Как найти большую сторону средней линии трапеции - Avtoru.top

Трапеция и ее свойства

Т. А. Унегова

Определения:

Трапеция — это называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные — боковыми сторонами трапеции.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований трапеции к прямой, содержащей другое основание.

Трапеция называется вписанной в окружность, если каждая ее вершина принадлежит окружности.

Трапеция называется описанной вокруг окружности, если каждая ее сторона касается окружности.

Трапеция называется равнобедренной (равнобокой, равнобочной), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Теоремы о средней линии и диагоналях трапеции

Теорема 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: $m=displaystyle frac{a+b}{2}$ .

Теорема 2. Диагонали трапеции делят среднюю линию трапеции на три отрезка. Средний из них равен полуразности оснований, а два крайних равны между собой: $EF=GH, ; FG=displaystyle frac{a-b}{2}$ .

Теорема 3. Средняя линия треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований трапеции, равна средней линии трапеции: PQ=MN .

Теорема 4. Четыре точки: середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений ее боковых сторон — лежат на одной прямой.

Эта теорема называется также «Замечательное свойство трапеции».

Теорема 5. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Два из них, содержащие боковые стороны, равновелики (имеют равные площади), а два других, содержащие основания, подобны.

Теоремы о площади трапеции

Теорема 6. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: $S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot h$ .

Теорема 7. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту: S=mh .

Теорема 8. Площадь трапеции (как и всякого выпуклого четырехугольника) равна половине произведения ее диагоналей на синус угла между ними: $S=displaystyle frac{1}{2}d_1d_2{sin alpha }$ , где d_1=AC, d_2=BD, (Вместо можно брать

Теорема 9. Если в трапецию можно вписать окружность, то (как и для всякого описанного многоугольника) площадь трапеции равна произведению ее полупериметра на радиус вписанной окружности: S=pr . Таким образом, $S=displaystyle frac{a+b+c+d}{2}cdot r$ .

Теорема 10. Площадь трапеции равна площади треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований этой трапеции. (Сравни эту теорему и теорему 3.)

Теоремы о вписанных и описанных трапециях

Теорема 11. Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. И наоборот, если трапеция равнобедренная, то около нее можно описать окружность.

Теорема 12. Если трапеция описана около окружности, то сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон.

Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Трапеция

Задача 1.

Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны sqrt{2} .

Решение:

Высота трапеции— это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины . Так как сторона квадратной клетки равна sqrt{2} , то по теореме Пифагора получаем, что h=2 .

Ответ: 2.

Задача 2.

Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол ${150}^{{}^circ }$ . Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы angle ABC и angle BAH — односторонние, их сумма равна ${180}^{{}^circ }$ , и тогда angle BAH $=30{}^circ .$

Из ABH найдем высоту BH. Катет, лежащий против угла в ${30}^{{}^circ }$ , равен половине гипотенузы. Получаем, что BH = 3,5.

Площадь трапеции равна $S=displaystyle frac{6+18}{2}cdot 3,5=42$ .

Ответ: 42.

Задача 3.

Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции ее диагональ.

Решение:

Что можно увидеть на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция ABCD, и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, ABC и ACD, в которых проведены средние линии.

Напомним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны. Из ACD находим, что x=5.

Ответ: 5.

Задача 4.

Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Решение:

Проведем PQ — среднюю линию трапеции, PQ = 2,5 и . Отсюда получаем, что середина отрезка AC, то есть PM — средняя линия треугольника ABC и PM = 1. Аналогично, NQ = 1.

Ответ: 0,5.

Задача 5.

Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

Решение:

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть

Периметр трапеции равен

Ответ: 23.

Задача 6.

В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC является биссектрисой острого угла трапеции и образует со стороной CD угол $63{}^circ$ . Найдите углы трапеции.

Решение:

Пусть angle CAD =alpha , тогда angle CAB =alpha и angle BAD =2alpha , так как трапеция равнобедренная.

Сумма углов $vartriangle ACD=3alpha +63{}^circ =180{}^circ$ , откуда
$alpha =39{}^circ .$
Итак, $angle D=78{}^circ$ , а $angle BCD=180{}^circ -78{}^circ =102{}^circ$ .

Ответ: $78{}^circ , 102{}^circ$ .

Задача 7.

В равнобедренной трапеции основания равны 10 м и 24 м, боковая сторона 25 м. Найдите высоту трапеции.

Решение:

В равнобедренной трапеции проведем высоты. Получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Тогда основание каждого треугольника равно 7 и $h^2={25}^2-7^2=left(25-7right)left(25+7right)=18cdot 32.$ Отсюда,

Ответ: 24.

Задача 8.

Тупой угол равнобедренной трапеции равен ${135}^circ$ , а высота, проведенная из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем две высоты. Они разделят трапецию на три части: прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника с острым углом $45{}^circ$ .

Каждый треугольник равнобедренный, поэтому h = 1,4.

Нетрудно видеть, что верхнее основание трапеции равно 2, а нижнее — 4,8. Отсюда площадь трапеции равна $displaystyle frac{2+4,8}{2}cdot 1,4=4,76$ .

Ответ: 4,76.

Задача 9.

Площадь трапеции равна 60м ^2, а основания 8 м и 12 м. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Так как площадь трапеции $S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot h$ , то $60=displaystyle frac{8+12}{2}cdot h$ , откуда h = 6.

Ответ: 6.

Задача 10.

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны и равны Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем CE BD и DE — продолжение AD.

Так как BCDE — параллелограмм, то CE = a.

По теореме 10 получим, что $S_{ABCD}=S_{ACE}=displaystyle frac{1}{2}a^2$ .

Ответ: $displaystyle frac{1}{2}a^2$

Задач 11.

В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD и является биссектрисой угла A.

Найдите AD, если периметр трапеции равен 20, а угол D равен $60{}^circ$ .

Решение:

По условию задачи в прямоугольном ACD

angle D $=60{}^circ$ , следовательно, angle CAD $=30{}^circ$ .

Так как AC — биссектриса, то angle CAB $=30{}^circ$ , откуда angle DAB $=60{}^circ$ , то есть, трапеция равнобедренная. angle BCA =angle CAD $=30{}^circ$ как накрест лежащие, поэтому ABC — равнобедренный.

Обозначим длины боковых сторон ABC буквой x.

Тогда AB = BC = CD = x, и AD = 2x, так как в прямоугольном ACD против угла в $30{}^circ$ лежит катет, равный половине гипотенузы.

Таким образом, периметр трапеции, равный 20, составляет 5x, отсюда

x = 4 и AD = 8.

Ответ: 8.

Задача 12.

В равнобедренной трапеции ABCD с острым углом $60{}^circ$ меньшее основание BC равно 2, а боковая сторона AB равна 10. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке M. Во сколько раз площадь трапеции больше площади треугольника BCM?

Решение:

Нетрудно видеть, что BCM равносторонний и BM = 2, тогда AM = 12 и BCM подобен ADM c коэффициентом .

Пусть $S_{BCM}$ =S_1 , $S_{ADM}=S_2$ , тогда

$S_2=k^2cdot S_1=36{cdot S}_1.$

Площадь трапеции будет равна

$S_{ABCD}=S_2-S_1=36 S_1-S_1=35 S_1=35 S_{BCM}.$

Ответ: 35.

Задача 13.

Сумма углов при одном из оснований трапеции равна $90{}^circ$ . Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований, если основания равны 6 и 10.

Решение:

Продолжим боковые стороны до пересечения в точке E и отметим точки F и G — середины оснований трапеции.

Так как сумма углов при основании трапеции равна $90{}^circ$ , то $angle BEC=90{}^circ$ , поэтому EF и EG — медианы в прямоугольных треугольниках BEC и AED соответственно.

Известно, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, значит

Ответ: 2.

Задача 14.

Найдите радиус окружности, вписанной в равнобочную трапецию, если средняя линия трапеции равна 10, а ее площадь 24.

Решение:

Так как площадь трапеции равна S=mh , а высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть h=2r, то , откуда r=1,2 .

Ответ: 1,2.

Задача 15.

Периметр прямоугольной трапеции равен 32, а большая боковая сторона равна 10. Найдите радиус r вписанной в трапецию окружности.

Решение:

По свойствам описанной трапеции сумма ее боковых сторон равна сумме оснований, поэтому

откуда

Сторона AB равна диаметру окружности, поэтому r=3 .

Ответ: 3.

Задача 16.

Около окружности описана трапеция, сумма боковых сторон которой равна 40. Найдите длину ее средней линии.

Решение:

Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований. Если трапеция описана вокруг окружности, то в ней сумма оснований равна сумме боковых сторон, поэтому

$m=displaystyle frac{a+b}{2}=displaystyle frac{c+d}{2}=displaystyle frac{40}{2}=20.$

Ответ: 20.

Задача 17.

В окружность вписана трапеция так, что диаметр окружности служит основанием трапеции, а вершины другого основания делят полуокружность на три равные части. Найдите тупые углы трапеции. Ответ выразите в градусах.

Решение:

Так как AD — диаметр окружности, то дуга ABCD равна $180{}^circ$ . Она делится на три равные части по $60{}^circ .$

Вписанный угол D опирается на дугу ABC, которая равна $120{}^circ$ , отсюда $angle ADC=60{}^circ$ и, стало быть, $angle C=120{}^circ =angle B.$

Ответ: 120.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Трапеция и ее свойства» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Трапеция это фигура, которая имеет четыре стороны, две из которых параллельны, а две другие, нет. Параллельные стороны называются — верхнее основание и нижнее основание. Две другие, называются боковыми сторонами.
Средняя линия трапеции — отрезок соединяющий середины боковых сторон и расположен параллельно к основаниям. Длина средней линии, равна полу сумме оснований.

1. Формула средней линии трапеции через основания

b — верхнее основание

a — нижнее основание

m— средняя линия

Формула средней линии, (m ):

2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

b — верхнее основание

a — нижнее основание

α, β — углы трапеции

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы средней линии трапеции, (m):

3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

α, β — углы между диагоналями

d₁ , d₂— диагонали трапеции

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы средней линии трапеции, (m ):

4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту

S — площадь трапеции

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формула средней линии трапеции, (m):

Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

Подробности

Опубликовано: 24 сентября 2013

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Средняя линия трапеции

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

Мы снова затронем тему трапеций (что это?).

И расскажем о том, что такое средняя линия этой геометрической фигуры.

Средняя линия – это…

Вообще, этот термин в геометрии весьма распространен.

Средняя линия – это отрезок, проходящий через противоположные стороны, и который делит их ровно на две одинаковых части.

Средняя линия есть практически у каждой геометрической фигуры. Например, у четырехугольников она выглядит вот так:

А вот так у треугольников:

И наконец, в случае трапеции изображение средней линии будет вот таким:

На данном рисунке показана трапеция ABCD. Если кто забыл, то у такой фигуры две противоположные грани расположены на параллельных прямых.

Они называются основаниями. А оставшиеся стороны, которые соответственно не параллельны друг другу, это боковые.

Так вот в нашем случае мы имеем среднюю линию EF, которая делит боковые стороны АВ и СD на две половинки. То есть:

AE = EB и СF = FD

Как найти среднюю линию трапеции (формула)

Есть одна главная формула, позволяющая рассчитать значение нашего отрезка.

Так, длина средней линии будет равна сумме оснований фигуры, поделенной на два. Или, другими словами, половине суммы оснований.

Возьмем для примера трапецию:

И тогда формула расчета будет выглядеть так:

Если есть желание доказать правдивость этой формулы, нужно несколько дорисовать нашу изначальную фигуру. А именно провести линию через В и L, а также продлить сторону АD. И сделать так, чтобы эти две линии пересеклись.

В итоге получится вот что:

Далее нас будут интересовать оба треугольника, которые получились. Это BLC и DLQ. Необходимо доказать, что они имеют равные размеры.

И это просто, так как у них одинаковы углы:

BLC и QLD – как вертикальные;
BCL и QDL – как лежащие накрест при имеющихся параллельных прямых и секущей.

Соответственно, если равны в треугольниках углы и стороны между ними, то и сами фигуры одинаковы.

DLQ = BLC

А уже из этого следует, что ВL и LQ равны. А значит, КL является не только средней линией трапеции, но также и аналогичной линией для треугольника ABQ.

А дальше уже совсем просто, так как есть специальная формула для расчета средней линии треугольника. Она равна одной второй (половине) длины параллельной стороны:

KL = 1/2AQ

Длина стороны AQ у нас равна AD + DQ (или ВС). И таким образом мы и получаем ту самую формулу расчета средней линии трапеции:

KL = ½ AQ = ½ (AD + DQ) = ½ (AD + ВС)

Как принято говорить в таких случаях – что и требовалось доказать.

Свойства средней линии трапеции

У средней линии трапеции есть три главных свойства:

Она параллельна основаниям трапеции;
Она равна полусумме оснований (та самая формула, о которой мы только что рассказывали);
Она разбивает исходную трапецию на две более маленькие по площади. Причем их площади имеют вполне конкретное соотношение друг к другу. А именно:
S1/S2 = (3BC + AD) / (BC + 3AD)

Эту формулу мы не будем доказывать. Просто поверьте, что так и есть на самом деле.

Вторая средняя линия

Внимательный читатель мог бы заметить, что мы рассказывали до этого только про одну среднюю линию. Ту, что лежит параллельно основаниям. Но ведь у этой геометрической фигуры, как и любого четырехугольника, таких отрезков должно быть два.

И действительно, у трапеции имеется вторая такая линия. И она уже делит на две равные части оба основания:

В нашем случае, это отрезок KL.

Интересно, что эту среднюю линию крайне мало изучают во время школьного обучения. И на экзаменах нет задач, с ней связанных. Хотя у нее есть несколько интересных свойств:

Диагонали трапеции и эта средняя линия пересекаются в одной точке;
Та прямая, частью которой эта линия является, пересекается в единой точке с теми прямыми, которые совпадают с боковыми сторонами;
В равнобокой трапеции (у которой боковые стороны идут под одним углом) средняя линия пересекает основания под углом в 90 градусов;
В точке, в которой пересекаются две средние линии, они делятся пополам…

Вот и все, что мы хотели рассказать о средних линиях в трапеции.

Источник

Содержание

Средняя линия трапеции
Средняя линия – это.
Как найти среднюю линию трапеции (формула)
Свойства средней линии трапеции
Вторая средняя линия
Комментарии и отзывы (2)
Все формулы средней линии трапеции
Что такое средняя линия трапеции
Определение средней линии трапеции
Свойства средней линии трапеции
Свойство 1
Свойство 2
Свойство 3
Признак средней линии трапеции
Вторая средняя линия
Пример задачи
Как найти среднюю линию трапеции
Средняя линия трапеции – что это?
Свойства
Как вычислить, основные формулы
Через основания
Через основание, высоту и углы при нижнем основании
Через диагонали, высоту и угол между диагоналями
Через площадь и высоту
Примеры задач

Средняя линия трапеции

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

И расскажем о том, что такое средняя линия этой геометрической фигуры.

Средняя линия – это.

Вообще, этот термин в геометрии весьма распространен.

А вот так у треугольников:

И наконец, в случае трапеции изображение средней линии будет вот таким:

AE = EB и СF = FD

Как найти среднюю линию трапеции (формула)

Есть одна главная формула, позволяющая рассчитать значение нашего отрезка.

Возьмем для примера трапецию:

И тогда формула расчета будет выглядеть так:

В итоге получится вот что:

И это просто, так как у них одинаковы углы:

BLC и QLD – как вертикальные;
BCL и QDL – как лежащие накрест при имеющихся параллельных прямых и секущей.

Соответственно, если равны в треугольниках углы и стороны между ними, то и сами фигуры одинаковы.

KL = ½ AQ = ½ (AD + DQ) = ½ (AD + ВС)

Как принято говорить в таких случаях – что и требовалось доказать.

Свойства средней линии трапеции

У средней линии трапеции есть три главных свойства:

Она параллельна основаниям трапеции;
Она равна полусумме оснований (та самая формула, о которой мы только что рассказывали);
Она разбивает исходную трапецию на две более маленькие по площади. Причем их площади имеют вполне конкретное соотношение друг к другу. А именно:

S1/S2 = (3BC + AD) / (BC + 3AD)

Эту формулу мы не будем доказывать. Просто поверьте, что так и есть на самом деле.

Вторая средняя линия

И действительно, у трапеции имеется вторая такая линия. И она уже делит на две равные части оба основания:

В нашем случае, это отрезок KL.

Диагонали трапеции и эта средняя линия пересекаются в одной точке;
Та прямая, частью которой эта линия является, пересекается в единой точке с теми прямыми, которые совпадают с боковыми сторонами;
В равнобокой трапеции (у которой боковые стороны идут под одним углом) средняя линия пересекает основания под углом в 90 градусов;
В точке, в которой пересекаются две средние линии, они делятся пополам.

Вот и все, что мы хотели рассказать о средних линиях в трапеции.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (2)

Очень здорово, что здесь все так подробно описано со всеми рисунками и формулами, что сразу становится все понятно.

Кто же это такой умный придумал, опять небось древние греки? Они были великими мастерами в геометрии, а мне эта наука всегда тяжело давалась, особенно с доказательствами, ужас просто, но со средней линией трапеции я разобрался, наверное поумнел за эти годы.

Источник

Все формулы средней линии трапеции

1. Формула средней линии трапеции через основания

b — верхнее основание

a — нижнее основание

m — средняя линия

Формула средней линии, ( m ):

2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

b — верхнее основание

a — нижнее основание

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы средней линии трапеции, ( m ):

3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

α , β — углы между диагоналями

d ₁ , d ₂ — диагонали трапеции

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы средней линии трапеции , ( m ):

4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту

S — площадь трапеции

h — высота трапеции

m — средняя линия

Источник

Что такое средняя линия трапеции

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии трапеции, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания изложенного материала.

Определение средней линии трапеции

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией.

Свойства средней линии трапеции

Свойство 1

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равняется их полусумме.

Для рисунка выше:

Свойство 2

Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, концы которого лежат на основаниях данной трапеции.

Свойство 3

Средняя линия трапеции делит ее на две другие трапеции, площади которых соотносятся следующим образом (см. первый чертеж публикации):

Признак средней линии трапеции

Если отрезок, выходящий из середины боковой стороны трапеции, пересекает ее вторую боковую сторону и, при этом, параллелен основаниям фигуры, то он является средней линией этой трапеции.

Вторая средняя линия

Иногда дополнительно выделяют вторую среднюю линию трапеции – отрезок, соединяющий середины ее оснований. При этом следует помнить, что к ней не применимы Свойства 1-3 и Признак, рассмотренные выше.

Вторая средняя линия равнобедренной трапеции одновременно является ее высотой.

Пример задачи

Средняя линия трапеции равняется 25 см, а ее высота – 7 см. Найдите площадь фигуры.

Как мы знаем, площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту h: S = (a+b) /₂ ⋅ h

В данном случае полусумма оснований – это и есть средняя линия. Обозначим ее буквой m. То есть m = (a+b) /₂.

Таким образом, S = m ⋅ h = 25 см ⋅ 7 см = 175 см 2 .

Источник

Как найти среднюю линию трапеции

Средняя линия трапеции – что это?

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Свойства

Параллельна обоим основаниям трапеции.
Вычисляется как половина суммы оснований.
Разбивает трапецию на две, площади которых соотносятся как (frac=frac<3,BC+AD>)

Как вычислить, основные формулы

Через основания

Где (a) – нижнее основание, (b) – верхнее, (m) – средняя линия.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Через основание, высоту и углы при нижнем основании

Где (a) – нижнее основание, (b) – верхнее, (m) – средняя линия, (h) – высота, (alpha,beta) – углы при нижнем основании.

Через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Где (a) – нижнее основание, (b) – верхнее, (m) – средняя линия, (h) – высота, (alpha,beta) – углы между диагоналями, (d_1) , (d_2) – диагонали трапеции.

Через площадь и высоту

Где (h) – высота трапеции, (m) – средняя линия, (S) – площадь.

Примеры задач

Задача 1

Найдите площадь трапеции, если большее основание равно 18, меньшее 6, боковая сторона равна 7. Угол между боковой стороной и одним из оснований 150 градусов.

(angle ABC) и (angle BAH) односторонние (Rightarrow angle ABC+angle BAH;=;180^circ Rightarrow angle BAH;=;30^circ)

Рассмотрим (angle ABH)

Задача 2

Основания трапеции равны 4 и 10. Чему равен больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей?

Средняя линия трапеции ABCD так же является средней линией треугольников ABC и ACD т.к. проходит через середину одной стороны и параллельна основанию. Значит, из треугольника ACD x = 5.

Задача 3

ABCD – трапеция, BC = 2, AD = 3, PQ – средняя линия, BD и AC – диагонали. Найти MN.

Отрезок MN лежит на средней линии трапеции. Докажем: PM и NQ средние линии треугольников ABC и BCD, значит M и N середины соответственно AC и BD. Из треугольника ABC находим длину PM = 1, из треугольника BCD находим NQ = 1, следовательно MN = 2,5 — 1 — 1 = 0,5

Источник

Все формулы средней линии трапеции

1. Формула средней линии трапеции через основания

b — верхнее основание

a — нижнее основание

m — средняя линия

Формула средней линии, ( m ):

2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

b — верхнее основание

a — нижнее основание

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы средней линии трапеции, ( m ):

3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

α , β — углы между диагоналями

d ₁ , d ₂ — диагонали трапеции

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы средней линии трапеции , ( m ):

4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту

S — площадь трапеции

h — высота трапеции

m — средняя линия

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

Основы трапеции — параллельные стороны
Боковые стороны — две другие стороны
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d ₁ 2 + d ₂ 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =	sin γ ·	d ₁ d ₂	=	sin δ ·	d ₁ d ₂
a + b	a + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =	sin γ ·	d ₁ d ₂	=	sin δ ·	d ₁ d ₂
2 m	2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d ₁ = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d ₂ = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d ₁ =	√	d 2 + ab —	a ( d 2 — c 2 )
a — b

d ₂ =	√	c 2 + ab —	a ( c 2 — d 2 )
a — b

d ₁ = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d ₂ = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d ₁ = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d ₂ 2

d ₂ = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d ₁ 2

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =	d ₁ d ₂	· sin γ	=	d ₁ d ₂	· sin δ
2	2

4. Формула площади через четыре стороны:

S =	a + b	√	c 2 —	(	( a — b ) 2 + c 2 — d 2	)	2
2	2( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =	a + b	√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
\| a — b \|

где

p =	a + b + c + d	— полупериметр трапеции.
2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =	a·c·d ₁
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d ₁)

где

a — большее основание

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =	b	KN = ML =	a	TO = OQ =	a · b
2	2	a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Что такое средняя линия трапеции

Определение средней линии трапеции

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией.