From Wikipedia, the free encyclopedia
In mathematics, the affine hull or affine span of a set S in Euclidean space Rn is the smallest affine set containing S,[1] or equivalently, the intersection of all affine sets containing S. Here, an affine set may be defined as the translation of a vector subspace.
The affine hull aff(S) of S is the set of all affine combinations of elements of S, that is,
Examples[edit]
- The affine hull of the empty set is the empty set.
- The affine hull of a singleton (a set made of one single element) is the singleton itself.
- The affine hull of a set of two different points is the line through them.
- The affine hull of a set of three points not on one line is the plane going through them.
- The affine hull of a set of four points not in a plane in R3 is the entire space R3.
Properties[edit]
For any subsets
[edit]
References[edit]
- ^ Roman 2008, p. 430 §16
Sources[edit]
- R.J. Webster, Convexity, Oxford University Press, 1994. ISBN 0-19-853147-8.
- Roman, Stephen (2008), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (Third ed.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5
1. Задание аффинного множества системой линейных уравнений
Точка
пространства
называется
решением
системы уравнений
,
если
.
□Теорема
2.4.
Все решения
совместной системы уравнений
образуют в пространстве
аффинное множество.
Доказательство.
Обозначим
через
множество решений данной системы
уравнений и пусть
и
– произвольные точки из этого множества,
т.е.
.
Рассмотрим
точку
для которой
,
и
покажем, что
.
Имеем:
.
Итак,
и, значит,
.
Теперь из определения аффинного множества
следует, что
– аффинное множество. ■
2.
Задание
аффинного множества системой точек
Аффинной
оболочкой
точек
называется множество всех таких точек
пространства
для
которых вектор
принадлежит
подпространству
Аффинную оболочку точек
будем обозначать символом
и тогда
◊Замечание.
Точки
принадлежат аффинной оболочке
Так
как
и вектор
,
то точка
принадлежит аффинной оболочке
.
Из разложения
вытекает,
что
и, значит, точка
♦
□Теорема
2.5. Аффинная
оболочка
точек
является аффинным множеством.
Доказательство.
Пусть
и
– произвольные точки из множества
.
Докажем, что множеству
принадлежат все такие точки
пространства
,
для которых
Имеем
(2)
Так
как точки
и
принадлежат
,
то из определения аффинной оболочки
следует
Теперь из равенства
(2) и теоремы 1.2 следует
■
3. Задание аффинного множества
точкой
и системой векторов
Пусть
точка
и
векторы
пространства
.
Обозначим
через
множество точек пространства
,
которые являются решениями уравнения
где
произвольные
числа.
◊ Замечание.
Точка
является решением этого уравнения, если
можно подобрать такие числа
что выполняется векторное равенство
.
Так
как равенство
справедливо,
то точка
принадлежит множеству
.♦
□Теорема
2.6.
Множество
точек пространства
является аффинным множеством.
Доказательство.
Рассмотрим
две произвольные точки
и
из множества
.
Из определения этого множества следует,
что
Покажем,
что каждая точка
пространства
,
для которой
,
принадлежит множеству
.
Это утверждение
вытекает из следующей цепочки импликаций:
.
Теперь
из определения аффинного множества
вытекает, что
– аффинное множество. ■
Задачи
1.Выяснить,
принадлежат ли точки
аффинной оболочке точек
?
2.Доказать,
что аффинная оболочка
содержит бесконечно много точек..
3.Доказать,
что в пространстве
аффинная оболочка двух различных точек
и
совпадает с прямой, проходящей через
эти точки.
4.Доказать,
что в пространстве
аффинная оболочка трёх точек
,
не лежащих на одной прямой, совпадает
с плоскостью, проходящей через эти
точки.
5.Точки
являются частью системы точек
.
Доказать, что
.
6.Точки
,
и
принадлежат пространству
.
Доказать, что
тогда и только тогда, когда
.
7.Доказать,
что
тогда и только тогда, когда
.
8.Доказать,
что если точки
принадлежат аффинной оболочке
,
то
.
9.
Доказать, что аффинная оболочка
тогда и только тогда, когда
,
.
10.Выяснить,
содержатся ли аффинные оболочки
и
в аффинной оболочке
,
где
11.Даны
точки
из пространства
.
Доказать, что
.
12.Доказать,
что
.
13.
Доказать, что
,
где точка
.
14.Дано:
,
,
.
Принадлежат ли точки
и
множеству
15.Какую
фигуру в пространствах
или
образуют точки аффинного множества
16.
Какую фигуру в пространстве
образуют точки аффинного множества
ненулевые
векторы
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
В математике , то аффинная оболочка или аффинная оболочка из множества S в евклидовом пространстве R п является наименьшим аффинным набор , содержащий S , или , что эквивалентно, то пересечение всех аффинных множеств , содержащих S . Здесь аффинное множество может быть определена как перевод из более векторного подпространства .
Аффинная оболочка aff ( S ) S — это множество всех аффинных комбинаций элементов S , то есть
Примеры
- Аффинная оболочка пустого множества — это пустое множество.
- Аффинная оболочка синглтона (набора, состоящего из одного единственного элемента) — это сам синглтон.
- Аффинная оболочка множества двух разных точек — это прямая, проходящая через них.
- Аффинная оболочка множества трех точек не на одной прямой — это плоскость, проходящая через них.
- Аффинная оболочка набора из четырех точек, не лежащих на плоскости в R 3, — это все пространство R 3 .
Свойства
Для любых подмножеств
- Если вместо аффинного комбинации одного использует комбинации выпуклых , то есть один требует в формуле выше , что все неотрицательная, получается выпуклая оболочка из S , которая не может быть больше , чем аффинная оболочка S , как больше ограничений участвуют .
- Понятие конической комбинации порождает понятие конической оболочки.
- Если , однако , один накладывает никаких ограничений на всех по номерам , а не аффинной комбинации друг имеет линейную комбинацию , а результирующий набор является линейной оболочкой из S , который содержит аффинную оболочку S .
Ссылки
- RJ Webster, Convexity , Oxford University Press, 1994.
ISBN 0-19-853147-8 .