Как найти абсолютные величины чисел - Avtoru.top

Download Article

The absolute value of a number is easy to find, and the theory behind it is important when solving absolute value equations. Absolute value means «distance from zero» on a number line. If you think of a number line, with zero in the center, all you’re really doing is asking how far away you are from 0 on the number line.

1

Remember that absolute value is a number’s distance from zero. An absolute value is the distance from the number to zero along a number line. Simply put, is just asking you how far away -4 is from zero. Since distance is always a positive number (you can’t travel «negative» steps, just steps in a different direction), the result of absolute value is always positive.^[1]
2

Make the number in the absolute value sign positive. At its most simple, absolute value makes any number positive. It is useful for measuring distance, or finding values in finances where you work with negative numbers like debt or loans.^[2]

Advertisement
3
Use simple, vertical bars to show absolute value. The notation for absolute value is easy. Single bars (or a «pipe» on a keyboard, found near the enter key) around a number or expression, like , indicates absolute value.
- is read as «the absolute value of 2.»^[3]
4

Drop any negative signs on the number inside the absolute value marks. For instance, |-5| would become |5|.
5
Drop the absolute value marks. The number remaining is your answer, so |-5| becomes |5| and then 5. This is all you need to do^[4]
6

Simplify the expression inside the absolute value sign. If you’ve got a simple expression, like , you can just make the whole thing positive. But expressions like need to be simplified before you can take the absolute value. The normal order of operations still applies:^[5]
7

Always use the order of operations before finding absolute value. When determining longer equations, you want to do all the possible work before finding the absolute value. You should not simplify absolute values until everything else has been added, subtracted, and divided successfully. For example:
8

Keep working on some practice problems to get it down. Absolute value is pretty easy, but that doesn’t mean a few practice problems won’t help you keep the knowledge:

1

Note any complex equations with imaginary numbers, like «i» or and solve separately. You cannot find the absolute value of imaginary numbers the same way you found it for rational numbers. That said, you can easily find the absolute value of a complex equation by plugging it into the distance formula. Take the expression , for example.
2

Find the coefficients of the complex equation. Think of 3-4i as an equation for a line. Absolute value is the distance from zero, so you want to find the distance from zero for the point (3, -4) on this line.The coefficients are simply the two numbers that aren’t «i.» While the number by the i is usually the second number, it doesn’t actually matter when solving. To practice, find the following coefficients:
3

Remove the absolute value signs from the equation. All you need at this point are the coefficients. Remember, you need to find the distance from the equation to zero. Since you use the distance formula in the next step, this is the same thing as taking absolute value.
4

Square both coefficients. To find distance, you’ll use the distance formula, known as ${sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ . So, for your first step, you need to square both coefficients of your complex equation. Continuing the example :
5

Add the squared numbers under the radical. The radical is the sign that takes the square root. Simply add them up, leaving the radical in place for now.
6

Take the square root to get your final answer. All you have to do is simplify the equation to get your final answer. This is the distance from your «point» on an imaginary graph zero. If there is no square root, just leave the answer from the last step under the radical— this is a legitimate final answer.
7

Try a few practice problems. Use your mouse to click and highlight right after the questions to see the answers, written here in white.

Add New Question

Question

What is the absolute value of -(-2)?

-(-2) = +2. The absolute value is 2.
Question

What is the absolute value of 2 * 2/2?

|[(2)(2)] / 2| = |4/2| = |2| = 2.
Question

How do I find the value of f(-1) if f(x) = 7 squared + 2x +14?

Substitute (-1) for each x in the expression. You have written f(x) = 7² + 2x + 14. That simplifies to 2x + 63. Substituting (-1) for x makes f(-1) = (-2) + 63 = 61. If you meant to write that f(x) = 7x² + 2x + 14, then f(-1) = 7(-1)² + 2(-1) + 14 = 7 — 2 + 14 = 19.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

If you have a variable inside absolute value marks, you can’t remove the marks using this method because if the value of the variable is negative, the absolute value would make it positive.
If you have an expression inside absolute value marks, simplify the expression before finding the absolute value.
When a positive number is inside absolute value marks, the answer is always that number.

Show More Tips

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Article SummaryX

The absolute value of a number is the number’s distance from zero, which will always be a positive value. To find the absolute value of a number, drop the negative sign if there is one to make the number positive. For example, negative 4 would become 4. If you have a complicated equation, simplify it using the order of operations before you drop the negative signs. The symbol for an absolute number is vertical lines on either side of the number. For more tips, including how to find the absolute value in an equation with “I”, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 160,511 times.

Did this article help you?

Источник

Абсолютная величина или модуль, вещественного числа x есть расстояние от x до нуля.

Более точно: абсолютная величина x есть неотрицательное число, обозначаемое |x|, определяемое следующим образом: если x ≥ 0, то |x|=x; если x < 0, то |x| = −x.
Для абсолютной величины имеют место следующие соотношения:

Альтернативные определения

Абсолютная величина комплексного числа

Абсолютная величина или модуль комплексного числа z = x + iy (x и y — вещественные числа) — неотрицательное число (обозначаемое |z|), определяемое по формуле ${displaystyle |z|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ .

История

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона.
Знак модуля введен в 19 веке Вейерштрассом.
Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в 19 веке.

См. также

Нормированное векторное пространство.

bg:Абсолютна стойност
ca:Valor absolut
cs:Absolutní hodnota
eo:Absoluta valoro
et:Absoluutväärtus
fa:قدر مطلق (ریاضی)
gl:Valor absoluto
he:ערך מוחלט
hu:Abszolútérték-függvény
is:Algildi
nl:Absolute waarde
no:Absoluttverdi
pl:Wartość bezwzględna
sk:Absolútna hodnota
sl:Absolutna vrednost
sr:Апсолутна вредност
sv:Absolutbelopp
th:ค่าสัมบูรณ์
uk:Абсолютна величина
vi:Giá trị tuyệt đối

Источник

Определение.
Абсолютной
величиной (или
модулем)
числа х называется само число
,
если,
число (
),
если.

Абсолютная величина
числа
обозначается.
Таким образом,,
если,
и,
если.

Из определения
абсолютной величины числа вытекает ряд
ее свойств.

.
Доказательство.
Если
,
то.
Если,
то,
но,
т. е..
.
Доказательство.
Если
,
тои тогда.
Если,
то,
и тогда.
.
Доказательство.
Если
,
то
,
.
Отсюда,
т. е..
Если,
то,
откуда.
Так как,
то,
или,
откуда,
т. е..
Поэтому.
Получаем, что
.

Теорема 1.
Пусть
положительное число. Тогда неравенстваиравносильны.((
,


0: х


) 
( — 

х 

)).

Доказательство.
Пусть
.
Если,
то,
поэтому,
таким образом,.
Если,
то,
следовательно,,
откуда.
Объединяя неравенстваи,
получаем, что,.

Пусть
.
Это означает, что одновременно выполняются
неравенстваи.
Из последнего неравенства следует, что.
По определению,есть либо,
либо,
поэтому.

Теорема 2.
Абсолютная
величина суммы двух чисел не больше
суммы абсолютных величин этих чисел,
т. е.
.

Доказательство.
Пусть
,– произвольные числа. По свойству 3 для
них выполняются неравенства:,.
Поэтому, складывая эти неравенства,
получаем.
По предыдущей теореме это равносильно
неравенству.

Из этой теоремы
следует, что абсолютная величина разности
двух чисел не больше суммы абсолютных
величин этих чисел, т. е.
.

Теорема 3.
Абсолютная
величина разности двух чисел не меньше
разности абсолютных величин этих чисел,
т. е.
.

Доказательство.
Для любых чисел
и:.
По предыдущей теореме.
Поэтому.

Аналогично
доказывается утверждение о том, что
абсолютная величина суммы двух чисел
не меньше разности абсолютных величин
этих чисел, т. е.
.

Замечание.
Для любых чисел х и у имеют место легко
проверяемые соотношения
и,
если.
Эти соотношения предлагается доказать
самостоятельно.

1.4. Геометрическое изображение вещественных чисел

Рассмотрим
произвольную прямую. На ней можно указать
два противоположных направления. Выберем
одно из направлений и масштабную единицу
для измерения длин отрезков.

Определение.
Прямая с
выбранным на ней направлением называется
осью.

Рассмотрим на оси
две произвольные точки А и В.

Определение.
Отрезок с граничными точками А и В
называется
направленным, если
указано, какая из этих точек считается
началом, а какая – концом отрезка.

Направленный
отрезок с началом в точке А и концом в
точке В обозначим
и будем считать, что он направлен от
начала отрезка к концу.Нулевыми
направленными отрезками
будем называть те, у которых начало и
конец совпадают. Длина направленного
отрезка
обозначаетсяили.

Для направленных
отрезков, лежащих на оси (или на
параллельных осях), вводится понятие
величины направленного отрезка.

Определение.
Величиной
АВ направленного
отрезка
называется число, равное,
если направления отрезка и оси совпадают,
и,
если эти направления противоположны.

Величины направленных
отрезков
ипри любом направлении оси отличаются
знаками.

Если точки А и В
совпадают, то величина направленного
отрезка
считается равной нулю.

Определение.
Два ненулевых направленных отрезка
называются равными,
если при совмещении начал этих отрезков
совпадают и их концы. Любые два нулевых
направленных отрезка считаются равными.

Над направленными
отрезками определены следующие операции

операция сложения и умножения на число.

пределение. Суммой
направленных отрезков
иназывается направленный отрезок,
полученный при совмещении началаотрезкас концомотрезка.

Теорема. Величина
суммы направленных отрезков равна сумме
величин слагаемых отрезков.

Доказательство.
Пусть хотя бы один из отрезков
иявляется нулевым, то в этом случае сумма
совпадает с другим отрезком и утверждение
теоремы справедливо. Если оба отрезка
ненулевые, то при совмещении началаотрезкас концомотрезкаполучим, что.
Рассмотрим случай, когда оба отрезкаинаправлены в одну сторону. В этом случае
длина отрезкаравна сумме длин отрезкови,
причем направлениесовпадает с направлением каждого из
отрезкови.
Поэтому справедливо равенство.
Рассмотрим случай, когда отрезкиинаправлены в противоположные стороны.
В этом случае величины отрезковиимеют разные знаки, поэтому.
Направление отрезкасовпадает с направлением наибольшего
по длине из отрезкови,
следовательно, знак величины отрезкасовпадает со знаком числа,
т. е. справедливо равенство.
Теорема доказана.

Основное тождество.
Для любых
трех точек А, В, С, расположенных на оси,
величины направленных отрезков
,иудовлетворяют соотношению.

Это тождество
следует из доказанной выше теоремы.

Определение.
Произведением направленного отрезка
на число
называется направленный отрезок,
обозначаемый
,
длина которого равна произведению числана длину отрезка

и направление которого совпадает с
направлением отрезка

при
и противоположно направлению

при
.

Рассмотрим
произвольную прямую, на которой выбрано
направление и некоторая точка О,
называемая началом координат.

Определение.
Прямая с
выбранным направлением, масштабной
единицей и началом координат называется
координатной
осью.

Пусть М
– произвольная точка на выбранной
прямой.

Точке М
поставим в соответствие число х,
равное величине ОМ
направленного отрезка
.
Числох
называется координатой
точки М.

Таким образом,
каждой точке координатной прямой
соответствует определенное вещественное
число – ее координата. Верно и обратное
утверждение: любому вещественному числу
х
соответствует некоторая точка М на
координатной прямой, координата которой
равна х.
Следовательно, вещественные числа можно
изображать точками на координатной
прямой. Поэтому около точки на координатной
прямой часто указывают число – ее
координату.

Пусть точка М₁
имеет
координату х₁,
а точка М₂
– координату х₂.

М₁
(х₁)

М₂
(х₂)

Выразим величину
М₁М₂
направленного отрезка
через координаты точекМ₁и М₂.
Согласно основному тождеству ОМ₁+ М₁М₂
= ОМ₂.
Тогда М₁М₂
= ОМ₂
— ОМ₁, но ОМ₁
= х₁,
ОМ₂
= х₂,
поэтому М₁М₂
= х₂
– х₁.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Модуль числа — теория и решение задач

Модуль числа – это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности 🙂

А между тем она проста как апельсин. Но, чтобы ее понять, давай сначала разберемся, зачем и кому он нужен.

Вот смотри…

Ситуация первая

В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.

Например, мы не можем проехать на машине «минус 70 километров» (мы проедем 70 километров, не важно, в каком направлении), как и не можем купить «минус 5 кг апельсинов». Эти значения всегда должны быть положительными.

Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина.

Ситуация вторая

Ты покупаешь пакет чипсов «Lay’s». На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но, если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99.

И что, можно идти судиться с компанией «Lay’s», если они тебе недовесили?

Нет. Потому что «Lay’s» устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот это «плюс-минус» – это и есть модуль.

Ситуация третья

В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. В зарплате, например: «Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!» 20 тысяч – это и есть модуль.

А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от точки отсчета в любую сторону.

Ну вот, ты уже почти все знаешь. Давай теперь подробнее…

Модуль числа — коротко о главном

Определение модуля:

Модуль (абсолютная величина) числа ( displaystyle x) — это само число ( displaystyle x), если ( displaystyle xge 0), и число ( displaystyle -x), если ( displaystyle x<0):

( displaystyle left| x right|=left{ begin{array}{l}x, xge 0\-x, x<0end{array} right.)

Свойства модуля:

Модуль числа есть число неотрицательное: ( left| x right|ge 0,text{ }left| x right|=0Leftrightarrow x=0);
Модули противоположных чисел равны: ( left| -x right|=left| x right|);
Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: ( left| xcdot yright|=left| x right|cdot left|yright|);
Модуль частного двух чисел равен частному их модулей: ( displaystyle left| frac{x}{y} right|=frac{left| x right|}{left| y right|},text{ y}ne text{0});
Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|);
Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: ( left| cx right|=ccdot left| x right|) при ( displaystyle c>0);
Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: ( {{left| x right|}^{2}}={{x}^{2}}).

Кстати, в продолжение этой темы у нас есть отличная статья: «Уравнения с модулем«. Когда прочитаешь эту статью, обязательно ознакомься и со второй.

И просто чтобы ты знал, модуль часто попадается при решении квадратных уравнений или иррациональных.

Что же такое модуль числа?

Представь, что это ты.

Предположим, что ты стоишь на месте и можешь двигаться как вперёд, так и назад. Обозначим точку отправления ( 0).

Итак, ты делаешь ( 3) шага вперёд и оказываешься в точке с координатой ( 3).

Это означает, что ты удалился от места, где стоял на (3) шага (( 3) единичных отрезка).

То есть, расстояние от начала движения до точки, где ты в итоге оказался, равно ( 3).

Но ведь ты же можешь двигаться и назад!

Если от отправной точки с координатой ( 0) сделать ( 3) шага в обратную сторону, то окажешься в точке с координатой ( -3).

Какое расстояние было пройдено в первом и во втором случае?

Конечно же, расстояние, пройденное в первом и во втором случае, будет одинаковым и равным трем, ведь обе точки (( 3) и ( -3)), в которых ты оказался одинаково удалены от точки, из которой было начато движение (( 0)).

Таким образом, мы приблизились к понятию модуля.

Получается, что модуль показывает расстояние от любой точки на координатном отрезке до точки начала координат.

Так, модулем числа ( 5) будет ( 5). Модуль числа ( -5) также равен ( 5).

Потому что расстояние не может быть отрицательным! Модуль – это абсолютная величина.

Обозначается модуль просто:

( |mathbf{a}|,) (( a) — любое число).

Итак, найдём модуль числа ( 3) и ( -3):

( left| mathbf{3} right|=mathbf{3})

( left| -mathbf{3} right|=mathbf{3}.)

Основные свойства модуля

Первое свойство модуля

Модуль не может быть выражен отрицательным числом ( |mathbf{a}|text{ }ge text{ }mathbf{0})

То есть, если ( mathbf{a}) – число положительное, то его модуль будет равен этому же числу.

Если ( mathbf{a}text{ }>text{ }mathbf{0},) то ( displaystyle left| a right|=a).

Если ( a) – отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу.

Если ( atext{ }<text{ }mathbf{0},) то ( |mathbf{a}|text{ }=text{ }-mathbf{a})

А если ( a=0)? Ну, конечно! Его модуль также равен ( 0):

Если ( a=0), то ( |mathbf{a}|=mathbf{a}), или ( displaystyle left| 0 right|=0).

Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:

( left| -4 right|text{ }=text{ }left| 4 right|text{ }=text{ }4;)

( left| -7 right|text{ }=text{ }left| 7 right|text{ }=text{ }7.)

А теперь потренируйся:

( left| 9 right|text{ }=text{ }?;)
( left| -3 right|text{ }=text{ }?;)
( left| 16 right|text{ }=text{ }?;)
( left| 8 right|text{ }=text{ }?;)
( left| -17 right|text{ }=text{ }?.)

Ответы: 9; 3; 16; 8; 17.

Довольно легко, правда? А если перед тобой вот такое число: ( left| 2-sqrt{5} right|=?)

Как быть здесь? Как раскрыть модуль в этом случае? Действуем по тому же сценарию.

Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль:

если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.

Ну что, попробуем? Оценим ( 2-sqrt{5}):

( 2<sqrt{5}) (Забыл, что такое корень? Бегом повторять!)

Если ( 2<sqrt{5}), то какой знак имеет ( 2-sqrt{5})? Ну конечно, ( 2-sqrt{5}<0)!

А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:

( left| 2-sqrt{5} right|=-left( 2-sqrt{5} right)=-2+sqrt{5}=sqrt{5}-2)

Разобрался? Тогда попробуй сам:

( left| sqrt{3}-1 right|=?)
( left| 3-sqrt{7} right|=?)
( left| 2-sqrt{7} right|=?)
( left| sqrt{13}-4 right|=?)

Ответы:

( sqrt{3}-1; 3-sqrt{7}; sqrt{7}-2; 4-sqrt{13.})

Какими же ещё свойствами обладает модуль?

Во-первых, если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел.

То есть: ( |acdot bleft| text{ }=text{ } right|aleft| cdot right|b|)

Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.

Например:

( left| mathbf{5}cdot mathbf{7} right|text{ }=text{ }left| mathbf{5} right|cdot left| mathbf{7} right|text{ }=text{ }mathbf{5}cdot mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{35};)

( left| mathbf{3}cdot left( -mathbf{2} right) right|text{ }=text{ }left| mathbf{3} right|cdot left| -mathbf{2} right|text{ }=text{ }mathbf{3}cdot mathbf{2}text{ }=text{ }mathbf{6}.)

А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля? Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:

( displaystyle |frac{a}{b}|=frac{|a|}{|b|}) при условии, что ( mathbf{b}ne mathbf{0}) (так как на ноль делить нельзя).

Еще одно свойство модуля…

Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел.

( |a+bleft| text{ }le text{ } right|aleft| + right|b|)

Почему так? Всё очень просто! Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное.

Допустим, что числа ( a) и ( b) оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению. Рассмотрим на примере:

( left| mathbf{3}+mathbf{7} right|text{ }=text{ }left| mathbf{10} right|text{ }=text{ }mathbf{10})

( left| mathbf{3} right|+left| mathbf{7} right|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

Выражения также равны, если оба числа отрицательны:

( displaystyle |-3+(-7)|~=~|-3-7|~)( displaystyle=|-10|=10)

( |-mathbf{3}left| + right|-mathbf{7}|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:

( left| -mathbf{3}+mathbf{7} right|text{ }=text{ }left| mathbf{4} right|text{ }=text{ }mathbf{4})

( |-mathbf{3}left| + right|mathbf{7}|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

или

( left| mathbf{3}+left( -mathbf{7} right) right|text{ }=text{ }left| -mathbf{4} right|text{ }=text{ }mathbf{4})

( left| mathbf{3} right|+left| -mathbf{7} right|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

( mathbf{4}<mathbf{10})

Рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля

Что если перед нами такое выражение:

( left| 7x right|)

Что мы можем сделать с этим выражением?

Значение x нам неизвестно, но зато мы уже знаем, что ( |acdot bleft| text{ }=text{ } right|aleft| cdot right|b|), а значит ( left| 7x right|=left| 7 right|cdot left| x right|). Число ( 7) больше нуля, а значит можно просто записать:

Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:

( left| cx right|=ccdot left| x right|,) при ( c>0)

А чему равно такое выражение:

( {{left| x right|}^{2}}=?)

Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак?

Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему степень и ее свойства.

И что же получается? А вот что:

( {{left| x right|}^{2}}={{x}^{2}})

Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:

( {{left| 5 right|}^{2}}={{5}^{2}}=25)

( {{left| -5 right|}^{2}}=?)

Ну, и почему сомнения? Действуем смело!

( {{left| -5 right|}^{2}}={{5}^{2}}=25)

Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!

Тренировка на примерах

1. Найдите значение выражения ( |xleft| text{ }+text{ } right|y|), если ( x=text{ }-7,5text{ },y=text{ }12.)

2. У каких чисел модуль равен ( 5)?

3. Найдите значение выражений:

а) ( |3|text{ }+text{ }|-9|;)

б) ( |-5|text{ }-text{ }|6|;)

в) ( |15left| cdot right|-3|;)

г) ( displaystyle frac{|8|}{|-2|}).

Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:

Решение 1:

Итак, подставим значения ( x) и ( y) в выражение ( |mathbf{x}left| text{ }-text{ } right|mathbf{y}|.) Получим:

( |-7,5|text{ }+text{ }|12|text{ }=7,5text{ }+text{ }12text{ }=text{ }19,5.)

Решение 2:

Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное ( 5) имеют два числа: ( 5) и ( -5).

Решение 3:

а) ( |3|text{ }+text{ }|-9|=text{ }3+9=text{ }12;)
б) ( |-5|-text{ }left| 6 right|text{ }=text{ }5-6=text{ }-1;)
в) ( |15left| cdot right|-3|text{ }=text{ }15cdot 3=text{ }45;)
г) ( frac{|8|}{|-2|}=frac{8}{2}=4.)

Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!

Решение более сложных примеров

Попробуем упростить выражение ( left| sqrt{3}-2 right|+left| sqrt{3}+5 right|)

Решение:

Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу.

Но если под знаком модуля отрицательное число, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «–»).

Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.

( displaystyle sqrt{3} approx 1,7). Получается, значение первого выражения под модулем ( displaystyle sqrt{3}-2approx 1,7-2approx -0,3text{ }).

( -0,3<0), следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.

Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго – положительно:

Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «–». Вот так:

Модуль числа и его свойства (строгие определения и доказательства)

Модуль (абсолютная величина) числа ( x) — это само число ( x), если ( xge 0), и число ( -x), если ( x<0):

( left| x right|=left{ begin{array}{l}x,text{ }xge 0\-x,text{ }x<0end{array} right.)

Например: ( left| 4 right|=4;text{ }left| 0 right|=0;text{ }left| -3 right|=-left( -3 right)=3.)

Пример:

Упростите выражение ( left| sqrt{5}-3 right|+left| sqrt{5}+1 right|).

Решение:

( sqrt{5}-3<0Rightarrow left| sqrt{5}-3 right|=-left( sqrt{5}-3 right)=3-sqrt{5};)

( sqrt{5}+1>0Rightarrow left| sqrt{5}+1 right|=sqrt{5}+1;)

( left| sqrt{5}-3 right|+left| sqrt{5}+1 right|=3-sqrt{5}+sqrt{5}+1=4.)

Основные свойства модуля (итог)

Для всех ( x,yin mathbb{R}):

( left| x right|ge 0,text{ }left| x right|=0Leftrightarrow x=0;)
( left| -x right|=left| x right|;)
( left| xcdot y right|=left| x right|cdot left| y right|;)
( left| frac{x}{y} right|=frac{left| x right|}{left| y right|},text{ y}ne text{0};)
( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|)
( left| cx right|=ccdot left| x right|, при text{ }c>0)
( {{left| x right|}^{2}}={{x}^{2}})

Докажите свойство модуля: ( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|)

Доказательство:

Предположим, что существуют такие ( x;yin mathbb{R}), что ( left| x+y right|>left| x right|+left| y right|.) Возведем левую и правую части неравенства в квадрат (это можно сделать, т.к. обе части неравенства всегда неотрицательны):

( displaystyle begin{array}{l}left| x+y right|>left| x right|+left| y right|Leftrightarrow \{{left( x+y right)}^{2}}>{{left( left| x right|+left| y right| right)}^{2}}Leftrightarrow \{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}>{{x}^{2}}+2cdot left| x right|cdot left| y right|+{{y}^{2}}Leftrightarrow \xy>left| x right|cdot left| y right|Leftrightarrow \xy>left| xy right|,end{array})

а это противоречит определению модуля.

Следовательно, таких ( x;yin mathbb{R}) не существует, а значит, при всех ( x,text{ }yin mathbb{R}) выполняется неравенство ( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|.)

А теперь самостоятельно…

Докажите свойство модуля: ( left| cx right|=ccdot left| x right|, при text{ }c>0)

Воспользуемся свойством №3: ( left| ccdot x right|=left| c right|cdot left| x right|), а поскольку ( c>0text{ }Rightarrow text{ }left| c right|=c), тогда

( left| cx right|=ccdot left| x right|), ч.т.д.

Упростите выражение ( left| frac{31}{8}-sqrt{15} right|+left| frac{15}{4}-sqrt{15} right|)

Чтобы упростить, нужно раскрыть модули. А чтобы раскрыть модули, нужно узнать, положительны или отрицательны выражения под модулем:

Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
репетиторский стаж — c 2003 года;
в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

Источник

Видеоурок 1: Что Такое Модуль Числа И Как С Ним Разобраться. Часть 1

Видеоурок 2: Что Такое Модуль Числа И Как С Ним Разобраться. Часть 2

Лекция: Модуль (абсолютная величина) числа

Модуль числа — это величина, которая не может быть отрицательной.

Например, если в условии задачи Вам не важно, какое число больше, а какое меньше, а лишь важно, какая разница между ними, то вы находите именно модуль. Если рассматривать числовую прямую, то модуль — это расстояние между двумя точками. Например, расстояние между точкой 0 и точкой -10 равно десяти, то есть числу не отрицательному.

Для модуля справедливо следующее соотношение:

Например, если у вас есть выражения:

В первом случае мы опускаем модуль без каких-либо изменений, поскольку величина, получившаяся под его знаком, всегда будет положительной. Во втором случае в соотношение вносится знак минус, который меняет слагаемые местами.

Основные свойства модулей:

Источник

References

About This Article

Did this article help you?

Альтернативные определения

Абсолютная величина комплексного числа

История

См. также

1.4. Геометрическое изображение вещественных чисел

Модуль числа — теория и решение задач

Модуль числа — коротко о главном

Что же такое модуль числа?

Основные свойства модуля

Тренировка на примерах

Решение более сложных примеров

Модуль числа и его свойства (строгие определения и доказательства)

Основные свойства модуля (итог)

Докажите свойство модуля: ( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|)

Докажите свойство модуля: ( left| cx right|=ccdot left| x right|, при text{ }c>0)

Упростите выражение ( left| frac{31}{8}-sqrt{15} right|+left| frac{15}{4}-sqrt{15} right|)

Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах

Не пропустите также: