Мы уже знакомы с понятием определителя матрицы. Также мы рассмотрели правила вычисления детерминантов (определителей) первого и второго порядка. Познакомимся с различными вариантами нахождения определителей третьего порядка.
Вычисление определителей по правилу треугольника
Схематически раскрытие определителя по этому правилу выглядит так:
Согласно рисункам №1 и №2 мы перемножаем элементы, соединенные прямыми. Произведения элементов будут иметь определенные знаки: для рисунка 1 — «+», для рисунка 2 — «-».
| Произведения, которые берутся со знаком «+» | Произведения, которые берутся со знаком «-» |
|---|---|
| a11⋅a22⋅a33a_{11} cdot a_{22} cdot a_{33} | a13⋅a22⋅a31a_{13}cdot a_{22}cdot a_{31} |
| a12⋅a23⋅a31a_{12} cdot a_{23} cdot a_{31} | a12⋅a33⋅a21a_{12}cdot a_{33}cdot a_{21} |
| a13⋅a32⋅a21a_{13} cdot a_{32} cdot a_{21} | a11⋅a23⋅a32a_{11}cdot a_{23}cdot a_{32} |
На рисунке 1 мы видим равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали; на рисунке 2 — равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными второй (побочной) диагонали. Поэтому данное правило имеет такое название.
Определитель может быть вычислен по формуле:
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}=
=a11⋅a22⋅a33+a12⋅a23⋅a31+a13⋅a32⋅a21−a13⋅a22⋅a31−a12⋅a33⋅a21−a11⋅a23⋅a32=a_{11}cdot a_{22}cdot a_{33}+a_{12}cdot a_{23}cdot a_{31}+a_{13}cdot a_{32}cdot a_{21}-a_{13}cdot a_{22}cdot a_{31}-a_{12}cdot a_{33}cdot a_{21}-a_{11}cdot a_{23}cdot a_{32}.
Примеры
Рассмотрим примеры нахождения определителя по правилу треугольника.
Найти определитель ∣925148637∣begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix} по правилу треугольника.
По правилу треугольника определитель третьего порядка равен:
∣925148637∣=9⋅4⋅7+2⋅8⋅6+5⋅3⋅1−5⋅4⋅6−2⋅7⋅1−9⋅8⋅3=begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix}=9cdot4cdot7+2cdot8cdot6+5cdot3cdot1-5cdot4cdot6-2cdot7cdot1-9cdot8cdot3=
=252+96+15−120−14−216=13=252+96+15-120-14-216=13.
Найти определитель ∣21−46−3510−1∣begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix} по правилу треугольника.
Искомый определитель третьего порядка равен:
∣21−46−3510−1∣=begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix}=
=2⋅(−3)⋅(−1)+1⋅5⋅1+(−4)⋅0⋅6−(−4)⋅(−3)⋅1−1⋅(−1)⋅6−2⋅5⋅0=6+5−12+6=5=2cdot(-3)cdot(-1)+1cdot5cdot1+(-4)cdot0cdot6-(-4)cdot(-3)cdot1-1cdot(-1)cdot6-2cdot5cdot0=6+5-12+6=5.
При вычислении определителей таким способом можно легко совершить ошибку из-за невнимательности. Чтобы избежать таких ошибок существует второй способ, называемый правилом Саррюса, или способом «параллельных полосок».
Вычисление определителей по правилу Саррюса
Правило Саррюса также именуют способом присоединения двух строк/столбцов или правилом параллельных полосок.
Основная идея этого правила состоит в приписывании первого и второго столбца справа от определителя.
Вычисления будем производить по следующей схеме:
Перемножаем элементы, соединенные прямыми. Данные произведения берем со знаком «+», если диагональ, на которой они стоят, является главной или параллельной ей; со знаком «-», если она является второй (побочной) или параллельной ей.
| Произведения, которые берутся со знаком «+» | Произведения, которые берутся со знаком «-» |
|---|---|
| a11⋅a22⋅a33a_{11} cdot a_{22} cdot a_{33} | a13⋅a22⋅a31a_{13}cdot a_{22}cdot a_{31} |
| a12⋅a23⋅a31a_{12} cdot a_{23} cdot a_{31} | a11⋅a23⋅a32a_{11}cdot a_{23}cdot a_{32} |
| a13⋅a21⋅a32a_{13} cdot a_{21} cdot a_{32} | a12⋅a21⋅a33a_{12}cdot a_{21}cdot a_{33} |
В общем виде вычисление по правилу Саррюса можно записать следующим образом:
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣a11a12a21a22a31a32=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}begin{matrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\a_{31}&a_{32}end{matrix}=
=a11⋅a22⋅a33+a12⋅a23⋅a31+a13⋅a21⋅a32−a13⋅a22⋅a31−a11⋅a23⋅a32−a12⋅a21⋅a33=a_{11}cdot a_{22}cdot a_{33}+a_{12}cdot a_{23}cdot a_{31}+a_{13}cdot a_{21}cdot a_{32}-a_{13}cdot a_{22}cdot a_{31}-a_{11}cdot a_{23}cdot a_{32}-a_{12}cdot a_{21}cdot a_{33}.
Сравнивая эти два способа вычисления определителей, видим одинаковые множители, которые во втором случае немного переставлены местами.
Возможность допустить ошибку, вычисляя определитель по правилу Саррюса, намного меньше.
Примеры
Найти определитель ∣925148637∣begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix} по правилу Саррюса.
Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:
∣925148637∣921463=begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix}begin{matrix}9&2\1&4\6&3end{matrix}=
=9⋅4⋅7+2⋅8⋅6+5⋅1⋅3−5⋅4⋅6−9⋅8⋅3−2⋅1⋅7=252+96+15−120−216−14=13=9cdot4cdot7+2cdot8cdot6+5cdot1cdot3-5cdot4cdot6-9cdot8cdot3-2cdot1cdot7=252+96+15-120-216-14=13.
Найти определитель ∣21−46−3510−1∣begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix} по правилу Саррюса.
Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:
∣21−46−3510−1∣216−310=begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix}begin{matrix}2&1\6&-3\1&0end{matrix}=
=2⋅(−3)⋅(−1)+1⋅5⋅1+(−4)⋅6⋅0−(−4)⋅(−3)⋅1−2⋅5⋅0−1⋅6⋅(−1)=6+5−12+6=5=2cdot(-3)cdot(-1)+1cdot5cdot1+(-4)cdot6cdot0-(-4)cdot(-3)cdot1-2cdot5cdot0-1cdot6cdot(-1)=6+5-12+6=5.
Существует еще одна вариация правила Саррюса. Она состоит в приписывании первой и второй строки снизу от определителя. Вычисления производятся аналогично.
Минор и алгебраическое дополнение
Прежде чем перейти к рассмотрению еще одного способа вычисления определителей 3-го порядка разберем 2 понятия: минор, алгебраическое дополнение.
Минор
Минором MijM_{ij} к элементу aija_{ij} определителя n-го порядка называется определитель (n−1)(n-1)-го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием ii-той строки и jj-того столбца.
Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца. Например, M11M_{11} получается вычеркиванием 1-й строки и 1-го столбца, M23M_{23} — вычеркиванием 2-й строки и 3-го столбца.
Алгоритм нахождения миноров:
- вычеркиваем ii-ю строку;
- вычеркиваем jj-й столбец;
- записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.
Примеры
Найти миноры матрицы F=(925148637)F=begin{pmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{pmatrix}.
Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, обозначим зеленым цветом.
M11=∣925148637∣=∣4837∣=4⋅7−3⋅8=28−24=4M_{11}=begin{vmatrix}color{green}9&color{green}2&color{green}5\color{green}1&4&8\color{green}6&3&7end{vmatrix}=begin{vmatrix}4&8\3&7end{vmatrix}=4cdot7-3cdot8=28-24=4,
M12=∣925148637∣=∣1867∣=1⋅7−6⋅8=7−48=−41M_{12}=begin{vmatrix}color{green}9&color{green}2&color{green}5\1&color{green}4&8\6&color{green}3&7end{vmatrix}=begin{vmatrix}1&8\6&7end{vmatrix}=1cdot7-6cdot8=7-48=-41,
M13=∣925148637∣=∣1463∣=1⋅3−6⋅4=3−24=−21M_{13}=begin{vmatrix}color{green}9&color{green}2&color{green}5\1&4&color{green}8\6&3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}1&4\6&3end{vmatrix}=1cdot3-6cdot4=3-24=-21,
M21=∣925148637∣=∣2537∣=2⋅7−3⋅5=14−15=−1M_{21}=begin{vmatrix}color{green}9&2&5\color{green}1&color{green}4&color{green}8\color{green}6&3&7end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&5\3&7end{vmatrix}=2cdot7-3cdot5=14-15=-1,
M22=∣925148637∣=∣9567∣=9⋅7−6⋅5=63−30=33M_{22}=begin{vmatrix}9&color{green}2&5\color{green}1&color{green}4&color{green}8\6&color{green}3&7end{vmatrix}=begin{vmatrix}9&5\6&7end{vmatrix}=9cdot7-6cdot5=63-30=33,
M23=∣925148637∣=∣9263∣=9⋅3−6⋅2=27−12=15M_{23}=begin{vmatrix}9&2&color{green}5\color{green}1&color{green}4&color{green}8\6&3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}9&2\6&3end{vmatrix}=9cdot3-6cdot2=27-12=15,
M31=∣925148637∣=∣2548∣=2⋅8−4⋅5=16−20=−4M_{31}=begin{vmatrix}color{green}9&2&5\color{green}1&4&8\color{green}6&color{green}3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&5\4&8end{vmatrix}=2cdot8-4cdot5=16-20=-4,
M32=∣925148637∣=∣9518∣=9⋅8−1⋅5=72−5=67M_{32}=begin{vmatrix}9&color{green}2&5\1&color{green}4&8\color{green}6&color{green}3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}9&5\1&8end{vmatrix}=9cdot8-1cdot5=72-5=67,
M33=∣925148637∣=∣9214∣=9⋅4−1⋅2=36−2=34M_{33}=begin{vmatrix}9&2&color{green}5\1&4&color{green}8\color{green}6&color{green}3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}9&2\1&4end{vmatrix}=9cdot4-1cdot2=36-2=34.
Найти миноры матрицы G=(21−46−3510−1)G=begin{pmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{pmatrix}.
Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, обозначим зеленым цветом.
M11=∣21−46−3510−1∣=∣−350−1∣=(−3)⋅(−1)−0⋅5=3−0=3M_{11}=begin{vmatrix}color{green}2&color{green}1&color{green}-4\color{green}6&-3&5\color{green}1&0&-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}-3&5\0&-1end{vmatrix}=(-3)cdot(-1)-0cdot5=3-0=3,
M12=∣21−46−3510−1∣=∣651−1∣=6⋅(−1)−1⋅5=−6−5=−11M_{12}=begin{vmatrix}color{green}2&color{green}1&color{green}-4\6&color{green}-3&5\1&color{green}0&-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}6&5\1&-1end{vmatrix}=6cdot(-1)-1cdot5=-6-5=-11,
M13=∣21−46−3510−1∣=∣6−310∣=6⋅0−1⋅(−3)=0+3=3M_{13}=begin{vmatrix}color{green}2&color{green}1&color{green}-4\6&-3&color{green}5\1&0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}6&-3\1&0end{vmatrix}=6cdot0-1cdot(-3)=0+3=3,
M21=∣21−46−3510−1∣=∣1−40−1∣=1⋅(−1)−0⋅(−4)=−1−0=−1M_{21}=begin{vmatrix}color{green}2&1&-4\color{green}6&color{green}-3&color{green}5\color{green}1&0&-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}1&-4\0&-1end{vmatrix}=1cdot(-1)-0cdot(-4)=-1-0=-1,
M22=∣21−46−3510−1∣=∣2−41−1∣=2⋅(−1)−1⋅(−4)=−2+4=2M_{22}=begin{vmatrix}2&color{green}1&-4\color{green}6&color{green}-3&color{green}5\1&color{green}0&-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&-4\1&-1end{vmatrix}=2cdot(-1)-1cdot(-4)=-2+4=2,
M23=∣21−46−3510−1∣=∣2110∣=2⋅0−1⋅1=0−1=−1M_{23}=begin{vmatrix}2&1&color{green}-4\color{green}6&color{green}-3&color{green}5\1&0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&1\1&0end{vmatrix}=2cdot0-1cdot1=0-1=-1,
M31=∣21−46−3510−1∣=∣1−4−35∣=1⋅5−(−3)⋅(−4)=5−12=−7M_{31}=begin{vmatrix}color{green}2&1&-4\color{green}6&-3&5\color{green}1&color{green}0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}
1&-4\-3&5end{vmatrix}=1cdot5-(-3)cdot(-4)=5-12=-7,
M32=∣21−46−3510−1∣=∣2−465∣=2⋅5−6⋅(−4)=10+24=34M_{32}=begin{vmatrix}2&color{green}1&-4\6&color{green}-3&5\color{green}1&color{green}0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&-4\6&5end{vmatrix}=2cdot5-6cdot(-4)=10+24=34,
M33=∣21−46−3510−1∣=∣216−3∣=2⋅(−3)−6⋅1=−6−6=−12M_{33}=begin{vmatrix}2&1&color{green}-4\6&-3&color{green}5\color{green}1&color{green}0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&1\6&-3end{vmatrix}=2cdot(-3)-6cdot1=-6-6=-12.
Алгебраическое дополнение
Алгебраическим дополнением AijA_{ij} к элементу aija_{ij} определителя nn-го порядка называется число Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij},
где ii, jj — соответствующие строка и столбец,
MijM_{ij} — минор к элементу aija_{ij}.
Алгоритм нахождения алгебраических дополнений:
- найти сумму номеров строки (i)(i) и столбца (j)(j);
- найти минор MijM_{ij} по алгоритму нахождения миноров, который представлен выше;
- подставить значения, полученные на шагах 1 и 2, в формулу Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij}.
Примеры
Найти алгебраические дополнения матрицы F=(925148637)F=begin{pmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{pmatrix}.
A11=(−1)1+1⋅M11=(−1)2⋅∣4837∣=4A_{11}=(-1)^{1+1}cdot M_{11}= (-1)^{2}cdotbegin{vmatrix}4&8\3&7end{vmatrix}=4,
A12=(−1)1+2⋅M12=(−1)3⋅∣1867∣=41A_{12}=(-1)^{1+2}cdot M_{12}= (-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}1&8\6&7end{vmatrix}=41,
A13=(−1)1+3⋅M13=(−1)4⋅∣1463∣=−21A_{13}=(-1)^{1+3}cdot M_{13}= (-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}1&4\6&3end{vmatrix}=-21,
A21=(−1)2+1⋅M21=(−1)3⋅∣2537∣=1A_{21}=(-1)^{2+1}cdot M_{21}= (-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}2&5\3&7end{vmatrix}=1,
A22=(−1)2+2⋅M22=(−1)4⋅∣9567∣=33A_{22}=(-1)^{2+2}cdot M_{22}= (-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}9&5\6&7end{vmatrix}=33,
A23=(−1)2+3⋅M23=(−1)5⋅∣9263∣=−15A_{23}=(-1)^{2+3}cdot M_{23}= (-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}9&2\6&3end{vmatrix}=-15,
A31=(−1)3+1⋅M31=(−1)4⋅∣2548∣=−4A_{31}=(-1)^{3+1}cdot M_{31}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}2&5\4&8end{vmatrix}=-4,
A32=(−1)3+2⋅M32=(−1)5⋅∣9518∣=−67A_{32}=(-1)^{3+2}cdot M_{32}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}9&5\1&8end{vmatrix}=-67,
A33=(−1)3+3⋅M33=(−1)6⋅∣9214∣=34A_{33}=(-1)^{3+3}cdot M_{33}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}9&2\1&4end{vmatrix}=34.
Найти алгебраические дополнения матрицы G=(21−46−3510−1)G=begin{pmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{pmatrix}.
A11=(−1)1+1⋅M11=(−1)2⋅∣−350−1∣=3A_{11}=(-1)^{1+1}cdot M_{11}=(-1)^{2}cdotbegin{vmatrix}-3&5\0&-1end{vmatrix}=3,
A12=(−1)1+2⋅M12=(−1)3⋅∣651−1∣=11A_{12}=(-1)^{1+2}cdot M_{12}=(-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}6&5\1&-1end{vmatrix}=11,
A13=(−1)1+3⋅M13=(−1)4⋅∣6−310∣=3A_{13}=(-1)^{1+3}cdot M_{13}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}6&-3\1&0end{vmatrix}=3,
A21=(−1)2+1⋅M21=(−1)3⋅∣1−40−1∣=1A_{21}=(-1)^{2+1}cdot M_{21}=(-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}1&-4\0&-1end{vmatrix}=1,
A22=(−1)2+2⋅M22=(−1)4⋅∣2−41−1∣=2A_{22}=(-1)^{2+2}cdot M_{22}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}2&-4\1&-1end{vmatrix}=2,
A23=(−1)2+3⋅M23=(−1)5⋅∣2110∣=1A_{23}=(-1)^{2+3}cdot M_{23}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}2&1\1&0end{vmatrix}=1,
A31=(−1)3+1⋅M31=(−1)4⋅∣1−4−35∣=−7A_{31}=(-1)^{3+1}cdot M_{31}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}1&-4\-3&5end{vmatrix}=-7,
A32=(−1)3+2⋅M32=(−1)5⋅∣2−465∣=−34A_{32}=(-1)^{3+2}cdot M_{32}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}2&-4\6&5end{vmatrix}=-34,
A33=(−1)3+3⋅M33=(−1)6⋅∣216−3∣=−12A_{33}=(-1)^{3+3}cdot M_{33}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}2&1\6&-3end{vmatrix}=-12.
Зная, что такое миноры и алгебраические дополнения, рассмотрим вычисление определителя по строке и столбцу.
Вычисление определителя по строке или столбцу
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Алгоритм вычисления определителя по строке или столбцу:
- находим алгебраические дополнения элементов строки или столбца;
- находим произведения элементов на их алгебраические дополнения;
- находим сумму, полученных на шаге 2, произведений.
Примеры
Найти определитель ∣925148637∣begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix} по 2 столбцу.
∣925148637∣=2⋅A12+4⋅A22+3⋅begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix}=2cdot A_{12}+4cdot A_{22}+3cdot
A32=2(−1)3M12+4(−1)4M22+3(−1)5M32=2(−1)3∣1867∣+4(−1)4∣9567∣+3(−1)5∣9518∣=A_{32}=2(-1)^{3}M_{12}+4(-1)^{4}M_{22}+3(-1)^{5}M_{32}=2(-1)^{3}begin{vmatrix}1&8\6&7end{vmatrix}+4(-1)^{4}begin{vmatrix}9&5\6&7end{vmatrix}+3(-1)^{5}begin{vmatrix}9&5\1&8end{vmatrix}=
=−2⋅(−41)+4⋅33−3⋅67=82+132−201=13=-2cdot(-41)+4cdot33-3cdot67=82+132-201=13.
Найти определитель ∣21−46−3510−1∣begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix} по 3 строке.
∣21−46−3510−1∣=1⋅A31+0⋅A32−1⋅A33=1(−1)4M31+0(−1)5M32−1(−1)6M33=begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix}=1cdot A_{31}+0cdot A_{32}-1cdot A_{33}=1(-1)^{4}M_{31}+0(-1)^{5}M_{32}-1(-1)^{6}M_{33}=
=1(−1)4∣1−4−35∣+0(−1)5∣2−465∣−1(−1)6∣216−3∣=−7+0+12=5=1(-1)^{4}begin{vmatrix}1&-4\-3&5end{vmatrix}+0(-1)^{5}begin{vmatrix}2&-4\6&5end{vmatrix}-1(-1)^{6}begin{vmatrix}2&1\6&-3end{vmatrix}=-7+0+12=5.
Любой из рассмотренных способов можно применять при нахождении определителей третьего порядка. В следующий раз мы разберем вычисление определителей матриц высших порядков.
Оформите решение задачи на заказ онлайн, если возникают трудности с выполнением!
Тест по теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка»
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Определители матриц часто используются в вычислениях, в линейной алгебре и аналитической геометрии. Вне академического мира определители матриц постоянно требуются инженерам и программистам, в особенности тем, кто работает с компьютерной графикой. Если вы уже знаете, как найти определитель матрицы размерностью 2×2, то из инструментов для нахождения определителя матрицы 3×3 вам будут необходимы только сложение, вычитание и умножение.
-
1
Запишите матрицу размерностью 3 x 3. Запишем матрицу размерностью 3 x 3, которую обозначим M, и найдем ее определитель |M|. Далее приводится общая форма записи матрицы, которую мы будем использовать, и матрица для нашего примера:
-
2
Выберите строку или столбец матрицы. Эта строка (или столбец) будет опорной. Результат будет одинаков, независимо от того, какую строку или какой столбец вы выберете. В данном примере давайте возьмем первую строку. Чуть позже вы найдете несколько советов касательно того, как выбирать строку или столбец, чтобы упростить вычисления.
- Давайте выберем первую строку матрицы M в нашем примере. Обведите числа 1 5 3. В общей форме обведите a11 a12 a13.
-
3
Зачеркните строку или столбец с первым элементом. Обратитесь к опорной строке (или к опорному столбцу) и выберите первый элемент. Проведите горизонтальную и вертикальную черту через этот элемент, вычеркнув таким образом столбец и строку с этим элементом. Должно остаться четыре числа. Будем считать эти элементы новой матрицей размерностью 2 x 2.
- В нашем примере, опорной строкой будет 1 5 3. Первый элемент находится на пересечении первого столбца и первой строки. Вычеркните строку и столбец с этим элементом, то есть первую сроку и первый столбец. Запишите оставшиеся элементы в виде матрицы 2 x 2:
1 5 3-
24 7 -
46 2
-
4
Найдите определитель матрицы 2 x 2. Запомните, что определитель матрицы
вычисляется как ad — bc.[1]
Опираясь на это, вы можете вычислить определитель полученной матрицы 2 x 2, которую, если хотите, можете обозначить как X. Умножьте два числа матрицы X, соединенных по диагонали слева направо (то есть так: ). Затем вычтите результат умножения двух других чисел по диагонали справа налево (то есть так: / ). Используйте эту формулу, чтобы вычислить определитель матрицы, которую вы только что получили.- В нашем примере определитель матрицы = 4*2 — 7*6 = -34.
- Этот определитель называется минором элемента, который мы выбрали в нашей первоначальной матрице.[2]
Другими словами, мы только что нашли минор a11.
- В нашем примере определитель матрицы
-
5
Умножьте полученный ответ на выбранный элемент матрицы M. Вспомните, какой элемент из опорной строки (или столбца) мы использовали, когда вычеркивали другие элементы строки и столбца, чтобы получить новую матрицу. Умножьте этот элемент на полученный минор (определитель матрицы 2×2, которую мы обозначили X).
- В нашем примере мы выбирали элемент a11, который равнялся 1. Умножим его на -34 (определитель матрицы 2×2), и у нас получится 1*-34 = -34.
-
6
Определите знак полученного результата. Далее вам понадобится умножить полученный результат на 1, либо на -1, чтобы получить алгебраическое дополнение (кофактор) выбранного элемента. Знак кофактора будет зависеть от того, в каком месте матрицы 3×3 стоит элемент. Запомните эту простую схему знаков, чтобы знать знак кофактора:
- + — +
- — + —
- + — +
- Поскольку мы работали с элементом a11, для которого стоит знак +, то мы будем умножать полученное значение на +1 (то есть оставим его как есть). Алгебраическое дополнение нашего элемента будет равно -34.
- Вы также можете найти знак алгебраического дополнения по формуле (-1)i+j, где i и j — номер столбца и строки выбранного элемента соответственно.[3]
-
7
Повторите все вышеописанные действия со вторым элементом опорной строки (или столбца). Вернитесь к исходной матрице размерностью 3×3 и строке, которую мы обвели в самом начале вычислений. Повторите все действия с этим элементом:
-
8
Повторите с третьим элементом. Далее вам понадобится найти еще одно алгебраическое дополнение. Вычислите его для последнего элемента опорной строки или опорного столбца. Далее приводится краткое описание того, как вычисляется алгебраическое дополнение для a13 в нашем примере:
- Зачеркните первую строку и третий столбец, чтобы получить матрицу
- Ее определитель равен 2*6 — 4*4 = -4.
- Умножьте результат на элемент a13: -4 * 3 = -12.
- Элемент a13 имеет знак + в приведенной выше таблице, поэтому ответ будет -12.
- Зачеркните первую строку и третий столбец, чтобы получить матрицу
-
9
Сложите полученные результаты. Это последний шаг. Вам необходимо сложить полученные алгебраические дополнения элементов опорной строки (или опорного столбца). Сложите их вместе, и вы получите значение определителя матрицы 3×3.
- В нашем примере определитель равен -34 + 120 + -12 = 74.
Реклама
-
1
Выбирайте в качестве опорной строки (или столбца) ту, что имеет больше нулей. Помните, что в качестве опорной вы можете выбрать любую строку или столбец. Выбор опорной строки или столбца не влияет на результат. Если вы выберете строку с наибольшим количеством нулей, вам придется выполнять меньше вычислений, поскольку вам будет необходимо вычислить алгебраические дополнения только для ненулевых элементов. Вот почему:
- Допустим, вы выбрали 2 строку с элементами a21, a22, and a23. Чтобы найти определитель, вам будет необходимо найти определители трех различных матриц размерностью 2×2. Давайте назовем их A21, A22, and A23.
- То есть определитель матрицы 3×3 равен a21|A21| — a22|A22| + a23|A23|.
- Если оба элемента a22 и a23 равны 0, то наша формула становится намного короче a21|A21| — 0*|A22| + 0*|A23| = a21|A21| — 0 + 0 = a21|A21|. То есть необходимо вычислить только алгебраическое дополнение одного элемента.
-
2
Используйте сложение строк, чтобы упростить матрицу. Если вы возьмете одну строку и прибавите к ней другую, то определитель матрицы не изменится. То же самое верно и для столбцов. Подобные действия можно выполнять несколько раз, кроме того, вы можете умножать значения строки на постоянную (перед сложением) для того, чтобы получить как можно больше нулей. Подобные действия могут сэкономить массу времени.
-
3
Помните, что вычислять определитель треугольных матриц намного проще. Определитель треугольных матриц вычисляется как произведение элементов на главной диагонали, от a11 в верхнем левом углу до a33 в нижнем правом углу. Речь в данном случае идет о треугольных матрицах размерностью 3×3. Треугольные матрицы могут быть следующих видов, в зависимости от расположения ненулевых значений:[4]
- Верхняя треугольная матрица: Все ненулевые элементы находятся на главной диагонали и выше нее. Все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
- Нижняя треугольная матрица: Все ненулевые элементы находятся ниже главной диагонали и на ней.
- Диагональная матрица: Все ненулевые элементы находятся на главной диагонали. Является частным случаем вышеописанных матриц.
Реклама
Советы
- Описанный метод распространяется на квадратные матрицы любого ранга. Например, если вы используете его для матрицы 4×4, то после «вычеркивания» будут оставаться матрицы 3×3, для которых определитель будет вычисляться вышеупомянутым способом. Будьте готовы к тому, что вычислять определитель для матриц таких размерностей вручную — очень трудоемкая задача!
- Если все элементы строки или столбца равны 0, то определитель матрицы тоже равен 0.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 119 322 раза.
Была ли эта статья полезной?
Содержание:
- Вычисления определителей второго порядка
- Методы вычисления определителей третьего порядка
- Приведение определителя к треугольному виду
- Правило треугольника
- Правило Саррюса
- Разложение определителя по строке или столбцу
- Разложение определителя по элементам строки или столбца
- Теорема Лапласа
В общем случае правило вычисления определителей
$n$-го порядка
является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.
Вычисления определителей второго порядка
Чтобы вычислить определитель матрицы 
второго порядка, надо от произведения
элементов главной диагонали отнять произведение
элементов побочной диагонали:
$$left| begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \ {a_{21}} & {a_{22}}end{array}right|=a_{11} cdot a_{22}-a_{12} cdot a_{21}$$
Пример
Задание. Вычислить определитель второго порядка
$left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|$
Решение. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$
Ответ. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=69$
Методы вычисления определителей третьего порядка
Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.
Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми,
берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.
$$left| begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}end{array}right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$
$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|$ методом треугольников.
Решение. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$
$$+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$$
Ответ. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=54$
Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей
параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных,
со знаком «минус»:
$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$
Пример
Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|$ с помощью правила Саррюса.
Решение. 
$$+(-1) cdot 4 cdot(-2)-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot 3 cdot(-2)-3 cdot 4 cdot(-2)=54$$
Ответ. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=54$
Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их
алгебраические дополнения. Обычно выбирают
ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.
Пример
Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|$
Решение. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right| leftarrow=a_{11} cdot A_{11}+a_{12} cdot A_{12}+a_{13} cdot A_{13}=$
$1 cdot(-1)^{1+1} cdot left| begin{array}{cc}{5} & {6} \ {8} & {9}end{array}right|+2 cdot(-1)^{1+2} cdot left| begin{array}{cc}{4} & {6} \ {7} & {9}end{array}right|+3 cdot(-1)^{1+3} cdot left| begin{array}{cc}{4} & {5} \ {7} & {8}end{array}right|=-3+12-9=0$
Ответ. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=0$
Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.
Пример
Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|$
Решение. Выполним следующие
преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре
первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель,
равный данному.
$$left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {4-4 cdot 1} & {5-4 cdot 2} & {6-4 cdot 3} \ {7-7 cdot 1} & {8-7 cdot 2} & {9-7 cdot 3}end{array}right|=$$
$$=left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {-6} & {-12}end{array}right|=left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {2 cdot(-3)} & {2 cdot(-6)}end{array}right|=0$$
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.
Ответ. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=0$
Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение
к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.
Разложение определителя по элементам строки или столбца
Пример
Задание. Вычислить определитель
$left| begin{array}{llll}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.
Решение. Предварительно выполним
элементарные преобразования над строками определителя, сделав
как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих,
от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:
$$left| begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|=left| begin{array}{cccc}{9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} \ {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|=left| begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \ {0} & {4} & {-2} & {-8} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|$$
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
$$left| begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \ {0} & {4} & {-2} & {-8} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|=0+0+1 cdot(-1)^{3+1} cdot left| begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \ {4} & {-2} & {-8} \ {4} & {2} & {0}end{array}right|+0$$
Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули,
например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:
$$left| begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \ {4} & {-2} & {-8} \ {4} & {2} & {0}end{array}right|=left| begin{array}{rrr}{0} & {2} & {4} \ {4} & {-2} & {-8} \ {0} & {4} & {8}end{array}right|=4 cdot(-1)^{2+2} cdot left| begin{array}{ll}{2} & {4} \ {4} & {8}end{array}right|=$$
$$=4 cdot(2 cdot 8-4 cdot 4)=0$$
Ответ. $left| begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|=0$
Замечание
Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять,
а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.
Приведение определителя к треугольному виду
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его
значение, согласно свойствам определителя, равно произведению
элементов стоящих на главной диагонали.
Пример
Задание. Вычислить определитель
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|$ приведением его к треугольному виду.
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования
будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет
равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя,
приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {2} & {-5} & {3} & {0} \ {-1} & {4} & {2} & {-3}end{array}right|$$
Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ ,
для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:
$$Delta=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$$
Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если
диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то
вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на
противоположный знак определителя):
$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$$
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом:
к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:
$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {-10} & {-10} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|$$
Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под
главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:
$$Delta=-10 left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|=$$
$$=-10 cdot left| begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {-8}end{array}right|=(-10) cdot 1 cdot(-1) cdot 1 cdot(-8)=-80$$
Ответ. $Delta=-80$
Теорема Лапласа
Теорема
Пусть $Delta$ — определитель
$n$-го порядка. Выберем в нем произвольные
$k$ строк (или столбцов), причем
$k leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех
миноров
$k$-го порядка, которые содержатся в выбранных
$k$ строках (столбцах), на их
алгебраические дополнения равна определителю.
Пример
Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель
$left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|$
Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки —
вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):
$$left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|=left| begin{array}{cc}{1} & {-1} \ {4} & {-5}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+2+4} cdot left| begin{array}{ccc}{2} & {0} & {5} \ {3} & {1} & {1} \ {1} & {2} & {1}end{array}right|+$$
$$+left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {4} & {0}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+2+5} cdot left| begin{array}{rrr}{2} & {0} & {4} \ {3} & {1} & {0} \ {1} & {2} & {-2}end{array}right|+left| begin{array}{cc}{-1} & {2} \ {-5} & {0}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+5} cdot left| begin{array}{ccc}{2} & {3} & {0} \ {3} & {2} & {1} \ {1} & {1} & {2}end{array}right|=$$
$$=-23+128+90=195$$
Ответ. $left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|=195$
Читать дальше: обратная матрица.
Щебетун Виктор
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Существует несколько способов нахождения определителей матриц третьего порядка. Рассмотрим их подробнее.
Перечислим основные способы, используемые для этого:
- Правило Саррюса;
- Правило треугольников;
- Использование специальной формулы для вычисления;
- Использование метода Гаусса или иначе метода перестановок.
Правило Саррюса
Правило Саррюса для вычисления матриц 3-ьего порядка применяется просто: достаточно соответственно рисунку переписать 2 первых столбика справа рядом с матричной таблицей, а затем записать произведения, стоящие по диагоналям со знаками.
Замечание 1
Если диагональ идёт сверху слева вниз направо — то произведение записывается со знаком «+», а если диагональ идёт из правого верхнего угла в нижний левый — то со знаком «-».
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Рисунок 1. Формула третьего порядка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пример 1
Дана матричная таблица $A$. Вычислите детерминант с помощью правила Саррюса.
$A = begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \ 1 & 4 & 2 \ 2 & 5 & 3 \ end{pmatrix}$
Решение:
Рисунок 2. Вычисление определителя 3 порядка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
$Δ = 0 cdot 4 cdot 3 + 3 cdot 2 cdot 2 – 1 cdot 1 cdot 5 – 3 cdot 1 cdot 3 – 0 cdot 2 cdot 5 + 1 cdot 4 cdot 2 = 0 + 12 – 5 — 9 – 0 + 8 = 6$
Правило треугольников
Это правило немного похоже на предыдущее. Суть его в том, что произведения элементов с главной диагонали и двух треугольников, задействующих все остальные элементы как показано на рисунке, записываются со знаком плюс, а произведения элементов с побочной диагонали и двух синих треугольников — с противоположным.
«Найти определитель матрицы третьего порядка» 👇
Рисунок 3. Треугольники. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пример 2
Найдите определитель из прошлого задания, используя метод треугольников.
Решение:
Рисунок 4. Наглядный пример как пользоваться. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
$Δ= 0 cdot 4 3 + 3 cdot 2 cdot 2 – 1 cdot 5 cdot 1 + 1 cdot 4 cdot 2 – 1 cdot 3 cdot 3 – 2 cdot 5 cdot 0 = 0 + 12 – 5 + 8 – 9 – 0 = 6$
Использование формулы разложения по строчке
$A = begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \ end{pmatrix}$
Для матрицы 3 на 3, приведённой выше, определитель можно сосчитать по формуле:
$Δ =begin{array}{|ccc|} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \ end{array}=a_{11} cdot begin{array}{|cc|} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} \ end{array} – a_{12} cdot begin{array}{|cc|} a_{11} & a_{13} \ a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \ end{array} + a_{13} cdot begin{array}{|cc|} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \ end{array}= a_{11} cdot a_{22} cdot a_{33} – a_{12} cdot a_{23} cdot a_{31} + a_{13} cdot a_{21} cdot a_{32} — a_{13} cdot a_{22} cdot a_{31}$.
Пример 3
Разложите определитель матрицы из предыдущих примеров по 1-ой строчке и найдите его.
Решение:
$Δ = 0 cdot begin{array}{|cc|} 4 & 2 \ 5 & 3 \ end{array} – 3 cdot begin{array} {|cc|} 1 & 2 \ 2 & 3 \ end{array} + (-1) cdot begin{array}{|cc|} 1 & 4 \ 2 & 5 \ end{array} = 0 – 3 cdot (1 cdot 3 – 2 cdot 2) + (-1) cdot (5 – 
= 0 – 3 cdot(-1) + (-1) cdot (-3) = 3 + 3 = 6$
Метод Гаусса
Чтобы вычислить детерминант этим методом, нужно используя разрешённые преобразования получить треугольную матрицу.
Разрешёнными преобразованиями являются сложение и вычитание строчек и столбцов, в то время как при перестановке строчек и столбцов между собой необходимо помнить о смене знака определителя в конце.
После этого нужно перемножить элементы, стоящие на главной диагонали, их произведение и будет определителем.
Пример 4
Примените метод Гаусса для получения детерминанта матрицы из предыдущих примеров.
Решение:
$A = begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \ 1 & 4 & 2 \ 2 & 5 & 3 \ end{pmatrix}$
Переставим первую строчку со второй, при этом запомним, что знак детерминанта в конце поменяется:
$begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \ 0 & 3 & -1 \ 2 & 5 & 3 \ end{pmatrix}$;
Вычтем из третьей строчки 1-ую, умноженную на 2:
$begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \ 0 & 3 & -1 \ 0 & -3 & -1 \ end{pmatrix}$;
Сложим между собой третью строчку со второй:
$begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \ 0 & 3 & -1 \ 0 & 0 & -2 \ end{pmatrix}$;
Получили искомый вид матрицы. Теперь можно сосчитать определитель, минус появляется из-за перемены строчек местами:
$Δ=-begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \ 0 & 3 & -1 \ 0 & 0 & -2 \ end{pmatrix}= -(1 cdot 3 cdot ( — 2) ) = 6 $
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Определитель матрицы 3 порядка, описание
Детерминант или определитель матрицы третьего порядка вида (A=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{pmatrix}) является сопоставляемое с ним число
(left|Aright|=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{23}a_{32}))
Для обозначения данной величины используют символы: |А|, Δ, det A.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Правила для нахождения
Для вычисления детерминанта матрицы 3×3 не нужно заучивать формулу. Данное число можно найти с помощью двух способов:
- правила треугольников;
- правила Саррюса.
Нахождение методом треугольника
Правило основывается на том, что произведение диагональных составляющих и произведения вершин двух треугольников уменьшаемой матрицы суммируются. Произведение диагональных элементов и произведения вершин треугольников в вычитаемой матрице записываются со знаком минус.
Схематическое изображение рассматриваемого правила выглядит так:
По схеме можно восстановить формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка, которая приведена в определении детерминанта:
(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{23}a_{32}))
Пример
Найти определитель матрицы:
(A=begin{pmatrix}1&3&4\0&2&1\1&5&-1end{pmatrix})
Решение
(left|Aright|=begin{vmatrix}21&12&14\21&12&56\25&12&14end{vmatrix}=21times12times14+12times56times25+14times12times21-14times12times25-12times56times21-21times12times14=2016)
Метод Саррюса
Для нахождения определителя матрицы 3×3 необходимо соблюсти условия в следующей последовательности:
- два первых столбца приписать по левую сторону от детерминанта;
- произведения компонентов главной диагонали и ей параллельных записать с положительным знаком;
- произведения элементов, расположенных на побочной и параллельных ей диагоналях, записать с отрицательным знаком.
Вычисление определителя матрицы по рассматриваемому правилу схематически можно изобразить так:
Пример
Рассчитать по методу Сюрраса детерминант матрицы
(A=begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9end{pmatrix})
Решение
(left|Aright|=begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9end{vmatrix};=begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9end{vmatrix}begin{array}{c}1\4\7end{array}begin{array}{c}2\5\8end{array}=1times5times9+2times6times7+3times4times8-3times5times7-1times6times8-2times4times9=0)
Свойства определителя
- Преобразование столбцов и строк незначительными действиями не оказывает влияния на значение детерминанта.
- Перемена строк и столбцов местами влечет за собой изменение значения детерминанта на противоположное.
- Детерминант треугольной матрицы можно вычислить путем умножения составляющих, находящихся на главной диагонали.