Как найти аффинную оболочку - Avtoru.top - решение различных проблем

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, the affine hull or affine span of a set S in Euclidean space Rⁿ is the smallest affine set containing S,^[1] or equivalently, the intersection of all affine sets containing S. Here, an affine set may be defined as the translation of a vector subspace.

The affine hull aff(S) of S is the set of all affine combinations of elements of S, that is,

${displaystyle operatorname {aff} (S)=left{sum _{i=1}^{k}alpha _{i}x_{i},{Bigg |},k>0,,x_{i}in S,,alpha _{i}in mathbb {R} ,,sum _{i=1}^{k}alpha _{i}=1right}.}$

Examples[edit]

The affine hull of the empty set is the empty set.
The affine hull of a singleton (a set made of one single element) is the singleton itself.
The affine hull of a set of two different points is the line through them.
The affine hull of a set of three points not on one line is the plane going through them.
The affine hull of a set of four points not in a plane in R³ is the entire space R³.

Properties[edit]

For any subsets

[edit]

References[edit]

^ Roman 2008, p. 430 §16

Sources[edit]

R.J. Webster, Convexity, Oxford University Press, 1994. ISBN 0-19-853147-8.
Roman, Stephen (2008), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (Third ed.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5

Источник

1. Задание аффинного множества системой линейных уравнений

Точка

пространства

называется
решением
системы уравнений

,
если

.

□Теорема
2.4.
Все решения
совместной системы уравнений

образуют в пространстве

аффинное множество.

Доказательство.
Обозначим
через

множество решений данной системы
уравнений и пусть

– произвольные точки из этого множества,
т.е.

Рассмотрим
точку

для которой

и
покажем, что

.
Имеем:

Итак,

и, значит,

.
Теперь из определения аффинного множества
следует, что

– аффинное множество. ■

2.
Задание
аффинного множества системой точек

Аффинной
оболочкой
точек

называется множество всех таких точек

пространства

для
которых вектор

принадлежит
подпространству

Аффинную оболочку точек

будем обозначать символом

и тогда

◊Замечание.
Точки

принадлежат аффинной оболочке

Так
как

и вектор

,
то точка

принадлежит аффинной оболочке

.
Из разложения

вытекает,
что

и, значит, точка

♦

□Теорема
2.5. Аффинная
оболочка

точек

является аффинным множеством.

Доказательство.
Пусть

– произвольные точки из множества

.
Докажем, что множеству

принадлежат все такие точки

пространства

,
для которых

Имеем

(2)

Так
как точки

принадлежат

,
то из определения аффинной оболочки
следует

Теперь из равенства
(2) и теоремы 1.2 следует

■

3. Задание аффинного множества

точкой
и системой векторов

Пусть
точка

и

векторы
пространства

.
Обозначим
через

множество точек пространства

,
которые являются решениями уравнения

где

произвольные
числа.

◊ Замечание.
Точка

является решением этого уравнения, если
можно подобрать такие числа

что выполняется векторное равенство

.

Так
как равенство

справедливо,
то точка

принадлежит множеству

.♦

□Теорема
2.6.
Множество

точек пространства

является аффинным множеством.

Доказательство.
Рассмотрим
две произвольные точки

из множества

.
Из определения этого множества следует,
что

Покажем,
что каждая точка

пространства

,
для которой

,
принадлежит множеству

.
Это утверждение
вытекает из следующей цепочки импликаций:

Теперь
из определения аффинного множества
вытекает, что

– аффинное множество. ■

Задачи

1.Выяснить,
принадлежат ли точки

аффинной оболочке точек

?

2.Доказать,
что аффинная оболочка

содержит бесконечно много точек..

3.Доказать,
что в пространстве

аффинная оболочка двух различных точек

совпадает с прямой, проходящей через
эти точки.

4.Доказать,
что в пространстве

аффинная оболочка трёх точек

,
не лежащих на одной прямой, совпадает
с плоскостью, проходящей через эти
точки.

5.Точки

являются частью системы точек

.
Доказать, что

.

6.Точки

принадлежат пространству

.
Доказать, что

тогда и только тогда, когда

.

7.Доказать,
что

тогда и только тогда, когда

.

8.Доказать,
что если точки

принадлежат аффинной оболочке

,
то

.

9.
Доказать, что аффинная оболочка

тогда и только тогда, когда

,
.

10.Выяснить,
содержатся ли аффинные оболочки

в аффинной оболочке

,
где

11.Даны
точки

из пространства

.
Доказать, что

.

12.Доказать,
что

.

13.
Доказать, что

,
где точка

.

14.Дано:
,

,

.
Принадлежат ли точки

множеству

15.Какую
фигуру в пространствах

или

образуют точки аффинного множества

16.
Какую фигуру в пространстве

образуют точки аффинного множества

ненулевые
векторы

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

В математике , то аффинная оболочка или аффинная оболочка из множества S в евклидовом пространстве R ^п является наименьшим аффинным набор , содержащий S , или , что эквивалентно, то пересечение всех аффинных множеств , содержащих S . Здесь аффинное множество может быть определена как перевод из более векторного подпространства .

Аффинная оболочка aff ( S ) S — это множество всех аффинных комбинаций элементов S , то есть

${ displaystyle operatorname {aff} (S) = left { sum _ {i = 1} ^ {k} alpha _ {i} x_ {i} , { Bigg |} , k> 0 , , x_ {i} in S, , alpha _ {i} in mathbb {R}, , sum _ {i = 1} ^ {k} alpha _ {i} = 1 право}.}$

Примеры

Аффинная оболочка пустого множества — это пустое множество.
Аффинная оболочка синглтона (набора, состоящего из одного единственного элемента) — это сам синглтон.
Аффинная оболочка множества двух разных точек — это прямая, проходящая через них.
Аффинная оболочка множества трех точек не на одной прямой — это плоскость, проходящая через них.
Аффинная оболочка набора из четырех точек, не лежащих на плоскости в R ^3, — это все пространство R ³ .

Свойства

Для любых подмножеств

Если вместо аффинного комбинации одного использует комбинации выпуклых , то есть один требует в формуле выше , что все неотрицательная, получается выпуклая оболочка из S , которая не может быть больше , чем аффинная оболочка S , как больше ограничений участвуют . $альфа _ {я}$
Понятие конической комбинации порождает понятие конической оболочки.
Если , однако , один накладывает никаких ограничений на всех по номерам , а не аффинной комбинации друг имеет линейную комбинацию , а результирующий набор является линейной оболочкой из S , который содержит аффинную оболочку S . $альфа _ {я}$