Как найти абсолютную величину действительного числа

In mathematics, the absolute value or modulus of a real number , denoted , is the non-negative value of without regard to its sign. Namely, if is a positive number, and if is negative (in which case negating makes positive), and . For example, the absolute value of 3 is 3, and the absolute value of −3 is also 3. The absolute value of a number may be thought of as its distance from zero.

Generalisations of the absolute value for real numbers occur in a wide variety of mathematical settings. For example, an absolute value is also defined for the complex numbers, the quaternions, ordered rings, fields and vector spaces. The absolute value is closely related to the notions of magnitude, distance, and norm in various mathematical and physical contexts.

Terminology and notation[edit]

In 1806, Jean-Robert Argand introduced the term module, meaning unit of measure in French, specifically for the complex absolute value,^[1][2] and it was borrowed into English in 1866 as the Latin equivalent modulus.^[1] The term absolute value has been used in this sense from at least 1806 in French^[3] and 1857 in English.^[4] The notation |x|, with a vertical bar on each side, was introduced by Karl Weierstrass in 1841.^[5] Other names for absolute value include numerical value^[1] and magnitude.^[1] In programming languages and computational software packages, the absolute value of x is generally represented by abs(x), or a similar expression.

The vertical bar notation also appears in a number of other mathematical contexts: for example, when applied to a set, it denotes its cardinality; when applied to a matrix, it denotes its determinant. Vertical bars denote the absolute value only for algebraic objects for which the notion of an absolute value is defined, notably an element of a normed division algebra, for example a real number, a complex number, or a quaternion. A closely related but distinct notation is the use of vertical bars for either the Euclidean norm^[6] or sup norm^[7] of a vector in , although double vertical bars with subscripts ( and , respectively) are a more common and less ambiguous notation.

Definition and properties[edit]

Real numbers[edit]

For any real number , the absolute value or modulus of is denoted by , with a vertical bar on each side of the quantity, and is defined as^[8]

The absolute value of is thus always either a positive number or zero, but never negative. When itself is negative (), then its absolute value is necessarily positive ().

From an analytic geometry point of view, the absolute value of a real number is that number’s distance from zero along the real number line, and more generally the absolute value of the difference of two real numbers (their absolute difference) is the distance between them.^[9] The notion of an abstract distance function in mathematics can be seen to be a generalisation of the absolute value of the difference (see «Distance» below).

Since the square root symbol represents the unique positive square root, when applied to a positive number, it follows that

This is equivalent to the definition above, and may be used as an alternative definition of the absolute value of real numbers.^[10]

The absolute value has the following four fundamental properties (a, b are real numbers), that are used for generalization of this notion to other domains:

Non-negativity, positive definiteness, and multiplicativity are readily apparent from the definition. To see that subadditivity holds, first note that where , with its sign chosen to make the result positive. Now, since and , it follows that, whichever of is the value of , one has for all real . Consequently, , as desired.

Some additional useful properties are given below. These are either immediate consequences of the definition or implied by the four fundamental properties above.

	Idempotence (the absolute value of the absolute value is the absolute value)
	Evenness (reflection symmetry of the graph)
	Identity of indiscernibles (equivalent to positive-definiteness)
	Triangle inequality (equivalent to subadditivity)
(if )	Preservation of division (equivalent to multiplicativity)
	Reverse triangle inequality (equivalent to subadditivity)

Two other useful properties concerning inequalities are:

These relations may be used to solve inequalities involving absolute values. For example:

The absolute value, as «distance from zero», is used to define the absolute difference between arbitrary real numbers, the standard metric on the real numbers.

Complex numbers[edit]

Since the complex numbers are not ordered, the definition given at the top for the real absolute value cannot be directly applied to complex numbers. However, the geometric interpretation of the absolute value of a real number as its distance from 0 can be generalised. The absolute value of a complex number is defined by the Euclidean distance of its corresponding point in the complex plane from the origin. This can be computed using the Pythagorean theorem: for any complex number

where and are real numbers, the absolute value or modulus of is denoted and is defined by^[11]

the Pythagorean addition of and , where and denote the real and imaginary parts of , respectively. When the imaginary part is zero, this coincides with the definition of the absolute value of the real number .

When a complex number is expressed in its polar form as its absolute value is

Since the product of any complex number and its complex conjugate , with the same absolute value, is always the non-negative real number , the absolute value of a complex number is the square root of which is therefore called the absolute square or squared modulus of :

This generalizes the alternative definition for reals: .

The complex absolute value shares the four fundamental properties given above for the real absolute value. The identity is a special case of multiplicativity that is often useful by itself.

Absolute value function[edit]

The real absolute value function is continuous everywhere. It is differentiable everywhere except for x = 0. It is monotonically decreasing on the interval (−∞, 0] and monotonically increasing on the interval [0, +∞). Since a real number and its opposite have the same absolute value, it is an even function, and is hence not invertible. The real absolute value function is a piecewise linear, convex function.

For both real and complex numbers the absolute value function is idempotent (meaning that the absolute value of any absolute value is itself).

Relationship to the sign function[edit]

The absolute value function of a real number returns its value irrespective of its sign, whereas the sign (or signum) function returns a number’s sign irrespective of its value. The following equations show the relationship between these two functions:

or

and for x ≠ 0,

Derivative[edit]

The real absolute value function has a derivative for every x ≠ 0, but is not differentiable at x = 0. Its derivative for x ≠ 0 is given by the step function:^[12][13]

The real absolute value function is an example of a continuous function that achieves a global minimum where the derivative does not exist.

The subdifferential of |x| at x = 0 is the interval [−1, 1].^[14]

The complex absolute value function is continuous everywhere but complex differentiable nowhere because it violates the Cauchy–Riemann equations.^[12]

The second derivative of |x| with respect to x is zero everywhere except zero, where it does not exist. As a generalised function, the second derivative may be taken as two times the Dirac delta function.

Antiderivative[edit]

The antiderivative (indefinite integral) of the real absolute value function is

where C is an arbitrary constant of integration. This is not a complex antiderivative because complex antiderivatives can only exist for complex-differentiable (holomorphic) functions, which the complex absolute value function is not.

Distance[edit]

The absolute value is closely related to the idea of distance. As noted above, the absolute value of a real or complex number is the distance from that number to the origin, along the real number line, for real numbers, or in the complex plane, for complex numbers, and more generally, the absolute value of the difference of two real or complex numbers is the distance between them.

The standard Euclidean distance between two points

and

in Euclidean n-space is defined as:

This can be seen as a generalisation, since for and real, i.e. in a 1-space, according to the alternative definition of the absolute value,

and for and complex numbers, i.e. in a 2-space,

The above shows that the «absolute value»-distance, for real and complex numbers, agrees with the standard Euclidean distance, which they inherit as a result of considering them as one and two-dimensional Euclidean spaces, respectively.

The properties of the absolute value of the difference of two real or complex numbers: non-negativity, identity of indiscernibles, symmetry and the triangle inequality given above, can be seen to motivate the more general notion of a distance function as follows:

A real valued function d on a set X × X is called a metric (or a distance function) on X, if it satisfies the following four axioms:^[15]

Generalizations[edit]

Ordered rings[edit]

The definition of absolute value given for real numbers above can be extended to any ordered ring. That is, if a is an element of an ordered ring R, then the absolute value of a, denoted by |a|, is defined to be:^[16]

where −a is the additive inverse of a, 0 is the additive identity, and < and ≥ have the usual meaning with respect to the ordering in the ring.

Fields[edit]

The four fundamental properties of the absolute value for real numbers can be used to generalise the notion of absolute value to an arbitrary field, as follows.

A real-valued function v on a field F is called an absolute value (also a modulus, magnitude, value, or valuation)^[17] if it satisfies the following four axioms:

Where 0 denotes the additive identity of F. It follows from positive-definiteness and multiplicativity that v(1) = 1, where 1 denotes the multiplicative identity of F. The real and complex absolute values defined above are examples of absolute values for an arbitrary field.

If v is an absolute value on F, then the function d on F × F, defined by d(a, b) = v(a − b), is a metric and the following are equivalent:

An absolute value which satisfies any (hence all) of the above conditions is said to be non-Archimedean, otherwise it is said to be Archimedean.^[18]

Vector spaces[edit]

Again the fundamental properties of the absolute value for real numbers can be used, with a slight modification, to generalise the notion to an arbitrary vector space.

A real-valued function on a vector space V over a field F, represented as ‖ · ‖, is called an absolute value, but more usually a norm, if it satisfies the following axioms:

For all a in F, and v, u in V,

The norm of a vector is also called its length or magnitude.

In the case of Euclidean space , the function defined by

is a norm called the Euclidean norm. When the real numbers are considered as the one-dimensional vector space , the absolute value is a norm, and is the p-norm (see L^p space) for any p. In fact the absolute value is the «only» norm on , in the sense that, for every norm ‖ · ‖ on , ‖x‖ = ‖1‖ ⋅ |x|.

The complex absolute value is a special case of the norm in an inner product space, which is identical to the Euclidean norm when the complex plane is identified as the Euclidean plane .

Composition algebras[edit]

Every composition algebra A has an involution x → x* called its conjugation. The product in A of an element x and its conjugate x* is written N(x) = x x* and called the norm of x.

The real numbers , complex numbers , and quaternions are all composition algebras with norms given by definite quadratic forms. The absolute value in these division algebras is given by the square root of the composition algebra norm.

In general the norm of a composition algebra may be a quadratic form that is not definite and has null vectors. However, as in the case of division algebras, when an element x has a non-zero norm, then x has a multiplicative inverse given by x*/N(x).

See also[edit]

• Least absolute values

Notes[edit]

References[edit]

• Bartle; Sherbert; Introduction to real analysis (4th ed.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN 978-0-471-43331-6.
• Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1.
• Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Algebra, American Mathematical Soc., 1999. ISBN 978-0-8218-1646-2.
• Mendelson, Elliott, Schaum’s Outline of Beginning Calculus, McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2.
• O’Connor, J.J. and Robertson, E.F.; «Jean Robert Argand».
• Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp. 259–263, «Absolute Values», Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8.

External links[edit]

• «Absolute value». Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
• absolute value at PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. «Absolute Value». MathWorld.

Определение.Абсолютной величиной(илимодулем) действительного
числа(обозначается)
называется неотрицательное число,
удовлетворяющее условиям:

Ясно, что всегда

.
(3.1)

Свойства абсолютных величин:

1)
;
2);
3);
4).

Доказательство.1) Если,
тов силу (3.1). Если,
то.
Первое свойство доказано.

2) Имеем
,
отсюда.
Второе свойство доказано.

3)
,
третье свойство доказано.

Четвертое свойство доказывается так
же, как свойство 3).

Замечание. Свойство 1) распространяется
на любое число слагаемых, свойство 3) –
на любое число сомножителей.

Отметим также, что
,
т.е.худовлетворяет неравенствутогда и только тогда, когда принадлежит
интервалу.

Геометрический смысл модуля действительного
числа состоит в том, что
равен расстоянию от точкихна
числовой прямой до нуля.

§ 4. Понятие числовой последовательности. Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности, их свойства

Определение 1. Если каждому значениюn из множества
натуральных чиселставится в соответствие по определенному
закону некоторое действительное число,
то множество занумерованных действительных
чисел называетсячисловой
последовательностью .

– члены последовательности,–
сокращенная запись последовательности.
Например,.

Определение 2. Пусть даны две
последовательностии.
Последовательностиназываются соответственно суммой,
разностью, произведением и частным
последовательностейи.

Определение 3. Последовательностьназываетсяограниченной, если
множество ее членов ограничено, т.е.
существует число,
такое, что.
Последовательностьназываетсяограниченной сверху
(снизу), если существует
числоМ, такое, что.

Если последовательность
неограниченна, то для любого числа
найдется номерnтакой, что.
Ясно, что если последовательность
ограничена только снизу или только
сверху, то она неограниченна. Среди
неограниченных последовательностей
выберем бесконечно большие
последовательности.

Определение 4. Последовательностьназываетсябесконечно большой,
если для любогонайдется номерN,
такой, чтодля всех.

Всякая бесконечно большая последовательность
неограниченна, но не всякая неограниченная
последовательность бесконечно большая.
Примером этого может служить
последовательность
.

Определение 5. Последовательностьназываетсябесконечно малой,
если для любогонайдется номерN,
такой, чтодля всех.

Установим основные свойства бесконечно
малых последовательностей.

Теорема 1. Сумма двух бесконечно
малых последовательностей есть бесконечно
малая последовательность.

Доказательство. Пустьи– бесконечно малые последовательности.
Возьмемпроизвольно и положим.
По определению 5 длянайдутся номераи,
такие, чтодля всехидля всех.
Положим.
Тогда для всехи по определению 5 последовательностьбесконечно
малая. Теорема доказана.

Аналогично доказываются

Теорема 2. Разность двух бесконечно
малых последовательностей есть бесконечно
малая последовательность.

Следствие. Алгебраическая сумма
любого конечного числа бесконечно малых
последовательностей есть бесконечно
малая последовательность.

Теорема 3. Произведение ограниченной
последовательности на бесконечно малую
последовательность есть бесконечно
малая последовательность.

(Можно поручить студентам доказать
теоремы 2, 3 и следствие самостоятельно).

Теорема 4. Всякая бесконечно малая
последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть– бесконечно малая последовательность.
Положим.
По определению 5 найдется номерN,
такой, чтодля всех.
Обозначим.
Тогдадля всехn. Теорема
доказана.

Следствие теорем 3и 4. Произведение
двух (любого конечного числа) бесконечно
малых последовательностей есть бесконечно
малая последовательность.

Теорема 5. Если все члены бесконечно
малой последовательности равны одному
и тому же числус, то.

Доказательство. Предположим
противное, т.е. что.
Возьмем.
По определению 5 найдется номерN,
такой, чтодля всех,
т.е.для всех,
а этого не может быть, так какдля всехn. Противоречие
доказывает утверждение теоремы.

Теорема 6. Если– бесконечно большая последовательность,
то–
бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Возьмемпроизвольно и положим.
Тогда по определению 4 найдется номерN, такой, чтодля всех значений.
Отсюдадля всех,
т.е.–
бесконечно малая последовательность
по определению 5. Теорема доказана.

Теорема 7. Если–
бесконечно малая последовательность
и все члены этой последовательности
отличны от нуля, то последовательность–
бесконечно большая (доказать
самостоятельно).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

Действительные числа

В основе применения математических методов при решении практических задач лежат вычисления и измерения. При счете используются натуральные числа. При делении целого на части натуральных чисел недостаточно. Поэтому вводятся дробные числа. Длину отрезка можно выразить с помощью рационального числа с любой точностью. В теоретических вычислениях приходится рассматривать отрезки, длины которых не выражаются с помощью рациональных чисел. По этой причине вводится понятие иррационального числа. Изменение значений величины в противоположном направлении удобнее показать отрицательными числами.

Действительные числа

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Для любого действительного числа

Два действительных числа, отличающиеся только знаками, называются противоположными числами. и —взаимно противоположные числа. Сумма двух противоположных чисел равна нулю: При , и являются взаимно обратными числами. Произведение двух взаимно обратных чисел равно единице: . Сумма, разность, произведение и отношение (делитель отличен от 0) двух действительных чисел является действительным числом. Каждой точке числовой оси соответствует одно определенное действительное число и, наоборот, каждое действительное число можно изобразить единственной точкой на числовой оси.

Для любых действительных чисел и верно только одно из соотношений: На числовой оси число, соответствующее точке, расположенной правее, больше числа, соответствующего точке, расположенной левее. Между двумя действительными числами существует бесконечное число действительных чисел. Наибольшее целое число, не превосходящее данное число, называется целой частью этого числа.

Абсолютная величина действительного числа показывает расстояние на числовой оси от точки, соответствующей этому числу, до начала отсчета.

Расстояние между двумя точками числовой оси равно абсолютной величине разности их координат и то есть, Обратите внимание на то, что

Действительные (вещественные числа)

Числа рациональные и иррациональные, положительные и отрицательные, получили название действительных или вещественных чисел. Геометрически действительные числа изображаются точками числовой оси — прямой, на которой указано положительное направление, масштаб и начальная точка (т.е. точки, изображающие 0 и 1).

Комплексные числа. Однако не успело ещё закрепиться новое расширенное понятие числа, как в процессе развития математики обнаружилось, что и новое понятие является также неудовлетворительным. В частности, решение квадратных уравнений уже на самой ранней ступени развития алгебры привело в области действительных чисел операции извлечения корня из отрицательного числа. Выяснилось, что среди действительных чисел нет ни одного такого, квадрат которого был бы величиной отрицательной, следовательно, и корень

квадратный из отрицательной величины не может быть выражен никаким действительным числом.

Мнимое число имеет вид где — действительное число, а i — «мнимая единица», определяемая равенством Выражение называется комплексным числом. Комплексные числа введены в алгебру в середине 16-го в. в связи с решением кубического уравнения. С конца 17-го в. они применяются и в математическом анализе.
 

Абсолютная величина действительного числа

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х (обозначается      |х|) называется неотрицательное действительное число,
удовлетворяющее условиям:

Свойства абсолютных величин:

1.  

2.  

3.  

4.    Пусть — положительное число, тогда неравенства и равносильны.

5.    Для любых двух действительных чисел справедливы неравенства

6.    Для любых двух действительных чисел справедливы неравенства
7. 

8.

9. 
 

Постоянные и переменные величины

Постоянной величиной называется величина, численные значения которой не меняются.

Величина с одним и тем же названием может быть постоянной (скорость равномерного движения) или переменной (скорость равномерно ускоренного движения).

Величины, которые сохраняют своё значение в любом явлении, называются абсолютными постоянными, например число

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения.

Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой величины.

Промежутком или открытым интервалом (а,b) называется совокупность всех чисел х, заключенных между данными числами  причем сами эти числа не принадлежат рассматриваемой совокупности чисел

Отрезком или закрытым интервалом называется совокупность всех чисел х, заключенных между данными числами причем оба эти числа принадлежат рассматриваемой совокупности чисел

Естественным образом определяются полуоткрытые интервалы, т.е. промежутки, открытые с одной стороны. Например: или

Определения интервалов можно сформулировать, используя вместо понятия «число» понятие «точка».

Окрестностью данной точки называется произвольный интервал содержащий эту точку внутри себя.

—————

Действительные числа

Число является одной из основных математических абстракций, изучению которой может быть посвящен самостоятельный курс. Из многих концепций построения множества действительных чисел приведем аксиоматическую.

Определение 1.17. Множество R называется множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными (действительными) числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:

1.    Аксиомы сложения
 

Определено отображение (операция сложения: + ), действующее из в , которое каждой упорядоченной паре (x, y) элементов x, y из ставит в соответствие некоторый элемент x + y ∈ , называемый суммой x и y . При этом выполняются условия:

(a)    x + y = y + x, ∀x, y ∈ (коммутативность сложения);
(b)    в существует нейтральный элемент, называемый нулем, обозначаемый 0, такой, что x + 0 = x, ∀x ∈ ;
(c)    для любого элемента x ∈ в  существует элемент, называемый противоположным к x, обозначаемый (-x), такой, что x + (-x) = 0;
(d)    x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ (ассоциативность сложения).

2.    Аксиомы умножения

Определено отображение (операция умножения: •), действующее из × в , которое каждой упорядоченной паре (x, y) элементов x, y из ставит в соответствие некоторый элемент x ∙ y ∈ , называемый произведением x и y . При этом выполняются условия:

(a)    x ∙ y = y ∙ x, ∀x,y ∈ (коммутативность умножения);
(b)    в {0} существует нейтральный элемент, называемый единицей, обозначаемый 1, такой, что 1 ∙ x = x, ∀x ∈ ;
(c)    для любого элемента x ∈ {0} существует в {0} обратный элемент, обозначаемый 1/x или x-1, такой, что x ∙ (1/x) = 1;
(d)    x ∙ (y ∙ z) = (x ∙ y) ∙ z, ∀x,y,z ∈ (дистрибутивность умножения). Операции сложения и умножения связаны условием:
(e)    (x + y) ∙ z = x ∙ z + y ∙ z, ∀x,y., z ∈ (дистрибутивность умножения по отношению к сложению).

Множество, на котором определены обе операции, и которые удовлетворяют группам аксиом 1 и 2, называется алгебраическим полем.

(Часто знак операции умножения в математических выражениях опускают и вместо x ∙ y пишут xy.)

3.    Аксиомы порядка

Для любых элементов x, y ∈ определено отношение , то есть либо x y, либо y x. При этом выполняются условия:
(a)    x x, ∀x ∈ ;
(b)    если x, y ∈ таковы, что x y и y x, то x = y;
(c)    если x, y, z ∈ таковы, что x y и y z, то x z (транзитивность);
(d)    если x, y, z ∈ и x y, то x + z y + z;
(e)    если x,y ∈ и 0 x, 0 6 y, то 0 x ∙ y.

Если X и Y — непустые подмножества множества , обладающие тем свойством, что для любых элементов x ∈ X и y ∈ Y выполняется неравенство x y, то существует такое число c, что 

x c y, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.

Эту аксиому часто называют принципом отделимости.

Можно доказать, что во введенном множестве R имеют место все, известные из школьного курса математики, свойства чисел. Желающие могут получить их самостоятельно или изучить соответствующий раздел в книгах [2] или [6].

Важнейшие подмножества действительных чисел

Определение 1.18. Множество X ⊂ называется множеством натуральных чисел, а его элементы — натуральными числами, если X — наименьшее числовое множество, которое содержит единицу и вместе с каждым элементом x содержит элемент x + 1.

Множество натуральных чисел обозначают через , а его произвольный элемент — через n. Число 1 + 1 ∈ обозначают символом 2 и называют двойкой, число 2 + 1 обозначают символом 3 и называют тройкой и так далее. Можно доказать, что

0 1 2 ∙∙∙ nn + 1 … и = {1, 2,…,n,n + 1,… }.

Прямым следствием определения 1.18 является принцип математической индукции.
Если подмножество E множества натуральных чисел таково, что 1 ∈ E и вместе с числом x ∈ E множеству E принадлежит x + 1, то E = .

Иллюстрируя этот принцип в действии, докажем с его помощью формулу, называемую формулой бинома Ньютона:

или коротко 

              (1.1)
В этой формуле a, b — произвольные действительные числа, n — произвольное натуральное число,

Пусть E — множество тех натуральных чисел n, для которых справедлива формула (1.1). При  , что соответствует формуле (1.1). Поэтому n = 1 ∈ E.

Покажем, что если n ∈ E , то n + 1 ∈ E :

Но  и при k = 1,2,3…n, 

поэтому

Таким образом, n + 1 ∈ E и, следовательно, E = .

Числа = 0, 1, 2, . . . n, называют биномиальными коэффициентами. Из формулы (1.1) следует, что

Определение 1.19. Множество, состоящее из всех натуральных чисел, им противоположных и нуля называют множеством целых чисел и обозначают символом Z.

Определение 1.20. Множество {m/n ∈ | m ∈ , n ∈ } называют множеством рациональных чисел и обозначают через . Элемент множества называют рациональным числом.

Можно доказать, что (например, можно доказать, что в не существует числа s такого, что s ∙ s = 2).

Определение 1.21. Действительные числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными.

Часто полезна «геометрическая терминология в которой множество называют числовой прямой, его элементы — точками числовой прямой.

Пусть a, b ∈ и a b, то есть a b и a  b. Введем следующие обозначения и названия для перечисленных ниже числовых множеств:

[a, b] := {x ∈ | a x y} — отрезок ab (или сегмент ab);
(a, b) := {x ∈ | a x b} — интервал ab;
(a, b] := {x ∈ | a x b} — полуинтервал ab, содержащий b;
[a, b) := {x ∈ | a x b} — полуинтервал ab, содержащий a.

Введенные множества называют промежутками, числа a и b — их концами, число b — a — длиной промежутка.

Часто удобно дополнить множество элементами, обозначаемыми символами +∞ и -∞, которые называют соответственно плюс бесконечность и минус бесконечность. При этом считают, если a ∈ R, что

-∞ +∞; -∞ a +∞,
+∞ + (+∞) = +∞; a + (+∞) = +∞,
-∞ + (-∞) = -∞; a + (-∞) = -∞,
+∞ ∙ (+∞) = +∞, -∞ ∙ (-∞) = +∞,
±∞ ∙ a = ±∞, если a > 0,
±∞ ∙ a = ±∞, если a 0.

Множество , дополненное символами +∞ и -∞, называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается . Следующие множества (a ∈ ) называют неограниченными промежутками:

[a, +∞) = {x ∈ | x ≥ a}, (a, +∞) = {x ∈ | a x},

(-∞, a] = {x ∈ | x a}, (-∞, a) = {x ∈ | x a},

В этих обозначениях часто пишут: = (-∞, +∞).

——————

Действительные числа

Определение действительного числа по Дедекинду

Одним из основных понятий, изучаемых в курсе математического анализа, является понятие действительного числа. Оно возникает в школьном курсе элементарной алгебры фактически на интуитивном уровне как развитие понятия о числе — от натуральных чисел к целым, от целых к рациональным, от рациональных к действительным. В нашу задачу не входит сейчас аккуратное выведение этой цепочки из основных представлений о натуральных числах и их свойствах. Будем считать, что понятие рационального числа и основные свойства рациональных чисел, а также другие вопросы школьного курса элементарной алгебры (в частности, основная символика теории множеств) хорошо известны. Напомним, что множество натуральных чисел обозначается N, множество целых чисел — Z. множество рациональных чисел — Q.

При переходе к действительным числам (множество которых обозначается R) возникает качественно новое понятие непрерывности, присущее именно математическому анализу Поэтому этот шаг будет разобран подробно и аккуратно.

Определение 1.1. Сечением а множества рациональных чисел Q называется такое разбиение Q на два непустых множества , что для всех выполняется неравенство х < х’. Множество А называется нижним классом сечения, множество — верхним классом.

Применяется обозначение

Приведём простейшие примеры сечений.

Напомним, что не существует рационального числа такого, что г² = 2.

Легко видеть, что в примере 1) в нижнем классе А есть наибольший элемент в верхнем классе А’ нет наименьшего элемента. В примере 2) в A нет наибольшего элемента, в А’ есть наименьший. В примере 3) в A нет наибольшего элемента, в А’ нет наименьшего.

Докажем, например, что в примере 3) в A нет наибольшего элемента (значком □ будем обозначать начало доказательства, значком ■ — конец доказательства).

□ Доказательство от противного. Пусть в А есть наибольший элемент г. Тогда г > 0, г² < 2. Но легко заметить, что найдётся рациональное число такое, что 2. В самом деле, последнее неравенство равносильно г²2, что заведомо выполняется при  т.е. при Для таких n число : это противоречит тому, что г — наибольший элемент в А. Значит, в А нет наибольшего элемента.    ■

Докажем теперь, что невозможен случай, когда в А есть наибольший элемент, в А’ есть наименьший.

□ Пусть существуют — соответственно наибольший и наименьший элементы в этих классах. Выберем рациональное число такое, что (например, . Так как , то , так как , то — это невозможно, так как любое рациональное число принадлежит либо А, либо А’.    

Итак, существуют сечения трёх типов.

I. В нижнем классе есть наибольший элемент, в верхнем нет наименьшего.

II. В нижнем классе нет наибольшего элемента, в верхнем есть наименьший.

III. В нижнем классе нет наибольшего элемента, в верхнем нет наименьшего.

Определение 1.2. Иррациональным числом называется сечением III типа.

В случаях I и II говорят, что сечение производится рациональным числом (соответствующим наибольшему элементу в нижнем классе или наименьшему в верхнем). Сечения I и II типов отождествляются с соответствующими рациональными числами. Чтобы соответствие было взаимно однозначным, сечения типа I в дальнейшем не рассматриваются.

Например, сечение в примере 1) мы не будем рассматривать. Сечение в примере 2) — это рациональное число 1. Сечение в примере 3) — это иррациональное число (которое естественно объявить корнем квадратным из 2, не придавая пока этому термину строгого смысла).

Определение 1.3. Действительным (вещественным) числом называется любое сечение II или III типов. Множество действительных чисел обозначается R. Сечения II типа отождествляются с соответствующими рациональными числами.

У сечений, соответствующих действительным числам, в нижнем классе нет наибольшего элемента. Если в верхнем классе есть наименьший элемент — сечение является рациональным числом, если нет — иррациональным.

Определение 1.4. Два действительных числа называются равными, если А = В, А’ = В’ (совпадают как множества, достаточно требовать только А = В).

Определение 1.5. Рассмотрим два неравных действительных числа . Говорят, что , если (т.е. ) , если (т.е. ; включения множеств считаются строгими.

Символ > читается «больше», символ < читается «меньше». На рис. 1.1 изображена ситуация, возникающая при .

Из свойств числовых множеств очевидно следует, что:

1) тогда и только тогда, когда ;

2) если , то ; если , то (транзитивность отношений неравенства).

Теорема 1.1. Если действительные числа не равны (применяется обозначение ), то либо , либо .

□ Пусть А и В — нижние классы сечений соответственно; тогда . Нужно доказать, что либо , либо

Но если включение не выполнено, то существует рациональное число г₁ такое, что . Если включение не выполнено, то существует рациональное число г₂ такое, что . Но тогда , т.е. одновременно. Полученное противоречие показывает, что либо , либо .    

Доказанная теорема выражает свойство упорядоченности множества действительных чисел (если два числа не равны, то одно из них больше другого).

Теорема 1.2 (плотность рациональных чисел во множестве действительных чисел). Для любых действительных чисел таких, что , найдётся рациональное число г такое, что .

□    Так как , то для соответствующих нижних классов (строгое включение). Значит, найдётся рациональное число г такое, что (см. рис. 1.2). Так как в нижнем классе нет наибольшего элемента, то . Если — иррациональное число, то и всё доказано. Если — рациональное число, то . Так как в А нет наибольшего элемента, то в качестве г можно рассмотреть число из А, которое больше .    

3амечание. Таких рациональных чисел г между можно вставить бесконечно много (сначала  затем между и а и т.д.).

Теорема 1.3 (принцип Архимеда). Для любого действительного числа а существует натуральное число n, большее а.

□    Пусть . Любое рациональное число (кроме самого a, если ) таково, что . Выберем натуральное , тогда .    

Следующее утверждение мы назовём леммой. Принципиального различия между теоремами и леммами нет, и то, и другое — утверждения, доказываемые в настоящем курсе. Теоремами обычно называют более фундаментальные утверждения, обладающие достаточной общностью формулировки, часто используемые в дальнейшем. Леммы обычно имеют более специальные формулировки и не так широко применяются в последующем изложении.

Лемма 1.1. Пусть —действительные числа. Если для любого положительного рационального числа s найдутся рациональные числа такие, что

(Иными словами, если два действительных числа можно зажать между двумя сколь угодно близкими рациональными числами, то они равны.)

Как и в школьной программе, знак означает что либо числа равны, либо первое меньше второго (аналогично применяется знак )

□Пусть , для определённости . По теореме 1.2 найдутся рациональные числа такие, что . Рассмотрим положительное рациональное число и соответствующие ему по условию рациональные числа . Так как то  откуда что противоречит тому, что

3амeчание. При формулировке подобных утверждений рекомендуется применять сокращённые записи, содержащие кванторы (для любого, для всех, для каждого) и (существует, найдётся). Например, теорема 1.2 может быть сформулирована так:

Лемма 1.1 может быть сформулирована так:

Такие записи являются лишь удобным сокращением словесных формулировок, и не следует считать, что в каждом конкретном случае данная запись является единственно возможной. Конечно, можно поставить вопрос о формальном языке, необходимом для таких записей, и довести их до логического совершенства. При этом придётся ввести символы (или), (и),  (пусть) и т.д.; придётся также договориться об аккуратности использования знаков : ;  скобок и т.д. Ещё раз подчёркиваем, что такая постановка вопроса не является существенной для курса математического анализа. Без сокращённых логических записей можно обойтись, они просто очень удобны для восприятия и позволяют экономить бумагу и время.

Во множестве действительных чисел можно строить сечения так же, как и во множестве рациональных чисел.

Определение 1.6. Сечением множества действительных чисел R называется такое разбиение R на два непустых множества , что для всех выполняется неравенство .

Одновременное существование наибольшего элемента в нижнем классе и наименьшего элемента в верхнем классе невозможно; доказательство аналогично соответствующему утверждению для сечений во множестве рациональных чисел. Оказывается, во множестве действительных чисел не может быть и сечений III типа. Имеет место

Теорема 1.4 (Дедекинда). Для любого сечения во множество R существует действительное число которое является либо наибольшим элементом в . либо наименьшим в

□ Пусть А — множество всех рациональных чисел из

—множество всех рациональных чисел из . Очевидно,

—сечение в Q, которое определяет некоторое действительное число . Либо , либо . Пусть для определённости покажем, что — наибольший элемент в (аналогично, если , доказывается, что — наименьший элемент в А’).

Предположим, что , но не является наибольшим в т.е. существует действительное число . По теореме 1.2 существует рациональное число г такое, что . Очевидно, ; значит, . Итак, г принадлежит нижнему классу сечения в Q, определяемому числом  но в то же время  Полученное противоречие показывает, что — наибольший элемент в .    ■

Заметим, что здесь не игнорируются сечения такие, что в нижнем классе есть наибольший элемент. В своё время это нужно было для установления взаимно однозначного соответствия между сечениями в Q и множеством R, здесь похожей необходимости нет.

Теорема Дедекинда отражает свойство полноты или непрерывности множества действительных чисел. Иррациональные числа, как сечения III типа, фактически являлись «дырками» во множестве рациональных чисел. Введение действительных чисел заполнило эти дырки. Теорема Дедекинда показывает, что во множестве действительных чисел таких дырок нет.

Свойство непрерывности показывает существенное отличие множества R от множества Q. Рассмотренные ранее свойства — упорядоченность, плотность, принцип Архимеда — имели место и во множестве Q.

Ограниченные множества. Точные верхние и нижние грани

Определение 1.7. Множество X, состоящее из действительных чисел, называется ограниченным сверху, если найдётся действительное число М такое, что для всех элементов х множества X выполняется неравенство . Множество X, состоящее из действительных чисел, называется ограниченным снизу, если найдётся действительное число m такое, что для всех элементов х множества X выполняется неравенство . Число М в этих определениях называется верхней границей множества X, число m — нижней границей. Множество X называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

На языке кванторов ограниченность множества X сверху описывается следующей сокращённой записью:

Ограниченность снизу описывается так:

Пример 1.1. Пусть , т.е. X — множество рациональных точек отрезка [0; 1]. Это множество ограничено, так как для всех выполняются неравенства . Верхняя граница 1, нижняя граница 0. В то же время верхней границей может быть, например, число 2, нижней — число — 1.

Таким образом, верхняя и нижняя границы множества определены неоднозначно.

Попытаемся сформулировать высказывание «Множество X, состоящее из действительных чисел, не является ограниченным сверху», не применяя частиц и приставок типа «не» и «нет», т.е. в позитивном смысле. Что означает невыполнение (1.1)? Это значит, что для любого действительного числа М не выполняется высказывание . Иными словами, для любого действительного числа М найдётся элемент  для которого выполняется противоположное неравенство х > М.

Запишем окончательно на языке кванторов, что означает неограниченность множества X сверху:

Наблюдая преобразование (1.1) в (1.2), мы можем сформулировать формальное правило построения отрицаний в позитивном смысле:

1) кванторы меняются друг на друга, т.е. превращается в   превращается в ;

2)высказывания, стоящие при кванторах, не меняются;

3)существенные высказывания, не стоящие при кванторах, меняются на противоположные.

Пример 1.2. Множество N натуральных чисел ограничено снизу , но не является ограниченным сверху — принцип Архимеда).

Определение 1.8. Действительное число л называется точной верхней гранью множества , если это число является верхней границей множества X, а никакое меньшее число не является верхней границей X.

На языке кванторов это описывается как конъюнкция (т.е. одновременное выполнение) двух высказываний:

Логический символ («и») означает одновременное выполнение двух высказываний.

Точная верхняя грань обозначается sup («supremum»):

Определение 1.9. Действительное число называется точной нижней гранью множества , если это число является нижней границей множества X, а никакое большее число не является нижней границей X.

На языке кванторов записывается конъюнкция двух высказываний:

Точная нижняя грань обозначается inf («infimum»):

Из определений следует, что sup X — это наименьшая из верхних границ множества X, a inf X — это наибольшая из нижних границ. Пока ниоткуда не следует, что эти наименьшая из верхних и наибольшая из нижних границ существуют. Дело в том, что ограниченное сверху множество может иметь наибольший элемент, а может и не иметь; ограниченное снизу множество может иметь наименьший элемент, а может и не иметь.

Лемма 1.2. Если множество имеет наибольший элемент а, то а = sup X. Если множество имеет наименьший элемент , то

□    Доказательство приведём для наибольшего элемента, вторая часть доказывается аналогично.

Так как а — наибольший элемент X, то для всех выполнено неравенство . С другой стороны, какое бы число мы ни взяли, число л является элементом множества, и ; значит, для любого найдётся элемент X, больший а’. Доказано, что а = supX.    ■

Но может быть и так, что во множестве нет наибольшего (наименьшего) элемента, а точная верхняя (нижняя) грань существует. В этом случае говорят, что точная верхняя (нижняя) грань не достигается.

Пример 1.3. Пусть —множество всех чисел вида . Очевидно, наибольшим элементом множества является число 1; по лемме 1.2 supX = 1 (точная верхняя грань множества достигается).

С другой стороны, ясно, что при всех выполняется неравенство ; множество ограничено снизу, но наименьшего элемента в нём нет. Докажем, что inf X = 0 (таким образом, точная нижняя грань не достигается).

□    В самом деле, для всех  выполняется неравенство  Но какое бы число мы ни взяли, найдутся рациональное число г такое, что (теорема 1.2), и натуральное число п такое, что т.е. (свойства неравенств между рациональными числами мы считаем известными). Поэтому . Итак, для любого найдётся число такое, что . Доказано, что inf X = 0. ■

Теорема 1.5 (о точной верхней (нижней) грани). Для любого непустого множества действительных чисел, ограниченного сверху, существует и единственна точная верхняя грань. Для любого непустого множества действительных чисел, ограниченного снизу, существует и единственна точная нижняя грань.

□ Доказательство проведём для точной верхней грани, вторая часть доказывается аналогично (отметим, что пустое множество формально является ограниченным сверху и снизу, но говорить о точных верхней и нижней гранях бессмысленно).

Пусть сначала ограниченное сверху множество имеет наибольший элемент. Тогда по лемме 1.2 этот элемент является точной верхней гранью.

Пусть теперь в X нет наибольшего элемента. Проведём сечение во множестве К так, что А’ — это все верхние границы X (они существуют в силу ограниченности X сверху), а — все остальные числа. Ясно, что , для любых выполняется неравенство (ясно, что , но если , то число х больше некоторой верхней границы, значит, х — тоже верхняя граница, а это не так). При этом (если какой-то элемент X является верхней границей, то он наибольший в X, а мы рассматриваем случай, когда наибольшего элемента нет).

По теореме Дедекинда существует действительное число a либо наибольшее в , либо наименьшее в . Но если a — наибольшее число в , то, так как — верхняя граница для X, т.е. — противоречие. Значит, a — наименьшее число в (наименьшая из верхних границ). Итак, а — верхняя граница X, а никакое меньшее число верхней границей не является, т.е. a = supX.

Докажем теперь, что точная верхняя грань единственна. Пусть a = supX и = supX. a < (для определённости). Тогда, так как = sup X и a < , то существует элемент X, больший а. Это противоречит тому, что а = supX. ■

Отмстим ещё раз, что sup X — это наименьшая из верхних границ множества X, a inf X — это наибольшая из нижних границ X (теорема 1.5 утверждает, что во множестве верхних границ, существует наименьший элемент, а во множестве нижних границ существует наибольший элемент). Отсюда следует также

Лемма 1.3. Если число М является верхней границей множества X, то и sup . Если число m является нижней границей множества X, то и inf .

Запишем формулировку этой леммы на языке кванторов:

Отметим, кстати, что

т.е. при переходе к точной верхней (нижней) грани строгое неравенство может превратиться в нестрогое. В примере 1.3 для всех выполнено неравенство х > 0, a inf X = 0.

Определение 1.10. Если множество неограничено сверху, то по определению supX = . Если множество неограничено снизу, то по определению inf X = .

Представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями

Пусть действительное число а не является целым числом или конечной десятичной дробью. Рассмотрим соответствующее сечение во множестве рациональных чисел (в нижнем классе А нет наибольшего элемента).

Обозначим через со наибольшее целое число в А. Тогда — наименьшее целое число в А’. Так как а не целое, то . Разобьём отрезок на 10 отрезков равной длины и выберем из них тот, который содержит число

(a не совпадает с концом отрезка, так как не является конечной десятичной дробью).

Снова разбиваем полученный отрезок на 10 отрезков равной длины 0,01 и т.д., на n-м шагу получим

Здесь — «цифры», т.е. целые числа, принимающие значения 0,1, …, 9. Длина отрезка на n-м шаге равна , а концы символически записываются в виде конечных десятичных дробей:

Естественно, что если с_n = 9, то при переходе к правому концу отрезка предыдущую цифру нужно увеличить на 1, а вместо с_n + 1 написать 0. Если , то при переходе к правому концу отрезка нужно увеличить на 1, и вместо написать нули.

Так как а не является конечной десятичной дробью, то процесс никогда не оборвётся, и мы получим бесконечную последовательность цифр Бесконечную десятичную дробь можно считать представлением действительного числа а.

Например, для числа :

Описанная выше конструкция даст следующие интервалы:

Левый конец соответствующего интервала длины  обычно называют десятичным приближением n-го порядка числа a с недостатком, правый конец — десятичным приближением n-го порядка числа а с избытком; применяются обозначения соответственно . Например:

Бесконечная десятичная дробь является представлением числа .

Интересно отмстить, что в такой конструкции для числа и т.д. Поэтому = и т.д.;

Представлением числа является бесконечная десятичная дробь

Легко видеть, что для любого

причем 

Особое значение имеет случай, когда а — конечная десятичная дробь с n знаками после запятой:

или целое число:

Случай целого a можно рассматривать как частный случай конечной десятичной дроби при n = 0.

В описанной выше конструкции после n-го шага процесс оборвётся. Число ft будет являться общим концом двух отрезков длины Если a рассматривается как левый коней, правого из двух возникших отрезков, то получим уже привычную десятичную дробь:

(для иллюстрации общности процесса мы дополнили её бесконечной последовательностью нулей). Если же a рассматривать как правый конец левого из двух возникших отрезков, то а представляется как бесконечная дробь, в которой начиная с (n + 1)-го места после запятой идут девятки:

Таким образом, конечная десятичная дробь имеет два десятичных представления (с нулями, начиная с некоторого места, и с девятками, начиная с некоторого места). Например:

В любом случае при

    причём

Докажем теперь очень важную лемму, которая неоднократно будет использоваться в дальнейшем в теории действительных чисел.

Лемма 1.4. Пусть a —действительное число. Тогда для любого рационального положительного числа s найдутся paциональные числа такие, что

Иными словами, любое действительное число может быть зажато между двумя сколь угодно близкими рациональными числами.

□ Если a — рациональное число, то возьмём Ясно, что Если а — иррациональное число, то, во всяком случае, л не является конечной десятичной дробью, и

Поэтому можно взять (неравенство при любом натуральном n легко доказывается, например, по индукции). По принципу Архимеда для любого положительного рационального числа найдётся натуральное число значит,    

Мы видели, что любое действительное число представляется бесконечной десятичной дробью. Это представление единственно, если действительное число не является целым или конечной десятичной дробью, в противном случае таких представлений два. Докажем обратное утверждение.

Теорема 1.6. Любая бесконечная десятичная дробь является представлением некоторого действительного числа, причем это число определяется единственным образом.

□ Пусть — бесконечная десятичная дробь . Рассмотрим при , рациональные числа и  — приближения для данной дроби с недостатком и с избытком соответственно. Ясно, что для всех выполняется неравенство , поэтому

Пусть теперь Тогда

Применяя формулу суммы членов геометрической прогрессии, получим

поэтому . Итак, при любых натуральных значениях m и n выполняется неравенство .

Рассмотрим множества рациональных чисел

При фиксированном выполняется неравенство для любого натурального n, поэтому множество А ограничено сверху, и по лемме 1.3 его точная верхняя грань

Аналогично, при фиксированном выполняется неравенство для любого натурального n, поэтому множество В ограничено снизу, и по лемме 1.3 его точная нижняя грань

Из леммы 1.3 и последнего неравенства, верного при всех , следует, что . Итак, при всех имеют место неравенства и при ( — произвольное положительное рациональное число). По лемме 1.1 а = . Так как при , то данная бесконечная десятичная дробь является представлением числа а.

Единственность искомого действительного числа следует из леммы 1.1. В самом деле, если два числа являются представлениями одной и той же бесконечной десятичной дроби, то из неравенств (где — произвольное положительное рациональное число) следует, что

• Заказать решение задач по высшей математике

Арифметические операции с действительными числами

Нам предстоит определить для действительных чисел арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) так, чтобы сохранялись привычные свойства этих операций, а для рациональных чисел результаты операций не отличались от обычных.

Пусть  — два действительных числа. Будем рассматривать всевозможные рациональные числа  удовлетворяющие неравенствам

Определение 1.11. Суммой действительных чисел называется действительное число такое, что для любых рациональных чисел удовлетворяющих неравенствам (1.5), выполняется неравенство

Докажем корректность этого определения. Иными словами, докажем, что такое действительное число существует, определено единственным образом, а в случае рациональных построенное таким образом число совпадает с суммой рациональных чисел .

□ I) Существование. Рассмотрим множество всевозможных сумм {а + b} в условиях (1.5). Оно ограничено сверху некоторой суммой  Рассмотрим число в условиях (1.5).

Тогда при выполнении условий (1.5) . Но так как при фиксированных в условиях (1.5) выполняется неравенство для любых a, b в условиях (1.5), то по лемме 1.3, . Итак, в условиях (1.5) . Исключим равенства. Пусть найдутся a, b такие, что . Но по теореме 1.2 найдутся рациональные числа такие, что . Значит, , что противоречит определению как sup{a + b} в условиях (1.5). Значит, . Аналогично показывается, что  Построенное число удовлетворяет условиям (1.6).

II)    Единственность. По лемме 1.4 для любого положительного рационального числа найдутся рациональные числа в условиях (1.5) такие, что . Тогда

и эта разность может быть сделана сколь угодно малой. По лемме 1.1 существует единственное действительное число 7, удовлетворяющее условиям (1.6).

III)    Преемственность. Если — оба рациональные числа, то их обычная рациональная сумма удовлетворяет определению 1.11, и в силу единственности другой суммы быть не может.    ■

Теперь нужно показать, что привычные свойства операции сложения сохраняются для определённого таким образом сложения действительных чисел. Ввиду большого количества этих свойств будут проведены доказательства лишь некоторых из них; доказать остальные читатели смогут самостоятельно (наиболее существенные моменты будут показаны в доказательствах, приведённых здесь).

Свойства сложения действительных чисел

1) (коммутативность).

□    Рассмотрим рациональные числа  удовлетворяющие условиям (1.5). Тогда для чисел  (пока мы не знаем, что они равны)

Так как сложение рациональных чисел коммутативно, то а, поэтому действительные числа заключены в одних и тех же границах, разность между которыми может быть сделана сколь угодно малой (аналогично II в доказательстве корректности определения 1.11). По лемме 1.1

2) (ассоциативность).

3)

4)Для любого действительного числа а найдётся число , называемое противоположным числом и обозначаемое такое, что

□    Если а — рациональное число, то , где (-а) — соответствующее рациональное число. Пусть теперь — иррациональное число. Рассмотрим число такое, что — множество всех элементов со знаком минус, — множество всех элементов А со знаком минус. Очевидно, что это сечение, где в нет наибольшего, а в нет наименьшего элемента, т.е. — иррациональное число. Рассмотрим всевозможные рациональные числа такие, что , тогда . По определению суммы действительных чисел число удовлетворяет неравенствам По лемме 1.4 разность а’ — а может быть сделана меньше  где — произвольное положительное рациональное число. Тогда разность , и по лемме 1.1     ■

Так как операция сложения во множестве действительных чисел удовлетворяет условиям 1) — 4), то на языке высшей алгебры «действительные числа образуют коммутативную группу по сложению». В такой группе противоположный элемент всегда определён единственным образом.

5)Если — два противоположных числа для действительного числа а, то

□ С одной стороны, с другой стороны,  Значит,     ■

6)Если , то для любого

□    По лемме 1.2 найдутся рациональные числа такие, что  По лемме 1.4 найдутся рациональные числа с и с’ такие, что . Отсюда получим

(свойство сложения рациональных чисел);

(определение суммы действительных чисел).

Значит,    ■

7)Если , то

□    Двукратное применение предыдущего свойства.    ■

8)Если , то

9)Если а > 0, то —а < 0.

Определение 1.12. Разностью двух действительных чисел называется число .

10) тогда и только тогда, когда (перенос слагаемого в другую часть равенства с противоположным знаком).

□    С одной стороны, с другой стороны, Значит,

11)

12) тогда и только тогда, когда тогда и только тогда, когда

Определение 1.13. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется число, обозначаемое и равное а, если , и равное —а, если а < 0.

13)

14)Если , где , то

15)

□ Так как (свойства 13 и 7) и (свойства 13, 7 и 11), то по свойству 14 

16)

Определим теперь умножение действительных чисел.

Определение 1.14. I. Пусть —два положительных действительных числа, т.е. . Будем рассматривать всевозможные рациональные числа , удовлетворяющие неравенствам

Произведением чисел называется действительное число такое, что для любых рациональных чисел  удовлетворяющих неравенствам (1.7), выполняется неравенство

II.Для любого действительного числа а

III.Если действительные числа не равны нулю, то их произведением называется действительное число  равное  если одного знака, и равное  если разных знаков.

Корректность части I определения 1.14 доказывается аналогично корректности определения 1.11. При этом доказательства существования и преемственности сохраняются дословно с заменой там, где нужно, суммы на произведение. Доказательство единственности чуть сложнее.

□    Пусть n — некоторое натуральное число, большее чисел . Тогда по смыслу определения 1.14 можно считать, что рациональные числа берутся меньшими, чем n. По лемме 1.4 для любого положительного рационального числа е найдутся рациональные числа в условиях (1.7) такие, что Тогда

и эта разность может быть сделана сколь угодно малой (мы считаем, что . По лемме 1.1 существует единственное действительное число , удовлетворяющее условиям (1.8).    ■

Свойства умножения действительных чисел аналогичны соответствующим свойствам сложения. Они здесь приводятся без доказательств, которые аналогичны доказательствам свойств сложения.

17)

18) (коммутативность).

19) (ассоциативность).

20)

21)Для любого ненулевого действительного числа а найдётся число  называемое обратным числом и обозначаемое , такое, что = 1.

Свойства 18) — 21) означают на языке высшей алгебры, что «ненулевые действительные числа образуют коммутативную группу по умножению». Свойства 1) — 4) и 18) — 21) вместе означают что «действительные числа образуют поле относительно операций сложения и умножения».

22)Обратный элемент для любого ненулевого действительного числа определён единственным образом.

23) (дистрибутивность умножения относительно сложения).

□    Рассмотрим сначала случай, когда все числа положительны. Пусть — всевозможные рациональные числа, удовлетворяющие условиям

Если n — некоторое натуральное число, большее чисел , то можно считать, что рациональные числа меньше, чем n. Для чисел (пока мы не знаем, что они равны) выполняются неравенства

(по определению суммы и произведения положительных действительных чисел). В силу дистрибутивности умножения рациональных чисел относительно сложения Поэтому действительные числа и заключены в одних и тех же границах, разность между которыми может быть сделана сколь угодно малой.

В самом деле, по лемме 1.4 найдутся рациональные числа  условиях (1.9) такие, что

существует единственное такое действительное число, откуда

К случаю положительных приводятся все остальные путём изменения знаков обеих частей равенства или переноса членов из одной части в другую. Если одно из чисел или равно нулю, то искомое равенство очевидно. ■

24)

25)Если , то ; если , то 

Определение 1.15. Частным двух действительных чисел  где , называется число

26) тогда и только тогда, когда , т.е  (здесь считается, что ).

27)Если отличны от нуля, то

28)Если , то 

29)Если  то ; если  то

30)Если а — действительное число, a n — натуральное число, то число па равно сумме п слагаемых, равных а:

Вывод. Для действительных чисел имеют место все правила элементарной алгебры, относящиеся к четырём арифметическим действиям, равенствам и неравенствам.

Естественным образом определяется аⁿ, где а — действительное, n — натуральное число:

, если если

Сохраняются все свойства степеней с целым показателем (доказательства ничем не отличаются от доказательств в школьном курсе алгебры).

Обратим теперь внимание на то, что в лемме 1.1 действительное число зажималось между рациональными потому, что у нас ещё не было понятия разности действительных чисел. Приведём теперь более общий вариант этого утверждения.

Лемма 1.5. Пусть —действительные числа. Если для любого положительного действительного числа £ найдутся действительные числа такие, что , то

□ Пусть — произвольное рациональное число; — такие действительные числа, что (они существуют по условию леммы при )

По лемме 1.4 найдутся рациональные числа такие, что

Тогда (см. рис. 1.3):

Итак, для любого рационального положительного числа 6 найдутся рациональные числа такие, что

По лемме 1.1

Счётные и несчётные множества

Определение 1.16. Два множества А и В называются эквивалентными (равномощными), если между А и В можно установить взаимно однозначное (биективное) соответствие.

Здесь мы фактически имеем дело с переводом русскоязычного термина на латинский язык (равномощный — эквивалентный, взаимно однозначное — биективное и т.д.). В принципе вполне можно было бы ограничиться русскоязычными терминами, но, поскольку их переводы очень распространены в отечественной научной и учебной литературе, их игнорировать нельзя.

Пример 1.4. Множество натуральных чисел эквивалентно множеству чётных натуральных чисел (взаимно однозначное соответствие устанавливается зависимостью ), хотя одно из этих множеств является подмножеством другого.

Определение 1.17. Множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел (т.е. если его элементы можно занумеровать в виде бесконечной последовательности).

Лемма 1.6. Любое бесконечное множество содержит счётное подмножество.

□    Выберем некоторый элемент х₁, принадлежащий данному бесконечному множеству А. Так как множество бесконечно, то можно выбрать элемент х₂ среди оставшихся элементов, х₃ среди оставшихся и т.д. Процесс не оборвётся в силу бесконечности А. Построенное счётное множество  (возможно, совпадает с A).    

Лемма 1.7. Любое бесконечное подмножество счётного множества счётно.

□    Пусть — счётное множество, В — бесконечное. Докажем, что В — счётно. Пусть Выберем первый из этих элементов, принадлежащий В:  Из оставшихся номеров выберем первый такой, что принадлежит В; (ясно, что ). Из оставшихся номеров выберем первый такой, что принадлежит , и т.д. Каждый элемент В имеется среди , поэтому через конечное число шагов он будет обозначен:  Таким образом, все элементы В занумерованы, и В — счётно.  

Лемма 1.8. Сумма конечного и счётного множеств, двух счётных множеств — счётна.

□    Напомним, что в теории множеств разностью множеств В А называется множество тех и только тех элементов, которые принадлежат В, но не принадлежат А (на диаграмме Эйлера заштрихована разность В А — см. рис. 1.4).

Из рис. 1.4 очевидны равенства

причём множества, объединяемые в правых частях этих равенств, имеют пустые пересечения.

1) Пусть А — счётно, В — конечно.

Если — также конечно (а может быть, и пусто), то — счётное множество.

2) Пусть А и В счётны. Если В А конечно, то доказательство проходит, как в первом случае. Если В А бесконечно, т.е. счётно, то В А = и — счётное множество.   ■

Теорема 1.7. Множество рациональных чисел Q счётно.

□ Достаточно доказать, что счётно множество положительных рациональных чисел Q+, так как в этом случае множество отрицательных рациональных чисел, эквивалентное ему , также счётно, и вместе с единственным числом {0} по лемме 1.8 они все в сумме образуют счётное множество. Занумеруем Q+ следующим образом (см. рис. 1.5):

Занумерованы все положительные рациональные числа, причём каждое число встречается много раз и т.д.). Таким образом, Q+ — бесконечное подмножество счётного множества. Значит, оно счётно.    ■

Следствие. Множество целых чисел Z счётно (принадлежит Q).

Теорема 1.8. Множество действительных чисел К несчётно (т.е. действительных чисел «значительно больше», чем рациональных).

□ Достаточно доказать, что несчётным является множество действительных чисел полуинтервала [0; 1) (если R — счётно, то [0; 1) — также счётно). Предположим, удалось занумеровать все числа

Выпишем десятичные представления этих чисел:

при этом конечная десятичная дробь записывается с нулями, начиная с некоторого номера (а не с девятками).

Рассмотрим число такое, что (это число существует по теореме 1.6). Такого числа нет среди  хотя . Получили противоречие тому, что все числа [0; 1) удалось занумеровать.    ■

Следствие 1. Множество иррациональных чисел несчётно (иначе вместе с Q получилось бы счётное множество R).

Следствие 2. Множество чисел любого конечного интервала несчётно.

□ Множество (0; 1) несчётно, так как иначе при добавлении одной точки 0 получилось бы счётное множество [0; 1).

Несчётность произвольного интервала (а;b) следует из того, что между (0; 1) и (a: b) можно установить взаимно однозначное соответствие по формуле

Замечание к главе I. При помощи сечений были определены лишь арифметические операции с действительными числами. Развивая этот метод, можно определить арифметический корень n-й степени из положительного действительного числа, степень положительного числа с произвольным действительным показателем, логарифмы и другие элементарные функции, известные из школьного курса алгебры. Но если этим вопросам уделить внимание в лекционном курсе математического анализа, то возникнет нехватка времени для изложения последующих очень существенных глав.

Представляется удобным и разумным пойти путём наименьшего сопротивления — не вводить пока эти элементарные функции, ограничившись в главах II и III (теория пределов последовательностей и функций) арифметическими свойствами действительных чисел. И только в главе III, после изучения свойств непрерывных функций, ввести корень n-й степени как обратную функцию к хⁿ на соответствующем промежутке, аккуратно определить степень с действительным показателем, логарифм как обратную функцию и т.д. Этот путь имеет один недостаток — обедняется практическая сторона курса, при решении иллюстрирующих примеров приходится ограничиваться арифметическими операциями. Конечно, на практических занятиях следует решать примеры с корнями, логарифмами, тригонометрическими функциями и т.д., но при этом понимать, что всё, выходящее за рамки арифметики, пока является «незаконным» и чисто иллюстративным.

Абсолютная величина – это модуль действительного числа (неотрицательное число), определение которого зависит от типа числа.