Как найти аффинную оболочку

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, the affine hull or affine span of a set S in Euclidean space Rn is the smallest affine set containing S,[1] or equivalently, the intersection of all affine sets containing S. Here, an affine set may be defined as the translation of a vector subspace.

The affine hull aff(S) of S is the set of all affine combinations of elements of S, that is,

{displaystyle operatorname {aff} (S)=left{sum _{i=1}^{k}alpha _{i}x_{i},{Bigg |},k>0,,x_{i}in S,,alpha _{i}in mathbb {R} ,,sum _{i=1}^{k}alpha _{i}=1right}.}

Examples[edit]

  • The affine hull of the empty set is the empty set.
  • The affine hull of a singleton (a set made of one single element) is the singleton itself.
  • The affine hull of a set of two different points is the line through them.
  • The affine hull of a set of three points not on one line is the plane going through them.
  • The affine hull of a set of four points not in a plane in R3 is the entire space R3.

Properties[edit]

For any subsets {displaystyle S,Tsubseteq X}

[edit]

References[edit]

  1. ^ Roman 2008, p. 430 §16

Sources[edit]

  • R.J. Webster, Convexity, Oxford University Press, 1994. ISBN 0-19-853147-8.
  • Roman, Stephen (2008), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (Third ed.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5

1. Задание аффинного множества системой линейных уравнений

Точка

пространства

называется
решением

системы уравнений

,
если

.

Теорема
2.4
.
Все решения
совместной системы уравнений

образуют в пространстве

аффинное множество.

Доказательство.
Обозначим
через

множество решений данной системы
уравнений и пусть

и

– произвольные точки из этого множества,
т.е.


.

Рассмотрим
точку

для которой


,

и
покажем, что

.
Имеем:


.

Итак,

и, значит,

.
Теперь из определения аффинного множества
следует, что

– аффинное множество. ■

2.
Задание
аффинного множества системой точек

Аффинной
оболочкой

точек

называется множество всех таких точек

пространства

для
которых вектор

принадлежит
подпространству

Аффинную оболочку точек

будем обозначать символом

и тогда

Замечание.
Точки

принадлежат аффинной оболочке

Так
как

и вектор


,
то точка

принадлежит аффинной оболочке

.
Из разложения

вытекает,
что

и, значит, точка


Теорема
2.5.
Аффинная
оболочка

точек

является аффинным множеством.

Доказательство.
Пусть

и

– произвольные точки из множества

.
Докажем, что множеству

принадлежат все такие точки

пространства

,
для которых

Имеем

(2)

Так
как точки

и

принадлежат

,
то из определения аффинной оболочки
следует

Теперь из равенства
(2) и теоремы 1.2 следует


3. Задание аффинного множества

точкой
и системой векторов

Пусть
точка

и

векторы
пространства

.
Обозначим
через

множество точек пространства

,
которые являются решениями уравнения

где

произвольные
числа
.

Замечание.
Точка

является решением этого уравнения, если
можно подобрать такие числа

что выполняется векторное равенство

.

Так
как равенство

справедливо,
то точка

принадлежит множеству

.♦

Теорема
2.6.

Множество

точек пространства

является аффинным множеством.

Доказательство.
Рассмотрим
две произвольные точки

и

из множества

.
Из определения этого множества следует,
что

Покажем,
что каждая точка

пространства

,
для которой

,
принадлежит множеству

.
Это утверждение
вытекает из следующей цепочки импликаций:



.

Теперь
из определения аффинного множества
вытекает, что

– аффинное множество. ■

Задачи

1.Выяснить,
принадлежат ли точки

аффинной оболочке точек

?

2.Доказать,
что аффинная оболочка

содержит бесконечно много точек..

3.Доказать,
что в пространстве

аффинная оболочка двух различных точек

и

совпадает с прямой, проходящей через
эти точки.

4.Доказать,
что в пространстве

аффинная оболочка трёх точек

,
не лежащих на одной прямой, совпадает
с плоскостью, проходящей через эти
точки.

5.Точки

являются частью системы точек

.
Доказать, что

.

6.Точки

,

и

принадлежат пространству

.
Доказать, что

тогда и только тогда, когда

.

7.Доказать,
что

тогда и только тогда, когда

.

8.Доказать,
что если точки

принадлежат аффинной оболочке

,
то

.

9.
Доказать, что аффинная оболочка

тогда и только тогда, когда

,
.

10.Выяснить,
содержатся ли аффинные оболочки

и

в аффинной оболочке

,
где


11.Даны
точки

из пространства

.
Доказать, что

.

12.Доказать,
что

.

13.
Доказать, что


,
где точка

.

14.Дано:
,

,

.
Принадлежат ли точки

и

множеству

15.Какую
фигуру в пространствах

или

образуют точки аффинного множества

16.
Какую фигуру в пространстве

образуют точки аффинного множества

ненулевые
векторы

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

В математике , то аффинная оболочка или аффинная оболочка из множества S в евклидовом пространстве R п является наименьшим аффинным набор , содержащий S , или , что эквивалентно, то пересечение всех аффинных множеств , содержащих S . Здесь аффинное множество может быть определена как перевод из более векторного подпространства .

Аффинная оболочка aff ( S ) S — это множество всех аффинных комбинаций элементов S , то есть

{ displaystyle  operatorname {aff} (S) =  left  { sum _ {i = 1} ^ {k}  alpha _ {i} x_ {i} , { Bigg |} , k> 0 , , x_ {i}  in S, ,  alpha _ {i}  in  mathbb {R}, ,  sum _ {i = 1} ^ {k}  alpha _ {i} = 1  право}.}

Примеры

  • Аффинная оболочка пустого множества — это пустое множество.
  • Аффинная оболочка синглтона (набора, состоящего из одного единственного элемента) — это сам синглтон.
  • Аффинная оболочка множества двух разных точек — это прямая, проходящая через них.
  • Аффинная оболочка множества трех точек не на одной прямой — это плоскость, проходящая через них.
  • Аффинная оболочка набора из четырех точек, не лежащих на плоскости в R 3, — это все пространство R 3 .

Свойства

Для любых подмножеств { displaystyle S, T  substeq X}

  • Если вместо аффинного комбинации одного использует комбинации выпуклых , то есть один требует в формуле выше , что все неотрицательная, получается выпуклая оболочка из S , которая не может быть больше , чем аффинная оболочка S , как больше ограничений участвуют . альфа _ {я}
  • Понятие конической комбинации порождает понятие конической оболочки.
  • Если , однако , один накладывает никаких ограничений на всех по номерам , а не аффинной комбинации друг имеет линейную комбинацию , а результирующий набор является линейной оболочкой из S , который содержит аффинную оболочку S . альфа _ {я}

Ссылки

  • RJ Webster, Convexity , Oxford University Press, 1994.
    ISBN  0-19-853147-8 .

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как я нашла родного отца
  • Как найти работников в контакте
  • Беспроводные наушники подключаются по одному как исправить
  • Как найти сиделку в мурманске
  • Как найти свой криптокошелек если забыл

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии