Как через плотность вероятности найти вероятность

Зная плотность
распределения, можно вычислить вероятность
того, что непрерывная случайная величина
примет значение, принадлежащее заданному
интервалу. Вычисление основано на
следующей теореме.

Теорема. Вероятность
того, что непрерывная случайная величина
X
примет значение, принадлежащее интервалу
(а,
b),
равна определенному интегралу от
плотности распределения, взятому в
пределах от а до b:

Р(а<Х<b)
=

Доказательство.
Используем соотношение (**) (см. гл. X,
§ 2)

Р(а

Х<b)
= F(b)
— F(a).

По формуле Ньютона
— Лейбница,

F(b)
— F(a)=.

Таким образом,

Р(а

Х<b)
=

Так как Р(а

Х<b)
= Р(а<Х<b),то
окончательно получим

Р(а<Х<b)
=
(*)

Геометрически
полученный результат можно истолковать
так: вероятность того, что непрерывная
случайная величина примет значение,
принадлежащее интервалу (а,b),
равна площади
криволинейной трапеции, ограниченной
осью Ох,
кривой
распределения f
(х)
и прямыми х
=а и х=b.

Замечание. В
частности, если f
(х)
— четная
функция и концы интервала симметричны
относительно начала координат, то

Р(-а<Х<a)
= Р(|Х|<a)
=2

Пример.
Задана плотность вероятности случайной
величины X

Найти вероятность
того, что в результате испытания X
примет
значение, принадлежащее интервалу (0,5;
1).

Решение. Искомая
вероятность

Р (0,5
< X
< 1)=

§ 3. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения

Зная плотность
распределения f(х),
можно найти функцию распределения F
(х)
по формуле

F(x)
=

Действительно, мы
обозначили через F
(х)
вероятность
того, что случайная величина примет
значение, меньшее х,
т. е.

F(x)
= P(X<x).

Очевидно, неравенство
X
< х
можно записать
в виде двойного неравенства —<X
< х,
следовательно,

F(х)=Р(—<X
< х)
(*)

Полагая в формуле
(*) (см. § 2) а=—,b
= х, имеем

Р(—<X
< х)
=

Наконец, заменив
Р (—<
X
< х) на F
(х),
в силу (*), окончательно получим

F(x)
=

Таким образом,
зная плотность распределения, можно
найти функцию распределения. Разумеется,
по известной функции распределения
может

быть найдена
плотность распределения, а именно:

f(x)=Г’(x).

Пример.
Найти функцию распределения по данной
плотности распределения:

Построить график
найденной функции.

Решение. Воспользуемся
формулой F(x)=

Если x

a,
то f(x)
=0, следовательно, F(x)=0.
Если a<x

b,то
f(x)=1/(b
— а),
следовательно,

.

Если х
> b,
то

F(x)=

Итак, искомая
функция распределения

График этой функции
изображен на рис. 4.

§ 4. Свойства плотности распределения

Свойство 1. Плотность
распределения—неотрицательная
функция:

f(x)
0.

Доказательство.
Функция распределения — неубывающая
функция, следовательно, ее производная
F‘(х)=f(х)—функция
неотрицательная.

Геометрически
это свойство означает, что точки,
принадлежащие графику плотности
распределения, расположены либо над
осью Ох, либо
на этой оси.

График плотности
распределения называют кривой
распределения.

Свойство 2.
Несобственный
интеграл от плотности распределения в
пределах от —
до

равен единице:

Доказательство.
Несобственный интеграл
выражает
вероятность события, состоящегов
том, что
случайная величина примет значение,
принадлежащее интервалу (—,).
Очевидно, такое событие достоверно,
следовательно, вероятность его равна
единице.

Геометрически это
означает, что вся площадь криволинейной
трапеции, ограниченной осью Ох
и кривом
распределения, равна единице.

В частности, если
все возможные значения случайной
величины принадлежат интервалу (а,
b),
то

Пример. Плотность
распределения случайной величины X
задана:

f
(x)=

Найти постоянный
параметр а.

Решение. Плотность
распределения должна удовлетворять
условию
,
поэтому потребуем, чтобы выполнялось
равенство

Отсюда

Найдем неопределенный
интеграл:

Вычислим несобственный
интеграл:

Таким образом,
искомый параметр

a=.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Для непрерывных случайных величин наряду с законом распределения вероятностей рассматривают плотность вероятностей, которую обозначают так .

Плотностью вероятностей случайной величины называют первую производную от интегральной функции распределения вероятностей

откуда дифференциал

Поскольку прирост определяют зависимости

куплена плотности вероятностей на прирост случайной величины соответствует вероятность того, что случайная величина содержаться в промежутке где .

Геометрически на графике плотности вероятностей соответствует площадь прямоугольника с основанием и высотой

Свойства плотности вероятностей

1. Плотность вероятностей принимает положительные значения . Это свойство следует из определения первой производной от функции распределения , которая в свою очередь является неубывающей функцией.

2. Условие нормирования случайной величины

3.Вероятность попадания случайной величины в промежуток определяется зависимостью

4. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины определяется через плотность распределения вероятностей интегрированием

—————————————

Рассмотрим задачи для закрепления материала на практике.

Пример 1. Закон распределения случайной величины заданы функцией

Найти плотность распределения вероятностей и построить графики обеих функций . Вычислить вероятность того, что случайная величина принадлежит промежутку

Решение. Вычисляем функцию плотности вероятностей

Графики функций изображены на рисунках

Вероятность события вычислим по формуле

Согласно приведенной выше формулы получим

На этом задача решена.

———————————————

Пример 2. По заданной функцией плотности распределения вероятностей

установить параметры и функцию распределения вероятностей . Построить графики функций.

Решение. Значение постоянной определяем из условия нормировки

При найденном значении плотность вероятностей будет иметь вид

Функция распределения вероятностей определяется интегрированием:

Записываем общий вид функции ,

Графики функций распределения вероятностей и ее плотности показаны на рисунках ниже

—————————————

Пример 3. Случайная величина имеет закон распределения вероятностей в виде треугольника

Записать выражения для плотности вероятностей и функции распределения вероятностей, построить график и вычислить .

Решение. На промежутках и плотность вероятностей меняется по линейному закону вида

для первого и второго участки соответственно. Для нахождения неизвестных констант установим ординаты вершины треугольника . Используем условие нормирования, согласно которому площадь треугольника равна единице:

При известных координатах всех вершин находим уравнение прямых

Есть другой способ нахождения уравнения прямых, предусматривающий отыскания по одной константе на уравнение. Если известна точка пересечения прямой с осью ординат , то уравнение прямой которая через эту точку проходит следующее

где – ордината пересечения с осью . Подстановкой второй точки прямой находят неизвестную константу . Для заданных точек получим

Со временем второй метод для Вас станет проще и практичнее в использовании. Плотность вероятностей примет значение

а ее функция примет вид

Функцию распределения вероятностей находим интегрированием:

а) на промежутке :

2) на промежутке

Следовательно, функция распределения вероятностей такая

Ее график приведен ниже

Вычисляем вероятность события согласно формуле

или

Следовательно, вероятность равна

————————-

Хорошо проанализируйте приведенные примеры — это поможет научиться быстро находить плотность распределения вероятностей и выполнять построение графика. Будьте внимательны при интегрировании и выбирайте удобную для вычислений методику.

Пусть нам задана функция плотности распределения непрерывной случайной величины. Тогда с её помощью мы можем найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал $(alpha ,beta )$.

Для начала вспомним несколько свойств функции распределения вероятности $F(x)$, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Свойство 1: Для любых $X$ выполняется равенство:

Сформулируем и докажем следующую теорему:

Геометрически данную теорему можно интерпретировать следующим образом: Вероятность попадания случайной непрерывной величины $X$ в интервал $(alpha ,beta )$ равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми $y=varphi left(xright), x=alpha ,$ $x=beta $ и $y=0$ (рис. 1).

Следствие 1: Если плотность распределения $varphi (x)$ — четная функция, а значения $alpha и beta $ равны по абсолютной величине (по модулю), причем $alpha ne beta $, то вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал $(alpha ,beta )$ можно найти по формуле:

Этот факт может быть легко показан геометрически:

Очевидно, что $S_1=S_2$.

Используя геометрический смысл плотности распределения, и получаем, что

Примеры задач на нахождение вероятности попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Как найти вероятность из графиков плотности вероятности

  Перевод

  Ссылка на автора

Прежде чем идти дальше, давайте посмотрим правде в глаза.

Если вы достаточно давно работаете в области наук о данных, есть вероятность, что вы, возможно, построили графики плотности вероятности (аналогичные приведенным ниже), чтобы понять общее распределение ваших данных.

Ну … Во-первых, что за график плотности? Отличное и ясное объяснение Уилл Кёрсен это:

график плотности является сглаженной, непрерывной версией гистограммы, оцененной по данным.

Наиболее распространенная форма оценки известна как оценка плотности ядра (KDE).

В этом методе непрерывная кривая (ядро) рисуется в каждой отдельной точке данных, и все эти кривые затем складываются, чтобы сделать единую плавную оценку плотности.

Ядро, наиболее часто используемоеGaussian(который создает гауссову кривую колокола в каждой точке данных)

график плотности вероятностипросто означает график плотности функции плотности вероятности (ось Y) против точек данных переменной (ось X).

Как правило, графики плотности вероятности используются дляпонимать распределение данныхдля непрерывной переменной, и мы хотимзнать вероятность (или вероятность) получения диапазона значенийчто непрерывная переменная может принять.

Но вот в чем дело.

Показывая графики плотности вероятности, мы можем понять только распределение данных.визуальноне зная точную вероятность для определенного диапазона значений.

Другими словами, трудно оценить количественно вероятность под кривой, просто посмотрев на график.

Однако получение точной вероятности под кривойчрезвычайно важно(Я расскажу вам почему в следующем разделе), особенно когда вы представляете заинтересованным сторонам бизнеса.

В этой статье я покажу вам полный код, который я использовал для вычисления вероятности, и объясню вам шаг за шагом, как вы можете это сделать.

К концу этой статьи, я надеюсь, вы лучше поймете распределение данных, рассчитав фактическую вероятность в пределах диапазона значений, и впоследствии сможете убедить заинтересованные стороны в ваших взглядах.

Вы можете получить набор данных и блокнот Jupyter от моего GitHub,

Давайте начнем!