Шестиугольник представляет собой геометрическую фигуру, многоугольник, который имеет шесть углов и
шесть сторон.
Также существует правильный шестиугольник. Он обладает следующим свойством: все ребра и углы равны.
Каждый угол составляет 120 градусов. А также он состоит из шести правильных и равных
треугольников.
- Длинная диагональ правильного шестиугольника через
площадь - Котроткая диагональ правильного шестиугольника через
площадь - Длинная диагональ правильного шестиугольника через
сторону - Короткая диагональ правильного шестиугольника через
сторону
Длинная диагональ через площадь
Длинной диагональю на рисунке являются отрезки ВЕ, AD и CF. Все диагонали будут равны между собой.
Это свойство касается как правильной фигуры, так и неправильной. Для нахождения длинной диагонали
правильного шестиугольника понадобится площадь полной фигуры (правильного шестиугольника), которую
можно найти по формуле S = (a * a * √3 * 6) / 4. А диагональ находится по
следующим образом:
D = √((S / 3√3) * 
где S — площадь правильного шестиугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Сторона шестиугольника равна 6 см. Тогда площадь: S = (6 * 6 * √3 * 6) / 4 = 54√3 см. D = √((54√3 / 3√3) * = 12 см.
Короткая диагональ через площадь
Короткими диагоналями можно назвать BD, BF, AE или же DF. Для нахождения неизвестной стороны также,
как и в прошлой ситуации, понадобится площадь фигуры, которую возможно найти по следующей формуле:
S = (a * a * √3 * 6) / 4. После этого найденная величина подставляется в
готовую формулу:
D = √((S / √3) * 2)
где S — площадь правильного многоугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Как и в прошлой задаче, ребро равно 6 см. Тогда площадь правильного
шестиугольника = 54√3 см. Далее можно находить и искомую диагональ: D = √((54√3 / √3) * 2) = 6√3
Длинная диагональ через сторону
Длинной диагональю на рисунке являются отрезки ВЕ, AD и CF. Длинную диагональ правильно
шестиугольника можно вычислить и без нахождения площади. Для выполнения математических действий и
нахождения неизвестной переменной надо знать лишь ребро многоугольника:
D = 2a
где a — сторона правильного шестиугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Длинная диагональ состоит из двух сторон треугольников, прилегающих друг к другу, поэтому сторону
умножаем на 2.
Пример. В задаче дан правильный шестиугольник. Его ребро равно 3 см. Тогда длинная
диагональ равна 6 см.
Короткая диагональ через сторону
Также существует и другой способ нахождения короткой диагонали, равностороннего шестиугольника.
Например, диагонали BD. Для нахождения достаточно лишь знание стороны фигуры:
D = √(3 * a * a)
где a — сторона правильного шестиугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Сторона АВ равна 10 см. Тогда BD = D = √(3 * 10 * 10) = 10√3 см = 17 см.
Для более простого понимания такой темы, как вычисление диагонали правильного шестиугольника, стоит
для начала увидеть, что данный многоугольник состоит из шести равносторонних и равных между собой
треугольников. (Неправильный шестиугольник условно можно разделить на шесть равнобедренных
треугольник). О – это центр правильного шестиугольника. Он делит диагонали на равные отрезки. Также
точка пересечения длинных диагоналей является центром вписанной и описанных окружностей. Все
диагонали также равны между собой и делят углы на две равные части, то есть выполняют функцию
биссектрисы, а также высоты или медианы, так как были проведены в равнобедренном треугольнике. Таким
образом будет легче находить какие-то неизвестные отрезки.
Однако существует и более сложный метод – через нахождение площади фигуры. Данную формулу запомнить
просто: S = (a * a * √3) / 4 – она необходима, чтобы вычислить площадь
равностороннего треугольника, где величина а является стороной. А вышеупомянутая фигура состоит из
шести таких геометрических фигур, поэтому конечная формула будет выглядеть так: S = (a * a * √3 * 6) / 4
Таким образом, шестиугольник является не такой уж и сложной фигурой, как кажется на первый взгляд.
Достаточно изучить элементарные свойства и запомнить их.
Правильный шестиугольник
Вам тоже становится страшно, когда вы видите в условии задачи «правильный шестиугольник»? Вам хочется сразу перейти к другой задаче? Вы не знаете, как с ним работать ?
Страх перед задачами подобного рода возникает по простой причине — незнание свойств правильного шестиугольника. Ознакомившись с ними, вы с легкостью будете решать задачи с шестиугольниками. В них нет ничего сложного. Давайте разбираться.
Правильный шестиугольник — многоугольник с шестью равными сторонами и углами. Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников. Правильный треугольник = равносторонний треугольник. А в равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам.
Площадь и периметр
1. Периметр равен сумме длин всех его сторон.
P = 6a, где a — длина стороны шестиугольника
1. Для того, чтобы найти площадь правильного шестиугольника, необходимо найти площадь равностороннего треугольника и умножить её на шесть.
S = 6 * (площадь треугольника)
Диагональ правильного шестиугольника
Диагонали в правильном шестиугольнике бывают двух типов: малые (d) и большие (D).
Радиусы вписанной и описанной окружностей
r — радиус вписанной окружности
R — радиус описанной окружности
! Обратите внимание на то, что радиус окружностей в 2 раза меньше, чем диагонали.
Пример
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 12, высота равна 9. Найдите длину бокового ребра пирамиды.
Решение
1. Так как в основании лежит правильный шестиугольник, то он состоит из правильных треугольников, у которых все стороны равны FO = 12;
2. Рассмотрим треугольник SOF и найдём в нём по теореме Пифагора длину гипотенузы SF;
3. В правильных пирамидах все боковые рёбра равны SF = 15.
Водим переменную х и обозначаем так сторону данного правильного шестиугольника.
Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами и меньшей диагональю. Запишем в этом треугольнике теорему косинусов:
a² = x² + x² — 2 * x * x * cos 120° = 2x² + x² = 3x² →
x = √ (a²/3) = a/√3 — сторона правильного шестиугольника.
Одно из свойств правильного шестиугольника — это то, что сторона равна радиусу описанной окружности.
Большая диагональ — это диаметр описанной окружности, и она равна двум радиусам или двум сторонам.
В нашем случае: 2 а/√3.
Ответ: сторона равна а/√3, большая диагональ 2 а/√3.
Improve Article
Save Article
Like Article
Improve Article
Save Article
Like Article
Given an integer a which is the side of a regular hexagon, the task is to find and print the length of its diagonal.
Examples:
Input: a = 6
Output: 10.38
Input: a = 9
Output: 15.57
Approach: We know that the sum of interior angles of a polygon = (n – 2) * 180 where, n is the number of sides of the polygon.
So, sum of interior angles of a hexagon = 4 * 180 = 720 and each interior angle will be 120.
Now, we have to find BC = 2 * x. If we draw a perpendicular AO on BC, we will see that the perpendicular bisects BC in BO and OC, as triangles AOB and AOC are congruent to each other.
So, in triangle AOB, sin(60) = x / a i.e. x = 0.866 * a
Therefore, diagonal length will be 2 * x i.e. 1.73 * a.
Below is the implementation of the above approach:
C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
float hexDiagonal(float a)
{
if (a < 0)
return -1;
float d = 1.73 * a;
return d;
}
int main()
{
float a = 9;
cout << hexDiagonal(a) << endl;
return 0;
}
Java
public class GFG
{
static double hexDiagonal(float a)
{
if (a < 0)
return -1;
double d = (double)1.73 * a;
return d;
}
public static void main(String []args)
{
float a = 9;
System.out.println(hexDiagonal(a)) ;
}
}
Python3
def hexDiagonal(a):
if (a < 0):
return -1;
d = 1.73 * a;
return d;
a = 9;
print(hexDiagonal(a));
C#
using System ;
public class GFG
{
static double hexDiagonal(float a)
{
if (a < 0)
return -1;
double d = (double)1.73 * a;
return d;
}
public static void Main()
{
float a = 9;
Console.WriteLine(hexDiagonal(a)) ;
}
}
PHP
<?php
function hexDiagonal($a)
{
if ($a < 0)
return -1;
$d = 1.73 * $a;
return $d;
}
$a = 9;
echo hexDiagonal($a), "n";
?>
Javascript
<script>
function hexDiagonal(a)
{
if (a < 0)
return -1;
var d = 1.73 * a;
return d;
}
var a = 9;
document.write(hexDiagonal(a)) ;
</script>
Time Complexity: O(1)
Auxiliary Space: O(1)
Last Updated :
25 Jun, 2022
Like Article
Save Article