Как найти абсолютное изменение в процентах

Размерности величин

Переменная может иметь размерность: тогда эта переменная представляет из себя произведение числа и размерности, которая сама не является числом. Например, $TR=1000 руб$. Удобно воспринимать это как произведение: $1 руб= 1cdot руб = руб$. Если это выручка, полученная от пяти ящиков «Эджворта» (такой напиток), то цена напитка $P=frac{1000 руб}{5 ящ}=200frac{руб}{ящ}$.

Удобство в том, что можно переводить одни единицы измерения в другие, при этом сохраняя сам объект (в данном случае цену напитка) неизменным:
$ P=200frac{руб}{ящ}= 200frac{руб}{20 бут}=10frac{руб}{бут}$ – это ровно та же цена напитка, поэтому смело ставим знак равенства.

Такой подход удобен в быту, когда мы ограничиваемся четырьмя арифметическими операциями. Если же мы хотим моделировать взаимосвязи между экономическими переменными какими-то сложными зависимостями, то тут с размерностями получается куча неудобств: придётся писать что-то вроде $Q(P)= ящcdotsin (Pcdot frac{ящ}{руб})-Pcdotfrac{ящ^2}{руб}+10 ящ $. В эту формулу можно смело подставлять хоть $200frac{руб}{ящ}$, хоть $10frac{руб}{бут}$, и на ответ это не повлияет. Но плата за это удобство слишком высока. Вместо этого пишут так:
$ Q(P)=sin (P)-P+10 $,
а где-нибудь рядом добавляют, что цена измеряется в рублях за ящик, а количество – в ящиках. То есть, строго говоря, теперь P – это уже не цена, а то, что получается, если записать цену в рублях за ящик, а потом стереть единицу измерения. Теперь надо быть начеку: прежде чем подставлять число в формулу, нужно убедиться, что это число ящиков, а не число бутылок. Зато не надо таскать за собой ворох единиц измерения в формулах.

В последней формуле P и Q теперь формально безразмерные величины, хотя мы и помним, что за ними стоит.

Абсолютные и относительные изменения

Пусть некоторая переменная $x$ меняется со временем. Зафиксируем два момента времени и назовём их 0 и 1. Обозначим $x_0$ – первоначальное значение нашей переменной, $x_1$ – новое значение. Например, x может быть ценой на хлеб, момент 0 – началом года, а момент 1 – концом года.

Абсолютное изменение (абсолютный прирост) переменной – это разность между новым и старым значением:

$Delta x=x_1-x_0$

$Delta text{что-то} = text{новое значение этого чего-то} — text{старое значение этого чего-то}$

Абсолютное изменение измеряется в тех же единицах, что и сама переменная:
3 руб/шт – 2 руб/шт = 1 руб/шт

Абсолютные изменения часто малоинформативны. Представьте, что ваши доходы выросли на 1 млн рублей в год. Это может сильно изменить ваш образ жизни. А теперь представьте, что на тот же 1 млн рублей в год выросли доходы государственного бюджета. Много ли это? В соответствующей таблице Федеральной службы государственной статистики изменение доходов в 1 млн рублей даже не отразится, поскольку показатели там публикуются с точностью до сотен миллионов рублей. Видимо, потому что изменение в 1 млн рублей для госбюджета не слишком существенно.

Как говорится, всё относительно: один волос на голове – мало, один волос в супе – много. Чтобы оценить, насколько существенно изменение некоторой переменной, нужно сравнить его с какой-нибудь величиной той же размерности и понять, во сколько раз оно больше или меньше. Первое, что приходит в голову – сравнить изменение переменной с её первоначальным значением. Так рождается понятие относительного изменения.

$text{относительное изменение}=frac{text{абсолютное изменение}}{text{первоначальное значение}}$

$Delta_%x=frac{Delta x}{x_0}=frac{x_1-x_0}{x_0}=frac{x_1}{x_0}-1$

Я не знаю общепринятого обозначения для относительного изменения величины x, поэтому придумал своё: $Delta_%x $.

Замечу, что не для всех переменных имеет смысл считать относительное изменение. Если переменная – это количество каких-нибудь объектов, то, как правило, всё OK: если удвоилось количество денег в вашем кошельке, вы можете купить в два раза больше товаров (если цены не поменялись); в поход собралось в два раза больше людей – нужно запастись в два раза большим количеством спальных мешков, и т. п. А вот если вы узнаёте, что сегодня температура воздуха в два раза выше, чем вчера, то сам по себе этот факт мало о чём говорит. Если сейчас лето, то этот факт будет означать, что наступила жара, а если температура была чуть-чуть выше нуля, то вы можете не ощутить и стократное её увеличение. Если же вы приехали из США со своим термометром, то он в той же ситуации покажет увеличение температуры в гораздо более скромное число раз. Всё дело в условности температурных шкал: они просто дают тем большее значение, чем теплее, но начало отсчёта и единица измерения задаются достаточно произвольно.

Проценты

Относительные изменения многих переменных за типично рассматриваемые промежутки времени часто составляют несколько десятых или несколько сотых. К примеру, относительное изменение доходов госбюджета за 2008 год равно 0,20, а если с поправкой на инфляцию, то 0,06. В связи с этим (для удобства) для относительных изменений почти всегда используют особую «единицу измерения» – процент. Процент (от латинского pro centum – по отношению к ста) – это просто число $frac{1}{100}$.
$100%=100cdot %=100cdot frac{1}{100}=1$
0,20=20%
0,06=6%

Выражение «6% от чего-то» означает «6% $cdot$ это что-то». Если относительное изменение переменной x равно 6%, то это значит, что она выросла на 6% от своего первоначального значения:
$x_1=x_0+x_0cdot 6%=x_0(1+6%)=x_0(1+0,06)=1,06x_0$
Слова «от своего первоначального значения», в основном, всегда опускают для краткости, и говорят просто: «x вырос на 6%».

Замечу, что относительное изменение, формально говоря, безразмерная величина (даже если оно представлено в форме $xcdot %$), потому что оно равно некоторому числу. А вот, например, 5 кг не является безразмерной величиной, потому что 5 кг не равно никакому числу.

В процентах выражают не только относительное изменение, но и многие другие безразмерные величины. Как правило, эти величины меньше единицы, то есть меньше 100%. Приведу несколько примеров.
1) Доля, т. е. отношение части к целому. Например, уровень безработицы – отношение количества безработных к численности рабочей силы: этот показатель принципиально не больше единицы, да к тому же, как правило, не превышает 0,10, поэтому его удобно выражать в процентах.
Другой пример – ставка подоходного налога, т. е. доля той части заработанного дохода, которую вы отдаёте государству. Эта ставка тоже не бывает больше 100%, т. к. никто не станет работать, если придётся отдавать больше, чем он заработал.
2) Годовой темп инфляции (относительное изменение уровня цен за год). Он в приличных странах тоже меньше 100%, хотя теоретически он может быть сколь угодно большим.
3) Номинальная ставка процента по кредиту. Если годовая ставка равна i, то, взяв в долг сумму X, через год нужно будет вернуть $X+Xcdot i$. По каким-то неведомым мне причинам годовые ставки почти всегда меньше 100% (по крайней мере, в отсутствие высокой инфляции).
Кстати, словом «проценты» традиционно называют сумму денег, уплачиваемую за пользование кредитом; в нашем примере – величину $Xcdot i$.

Когда люди описывают изменение какой-то безразмерной величины вроде перечисленных выше, в большинстве случаев они вычисляют не относительные, а абсолютные изменения. Скажем, если уровень безработицы вырос с 5% до 6%, то удобнее говорить об абсолютном изменении в 1% ($6%-5%=1%$), чем об относительном изменении в 20% ($frac{6%-5%}{5%}=20%$). При этом, чтобы не возникало путаницы в выражении «x вырос на …», говорят «уровень безработицы вырос на 1 процентный пункт» (сокращённо «п. п.»). Ведь если сказать «уровень безработицы вырос на 1%», то можно подумать, что имеется в виду «на 1% от своего первоначального значения» (как это обычно бывает, когда говорят об изменении размерных величин), и новый уровень безработицы, таким образом, составляет $5%cdot(1+1%)=5,05%$.

Все эти ухищрения нужны для того, чтобы люди поняли друг друга правильно, когда они выражают свои мысли словами. Когда же мы пишем формулами, проблем не возникает; есть всего два варианта: $x_1=x_0+6%$ и $x_1=x_0cdot 1,06$, и мы легко можем выбрать подходящий.

Упражнение 1. Цена градусника меняется каждый год: за каждый чётный год она растёт на 10%, а за каждый нечётный – падает на 10%. Сейчас градусник стоит 100 рублей. Сколько он будет стоить через 200 лет, если ближайший год – чётный? А если нечётный?

Я много раз встречал людей, которые считают, что нельзя писать 0,06=6%, а надо писать что-то вроде: $frac{x_1-x_0}{x_0}=0,06,text{ то есть x вырос на 6%}$. Многие пишут, что относительное изменение равно $frac{x_1-x_0}{x_0}cdot 100%$, а некоторые даже используют разные термины в зависимости от того, умножили они на 100% или нет: что-то в духе «темп роста = коэффициент роста $cdot$ 100%».
К сожалению, я так и не смог понять их аргументацию. Буду рад, если кто-нибудь мне объяснит.

Несколько слов о терминологии

Относительное изменение по-другому называют процентным изменением, а ещё темпом (при)роста. В русских учебниках различают темп прироста (относительное изменение) и темп роста (темп прироста плюс 100%, ну то есть плюс единица). Спрашивается, зачем нужно два термина, если можно просто прибавить единицу? Думаю, самое разумное объяснение заключается в том, что так удобно пудрить мозги: скажем, если прибыль упала на 20%, то можно гордо заявить, что «темп роста прибыли равен 80%».

В англоговорящем мире темп прироста называется «growth rate», что часто переводят на русский как «темп роста», так что будьте начеку.

В большинстве случаев, как его ни назови, имеется в виду именно относительное изменение, а не оно плюс единица.
Кстати, если кто не заметил: «оно плюс единица» – это просто отношение нового значения к старому.

Упражнение 2. Цена уменьшилась на 10%, а выручка увеличилась на 20%. На сколько процентов изменился объём продаж?

2.2.3.1. Построение сравнительного аналитического баланса

Таблица 10

Схема построения
аналитического баланса

Изменения в
абсолютных величинах определяется
разницей между абсолютными величинами
на конец и на начало периода.

Изменения в
структуре равны разнице между
относительными величинами на конец
месяца и на начало периода.

Изменения в
процентах к величине на начало периода
определяются процентным отношением
изменений в абсолютных величинах к
абсолютной величине на начало периода.

Изменение в
процентах к изменению итога баланса
находится процентным отношением
абсолютного отклонения по строке к
изменению итога баланса.

Таблица 11

Сравнительный
аналитический баланс

Вывод:

На основании
проведенною анализа необходимо сделать
следующие выводы. Как изменился общий
итог баланса за счет следующих факторов:

1) Изменения
внеоборотных активов:

2) Изменение
оборотных средств

3) Изменение
капиталов и резервов

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

In statistics, change is differentiated into absolute change and relative change. Absolute change is the normal change or difference which we calculate in our daily calculations, but in addition, absolute change is the difference between the value of indicators of two periods. The below given simple online absolute change calculator will help you in knowing the answer to your question of ‘How to calculate absolute change’ for the given time periods.

In statistics, change is differentiated into absolute change and relative change. Absolute change is the normal change or difference which we calculate in our daily calculations, but in addition, absolute change is the difference between the value of indicators of two periods. The below given simple online absolute change calculator will help you in knowing the answer to your question of ‘How to calculate absolute change’ for the given time periods.