменателя
Для ответа на вопрос задания, обратимся к теоретическому материалу урока.
Правильный ответ:
Частное двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителя первой дроби и знаменателя второй, а знаменатель – произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю:
Найдём частное двух обыкновенных дробей.
При необходимости дробь сокращают.
Пример:
.
В случае деления целого числа на обыкновенную дробь целое число можно умножить на дробь, обратную делителю, или сначала представить целое число в виде неправильной дроби, а затем выполнить деление обыкновенных дробей:
8:45=8⋅54=82⋅541=2⋅51=101=10;8:45=81:45=81⋅54=82⋅541=2⋅51=101=10.
Чтобы найти частное смешанных чисел, смешанные числа представляют в виде неправильных дробей и выполняют деление по правилу деления обыкновенных дробей:
325:15=3⋅5+25:15=175:15=175⋅51=17⋅5151⋅1=17⋅11⋅1=171=17;412:634=92:274=92⋅427=91⋅4221⋅273=1⋅21⋅3=23.
В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно обыкновенную (простую) дробь разделить на число или другую дробь, и как найти частное от деления смешанных дробей. Также разберем примеры решения задач для лучшего понимания и закрепления теоретического материала.
-
Деление дроби
- На число
- На другую дробь
- Деление смешанных дробей
- Примеры задач
Деление дроби
На число
Результатом деления обыкновенной дроби на число n является дробь, знаменатель которой равняется произведению знаменателя исходной дроби и этого числа n. Числитель при этом остается тем же.
Примечание: после выполнения деления не забываем проверить, можно ли сократить новую дробь.
На другую дробь
Чтобы разделить одну дробь на другую, переворачиваем дробь-делитель (меняем местами числитель и знаменатель) и умножаем ее на дробь-делимое, которое оставляем без изменений.
a/b
:
c/d
=
a/b
⋅
d/c
=
a ⋅ d/b ⋅ c
Деление смешанных дробей
Чтобы найти частное от деления смешанных дробей, для начала их нужно представить в виде неправильных дробей, и только после этого выполнить деление.
X
a/b
: Y
c/d
=
X ⋅ b + a/b
:
Y ⋅ d + c/d
=
X ⋅ b + a/b
⋅
d/Y ⋅ d + c
=
(X ⋅ b + a) ⋅ d/(Y ⋅ d + c) ⋅ b
Примеры задач
Задание 1
Разделите дробь
5/6
на число 5.
Решение
5/6
: 5 =
5/6⋅5
=
5/30
=
1/6
Задание 2
Разделите дробь
4/15
на
2/9
.
Решение
4/15
:
2/9
=
4/15
⋅
9/2
=
4⋅9/15⋅2
=
36/30
=
6/5
= 1
1/5
Задание 3
Найдите частное от деления дроби 6
1/4
на дробь 4
2/3
.
Решение
Т.к. даны смешанные дроби, сначала запишем их в виде неправильных, потом выполним требуемое действие.
6
1/4
: 4
2/3
=
6⋅4+1/4
:
4⋅3+2/3
=
25/4
:
14/3
=
25/4
⋅
3/14
=
25⋅3/4⋅14
=
75/56
=1
19/56
Деление дробей.
Деление дроби на натуральное число.
Определение.
Чтобы разделить дробь на натуральное число, надо знаменатель дроби умножить на число, а числитель оставить тем же.
Примеры деления дроби на натуральное число
Пример 1.
Найти частное от деления дроби на натуральное число:
| 3 | : 2 | = | 3 | = | 3 |
| 7 | 7 · 2 | 14 |
Пример 2.
Найти частное от деления дроби на натуральное число:
| 6 | : 3 | = | 6 | = | 2 · 3 | = | 2 |
| 11 | 11 · 3 | 11 · 3 | 11 |
Определение.
Чтобы получить дробь, обратную данной, следует поменять местами числитель и знаменатель.
Деление натурального числа на дробь.
Определение.
Чтобы разделить натуральное число на дробь, следует число умножить на дробь обратную заданной.
Примеры деления натурального числа на дробь
Пример 3.
Найти частное от деления натурального числа на дробь:
| 2: | 7 | = | 2· | 2 | = | 4 |
| 2 | 7 | 7 |
Пример 4.
Найти частное от деления натурального числа на дробь:
| 2: | 4 | = | 2· | 5 | = | 2 · 5 | = | 2 · 5 | = | 5 | = | 2 · 2 + 1 | = 2 | 1 |
| 5 | 4 | 4 | 2 · 2 | 2 | 2 | 2 |
Деление обыкновенных дробей.
Определение.
Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, надо умножить первую дробь на дробь, обратную второй.
Примеры деления обыкновенных дробей
Пример 5.
Найти частное от деления дробей:
| 3 | : | 4 | = | 3 | · | 5 | = | 3 · 5 | = | 15 |
| 7 | 5 | 7 | 4 | 7 · 4 | 28 |
Пример 6.
Найти частное от деления дробей:
| 6 | : | 4 | = | 6 | · | 7 | = | 6 · 7 | = | 3 · 2 | = | 3 | = | 2 + 1 | = 1 | 1 |
| 7 | 7 | 7 | 4 | 7 · 4 | 2 · 2 | 2 | 2 | 2 |
Деление смешанных чисел.
Определение.
- Чтобы разделить одно смешанное число на другое, надо:
- преобразовать смешанные дроби в неправильные;
- умножить первую дробь на дробь, обратную второй;
- сократить полученную дробь;
- если получилась неправильная дробь преобразовать неправильную дробь в смешанную.
Примеры деления смешанных чисел
Пример 7.
Найти частное от деления смешанных чисел:
112 : 223 = 1 · 2 + 12 : 2 · 3 + 23 = 32 : 83 = 32 · 38 = 3 · 32 · 8 = 916
Пример 8.
Найти частное от деления смешанного числа на дробь:
217 : 35 = 2 · 7 + 17 : 35 = 157 : 35 = 157 · 53 = 15 · 57 · 3 = 5 · 57 = 257 = 7 · 3 + 47 = 347
Содержание:
- Обратная дробь
- Деление дробей
- Деление смешанных дробей
Обратная дробь
Если у дроби $frac{a}{b}$ поменять местами
числитель и знаменатель,
то получится новая дробь $frac{b}{a}$ , которая называется обратной
дробью к дроби $frac{a}{b}$
Пример
Задание. Записать дробь, обратную к дроби а)
$frac{2}{3}$ ; б)
$frac{1}{2}$
Решение. Найдем обратные дроби по описанному выше правилу
а) Меняем числитель и знаменатель дроби
$frac{2}{3}$ местами, получаем обратную дробь
$frac{3}{2}$
б) Для нахождения обратной дроби числитель 1 пишем вместо знаменателя, который равен 2,
соответственно знаменатель пишем в числитель. В итоге всех преобразований получаем обратную дробь
$frac{2}{1}=2 : 1=2$
Ответ. К дроби $frac{2}{3}$ обратной является
$frac{3}{2}$, а к $frac{1}{2}$
— 2
Деление дробей
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь-делимое оставить без изменений и умножить ее на дробь, обратную ко второй дроби-делителю:
$frac{a}{b} : frac{c}{d}=frac{a}{b} cdot frac{d}{c}=frac{a d}{b c}$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти частное от деления дроби
$frac{2}{3}$ на дробь
$frac{4}{9}$
Решение. Заметим до начала деления, что дробью, обратной к дроби
$frac{4}{9}$ , является дробь
$frac{9}{4}$ . Тогда получаем:
Ответ. $frac{2}{3} : frac{4}{9}=frac{3}{2}$
Деление смешанных дробей
Чтобы поделить смешанные дроби, их надо записать в виде
неправильных дробей и затем делить по правилу деления
обыкновенных дробей.
Пример
Задание. Вычислить
$4 frac{2}{5} : 2 frac{3}{4}$
Решение. Выполним деление смешанных дробей по описанному выше правилу
$4 frac{2}{5} : 2 frac{3}{4}=frac{4 cdot 5+2}{5} : frac{2 cdot 4+3}{4}=frac{22}{5} : frac{11}{4}=$
Ответ. $4 frac{2}{5} : 2 frac{3}{4}=1 frac{3}{5}$
Читать следующую тему: нахождение дроби от числа и наоборот.