Как найти абсциссу точки пересечения оси ох

При проведении исследования функции, возникает задача нахождения точек пересечения этой функции с осями координат. Рассмотрим на конкретном примере алгоритм решения такой задачи. Для простоты будем работать с функцией одной переменной:

График данной функции представлен на рисунке:

Как следует из рисунка, наша функция пересекает ось

в двух точках, а ось

— в одной.

Сначала найдём точки пересечения функции

с осью
. Сразу отметим, что в этих точках координата
. Поэтому для их поиска, нам нужно
решить уравнение:

Это
квадратное уравнение
имеет два корня:

Таким образом, мы нашли две точки пересечения нашей функции с осью абсцисс:

и
. Стоит отметить, что задача поиска пересечений функции с осью

эквивалентна задаче нахождения
нулей функции.

Теперь найдём точку пересечения с осью ординат. В этой точке координата
. Поэтому для их поиска, просто подставляем значение

в нашу функцию:

Таким образом, мы нашли точку пересечения нашей функции с осью ординат
.

Точки пересечения графиков функций

В алгебре и начале анализа можно встретить множество задач на поиск точек пересечения графиков функций с помощью их построения или другими методами. Благодаря определенному алгоритму действий, найти ответ достаточно просто. В большинстве случаев решение заключается в определении корней различного вида уравнений.

График функции (y = f(x)) является множеством точек ((x; y)), координаты которых связаны соотношением (y = f(x).)

Равенство (y = f(x)) называют уравнением данного графика. Таким образом, график функции представляет собой множество точек (x; y), где x — является аргументом, а y — определяется как значение функции, соответствующее данному аргументу.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В том случае, когда графики пересекаются в какой-то точке, можно сделать вывод о существовании общего решения системы уравнений. Определить координаты точки можно с помощью графического или аналитического метода. В первом случае требуется построить график уравнения с переменной. Аналитический метод поиска координат точек, в которых графики функций пересекаются, подразумевает решение уравнения, а найденные корни и являются искомыми точками.

Как найти координаты, примеры решения

Существует несколько способов решения подобных задач:

1. Поиск точек пересечения графиков функций заключается в приравнивании обеих функций друг к другу. При этом все члены с х переносят в левую сторону, а оставшиеся – в правую. Затем остается найти корни уравнения, которое получилось после преобразований.
2. Второй метод состоит в записи системы уравнения для ее последующего решения с помощью подстановки одной функции в другую.
3. Третий способ подразумевает построение графиков функций, чтобы определить точки их пересечения визуально.

В качестве примера можно рассмотреть две линейные функции:

(f(x) = k_1 x+m_1)

(g(x) = k_2 x + m_2)

Данные функции являются прямыми. Их можно графически изобразить, если принять какие-либо два значения (x_1) и (x_2) и найти (f(x_1)) и ((x_2)). Далее действия необходимо повторить с функцией (g(x)). Затем достаточно легко определить визуально координаты точки пересечения рассматриваемых функций.

Важно отметить, что для линейных функций характерна лишь одна точка пересечения только в том случае, когда (k_1 neq k_2). В противном случае (k_1=k_2), а функции будут параллельными друг другу, в связи с тем, что k является коэффициентом угла наклона. При( k_1 neq k_2) и (m_1=m_2) точка пересечения будет соответствовать (M(0;m)). Данная закономерность упрощает решение многих подобных задач.

(g(x)=x+3)

Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики рассматриваемых функций.

Решение

В первую очередь стоит отметить, что функции являются линейными. Важно обратить внимание на коэффициент угла наклона рассматриваемых функций:

(k_1 = 2)

(k_2 = 1)

Заметим, что:

(k_1 neq k_2)

По этой причине имеется лишь одна точка пересечения графиков функций. Определить ее можно путем решения уравнения:

(f(x)=g(x))

(2x-5 = x+3)

Необходимо перенести члены с x в левую часть, а остальные — в правую:

(2x — x = 3+5)

(x =

В результате удалось найти x=8, что соответствует абсциссе точки пересечения графиков. Требуется определить ординату y с помощью подстановки x = 8 в любое из уравнений – в (f(x)), либо в (g(x)):

(f(8) = 2cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11)

Таким образом, M (8;11) – представляет собой точку, в которой пересекаются графики пары линейных функций.

Ответ: M (8;11)

(g(x) = 2x-4.)

Необходимо определить точки, в которых графики рассматриваемых функций пересекаются.

Решение

Угловые коэффициенты:

(k_1 = k_2 = 2)

Таким образом, линейные функции параллельны между собой, что объясняет отсутствие точек пересечения их графиков.

Ответ: графики функций параллельны, точки пересечения отсутствуют.

(g(x)=x^2+1)

Решение

В данном случае функции являются нелинейными. Поэтому алгоритм решения задачи будет несколько отличаться от предыдущих примеров. В первую очередь следует приравнять уравнения:

(x^2-2x+1=x^2+1)

Далее необходимо разнести в разные стороны уравнения члены с x и без него:

(x^2-2x-x^2=1-1)

(-2x=0)

(x=0)

Таким образом, будет определена абсцисса искомой точки. Затем необходимо найти ординату у. Для этого нужно подставить (x = 0) в какое-либо из двух начальных уравнений. К примеру:

(f(0)=0^2-2cdot 0 + 1 = 1)

M (0;1) является точкой, в которой пересекаются графики функций.

Ответ: M (0;1)

Приравнивание функций друг к другу и нахождение корней

Выяснить, имеют ли точки пересечения графики функций, можно путем сравнения соответствующих тождеств и решения уравнения. Однако при этом допускается получение различных равенств с неизвестными. Тогда целесообразно воспользоваться специальными методиками.

Когда уравнение относится к первой степени или является линейным, решение получить достаточно просто. Метод заключается в переносе переменных величин в одну часть уравнения, а известных – в другую. Алгоритм действий:

• раскрытие скобок, приведение подобных коэффициентов;
• перенос членов с неизвестными в одну сторону, а с известными – в другую;
• математические преобразования;
• определение корня.

Квадратные уравнения решают с помощью одного из способов:

• разложение на множители;
• выделение полного квадрата;
• поиск дискриминанта;
• теорема Виета.

В первом случае представляется возможным понизить степень при неизвестной величине. Второй метод заключается в выделении квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Каждая из этих методик реализуема при наличии знаний соответствующих тождеств, в том числе правил разложения на множители.

Третий способ состоит в поиске корней через дискриминант (Д), который является дополнительным параметром, позволяющим сразу решить задачу. Дискриминант определяется с помощью формулы:

((-S)^2-4PU)

В том случае, когда Д>0, переменная может иметь пару значений, которые превращают равенство в справедливое тождество. Если Д=0, то корень является единственным. Когда Д<0, искомое тождество с неизвестными не имеет решений.

Квадратные уравнения решают таким образом:

• выполнение необходимых алгебраических преобразований, в том числе раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых;
• выбор наиболее оптимального способа решения и его реализация;
• проверка корней с помощью их подстановки в начальное выражение.

Существует несколько методик решения тождеств кубического и биквадратного типов:

• понижение степени, то есть разложение на множители;
• замена переменной.

Первый вариант решения подразумевает выполнение преобразований для последующего применения одной из формул сокращенного умножения. Такой способ применяют нечасто. Второй способ состоит в том, что при решении необходимо ввести переменную с более низкой степенью, которая упрощает выражение. Порядок действий при этом следующий:

• выполнение математических преобразований;
• выражение переменной через другую;
• решение квадратного или линейного уравнения;
• подстановка промежуточных корней, которые получилось найти на третьем шаге, во второй;
• вычисление искомых корней;
• проверка;
• исключение ложных решений;
• запись ответа.

Путем составления системы уравнений

Данный метод определения точек пересечения графиков функций предполагает запись системы уравнения. К примеру:

Решение системы уравнений представляет собой пару чисел (х, у), являющуюся одновременно решением для первого и второго уравнения системы. Решить систему уравнений – значит, отыскать все ее решения, либо установить их отсутствие.

Порядок действий при решении системы уравнений можно рассмотреть на примере:

Решение будет иметь следующий вид:

Данные уравнения являются линейными, поэтому график каждого из них представляет собой прямую. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и является решением системы уравнений.

Решение системы представляет сбой единственную пару чисел:

Если подставить данные числа в любое из уравнений, то получится справедливое равенство. Таким образом, имеется единственное решение линейной системы. Можно записать отчет: (-1;0).

В процессе решения линейной системы можно столкнуться с разными ситуациями:

• система обладает единственным решением, прямые пересекаются;
• решения системы отсутствуют. прямые параллельны;
• система обладает бесчисленным множеством решений, прямые совпадают.

При рассмотрении частного случая системы p(x; y) и q(x; y) являются линейными выражениями от x и y.

В задачах нередко требуется решить нелинейную систему уравнений. К примеру, необходимо решить следующую систему:

Решение имеет следующий вид:

График первого уравнения будет иметь вид прямой, а второго – являться окружностью. Можно построить первый график по точкам:

Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.

Графики пересекаются в точке А(0; 1) и в точке В(-1; 0).

Ответ: (0; 1); (-1; 0).

Можно решить систему графическим способом:

В первую очередь необходимо построить график первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения является параболой, которая смещена относительно начала координат на 2 вверх, то есть ее вершина – точка (0; 2).

Графики обладают одной общей точкой А(0; 2). Данная точка является решением системы. Если подставить два числа в уравнение, можно проверить корректность ответа и записать его. Ответ: (0; 2).

В качестве еще одного примера можно решить следующую систему:

Первым шагом является построение графика первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 1.

Далее необходимо построить график функции:

График будет являться ломанной:

Далее следует сместить ее на 1 вниз по оси oy. В результате получится график функции:

При помещении обоих графиков в одну систему координат получится следующая ситуация:

Таким образом, получились три точки пересечения: А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1)

Нахождение через графическое построений функций

Любой определенный график задают с помощью соответствующей функции. Найти точки, в которых пересекаются графики, можно путем решения уравнения, имеющего вид:

(f1(x)=f2(x))

Решение данного уравнения будет являться искомой точкой.

Построить график можно с помощью бумаги и ручки. В процессе необходимо обратить внимание на то, что количество точек пересечения пары графиков определяется видом функции. Линейные функции обладают лишь одной точкой пересечения, линейная и квадратная – двумя, квадратные – двумя, либо четырьмя.

В общем случае двух линейных функций можно предположить, что:

(y1=k1x+b1)

(y2=k2x+b2)

Для поиска точки пересечения графиков необходимо решить уравнение:

(y1=y2 или k1x+b1=k2x+b2)

После преобразований получится, что:

(k1x-k2x=b2-b1.)

Далее нужно выразить x:

(x=(b2-b1)/(k1-k2).)

При известной координате точки по оси абсцисс следует определить координату по оси ординат. Таким образом, можно найти координаты точки пересечения графиков:

(((b2-b1)/(k1-k2); k1(b2-b1)/(k1-k2)+b2))

График функции y = f (х) представляет собой множество точек плоскости, координаты (х, у) которых соответствуют выражению y = f(x). График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Для построения графика определяют несколько значений довода х и для них рассчитывают соответствующие значения функции y=f(x). Для больше точного и наглядного построения графика следует обнаружить его точки пересечения с осями координат.

С целью определить точку пересечения графика функции с осью y, нужно определить значение функции при х=0, то есть обнаружить f(0). В качестве примера можно рассмотреть график линейной функции, изображенной на рисунке:

В данном случае при х=0 ((y=a*0+b)) функция равна b. Таким образом, график пересекает ось ординат (ось Y) в точке (0,b). Когда пересекается ось абсцисс (ось Х) функция равна 0, то есть (y=f(x)=0). Для того чтобы определить х, следует решить уравнение (f(x)=0). В случае линейной функции получаем уравнение (ax+b=0), откуда и находим (x=-b/a). В результате можно сделать вывод, что ось Х пересекается в точке ((-b/a,0).)

При наличии квадратичной зависимости y от х, уравнение (f(x)=0) обладает двумя корнями. Таким образом, ось абсцисс пересекается два раза. В случае периодической зависимости y от х, например, (y=sin(x)), график функции обладает бесконечным количеством точек пересечения с осью Х. Проверить корректность расчета координат точек, в которых пересекаются графики функций, можно с помощью подстановки найденных значений х в выражение f(x). Значение выражения при любом из вычисленных х должно быть равно 0.

Была ли эта статья полезной?

Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат

В §28 данного справочника мы показали, что квадратный трёхчлен можно представить в виде:

$$ ax^2+bx+c = a(x+ frac{b}{2a})^2-frac{D}{4a}, D = b^2-4ac $$

Мы получаем:

• ось симметрии $x = -frac{b}{2a}$
• вершину параболы на оси симметрии $(–frac{b}{2a}; -frac{D}{4a})$
• точку пересечения (0;c) с осью OY

Любая парабола $y = ax^2+bx+c, a ≠ 0$ пересекается с осью OY в единственной точке (0;c).

Точки пересечения параболы с осью OX

	$a gt 0$	$a lt 0$
$D gt 0$
$x_(1,2) = frac{-b pm sqrt{D}}{2a}$
D = 0
$x_0 = -frac{b}{2a}$
$ D lt 0 $
${ varnothing }$-нет пересечений

Точки пересечения двух парабол

На практике часто возникает задача «перехвата» одного тела другим, т.е. поиска точек пересечения двух траекторий; а тела в поле тяготения Земли нередко движутся по параболе.

Поэтому исследовать возможные точки пересечения двух парабол – важная прикладная задача. Пусть уравнения парабол:

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, quad y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

В точках пересечения выполняется равенство:

$$ a_1 x^2+b_1 x+c_1 = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

$$ (a_1-a_2 ) x^2+(b_1-b_2 )x+(c_1-c_2 ) = 0 $$

Если ввести обозначения $A = a_1-a_2, B = b_1-b_2, C = c_1-c_2$, получаем уравнение:

$$ Ax^2+Bx+C = 0 $$

Количество решений этого уравнения в зависимости от нулевых и ненулевых значений параметров равно 11 и описывается схемой общего алгоритма решений квадратного уравнения (см.§25 данного справочника).

Примеры

Пример 1. Найдите точки пересечения параболы с осями координат:

$а) y = 3x^2+2x-1$

$б) y = -4x^2-3x+1$

$в) y = 5x^2-2x+1$

$ г) y = -x^2+4x-4 $

Пример 2*. Даны две параболы

$$ y = 2x^2+5x+1 и y = x^2+3x+k $$

Найдите такое значение параметра k, чтобы параболы

1) имели две точки пересечения; 2) имели одну точку пересечения; 3) не пересекались.

По условию

$$ a_1 = 2, b_1 = 5, c_1 = 1, a_2 = 1, b_2 = 3, c_2 = k $$

$$ a_1 neq a_2, b_1 neq b_2 $$

A = 2-1 = 1, B = 5-3 = 2, C = 1-k

Нам необходимо рассмотреть 4 последних случая из представленных выше, в таблице §29.

1) Параболы имеют две точки пересечения в двух случаях:

1 случай: $c_2 = c_1$, k = 1

2 случай: $c_2 ≠ c_1, D gt 0$

$$ D = B^2-4AC = 2^2-4 cdot 1 cdot (1-k) = 4k gt 0 Rightarrow k gt 0 $$

Оба случая можем объединить требованием $k gt 0$.

2) Параболы имеют одну точку пересечения, если:

$$ D = 4k = 0 Rightarrow k = 0 $$

3) Параболы не имеют общих точек, если:

$$ D = 4k lt 0 Rightarrow k lt 0 $$

Ответ: 1) $k gt 0$; 2) k = 0; 3) $k lt 0$

Пример 3. Две параболы с общей вершиной

Найдите соотношение параметров двух парабол, при котором они будут пересекаться в одной точке – вершине парабол.

Пусть уравнения парабол:

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

Координаты вершин:

$$ left( -frac{b_1}{2a_1}, — frac{D_1}{4a_1} right), left(- frac{b_2}{2a_2},- frac{D_2}{4a_2} right) $$

По условию:

$$ {left{ begin{array}{c} -frac{b_1}{2a_1} = -frac{b_2}{2a_2} \ -frac{D_1}{4a_1} = -frac{D_2}{4a_2} end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{b_1}{a_1} = frac{b_2}{2a_2} \ frac{D_1}{a_1} = frac{D_2}{a_2} end{array} right.} $$

Получаем две пропорции, которым параметры уравнений должны удовлетворять одновременно.

Пример 4. Используя результаты примера 3, найдите две параболы, у которых такая же вершина, как у $y = frac{x^2}{2}-3x+1$.

Координаты вершины:

$$ x_0 = — frac{b}{2a} = — frac{-3}{2 cdot frac{1}{2}} = 3, D = b^2-4ac = 3^2-4 cdot frac{1}{2} cdot 1 = 7 $$

$$ y_0 = — frac{D}{4a} = — frac{7}{4 cdot frac{1}{2}} = -3,5 $$

Уравнение искомой параболы: $y = ax^2+bx+c$

Пропорции для параметров (см. пример 3):

$$ {left{ begin{array}{c} frac{b}{a} = frac{-3}{1/2} = -6 \ frac{D}{a} = frac{7}{1/2} = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} b = -6a \ D = 14a end{array} right.} $$

Пусть для искомых двух парабол a=1 и a=-0,2 (можно взять любые другие значения). Получаем:

$$ {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6a = -6 \ D = 14a = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6 \ b^2-4ac = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6 \ 36-4c = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6 \ c = frac{36-14}{4} = 5,5 end{array} right.}$$

$$ y = x^2-6x+5,5 $$

$$ {left{ begin{array}{c} a = -0,2 \ b = -6a = 1,2 \ D = 14a = -2,8 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = -0,2 \ b = 1,2 \ 1,2^2-4 cdot (-0,2)c = -2,8 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = -0,2 \ b = 1,2 \ c = — frac{1,44+2,8}{0,8} = -5,3 end{array} right.} $$

$$ y = -0,2x^2+1,2x-5,3 $$

Параболы

$$ y = frac{x^2}{2}-3x+1, y = x^2-6x+5,5, y = -0,2x^2+1,2x-5,3 $$

имеют общую вершину (3;-3,5)

Пример 5. Комета движется по параболической траектории, которая в выбранной системе координат описывается уравнением $y = frac{x^2}{3}-2x+5$.

Космический аппарат запускается из начала координат и также движется по параболической траектории. Рассчитайте уравнение этой траектории так, чтобы её вершина совпала с вершиной траектории кометы.

Координаты вершины траектории кометы:

$$ x_0 = -frac{b}{2a} = -frac{-2}{2 cdot frac{1}{3}} = 3, D = b^2-4ac = 2^2-4 cdot frac{1}{3} cdot 5 = — frac{8}{3} $$

$$ y_0 = — frac{D}{4a} = — frac{-8/3}{4 cdot 1/3} = 2 $$

Уравнение траектории космического аппарата: $y = ax^2+bx+c$.

Аппарат запускается из начала координат, т.е. его траектория пересекается с осью OY в точке (0;0). Значит, в уравнении параболы c = 0.

Пропорции для параметров (см. пример 3) с учетом c = 0:

$$ {left{ begin{array}{c} frac{b}{a} = frac{-2}{1/3} = -6 \ frac{D}{a} = frac{-frac{8}{3}}{frac{1}{3}} = -8 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} b = -6a \ D = b^2-4a underbrace{c}_{text{= 0 }} = b^2 = -8a end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} b = -6a \ b^2 = -8a end{array} right.} Rightarrow $$

$$ {left{ begin{array}{c} b = frac{-8a}{-6a} = frac{4}{3} \ a = -frac{b}{6} = -frac{2}{9} end{array} right.} $$

Уравнение траектории космического аппарата с «перехватом» кометы в вершине:

$$ y = -frac{2}{9} x^2+ frac{4}{3} x $$