Как найти аналитическую функцию по мнимой части - Avtoru.top

Определение

Условия Коши-Римана, которые также в некоторых источниках называются условиями Даламбера-Эйлера —
соотношения, связывающие вещественную $u=u(x;y)$ и мнимую
$v=v(x;y)$ части всякой дифференцируемой функции
комплексного переменного $f(z)=u(x ; y)+i v(x ; y)$, где
$z=x+iy$ .

Для того чтобы функция $f=f(z)$, которая определена
в некоторой области комплексной плоскости $D$,
была дифференцируема в точке $z_{0}=x_{0}+i y_{0}$, необходимо и достаточно,
чтобы её вещественная и мнимая части
$u=u(x;y)$ и
$v=v(x;y)$ были дифференцируемы в точке $(x_0;y_0)$ как функции вещественных переменных $x$ и $y$ и в этой точке выполнялись условия Коши-Римана:

$$begin{aligned} frac{partial u}{partial x} &=frac{partial v}{partial y} \ frac{partial u}{partial y} &=-frac{partial v}{partial x} end{aligned}$$

Эти условия впервые появились в работе французского ученого-энциклопедиста, философа, математика и
механика Жана Лерона Даламбера (1717 — 1783) в 1752 году. В работе швейцарского, немецкого и российского математика и
механика Леонардо Эйлера (1707 — 1783), доложенной Петербургской академии наук в 1777 году, условия получили впервые
характер общего признака аналитичности функций. Великий французский математик и механик Огюстен Луи Коши (178 9- 1857)
пользовался этими соотношениями для построения теории функций.

Пусть задана действительная часть
$u(x;y)$ функции комплексной переменной $f(z)$. Требуется найти мнимую часть
$v(x;y)$ этой функции. Найти саму функцию
$f=f(z)$, используя некоторое начальное условие.

Алгоритм решения состоит в следующем:

1) Используя условия Коши-Римана, находим мнимую часть
$v(x;y)$ .

2) Когда и действительная, и мнимая части функции
$f(z)$ известны, составляем функцию
$f(z)=u(x ; y)+i v(x ; y)$ . Далее в полученном выражении надо произвести
такие преобразования, чтобы выделить переменную $z=x+iy$ или
$$bar{z}=x-i y$$, то есть «избавиться» от переменных
$x$ и $y$.

Замечание 1

На практике будут полезны соотношения:

$$x+i y=z$$
$$x^{2}+2 x y i-y^{2}=(x+i y)^{2}=z^{2}$$
$$x^{3}+3 x^{2} y i-3 x y^{2}-y^{3} i=(x+i y)^{3}=z^{3}$$

Замечание 2

Поделить на мнимую единицу
$i$ равносильно умножению на
$-i$.

3) В конечном итоге будет получена функция
$f(z)$, выражение которой содержит только комплексную переменную
$z$ и константы. Используя начальное условие,
если оно задано, находим значение константы и окончательно получаем искомую функцию.

Аналогично по известной мнимой части
$v(x;y)$ можно найти действительную часть
$u(x;y)$. Алгоритм решения практически идентичен.

Пример

Задание. По действительной часть
$u(x ; y)=-x^{2}+y^{2}-5 y$ функции комплексной переменной восстановить
мнимую часть $v(x;y)$ данной функции и составить саму функцию, которая удовлетворяет начальному условию $f(0)=0$ .

Решение. 1) Сначала найдем мнимую часть
$v(x;y)$ функции
$f(z)$. Из первого условия Коши-Римана имеем, что

$$frac{partial u}{partial x}=frac{partial v}{partial y}$$

то есть

$$frac{partial v}{partial y}=frac{partial}{partial x}left(-x^{2}+y^{2}-5 yright)=-2 x$$

Тогда

$$v(x ; y)=int(-2 x) d y+phi(x)$$

Если мы продифференцируем последнее равенство по
$y$ (то есть найдем $frac{partial v}{partial y}$ ), то как раз получим
$-2x$. Отсюда

$$v(x ; y)=int(-2 x) d y+phi(x)=-2 x y+phi(x)$$

Неизвестной остается функция $phi (x)$.

Согласно второму условию Коши-Римана имеем:

$$frac{partial u}{partial y}=-frac{partial v}{partial x}$$

то есть

$$2 y-5=-left(-2 y+phi^{prime}(x)right) Leftrightarrow 2 y-5=2 y-phi^{prime}(x)$$

Из последнего равенства определяем, что

$$phi^{prime}(x)=5 Rightarrow phi(x)=int 5 d x=5 x+C$$

Итак,

$$v(x ; y)=-2 x y+5 x+C$$

2) Мнимая часть искомой функции $f(z)$
восстановлена, тогда можем записать саму функцию:

$$f(z)=u(x ; y)+i v(x ; y)=-x^{2}+y^{2}-5 y+i(-2 x y+5 x+C)$$

Далее наша задача так сгруппировать слагаемые, чтобы выделить переменную
$z$ или какую-либо ее степень.
Раскроем скобки и перепишем полученное выражение следующим образом:

$$f(z)=-x^{2}+y^{2}-5 y-2 x y i+5 x i+C i=$$
$$=left(-x^{2}+y^{2}-2 x y iright)+(-5 y+5 x i)+C i=$$
$$=-left(x^{2}+2 x y i-y^{2}right)+5 ileft(x-frac{y}{i}right)+C i$$

Тогда согласно замечанию 1 первую скобку свернем как квадрат суммы, а согласно замечанию 2
во вторых скобках преобразуем выражение. Имеем, что:

$$f(z)=-(x+y i)^{2}+5 i(x+y i)+C i=-z^{2}+5 z i+C i$$

Итак, получили, что в выражении искомой функции
$f(z)$ присутствует только переменная
$z$ и константа.

3) Используя начальное условие
$f(0)=0$, найдём значение константы
$C$ . Для этого в выражении функции
$z$ заменим на 0,
$f(z)$ также равно 0, будем иметь:

$$f(0)=0=-0^{2}+5 cdot 0 cdot i+C i Rightarrow C i=0 Rightarrow C=0$$

Таким образом,

$$f(z)=-z^{2}+5 z i$$

С учетом того, что $C=0$, запишем, что мнимая часть
$v(x ; y)=-2 x y+5 x$ .

Ответ. $v(x ; y)=-2 x y+5 x, f(z)=-z^{2}+5 z i$

Читать первую тему — понятие комплексного числа,
раздела комплексные числа.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Источник

Так же, как и в
действительном анализе, для функций
комплексного переменного вводится
понятие производной. Однако здесь это
понятие более глубокое, чем в действительном
анализе. Например, всякая линейная
действительная функция дифференцируема
в любой точке. Для комплексных функций
это не так. Например, функция
нигде не дифференцируема. Перейдём к
изучению этого понятия.

Пусть функция
определена в точкеи некоторой ее окрестности.
Сместимся из точкив точкуТогда аргумент функцииполучит приращение,
а сама функция–
приращение

Определение 1.
Если существует конечный предел

то его называют
производной
функции
в точкеи обозначают

С понятием
производной тесно связано понятие
дифференцируемости функции в точке
функцияназываетсядифференцируемой
в точке
если её приращение в этой точке
представляется в виде

где
постоянная, не зависящая отПри этом величинаназываетсядифференциалом
функции
в точке
и обозначается
Разделив обе части равенства (2) набудем иметьПоследнее равенство означает, что
существует предел (1), т.е. что существует
производнаяи что она равнаТаким образом, дифференцируемость
функциив точкеэквивалентна существованию производной.
При этоми значит,

Как уже отмечалось выше, не любая
(даже очень простая) функция дифференцируема
в точке
Для этого её мнимая и действительные
части должны быть определенным образом
подчинены друг другу в следующем смысле.

Теорема
Коши-Римана.
Для того чтобы
функция
была дифференцируема в точкенеобходимо и достаточно, чтобы в точкееё действительная и мнимая части были
дифференцируемы (как функции действительных
переменных) и чтобы в этой точке имели
место равенства

(равенства (3)
называются условиями Коши-Римана).

Доказательство.
Пусть функция
дифференцируема в точкеТогда имеет место асимптотическое
разложение (2). Запишем его более подробно:

где
(очевидно, что)
Отделяя здесь мнимые и действительные
части, получим

Эти равенства
означают, во-первых, что функции
дифференцируемы как функции действительных
переменныхив точкеи, во-вторых,что имеют место равенства

в точке

Таким образом, если
функция
дифференцируема в точкето
имеют место условия Коши-Римана (3).
Рассуждая обратным ходом, покажем, что
при выполнении условий (3) функциябудет дифференцируемой в точкеТеорема
доказана.

Замечание 1.Из доказательства
теоремы следует, что еслидифференцируема в точкето
ее производную в этой точке можно
вычислять по формулеили по формуле.

Пример 1. Проверить, будет ли
функциядифференцируемой. Если да, то найти её
производную.

Решение. Выделим сначала вмнимую и действительные части:

Теперь проверим условия Коши-Римана.
Имеем

значит, условия (3) Коши-Римана выполняются
для всех
Следовательно, функциядифференцируема
в любой точкеЕё производную находим по формуле

Таким образом, как и ожидалось, мы
получили, что
Забегая вперёд, отметим, что производные
всех элементарных однозначных комплексных
функций находятся по тем же правилам,
что и производные действительных
функций. Например,

То же замечание справедливо и для
отдельных ветвей многозначных функций.
Например,

Введём теперь следующее важное понятие.

Определение 2. Функцияназываетсяаналитической в точке
если она дифференцируема как в точкетак и в некоторой её окрестности.

Аналитичность функции
в точкеравносильна тому, что
удовлетворяет условиям Коши-Римана (3)
в некоторой окрестности точки
(включая и саму точку

Определение 3. Функцияназываетсяаналитической (регулярной,
голоморфной) в области
если она аналитична в любой точке
этой области.

Заметим, что действительная и мнимая
части аналитической функции удовлетворяют
уравнению Лапласа:
Это непосредственно вытекает из
условий Коши-Римана. Функции, удовлетворяющие
уравнению Лапласа, называютсягармоническими.

Пример 2. Является
ли функция
аналитической хотя бы в одной точке?

Решение. Так
как
,
то,.
Условия Коши–Римана имеют вид:,и выполняются только в точке.
Следовательно, функциядифференцируема только в точкеи нигде не аналитична. По определению
(44) запишем:.
Таким образом, производнаясуществует и равна нулю.

Так как мнимая и
действительная части аналитической
функции
связаны условиями Коши-Римана (3), тоопределяется (с точностью до постоянного
слагаемого) либо своей действительной,
либо мнимой частью. Покажем это на
примере.

Пример 3.
Найти
аналитическую функцию, если известна
ее мнимая часть

при дополнительном
условии
.

Решение. Так
как
,
то из условий Коши-Римана (3) находим
производные действительной части:

Решив первое из этих
уравнений, находим
,
где
– произвольная функция переменной.
Для определениядифференцируемпо
и подставляем
в (2):
,
откудаи.
Следовательно,и окончательно получим:

т.е. действительная
часть восстанавливается с точностью
до постоянного слагаемого. Условие
позволяет найти эту постоянную однозначно:.
Таким образом,.

Имеют место следующие
утверждения.

1. Степенная
функция с натуральным показателем
аналитична во всей комплексной плоскостипричем

2. Каждая ветвь
функциианалитична в областипричем

3. Комплексная
экспонента
аналитична во всей плоскостипричем

4. Комплексные
тригонометрические функции
ианалитичны во всей плоскостипричемТо же утверждение имеет место и для
гиперболических функций, причем

5. Каждая ветвь
логарифмической функции аналитична в
областипричем

Все эти утверждения
проверяются с помощью соотношений
Коши-Римана.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Аналитическая функция. Дифференциал

Фундаментальным понятием в теории функций комплексного переменного является понятие аналитической функции.

Однозначная функция называется аналитической (голоморфной) в точке , если она дифференцируема (выполнены условия Эйлера-Даламбера) в некоторой окрестности этой точки. Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой точке .

Как видно из этого определения, условие аналитичности в точке не совпадает с условием дифференцируемости функции в этой же точке (первое условие — более сильное).

Точки плоскости , в которых однозначная функция аналитична, называются правильными точками . Точки, в которых функция не является аналитической, называются особыми точками этой функции.

Пусть функция аналитична в точке . Тогда . Отсюда следует, что , где при . Тогда приращение функции можно записать так: . Если , то первое слагаемое является при бесконечно малой того же порядка, что и ; второе слагаемое ; есть бесконечно малая более высокого порядка, чем . Следовательно, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции .

Дифференциалом аналитической функции в точке называется главная часть ее приращения, т. е. , или (так как при будет ). Отсюда следует, что , т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Замечание. Если функция аналитична в некоторой области , то функции и удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа (, см. п. 72.2).

Действительно, дифференцируя первое из равенств Эйлера-Даламбера по , а второе по , получаем:

откуда .

Функции и являются гармоническими функциями.

Пример №74.3.

Проверить, является ли функция аналитической. Найти ее производную.

Решение:

Находим действительную и мнимую части функции:

Таким образом, . Проверяем условия Эйлера-Даламбера (74.5):

Условия (74.5) выполняются во всех точках комплексной плоскости . Функция дифференцируема, следовательно, аналитична во всех точках этой плоскости. Ее производную найдем по одной из формул (74.6), например по первой:

т. е. .

Заметим, что производную функции можно найти, воспользовавшись определением производной (74.4):

Пример №74.4.

Найти аналитическую функцию по ее заданной действительной части .

Решение:

Отметим, что функция и является гармонической функцией (, следовательно, ).

Для определения мнимой части воспользуемся условиями Эйлера-Даламбера (74.5). Так как ,
то, согласно первому условию, . Отсюда, интегрируя по , находим: